NUR PUJI LESTARI SMAN 70 1 MODUL AJAR EKSPONEN DAN LOGARITMA MATEMATIKA KELAS X SEKOLAH PENGGERAK TAHUN PELAJARAN 2021/2022 Nur Puji Lestari, S.Pd. SMA Negeri 70 Jakarta
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 2 A. INFORMASI UMUM 1. Identitas Modul Satuan Pendidikan : SMA Negeri 70 Jakarta Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X / Ganjil Fase : E Tahun Pelajaran : 2021/2022 Alokasi Waktu : 4 pertemuan (4 x 3 JP) Penyusun : Nur Puji Lestari, S.Pd. 2. Kompetensi Awal Peserta didik terampil melakukan operasi perkalian berulang pada bilangan yang sama. 3. Profil Pelajar Pancasila Melalui kegiatan pembelajaran blended learning peserta didik mampu menyebutkan sifatsifat eksponen dan logaritma serta menggunakannya dalam menyederhanakan bentukbentuk aljabar yang memuat eksponen dan logaritma dengan bernalar kritis, kreatif, mandiri, serta bergotong royong yang pada akhirnya dapat menjadi insan berakhlak mulia dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa. 4. Sarana dan Prasarana • Gawai (Laptop, Komputer, HP, Pen Tablet) • Modul Ajar • Aplikasi Presentasi (Power Point, Ms. Word, Pdf) • Learning Management System (LMS) • Aplikasi tatap maya (Zoom, Google Meet) 5. Target Peserta Didik • Peserta didik regular : Sesuai Alur Tujuan Pembelajaran (ATP) • Peserta didik dengan kesulitan belajar : Didukung dengan program remedial • Peserta didik dengan pencapaian tinggi: Difasilitasi dengan program pengayaan 6. Model Pembelajaran Menggunakan model pembelajaran discovery learning yang dilaksanakan secara blended yaitu memadukan pembelajaran jarak jauh di dalam jaringan (daring) dan pembelajaran jarak jauh di luar jaringan (luring).
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 3 B. KOMPONEN INTI 1. Tujuan Pembelajaran 10.1 Menyebutkan sifat-sifat eksponen dan logaritma serta menggunakannya dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen dan logaritma secara kreatif dan mandiri. Penjabaran Materi : Pertemuan I (3 JP) : ▪ Menjelaskan definisi bilangan berpangkat/eksponen ▪ Menyebutkan sifat-sifat eksponen dengan pangkat berupa bilangan bulat positif ▪ Membuktikan sifat-sifat eksponen dengan pangkat berupa bilangan bulat positif ▪ Menggunakan sifat-sifat eksponen dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen Pertemuan II (3 JP) : ▪ Mengidentifikasi fungsi eksponen ▪ Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan fungsi eksponen ▪ Menjelaskan definisi pangkat bulat negatif dan hubungannya dengan pangkat bulat positif ▪ Menjelaskan definisi pangkat bulat nol Pertemuan III (3 JP) : ▪ Menjelaskan definisi bentuk akar ▪ Menjelaskan hubungan pangkat pecahan/ rasional dengan bentuk akar ▪ Melakukan operasi aljabar pada bentuk akar ▪ Merasionalkan penyebut bentuk akar ▪ Menyederhanakan bentuk akar Pertemuan IV (3 JP) : ▪ Menjelaskan definisi logaritma dan hubungannya dengan eksponen ▪ Menyebutkan sifat-sifat logaritma ▪ Membuktikan sifat-sifat logaritma ▪ Menggunakan sifat-sifat logaritma dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat logaritma 2. Pemahaman Bermakna Setelah mempelajari materi Eksponen dan Logaritma, peserta didik dapat memanfaatkan bentuk eksponen untuk mengekspresikan nilai suatu bilangan dengan simbol yang lebih sederhana, misalnya jarak bumi ke matahari yaitu sejauh 152.505.000 kilometer yang dapat ditulis menjadi 152,505 × 106km ataupun kecepatan cahaya yang dapat ditulis 3 × 108 /. Peserta didik juga dapat mengidentifikasi eksponen yang selanjutnya dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan pertumbuhan dan peluruhan, antara lain pada kasus perkembangbiakan suatu bakteri secara biner dalam kurun waktu tertentu, dimana banyaknya bakteri yang hidup dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen. 3. Pertanyaan Pemantik Masalah 1.1 Sumber : www.parasitecleanse.com
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 4 Entamoeba histolytica adalah protozoa parasit anaerob, bagian genus Amoeba. Amoeba ini dominan menjangkiti manusia dan kera dan diperkirakan menulari sekitar 50 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan penyakit infeksi usus besar yang dikenal dengan Amebiasis. Entamoeba ini berkembang biak secara vegetatif dengan membelah diri/pembelahan biner/amitosis. Jika diasumsikan Entamoeba ini awalnya berjumlah satu dan membelah diri setiap satu menit, maka dapatkah kalian menghitung berapa banyaknya bakteri setelah 1 jam? 4. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I : 3 JP ( 3 x 35 menit) A. Pendahuluan Tatap maya dengan aplikasi zoom meet (30 menit) ▪ Guru mengondisikan peserta didik untuk siap belajar dengan saling menyapa dan peserta didik secara bergantian memberikan kata-kata motivasi/ kata-kata mutiara. ▪ Guru mengabsen peserta didik. ▪ Guru memberikan pertanyaan pemantik dan meminta peserta didik untuk mengemukakan pendapatnya seputar masalah dalam pertanyaan pemantik tersebut. ▪ Guru menyampaikan topik materi yang akan dipelajari dan memberikan pemahaman bermakna tentang pentingnya mempelajari topik tersebut. ▪ Guru memberikan asesmen diagnostik kognitif tentang topik eksponen B. Inti Tatap maya dengan aplikasi zoom meet (65 menit) ▪ Pemberian rangsangan (stimulation) 1. Guru memberikan beberapa bentuk perkalian berulang dan peserta didik diminta menyatakan bentuk tersebut sebagai bilangan berpangkat. 2. Peserta didik mengemukakan pendapatnya tentang definisi eksponen 3. Guru memberikan konfirmasi dan menjelaskan unsur-unsur yang terdapat pada bentuk eksponen. 4. Guru menyajikan beberapa sifat eksponen dan mengajak peserta didik untuk membuktikan kebenaran dari sifat-sifat tersebut melalui aktivitas pada lembar kegiatan. ▪ Identifikasi masalah (problem statement) 1. Peserta didik akan membuktikan kebenaran dari sifat-sifat eksponen melalui aktivitas pada lembar kegiatan 2. Peserta didik dibagi ke dalam kelompok-kelompok kecil yang masing-masing beranggotakan 6 siswa. ▪ Pengumpulan data (data collection) 1. Guru melakukan breakout room zoom meet dan mempersilakan peserta didik untuk berdiskusi dalam membuktikan kebenaran sifat-sifat eksponen. 2. Guru berkeliling pada masing-masing breakout room untuk mengamati dan membimbing proses diskusi masing-masing kelompok. ▪ Pengolahan data (data processing) 1. Guru mengajak peserta didik untuk kembali bergabung di zoom utama dan mempersilakan kelompok-kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya. 2. Peserta didik lain memberi tanggapan atau menyampaikan pertanyaan. 3. Peserta didik saling mengemukakan pendapat dan jawaban
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 5 ▪ Pembuktian (Verification) 1. Guru memberikan konfirmasi tentang hasil diskusi dan beberapa pendapat atau jawaban yang diungkan peserta didik. ▪ Menarik Kesimpulan (Generalization) 1. Peserta didik bersama guru menyimpulkan sifat-sifat eksponen. 2. Peserta didik berlatih mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan sifat-sifat eksponen. C. Penutup Tatap maya dengan aplikasi zoom meet (10 menit) ▪ Guru memberikan beberapa latihan soal untuk dikerjakan di luar jam pelajaran ▪ Peserta didik mengisi lembar refleksi diri ▪ Guru menginformasikan materi pada pertemuan selanjutnya yaitu fungsi eksponen ▪ Guru mempersilakan peserta didik untuk berpantun sebagai penutup kegiatan belajar Pertemuan II : 3 JP ( 3 x 35 menit) A. Pendahuluan Tatap maya dengan aplikasi zoom meet (10 menit) ▪ Guru mengondisikan peserta didik untuk siap belajar dengan saling menyapa dan peserta didik secara bergantian memberikan kata-kata motivasi/ kata-kata mutiara. ▪ Guru mengabsen peserta didik. B. Inti Tatap maya dengan aplikasi zoom meet ( 60 menit) ▪ Pemberian rangsangan (stimulation) 1. Guru mendeskripsikan tentang fungsi eksponen dan menyajikan beberapa bentuk fungsi untuk diidentifikasi oleh peserta didik berdasarkan definisi fungsi eksponen tersebut. 2. Peserta didik mengidentifikasi fungsi-fungsi mana yang tergolong fungsi eksponen dan mana yang bukan beserta alasannya. 3. Guru memberikan permasalahan nyata yang penyelesaiannya menggunakan fungsi eksponen ▪ Identifikasi masalah (problem statement) 1. Peserta didik akan mencari penyelesaikan masalah nyata dengan menggunakan fungsi eksponen 2. Peserta didik akan mencari contoh lain tentang masalah nyata yang penyelesaiannnya menggunakan fungsi eksponen ▪ Pengumpulan data (data collection) 1. Guru melakukan breakout room zoom meet dan mempersilakan peserta didik untuk berdiskusi dalam kelompoknya masing-masing untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. 2. Guru berkeliling pada masing-masing breakout room untuk mengamati dan membimbing proses diskusi masing-masing kelompok. ▪ Pengolahan data (data processing) 1. Guru mengajak peserta didik untuk kembali bergabung di zoom utama dan mempersilakan kelompok-kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya. 2. Peserta didik lain memberi tanggapan atau menyampaikan pertanyaan. 3. Peserta didik saling mengemukakan pendapat dan jawaban
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 6 ▪ Pembuktian (Verification) Guru memberikan konfirmasi tentang hasil diskusi dan beberapa pendapat atau jawaban yang diungkan peserta didik. ▪ Menarik Kesimpulan (Generalization) 1. Peserta didik bersama guru menyimpulkan tentang definisi fungsi eksponen 2. Guru memberikan tugas rumah kepada peserta didik untuk menggambar grafik beberapa fungsi eksponen. 3. Peserta didik berpantun/ berpuisi/bernyanyi untuk mengakhiri kegiatan zoom meet. Pembelajaran Luring (Luar Jaringan) (25 menit) ▪ Peserta didik melakukan kegiatan pada LKPD masing-masing secara individu tentang materi Pangkat Bulat Negatif dan Nol serta mengerjakan latihan-latihan soal pada LKPD tersebut. ▪ Peserta didik mengupload hasil kerja LKPD tersebut ke google classroom yang telah disediakan oleh guru. C. Penutup Melalui chat ataupun voice note pada grup whatsapp kelas (10 menit) ▪ Guru memberikan informasi nama-nama peserta didik yang sudah mengupload hasil kerjanya di google classroom dan memberikan motivasi kepada peserta didik yang belum menyelesaikan. ▪ Guru menyimpulkan kegiatan pembelajaran yang telah diselesaikan dan menginformasikan topik yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya. Pertemuan III : 3 JP ( 3 x 35 menit) A. Pendahuluan 5. Asesmen Terdapat 2 jenis asesmen yang digunakan yaitu a) Asesmen diagnostik kognitif b) Asesmen Formatif (bentuk tertulis maupun performa baik secara individu maupun kelompok) 6. Pengayaan dan Remedial Pengayaan diberikan kepada peserta didik yang dapat menyelesaikan kegiatan lebih cepat dan dengan pencapaian tinggi. Pengayaan yang diberikan berupa latihan-latihan soal dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi. Remedial diberikan kepada siswa yang cenderung lambat dalam menyelesaikan kegiatan dan memperoleh capaian yang rendah. Remedial diberikan dengan memberikan pembelajaran ulang ataupun penugasan baik secara individu maupun tutor sebaya.
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 7 C. LAMPIRAN 1. Lembar Kerja Peserta Didik Pertemuan I (3 JP) : A. EKSPONEN DENGAN PANGKAT BERUPA BILANGAN BULAT POSITIF A.1 Definisi Eksponen Masalah 1.1 Perhatikan permasalahan berikut ! Masalah 1.1 di atas merupakan masalah nyata tentang penggunaan eksponen dalam menyatakan suatu bilangan. Selanjutnya, dapatkah kalian mencari contoh lain dari penerapan materi eksponen? Yuuuk…mari kita pelajari materi berikut sehingga kalian akan dapat dengan mudah menentukan berapa banyaknya bakteri yang berkembang biak setelah 1 jam ! Sumber : www.parasitecleanse.com Entamoeba histolytica adalah protozoa parasit anaerob, bagian genus Amoeba. Amoeba ini dominan menjangkiti manusia dan kera dan diperkirakan menulari sekitar 50 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan penyakit infeksi usus besar yang dikenal dengan Amebiasis. Entamoeba ini berkembang biak secara vegetatif dengan membelah diri/pembelahan biner/amitosis. Jika diasumsikan Entamoeba ini awalnya berjumlah satu dan membelah diri setiap satu menit, maka dapatkah kalian menghitung berapa banyaknya bakteri setelah 1 jam?
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 8 Perhatikan tabel perkembangbiakan Entamoeba Histolyca yang membelah diri secara biner berikut! Ilustrasi gambar Menit keBanyaknya Entamoeba Hubungan banyaknya Entamoeba dengan waktu 0 (mulamula) 1 1 = 2 0 1 …… 2 = 2 ….. 2 ……. 4 = ⋯ × … = 2 …. 3 …….. 8 = ⋯ × … × … = 2 …. 4 ……. 16 = ⋯ × … × … × … = 2 …. ….dan seterusnya 60 …….. 2 60 = 2 × 2 × 2 × … … × 2 Berdasarkan ilustrasi pada tabel di atas, dapatkah kalian menyimpulkan definisi eksponen? Bilangan 2 60 jika dicari menggunakan kalkulator nilainya adalah 1.152.921.504.606.846.976. Nilai tersebut sangat besar dan mungkin saja kita kesulitan dalam membacanya. Oleh karena itu diperlukan cara yang lebih sederhana untuk menyatakannya yaitu menggunakan eksponen. Sebanyak 60 faktor Definisi Eksponen Jika adalah bilangan real dan adalah bilangan bulat positif maka menyatakan hasil kali bilangan sebanyak faktor dan ditulis dengan : = × × × … … × × faktor merupakan bilangan pokok dan adalah pangkat.
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 9 A.2 Sifat-sifat Eksponen Perhatikan ilustrasi berikut ! Tentukan nilai-nilai berikut dengan melengkapi titik-titik yang tersedia! 1) 2 5 = ⋯ × … × … × … × … = ⋯ 2) 2 3 = ⋯ × … × … = ⋯ 3) 2 5 × 2 3 = (… × … × … × … × … ) × (… × … × … ) = ⋯ × … = ⋯ 4) 2 8 = ⋯ × … × … × … × … × … × … × … = ⋯. Berdasarkan isian pada pada pertanyaan-pertanyaan di atas, apa yang dapat kalian simpulkan tentang nilai dari 2 5 × 2 3 dengan 2 8? Ternyata 2 5 × 2 3 = 2 8 . Jika kita perhatikan pangkatnya yaitu 8 bisa kita peroleh dari 5+3. Dengan demikian dapat kita generalisasi menjadi : × = (+) Bentuk tersebut merupakan salah satu dari sifat-sifat eksponen yang dapat kita gunakan untuk menyederhanakan bentuk pangkat. Adapun sifat-sifat eksponen secara keseluruhan sebagai berikut : Selanjutnya mari kita buktikan kebenaran dari sifat-sifat tersebut ! 1. Akan dibuktikan bahwa × = (+) ; dengan ≠ ; , anggota bilangan bulat. Ruas kiri × = ( × × × … … … .× × ) × ( × × … … … .× × ) = × × × × × … … … … .× × = (+) = Ruas kanan. Jadi, terbukti bahwa × = (+) 2. Akan dibuktikan bahwa = (−) ; dengan ≠ ; , anggota bilangan bulat. Sifat-sifat Eksponen : 1. × = (+) ; dengan ≠ 0; , anggota bilangan bulat. 2. = (−) ; dengan ≠ 0; , anggota bilangan bulat. 3. ( ) = . ; dengan ≠ 0; , anggota bilangan bulat. 4. (. ) = . ; dengan ≠ 0; anggota bilangan bulat. 5. ቀ ቁ = ; dengan ≠ 0; anggota bilangan bulat. Sebanyak faktor Sebanyak faktor Sebanyak ( + ) faktor
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 10 Kita mulai dengan melengkapi titik-titik pada ilustrasi berikut 2 8 2 3 = … × … × … × … × … × … × … × … … × … × … = ⋯ × … × … × … × … = 2 5 Kesimpulan apa yang kalian dapat? (perhatikan bilangan pangkatnya yaitu 8 dan 3, bagaimana menghubungkan bilangan 8 dengan 3 sehingga menjadi bilangan 5) Selanjutnya mari kita buktikan dengan menguraikan ruas kiri Ruas kiri = … × … × … × … … … × … × … … .× … × … … . .× … = ⋯ × … × … .× … … … . .× … = (…−⋯ ) = Ruas kanan Jadi, terbukti bahwa = (−) 3. Akan dibuktikan bahwa ( ) = . ; dengan ≠ ; , anggota bilangan bulat. Kita mulai dengan melengkapi titik-titik pada ilustrasi berikut (5 2 ) 3 = (5 2 ) × (…… ) × (…… ) = (… × … ) × (… × … ) × (… × … ) = ⋯ × … × … × … × … × … = 5 6 Kesimpulan apa yang kalian dapat? (perhatikan bilangan pangkatnya yaitu 2 dan 3, bagaimana menghubungkan bilangan 2 dengan 3 sehingga menjadi bilangan 6). Selanjutnya mari kita buktikan dengan menguraikan ruas kiri ( ) Ruas kiri ( ) = ( ) × (…… ) × … … … … … .× (…… ) = ( × × … … … × ) × (… × … × … … … × … ) … … … … .× (… × … × … … … × … ) (Tulislah keterangan berapa banyak faktor yang ada di atas!) (Sehingga dapat disimpulkan secara keseluruhan terdapat berapa banyak faktor ?) = × × × × × × × × … … … … … … … … .× × × × . = (.) = Ruas kanan Jadi, terbukti bahwa ( ) = . 4. Akan dibuktikan bahwa (. ) = . ; dengan ≠ ; anggota bilangan bulat. (Kemudian, coret unsur yang sama di bagian pembilang dan penyebutnya) Tulislah keterangan berapa banyak faktor pada pembilang dan penyebutnya ! Tulislah keterangan berapa banyak faktor yang tersisa setelah disederhanakan ! Tulislah keterangan berapa banyak faktor Sebanyak faktor Sebanyak faktor Sebanyak faktor Sebanyak . faktor
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 11 Kita mulai dengan melengkapi titik-titik pada ilustrasi berikut (2.5) 3 = (2 × 5) × (… × … ) × (… × … ) (lalu kumpulkan faktor-faktor yang sama) = (… × … × … ) × (… × … × … ) = 2 3 × 5 3 Kesimpulan apa yang kalian dapat? Selanjutnya mari kita buktikan dengan menguraikan ruas kiri (. ) Ruas kiri (. ) = ( × ) × (… × … ) × (… × … ) × (… × … ) × … … … … .× (… × … ) (lalu kumpulkan faktor-faktor yang sama) = ( × … × … × … × … … … … × ) × ( × … × … × … × … … … … × ) = × = ruas kanan Jadi, terbukti bahwa (. ) = . 5. Akan dibuktikan bahwa ቀ ቁ = ; dengan ≠ ; anggota bilangan bulat. Kita mulai dengan melengkapi titik-titik pada ilustrasi berikut ( 2 3 ) 5 = ( 2 3 ) × ( ) × ( ) × ( ) × ( ) = … × … × … × … × … … × … × … × … × … = 2 5 3 5 Kesimpulan apa yang kalian dapat? Selanjutnya mari kita buktikan dengan menguraikan ruas kiri ቀ ቁ Ruas Kiri ቀ ቁ = ቀ ቁ × ቀ … … ቁ × ቀ … … ቁ × … … … .× ቀ … … ቁ = … × … × … × … … … … × … … × … × … × … … … … × … = = ruas kanan Jadi, terbukti bahwa ቀ ቁ = . Nah, sekarang kalian telah berhasil membuktikan kebenaran dari sifat-sifat eksponen di atas. Selanjutnya kalian dapat menggunakannya untuk menyederhakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen. Untuk semakin memahaminya, simak contoh-contoh berikut ! Contoh 1.1 Sebanyak faktor Sebanyak faktor Sebanyak faktor Tentukan banyak faktor pada masing-masing pembilang dan penyebutnya
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 12 Sederhanakan bentuk eksponen berikut : a) ቀ −2 ቁ 3 × (−) 4 × 2 5 2 b) ቀ 3 2 ቁ 5 : 4 3 4 Jawab : a) ቀ −2 ቁ 3 × (−) 4 × 2 5 2 = −8 3 3 × 4 × 2 2 5 = −16 (3+2) . (4−3) 5 = − 16 5 5 . b) ቀ 3 2 ቁ 5 : 4 3 4 = ቀ 3 2 ቁ 5 × 4 43 = 3.5 . 2.5 5 × 4 43 = 15 .. 10 4 5. 43 = (15+1−5−4) . (10+4−3) = 7 11 Contoh 2.1 Tentukan nilai variabel yang memenuhi sedemikian hingga persamaan-persamaan berikut bernilai benar! a) 8 2+5 = 2 21 b) (3) 5 .3 7 3 4.9 = 72 Jawab : a) 8 2+5 = 2 21 (2 3 ) 2+5 = 2 21 2 6+15 = 2 21 Karena bilangan pokok pada ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu 2, maka pangkat pada ruas kiri bernilai sama dengan pangkat ruas kanan, sehingga 6 + 15 = 21 6 = 6 = 1 b) (3) 5 .3 7 3 4.9 = 72 3 5 . 5 . 3. 7 3 4. 9 = 72 3 (5+1−4) . (5+7−9) = 72 3 2 . 3 = 9.8 3 2 . 3 = 3 2 . 2 3 Maka nilai = 2
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 13 Bagaimana, semakin paham bukan? Mari lanjutkan dengan mengerjakan latihan soal berikut! Asesmen Formatif 1.1 A. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut ! 1) 2 7 × 2 3 8 + 4 15 2) 274×9 3 3 5×81 3) ቀ (3) 3 2 ቁ 5 4) ቀ 3 . ቁ 3 × 3 . 4 2 5) 2 5×3 5×4 2 122 6) ቀ −2 ቁ 3 × (−) 4 × 2 5 2 7) −4 3×2 5 ቀ 8 ቁ 8) (− × ) 3 × ቀ − 2 ቁ 4 × ቀ 3 ቁ 5 9) 3 2+2−3 2 3 2+1+3 2 10) 5 2+3−5 2+1 .3 2 5 2+2−5 2+1.3 B. Tentukan nilai pada variabel-variabel berikut sehingga persamaan berikut benar ! 1) 2 3+5 = 64 2) 1 5 ൫3 (3+2) ൯ + 27 5 = 81 3) 5 2− 4. 5 − 5 = 0 C. Pengayaan Tentukan nilai − yang memenuhi sistem persamaan berikut ! 3 (−2+1) = 9 −2 4 (−+2) = 32(−2+1)
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 14 LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD) PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL DAN FUNGSI EKSPONEN Tujuan Pembelajaran 10.1 Menyebutkan sifat-sifat eksponen dan logaritma serta menggunakannya dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen dan logaritma secara kreatif dan mandiri. Profil Pelajar Pancasila ▪ Bernalar kritis ▪ Kreatif ▪ Mandiri ▪ Bergotong royong Alokasi Waktu 4 Pertemuan (4 x 3 JP) Uraian Kegiatan Pertemuan II (3 JP) : ▪ Menjelaskan definisi pangkat bulat negatif dan hubungannya dengan pangkat bulat positif ▪ Menjelaskan definisi pangkat bulat nol ▪ Mengidentifikasi fungsi eksponen ▪ Menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan fungsi eksponen ▪ Menggambar grafik fungsi eksponen dan mengidentifikasi sifat-sifat grafik tersebut. Kompetensi Awal Peserta didik terampil menggunakan sifat-sifat pangkat bulat positif untuk menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar. B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari definisi eksponen, menyebutkan sifatsifatnya serta terampil menggunakannya untuk menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen. Namun, bilangan-bilangan pada pangkatnya masih berupa bilangan bulat positif, sehingga muncul pertanyaan bagaimana jika bilangan-bilangan pada pangkatnya berupa bilangan bulat negatif ataupun nol ? B.1 Pangkat Bulat Negatif Pada segmen ini pangkat yang dipelajari adalah berupa bilangan bulat negatif yaitu {… . , −4, −3, −2, −1}. Perhatikan ilustrasi berikut ! 3 5 = × × × × × × = 1 × = 1 2 Sedangkan jika kita sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen maka kita peroleh 3 5 = 3−5 = −2 Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa −2 = 1 2 .
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 15 Secara umum dapat kita tuliskan sebagai berikut : B.2 Pangkat Nol Perhatikan ilustrasi berikut ! 3 3 = × × × × = 1 Sedangkan jika kita sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen maka kita peroleh 3 3 = 3−3 = 0 Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa 0 = 1 Untuk semakin meningkatkan kemahiran kalian dalam menggunakan sifat-sifat eksponen, kerjakan latihan soal berikut di luar jam pelajaran dan jika mengalami kesulitan silakan berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru ! Untuk setiap ∈ , ≠ 0, dan bilangan bulat positif berlaku − = 1 atau = 1 − Untuk setiap ∈ , ≠ 0 berlaku 0 = 1 Asesmen Formatif 1.3 1. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat bulat positif ! ( 3 −2 −3 24 5 −3 ) −1 2. Soal UN 2012 Jika diketahui = 1 3 , = 1 5 , = 2, maka nilai dari −4 .. −2 −32−4 adalah…. 3. Bentuk sederhana dari 7 3 −4 −6 84. −7 −1 −4 = ⋯ 4. ( −4 2 3) − 1 2 ( − 2 3. −1) 1 2 ( 1 23) − 1 6 ( − 1 4−1) 1 3 = ⋯. 5. Jika () = 2 +2 . 6 −4 dan () = 12−1 , bilangan asli maka () () =….
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 16 C. FUNGSI EKSPONEN C.1 Definisi Fungsi Eksponen Sebelumnya kita telah mempelajari definisi eksponen beserta sifat-sifatnya. Selanjutnya kita akan membahas tentang definisi fungsi eksponen, bagaimana aplikasinya dalam menyelesaikan masalah serta bagaimana sketsa kurva dan sifat-sifatnya. Pada definisi tersebut bilangan pokok pada fungsi eksponen dibatasi untuk > 0 dan ≠ 1. Coba jelaskan mengapa demikian? Selanjutnya lakukan kegiatan berikut untuk lebih memahami tentang definisi fungsi eksponen. Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan () = . dengan > 0 dan ≠ 1 serta ∈ . merupakan bilangan pokok (basis) merupakan pangkat 6. Jika () = 2 maka (+3) (−1) = ⋯. 7. Diketahui = 4, = 2, dan = 1 2 . Nilai ( −1 ) 2 × 4 −3 = ⋯. 8. SBMPTN 2014 Dasar Jika 4 − 4 −1 = 6 maka (2) sama dengan…. 9. Nilai yang memenuhi persamaan 9 − 12. 3 + 27 = 0 adalah…. 10. Jika 3 −2 = 1 81 dan 2 − = 16, maka nilai + = ⋯. 11. Nilai yang memenuhi persamaan 0,09 1 2 (−3) 0,3 3+1 = 1 adalah…. 12. SNMPTN 2010 Dasar Jika memenuhi 250,25 × 250,25 × … .× 250,25 = 125, maka ( − 3)( + 2) = ⋯. kali
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 17 Kegitan 1.1 Selidiki apakah fungsi-fungsi berikut dapat digolongkan dalam fungsi eksponen! Jelaskan alasanmu ! No. Rumus Fungsi Fungsi Eksponen / Bukan Fungsi Eksponen Alasan 1 () = 5 2 () = 3 3 ℎ() = 1 4 5 6 C.2 Aplikasi Fungsi Eksponen dalam Permasalahan Nyata Setelah mengetahui definisi fungsi eksponen, mungkin muncul pertanyaan di benak kita apa manfaat mempelajari fungsi eksponen? Dan digunakan untuk keperluan apa fungsi eksponen tersebut. Fungsi eksponen memiliki beberapa kegunaan dalam membantu perhitungan matematis dalam beberapa bidang keilmuan, antara lain : 1. Di bidang Biologi Fungsi eksponen biasanya digunakan untuk menentukan banyaknya bakteri yang berkembang biak setelah rentang waktu tertentu. 2. Di bidang Kimia Fungsi Eksponen dapat digunakan untuk menentukan unsur kimia yang meluruh berdasarkan waktu paruhnya. 3. Di bidang Ekonomi Fungsi eksponen dapat digunakan untuk menghitung bunga majemuk. 4. Di bidang Sosial Fungsi eksponen dapat digunakan untuk menentukan pertumbuhan penduduk. Untuk lebih memahaminya, simak beberapa contoh berikut ! Jawab : Jika mula-mula terdapat 0 unsur radioaktif maka permasalahan tersebut dapat kita gambarkan dengan ilustrasi pada tabel berikut : Contoh 1.3 Waktu paruh adalah waktu yang diperlukan suatu unsur kimia sedemikian hingga jumlahnya menjadi setengah dari jumlah mula-mula. Jika suatu unsur radioaktif memiliki waktu paruh 20 jam dan unsur tersebut telah disimpan selama 100 jam, maka dapatkah kalian memodelkan jumlah unsur yang tersisa setelah 200 jam?
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 18 Waktu () Banyaknya unsur radioaktif () Rumus Mula-mula (0) 0 0 = 1 × 0 = ቀ … … ቁ … × 0 20 jam (1) 1 = 1 2 × 0 1 = 1 2 × 0 = ( 1 2 ) … × 0 40 jam (2) 2 = 1 2 × 1 = 1 2 × ( 1 2 × 0) 2 = 1 2 × 1 2 × 0 = ( 1 2 ) …. × 0 dan seterusnya…… …………. …………….. 100 jam (5) 5 = 1 2 × 4 5 = ( 1 2 ) …. × 0 Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa setelah 100 jam maka banyaknya unsur radioaktif tersebut dapat ditentukan dengan rumus 5 = ቀ 1 2 ቁ 5 × 0. Jawab : Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan ilustrasi berikut : Tahun Banyaknya kasus positif HIV-AIDS () Rumus 2015 (0) 0 = 36 juta 0 = 36 juta 2016 (1) 1 = 0 + (2% × 0 ) 1 = 0(1 + 2%) 2017 (2) 2 = 1 + (2% × 1) 2 = 1 (1 + 2%) = 0 (1 + 2%)(1 + 2%) = 0 (1 + 2%) 2 dan seterusnya…… …………. …………….. 2020 (5) 5 = 4 + (2% × 4) 5 = 0 (1 + 2%) 5 Sehingga pada tahun 2020 banyaknya kasus positif HIV-AIDS sebanyak 5 = 0 (1 + 2%) 5 = 36 × 106 × (1 + 0,02) 5 = 36 × (1,02) 5 × 106 = 39,75 × 106 Contoh 1.4 Pada tahun 2015 kasus positif HIV-AIDS berjumlah sekitar 36 juta jiwa. Jumlah ini meningkat rata-rata 2% setiap tahun dari tahun 2010 hingga 2015. Jika peningkatan kasus positif HIV di tahun-tahun berikutnya diprediksi bertambah secara eksponen pada peningkatan 2% setiap tahun, berapa banyak kasus yang terjadi pada tahun 2020? Sumber : https://pusdatin.kemkes.go.id/ (dengan berbagai penyesuaian) Soal dikutip dari Buku Siswa Matematika Kelas X Program Sekolah Penggerak, Puskurbuk, Kemdikbud.
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 19 Bagaimana, semakin paham bukan? Mari lanjutkan dengan mengerjakan latihan soal berikut! C.3 Grafik Fungsi Eksponen Setelah mengetahui beberapa kegunaan fungsi eksponen mari kita lanjutkan dengan menggambar sketsa grafiknya. Lakukan kegiatan berikut ! Kegiatan 1.2 Gambarlah grafik fungsi eksponen dengan domain pada koordinat kartesius dengan terlebih dulu melengkapi tabel berikut ! −3 −2 −1 0 1 2 3 …. …. …. …. …. …. …. Asesmen Formatif 1.4 1. Dua ratus mg zat disuntikkan ke dalam tubuh pasien yang menderita penyakit kanker paru-paru. Zat tersebut akan dikeluarkan dari dalam tubuh melalui ginjal setiap jam. Jika setiap jam 50% zat tersebut dikeluarkan dari dalam tubuh pasien, berapa mg zat tersebut yang masih tersisa di dalam tubuh pasien setelah 6 jam? 2. Massa suatu zat radioaktif adalah 0,6 kg pada pukul 10 pagi. Tingkat peluruhan zat radioaktif tersebut adalah 15% setiap jam. Berapakah jumlah zat radiaktif tersebut 7 jam kemudian? 3. Seorang petani menabung di bank dengan suku bunga majemuk 6% per tahun. Jika pada tahun 2021 petani tersebut menabung uang sebesar Rp 10.000.000,- dan dia tidak pernah mengambil simpanan pokok maupun bunganya maka berapa jumlah uang petani tersebut pada tahun 2030? Hint : Bunga majemuk adalah bunga yang timbul setiap akhir jangka waktu tertentu yang mempengaruhi besarnya modal dan bunga pada setiap jangka waktunya. 4. Bakteri E.coli menyebabkan penyakit diare pada manusia. Seorang peneliti mengamati pertumbuhan 80 bakteri ini pada sepotong makanan dan menemukan bahwa bakteri ini membelah menjadi 2 setiap seperempat jam. Tentukan banyaknya bakteri setelah 4 jam !
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 20 Kemudian plot setiap koordinat titik yang kalian peroleh pada koordinat kartesius dan hubungkan setiap titik tersebut dengan kurva mulus ! Selanjutnya mari kita identifikasi sifat-sifat grafik fungsi eksponen di atas dengan menjawab beberapa pertanyaan berikut ! 1) Apakah grafik tersebut memotong sumbu y ? Jika Ya tentukan koordinat titik potongnya ! Jawab : 2) Bagaimanakah nilai pada grafik tersebut? Apakah pernah bernilai negatif? Jawab : 3) Apakah grafik tersebut pernah memotong atau menyentuh sumbu ? Jawab : Catatan : suatu garis yang hanya didekati oleh suatu grafik disebut sebagai asimtot. Dengan demikian grafik memiliki sebuah asimtot datar yaitu …. 4) Jika kita baca grafik tersebut dari kiri ke kanan (dari yang bernilai kecil menuju bernilai besar), bagaimanakah nilai nya? Jawab : x y
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 21 Catatan : Suatu grafik dikatakan monoton naik apabila saat nilai semakin besar maka nilai pun semakin besar, dengan kata lain grafik bergerak dari kiri bawah ke kanan atas. Sebaliknya, suatu grafik dikatakan monoton turun apabila saat nilai semakin besar maka nilai justru semakin kecil, dengan kata lain grafik bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Dengan demikian grafik fungsi eksponen bersifat monoton…… Dapat disimpulkan bahwa, sifat-sifat grafik fungsi adalah : 1) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Kegiatan 1.3 Gambarlah grafik fungsi eksponen dengan domain pada koordinat kartesius dengan terlebih dulu melengkapi tabel berikut ! −3 −2 −1 0 1 2 3 …. …. …. …. …. …. …. Kemudian plot setiap koordinat yang kalian peroleh pada koordinat kartesius dan hubungkan tiap titik tersebut dengan kurva mulus ! y x
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 22 Selanjutnya mari kita identifikasi sifat-sifat grafik fungsi eksponen di atas dengan menjawab beberapa pertanyaan berikut ! 1) Apakah grafik tersebut memotong sumbu y ? Jika Ya tentukan koordinat titik potongnya ! Jawab : 2) Bagaimanakah nilai pada grafik tersebut? Apakah pernah bernilai negatif? Jawab : 3) Apakah grafik memiliki asimtot? Jika Ya, tentukan persamaan asimtotnya ! Jawab : 4) Apakah grafik tersebut monoton naik ataukah monoton turun ? jelaskan alasanmu! Jawab : Dengan demikian grafik fungsi eksponen bersifat monoton…… Dapat disimpulkan bahwa, sifat-sifat grafik fungsi adalah : 1) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 4) …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 23 Untuk semakin meningkatkan kemahiran kalian, mari kerjakan proyek berikut ! Tugas Proyek Siapkan milimiter blok ukuran A4, penggaris, pensil, dan pulpen warna ! Bentuklah kelompok-kelompok kerja yang masing-masing kelompok terdiri dari 4 peserta didik kemudian diskusikan dan kerjakan tugas-tugas berikut ! 1. Gambarkan grafik fungsi eksponen () = 2 dan () = 2 (−1) dalam satu bidang kartesius dengan terlebih dahulu membuat tabel untuk menemukan koordinat titik-titiknya! Lalu a) Jelaskan sifat masing-masing grafik b) Jelaskan hubungan grafik () = 2 (−1) dengan () = 2 2. Gambarkan grafik fungsi eksponen () = 2 dan ℎ() = 2 (+1) dalam satu bidang kartesius dengan terlebih dahulu membuat table untuk menemukan koordinat titik-titiknya! Lalu a) Jelaskan sifat masing-masing grafik b) Jelaskan hubungan grafik ℎ() = 2 (+1) dengan () = 2 3. Gambarkan grafik fungsi eksponen () = 2 dan () = 2 + 4 dalam satu bidang kartesius dengan terlebih dahulu membuat table untuk menemukan koordinat titik-titiknya! Lalu a) Jelaskan sifat masing-masing grafik b) Jelaskan hubungan grafik () = 2 + 4 dengan () = 2 4. Gambarkan grafik fungsi eksponen () = 2 dan () = 2 − 4 dalam satu bidang kartesius dengan terlebih dahulu membuat table untuk menemukan koordinat titik-titiknya! Lalu a) Jelaskan sifat masing-masing grafik b) Jelaskan hubungan grafik () = 2 − 4 dengan () = 2 5. Gambarkan grafik fungsi eksponen () = 2 dan () = 3. 2 dalam satu bidang kartesius dengan terlebih dahulu membuat table untuk menemukan koordinat titik-titiknya! Lalu a) Jelaskan sifat masing-masing grafik b) Jelaskan hubungan grafik () = 3. 2 dengan () = 2 6. Jelaskan langkah-langkah mendapatkan grafik () = 3.2 −1 + 4 dengan memanfaatkan pergeseran grafik () = 2 !
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 24 Refleksi Diri Setelah melakukan semua aktifitas dalam kegiatan pembelajaran, kalian dapat melakukan refleksi diri untuk mengetahui seberapa baik kalian memahami materi pembelajaran dan mendeteksi kesulitan-kesulitan yang masih dihadapi. Untuk itu, jawablah beberapa pertanyaan berikut dengan memberi tanda checklist (V) pada kolom yang sesuai ! No Pernyataan SB B C K 1 Saya dapat mendefinisikan fungsi eksponen 2 Saya dapat mengidentifikasi mana yang merupakan fungsi eksponen dan mana yang bukan beserta alasannya 3 Saya dapat menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan fungsi eksponen 4 Saya dapat mencari contoh permasalahan lain yang dapat diselesaikan menggunakan fungsi eksponen 5 Saya dapat menggambar sketsa grafik fungsi eksponen 6 Saya dapat mengidentifikasi sifat-sifat grafik fungsi eksponen berdasarkan perilaku grafiknya. Selanjutnya, uraikan kesulitan-kesulitan yang masih kalian hadapi dan harapan/saran kalian terhadap proses pembelajaran mendatang ! Kesulitan-kesulitan yang masih saya hadapi : Saran/harapan saya terhadap proses pembelajaran mendatang :
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 25 Daftar Pustaka https://www.kelaspintar.id/blog/tips-pintar/penerapan-fungsi-eksponensial-dalam-kehidupan-sehari-hari2-10031/ , dikunjungi pada 28 Juli 2021 Pukul 16.23 WIB https://www.kompas.com/skola/read/2020/12/26/191053369/soal-uas-kimia-waktu-paruh?page=all , , dikunjungi pada 28 Juli 2021 Pukul 16.23 WIB https://id.wikipedia.org/wiki/Waktu_paruh , dikunjungi pada 28 Juli 2021 Pukul 16.23 WIB https://tanya-tanya.com/rangkuman-contoh-soal-pembahasan-eksponen-logaritma/, dikunjungi pada 29 Juli 2021 Pukul 12.05 WIB https://www.ajarhitung.com/2017/01/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_18.html , dikunjungi pada 29 Juli 2021 Pukul 12.10 WIB LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK (LKPD) PANGKAT PECAHAN DAN BENTUK AKAR Tujuan Pembelajaran 10.1 Menyebutkan sifat-sifat eksponen dan logaritma serta menggunakannya dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen dan logaritma secara kreatif dan mandiri. Profil Pelajar Pancasila ▪ Bernalar kritis ▪ Kreatif ▪ Mandiri ▪ Bergotong royong Alokasi Waktu 4 Pertemuan (4 x 3 JP) Uraian Kegiatan Pertemuan III (3 JP) : ▪ Menjelaskan definisi bentuk akar ▪ Menjelaskan hubungan pangkat pecahan/ rasional dengan bentuk akar ▪ Melakukan operasi aljabar pada bentuk akar ▪ Merasionalkan penyebut bentuk akar ▪ Menyederhanakan bentuk akar Kompetensi Awal Peserta didik terampil menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen. D. BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN/ PANGKAT RASIONAL Pada pertemuan sebelumnya kita telah terampil menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar yang memuat eksponen dengan pangkat berupa bilangan bulat. Saat ini kita akan melanjutkan dengan pangkat berupa bilangan pecahan/rasional serta hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar.
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 26 D.1 Bentuk Akar Bentuk akar didefinisikan sebagai bilangan-bilangan di bawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya maka tidak dapat menghasilkan bilangan rasional. Beberapa contoh bentuk akar antara lain √2, √3, , √4 3 , √5, dan masih banyak yang lainnya. Untuk lebih memahaminya, selidiki bilangan-bilangan berikut termasuk bentuk akar atau tidak ! No Bilangan Bentuk akar / bukan bentuk akar Alasan 1 √4 2 √8 3 3 √7 4 √ 4 9 5 √0,25 D.2 Pangkat Pecahan Bentuk 5 1 2, 7 2 3, 3 − 3 4 merupakan contoh-contoh eksponen dengan pangkat berupa bilangan pecahan. Selanjutnya bentuk-bentuk tersebut juga dapat kita nyatakan menjadi bentuk akar dengan definisi sebagai berikut ! Contoh 1.5 1. Nyatakan bentuk-bentuk akar berikut ke dalam pangkat pecahan ! a) √5 2 3 b) √ 3 5 c) √ 5 2. Nyatakan pangkat-pangkat pecahan berikut ke dalam bentuk akar ! a) 7 1 2 b) 3 7 Jawab : 1. a) √5 2 3 = 5 2 3 b) √ 3 5 = 3 5 c) √ 5 = 5 2 2. a) 7 1 2 = √7 1 2 = √7 b) 3 7 = √ 3 7 D.3 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar Bentuk-bentuk akar dapat dikenai operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Untuk lebih memahaminya, simak contoh berikut ! Untuk setiap bilangan pangkat rasional dengan dan bilangan bulat dan > 0, maka = ൫√ ൯ atau = √
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 27 Contoh 1.6 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ! 1. 4√20 + 3√5 − √80 + √16 3 − √2 3 2. 4√5 2 3 × 3√5 6 ÷ 2 √5 3 12 Jawab : 1. 4√20 + 3√5 − √80 + √16 3 − √2 3 = 4.2√5 + 3√5 − 4√5 + √8.2 3 − √2 3 = 8√5 + 3√5 − 4√5 + √8 3 . √2 3 − √2 3 = (8 + 3 − 4)√5 + 2√2 3 − √2 3 = 7√5 + (2 − 1)√2 3 = 7√5 + √2 3 2. 4√5 2 3 × 3√5 6 × 2√2 × √3 ÷ 2 √5 3 12 = 4. 5 2 3 × 3. 5 1 6 × 2√2 × √3 ÷ ቀ2. 5 3 12ቁ = 4.5 2 3×3.5 1 6 2.5 3 12 × 2√2 × √3 = 4×3×2 2 × 5 2 3 + 1 6 − 3 12 × √2 × √3 = 12. 5 8+2−3 12 × √6 = 12. 5 7 12 × √6 = 12 √5 7 12 × √6 Kesimpulan apa yang kalian peroleh dari operasi aljabar pada bentuk akar? Jelaskan ! D.4 Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Dalam beberapa kasus kita sering menjumpai bilangan berbentuk pecahan dengan penyebutnya berbentuk akar. Dalam hal ini kita perlu merasionalkan penyebut tersebut untuk mempermudah dalam menyederhanakan maupun melakukan operasi aljabar. Misalnya kita jumpai bentuk 6 √3 , 4 √5+√3 , 10 √7−√2 dan lain sebagainya. Berikut adalah rangkuman teknik-teknik merasionalkan penyebut bentuk akar. a) Bentuk √ , penyebut pecahan tersebut yaitu √ dapat dirasionalkan dengan mengalikan √ √ , sehingga kita peroleh √ = √ × √ √ = √ Contoh : 6 √3 = 6 √3 × √3 √3 = 6 3 √3 = 2√3 Asesmen Formatif 1.5 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ! 1. √28 + 2√63 − 5√5 + √45 − √5 3 + √135 3 2. 3√3 × 2√10 ÷ 12√2 3. 4√2 3 × 5√14 3 ÷ 10√7 3 + 3√4 3 − 2 2 3 4. 3√3 2 5 × 2 √3 3 10 + 5 √3 7 10
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 28 b) Bentuk √+√ dapat dirasionalkan penyebutnya dengan mengalikan bentuk sekawan dari penyebut tersebut. √ + √ memiliki sekawan √ − √, dengan demikian kita peroleh √ + √ × √ − √ √ − √ = ൫√ − √൯ − Contoh : 4 √5 + √3 = 4 √5 + √3 × √5 − √3 √5 − √3 = 4൫√5 − √3൯ 5 − 3 = 4 2 ൫√5 − √3൯ = 2൫√5 − √3൯ c) Bentuk √−√ dapat dirasionalkan penyebutnya dengan mengalikan bentuk sekawan dari penyebut tersebut. √ − √ memiliki sekawan √ + √, dengan demikian kita peroleh √ − √ × √ + √ √ + √ = ൫√ + √൯ − Contoh : 10 √7 − √2 = 10 √7 − √2 × √7 + √2 √7 + √2 = 10൫√7 + √2൯ 7 − 2 = 10 5 ൫√7 + √2൯ = 2൫√7 + √2൯ D.5 Menyederhanakan bentuk √( + ) ± √ Bentuk √( + ) + 2√ dapat disederhanakan menjadi √ + √, sedangkan bentuk √( + ) − 2√ dapat disederhanakan menjadi √ − √. Mengapa demikian? Simak ilustrasi berikut ! Ilustrasi 1 : ൫√ + √൯ 2 = ൫√൯ 2 + 2√√ + ൫√൯ 2 ൫√ + √൯ 2 = + + 2√ √ + √ = √( + ) + 2√ Terbukti bahwa bentuk √( + ) + 2√ = √ + √ Selanjutnya lengkapilah ilustrasi 2 berikut ! Ilustrasi 2 : ൫√ − √൯ 2 = (… ) 2 − 2. (… ). (… ) + (… ) 2 ൫√ − √൯ 2 = ⋯ + ⋯ − 2√ √ − √ = √( + ) − 2√ Terbukti bahwa bentuk √( + ) − 2√ = √ − √, dengan > . Contoh 1.6 Sederhanakan bentuk √14 + 4√6 ! Jawab :
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 29 Untuk dapat menyederhanakannya maka bentuk √14 + 4√6 harus kita ubah terlebih dulu menjadi bentuk √( + ) + 2√. Dengan demikian kita peroleh √14 + 4√6 = √14 + 2.2√6 = √14 + 2√24 bentuk ini sudah sesuai dengan bentuk umumnya, selanjutnya kita buat bilangan 14 menjadi ( + ) dan bilangan 24 menjadi . , sehingga kita peroleh = 12 dan = 2, maka √14 + 4√6 = √12 + √2 = 2√3 + √2 3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ! a) 15 √75 − 1 2−√3 b) 7 2+√8 + 11 2−√8 c) 4 √3+√2 − 3 √2−1 + 5 √3−√2 d) 10 √5+√6 + 12 √6+√7 + 14 √7+√8 Asesmen Formatif 1.6 1. Rasionalkan penyebut pada pecahan-pecahan berikut ! a) 16 √48 b) 3 5√ c) 11 5−√3 d) √24+√54−√150 √96 e) 5−√3 5+√3 2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ! a) √5 + 2√6 b) √8 − 2√15 c) √21 − 4√5 d) √19 + 8√3 e) √43 + 12√7 f) √49 − 20√6 4 g) √54 + 14√5 + √12 − 2√35 + √32 − 10√7
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 30 Refleksi Diri Setelah melakukan semua aktifitas dalam kegiatan pembelajaran, kalian dapat melakukan refleksi diri untuk mengetahui seberapa baik kalian memahami materi pembelajaran dan mendeteksi kesulitan-kesulitan yang masih dihadapi. Untuk itu, jawablah beberapa pertanyaan berikut dengan memberi tanda checklist (V) pada kolom yang sesuai ! No Pernyataan SB B C K 1 Saya dapat menjelaskan definisi bentuk akar 2 Saya dapat mengidentifikasi mana yang merupakan bentuk akar dan mana yang bukan beserta alasannya 3 Saya dapat menjelaskan hubungan pangkat pecahan/ rasional dengan bentuk akar 4 Saya dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar 5 Saya dapat merasionalkan penyebut bentuk akar 6 Saya dapat menyederhanakan bentuk akar. Selanjutnya, uraikan kesulitan-kesulitan yang masih kalian hadapi dan harapan/saran kalian terhadap proses pembelajaran mendatang ! Kesulitan-kesulitan yang masih saya hadapi : Pengayaan 4. Jika √2−√3 √2+√3 = + √6, tentukan nilai + ! 5. Jika 1 √2+√3 + 1 √3+√4 + 1 √4+√5 + ⋯ + 1 √1.000.000+√1.000.001 = √ − √. Maka nilai dari − = ⋯ 6. Nyatakan dalam dan pada √√ 3 √ √ 3 = !
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 31 Saran/harapan saya terhadap proses pembelajaran mendatang : Daftar Pustaka Marwanta, dkk, 2006, Matematika SMA Kelas X, Jakarta, Yudhistira 2. Asesmen Diagnostik Kognitif Asesmen dilakukan dengan menggunakan aplikasi Quizziz atau Kahoot 1) Bentuk eksponen yang tepat untuk menyatakan 3 × 3 × 3 × 3 × 3 adalah…. A. 3.5 D. 3. 3 5 B. 3 5 E. 3. 5 3 C. 5 3 ANS: B 2) Bentuk sederhana dari 5 2 × 3 7 adalah…. A. 8 9 D. 5 3 2 7 B. 15 14 E. () 8 C. 2 −5 ANS: A 3) Bentuk sederhana dari ቀ 2 42 ቁ 3 adalah…. A. 1 26 D. 1 23 B. 1 86 E. 1 83 C. 1 3 ANS: E 4) Bentuk sederhana dari 3 2+3 22 6 adalah…. A. 4 2 D. 2 B. 4 E. 2 C. 2 2 ANS: E 5) Jika 1 dan 2 memenuhi persamaan 2 2 − − 3 = 0 maka nilai dari 1 + 2 adalah…. A. 5 4 D. 1 2
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 32 B. 1 E. 1 4 C. 3 4 ANS: D 3. Asesmen Formatif Asesmen dilakukan selama proses pembelajaran berlangsung, baik pada saat melakukan kegiatan pada LKPD maupun pada saat mengerjakan soal latihan. Asesmen Formatif 1.1 (Soal Latihan) A. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut ! 1) 2 7 × 2 3 8 + 4 15 2) 274×9 3 3 5×81 3) ቀ (3) 3 2 ቁ 5 4) ቀ 3 . ቁ 3 × 3 . 4 2 5) 2 5×3 5×4 2 122 6) ቀ −2 ቁ 3 × (−) 4 × 2 5 2 7) −4 3×2 5 ቀ 8 ቁ 8) (− × ) 3 × ቀ − 2 ቁ 4 × ቀ 3 ቁ 5 9) 3 2+2−3 2 3 2+1+3 2 10) 5 2+3−5 2+1 .3 2 5 2+2−5 2+1.3 B. Tentukan nilai pada variabel-variabel berikut sehingga persamaan berikut benar ! 1) 2 3+5 = 64 2) 1 5 ൫3 (3+2) ൯ + 27 5 = 81 3) 5 2− 4. 5 − 5 = 0 C. Pengayaan Tentukan nilai − yang memenuhi sistem persamaan berikut ! 3 (−2+1) = 9 −2 4 (−+2) = 32(−2+1)
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 33 4. Instrumen Refleksi Diri No Pernyataan SB B C K 1 Saya dapat mendefinisikan eksponen 2 Saya dapat menyebutkan semua sifat eksponen 3 Saya dapat membuktikan kebenaran semua sifat eksponen 4 Saya dapat menggunakan sifat-sifat eksponen tersebut untuk menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat eksponen 5 Saya dapat menentukan nilai suatu variabel pada bentuk persamaan eksponen 5. Bahan Bacaan Guru dan Peserta Didik a) Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) yang disusun oleh guru b) Buku Siswa Matematika Kelas X Program Sekolah Penggerak yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. c) Buku-buku lain yang relevan d) Artikel-artikel di internet. 6. Glosarium Eksponen Bentuk perkalian suatu bilangan yang sama secara berulang-ulang. Logaritma Suatu operasi kebalikan dari perpangkatan yang digunakan untuk menentukan besar pangkat suatu bilangan pokok jika diketahui hasil perpangkatannya. Bilangan real Suatu bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal. Bilangan real memiliki kata lain bilangan nyata, yang meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dimana a dan b berupa bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Bilangan bulat Bilangan yang terdiri dari bilangan cacah {0, 1, 2, 3, …..} dan negatifnya yaitu {……, -3, -2, -1}. Bilangan bulat positif Bilangan yang terdiri dari {1, 2, 3, 4,…..} Bilangan bulat negatif Bilangan yang terdiri dari {…., -3, -2, -1} Bentuk akar Bilangan dibawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional. Fungsi eksponen Suatu fungsi yang dinyatakan dengan () = . , dengan > 0, ≠ 1 dan , anggota bilangan real. Fungsi pertumbuhan Suatu fungsi yang menyatakan bertambahnya suatu besaran nilai terhadap besaran nilai lainnya. Fungsi peluruhan Suatu fungsi yang menyatakan berkurangnyanya suatu besaran nilai terhadap besaran nilai lainnya. Variabel Simbol yang melambangkan kuantitas suatu dalam suatu ekspresi matematika, serta sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Asesmen Upaya untuk mendapatkan informasi tentang hasil pembelajaran untuk mengukur seberapa baik tujuan pembelajaran tercapai. Asesmen diagnostik kognitif Asesmen yang dilakukan di awal pembelajaran untuk mengetahui kondisi awal peserta didik pada aspek kognitif dengan tujuan pembelajaran di kelas dapat disesuaikan dengan hasil asesmen diagnostik kognitif tersebut.
NUR PUJI LESTARI SMAN 70 34 Asesmen Formatif Penilaian yang berorientasi pada proses pembelajaran agar peserta didik memperoleh umpan balik dari guru untuk memperbaiki capaian belajarnya. 7. Daftar Pustaka Susanto, Dicky dkk, 2021, Matematika SMA/SMK Kelas X Program Sekolah Penggerak, Jakarta, Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi. Marwanta, dkk, Matematika SMA Kelas X, Jakarta, Yudhistira https://www.utakatikotak.com/Soal-Bilangan-Berpangkat-Bulat-Positif-Negatif-danNol/kongkow/detail/18727#, dikunjungi pada 18 juli 2021 pukul 16.00 WIB