ตัวแปรสุ่มและการแจกแจง ความน่าจะเป็น เรื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง โดย นางสาวณีรนุช แซ่เอี๊ยะ ม.6/2 เลขที่20
การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงเอกรูป คืออะไรหรอครับ สรุปง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราหาค่าความนำ จะ เป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ตัวแปรสุ่ม x แล้วค่าความน่าจะเป็นมี ค่าเท่ากันทั้งหมด การแจกแจงของ ตัวแปรสุ่มนั้นจะเป็นการแจกแจง เอกรูปไม่ต่อเนื่อง นิยาม ให้ x เป็นตัวเปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ถ้าค่ที่เป็น ไปได้ทั้งหมดของ X คือ X1,X2,X3,X4,…,xh1,2,3,4,…, แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อสำ หรับทุก i={1,2,3,4....h
ตัวอย่าง วิธีทำ จากโจทย์โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1ครั้ง แซมเปิล สเปซก็คือ s= {H,T}= ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X11 คือเหรียญไม่ขึ้นหัวเลย กับ เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง เขียนเป็นเซตได้ คือ x= {0,1}={0,1} ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นหัวเลยคือ เหตุการณ์นี้นะคะ {T}{?} คือ P(x1=0)=12(1=0)=12 ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง คือเหตุการณ์นี้ค่ะ {H} คือ P(x1=1)=12(1=1)=12 เขียนเป็นตารางแจกแจงความน่าจะเป็นก็จะได้ x 0 1 P(x1=x)(1=2) 1212 1212 จะเห็นว่าค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ตัวตัวแปรสุม X11 นี้เท่ากับหมดคือ 1212 ดังนั้นการแจกแจงของตัวแปร สุ่ม X11 นี้ เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง
การแจกแจงแบบทวินาม ( Binomial distribution) อาจาร์ยคะ การแจกแจงแบบทวินามคืออะไรคะ?? เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อ เนื่อง(Discrete random variable) ที่ในการ ทดลองแต่ละครั้งจะเกิดผลลัพธ์เพียง 2 อย่าง คือ สำ เร็จ (success)กับผิด หวัง(failure) การแจกแจงแบบทวินาม เขียนแทน ด้วยb(x,h,p) ตัวอย่าง จากข้อมูลการส่งแบบสอบถามไปยังสถาบันการศึกษาทั่วประเทศ พบว่าจะได้รับ กลับคืนมา 60%ถ้าสุ่มเลือกสถาบันการศึกษา 3 แห่ง แล้วส่งแบบสอบถามไปให้ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้รับแบบสอบถามกลับคืนมา การแจกแจงแบบหวินาม เขียนแทนด้วย b( x, h, p) โดยที่ กรณีที่1 x=3 h=3 p = 0.60 b( x, h, p) = h cx pxqh-x = h! pxgh-x = x!(h-x)! = 3! 0.630.40 = 0.22 3!(3-3)!
อาจาร์ยคะ แล้วการทดลองการสุ่ม คืออะไรคะ?? การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นอาจจะเป็นอะไรได้ บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้อง แน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทำ การทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจากการทดลองจะเป็นอะไร
ตัวอย่างที่ 1 จากการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงตอบคำ ถามต่อไปนี้ 1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7 2) ผลของการหอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1 3) เนตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง คือ (1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3, 6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6, 6) 1 ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7 ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 6), (2. 5), (3, 4), (4.3),(5, 2) และ (6, 1) 2) ผลของการหอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1 ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) และ (1, 6) 3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน ผลลัฟธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) และ (6, 6)
ตัวอย่างที่ 2 สุ่มหยิบสลาก 2 ใบ จากในกล่องที่บรรจุสลาก 3 ใบ ซึ่งมีหมาย 1, 2 และ 3 ตามลำ ดับ จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ จะได้ผลบวกของสลากสองใบเท่ากับ 5 เมื่อ กำ หนดการทดลองสุ่มดังนี้ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน 2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง 3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง วิธีทำ 1) หยิบสลาก 2 ใบ พร้อมกัน จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจ จะเกิดขึ้นจากการาดลองสุ่มมี 3 แบบ คือ (1, 2),(1, 3) หรือ (2,3) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 1 แบบ คือ (2,3) 2) หยิบสลากทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการาดลองสุ่มมีG แบบ คือ (1,2),(1,3),(2, 1),(2,3),(3, 1) หรือ (3, 2) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3, 2) 3) หยิบสลากทีละใบโดยใส่คืนก่อนจะหยิบสลากใบที่สอง จะได้ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 9 แบบ คือ(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2) หรือ (3, 3) เหตุการณ์ที่ผลบวกของสลากทั้งสองใบเท่ากับ 5 มี 2 แบบ คือ (2, 3) และ (3, 2)