แคลคูลัส

1

ภาคตัดกรวย (Conic Section)

กำเนิดภาคตดั กรวย
ภาคตัดกรวย (conic section) หมายถึง เส<นโค<งที่ได<จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด<วยระนาบแบน ภาค

ตัดกรวยนี้ถูกตั้งเปOนหัวข<อศึกษาตั้งแตTสมัย 200 ปWกTอนคริสตXศักราชโดย อะพอลโลเนียสแหTงเพอรXกา (Apollonius
of Perga) ผู<ที่มีชีวิตอยูTในชTวง 262 – 190 ปWกTอนคริสตXศักราช ผู<ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค<นพบสมบัติหลาย
ประการของภาคตัดกรวย พบวTาภาคตัดกรวยไมTเพียงแตTเปOนเส<นโค<งที่สวยงามแตTนำไปใช<ประโยชนXได<หลายด<าน
ตTอมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช<ประโยชนXหลายแบบ ไดแ< กT

• ค.ศ.1590 กาลิเลโอ (Galileo Galile) พบวTาขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนท่ี
เปนO พาราโบลา

• ค.ศ.1609 เคปเลอรX (Kapler) พบวTาวงโคจรของดาวเคราะหรX อบดวงอาทิตยเX ปนO วงรี
• ค.ศ.1668 ไอแซค นิวตัน (Isaac Newton) เปOนบุคคลแรกที่ประดิษฐXกล<องโทรทรรศนXชนิด

สะท<อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอรXโบลา ในปwจจุบันมี
การศึกษาเกี่ยวกับการนำสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช<ประโยชนXในด<านตTางๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา
เชTน ใช<จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร
ของพาราโบลา) เปOนอุปกรณXเก็บรวบรวมสัญญาณ เชTน จานรับสTงสัญญาณในระบบโทรคมนาคม
หรือใช<เปOนอุปกรณXเก็บพลังงานจากดวงอาทิตยX หรือใช<เปOนอุปกรณXสำหรับสะท<อนแสง เชTน โคม
ไฟ การหาตำแหนTงของเรือในทะเลโดยใช<จุดตัดของไฮเพอรXโบลา การทำงานของอุปกรณXที่ใช<
สลายก<อนนิว่ ในไตใชส< มบัตกิ ารสะทอ< นของวงรี
การศึกษาเรื่องภาคตดั กรวย
การศึกษาภาคตัดกรวยสามารถศึกษาได<หลายแนวทาง ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช<วิธีทาง
เรขาคณติ วิเคราะหX

การศกึ ษาภาคตัดกรวย

2

กรวยเปนB รปู เรขาคณิตทม่ี วี ธิ ีการสรKางในเชงิ คณิตศาสตรN ดงั นี้
ให< a และ b เปOนเส<นตรงใดๆ สองเส<นตัดกันที่จุด V เปOนมุมแหลม ให<เส<นตรง a และจุด V ตรึงอยูTกับที่

ผิวที่เกิดจากการหมุนเส<นตรง b รอบเส<นตรง a (โดยมุม ระหวTางเส<นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกวTา กรวย
กลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเทTานั้นและจะเรียกสั้นๆ
วาT กรวย เสน< ตรงทต่ี รงึ อยูกT บั ที่ เรียกวาT แกน (axis) ของกรวย จดุ V เรยี กวTา จุดยอด (vertex)

เส<นตรง b ที่ผTานจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกวTา ตัวกTอกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V
แบงT กรวยออกเปOนสองข<าง (nappes) ซง่ึ อยTคู นละด<านของจุดยอด

ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจาก
ระนาบที่ไมTผTานจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข<างเดียว
ได<ภาคตดั กรวยท่เี รยี กวาT วงกลม (circle)

เมื่อระนาบไมTตั้งฉากกับแกนของกรวยแตTทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญTกวTา ระนาบจะตัดกรวย
ข<างเดียวได<ภาคตดั กรวยทเ่ี รยี กวาT วงรี (ellipse)

เมื่อระนาบขนานกับตัวกTอกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข<างเดียว ได<ภาคตัดกรวยที่เรียกวTา
พาราโบลา (parabola)

และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข<างได<ภาคตัดกรวยสองข<างได<ภาคตัดกรวย
ทเี่ รียกวTา ไฮเพอรโX บลา (hyperbola)

ภาคตดั กรวยชนิดตTาง ๆ

3

ถ<าระนาบผTานจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเปOนจุด หรือเส<นตรงหนึ่งเส<น หรือเส<นตรง
สองเสน< ตัดกัน ซ่ึงเรยี กลักษณะดงั กลาT ววาT ภาคตัดกรวยลดรปู (degenerate conics)

ภาคตดั กรวยลดรูป

วงกลม (Circle)
วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดซึ่งหTางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปOนระยะทางคงตัว จุดคงที่ เรียกวTา จุดศูนยXกลาง

สTวนระยะคงทีเ่ รยี กวTา รัศมี
นิยามของสมการวงกลม คือ วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หTางจากจุดๆหนึ่งตรึงอยTู

กับที่เปOนระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยูTกับท่ีนี้เรียกวTา จุดศูนยXกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัว
ดังกลาT วเรยี กวาT รศั มี (radius) ของวงกลม

สมการวงกลม

จุด C(h,k) เปOนจดุ คงที่ เรียกวาT จดุ ศูนยกX ลาง
|CP| = ระยะทางคงที่ เรียกวTารัศมี

รปู แบบของสมการวงกลม จดุ ศูนยNกลาง รศั มี
รปู แบบสมการวงกลม
(0, 0) r
x" + y" = r" r
(h, k)
(x − h)" + (y − k)" = r" 2D" + E" − 4F
x" + y" + Dx + Ey + F = 0 (− D , − E2) 2
2

รูปแบบของสมการวงกลม

4

ข<อสงั เกตุ
1. ถา< D" + E" – 4F = 0 กราฟท่ีไดจ< ะเปนO จุดวงกลม
2. ถ<า D2 + E2 – 4F > 0 กราฟทีไ่ ด<จึงเปOนวงกลม
3. ถ<า D2 + E2 – 4F < 0 จะไมเT กดิ กราฟในระบบจำนวนจริง

ขอ< สำคญั
การหาจดุ ศนู ยกX ลางของวงกลม จะหาได<ด<วยวิธดี งั ตTอไปน้ี
1. โจทยกX ำหนดมาให<โดยตรง เชนT ใหจ< ุดศูนยกX ลางคอื C(h,k)
2. โจทยกX ำหนดมาใหท< างออ< ม เชนT จุดที่เสน< ตรงตัดกัน
3. โจทยXหำหนดมาให< โดยมีความสมั พนั ธXกับกราฟอ่นื ๆ

การหาความยาวรศั มี
การหาความยาวรศั มี จะหาไดด< ว< ยวิธีดงั ตอT ไปนี้
1. โจทยกX ำหนดมาใหโ< ดยตรง (2¶ )
2. โจทยXกำหนดมาให<ทางออ< ม เชนT ความยาวระหวาT งจุดสองจุด หาได<จากสตู ร

| : "| = ;( : − ")" + ( : − ")"

3. โจทยXกำหนดจุดศูนยกX ลาง (h, k) และเสน< สัมผสั Ax + By + C = 0 เราจะหาท้งั เส<นผาT น
ศนู ยXกลางและรศั มไี ด<จากสตู รตอT ไปน้ี

เสKนผYานศนู ยกN ลาง = | B B |

; B

รศั มี = | B B |
; B

5

ความยาวของเสนK สัมผสั
ให< |PQ| เปOนความยาวของเส<นสมั ผสั ท่ลี ากจากจดุ P มาสัมผัสวงกลมท่ีจดุ Q
1. ถ<าสมการวงกลมคือ x" + y" = r" แล<ว |PQ| = ;x:" + y:" − r" ดงั รูป

PQx:, y:R

2. ถา< สมการวงกลมคอื (x − h)" + (y − k)" = r" แล<ว
|PQ| = ;( : − ℎ)" + ( : − )" − " ดังรปู

PQx:, y:R

3. ถ<าสมการวงกลมคือ x" + y" + Dx + Ey + F = 0 แลว<
|PQ| = ;x" + y" + Dx + Ey + F ดังรปู

D E2T PQx:, y:R
2
D S− , −

ตัวอยาY งโจทยN
ตัวอยาY งท่ี 1

จงเขยี นกราฟของสมการ (x + 2)" + (y – 3)" = 16

( + 2)" + ( − 3)" = 16
Q − (−2)R" + ( − 3)" = 16

(x − h)" + (y − k)" = r"

6

วิธีทำ กราฟของสมการที่กำหนดให<เปOนวงกลม ในการเขียนกราฟ จะต<องทราบตำแหนTงของจุด
ศูนยXกลางและความยาวของรัศมีของวงกลม ซึ่งหาได<โดยการเทียบสมการที่กำหนดให<กับรูปแบบมาตรฐานของ
สมการวงกลม จะพบวาT h = -2, k = 3 และ r – 4 ดังน้นั วงกลมมจี ดุ ศูนยกX ลางอยTูที่ (-2, 3) และรศั มียาว 4 หนวT ย
การเขียนวงกลมขั้นแรก ลงจุดศูนยXกลางที่จุด (-2, 3) และเนื่องจากรัศมีของวงกลมยาว 4 หนTวย ลงจุดอีก 4 จุด
หTางไปจากจุดศูนยXกลางไปทางด<านซ<าย ทางด<านขวา ทางด<านลTาง และทางด<านบน 4 หนTวย แล<ววาดวงกลมผTาน
จดุ 4 จุดน้ีจะไดว< งกลมดังแสดงในรปู

ตัวอยาY งท่ี 2
จงเขียนรปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรศั มียาว 3 หนวT ย และจุดศนู ยXกลาง อยูTที่ (2, -1)
วิธที ำ จากรปู แบบมาตรฐานของวงกลม (x – h) " + (y – k)" = r"
แทน r, h และ k ดว< ย 3, 2 และ -1 ตามลำดบั

(x – 2)" + (y – (−1))" = 32
(x – 2)" + (y + 1)" = 9

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หนTวย และจุดศูนยXกลางอยูTที่จุดกำเนิด (0, 0)
คอื x2 + y2 = r2
วงกลมที่มีจุดศูนยXกลางอยูTที่จุดกำเนิดและรัศมียาว 1 หนTวย เรียกวTา วงกลมหนึ่งหนTวย (unit
circle) และมีสมการเปOน x2 + y2 = 1 ดงั แสดงในรูป

7

จากสมการของวงกลมในตวั อยTางที่ 2

(x – 2)" + (y + 1)" = 9

เมือ่ หาผลการยกกำลังสองของ x – 2 และ y + 1 จะได<
x"– 4x + 4 + y" + 2y + 1 = 9 หรือ x" + y" – 4x + 2y – 4 = 0

ซึ่งเปOนกรณีหนึ่งของสมการ x" + y" + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปOนคTาคง
ตัว สามารถพิสูจนXได<วTาสมการในรูปแบบ x" + y " + ax + by + c = 0 มีกราฟเปOน
วงกลม หรอื จุดหน่ึงจดุ หรือไมTมกี ราฟ
ตัวอยTางเชTน กราฟของสมการ x" + y" = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0) สมการ
x " + y" + 5 = 0 หรือ x" + y" = −5 ไมTมีกราฟ เพราะวTาผลบวกของกำลังสองของ
จำนวนจรงิ เปนO จำนวนลบไมไT ด< ในกรณีท่ีสมการ x " + y" + ax + by + c = 0 มกี ราฟเปนO
วงกลม เรยี กสมการนว้ี Tา รูปแบบทัว่ ไปของสมการวงกลม
ถ<าสมการของวงกลมอยูTในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหมTให<อยูTในรูปแบบมาตรฐานได<
โดยใชว< ิธีการทำให<เปOนกำลังสองสมบูรณX
วงรี (Ellipse)
วงรี คือ เสน< โคง< รปู ไขทT เ่ี หมอื นการดงึ วงกลมใหย< ืดออกตามเสน< ผาT นศูนยXกลางเสน< ใดเส<นหนง่ึ
นิยามสมการวงรี

วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดท1งั หมดในระนาบซ:ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหน:ึงในเซตไปยงั จุด
คงที: 2 จุดมีค่าคงตวั

P:F: + P:F" = P"F: + P"F" = คา่ คงตวั

จากบทนิยามนี้ มีวิธีงTายๆ ในการวาดรูปวงรี (ดูรูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาดรูปปwกหมุด 2
ตัวที่จุดตTางกัน ใช<เปOนโฟกัสของวงรี ตัดเชือกเส<นหนึ่งยาวกวTาระยะทางระหวTางหมุดทั้งสอง ผูกปลายเชือกแตTละ
ข<างกับหมุด โดยใช<ดินสอรั้งเชื่อให<ตึงตลอดเวลา ขณะที่คTอยๆ เคลื่อนดินสอรอบโฟกัส รอยดินสอที่เกิดขึ้นจะเปOน
รูปวงรีเพราะผลบวกของระยะทางจากจุดปลายดินสอถึงโฟกัสทั้งสองเทTากับความยาวของเชือกที่มีความยาวคงตัว
เสมอ

8

ถ<าเชือกยาวกวTาระยะหTางระหวTางโฟกัสเพียงเล็กน<อย วงรีที่วาดได<จะมีรูปรTางเรียวยาว ดังเชTนใน
รูปที่ 3ก แตTถ<าโฟกัสอยูTใกล<กันเมื่อเปรียบเทียบกับความยาวของเชือก (เชือกยาวกวTาระยะหTางระหวTางโฟกัสมาก)
วงรีทวี่ าดไดจ< ะเกือบกลม ดังเชนT ในรูปทางขวา ยงิ่ ถ<าจุดโฟกัสใกล<กนั เทTาไหรT กจ็ ะยง่ิ กลมขึ้น ๆ

สYวนประกอบของวงรี

F, F’ เปนO จดุ คงท่ี เรยี กวTาจุดโฟกัส (Focus)
V, V’ เปOนเส<นตรงท่ีผTานจุดโฟกสั และมจี ดุ ปลายท้ังสองเปนO จุดยอด เรยี กวTา แกนนอก
B, B’ เปOนเส<นตรงที่ผTานจุดศูนยXกลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยูTบนวงรี
เรียกวาT แกนโท
m1m2, m1‘m2‘เปนO เส<นตรงทผ่ี Tานจดุ โฟกัส และตั้งฉากกนั แกนของรปู เรียกวาT เส<นลาตัสเรกตมั
วงรีที่มจี ดุ ศนู ยกN ลางอยทYู ่จี ดุ (0,0)

9

วงรที ีม่ จี ดุ ศนู ยNกลางอยทYู จี่ ดุ กำเนิดและแกนเอกอยูYบนพกิ ัด Z[
Z[ ][ ^[ ][
สมการรปู แบบมาตรฐาน \[ + ^[ = 1, a > b > 0 + \[ = 1, a > b > 0

จุดยอด (−a, 0), (a, 0) (0, −a, ), (0, a)

แกนเอก อยูบT นแกน X อยTบู นแกน Y
มีความยาว 2a หนวT ย มีความยาว 2a หนTวย
แกนโท อยบูT นแกน X อยTบู นแกน X

มีความยาว 2b หนวT ย มีความยาว 2b หนTวย
โฟกสั (−c, 0), (c, 0) ; c" = a" − b" (0, −c), (0, c) ; c" = a" − b"

กราฟ

สรุปสมการวงรี

+ = รปู สมการ + =

(0, 0) จุดศูนยกX ลาง (0, 0)
จดุ ยอด
V(a, 0), Vf(−a, 0) จุด Focus V(0, a), Vf(0, −a)
ความยาวแกนเอก
F(c, 0), Ff(−c, 0) ความยาวแกนโท F(0, c), Ff(0, −c)
จุดปลายแกนโท
|2a| ความยาวลาตัสเรกตัม |2a|
ขอK ความจำ b" = a" − c"
|2b| |2b|

B(0, b), Bf(0, −b) B( , 0), Bf(− , 0)

2b" 2b"
|a| |a|

10

ตัวอยาY งโจทยN Z[ ][
:i j
ตวั อยYางที่ 1 วงรีรปู หนึ่งมีสมการเปนO + = 1

จงหาโฟกสั จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท และเขียนวงรี ][
Z[ ][ Z[ ^[
วธิ ีทำ จากสมการ :i + j = 1 เมื่อเทียบกับรปู แบบมาตรฐาน \[ + = 1

จะได<วTา a" = 16, b" = 4 นัน่ คือ a = 4, b = 2

เนอ่ื งจากพจนX a" เปนO ตัวสTวนของพจนX x"
แกนเอกจงึ อยบูT นแกน X ถา< ให<จดุ (−c, 0) และ (c, 0) เมื่อ c > 0 เปOนโฟกัส
จะได<วTา c" = a"– b" = 16 – 4 = 12 นั่นคือ c = √12

ดงั น้ัน สรุปได<วาT
โฟกัสของวงรี คือ (−√12, 0) และ (√12, 0)
จดุ ยอด คือ (−4, 0) และ (4, 0)

แกนเอกมีความยาว 8 หนวT ย
แกนโทมีความยาว 4 หนTวย
กราฟวงรแี สดงไดด< งั รูปน้ี

พาราโบลา (Parabola)
นยิ ามของสมการพาราโบลา
พาราโบลา คอื เซตของจุดบนพ้นื ระนาบซงึ่ มีระยะหาT งจากจุดคงท่ี เทาT กับระยะที่หาT งจากเส<นคงท่ี

11

จดุ คงที่ คอื จุดโฟกัส (Focus)
เสKนตรงที่คงท่ี คอื เสน< ไดเรกตรกิ ซX (Directrix)
เสKนลาตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือเสน< ตรงทีล่ ากผาT นจดุ โฟกสั และตง้ั ฉากกบั แกนของรปู
แกนของรูปหรอื แกนสมมาตร คอื เส<นตรงทีล่ ากผTานจุดยอดและผTานจดุ โฟกัส
คอรดN ของพาราโบลา คือเสน< ตรงท่ีลากเชือ่ มจุด 2 จุด ทต่ี าT งกนั ของพาราโบลาและคอรXดท่ลี าก
ผาT นจุดโฟกัสเรยี กวาT Focul สวT นคอรXดท่ีลากผTานจดุ โฟกสั ดว< ย และต้งั ฉากกับแกนของรูปด<วย เรียกวTา ลาตัสเรก
ตัม (Latus Recrum)
ขKอสังเกตุ
จากสมการ จะต<องมตี ัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยูใT นรปู กำลังสอง และอกี ตวั หนงึ่ ยกกำลังหนง่ึ และอยTู
ท่เี ทอมที่บวกลบกัน กราฟทไ่ี ดจ< งึ จะเปOนกราฟพาราโบลา
รูปแบบของพาราโบลาทีม่ จี ุดศนู ยXกลางอยูทT จ่ี ุด (0,0)

พาราโบลาซ:ึงมีจุดยอดท:ีจุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน y

พาราโบลาซ:ึงมีจุดยอดท:ีจุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน x

12

สามารถสรปุ สมการพาราโบลาออกมาไดดK งั น้ี y" = 4cx

= รปู สมการ V(0, 0)
F(c, 0)
v(0, 0) จุดยอด
x = −c
F(0, c) จุด Focus |4c|

y = −c สมการเส<นไดเรกตรกิ ซX รูปตะแคงขวา (เปด› ขวา)
รปู ตะแคงซ<าย (เปด› ซา< ย)
|4c| ความยาวเสน< ลาตัสเรกตัม
รูปหงาย (เปด› บน) ถ<า c > 0 (c, 2c), (c, −2c)

รปู หงาย (เป›ดบน) ถา< c < 0
(−2c, c), (2c, c) จุดปลายเส<นลาตสั เรกตัม

ขอK ความจำ b" = a" − c"

ตัวอยYางโจทยN
ตัวอยYางท่ี 1 จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดโฟกสั (0,3) และจุดยอด (0,0)

วิธีทำ จากโจทยXทกี่ ำหนดให< เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได<ดังน้ี

จากรปู เปOนพาราโบลาหงาย มีจดุ ยอดคือ (0,0) จดุ โฟกัสคอื (0,3) และได<คาT c=3
สมการพาราโบลาของกราฟน้คี อื x" = 4cy แทนคTา c=3 ในสมการจะได<

x" = (4)(3)y
x" = 12y

13

ไฮเพอรโN บลา (Hyperbola)
นยิ ามของสมการไฮเพอรโN บลา
ไฮเพอรXโบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดท้ังหมดในระนาบซึง่ ผลตTางของระยะทางจากจดุ ใด ๆ

ไปยงั จุด F1 และ F2 ทีต่ รงึ อยTูกบั ทมี่ ีคTาคงตัว โดยคาT คงตัวนอ< ยกวาT ระยะหTางระหวTางจดุ คงทท่ี ต่ี รงึ อยTกู ับทท่ี ง้ั สอง
จุด F1 และ F2 ดังกลTาวนเ้ี รยี กวาT โฟกสั (Focus) ของไฮเพอรXโบลา





ใหร< ะยะทางจากจดุ F1 และ F2 ไปยังเสน< กราฟมคี TาเทาT กบั r1=F1 และ r2=F2 และระยะทาง
ระหวTางจุด F และจุด F2 มคี าT เทาT กับ 2c หรือเรียกอีกอยTางวTาคาT k ซง่ึ คTา k นี้จะมีคาT เปนO บวกเสมอ

r2-r1 = k
ถา< จดุ P ซง่ึ อยูบT นเส<นกราฟด<านซ<ายมอื อยTบู นแกน x แล<ว

k = (c+a) – (c-a) = 2a
ดังน้นั สามารถคำนวณคาT k=2a ได< หรอื นน่ั ก็คอื ระยะทางระหวTางจดุ ยอดของกราฟไฮเพอรXโบลา
ทั้งสอง ขอ< สงั เกตุคอื เส<นกราฟพาราโบลาทเ่ี กิดจาดจดุ โฟกัส F1 จะมีเส<นกราฟทเี่ กิดจาด F2 สะท<อนเหมอื นกันอยูT
ในฝžwงตรงขา< มเสมอ

14

สมการไฮเพอรNโบลา
รปู แบบของสมการไฮเพอรXโบลาจะแบTงออกตามรปู กราฟสมการสองแบบ คือไฮเพอรโN บลาแบบ

ตะแคง (ซ<ายขวา) และไฮเพอรโN บลาแบบต้ัง (บนลาT ง) โดยทั้งสองรูปแบบมสี มการดงั นี้

ไฮเพอรNโบลาตะแคง ไฮเพอรNโบลาตง้ั

สมการไฮเพอรXโบลาคอื สมการไฮเพอรโX บลาคอื
(x − h)" (y − k)"
a" − b" (y − k)" − (x − h)" = 1
a" b"

ถ<าจุดศูนยXกลางของสมการ c อยูทT จ่ี ุด (0,0) เราจะได< ถา< จดุ ศนู ยกX ลางของสมการ c อยูTทีจ่ ดุ (0,0) เราจะได<
สมการไฮเพอรXโบลาท่จี ุดกำเนดิ ดงั น้ี
x" y" สมการไฮเพอรโX บลาทีจ่ ดุ กำเนดิ ดังน้ี
a" b" y" x"
− = 1 a" − b" = 1

สงั เกตวาT หน<า x เปOนบวก ดังน้ันแกนตามขวางจึง สังเกตวาT หน<า x เปOนบวก ดังน้นั แกนตามขวางจงึ
วางตวั ในแนวแกน x (a อยูกT ับ x)แกนตามขวาง (แกน วางตัวในแนวแกน x (a อยกTู บั x)แกนตามขวาง (แกน
ท่ีลากตัดก่งึ กลางของกราฟ) มคี วามยาวเปนO 2a ทลี่ ากตดั กงึ่ กลางของกราฟ) มคี วามยาวเปOน 2a
แกนสงั ยคุ มีความยาวเปนO 2b แกนสงั ยคุ มคี วามยาวเปนO 2b
ระยะโฟกสั มคี วามยาว ระยะโฟกัส มีความยาว

c = ;(a" + b") c = ;(a" + b")

ขอK สังเกตุ: a ไมTจำเปนO ต<องยาวกวTา b เหมอื นในสมการวงรี แตTถา< a=b จะได<สเ่ี หลีย่ มจัตรุ สั อยูตT รงกลาง จะ
เรียกวTาเปOน ไฮเพอรXโบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)

15

ตวั อยYางโจทยN
ตัวอยYางท่ี 1 จงหาจุดศนู ยกX ลาง จดุ โฟกสั จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยคุ

ความยาวเส<นลาตสั เรกตมั คาT เอ็คเซนตริกซติ ี (e) และสมการเส<นกำกับของไฮเพอรXโบลาตTอไปนี้ พร<อมทง้ั
วาดกราฟ
x" y"
16 − 9 = 1

วิธีทำ ตัวเลขสวT นของสมการไฉเพอรโX บลาท่โี จทยXใหม< าเปOนกำลงั หนึ่ง แตTเราตอ< งการกำลังสอง

เพ่อื เข<าสตู รไฮเพอรXโบลา จึงแปลงสมการน้ใี ห<อยTใู นรปู กำลังสองไดด< ังนี้
x" y" x" y"
16 − 9 = 1 → 4" − 3" = 1

ซ่งึ เม่ือนำไปเทยี บกบั สมการมาตรฐานของไฮเพอรXโบลา
x" y"
a" − b" = 1

เราจะไดค< Tา a = 4, b = 3
ใช<สตู รพธี ากอรสั เพื่อหาคาT c ไดด< งั น้ี
c" = a" + b"
c" = 4 " + 3"
c" = 25

c = 5
เมือ่ เราไดค< Tา a, b, และ c มาครบแลว< จะสามารถเขยี นรูปกราฟได<ดงั นี้

จากรปู และสมบตั ขิ องไฮเพอรXโบลา จะได<
จดุ ศนู ยNกลางคอื (0,0)
จุดโฟกัส คือ (±5,0)
จุดยอด คอื (±4,0)
ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8
ความยาวแกนสงั ยุค 2b = 3

16

ความยาวเสKนเลตัสเรกตมั "^[ = "×r[ = 4.5
\ j
±^Z rZ
สมการเสKนกำกับ y = \ = ± j

คYาเอ็คเซนตริกซติ ี (e) = c/a = 5/4 = 1.25

การเลอ่ื นแกนขนานของกราฟ
การเขียนกราฟโดยการเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) ที่เหมาะสม จะเขียนงTายกวTาการ

เขียนกราฟในระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่จุด (0, 0) โดยเปลี่ยนพิกัดจุด P(x, y) ใด ๆ ในระบบเดิมเปOน P(x’,
y’) ในระบบ ใหมT โดยที่ x’ = x – h และ y’ = y – k จะทำให<สมการเทียบกับแกนใหมTมีรูปซึ่งสะดวกตTอการ
เขยี นกราฟ ดังนี้

ตวั อยYางโจทยN
ตัวอยาY งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของสมการตอT ไปนี้

y = | x + 3 | + 4

วิธที ำ จากสมการ y = | x + 3 | + 4
จดั ไดเ< ปนO y – 4 = | x + 3 | และเล่ือนแกนไปท่จี ดุ (– 3, 4)
ดังนนั้ จะไดส< มการเทยี บกบั แกนใหมT คือ y’ = | x’|

ตัวอยYางโจทยN
ตัวอยาY งที่ 2 จงเขยี นกราฟของสมการตTอไปน้ี

y = xr + 3x" + 3x + 3

วธิ ีทำ จากสมการ y = x" + 3xr + 3x + 3
จดั ไดเ< ปนO y = (xr + 3xr + 3x + 1) + 2

y – 2 = xr + 3x" + 3x + 1

17

y – 2 = (x + 1)r

และเลื่อนแกนไปที่จดุ (–1, 2)
ดงั น้นั จะได<สมการเทียบกบั แกนใหมT คอื y′ = (x′)r

สมการอิงตวั แปรเสรมิ (Parametric Equations)
การวาดกราฟในระนาบโดยใช สองตัวแปร x และ y ในระบบพิกัดฉาก หรือ และ ใน

ระบบ พิกัดเชงิ ขวั้ เมือ่ กาํ หนดความสมั พนั ธ ของสองตัวแปรนั้น นน่ั คอื
= ( ) เมอื่ เป นฟ งก ชนั ของ หรอื
= ( ) เมอ่ื เป นฟ งก ชนั ของ

จะหาความสัมพันธ ของตัวแปร x และ y ในเทอมของตัวแปรที่สามซึ่งเรียกว า ตัวแปรเสริม
ปwจจุบันเทคโนโลยีด านคอมพิวเตอร ได พัฒนาโปรแกรมช วยวาดกราฟทั้งในสองมิติ และสามมิติ เป
นจาํ นวนมาก และการกาํ หนดเส นโค งในระนาบ XY นิยมกําหนดเส นโค งในรปู สมการองิ ตัวแปรเสรมิ

1. โค<งระนาบและสมการองิ ตวั แปรเสริม
กำหนดให<พิกัด P(x, y) เปOนจุดบนเส<นโค<ง ซึ่งกำหนดด<วยฟwงกXชัน x = f (t) และ
y = g(t) แล<วสมการ x = f (t) และ y = g(t) จะถูกเรียกวTา สมการอิงตัวแปรเสริม (Parametric

Equation) และ t เรียกวาT ตัวแปรเสรมิ (Parameter)
ตวั อยาT งท่ี 1 จงเขียนกราฟของสมการองิ ตัวแปรเสริม x = 3 − 4t และ y = 2 + 5t
ทกุ คTาของ t

วธิ ีทำ จาก x = 3 − 4t
! #
จะได< t = " − "

ดังน้นั y = −2 + 5 ~rj − jZ•
y = 7 −45x

18

หรือ 5x + 4y − 7 = 0 ซงึ่ มีกราฟเปOนเสน< ตรง $
"
ทุก ๆ จุด (x, y) บนเส<นตรง 5x + 4y − 7 = 0 จะมีความขันเทTากับ −

และมรี ะยะตัดแกน y เทาT กบั %
"

2. อนพุ ันธXของสมการองิ ตวั แปรเสรมิ
กำหนดให< x = f(t) และ y = g(t) เปOนสมการเส<นโค<งของความสัมพันธXในระนาบ

xy ถ<าเส<นโคง< น้ันเปOนเสน< โค<งเรยี บ จะสามารถหาเสน< สัมผัสเส<นโคง< ณ จุดใด ๆ ได<เสมอ

จาก x = f(t) และ y = g(t) อาศัยกฎลูกโซT จะได<วTา

•] = •] ∙ •‚
•Z •‚ •Z

= •]/•‚
•Z/•‚

ในทำนองเดยี วกัน •[]
•Z[
= • ~••]Z•
•Z
• ~••]Z• •‚
= •‚ •Z

=&'( ))*+)),-.

&#' )-

)*

19

ปรภิ ูมสิ ามมติ ิ (Three-Dimensional Space)

ระบบพิกัดฉาก
การบอกตำแหนTงของจุดในปริภูมิสามมิติทำได<จากการอ<างอิงเส<นตรงสามเส<น คือ แกน X แกน Y และ

แกน Z ซง่ึ ตัดกนั ทจ่ี ุด O เรยี กวาT จดุ กำเนิด (origin) และเรียก
ระนาบทผ่ี Tานแกน X และแกน Y วาT ระนาบ XY (XY-plane)
ระนาบทผ่ี Tานแกน X และแกน Z วTา ระนาบXZ (XZ-plane)
ระนาบทผี่ าT นแกน Y และแกน Z วาT ระนาบYZ (YZ-plane)

ระนาบพกิ ัดฉากทง้ั สามจะแบงT ปริภูมิสามมิตอิ อกเปOน 8 สวT นเรียกวTาอัฐภาค (Octance)

การเลือกทิศทางท่ีเปOนบวกของพิกัดฉากเรานิยมใช<กฎมือขวาโดยให<นิ้วหัวแมTมือไปทางแกน Z บวก น้ิวช้ี
ไปทางแกน X บวก และน้ิวกลาง ชี้ไปทางแกน Y บวก ต้ังฉากกันเสมอ ตัวอยTางดังรูปตTอไปนี้ เราจะเลือกใช<แบบใด
แบบหนงึ่ ตามความเหมาะสม

20

การบอกตำแหนTงของจุด P ในปริภูมิสามมิติมีแกนพิกัดเปOนที่อ<างอิงบอกได<โดยใช<จำนวนจริง (x, y, z)
เรียกวาT พิกัดฉากของจุด P และใช< Rr แทนเซตของจุด (x, y, z) ในปริภมู ิสามมิติ

จากจุด P(x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยังแกน Z จะได<จุด (0,0,z) เราเรียกจุดนีวTาภาพฉาย
(projection) ของ P แกน Z

จากจุด P(x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยังแกน X จะได<จุด (x,0,0) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P
แกน X

จากจดุ P(x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงั แกน Y จะไดจ< ุด (0,y,0) เราเรยี กจุดนว้ี าT ภาพฉายของ P แกนY
จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปท่ีระนาบ XY จะได<จุด (x,y,0) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P บน
ระนาบ XY
จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน X ไปท่ีระนาบ YZ จะได<จุด (0,y,z) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P บน
ระนาบ YZ
จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปท่ีระนาบ XZ จะได<จุด (x,0,z) เราเรียกจุดน้ีวTาภาพฉายของ P บน
ระนาบ XZ
จดุ
แกนพิกดั ทั้งสามตัดกนั ทําให เกิดระนาบพกิ ดั (Coordinate Planes) ดังน้ี

ระนาบ XY (แนวนอน) เมื่อ z = 0
ระนาบ YZ (แนวต้งั ) เมื่อ x = 0 และ
ระนาบ XZ (แนวตงั้ ) เมอ่ื y = 0
จดุ P(x, y, z) ในปริภมู ิ 3 มิติ เรยี กว า พกิ ัดฉาก (Rectangular Coordinates) ถ า
x เป นระยะห างทีม่ ีเครื่องหมายจากระนาบ YZ
y เป นระยะห างท่มี เี ครอ่ื งหมายจากระนาบ XZ และ
z เป นระยะห างทม่ี เี ครอื่ งหมายจากระนาบ XY

21

ในกรณีนี้เราจะพิจารณาตําแหน งของจุด P ซึ่งเราเรียกว าจุด P(x, y, z) ซึ่งมีการ
จับคู หนึ่งต อหนึ่งระหว างสามลําดับ (x, y, z) ของจํานวนจริง กับจุด P เราเรียกระบบ
นี้ว า ระบบพิกัดฉาก (Rectangular Coordinate System) ใน 3 มิติ มีตําแหน งอยู ในอัฐ
ภาคที่ 1 (First Octant) ซึ่งเป นหนึ่ง ในแปดของปริภูมิ 3 มิติ แกนพิกัดทั้งสามมีค าเป นบ
วก

จดุ P(x, y, z) ในปริภมู ิ 3 มติ ิ มีค าเปO นบวก
ตวั อยาT งท่ี 1 จงแสดงขน้ั ตอนการลงจุดซ่งึ มีพิกดั เป น A(−3,4,1), B(3,2,4) และ C(2,3,4)
วธิ ีทาํ พิจารณาพิกัด x, y ก อนลงจุดเหมือนกับในพิกัดฉาก 2 มิติ จากนั้นพิจารณาพิกัด z

โดยให ตั้ง ฉากกับแกน X และ แกน Y เหนือขึ้นไปถ าเป นบวก ลงข างล าง
เมอื่ เป นลบ

A(−3,4,1), B(3,2,4) และ C(2,3,4)

22

1. ระยะทางระหว างจุดสองจดุ (Distance Between Two Points)
ทฤษฎีบท ให< P:(x:, y:, z:) และ P"(x", y", z") เปนO จดุ สองจุดใด ๆ ระยะทางระหวTางจุดสองจุด เขยี นแทน
ดว< ย |P:P"| คือ

| : "| = ;( : − ")" + ( : − ")" + ( : − ")"

พิสูจน สร างกล องรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากในปริภูมิ 3 มิติ ให จุด P: และจุด P" อยู ที่มุมกล อง
ทะแยงมุมกันโดยให พิกัด (x:, y:, z:) และ (x", y", z") ตามลําดับ และให จุด Q มีพิกัดเป น
(x:, y:, z") และ จุด R มีพิกัดเป น (x:, y", z") ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม P:QP" และรูปสามเหลี่ยมP"QR เป

นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได ว า

|P:P"|" = |P:Q|" + |P"Q|"

= ˆP1Q2ˆ2 + |P2R|2 + | |2
= ( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2 + Q 1 − 2R2

= ;( : − ")" + ( : − ")" + ( : − ")"

ดงั น้ัน ระยะทางระหว างจดุ P: และจดุ P: คือ ;( : − ")" + ( : − ")" + ( : − ")"

กล องรปู ทรงส่ีเหลยี่ มมมุ ฉาก
ตัวอยาT งที่ 1 จงหาระยะทางระหว างจดุ สองจุด A(0, 0, 0) และจุด B(4, 3, 0)

23

วธิ ีทำ จากโจทย จะได A(x:, y:, z:) = A(0, 0, 0) และ B(x", y", z") = B(4, 3, 0)
โดยทฤษฎีบทจะได ว า

| | = ;( : − ")" + ( : − ")" + ( : − ")"
| | = ;(0 − 4)" + (0 − 3)" + (0 − 0)"

| | = ;(−4)" + (−3)" + 0"

| | = √16 + 9 + 0

| | = √25
| | = 5

ดังนั้น ระยะห างระหว างจุด A(0, 0, 0) กับจุด B(4, 3, 0) เท ากบั 5 หน วย

2. จุดกึ่งกลางและจดุ แบ งส วนของส วนของเส นตรง

ทฤษฎีบท 1 ถ<า P(x, , ) เปOนจุดก่ึงกลางของสวT นของเสน< ตรงทเี่ ชือ่ มจดุ P:(x:, y:, z:) และจุด P"(x", y", z")
แล<วจะไดว< าT

x = x: + x" , y = y: + y" , z = z: + z"
2 2 2

ทฤษฎบี ท 2 ถ<า P(x, , ) แบงT สวT นของสTวนของเสน< ตรงที่เชอื่ มจุด P:(x:, y:, z:) และจดุ P"(x", y", z")

ออกเปOนอตั ราสTวน = Ž•••••Ž• แลว< จะไดว< Tา
Ž•••Ž•[•

x = x: + r(x" − x:)

y = y: + r(y" − y)

z = z: + r(z" − z:)

การพิสูจน ทฤษฎีบท 1 และ ทฤษฎีบท 2 นี้ สามารถพิสูจน ได ทํานองเดียวกับการ พิสูจน
ทฤษฎีบทในเรขาคณติ วเิ คราะห ในระนาบสองมติ ิ

24

ตัวอยาT งที่ 1 จงหาจุดกึ่งกลางของส วนของเส นตรงที่เชื่อมระหว างจุด A(1, 2, 3)
และB(3, −4, 1)
วิธีทำ จากทฤษฎบี ท 1 จะได ว า
x: + x"
x = 2

x = 1y:+2+3y=" 2
y = 2

x = 2 + (−4) = −1
z =
z: +2z"
2
3 + 1
x = 2 = 2

ดังนัน้ จดุ ก่งึ กลางของส วนของเส นตรง คอื จดุ (2, −1,2)

ตวั อยTางที่ 2 จงหาจุดแบ งส วนของส วนของเส นตรงซึ่งแบ งส วนของเส นต
รงที่เช่ือมระหว าง

จุด A(1, 3, −2) และ B(7, 6, 1) ออกเปOนอตั ราสวT น 1 : 3 25
:
วิธีทำ จากทฤษฎีบท 2 และ r = r จะได ว า

x = : + r( " − :)
1
x = 1 + 3 (7 − 1)

y = : + ( " − :)
1
x = 3 + 3 (6 − 3)

x=4
− :2+31 Q (1 −" −(− :2))R
z =
x =

x = −1

ดังน้ัน จดุ แบ งส วนของส วนของเส นตรงน้ี คอื จดุ (3,4, −1)

เสKนตรง

ดํารง ทิพย โยธา สุรชัย สมบัติบริบูรณ และนัฏฐนาถ ไตรภพ และ Varberg, Dale, Purcell, Edwin
J & Rigdon, Steven E ได กล าวว า ในหัวข อนี้ ต องการหา สมการของเส นตรงในปริภูมิ 3 มิติ

โดยใช เวกเตอร ในการพิจารณา สมการเส นตรง ให L เป นเส นตรงที่ ผ านจุด P‘(x‘, y‘, z‘)
และขนานกับเวกเตอร ’v⃗ = 〈a, b, c〉 ถ า P〈x, y, z〉 เป นจุดใด ๆ บนเส นตรง L จะได เวกเตอร r⃗
ซึ่งเชื่อมจุดกําเนิดกับจุด P มีส วนประกอบเป น r⃗ = 〈x, y, z〉และเวกเตอร r⃗‘ ซึ่งเชื่อมจุดกําเนิดกับจุด P‘
มสี วนประกอบเป น r⃗‘〈x0, y0, z0〉

จากนยิ ามการบวกเวกเตอร จะได ว า ⃗ = r⃗‘ + ’’ ’’‘’’ ’⃗
ถ า ’ ’ ’’‘’’ ’⃗ มที ิศทางเดยี วกบั ’v⃗ จะได ’ ’ ’’‘’’ ’⃗ = ⃗ เม่ือ t เป นสเกลาร น่ันคือ

r⃗ = r⃗‘ + ’P’’‘’’’P⃗

26

〈x, y, z〉 = 〈x‘, y‘, z‘〉 + t〈a, b, c〉
〈x, y, z〉 = 〈x‘ + at, y‘ + bt, z‘ + ct〉
เพราะฉะนน้ั 〈x, y, x〉 = x‘ + at, y = y‘ + bt, z = z‘ + ct
#/#0 (/(0 3/30
หรือ 1 = 2 = 4

ดงั นนั้ 〈x, y, z〉 = 〈x‘ + at, y‘ + bt, z‘ + ct〉 เรยี กวTา สมการในรูปเวกเตอรX

x = x‘ + at, y = y‘ + bt, z = z‘ + ct เรยี กวาT สมการอิงตัวแปรเสริม

Z˜Z™ = ]˜]™ = š˜š™ เรียกวาT สมการสมมาตร
\ ^ ›

หา ตวั อยาT งท่ี 1 จงหาสมการเส นตรงที่ผ านจุ P‘(1, 2, 3) ขนานกับเวกเตอร ’v⃗(3, −4, 7) และ

จดุ ทเี่ ส นตรงน้ตี ัดกบั ระนาบ XY
วิธีทำ ให P(x y z) เป นจุดใด ๆ บนเส นตรง
จากโจทย เส นตรงผ านจดุ P‘(1, 2, 3) และขนานกบั ’v⃗ = 〈3, −4, 7〉 จะได ว า

〈x, y, z〉 = 〈1 + 3t, 2 − 4t, 3 + 7t〉 สมการในรปู เวกเตอร หรือ
x = 1 + 3t, y = 2 − 4t, z = 3 + 7t สมการอิงตัวแปรเสริม
5/6 7/8 9/!
! = /" = % สมการสมมาตร

หาจุดตัดบนระนาบ XY โดยให z = 0 แทนในสมการองิ ตวั แปรเสรมิ จะได ว า
r
0 = 3 + 7t หรือ t = − •

ถ า t = − r จะได x = 1 + 3 ~− •r• = − " และ y = 2 − 4 ~− r•• = "i
• • •
" "i
ดังน้ัน จุดทเ่ี ส นตรงนต้ี ัดกับระนาบ XY คอื จดุ ~− • , • , 0•

1. ระยะทางจากจุดมายังเส<นตรง

บทนิยาม ให d เป นระยะตั้งฉากจากจุด Q มายังเส นตรง L จุด P เป นจุดหนึ่งบนเส นตรง L เวกเตอร
v’⃗ เปนO เวกเตอรทX ่ีขนานกบั เส<นตรง Lจะไดว< าT

d = ˆP’’’’Q’⃗ + ’v⃗ˆ
’v⃗

27

พสิ จู น จาก d = ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ

เพราะว า ˆP’’’’Q’⃗ˆ × v’⃗ = ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ |’v⃗| จะได

ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ = ˆ£’’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ
|’¥⃗|
ˆ’P’’’Q’⃗ˆ sin θ ใน d = ˆ ’’ ’’ ’⃗ ˆ sin จะได ว า
แทนค า d = ˆ’ ’ ’’ ’⃗ ˆ sin

d = ˆ’£’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ
|’¥⃗|
ˆ’£’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ
ดังนนั้ ระยะทางจากจุด Q มายงั เส นตรง L คือ d = |¥’⃗|

ตัวอยTางที่ 1 จงหาระยะทางจากจุด (1,1,5) ไปยังเส นตรง L ∶ x = 1 + t, y = 3 − t, z =
2t
วิธีทำ จากเส นตรง L จะได v’⃗ = 〈1, −1, 2〉 และจดุ Q(1, 3, 0)
ให P(1, 1, 5) เป นที่ไม ได อยู บนเส นตรง L จะได ว า P’’’’Q’⃗ =
〈0, 2, −5〉
จากทฤษฎบี ท จะได ว า
|〈‘,",˜¨〉×〈:,˜:,"〉|
d = ;:[B(˜:)[B"[

= |〈6,$,8〉|
√6?6?"

d = √!@ = √5
√A
ดังนั้น ระยะทางจากจุด (1,1,5) ไปยังเส นตรง L ∶ x = 1 + t, y = 3 − t, z = 2t คือ 5 หน
วย

28

ระนาบ
การประยกุ ต ของผลคูณเชิงสเกลาร ท่ีสําคัญในทางเรขาคณติ วิเคราะห ในปรภิ ูมิ 3 มิตอิ ีกอย าง

หนง่ึ กค็ ือ สามารถใช หาสมการของระนาบโดยกาํ หนดเงื่อนไข ดังนี้ จดุ หนึ่งจุดและเวกเตอร ทตี่ ้งั ฉากกบั
ระนาบ หรอื จุดสามจุดบนระนาบท่ไี ม ได อยู บนระนาบเดยี วกัน

บทนิยาม ถ าระนาบ S ผ านจุด P‘(x‘, y‘, z‘) จุด P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ S และระนาบ
S ตง้ั ฉากกับเวกเตอร n’⃗ = 〈a, b, c〉 แล วสมการรูปทว่ั ไปของสมการระนาบ คือ

ax + by + cz + d = 0

เมื่อ a, b, c และ d เป นค าคงที่ โดยที่ a, b และ c ไม เป นศนู ย พร อมกัน

พิสูจน ให จุด P‘(x‘, y‘, z‘) เป นจุดที่อยู บนระนาบ P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ
และระนาบ S ตั้งฉากกับเวกเตอร n’⃗ = 〈a, b, c〉 จากสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร
จะได ว า
’n⃗ ∙ ’P’’‘’’’P⃗ = 0
〈A, b, c〉 ∙ 〈x − x‘, y − y‘, z − z‘〉 = 0
ax + by + cz − 〈ax‘ + by‘ + cz‘〉 = 0

ให d = −〈ax‘ + by‘ + cz‘〉 = 0 น่ันคอื ax + by + cz + d = 0

29

ตัวอยาT งท่ี 1 จงหาสมการระนาบ S ที่ผ านจุด (3,0,7) และต้งั ฉากกบั เวกเตอรX n’⃗ =

〈4, 2, −5〉

วธิ ีทำ ให P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ S และ P‘(3,0,7) เป นจุด
ทอี่ ยู บนระนาบ S

∴ P’’’‘’’P’⃗ = 〈x − 3, y − 0, z − 7〉

จากทฤษฎบี ท จะได ว า

n’⃗ ∙ P’’’‘’’P’⃗ = 0
〈4,2, −5〉 ∙ 〈x − 3, y − 0, z − 7〉 = 0
4( − 3) + 2( − 0) − 5( − 7) = 0
4 − 12 + 2 − 0 − 5 + 35 = 0

4 + 2 − 5 + 23 = 0

ดังนัน้ สมการระนาบ S คือ 4 + 2 − 5 + 23 = 0

1 มุมระหว างระนาบ

บทนิยาม ให N’’’’:⃗ และ N’’’’"⃗ เป น Normal Vector ของระนาบ S: และระนาบ S" ตามลําดับ มุมระหว
างระนาบ S: และระนาบ S"หมายถงึ มุมระหว าง N’’’’:⃗ และ N’’’’"⃗ โดยที

cos θ = ®’’’’•⃗∙®’’’’[⃗
|®’’’’•⃗||’®’’’[⃗|

30

ตวั อยาT งที่ 1 จงหามมุ ระหว างระนาบ 5x − 2y + 5z = 12 และระนาบ 2x + y − 7z =

−11

วธิ ีทำ ให N’’’’:⃗ = 〈5, −2,5〉 และ N’’’’"⃗ = 〈2,1, −7〉 จากนยิ าม จะได ว า
:‘˜"˜r¨
cos θ = ;¨[B(˜")[B¨[;"[B:[B(˜•)[

cos θ = − :
"
cos θ = 120°

ดังน้ัน มุมระหว าง 2 ระนาบน้ี คอื = 120°

2. เสน< ตรงท่เี กดิ จากการตดั กันของระนาบ
ระนาบสองระนาบถ าไม ขนานกันจะต องตัดกันเสมอ และรอยตัดของทั้งสองระนาบเป

นเส นตรงใน 3 มิติ ถ าให N’’’’:⃗และ N’’’’"⃗ เป น Normal Vector จะได ว า N’’’’:⃗ × N’’’’"⃗ จะเป นเวก
เตอร ท่ีขนานกบั สมการทเี่ กิด จากการตดั กันของระนาบ

ตวั อยาT งที่ 1 จงหาสมการเส นตรงที่เกิดจากการตัดกนั ของระนาบ 4x − 2y + 4z −

10 = 0 และระนาบ 3x + 6y − 2z = 0
วธิ ีทำ ให N’’’’:⃗ = 〈4, −2,4〉 และ N’’’’"⃗ = 〈3, −6, −2〉
หาเวกเตอร ทข่ี นานกับเส นตรงนีจ้ าก
̂ ̂ ´
∴ เวกเตอร N’’’’:⃗ × N’’’’"⃗ = °4 − 2 4°

3−6−2
N’’’’:⃗ × N’’’’"⃗ = 〈28, 20, −20〉

ที่ขนานกับเส นตรงนี้ คอื v’’’:⃗ = 〈28,20, −20〉 หรือv’⃗ = 〈7,5, −5〉

หาจุดบนรอยตัดของระนาบ 4x − 2y + 4z − 10 = 0 และ 3x − 6y −
โดยให x = 0 จะได ว า
2z = 0

31

−2y + 4z − 10 = 0 ________________________________________(1)
−6y + 2z − 2 = 0 ________________________________________(2)

นาํ (1) × 3 − (2) จะได
14z = 28

14z = 2
จาก x = 0 และ z = 2 แทนใน 3x − 6y − 2z − 2 = 0 จะได
3(0) + 6y − 2(2) − 2 = 0
−6y − 6 = 0

6y = −6
6y = −1

เพราะฉะนน้ั จดุ ทอ่ี ยู บนรอยตัดของสองระนาบนี้ คอื จดุ ‘(0, −1,2)

ดงั นี้ ให P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนรอยตัดของสองระนาบนี้ จะได สมการเส นตรง

’P’’‘’’’P⃗ = tv’⃗
〈 − 0, + 1, − 2〉 = t〈7,5, −5〉

〈 , + 1, − 2〉 = t〈7 , 5 , −5 〉
จากสมบตั ิการเท ากนั ของเวกเตอร จะได
x = 7t, y + 1 = 5t, z − 2 = −5t เม่ือ −∞ ≤ t ≤ ∞
Z ]B: š˜"
หรือ • = ¨ = ˜¨

ดังน้นั สมการเส นตรงท่ีเกิดจากการตัดกนั ของระนาบ 4x − 2y + 4z − 10 = 0
Z ]B: š˜"
และ ระนาบ 3x − 6y − 2z − 2 = 0 คอื • = ¨ = ˜¨

3. ระยะทางจากจดุ ไปยงั ระนาบ

บทนยิ าม ระยะทางระหว างจุด P‘(x‘, y‘, z‘) กับระนาบ ax + by + cz + d = 0 คอื
|¹º™B»¼™B½¾™B¿|
= √¹[B»[B½[

พิสจู น กําหนดให P‘(x‘, y‘, z‘) เป นจุดที่ไม ได อยู บนระนาบ
P:(x:, y:, z:) เป นจดุ ทีอ่ ยู บนระนาบ ’N⃗ = 〈a, b, c〉 เป นเวกเตอร ที่ตั้งฉาก
กับระนาบ และ D เป นระยะทางจากจุด P‘(x‘, y‘, z‘) ไปตั้งฉาก กับระนาบ
จากสมบตั ขิ องภาพฉากเชงิ สเกลาร จะได

32

D = ˆ£’’’’•’’’£’’’™⃗∙’À’⃗ˆ
ˆÀ’’⃗ˆ

D = |〈º™˜º•,¼™˜¼•,¾™˜¾•〉 ∙ 〈¹,»,½〉|
√¹[B»[B½[
|¹º™B»¼™B½¾™ 〈¹º•B»¼•B½¾•〉|
D = √¹[B»[B½[

ให d = (ax: + by: + cz:) จะได ว าD = |¹º™B»¼™B½¾™B¿|
√¹[B»[B½[

14 = 0 ตัวอยTางท่ี 1 จงหาระยะตัง้ ฉากจากจุด (2, −3,1 ) กับระนาบ 2x − 3y − 6z − 14 = 0
วิธีทำ ให D เป นระยะตง้ั ฉากจากจุด (2, −3,1 ) ไปยังระนาบ 2x − 3y − 6z −

จากทฤษฎีบท จะได ว า
|¹º™B»¼™B½¾™B¿ |
D = √¹[B»[B½[

D = |(")(")B(˜r)(˜r)B(˜i)(:)B(˜:j) |
;"[B(˜r)[Bi[
|˜• |
D = √jÁ

D=1

ดังน้นั ระยะต้ังฉากจากจุด(2, −3,1 ) กับระนาบ 2x − 3y − 6z − 14 = 0 คอื 1 หน วย

33

4 ระยะทางระหว างระนาบท่ขี นานกนั สองระนาบ

บทนิยาม ระยะทางระหว างระนาบ ax + by + cz + d: = 0 กับระนาบ ax + by + cz +
d" = 0 คอื
|••˜•[|
D = √\[B^[B›[

พสิ ูจน กําหนดให ระนาบ :: ax + by + cz + d: = 0 และระนาบ
": ax + by + cz + d" = 0 D เป นระยะตง้ั ฉากระหว างระนาบ : และ
˜\Z˜^]˜¿[
ระนาบ " และให จุด P = x, y, › เป นจุดทอี่ ยู บนระนาบ
" จากทฤษฎบี ท ระยะห าง
ระหว างจดุ P ไปยงั ระนาบ : คอื

D = B1#?2(?4+CD-CEF,C)'.?&GB
√1'?2'?4'
|1#?2(/1#/2(/&'?&G|
D = √1'?2'?4'

D = |&G/&'|
√1'?2'?4'
|&G/&'|
ดังน้นั ระยะห างระหว างระนาบ :และระนาบ " คือ D = √1'?2'?4'

34

ตัวอยTางที่ 1 จงหาระยะห างระหว างระนาบ 2x − 3y + 6z + 1 = 0 และระนาบ

2x − 3y + 6z + 15 = 0

วิธีทำ ให D เป นระยะตั้งฉากระหว างระนาบ 2x − 3y + 6z + 1 = 0 และระนาบ
2x − 3y + 6z + 15 = 0
จากทฤษฎบี ท จะได ว า
|¿•B¿[ |
D = √¹[B»[B½[

D = |:˜:¨ |
;"[B(˜r)[Bi[

D=2

หน วย ดังนั้น ระยะห างระหว าง 2x − 3y + 6z + 1 = 0 กับ 2x − 3y + 6z + 15 = 0 คอื 2

พื้นผวิ ทรงกระบอก

บทนิยาม ให C เป นเส นโค งเส นหนึ่ง และ L เป นเส นตรงเส นหนึ่ง (ซึ่งไม
ได อยู บนระนาบ เดียวกับเส นโค ง) เซตของจุดที่อยู บนเส นตรงที่ขนานกับเส นต
รง L และตัดเส นโค ง C เรียกว า ทรงกระบอก (Cylinder) เรียกเส นโค ง C ว าเส

นบังคับ (Directrix) เรียกเส นตรงแต ละเส นที่ขนาน กับเส นตรง L และผ านเส
นโค ง C ว า ตัวก อกําเนิด (Generatrix) และตัวก อกําเนิดแต ละเส น เป น
สมาชกิ ของทรงกระบอก เรยี กเส นตรง L ว า แกนของทรงกระบอก

ลกั ษณะของ ทรงกระบอกแต ละรปู ขึ้นอยู กับเส นบงั คับร วม และตัวก อกาํ เนิด เช น ถ
าเส นบงั คับร วมเป นวงกลม วงรี พาราโบลา หรอื ไฮเพอร โบลา เราจะเรยี ก ทรงกระบอกนั้นว า
ทรงกระบอกกลม ทรงกระบอกวงรี ทรงกระบอกพาราโบลคิ หรือ ทรงกระบอกไฮเพอร โบลคิ ตามลาํ ดับ เช น

35

ในที่นี้เราต องการหาสมการของทรงกระบอก กําหนดให ทรงกระบอกมีเส นบังคับ C เป นเส

นโค ง ท่มี ีสมการเป น F(x, y, z) = 0 และตัวก อกาํ เนดิ ขนานกบั เวกเตอร u’⃗ = 〈a, b, c〉
ให P(x, y, z) = 0 เป นจุดใด ๆ บนทรงกระบอก
จากบทนิยาม จะต องมีตัวก อกําเนิดเส นหนึ่งที่ผ านจุด P(x, y, z) = 0 ขนานกับ u’⃗ และตัดกับ

เส นบังคบั C ท่ีจุด P:(x:, y:, z:) = 0
จะได ’P’’:’’’P⃗ ขนานกบั ’u⃗ เพราะฉะนั้น P’’’:’’P’⃗ = ’u⃗ สาํ หรบั สเกลาร t บางค า
เพราะว า P’’’:’’P’⃗ = 〈 − :, − :, − :〉 จะได สมการ
Z˜Z• ]˜]• š˜š•
\ = ^ = › = t ____________________________(1)

เน่ืองจาก จุด P:(x:, y:, z:) เป นจุดอยู บนเส นโค ง C เพราะฉะน้ัน
F(x:, y:, z:) = 0 _________________________________(2)

จากสมการ (1) และ (2) เราสามารถกําจัดค าคงที่ x:, y: และ z: ได และสมการที่เหลือเป
นสมการของตวั แปร x, y และ z ซ่ึงเป นสมการของทรงกระบอกตามต องการ

ตวั อยาT งท่ี 1 จงหาสมการของทรงกระบอกที่มีเส นบังคับเป นเส นโค ง ][ + š[ =
1, x = 0 และ j :i
ตัวก อกําเนิดขนานกับเวกเตอร u’⃗ = 〈4,1,0〉 พร อมทั้งวาด
กราฟของทรงกระบอก
วิธีทำ ให P(x, y, z) เป นจดุ ใด ๆ บนทรงกระบอก จะมีตัวก อกําเนิดซงึ่ ผ านจุด

P(x, y, z) = 0 ตัดกับ เส นบงั คับทีจ่ ุด P:(x:, y:, z:) และขนานกบั เวกเตอร ’u⃗ = 〈4,1,0〉 จะ
ได ว า
〈x − x:, y − y:, z − z:〉 = t〈4,1,0〉
x − x: = 4t x: = x − 4t
หรอื y: = y − t
y − y: = t

z − z: = 0 z: = z
][ š[
เพราะว าจดุ P:(x:, y:, z:) อยู บนเส นโค ง j + :i = 1, x = 0

จะได ว า ][ + š[ = 1, x = 0
j :i
(]˜‚)[ š[
เพราะฉะนัน้ j + :i = 1 _________________________________(1)

จาก x: = x − 4t และจาก x: = 0 จะได ว า 0 = x − 4t หรอื t = Z
j
แทนค า Z ในสมการ (1) จะได
t = j

~]˜ÅÆ•" + ¾[ = 1
j :i

36

~ÆÇÆÈÉ•" + ¾[ = 1
j :i
x" + 16y" + 4z" − 8xy = 64

ดงั น้ัน สมการของทรงกระบอกน้คี อื x" + 16y" + 4z" − 8xy = 64

สมการพ้นื ผิวกาํ ลังสอง
พน้ื ผวิ กําลังสอง คอื พน้ื ผวิ ของสมการกาํ ลงั สองของสามตวั แปร , x y และ z ท่ีมี ความสัมพนั ธ กันใน

รูปทั่วไป ดงั น้ี

Ax" + By" + Cz" + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0

เมอ่ื A, B, C, D, E และ F ไม เป นศนู ย พร อมกนั และพื้นผวิ น้นั ไม เป นเซตว าง จุด เส
นตรง หรือรหะนมาายบเหตุ จุด เส นตรง และระนาบ เรยี กว าภาคตัดกรวยลดรูป (Degenerate Conic)

พนื้ ผิวทเ่ี กดิ จากสมการพื้นผิวกาํ ลงั สอง ทไี่ ม ใช ภาคตัดกรวยลดรูป มที ้ังหมด 9 แบบซงึ่ ขน้ึ อยู กบั ค
าคงท่ี A, B, C, D, E, F, G, H, I และ J ดังน้ี

1. ทรงรี (Ellipsoid)
ทรงรี คอื ผิวกําลงั สอง ทีม่ ีสมการในรปู มาตรฐาน เป นดังนี้
(x − x‘)" (y − y‘)" (z − z‘)"
a" + b" + c" = 1

เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ เรียกจุด (x‘, y‘, z‘) ว าจุดศูนย กลาง
ของทรงรี ถ า a = b = c ทรงรมี ชี ่ือเฉพาะว า ทรงกลม (Sphere)

37

2. ทรงไฮเพอร โบลาเชงิ วงรีแบบเชื่อมโยง (Elliptic Hyperboloid of One Sheet)
ทรงไฮเพอร โบลาเชิงวงรีแบบเชื่อมโยง คือ ผิวกําลังสอง ที่มีสมการในรูปมาตรฐานแบบใด
แบบหน่งึ ดังต อไปน้ี
(ΘZ™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[
\[ + ^[ − ›[ = 1

(Z˜Z™)[ − (]˜]™)[ + (š˜š™)[ = 1
\[ ^[ ›[
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[
− \[ + ^[ + ›[ = 1

เม่ือ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจรงิ ใด ๆ

3. ทรงไฮเพอร โบลาเชงิ วงรีแบบไม เช่อื มโยง (Elliptic Hyperboloid of Two Sheet)

38

ทรงไฮเพอร โบลาเชิงวงรีแบบไม เชื่อมโยง คือ ผิวกําลังสอง ที่มีสมการในรูปมาตรฐาน แบบ
ใดแบบหนึ่งดงั ต อไปนี้
(ΘZ™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[
\[ + ^[ − ›[ = −1

(Z˜Z™)[ − (]˜]™)[ + (š˜š™)[ = −1
\[ ^[ ›[
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[
− \[ + ^[ + ›[ = −1

เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจรงิ ใด ๆ

4. ทรงพาราโบลาเชิงวงรี (Elliptic Paraboloid)

ทรงพาราโบลาเชงิ วงรี คอื ผิวกาํ ลังสองที่มสี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่ึง

ดงั ต อไปน้ี (Z˜Z™)[ (]˜]™)[
\[ ^[
+ = ±c(z − z‘)

(Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = ±b(y − y‘)
\[ ^[
(]˜]™)[ (š˜š™)[
\[ + ^[ = ±a(x − x‘)

เมอื่ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ

39

5. ทรงพาราโบลาเชงิ ไฮเพอร โบลา (Hyperbolic Paraboloid)
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร โบลา คือ ผวิ กาํ ลงั สอง ท่มี ีสมการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบ
หนง่ึ ดังต อไปน้ี
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[
\[ − ^[ = ±c(z − z‘)

(Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = ±b(y − y‘)
\[ ^[
(]˜]™)[ (š˜š™)[
\[ − ^[ = ±a(x − x‘)

เมอ่ื x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ

6. กรวยเชงิ วงรี (Elliptic Cone)
กรวยเชิงวงรี คอื ผวิ กําลังสองท่มี สี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหนึง่ ดงั ต อไปนี้
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[
\[ + ^[ = ›[

(]˜]™)[ + (š˜š™)[ = (Z˜Z™)[
^[ ›[ \[
(š˜š™)[ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[
›[ + \[ = ^[

40

เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ

7. ทรงกระบอกเชิงพาราโบลา (Parabolic Cylinder)
ทรงกระบอกเชิงพาราโบลา คือ ผิวกําลังสองทมี่ สี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่งึ

ดังต อไปนี้

(x − x‘)" = ±4c(y − y‘)
(x − x‘)" = ±4c(z − z‘)
(y − y‘)" = ±4c(x − x‘)
(y − y‘)" = ±4c(z − z‘)
(z − z‘)" = ±4c(x − x‘)
(z − z‘)" = ±4c(y − y‘)

เมื่อ x‘, y‘, z‘ และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ

8 ทรงกระบอกเชิงวงรี (Elliptic Cylinder)

41

ทรงกระบอกวงรี คอื ผวิ กําลงั สองทม่ี สี มการในรูปมาตรฐานแบบใดแบบหนึง่ ดงั ต อไปนี้
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[
\[ − ^[ = 1

(Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = 1
\[ ›[
(]˜]™)[ (š˜š™)[
^[ − ›[ = 1

เม่ือ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ

9. ทรงกระบอกเชงิ ไฮเพอร โบลา (Hyperbolic Cylinder)
ทรงกระบอกเชงิ ไฮเพอร โบลา คอื ผิวกําลงั สองทม่ี ีสมการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่งึ
ดังต อไปนี้
(Z˜Z™)[ (]˜]™)[
\[ − ^[ = ±1

(]˜]™)[ − (š˜š™)[ = ±1
^[ ›[
(š˜š™)[ (Z˜Z™)[
›[ + \[ = ±1

เมอ่ื x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ

42