เอกนามและพหุนาม

เอกสารประกอบการเรยี น

โครงการส่งเสรมิ ความสามารถทาง
วชิ าการสู่ความเปน็ เลศิ คณติ ศาสตร์

พหุนาม

Polynomial

ครูผู้สอน นายฟกิ รีย์ ตาเห

ชื่อ..................................................ช้นั ม......../.........เลขที่............
โรงเรียนพฒั นาอสิ ลาม จังหวดั ปัตตานี

พหนุ าม

1. เอกนาม

เอกนามเปน็ นิพจน์ที่สามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปของการคูณของคา่ คงท่ีกบั ตัวแปรตั้งแต่
หนึง่ ตวั ขึน้ ไป โดยท่ีเลขชี้กำลงั ของตัวแปรแต่ละตัวเปน็ ศนู ย์หรอื เป็นจำนวนเต็มบวก

ดงั น้นั เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน

1. สมั ประสทิ ธิ์ของเอกนาม คือส่วนที่เปน็ ค่าคงที่

2. ส่วนทเี่ ปน็ ตวั แปร และเรียกผลบวกของเลขชีก้ ำลังของตัวแปรวา่ ดกี รขี องเอกนาม
Practice 1 จงใสเ่ ครอื่ งหมาย ✓ หน้านิพจนท์ เ่ี ป็นเอกนาม และ  นพิ จน์ท่ไี ม่เปน็ เอกนาม

1…………… 5xy 2…………… 7(a + b) 3…………… 5xy−5

4…………… 1 pq 5…………… 1 6…………… 1 a3

4 3x 3

7…………… 3(xyz)−1 8……………bc  − 3  9…………… 5 ab
 5 
 

10…………… 105x 11……………15x1y−1z3 12……………13m −3n

13…………… −7.5x3y0 14…………… 5x + 2y 15…………… 5xy3z

Practice 2 จงบอกสมั ประสิทธิแ์ ละดกี รีของเอกนามตอ่ ไปนี้

ข้อท่ี เอกนาม สัมประสทิ ธ์ิ ดกี รี ข้อท่ี เอกนาม สัมประสิทธ์ิ ดกี รี

1 5xy 2 x 2y

3 2p2q 0r 3 4 2 a 2b5

5 −7xy2z 3 3
7 x 3y
6 −6a 0bc4
7
8 1 x 5y5
9 2.5m 5n 7
11 4a 3b2 3−2

2ab 10 −3a2bc3

12 x 5y

x2

2. การบวกและการลบเอกนาม

Practice 3 จงหาผลบวกของพหนุ ามต่อไปนี้

1. x + x = ____________ 2. 8x + 9x = ____________

3. 3x + 4x = ____________ 4. 5y + y = ____________

5. 16y + 3y = ____________ 6. y + 12y = ____________

7. 15xy + xy = ____________ 8. 3y3 + 2y3 = ____________

9. 3x 4 + 3x 4 = ____________ 10. 5x 3 + x 3 = ____________

11. 5az 2 + 12az 2 = ____________ 12. 2x 2y + 3x 2y = ____________

13. 19xy2 + xy2 = ___________ 14. 3xz + 8xz = ____________

15. 4x 2y2 + 8x 2y2 = ___________ 16. 14x 5y3 + 7x 5y3 = ____________

17. 3xy + 5xy = ____________ 18. − 12x + 13x = ____________
19. 7x 2 + (−4x 2) = ____________ 20. (−3ab2) + (−7ab2) = ____________
21. 5m2n4 + 6m2n4 = _________________________

22. (−5x 2y) + 3yx 2 = _________________________
23. a2b2c2 + 13a2b2c2 = _________________________
24. (−12m3n) + (−8m3n) = _________________________
25. (−12x 2) + 5x 2 + 13x 2 + (−6x 2) = _________________________

26. − 5x 2y + 3x 2y + 4x 2y + (−8x 2y) = _________________________

Practice 4 จงหาผลลบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้

1. 5xy − 3xy = _______________________________

2. 7x 2 − (−3x 2) = _______________________________

3. (−8x 2y) − 6x 2y = _______________________________

4. 9x 2yz − (−6x 2yz) = _______________________________

5. (−6a2b3) − (−a2b3) = _______________________________

6. − 12t2 − 5t2 = _______________________________

7. 18b2c2 − 15b2c2 = _______________________________
8. 6st − (−10st) = _______________________________

9. (−10x 2y2z 2) − (−9x 2y2z 2) = _______________________________

10. 7xy2 − (−3y2x) = _______________________________

Practice 5 จงทำใหเ้ ปน็ ผลสำเร็จ

1. 7x + (−3x) + (−4x) = _______________________________

2. (3m2 − 4m2) + 5m2 = _______________________________

3. 7ab3c − 4ab3c − ab3c = _______________________________

4. 5m 3n 2 + 4 m 3n2 + 5 m3n2 = _______________________________
3 3

5. 11x 2y + (−7x 2y) − 4x 2y = _______________________________

6. 8xyz − 13xyz + 3xyz = _______________________________

7. (−10s2t 3) + 2s2t 3 − 3s2t 3 = _______________________________

8. 1.5ab3c5 + 3.3ab3c5 − 2.2ab3c5 = _______________________________

9. 17x 4yz 3 − (−5x 4yz 3) − 10x 4yz 3 = _______________________________

3. การคูณและการหารเอกนาม

Practice 6 จงหาผลคณู ของเอกนามต่อไปน้ี

1. (2ab)  (−2ab) = _________________

2.  1 xy 2   (2x ) = _________________
 2  = _________________
 

3. (7ab)  (−3bc)

4. (−10m)  (−3mn) = _________________

5. (10x)  (7y) = _________________

6. (7st)  (−3t2) = _________________

7. (2yz)  (−3xz) = _________________

8. (−3x 2y2z 2)  (−3z) = _________________

9. − 9r 2s 3t 4  (−8r 3s 4t) = _________________

10. 13p6q 3  (−7pqrs) = _________________

Practice 7 จงหาผลหารของเอกนามต่อไปน้ี

1. 27a2b3  3ab = ____________________________
2. (−81x 3y)  9x 2 = ____________________________
3. 56x 3y4  (−7x 2y3) = ____________________________
4. (−11a7b2)  (−11a2b2) = ____________________________
5. 169m3n  (−13mn) = ____________________________

6. 45a 3b4c2  3a2b3c = ____________________________

7.  − 4 abc    4 abc  = ____________________________
 5   5  = ____________________________
    = ____________________________

8. (−60x 3y4)  (5x 2y)

9. − 15a6b4c7  3a2bc3

10. − 24r 5s6t7  (−4r 4s5t7 ) = ____________________________

Practice 8 จงหาผลหารต่อไปนี้

1. −10x = __________________
5

2. 10a 2 = __________________
2a

3. b2 = __________________
3b

4. 8y 4 = __________________
16y 2

5. 20xy = __________________
5x

6. 3xy2 = __________________
2y

7. 12x 2y = __________________
−3y

8. −27m2n2 = __________________
−9mn

9. 15x 3y = __________________
12xy

10. −x 4y 3 = __________________
x 2y2

11. 6x 3y 4 = __________________
x 3y2

12. 4p4q 3 = __________________
8p2q

13. −9x 3yz 4 = __________________
−21xyz 2

14. p4q 3 = __________________
−5q 2

15. 18x 3y4 = __________________
12x 3y2

16. 29 p4q 3 = __________________
8p2q 3

4. พหุนาม

พหนุ ามเป็นนิพจน์ทสี่ ามารถเขยี นในรปู เอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของ
เอกนามขึ้นไป เชน่ 3x2 + 5x + 9, 5xy2 − 6xy + 1

เอกนามแตล่ ะเอกนามแตล่ ะเอกนามในพหุนามว่า พจน์

พหนุ ามที่แต่ละพจน์ในพหุนามน้ันไมม่ ีพจนท์ ่ีคล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ

ดกี รที ี่สงู ที่สุดของเอกนามท่ีปรากฏในพหุนามวา่ ดกี รขี องพหุนาม

Practice 9 จงเขียนพหนุ ามตอ่ ไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเรจ็ และบอกดกี รีของพหนุ าม

ท่ี พหุนาม พหุนามในรปู ผลสำเร็จ ดกี รี

1 5x + 6y − 2x + y
2 2xyz + 3x − xyz + 9x + 3xyz

3 6x 5 + 7y2 + y2 + 4x 5 − x 5 − 6y2
4 5x 3y − 3xy3 + 2x 3y + 9xy3
5 5yz − xy − yz + 3xy + 4xz − 2yz − zx

6 3x2y2 − 4r2t2 + 5rt2 + 4r 3t2
7 xy2 + 4y2 + 5 + 2xy2 − 7 − 8xy2 − 3y2
8 3x 3 + 2x2y + y4 + 4x 3 − 5x2y − 6y4
9 xy + 2y2 − 3x2 + 2x2 − 4y2 + 2xy

10 4x2y + 5xy2 − 6xy − 4x2y − 5xy2 + 6xy
11 7p4q2 − 9p3q2 + 15p3q2 + 3p4q2
12 100x5y − x 4y − 55x5y + x 4y

Practice 10 จงหาผลบวกของพหนุ าม

1. (3x + 6) + (4x − 3) = _______________________

2. (6x2 + 10) + (−5x2 − x + 1) = _______________________

3. (8x − 1) + (−x2 − 9x) + (x2 + 4) = _______________________

4. (3s + 5st) + (−9s − 3st) = _______________________

5. (13r − 2t − 2s) + (−14r + 11s − 7t) = _______________________

6. (3x + 9y − 15) + (2 + 8y − z) = _______________________

7. (3x 3y2 + 3xy) + (3xy − x 3y2) = _______________________

8.(38m4n2 − 4m4n + 4m) + (9m4n − 18m4n2 + m) = __________________

9. (7xy5z2 + 7xz) + (−xy5z2 + 3xz) = _______________________

10. (8mn5 + 8mn4 − 3m) + (3mn5 − 3mn4 + 9m) = ___________________

Practice 10 จงหาผลบวกและผลลบของพหนุ ามในแต่ละข้อต่อไปน้ีพร้อมบอกดีกรขี องพหนุ าม

1) (5x 2 3) (2x 2 3y3) 2) (x 3 2x 2) (3x 2 4x 3)

3) (4 2x 3) (5x 3 2) 4) (4x 3x 3) (3x 3 4x)

5) (3x 2 1) (4 2x 2) 6) (4x 3 3x 4) (x 4 5x 3)

7) (5x 4) (5x 3) 8) (3x 4 3x) (3x 3x 4)

9) ( 4x 4 14 3x 2) ( 3x 4 14x 2 8)

10) (3 6x 5 8x 4) (3x 2 11x 4 7)

11) (12x 5 6x 10x 3) (6x 3 5x 5 7x 4)
12) (8x 3x 4 10x 2) (3x 2 11x 4 7)
13) ( x 4 13x 5 6x 3) (6x 5x 5 7x 4)
14) (9x 3 5x 2 11x) ( 2x 3 9x 8x 2)
15) (13x 2 11x 2x 4) ( 13x 2 3x 6x 4)
16) (8x x 2 6) ( 10x 7 2x 2)
17) ( 9y2 8x) ( 2xy 2x 2 y2) ( y2 4xy)
18) (4x 2 7x 3y ) ( 6x 2 7x 3y2 4x) (10x 9x 2)
19) ( 5x 3y 4 9x) ( 5x 3y 4 8y 8x 2y2) ( 8x 4y2 8x 3y 4)
20) ( 9xy3 9x 4y 3) (3xy 3 7y 4 8x 4y 4) (3x 4y 3 2xy 3)
21) (y 3 7x 4y 4) ( 10x 4y 3 6y 3 4x 4y 4) (x 4y 3 6x 4y 4)

การคูณพหุนาม 2) 4x(5xy 3x)

การคูณเอกนามกับพหุนาม

ใช้สมบัตกิ ารแจกแจง a(b c)

PROBLEMS

1. จงหาผลคณู ต่อไปน้ี

1) 2(2x 3)

3) 4( 4x 3y 8 3x 3) 4) 8x 4(3x 2 5x)

5) 4xy(2xy 3x 3y0) 6) 2 xy5 4 x 1 xy2
7) 2(3x 3 4x 2 x) 3 33

8) 5(x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)

การคูณพหนุ ามกับพหุนาม

นำแตล่ ะพจน์ของพหุนามหนึ่งคณู ทุก ๆ พจน์ของอกี พหนุ ามหน่ึง แล้วนำผลคูณมาบวกกัน ให้

เป็นพหนุ ามในรูปสำเรจ็

PROBLEMS

2. จงหาผลคณู ของพหุนามในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1) (3x 5)(3x 2) 2) (5x 2)(7x 2)

3) (x 7)(3x 1) 4) (x 4)(3 3x)

5) (2x 8y)(6x 8y) 6) (x 6y)(5x 7y)

7) (3x 7y)(2x 3y) 8) (4x 4xy)(2x 3x)

9) (3x y)(6x 2 5xy 7y2)

10) (3x 8y)(2x 2 4xy 6y2)

11) (x 2 6x 5)(5x 2 x 5)

12) ( 3y2 2xy 8x 2)(8y2 4xy x 2)

14) (6x 2 8xy 4y2)(8x 8y)

15) ( 6x 2 x 6)( x 8)

การคูณพหนุ าม 2) (2x 3 20x 2 x) 10x 2

การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม

PROBLEMS
3. จงหาผลลพั ธ์ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) (18x 5 36x 4 27x 3) 9x

3) 9x 5 9x 4 45x 3 4) 3x 3 x 2 2x
9x 2 9x 3

5) (45x 4 18x 3 4x 2) 9x 3 6) (6x 3 150x 2 5x) 15x

7) 9x 3y2z 3x 2yz 2 54xy3z 8) 12x 3y4 12x 2y3 3xy2
6xyz 6x 2y2

9) (15x 2yz 5xyz 25x 4y2z) 5xyz 10) (8x 3y2wz 3 4xywz) 2xywz

การหารพหนุ าม

การหารพหุนามดว้ ยพหนุ าม
มขี ั้นตอนดงั นี้

1. จัดพจน์ของตัวตั้งและตวั หารโดยเรียงกำลังจากมากไปหาน้อย หรอื จากน้อยไปหามากก็ได้
2. หารตัวตงั้ พจนแ์ รกด้วยตัวหารพจนแ์ รกซงึ่ จะได้ผลลัพธพ์ จน์แรก
3. ผลลพั ธ์ทไี่ ดก้ ับตัวหารแลว้ นำเอาไปลบออกจากตวั ตั้ง ซ่ึงจะได้เปน็ ตวั ต้งั ใหม่
4. ใช้ตัวตั้งท่ีได้จากขอ้ 3 แล้วทำเหมอื นกับข้อ 2 และขอ้ 3 จนกระทง้ั เหลือเศษซึง่ ดีกรขี อง

เศษจะเหลือน้อยกว่าตัวตงั้
5. ผลลัพธท์ ่ีได้จะเขยี นอยใู่ นรปู ตั้งตง้ั ตัวหาร ผลหาร เศษ

PROBLEMS 10)
4. จงหาผลหารจากพหุนามต่อไปนี้

1) (x2 14x 13) (x

2) (x2 2x 36) (x 5)

3) (x2 x 79) (x 9)

4) (x2 7x 7) (x 4)
5) (x2 4x 11) (x 3)
6) (x2 3x 44) (x 6)
7) (x 3 12x2 32x 15) (x 3)
8) (x 3 x2 36x 42) (x 7)