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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

INTEGRACIÓN Y
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

2.2.1. COMENTARIOS
2.2.2. MÉTODOS DE NEWTON – COTES
2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO
2.2.3. INTEGRACIÓN DE ROMBERG
2.2.4. CUADRATURA GAUSSIANA
2.2.5. CUADRATURA ADAPTABLE
2.2.6. INTEGRALES MÚLTIPLES
2.2.7. INTEGRALES IMPROPIAS
2.2.8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
2.2.8.1. FORMULAS DE ALTA EXACTITUD
2.2.8.3. APLICACIONES.

Integración y Diferenciación Numérica Página 1

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2.2. INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

2.2.1. COMENTARIOS

En materias anteriores se han estudiado una diversidad de técnicas para
evaluar las integrales de manera exacta, sin embargo debemos destacar que
estas técnicas no pueden resolver muchos problemas que aparecen en el
mundo real físico consensual; para esto necesitamos métodos de
aproximación de integrales se le llaman métodos de cuadratura porqué
“cuadratura” pues se trata de la palabra clásica para denominar el cálculo
de áreas.
Debemos decir que la principal herramienta para evaluar integrales
definidas es la Regla de Barrow, la que para su aplicación requiere la
determinación de una primitiva de la función cuya integral queremos evaluar
el cual en general no es un proceso constructivo, lo que induce a la
necesidad de disponer técnicas para obtener aproximaciones precisas.
La integración es el proceso inverso de la diferenciación, en donde la
integración es juntar partes en un todo, matemáticamente se representa por

, que representa la integral de f(x) con respecto a la variable x.

La integración numérica es utilizada para funciones analíticas o
tabulaciones dadas.

En el caso de las funciones tabulares dados se ha determinado un polinomio
de aproximación Pn (x) en un intervalo de interés, que aproxima la curva que
representa a la función f(x), pero su diferenciación e integración presentan
discrepancias

Integración y Diferenciación Numérica Página 2

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1. El proceso de integración esta dado por el área bajo la curva de f (x)

xn f (x) dx
x0

2. La integral aproximada está dado por el área bajo la curva Pn (x)

,

Pn (x) :

 xn Pn ( x )dx
x0

3. Los errores que se cometen al integrar los diferentes segmentos, tienden

a cancelarse entre si o reducirlo lo que permite afirmar que el error total

al integrar Pn (x) desde x0 a xn puede ser muy pequeño; aun cuando Pn
(x) no sea una buena aproximación de f (x).

4. Por otro lado d Pn (x) que proporciona la pendiente de la recta
dx

tangente a Pn (x) en un punto; puede variar en magnitud respecto a
d f (x) en el mismo punto aunque Pn (x) sea una buena aproximación
dx

Los métodos de integración usadas pueden clasificarse en dos grupos:

i) Fórmulas de Newton Cotes: Los que usan valores dados de la función
f (x) en abscisas equidistantes.

ii) Fórmulas de Cuadratura Gaussiana: Los que usan valores de f (x) en
abscisas desigualmente espaciadas determinadas por ciertas
propiedades de familias de polinomio ortogonales.

Integración y Diferenciación Numérica Página 3

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2.2.2. MÉTODO DE NEWTON – COTES
Son los tipos de integración numérica mas comunes, su estrategia es
remplazar a la función complicada o de datos tabulados por un polinomio
de aproximación que es fácil de integrar.

b

Es decir supongamos que nos interesa determinar I  f (x) dx ; entonces,
a

tenemos:

,

En donde pn(x) es el polinomio aproximación,
,

Donde n es el grado del polinomio el método en estudio lo realiza en
general en dos pasos.
Observemos que cuando el polinomio de aproximación es lineal se trata de
una línea recta como observamos en el caso (a) y cuando se trata de un
polinomio de segundo orden tenemos el caso (b)

f(x)
f(x)

a bx a bx

Figura N0 caso (a) Caso (b)

En otros términos:

Primero: Dividir el intervalo [a, b] en “n” intervalos de igual magnitud en
donde sus valores extremos son:

Integración y Diferenciación Numérica Página 4

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, siendo , (1)

x0 x1 x2 x3 xi xi + 1 ... …
hhhhh
b
a

Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado “n”, Pn (x) y se
integra para obtener la aproximación de f(x).

2.2.2.1. MÉTODO TRAPEZOIDAL
1. Este método de integración numérica se fundamenta en la integración de

la fórmula de interpolación lineal.
2. Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b, entonces la

aproximación polinomial de f (x) es una línea recta, i.e., P1 (x)
3. La aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo la línea recta.

 b x1 Pi (x) d ( x)  Área del trapecio con vértices x0 , x1, f (x0 ), f (x1)
x0
f (x) dx 

a

4. Para realizar la integración x1 P1 ( x) dx , se requiere usar una de las
x0

representaciones del polinomio P1 (x).

5. Pero f (x) está dado para valores equidistantes de x con distancia h, la

relación lógica es una de las fórmulas en diferencias divididas finitas

(hacia delante, hacia atrás)

6. Supongamos que elegimos las diferencias divididas finita hacia delante

tendremos.

Pn (x0  sh)  f x0  sf x0  s(s 1) 2 f x0  s(s 1)(s  2) 3 f x0  ...
2! 3!

s(s 1)(s  2)(s  3)....(s  (n 1)) n f x0 
n!

En nuestro caso:

Integración y Diferenciación Numérica Página 5

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f (x)  P1 (x) , luego

P1 (x)  P1 (x0  sh)  f x0  sf x0 

Tenemos la integral

 b x1  f x 0   sf x 0 dx (2)
x0
f (x)dx 

a

La integral de lado derecho debe estar en función de s, i.e.,

x  x0  sh ;
dx  hds

Para los límites de integración x0 y x1:

x0  x0  sh de donde s  0 ; x0 , h son cons tan tes
x1  x0  sh

Luego:

  x1 1 h )ds
x0 0
f (x0 )  sf (x0 ) dx  f ( x0 )  sf ( x0

  f (x0 )s  s2 f  1
h 2 (x0 ) 0

 

 h f (x0 )  f (x0 )
2 

Pero : f (x0 )  f (x0  h)  f (x0 )

 f (x1 )  f (x0 )

Luego tenemos:  h f (x0 )  f (x1 )  f (x0 )
2 

  f (x1 )  f (x0 )
h 2 

 b f (x)dx  h f (x1 )  f (x0 ), (3)
a 2

Algoritmo del Método Trapezoidal

Integración y Diferenciación Numérica Página 6

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Ejemplo: Usar el método trapezoidal

a) Aproximar el área A1 bajo la curva de la función dada por la tabla
siguiente, en el intervalo a = 500, b = 1800

Puntos 0 1 2 3 4 5

f (x) 9 13 18 25 25 27

x 500 900 1400 1800 2000 2200

6 4 (2  3x  4x 2 )dx
 b) Aproximar:  
A2 (1 x) ; c) Aproximar: A3 2

0


2 senxdx ; e) Aproximar: 2 cos xdx

0 0
 d) Aproximar: A4  A5 

Solución:

a) h = 1800 – 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800

A1  1300 (23  9)  130016  20800
2

b) h = 6 – 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6

A2  6 f  f (0)  f (6)  31 7  24  A2  24u 2
2

c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2

 A3 6  312  78  2700u 2
 2 2  6  4(4)  2 12  4(4)2

d) h    0  h   , x0  0 , x1   , f (x)  senx
2 2 2

A4   sen0  sen      A4   u2
4 2  4 4

Integración y Diferenciación Numérica Página 7

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e) h ; x0  0, x1   , f (x)  cos x
2 2

A5   u2
4

2.2.2.2. MÉTODO DE SIMPSON n

Supongamos que el intervalo de integración a, b es dividido en

subintervalos con longitudes iguales, i.e.,

Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] se le divide en dos
subintervalos en tonces tendremos:

,

,
Se aproxima f(x) por una parábola

,

Usemos la formula de Newton en diferencias finitas hacia delante

P2 (x)  P2 (x0  sh)  f (x0 )  sf (x0 )  ss 1 2 f (x0 )

2!

En consecuencia

, ;

Integración y Diferenciación Numérica Página 8

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;
Considerando la primera y segunda diferencia hacia delante tenemos

;
,

Considerando estas relaciones en la relación
, tenemos

,.........(4)

Ejemplos usando los datos anteriores aplicar el algoritmo de Simpson

h  1800  500  650; X0  500; X1  500  650  1150; X2  1800
2

A1  650 f (500)  4 f (1150)  f (1800) f(X1) se encuentra interpolando
3

A1  650 9  4(16.08)  23  20869.33
3

(2) Aproximar A2  5 2  3xdx


0

h  50  2.5; X0  0; X1  0  2.5  2.5; X2  5
2

A2  2.5 f (X 0 )  4f (X1)  f (X 2 )
3

A2  2.5 2  4(2  3(2.5))  (2  3(5))
3

A2  2.5 2  4(9.5) 17  47.5
3

Integración y Diferenciación Numérica Página 9

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 (3) Aproximar 4 2
A3   1  2x  3x dx

2

h  4  (2)  3; X0  2; X1  2  3  1; X2  4
2

f (2)  1 2(2)  3(2)2  9

f (1)  1 2(1)  3(1)2  6

f (4)  1 2(4)  3(4)2  57

A3  3 9  4(6)  57  90
3

Generalizando

Consideremos el intervalo [a,b] dividido en n subintervalos proporcionando

n+1 puntos equidistantes en donde x0=a; xn=b, en esta

oportunidad el polinomio de interpolación es de n-esimo grado, luego la

aproximación de la integral

Pn (x)  Pn (x0  sh)  f (x0 )  sf (x0 )  ss 1 2 f (x0 )  s(s 1)(s  2) 3 f (x0 ) ...
3!
2!

 s(s 1)(s  2)...( s  (n 1)) n f (x0 )
n!

b

Entonces la aproximación de la integral  f (x)dx estará dado por:

a

b xn n

 f (x)dx   Pn (x)dx  h  Pn (x0  sh)ds

a x0 0

 h0n  f ( x0 )  sf ( x0 )  ss 1 2 f x0  s(s 1)(s  2) 3 f ( x0 )  ... s(s 1)(s  2)...(s  (n 1)) n f ( x0 )ds
3! n!
2!

Que ocurre si integramos los cinco primeros términos

b  s2  s3 s2 2  s4 s3 s2 3  s5 s4  11s3 s2 4 n
 hsf 2!  6 4  24 6 6  120 16 72 8 )
a f (x)dx   (x0 )  f (x0 )   f (x0 )    f (x0 )    f ( x0 

0

b  n2  n3 n2 2  n4 n3 n2 3  n5 n4  11n3 n2 4 
 hnf 2!  6 4  24 6 6  120 16 72 8 )
a f (x)dx  (x0 )  f ( x0 )   f (x0 )    f ( x0 )    f ( x0 


Integración y Diferenciación Numérica Página 10

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Que ocurre si n = 1

x1 (x)dx  h f (x0 )  f (x1)
f 2
x0 Trapezoidal

Pues:

x1 f (x)dx  h f (x0 )   f ( x0 )   h 2 f (x0 )  f ( x0 )  h 2 f (x0 )  f (x1)  f (x0 )  h  f (x0 )  f (x1)
 2  2 2 2
x0 

Que ocurre para n = 2

x2 (x)dx  h x2  sh)ds
f 2  P2 (x0
x0 x0

2
 h  P2 (x0  sh)ds

0

 2  f (x0 )  sf (x0 )  ss 1 2 f x0 ds
h 
2!
0

 s2  s3 s2 2 2
hsf 2!  6 4 )
 (x0 )  f (x0 )   f (x0 

0

 h2 f (x0 )  2f ( x0 )  1 2 f (x0 )
3

Pero:

f (x0 )  f (x0  h)  f (x0 )  f (x1)  f (x0 )

2 f (x0 )  f (x0  2h)  2 f (x0  h)  f (x0 )  f (x2 )  2 f (x1)  f (x0 )

x2 (x)dx  h  f (x0 )  4 f (x1)  f (x2 ) Simpson 1/3
f 3
x0

Si n = 3

x3 (x)dx  3h f (x0 ) 3 f (x1)  3 f (x2)  f (x3)  Simpson 3/8
f 8
x0

f (X2)

Integración y Diferenciación Numérica f (X1) Página 11

f (X0)

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

    h5 f IV X ;
90
X  ab

2
h ba

2

2.2.2.3. MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN
En ocasiones el intervalo de integración tiene una longitud grande, entonces
resulta conveniente dividirlo en subintervalos y aproximar cada una por
medio de un polinomio.

2.2.2.3.1. Método Trapezoidal Compuesto f(xn-1) f(xn)
f(x)
f(x2)

f(X) f(X)
f(x1) f(x1)

f(x0) f(x0)

X0 x1 X X0 x1 x2 xn-1 xn

ab a b

Figura. Representación del Método de Trapecio Compuesto

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a,b] por una recta. Conviene
dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar la integral de f(x) en cada
subintervalo por un polinomio de primer grado como muestra la figura.

Aplicamos la fórmula Trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el área
del trapezoide de tal manera que la curva de todos ellos nos proporciona el
área aproximada bajo la curva f(x).

b x1 x2 x3 xn b
 f (x)dx   P1(x)dx   P2(x)dx   P3(x)dx     Pn(x)dx

a a  x0 x1 x2 xn1

Donde:

Integración y Diferenciación Numérica Página 12

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Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta que pasa por (Xi-1, f(Xi-
1)), (Xi, f(Xi)).

Aplicando el método del trapezoide en cada subintervalo:

I  x1  x0 f (x0 )  f (x1) x2  x1 f ( x1 )  f (x2 ) xn  xn1 f ( x n1 )  f (xn )
2 2 2

Que ocurre si todos los intervalos tienen la misma longitud h, i.e., Xi+1 - Xi =
hi; i=0, 1,2,…,(n-1).

I  h f (x0 )  2 f ( x1 )  2 f (x2 )  2 f ( x n1 )  f (xn )
2

I  h  f n1 (xi )  f (xn )
2
(x0 )  2  f (5)

i1

EJERCICIOS RESULTOS1

1) Usar el método trapezoidal compuesto para aproximar el área bajo la
curva de la función dada por tabulación en x = -1 y x = 4

Solución A  1 8  2(10 10  20  76)  238  239

2

Observación:
Se aplicó cinco veces el método del trapezoide. h=1

2) Aplicar el método en análisis si f(x)=x4 – 2x2 + x + 10; x0= -1  xn =4; h = 1

1 Ver Métodos Numericos aplicados a Ingenieria de Nieves y Domínguez Página 13
Integración y Diferenciación Numérica

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

A  1  f (x0 )  4 (xi )  f (x5 )
2 2 f

i1

A  1 8  2(10 10  20  76)  238  239

2

2.2.2.3.2. Método Compuesto de Simpson
Recordemos que para aplicar el método de Simpson se necesita dos
subintervalos y como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir
el intervalo [a, b] en un número de subintervalos igual a 2n.

Veamos gráficamente esto:

Figura. Representación del Método de Simpson Compuesto

Observamos que cada par de subintervalos sucesivos aproximamos f(x) por
medio de un polinomio de segundo orden (parábola) y se integra usando el
método de Simpson de tal manera que la suma de las áreas parciales
proporcione el área total, es decir:

b x2 x4 x6 xn b
I   f (x)dx   P1(x)dx   P2 (x)dx   P3 (x)dx   Pn (x)dx

a ax0 x2 x4 xn2

Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dos que pasa por tres puntos
consecutivos usando el método del Trapezoide.

I  h1 f (x0 )  4 f (x1)  f (x2 ) h2 f (x2)  4 f (x3 )  f (x4 ) hn f (xn2 )  4 f (xn1)  f (xn )
3 3 3

Donde:

Integración y Diferenciación Numérica Página 14

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h1  x1  x0  x2  x1
h2  x3  x2  x4  x3


hn  xn1  xn2  xn  xn1

Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos:

I  h f (x0 )  4 f (x1)  f (x2 ) h f (x2 )  4 f (x3)  f (x4 ) h f (xn2 )  4 f (xn1)  f (xn )
3 3 3

Luego:

 h  f (x0 )  n1 f (xi )  (xi )  f 
I 3  2 f (xn )
 4 
i2 (6)
i1

Ejemplos:
3) Usando el método de Simpson compuesto, aproximar el área bajo la curva
considerando los datos anteriores
Aplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4

A1  1 f (x0 )  4( f (x1)  f (x2 ))  2 f (x2 )  f ( x3 )
3

 1 8  4(10  20)  2(10)  76  74.666

3

*) Aplico el método trapezoidal X4, X5

A2  1 76  238  157
2

Luego:

I  74.666 157  231.666

4) Hallar la integral aproximada de f (x)  1  x2 entre -1 y 1
e2
2

Integración y Diferenciación Numérica Página 15

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Usar el método trapezoidal compuesto compare el resultado con 0.682
obtenido de tablas.

Solución:

Con n = 1 h  1 (1)  2

1

I  2 ( f (x0 )  f (x1))  1 (0.606  0.606)  0.484
2 2
2

El error relativo considerando el valor de la tabla 0.484  0.682
ó 29% En1  0.682  0.29

Si n = 2  h  1 (1)  1

2

I  2 ( f (x0 )  2 f (x1)  f (x2 ))  1 (0.606  2(1)  0.606)  0.64
2 2
2 2

0.64  0.682 ó 5.87%
E2  0.682  0.0587

Si n = 4 h  1 (1)  0.5

4

I  0.5 ( f (x0 )  2 f (x1)  2 f (x2 )  2 f (x3 )  f (x4 ))
2 2

 0.5 (0.606  2(0.882)  2(1)  2(0.882)  0.606)  0.672
2 2

0.672  0.682 Ó 1.47%
E4  0.682  0.0147

5) Usar el método de Simpson varias veces y comparar el resultado con
0.682 valor obtenido por tabla considerando el ejercicio anterior.

Solución:

Si n=2 h  1 (1)  1

2

Integración y Diferenciación Numérica Página 16

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

I  1 ( f (x0 )  4 f (x1)  f (x2 ))  1 (0.606  4(1)  0.606)  0.693
2 2
3 3

0.693  0.682 Ó 1.62%
E2  0.682  0.0162

Si n =4  h  1 (1)  0.5

4

I  0.5 ( f (x0 )  4 f (x1)  2 f (x2 )  4 f (x3 )  f (x4 ))
3 2

 0.5 (0.606  4(0.882)  2(1)  4(0.882)  0.606)  0.683
3 2

0.683  0.682 Ó 0.15%
E4  0.682  0.0015

2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO EN LA APROXIMACIÓN
TRAPEZOIDAL

En esta oportunidad analizamos el error en una integración trapezoidal
compuesta iniciemos por tener en cuenta el i–esimo trapezoide, consideremos
los puntos xi-1 y xi con una distancia de h=(b-a)/n, además supongamos que
F(x) es la primitiva del integrando f(x) luego entonces podemos integrar f(x) en
el intervalo [xi-1, xi ] es decir:

, (7)

Por otro lado la aproximación numérica de la integral usando el método del
Trapezoide es:

, (8)

Suponiendo que no existe errores en el cálculo entonces se puede suponer
que:

, (9)

Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= xi en f(x) de tal manera que
obtenemos f(xi-1).

Integración y Diferenciación Numérica Página 17

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

,

Como h=xi-xi-1.

, (10)

,

, (11)
De manera análoga tenemos para F(xi-1 ) , (11)

Entonces consideramos en (7) se tiene, (12)
, ,

Pero se tiene que
,

Considerando (12) y (11) en (10) se tiene,

,

Considerando que h<<1 los términos h4, h5,... pueden despreciarse de tal
manera que el error de truncamiento del i-esimo trapezoide es dado por.

, (13)

Integración y Diferenciación Numérica Página 18

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Si además para , entonces,

, de donde se tiene para n trapezoides

, (14)

Consecuentemente para fines de análisis el error de truncamiento en el método
trapezoidal se expresa así.

, (15)

2.2.4. EJERCICIOS Y APLICACIONES DIVERSAS

I. Determinar las integrales aproximadas usando los Métodos de Simpson,
Trapezoidal simple y compuesto de:

5

1.  (2  3x)dx

0

2. 5 (2  3x 2  x)dx


0

3. 5 (5  3x 3  x)dx


0

 /2

5.  senxdx

0

 /2

6.  sen2xdx

0

 /2

7.  cos xdx ,

0

8. 2 (2x 3  4x  2)dx


2

Integración y Diferenciación Numérica Página 19

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

9. 6 (4 x3  2x 2  8)dx


0

10. 2 e x dx


2

11. 3 ( x  4x 2 )dx


3

12. 6 e x dx


4

II. Hallar el área de la región limitada por:
1. y  x2 1 y las rectas x  1, x  2 .
2. y  2  x2 , x  y .
3. y  x3  x  2 , y las rectas x  1, x  2
4. y  x2  2  x  y  4 .
5. y  x2  2 , y  x x  2 , x  2 .
6. x  3  y2 , y  x 1.
7. y  x3 y  0 entre x  3 , x  3 .
8. y  x2  2x , y  x2 .
9. x  8y  y2 , x  0 .
10. x  (3  y)(y 1) , x  0 .
11.- x  y2  2y , x  y  4  0 .
12.- y  4x  x2 y el eje Y.
13.- y  4  x2 , y  4  4x .
14.- y2  4x , 2x  y  4 .
15.- y  x2 , y  x3 , x  y  2 .
16. y  x2  2x  4; x  2, X 4
III. Calcular el volumen generado por la curva:

Integración y Diferenciación Numérica Página 20

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

a) y  1 (x / 2)2 , 0  x  2 al rotar en torno al eje X
b) y  x3 y  0 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X
c) y  x2 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X
d) y  x2 y  0 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X
e) y  x2 1 y  0 entre x  4 , x  4 al rotar en trono del eje X

2.2.4. INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Llamado también como técnica de extrapolación de Richardson se usa
finalidad de acelerar la convergencia de muchas técnicas de aproximación.
Estas técnicas tienen su base en el análisis del error de truncamiento. Veamos
la metodología.

Supongamos una aproximación y que su error de truncamiento

sea expresado de la siguiente manera , en donde c es

independiente de h , r es entero positivo y es un punto desconocido del

intervalo (a,b).

Supongamos que obtenemos dos aproximaciones de I empleando h1 y h2 es
decir I1 y I2, y despreciamos los errores de redondeo podemos escribir:

;

,

Dividiendo miembro a miembro y considerando que y son
iguales entonces se tiene,

;

, (16)
Considerando h2=h1/2 se tiene de (16)
Página 21
Integración y Diferenciación Numérica

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

, (17)

Debemos resaltar que a este proceso se le llama integración de Romberg el
cual es muy efectivo cuando f(r) (x) no vara bruscamente en el intervalo [a,b] y
no cambia de signo en este intervalo. En estas circunstancias las relaciones
(17) y (16) permiten obtener una mejor aproximación a I a partir de I1 y I2 sn
repetir el proceso de integración.

Cuando se trata de una aproximación trapezoidal se usa r=2 en consecuencia
tenemos,

,

Para sistematizar la integración de Romberg en la aproximación trapezoidal,

denotemos por , las aproximaciones de I usando 2k trapezoides. Ahora si

queremos obtener mejores aproximaciones de I usando , se

aplica la extrapolación de Richardson,

, el cual se denotara con y se genera la cuarta columna de

la tabla y as.

, esto lo denotamos con y se puede continuar el proceso

tanto que responda el algoritmo.

, (18)

Si los valores de converge a I al crecer k los valores de la diagonal de la

tabla convergen a I .

k Numero de Aproximación Primera Segunda

trapezoides 2k trapezoidal extrapolación extrapolación .......

01

Integración y Diferenciación Numérica Página 22

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

12

24

38

4 16

:

Tabla No Aplicación del método de Romberg

Ejemplo
Encuentre una aproximación de la integral

, usando 1,2,4,8, 16 trapezoides. Con los resultados obtenidos
usar la aproximación de Romberg para mejorar la integración compare los
valores obtenidos con el valor calculado analíticamente 0.6366197.

Solución
Construir un programa para el ejemplo y obtener los valores:
k 2k
0 1 0.0
1 2 0.5
2 4 0.6035534
3 8 0.6284174
4 16 0.6345731

Obsérvese que converge al valor analítico al aumentar k, sin embargo al
emplear mas subintervalos implica aumentar los errores de redondeo y un un
considerable incremento en el numero de cálculos.
En cambio, si se aplica la integración de Romberg con m=1 se obtiene:

Integración y Diferenciación Numérica Página 23

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

,

,

,
Obsérvese con estos tres breves cálculos se obtienen mejores aproximaciones
de la integral.
Si aplicamos Romberg con m=0 tenemos

,

,

,

Para valores de m=3, m=4
k 2k

0 1 0.00000 0.6361648 0.6366214 0.6366197
1 2 0.500000 0.6666667 0.6366143 0.6366197
2 4 0.6035534 0.6380712 0.6366196
3 8 0.6284174 0.6367054
4 16 0.6345713 0.6366250
:

Obsérvese que el último valor es el analítico de la integral. Esta metodología
se puede usar hasta que dos elementos consecutivos coincidan hasta cierta
cifra decimal.

Integración y Diferenciación Numérica Página 24

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

2.2.5. CUADRATURA GAUSSIANA

Las formulas usadas hasta la actualidad para aproximar integrales se basaban

en polinomios de interpolación, considerando valores de la función igualmente

espaciados fenómeno que conducen a cierta imprecisión.

Con la finalidad de mejorar esta condición la cuadratura Gaussiana se usan

puntos de evaluación, o nodos que no son igualmente espaciados se eligen

nodos en el intervalo [a,b] y coeficientes que

minimicen el error que se espera obtener en la aproximación.

,

Los coeficientes son tomados arbitrariamente con la única

restricción de que los nodos se encuentren en [a,b]. Estos nodos nos

proporciona 2n parámetros para elegir, s se considera los coeficientes de un

polinomio como parámetros, entonces la clase de polinomios de grados

menores o iguales a 2n-1 también tienen 2n parámetros y esto es la clase de

polinomios donde se espera que la formula sea exacta.

Los siguientes gráficos muestran como se integra usando el trapezoide

uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas

(b,f(b)) con h=(b-a)

y Y
A C

B D

f(x) f(x)

. a bx a bx
Método de Gaussiana con dos puntos
Método Trapezoidal

Pues el área del trapecio es
,

Integración y Diferenciación Numérica Página 25

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Que se podría escribirse como,
,

Por otro lado aplicando el método de Gauss en lugar de tomar los dos puntos
extremos A y B del intervalo seleccionamos dos puntos interiores C y D como
se muestra en la figura y de manera adecuada la integral resultante
proporcionaría un valor mas exacto esa técnica de adecuar los puntos C y D
que proporcione mas exactitud mostramos a seguir.

DEDUCCIÓN DE LA TÉCNICA GAUSSIANA
Consideremos la figura a seguir donde se desea encontrar la integral de la
función mostrada entre los limites -1 y 1 si los limites fueran diferentes se hace
un cambio de variable con la finalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D
se seleccionan sobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H .

D F(x)
F(x2) G

C
F F(x1)

-1 x1 0 x2 1

EH

Figura No Deducción del método de integración de Gauss.
Supongamos que

,

En donde deseamos obtener c1, c2, x1, y x2, y consideremos que la integración
proporcione un resultado exacto con f(x) de menor grado es decir 2(2)-1 =3
en otros términos

, esto para ciertos coeficientes a0,a1,a2,a3

,

Esto es equivalente probar que la formula proporciona resultados exactos
cuando f(x) es , 1, x, x2 y x3, entonces tenemos,

Integración y Diferenciación Numérica Página 26

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

,

De donde se obtiene,
,

En consecuencia tenemos la siguiente equivalencia de integrales, que una
aproximación a la integral, que proporciona el resultado exacto para cada
polinomio de grado menor o igual a tres.

,

Consideramos que esta formula es mas simple que la regla trapezoidal a
demás se trabaja perfectamente para un polinomio se segundo orden.
Mientras que el trapezoidal lo realiza para lineales.
Debemos decir que esta metodóloga se puede generalizar para polinomios de
grados superiores, pero existe un método alternativo para obtener de manera
mas simple y es la llamada aproximación continua en mínimos cuadrados que
será tocado mas adelante.
Pero una alternativa para nuestro problema son los “polinomios de
Legendre” es un conjunto {P0(x), P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las s iguientes
propiedades,

 Para cada n, Pn(x) es un polinomio de grado n.
,
Siendo los primeros polinomios de Legendre

,

,
Debemos decir que todos estos polinomios tienen raíces distintas y se
encuentran en el intervalo [-1,1] y se ubican simétricamente con respecto al
origen y lo mas importante son los nodos que se utilizan para resolver nuestro

Integración y Diferenciación Numérica Página 27

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

problema.

Debemos tener en cuenta los nodos que son necesarios para

generar una formula de integración numérica que sea exacta en los

polinomios de grado menor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio de

Legendre de grado n. En donde los coeficientes apropiados para evaluar las

funciones en cada nodo son dado de la siguiente manera:

,

Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de los polinomios de
Legendre como los coeficientes se encuentran tabulados.

Numero de puntos rn,i Raíces Coeficientes cn,i
2 0.5773502692 1.0000000000
3 -0.5773502692 1.0000000000
0.7745966692 0.5555555556
4 0.0000000000 0.8888888889
-0.7745966692 0.5555555556
5 0.8611363116 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
-0.3399810436 0.6521451549
-0.8611363116 0.3478548451
0.9061798459 0.2369268850
0.5384693101 0.4786286705
0.0000000000 0,5688888889
-0.5384693101 0.4786286705
-0.9061798459 0.2369268850

Si consideramos la siguiente relación lineal
,

Transforma la variable x del intervalo [a, b] en la variable t del intervalo [-1,1]
esto quiere decir que podemos usar el polinomio de LEGENDRE

,

Usando las raíces y los coeficientes dados en

la tabla de arriba lo que permite obtener la relación de aproximación que

proporciona resultados exactos para polinomios de grado menor o igual a 2n-1

Llamado aproximación Gaussiana

Integración y Diferenciación Numérica Página 28

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

exacta con f(x) un polinomio de grado menor o igual a 2n-1.

Ejemplos:

Determinar la aproximación de cuyo valor con siete decimales, es

0.1093643.
Solución
Primero. Transformar el intervalo [1,1.5] en un intervalo [-1,1]

,

Considerando la tabla y n=2 se tiene:

Para n=3

2.2.3. INTEGRALES MÚLTIPLES

Las técnicas usadas para aproximar integrales pueden ser modificadas de
manera natural para usarlas en aproximaciones de integrales múltiples,

Supongamos que tenemos , donde R es una región rectangular
en el plano,

Donde a, b, c y d son constantes. Usando Simpson compuesto , determinamos
el tamaño de paso h =(b-a)/n; k=(d-c)/m en consecuencia se tiene:

,

Integración y Diferenciación Numérica Página 29

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Usamos la metodología de Simpson compuesto para determinar,
, considerando x como constante, sea yj =c+jk para j=0,1,2,...,m

,

,

Aplicando Simpson Compuesto en cada intervalo con xi=a+ih para cada
i=1,2,...,n y j=0,1,2,...,m.

,

Ejemplo para aproximar,
1. Aplicar la metodología de Simpson

Primero, determinar h y k para ello consideramos n=4 y m=2, entonces,
h=0.15, y k=0.25 .la región de integración será:

1.50 – Y 1 4 2 4 1

4 16 8 16
1.25 – 4

1.00 -- 1 4 2 4
1

|| | ||
1.40 1.55 X

1.70 1.85 2.00

Integración y Diferenciación Numérica Página 30

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Segundo: calculo

Ejemplo.
2. Calcular la aproximación de

Solución
Primero. Calculamos el k=(3-0)/6.=0.5
Segundo. Aplicamos Simpson compuesto a la integral manteniendo constante
a la variable y

Tercero. Integramos el eje y dividendo en m=8 subintervalos,
Cuarto. Aplicamos Simpson compuesto a la integral

2.2.4. INTEGRALES IMPROPIAS

Debemos decir que las integrales impropias hacen su aparición cuando
se extienden la noción de integral a un intervalo con extremo infinito o los
dos. En cualquiera de los casos las reglas de aproximación deben de
modificarse.

Integración y Diferenciación Numérica Página 31

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

En primer lugar nos interesa analizar cuando el integrando no se
encuentra acotado en el extremo izquierdo del intervalo de integración
como se muestra en la siguiente figura.

y
y=f(x)

a
bx

En el caso anterior se dice que f (x) tiene una singularidad en el extremo
a
En otras palabras la integral impropia con una singularidad izquierda.

, converge si solo si 0<p<1 en tal caso,

, al rededor de a

Si f(x) es una función que podemos escribir como

, con 0<p<1, g continua en [a, b], entonces la integral

impropia, , también existe y aproximaremos la integral usando la

metodóloga de Simpson Compuesto, si g pertenece a C5[a, b], en

consecuencia podemos escribir el cuarto polinomio de Taylor de g al

rededor de a.

, Página 32
Podemos determinar exactamente el valor de,

Integración y Diferenciación Numérica

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

,

Esta relación es generalmente la aproximación dominante
especialmente cuando el polinomio de Taylor es de cuarto grado y se
acerca mucho a la función g(x) en todo el intervalo [a, b].. Para
determinar la aproximación de f(x) se debe de agregar el valor de
aproximación,

,

Para la aproximación definimos,
,

Ejemplo
Usar la metodología de Simpson Compuesto con h=0.25 para aproximar

el valor de la integral impropia ,

Solución
El cuarto polinomio de Taylor de ex alrededor de x=0 es

,

Una parte de la aproximación de , viene dada por

,

,

Para la otra parte de aproximación de es necesario aproximar la

integral , siendo

,

Integración y Diferenciación Numérica Página 33

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Para aplicar Simpson compuesto se necesita

x G(x)

0.00 0

0.25 0.0000170

0.50 0.0004013

0.75 0.0026026

1 0.0099485

,

,

La integral impropia con singularidad en el extremo derecho, podemos
aplicar la técnica que terminamos de usar solo que debemos desarrollar
la función en el extremo derecho alrededor de b, por cuestiones
pedagógicas hacemos el cambio de variable z=-x , dz =- dx , obteniendo,

, que tiene su singularidad en el extremo
izquierdo observar la figura adjunta, y aplicar la aproximación de

con la metodología anterior y obtenemos la aproximación

deseada de .

yy y=f(-z)

y=f(x)

a b -b -a
x z

Una integral impropia con singularidad en c tal que a<c<b, este caso se
trata como la suma de dos integrales impropias con singularidad en los

Integración y Diferenciación Numérica Página 34

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

extremos, es decir:

Otro tipo de integrales impropias son las que consideran limites infinitos
de integración el modelo básico de integración convergente es:

, para p>1 Esta integral se convierte en una integral impropia con
una singularidad en el extremo izquierdo haciendo el siguiente cambio
de variables.
t=x-1, dt=-x-2dx en consecuencia dx=-x2dt=-t2dt,
Entonces se tiene,

,,
De la misma manera el cambio anterior convierte a la integral impropia

, en una integral con singularidad en el extremo izquierdo.

,

Las integrales revisadas finalmente se pueden aproximar con la
metodología expuesta.
Ejercicios
Usar el método de Simpson compuesto para aproximar las integrales
dobles con n=m=4
a.

b.

2.2.8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
2.8.1. FORMULAS DE ALTA EXACTITUD
Ya se comento sobre las operaciones que se pueden practicar sobre una
función tabulada, el camino fue de aproximar la tabla o la función, por alguna
función y efectuar la operación en la función aproximante. De esta manera se

Integración y Diferenciación Numérica Página 35

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

realiza en la integración numérica y así lo realizaremos en la diferenciación
numérica. En nuestro caso diferenciamos el polinomio de aproximación Pn(x).
Veamos como se realiza esto, supongamos que la aproximación es polinomial,
entonces la diferenciación numérica consiste en diferenciar la fórmula del
polinomio interpolante que se utilizó f (x)  Pn (x)  Rn (x) , la aproximación de la
primera derivada estará dado por
df (x)  dPn (x) ,

dx dx

En general d n f (x)  d n Pn (x)

dx n dx n

Al diferenciar la formula fundamental de Newton se tiene,

d n f (x)  d n Pn (x)  d n Rn (x)
dx n dx n dx n

Donde: d n Rn (x) es el error que se comete al aproximar d n f (x) por d n Pn (x) .

dx n dx n dx n

Si suponemos que X 0, X1, X 2,, X n son los valores de las x que son
espaciados igualmente luego Pn(x) se puede escribir en términos de diferencias
finitas

Pn (x)  Pn (x0  sh)  f x0  sf x0  ss 1 2 f x0  ss 1s  n 1 n f x0 

2! n!

Donde:

f x0   f x  h f x
f x  2 f x   f x  h f x

 f x  2h 2 f x  h f x

En nuestro caso:

Pn (x)  f x0  (x  x0 ) f x0   (x  x0 )( x  x1 ) 2 f x0    (x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )(x  xn1) n f x0 

h 2! h 2 n! h n

Integración y Diferenciación Numérica Página 36

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Luego diferenciando

df (x)  dPn (x)  d f x0  d (x  x0 ) f x0   d (x  x0 )( x  x1 ) 2 f x0    
dx dx dx dx dx
h 2! h 2

 d (x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )( x  x n1 ) n f x0 
dx
n! h n

df (x)  dPn (x)  f x0   (2x  x0  x1 ) 2 f x0  
dx dx
h 2!h 2

Consideremos para:

n =1: Esto quiere decir que la aproximación P1(x) es una recta, i.e.

Pn  P1 ( x)  f x0  (x  x0 ) f x0 

h

Es decir la primera derivada de f(x) queda aproximada por

df (x)  dP1(x)  f x0   f x0 , x1  f (x1)  f (x0 )
dx dx x1  x0
h

df (x)  f (x1)  f (x0 )  f (x1)  (x0 )  df (x)  f (x1)  f (x0 )
dx x1  x0 h dx h

Y como se esperaba cualquier otra derivada de orden superior de f(x)
quedara aproximada a cero. d 2 f (x)  d 2 P1(x)  0

dx 2 dx 2

Observación:

(1) En general equivale a tomar como primera derivada a la pendiente de la

recta que pasa por x0, f x0  y x1, f x1.

(2) La primera derivada de f(x) en [x0, x1] queda aproximada por el valor
constante

f (x1)  f (x0 )
h

(3) El valor de f (x1)  f (x0 ) es muy diferente al de df (x)

h dx

Integración y Diferenciación Numérica Página 37

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

(4) Gráficamente:

f(x1) P1 (x)  f (x0 )  (x  x0 ) f (x1 )  f (x0 )
h

 tan   f (x1 )  f (x0 )
f(x0)  x1  x0

tan  df (x)
dx xx0

X0 x1

Analicemos para n = 2; es decir aproximaremos f(x) por un polinomio P2(x) de
grado 2.

P2 (x)  f x0  (x  x0 ) f x0   ( x  x0 )( x  x1 ) 2 f x0 

h 2! h 2

df (x)  dP2 (x)  f x0   (2x  x0  x1 ) 2 f x0 
dx dx
h 2! h 2

Desarrollando las diferencias:

f x0   f (x  h)  f (x0 )  f (x1)  f (x0 )
h h

2 f x  f (x0  2h)  2 f (x0  h)  f (x0 )  f (x2 )  2 f (x1)  f (x0 )

df (x)   2x  x0  x1  2h  f (x0 )   2x0  4x  2x1  2h  f (x1)   2x  x0  x1  f (x2 ) (*)
dx 2h 2 2h 2 2h 2

La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a
x esto es,

d 2 f (x)  d 2 P2 (x)  2 f x0   2 f x0 , x1, x2 
dx 2 dx 2
h2

d 2 f (x)  1 f (x0 )  2 f ( x1 )  1 f (x2)
dx 2 h 2 h2 h2

De la misma manera se puede calcular derivando para n2.

Integración y Diferenciación Numérica Página 38

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

El error cometido al aproximar d n f (x) por d n Pn (x) esta dado por d n Rn (x)
dx n dx n dx n

donde Rn(x) es:

Rn (x)  in0xxi f x, x0 , x1, x2 ,, xn 

(x)

Rn (x)  (x) f x, x0 , x1, x2 ,, xn 

Observemos que existe una estrecha relación entre las diferencias divididas y
las derivadas en general esta relación esta dada por:

 f  d n f ( ) , Con  perteneciente a (min. xi, máx. xi) con 0in,
x1, x1, x2 ,...,xn n!dx n

esto quiere decir que  es un valor de x desconocido del cual solo se sabe

que se encuentra entre los valores menor y mayor del argumento.

La Ecuación (*) se puede escribir en términos del error de la siguiente
manera,

df (x)   2x  x0  x1  2h  f (x0 )   2x0  4x  2x1  2h  f ( x1 )   2x  x0  x1  f (x2 ) 
dx 2h 2 2h 2 2h 2

d 3 f (x) ,o
3! dx 3
 (x0  x1)( x0  x2 )



simplemente por

df (x)  1  3 f ( x0 )  4 f ( x1 )  f (x 2 ) h2 d 3 f (x)  en min. xi , max .xi 
dx 2h 3! con
x0
dx3 

También para x1

df (x)  1  f (x2 )  f ( x0 ) h2 d 3 f (x) con  en min. xi , max .xi 
dx 2h 3! dx 3 
x1

Para x2

df (x)  1 f (x0 )  4 f ( x1 )  3 f (x2 ) h2 d 3 f (x) con  en min. xi , max .xi 
dx 2h 3! dx3 
x2

Integración y Diferenciación Numérica Página 39

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

2.8.2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN RESUELTOS

a  3.6x105 atm cm 6 / gmol 2

1) Dada la ecuación ( y  a )(x  b)  RT Donde b  42.8cm3 / gnol si T
x2
R  82.1atm..cm 3 / gmol..K

=350 K, se obtiene la siguiente tabla:

puntos 0 1 2 3

y(atm) 13.782 12.577 11.565 10.704

x(cm3) 2000 2200 2400 2600

Calcular la derivada de y con respecto a x cuando x = 2300 cm3, y compárelo

con el valor de las derivadas analíticas

Solución

Aplicando df (x)   2x  x0  x1  2h  f (x0 )   2x0  4x  2x1  2h  f ( x1 )   2x  x0  x1  f (x2 )
dx 2h 2 2h 2 2h 2

en los puntos x = 0; 1; y 2, tenemos x = 2300cm3

Con h = 200

df (x)   2(2300)  2000  2200  2(200)  f (2000)   2(2200)  4(2,300)  2(2200)  2(200)  f (2200) 
dx 2(200) 2 2(200) 2

  2(2300)  (2000)  2200  f (2400)
2(200) 2

df (x)   2(2300)  2000  2200  2(200) 13.782   2(2200)  4(2,300)  2(2200)  2(200) 12.577 
dx 2(200) 2 2(200) 2

  2(2300)  (2000)  2200 11.565  0.00506
2(200) 2

La derivada analítica es

Integración y Diferenciación Numérica Página 40

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

df   RT  2a   82.1(350)  2(3.6x106 )  0.005048
dx (x  b)2 x3 (2300  42.8)2 (2300)3
Debemos destacar que la aproximación es muy buena puesto que el error
relativo es de -0.24%,
Obtener la Primera derivada del polinomio de LaGrange.

Derivando el polinomio de LaGrange con respecto a x
,

Si hacemos
, y linealizamos

,

Derivando tenemos

,

Consecuentemente

,

Integración y Diferenciación Numérica Página 41

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Finalmente tenemos

,

Observemos que esta relación tiene una falencia en el caso que se quiera
dividir por una abscisa cero, pero esto se salva con la siguiente expresión que
es equivalente,

,

2) Calcular la derivada de f(x) = cos x en x   y con h = 0.01 cual es la

4

respuesta y cual es su grado de precisión

Solución

f (x)  f (x  h)  f (x)  cos(x  0.01)  cos(x)  0.700000476  0.707106781  0.71063051
h 0.01 0.01

h f ( )  0.005 cos( )  0.005 Se puede obtener una cota más precisa usando el

2

hecho de que       h lo que induce a que cos( )  0.707107 no

44

proporcione una cota superior de 0.0035355.

3) En una reacción química A +B, k productos la concentración del reactante
A es una función de la presión P y la temperatura T. la siguiente tabla
presenta la concentración de A en gmol /litro como función de estas dos
variables

Integración y Diferenciación Numérica Página 42

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

P(kg/cm2) T(K)

1 273 300 325 360
2 0.99 0.97 0.96 0.93
8 0.88 0.82 0.79 077
15 0.62 0.51 0.48 0.45
20 0.56 0.49 0.46 0.42
0.52 0.44 0.41 0.37

Calcular la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8
Kg./cm2 y T = 300K, usando un polinomio de segundo grado.

Solución

Lo que se pide es la derivada de la concentración con respecto a la

temperatura T valorado en T = 300 y p = 8 esto se puede evaluar usando la

siguiente relación, que es resultado de la derivada del polinomio de

LaGrange. nn xxj , se sugiere aplicar derivación logarítmica y
pn (x)   f (xi )  xi  x j

i0 jo

ji

se llegará a la relación siguiente.


 
   
   )
dpn (x)  n (xi ) n x xj n x 1   n  n f (xi ) n n (x  x j 
dx f   xi xj  x     (xi  x   
j   ) 
i0 j0 j0 i0  j0 j k 0 j0
 ji ji ji k i j  k ,i

En nuestro caso se tiene

dp2 (x)  (2x  x1  x2 ) f (x0 )  (2x  x0  x2 ) f (x1)  (2x  x0  x1) f (x2 ) , en esta
dx (x0  x1 )(x0  x2 ) (x1  x0 )(x1  x2 ) (x2  x0 )(x2  x1 )

relación debemos tener en consideración que f(x) representa la concentración
de A y x a T de tal manera que al sustituir los tres puntos que se obtiene de
la tabla tenemos,

Integración y Diferenciación Numérica Página 43

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

dp2 (x)  dC A  (2(300)  300  325)(0.62)  (2(300)  273  325)(0.51) 
dx dt T 300 (273  300)(273  325) (300  273)(300  325)
p8

 (2(300)  273  300)(0.48)  0.0026 gml
(325  273)(325  300) 1K

4) Obtenga la primera y segunda derivada evaluadas en x = 1, para la
siguiente tabulación

I 0 12 3 4
x -1 0 2 5 10
f(x) 11 3 23 143 583

Solución

La tabulación siguiente representa las diferencias divididas

Diferencias Divididas

ix f(x) Primeras Segundas

0 -1 11 -8

10 3 10 6

22 23 40 6

35 143 88 6

4 10 583

Debemos observar que un polinomio de según do grado puede representar

exactamente la función, puesto que la segunda diferencia dividida es

constante.

Podemos aplicar el Polinomio de Newton de segundo grado en diferencias
divididas

p2 (x)  f x0  f x0 , x1(x  x0 )  f x0 , x1, x2 (x  x0 )(x  x1)

p2 (x)  11 8(x  (1))  6(x  (1))( x  0)  6x2  2x  3

d p2 (1)  12x  2  10, la segunda derivada d2 p2 (2)  12
dx dx 2

Observemos que se podía también derivar directamente del polinomio antes
de sustituir los valores de x0 y x1 esto es

d p2 (1)  f x0 , x1 f x0 , x1, x2 (2x  x0  x1)  10 , para la segunda derivada se
dx

obtiene

Integración y Diferenciación Numérica Página 44

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

d2 p2 (2)  d  f x0 , x1  f x0 , x1, x2 (2x  x0  x1)  2 f x0 , x1, x2   12
dx 2 dx

2.8.3. EJERCICIOS Y APLICACIONES PROPUESTOS

1.- La siguiente tabulación representa el gasto instantáneo de petróleo crudo
en un oleoducto en miles de libras por hora. El flujo se mide a intervalo de 12
minutos

Hora 6:00 6:12 6:24 6:36 6:48 7:00 7:12 7:24 7:36 7:48 8:00 8:12
Gasto 6.2 6.0 5.9 5.9 6.2 6.4 6.5 6.8 6.9 7.1 7.3 6.9

Cual es la cantidad de petróleo bombeado en 2 horas 12 minutos Calcule el

gasto promedio en ese periodo.

2.- En el interior de un cilindro de aluminio se tiene una resistencia eléctrica
que genera una temperatura T1 = 1200º F. En la superficie exterior del cilindro
circula un fluido que mantiene su temperatura a T2 = 300º F. Calcular la
cantidad de calor transferido al fluido por unidad de tiempo. Sabiendo que la
altura del cilindro es de 12 pulgadas, con radio interno R1 2 pulgadas y radio
externo R2 12 pulgadas. La conductividad térmica del aluminio varía con la
temperatura según la tabla

kBTU/hr pie2(ºF/pie) 165 150 130 108
TºF 1200 900 600 300

Considere un régimen permanente y modelar el proceso con la ecuación de
Fourier q  kA dT en donde:

dr

q = representa el calor transferido
k = Es la conductividad térmica del aluminio en BTU/ hr pie2 (ºF/pie)
que es función de T es decir k = f(T) en nuestro caso en forma tabular.
A = área de transferencia de calor en pie2

T = temperatura en ºF

R = distancia radial a partir del centro del cilindro en pies

Integración y Diferenciación Numérica Página 45

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

3.- Determine el centro de masa de una lámina rectangular de 2 por 
suponiendo que la densidad en un punto P(x,y) de la lámina esta dado por
(x, y)  e(x2 y2) / 2 ,

4.- Encuentre la primera derivada numérica de x ex en el punto x = 1,
usando un polinomio de aproximación de segundo grado, estime el error
cometido use la siguiente relación con h = 0.5

df (x)  1  f (x2 )  f (x0 ) h2 d 3 f (x) con  en min. xi , max .xi 
dx 2h 3! dx3 
x1

5.- Se tiene la representación tabular de la temperatura T en ºC de una

salmuera como refrigerante y tiempo t minutos encuentre la velocidad de

enfriamiento entre los tiempos t = 2.5 y t = 4 minutos. Use con t = x, h =1,

T0 1 2 3 4 5
T 93.1 85.9 78.8 75.1 69.8 66.7

Utilice la siguiente

dp2 ( x)   2x  x0  x1  2h  f (x0 )   2x0  4x  2x1  2h  f ( x1)   2x  x0  x1  f ( x2 )
dx 2h 2 2h 2 2h 2

6.- La siguiente data representa una muestra de medidas observadas en
una curva de imantación del hierro, en ella x es el número de kilo líneas por
cm2 , y la permeabilidad encuentre la permeabilidad máxima.

X 5 6 7 8 9 10 11 12
Y 1090 1175 1245 1295 1330 1340 1320 1250

7.- Obtenga la segunda derivada evaluada en x =3.7, 4.5, para la función
tabulada de la siguiente manera

Puntos 0 1 2 3 4 5

X 1 1.8 3 4.2 5 5.5

f(x) 3 4.34536 6.57735 8.88725 10.44721 13.39223

Utilice el polinomio de Newton en diferencias divididas para aproximar f(x).

8.- Si tenemos la siguiente data

X 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

f(x) 0.24428 0.40496 0.59673 0.82436 1.09327
f’(x) 1.75482 2.08855 2.47308

Determine el valor de la primera derivada para x = 0.3; 0.4 y 0.5 y compare

con los valores analíticos dados en la data, utilice la siguiente

Integración y Diferenciación Numérica Página 46

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

dp2 (x)   2x  x0  x1  2h  f (x0 )   2x0  4x  2x1  2h  f ( x1 )   2x  x0  x1  f (x2 )
dx 2h 2 2h 2 2h 2

9.- En la tabla siguiente x es la distancia en metros que recorre una bala a
lo largo de un cañón en t segundos. Determine la velocidad de dicha bala
cuando x = 3

X0 1 2 3 4 5
T0 0.0359 0.0493 0.0596 0.0700 0.0786

10.- Mediante los métodos vistos en clase determine:

 y 1 1 2 x2 2 ey

a)  . y sen x dx dy b)  .  dy dx ; c)  .  dy dx ; d)  .  dx dy

00 0 x 1x 01

2.8.4. EJERCICIOS Y APLICACIONES DIVERSAS PROPUESTOS

I. Determinar las integrales aproximadas usando los Métodos de
Simpson, Trapezoidal simple y compuesto de:

5 2. 5 (2  3x 2  x)dx 3. 5  3x3  x)dx  /2
  (5
1.  (2  3x)dx 5.  senxdx
00
0 0

 /2  /2 8. 2 (2x 3  4x  2)dx 9.

6.  sen2xdx 7.  cos xdx ,
2
0 0

6 3  2x 2  8)dx
 (4x

0

10. 2 e x dx 11. 3 ( x  4x 2 )dx 12. 6 e x dx
  

2 3 4

II. Hallar el área de la región limitada por:

1. y  x2 1 y las rectas x  1, x  2 . 2. y  2  x2 , x  y .

3 . y  x3  x  2 , y las rectas x  1, x  2 4. y  x2  2

x y  4.

5. y  x2  2 , y  x x  2 , x  2 . 6. x  3  y2 , y  x 1.

7. y  x3 y  0 entre x  3 , x  3 . 8. y  x2  2x , y  x2 .

Integración y Diferenciación Numérica Página 47

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

9. x  8y  y2 , x  0 . 10. x  (3  y)(y 1) , x  0 .

11.- x  y2  2y , x  y  4  0 . 12.- y  4x  x2 y el eje Y.

13.- y  4  x2 , y  4  4x . 14.- y2  4x , 2x  y  4 .

15.- y  x2 , y  x3 , x  y  2 . 16. y  x2  2x  4; x  2, X 4

III. Calcular el volumen generado por la curva:

a) y  1 (x / 2)2 , 0  x  2 al rotar en torno al eje X

b) y  x3 y  0 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X

c) y  x2 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X

d) y  x2 y  0 entre x  3 , x  3 al rotar en trono del eje X

e) y  x2 1 y  0 entre x  4 , x  4 al rotar en trono del eje X

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