TEMA 03 LEY DE GAUSS (1)

LEY DE GAUSS

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Juan Carlos Mendoza Carlos.
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Objetivos

➢ Interpretar el significado de flujo eléctrico y cómo se
calcula.

➢ Relacionar la ley de Gauss con el flujo eléctrico a través
de una superficie cerrada con la carga encerrada por la
superficie.

➢ Aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico
debido a una distribución simétrica de la carga

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Contenidos

➢ El flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss.
➢ Campo Eléctrico de Distribuciones Discretas de Carga
➢ Cálculo del Campo Eléctrico a partir de la Ley de Gauss para

distribuciones de cargas con simetría.

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CARGA Y FLUJO ELÉCTRICO

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CARGA Y FLUJO ELÉCTRICO

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FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

El símbolo que se usa para el flujo eléctrico es (la letra ΦE griega mayúscula fi; el
subíndice E es para recordar que se trata de flujo eléctrico).
En primer lugar, considere un área plana A perpendicular a un campo eléctrico uniforme E
(figura a). Se define el flujo eléctrico a través de esta área como el producto de la magnitud
del campo E por el área A:

Se considera un campo eléctrico que es uniforme
tanto en magnitud como en dirección.

El total de líneas que penetran en la superficie es
proporcional al producto EA.

a este producto de la magnitud del campo eléctrico
E y al área superficial A, perpendicular al campo, se
le conoce como flujo eléctrico E

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FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

El área A┴ en la figura es igual a Acos
La definición de flujo eléctrico para un campo eléctrico
uniforme se generaliza a:

Como Ecos es la componente de E perpendicular al área,
la ecuación anterior se expresa como:

El flujo eléctrico es proporcional al número de las
líneas de campo eléctrico que penetran en una
superficie.
(Flujo eléctrico para E uniforme, superfície plana)

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FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME

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PROBLEMA Nº 01: Un disco de radio igual a 0.10 m está orientado con su vector unitario ො normal
a un ángulo de 30° respecto a un campo eléctrico uniforme con magnitud de 2.0x103 N/C (ver
figura). (Como esta no es una superficie cerrada, no tiene un “interior” ni un “exterior”; por eso se
tiene que especificar la dirección de ො en la figura). a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través del disco?
b) ¿Cuál sería el flujo que cruzaría el disco si se girara de manera que ො fuera perpendicular a ? c)
¿Cuál sería el flujo que pasaría a través del disco si ො fuera paralela a ?

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PROBLEMA Nº 02: Una superficie cúbica imaginaria de lado L está situada en una región de campo
eléctrico uniforme . Determine el flujo eléctrico que pasa a través de cada cara del cubo y el flujo
total a través de este cuando a) el cubo está orientado con dos de sus caras perpendiculares al
campo (ver figura a); y b) cuando el cubo se gira un ángulo Ɵ, con respecto a un eje vertical (ver
figura b).

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PROBLEMA Nº 03: Una carga puntual q = +3.0 mC está rodeada por una esfera imaginaria
centrada en la carga y cuyo radio mide 0.20 m (ver figura). Determine el flujo eléctrico a través de la
esfera.

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LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una alternativa a la ley de Coulomb. Aunque equivale por completo a la
ley de Coulomb, la ley de Gauss ofrece una forma distinta de expresar la relación entre la
carga eléctrica y el campo eléctrico.

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LEY DE GAUSS

LEY DE GAUSS
¿CUÁNDO SE USA?

➢ Sólo es útil para situaciones donde hay mucha simetría.
➢ Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.
➢ Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero

(E perpendicular a la superficie)

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CARGA PUNTUAL DENTRO DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA

Supongamos que tenemos una carga +q en el centro de una
esfera de radio r. ¿Cual es el flujo a través de la esfera?

Esto nos hace sospechar que tal vez el resultado sea independiente de la superficie elegida. En efecto,
esta es una ley llamada Ley de Gauss
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Para una superficie cerrada que no encierre carga
Las líneas de campo eléctrico comienzan o terminan dentro de una región del espacio sólo cuando
en esa región existe carga.

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Ejemplo: Cinco superficies gaussianas y seis cargas puntuales.

• En la figura se ilustran seis cargas puntuales que están en el
mismo plano. Hay cinco superficies gaussianas (S1, S2, S3, S4 y
S5) que encierran, cada una, parte de este plano, y la figura
también presenta la intersección de cada superficie con el
plano. Clasifique las cinco superficies en orden del flujo
eléctrico que pasa a través de ellas, del más positivo al más
negativo.

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FORMA GENERAL DE LA LEY DE GAUSS

El flujo eléctrico total a través de una superficie es igual a la carga encerrada dividido por
la permitividad.

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Aplicaciones de la ley de Gauss

La principal utilidad de la ley de Gauss es para encontrar el campo eléctrico de
distribuciones con simetría.

Carga puntual Para determinar E en el punto P, se elige una superficie esférica que
contenga P.

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Carga lineal

Encontrar el campo eléctrico en un punto a una distancia r de una alambre infinito con densidad
uniforme de carga λ.

r
n

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PROBLEMA Nº 04: Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme a lo largo de un
alambre delgado de longitud infinita. La carga por unidad de longitud es (se supone positiva).
Calcule el campo eléctrico usando la ley de Gauss.

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PROBLEMA Nº 05: Use la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico que genera una lámina
delgada, plana e infinita, en la que hay una densidad de carga superficial uniforme y positiva .

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Problemas (aula)

1. Si el campo eléctrico en la superficie de un tambor de fotocopiadora que está cargado
uniformemente tiene valor 2,3×105 N/C, determine la en el tambor.
2. Tres cargas puntuales, Q1= 30 nC, Q2= 150 nC, y Q3= -70 nC, están encerradas por una superficie S.
Determine el flujo eléctrico neto que cruza S.
3. El campo eléctrico a 0,200 m de una línea uniforme y muy largo de carga es de 800 N/C. Determine
cuanta carga está contenida en una sección de 1,00 cm de la línea.

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Problemas (aula)

4. Una lámina plana tiene forma rectangular con lados de longitud 0.400 m y
0.600 m. La lámina está inmersa en un campo eléctrico uniforme de magnitud
75.0 N/C dirigido a 20° con respecto al plano de la lámina (ver figura). Encuentre
la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina.
5. La figura muestra una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo
eléctrico horizontal con una magnitud E = 7,90 × 104N/C. Si θ = 60,0° calcule el
flujo eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical. b) la superficie
inclinada. c) la superficie total de la caja.

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Problema Reto

• En la superficie cerrada de la figura a = 0,5 m, b = 0,4 m, c = 0,3 m e y0 = 0,2 m. El campo electrostático en que
está sumergida no es homogéneo y viene dado en el SI por:

Determinar la carga neta encerrada en la superficie.

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ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA EN UN CAMPO UNIFORME

• Trabajo realizado sobre una carga puntual • Carga positiva que se desplaza a) en la dirección del
que se mueve en un campo eléctrico campo eléctrico y b) en la dirección opuesta al campo
uniforme. eléctrico.

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ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE DOS CARGAS
PUNTUALES

• El trabajo realizado sobre una carga de • el trabajo es el mismo para todas las trayectorias

prueba q0 que se mueve en el campo posibles entre a y b. Para demostrar esto, se considera
eléctrico ocasionado por una sola carga un desplazamiento más general en el que a y b no

puntual estacionaria q. están en la misma línea radial. El trabajo efectuado

sobre q durante este desplazamiento está dado por:

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ENERGÍA POTENCIAL CON VARIAS CARGAS PUNTUALES

• Se concluye que la energía potencial
asociada con la carga de prueba q0 en el
punto a en la figura es la suma algebraica (no
la suma vectorial):

• la energía potencial total U es la suma de las
energías potenciales de interacción para cada par
de cargas. Esto se escribe como

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POTENCIAL ELÉCTRICO

• El potencial es la energía potencial por Potencial debido a una carga puntual
unidad de carga. Se define el potencial V en
cualquier punto en el campo eléctrico como Potencial debido a un conjunto de cargas
la energía potencial U por unidad de carga puntuales
asociada con una carga de prueba q0 en ese
punto:

La diferencia Va - Vb se llama potencial de a Potencial debido a una distribución
con respecto a b; en ocasiones esa diferencia continua de carga
se abrevia como Vab = Va - Vb

• La diferencia de potencial entre dos puntos con
frecuencia se denomina voltaje. Así, el Vab, el
potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo
realizado por la fuerza eléctrica cuando una
UNIDAD de carga se desplaza de a a b.

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PROBLEMA Nº 01: En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = 1.602x10-19 C) se
desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b una distancia total d = 0.50 m. A lo largo de esta
línea, el campo eléctrico es uniforme con magnitud E = 1.5x107 V/m = 1.5x107 N/C en la dirección de
a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la
diferencia de potencial Va - Vb.

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PROBLEMA Nº 02: Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas puntuales, q1 = +12 nC y q2 = -12
nC, colocadas a una distancia de 10 cm una de la otra (figura). Calcule los potenciales en los puntos
a, b y c sumando los potenciales debidos a cada carga, como en la ecuación.

Calcule la energía potencial asociada con una carga puntual de +4.0 nC si se coloca en los puntos a, b y c de la figura.

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PROBLEMA Nº 03: Calcule el potencial a una distancia r de una carga puntual q, por medio de la
integración del campo eléctrico:

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PROBLEMA Nº 04: Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme alrededor de un anillo
delgado de radio a con carga total Q (ver figura). Determine el potencial en un punto P sobre el eje
del anillo a una distancia x del centro del anillo.

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PROBLEMA Nº 05: Calcule el potencial producido por un disco de radio a con carga Q distribuida
uniformemente sobre todo la superficie.

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Conclusiones

La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto ΦE a través de cualquier superficie gaussiana
cerrada es igual a la carga neta qin dentro de la superficie, dividida por Ɛ0:

Al usar la ley de Gauss, se puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga
simétricas.

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Conclusiones

El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie.
Si el campo eléctrico es uniforme y forma un ángulo u con la normal a una superficie de área A, el
flujo eléctrico a través de la superficie es:

En general, el flujo eléctrico a través de una superficie es:

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Referencias.

• Sears F, Zemansky M, Freedman R. Física Universitaria. Volumen II. 1999.México:
Pearson Education.

• Serway R. Física. Tomo II. México.1997. Mc Graw Hill.

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