EJERCICIO_DE_PROGRAMACION_LINEAL_Resuelt

TAHA, HAMDY A. ANÁLISIS y PLANTEAMIENTO:
Investigación de operaciones
Novena edición  Modelo matemático: Además de determinar cuántas unidades se construirán de cada tipo
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012 de vivienda, también necesitamos decidir cuántas casas se deben demoler para crear el
ISBN: 978-607-32-0796-6 espacio para el nuevo desarrollo. Por lo tanto, las variables del problema se definen como
ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0797-3 sigue:

Capítulo 2 Modelado con programación lineal X1 _ Cantidad de casas unifamiliares
2.4.4 Planificación de desarrollo urbano X2 _ Cantidad de casas dobles
X3 _ Cantidad de casas triples
Ejemplo 2.4-6 (Modelo de renovación urbana) X4 _ Cantidad de casas cuádruples
X5 _ Cantidad de casas viejas a demoler
La ciudad de Erstville enfrenta un grave recorte de presupuesto. Buscando una solución a El objetivo es: Maximizar la recaudación total de impuestos de los
largo plazo para mejorar la base tributaria, el consejo de la ciudad propone la demolición
de un área de viviendas dentro de la ciudad, y su reemplazo con un moderno desarrollo. cuatro tipos de casas, es decir,

El proyecto implica dos fases: Maximizar Z = 1,000X1 + 1,900X2 + 2,700X3 + 3,400X4
(1) demolición de casas populares para obtener el terreno para el nuevo desarrollo, y
(2) construcción del nuevo desarrollo. Capturando en Lindo v 6.1 64bits:

A continuación, un resumen de la situación.  La primera restricción del problema es: la disponibilidad del terreno.
1. Se pueden demoler 300 casas populares. Cada casa ocupa un lote de 0.25 acres. El costo de

demoler una casa es de $2,000.

2. Los tamaños de los lotes para construir casas:
» unifamiliares,
» dobles,
» triples y
» cuádruples,
» Son de: 0.18, 0.28, 0.4 y 0.5 acres, respectivamente.
» Las calles, los espacios abiertos y el área para la instalación de servicios, ocupan 15%
del área disponible.

3. En el nuevo desarrollo, las unidades triples y cuádruples ocupan por lo menos 25% del total.
Las unidades sencillas deben ser al menos 20% de todas las unidades, y las unidades dobles
deben ocupar un mínimo de 10%.

4. El impuesto por unidad aplicado a las unidades sencillas, dobles, triples y cuádruples es de
$1,000, $1,900, $2,700 y $3,400, respectivamente.

5. El costo de construcción por unidad de las casas sencillas, dobles, triples y cuádruples es de
$50,000, $70,000, $130,000 y $160,000, respectivamente. El financiamiento a través de un
banco local está limitado a $15 millones.

¿Cuántas unidades de cada tipo se deben construir para
maximizar la recaudación de impuestos?

A partir de los datos del problema, tenemos:  La cantidad de casas demolidas no puede ser superior a 300, lo cual se expresa
como:
Acres necesarios para casas nuevas = 0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 X5 <= 300
Capturando en Lindo v 6.1
Para determinar la cantidad de acres disponibles, cada casa demolida (X5) ocupa un lote
de 0.25 acres, ………  A continuación, agregamos las restricciones que limitan la cantidad de casas

Es decir 0.25X5 acres. de cada tipo:

 Considerando el 15% para espacios abiertos, calles y áreas para servicios, la cantidad (Cantidad de casas unifamiliares) >= (20% de todas las casas)
neta de acres disponibles es de 0.85 x (0.25X5) = 0.2125X5. (Cantidad de casas dobles) >= (10% de todas las casas)
La restricción resultante es: (Cantidad de casas triples y cuádruples) >= (25% de todas las casas)

0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 <= 0.2125X5  Estas restricciones se expresan matemáticamente como sigue:

o bien X1 >= 0.2(X1 + X2 + X3 + X4)
X3 + X4 >= 0.25(X1 + X2 + X3 + X4)
0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 - 0.2125X5 <= 0
X2 >= 0.1(X1 + X2 + X3 + X4)
Capturando en Lindo v 6.1
o bien, resolviendo algebraicamente:

-0.80X1 + 0.20X2 + 0.20X3 + 0.20X4 <= 0
0.25X1 + 0.25X2 - 0.75X3 - 0.75X4 <= 0
0.10X1 - 0.90X2 + 0.10X3 + 0.10X4 <= 0

Capturando en Lindo v 6.1  El modelo completo se escribe entonces como sigue:
 Maximizar Z = 1,000X1 + 1,900X2 + 2,700X3 + 3,400X4
 La única restricción restante se refiere a que: el costo de demolición y construcción
se mantenga dentro del presupuesto permisible, es decir: sujeto a
(Costo de construcción y demolición) <= (Presupuesto disponible)
0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 - 0.2125X5 <= 0
 Expresando todos los costos en miles de dólares, tenemos:
X5 <= 300
(50X1 + 70X2 + 130X3 + 160X4) + 2X5 <= 15000
-0.80X1 + 0.20X2 + 0.20X3 + 0.02X4 <= 0
Capturando en Lindo v 6.1
0.25X1 + 0.25X2 - 0.75X3 - 0.75X4 <= 0

0.10X1 - 0.90X2 + 0.10X3 + 0.10X4 <= 0

50X1 + 70X2 + 130X3 + 160X4 + 2X5 <= 15000

X1, X2, X3, X4, X5 >= 0

Planteado y capturado finalmente en: Lindo v 6.1 Resultados:
** Redondeados**

» Recaudación total de impuestos = $343,700.00 U. S. Dólares

» Cantidad de casas unifamiliares (X1) = 36 casas uni.
» Cantidad de casas dobles (X2) = 98 casas dob.
» Cantidad de casas triples (X3) = 45 casas tri.
» Cantidad de casas cuádruples (X4) = 0 (cero) unidades cua.
» Cantidad de casas demolidas (X5) = 245 casas demolidas

Reporte del proceso y solución:

La solución óptima (obtenida utilizando el archivo tarea rmv MXLI Taha 264.ltx) es:

Resultados:
** SIN Redondear **

» Recaudación total de impuestos = $343,965.00 U. S. Dólares

» Cantidad de casas unifamiliares (X1) = 35.83 (36 casas)
» Cantidad de casas dobles (X2) = 98.53 (98 casas)
» Cantidad de casas triples (X3) = 44.79 (45 casas)
» Cantidad de casas cuádruples (X4) = 0 (cero) unidades cua.
» Cantidad de casas demolidas (X5) = 244.49 (244 casas demolidas)

Comprobaciones: Comentarios.

La programación lineal no garantiza una solución entera de manera automática, y ésta es la
razón de redondear los valores continuos al entero más próximo.

La solución redondeada:
» Requiere que se construyan un total de 179 (36, 98,45 y 0) casas y, que se demuelan
245 casas viejas, lo cual representa $343,700 dólares en impuestos.

» Tener en cuenta, sin embargo, que quizá la solución redondeada no sea factible. De
hecho, la solución redondeándola (“forzada”) actual viola la restricción del
presupuesto por $70,000 (¡está comprobado!).

No obstante,
» La solución entera óptima verdadera es: X1 = 35.83, X2 = 98.53, X3 = 44.79, X4 = 0, y

X5 = 244.49 con z = $343,965.15

» Obsérvese con cuidado que la solución redondeada produce un mejor valor objetivo,
lo que parece contradictorio.

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Presentado por: Ing. Rodolfo Morales Velázquez
Alumno de la Maestría de Administración de la Construcción

Quinta Generación
Mexicali, Baja California a 20 de febrero de 2014

Materia: Análisis de Decisiones
Maestro: Dr. Pablo César Rodríguez Mendoza