1 บทที่ 1 พีทาโกรัส เปล่า update

เร่อื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

บทท่ี เร่ือง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

มัธยมศึกษาปีที่ 2

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

พน้ื ท่ขี องรปู สเี่ หลี่ยมจตรุ สั J เรือ่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั
เทา่ กบั 16 ตารางหน่วย
พ้นื ทข่ี องรปู สเ่ี หล่ยี มจตรุ สั
เท่ากับ 25 ตารางหนว่ ย

D B 2 I ดงั นน้ั พน้ื ทขี่ องรูปสเ่ี หลีย่ มจตุรสั ABIJ
2 a b เทา่ กบั ผลบวกของ พนื้ ทขี่ องรปู สี่เหลย่ี ม
สามเหลย่ี ม
มุมฉาก c จตรุ สั BCDF และ พื้นท่ีของรูปสเี่ หล่ยี ม
C
2F A จตุรัส ACGH

GH พืน้ ท่ีของรปู ส่เี หลีย่ มจตรุ สั
เทา่ กบั 9 ตารางหน่วย

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2

1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั
A
ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก (hypotenuse)

C B
ด้านประกอบมุมฉาก (legs of a right triangle)
ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 2
กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์

เรอื่ ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

สาหรบั รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากใดๆ กาลงั สองของความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉากเท่ากับ
ผลบวกของกาลงั สองของความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก

B

ac A c แทน ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก
a,b แทน ความยาวดา้ นประกอบมุมฉากแต่
Cb
= + ละด้าน

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เร่อื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ตวั อย่าง จากรปู สามเหล่ยี ม ABC ท่ีกาหนดให้ จงหาคา่ c

B จะได้ c2 = 62 + 82
6
C = 36 + 64

= 100

c c = 10

8A ดังน้นั c = 10

กลมุ่ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เรอื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตวั อยา่ ง จากรปู สามเหล่ยี ม ABC ที่กาหนดให้ จงหาคา่ b

B จะได้ 152 = 92 + b2

9 225 = 81 + b2
C
15 b2 = 225 − 81
b2 = 144

b A b = 12

ดงั น้นั b = 12

กลมุ่ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2

เร่ือง ทฤษฎบี ทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง จากรูปสามเหล่ยี ม ABC ที่กาหนดให้ จงหาค่า a

B จะได้ 8.52 = 7.52 + a2
a
C 72.25 = 56.25 + a2

a2 = 72.25 − 56.25

8.5 a2 = 16

7.5 A = 4

ดงั นน้ั = 4

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC จงหาความยาวดา้ นทเ่ี หลอื

B จะได้ 12.52 = 122 + a2

12.5 a 156.25 = 144 + a2
C a2 = 156.25 − 144
12 a2 = 12.25
A = 3.5

ดงั นั้น = 3.5

กล่มุ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 2

เร่อื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตวั อยา่ ง จากรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ABC จงหาความยาวดา้ นทเ่ี หลอื

C จะได้ 8.52 = 42 + b2
4
72.25 = 16 + b2
bB
b2 = 72.25 − 16
b2 = 56.25

8.5 = 7.5
A
ดงั นัน้ ด้านที่เหลือยาว 7.5

กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตวั อยา่ ง จากรปู สามเหล่ยี ม ABC ที่กาหนดให้ จงหาความยาวรอบรูป

B จะได้ 0.52 = 0.42 + a2
0.25 = 0.16 + a2

a 0.5 a2 = 0.25 − 0.16
C 0.4 A a2 = 0.09
= 0.3

ดงั นน้ั ความยาวรอบรปู = 0.3 + 0.4 +0.5 = 1.2

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตัวอย่าง จากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC จงหาความยาวรอบรูป

B

จะได้ 1.52 = 1.22 + b2

1.5 1.2 2.25 = 1.44 + b2
b2 = 2.25 − 1.44

C b2 = 0.81

b = 0.9
A
ดังนั้น ความยาวรอบรูป = 0.9 + 1.2 +1.5 = 3.6

กลุ่มสาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ตวั อยา่ ง จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC จงหาพน้ื ที่ของรปู สามเหลย่ี มรปู น้ี

B จะได้ 2.52 = 0.72 + a2

2.5 a 6.25 = 0.49 + a2
C
a2 = 6.25 − 0.49
a2 = 5.76

0.7 = 2.4
A
สูตรพื้นทสี่ ามเหล่ียม = 1 x ฐาน x สูง
2
1
= 2 × 0.7 × 2.4 = 0.84

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตัวอย่าง จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC จงหาพนื้ ที่ของรปู สามเหล่ียมรปู น้ี

B จะได้ 12.52 = 122 + 2
12.5 a 156.25 = 144 + 2

C 2 = 156.25 − 144

a2 = 12.25

12 = 3.5 = 21
A
สูตรพน้ื ทส่ี ามเหล่ยี ม = 1 x ฐาน x สงู

2
1
= 2 × 3.5 × 12

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตวั อยา่ ง จากรูปทก่ี าหนดใหจ้ งหาความยาวรอบรูป

7 จากรปู = 12
12 c b
2 = 122 + 52

= 144 + 25

a5 = 169

= 13

จากรปู a = 7

ดังน้นั ความยาวรอบรปู = 12 + 7 + 13 + 5 + 7 = 44

กลุ่มสาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ตวั อยา่ ง จากรูปที่กาหนดให้จงหาความยาวรอบรูป

11 จากรูป 2.52 = 0.72 + 2

b a 2.5 6.25 = 0.49 + 2
c 0.7 2 = 6.25 − 0.49
2 = 5.76
= 2.4

ดังนั้น = 2.4

จากรปู c =11

ดังนนั้ ความยาวรอบรปู = 2.4 + 11 + 2.5 + 0.7 + 11 = 27.6

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เรอื่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง จากรปู ท่กี าหนดให้จงหาความยาวรอบรปู
จากรูป a2 = 72 + 242

15 x a2 = 49 + 576
7a
a = 625
24 a = 25

จากรูป x2 = 152 + 252

x2 = 225 + 625
x2 = 850

x = 5 34

ความยาวรอบรปู = 24 + 7+ 15 + 5 34

กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ตัวอย่าง จากรูปท่ีกาหนดใหจ้ งหา x
จากรปู 52 = 32 + a2

25 = 9 + a2

x a2 = 25 − 9
a 0.9 a2 = 16
a=4
35
จะได้ x2 = 0.92 + 42

x2 = 0.81 + 16

x2 = 16.81
= 4.1

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ตวั อยา่ ง จากรปู ท่ีกาหนดใหจ้ งหาความยาวของ BD แทน และ ใน 
ความสมั พนั ธ์ของสามเหลย่ี ม BCD 102 = 22 + BD2 + 82 + 2

จากรปู BC2 = CD2 + BD2 100 = 4 + 2BD2 + 64

8 A BC2 = 22 + BD2----- 100 = 68 + 2BD2
ความสมั พนั ธข์ องสามเหลย่ี ม ABD 2BD2 = 100 − 68

2D AB2 = AD2 + BD2 2BD2 = 32
CB BD2 = 16
AB2 = 82 + BD2----
ความสมั พันธ์ของสามเหลยี่ ม ABC BD = 4

AC2 = BC2 + AB2---- ดงั นั้น BD = 4

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2

เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ตวั อย่าง จากรปู ท่กี าหนดให้จงหาความยาวดา้ น AD รวมกบั ความยาวด้านBC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABD

AB2 = AD2 + BD2 CB2 = 32 + 42

A 8.52 = AD2 + 42 CB2 = 9 + 16
AD2 = 8.52 − 42 CB2 = 25

3D 4 8.5 AD2 = 72.25 − 16 CB = 5
C B
AD2 = 56.25 ความยาวด้าน AD + ความยาวดา้ นBC
= 7.5
AD + CB = 7.5 + 5
พิจารณาสามเหลย่ี ม BCD
= 12.5

CB2 = CD2 + BD2

กล่มุ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

เร่อื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ตวั อย่าง รปู สี่เหล่ียมจัตรุ ัสทมี่ เี สน้ ทแยงมมุ ยาว จงหาความยาวดา้ นของรูป
ส่เี หลย่ี มน้ี

กาหนดความยาวดา้ นแตล่ ะดา้ น

43 จะได้ (4 3)2= 2 + 2
x
48 = 2 2
x 2 = 24
= 2 6

ดังน้นั ความยาวด้านแต่ละด้าน = 2 6

กลมุ่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ตัวอย่าง ส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั มีพนื้ ที่ 49 ตารางหน่วย จงหาความยาวดา้ นเสน้ ทแยงมุม

พื้นทสี่ ี่เหลย่ี มจสั ตุรสั = ด้าน x ดา้ น 2 = 49 + 49

a กาหนดให้แตล่ ะดา้ นยาว x 2 = 98
x จะได้ ( )( ) = 49 = 7 2

x 2 = 49 ดังนั้น ความยาวเส้นทแยงมุม = 7 2
= 7

หาความยาวเสน้ ทแยงมมุ

2 = 72 + 72

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

ตัวอยา่ ง จงหาความยาวของ CD จากรูปท่ีกาหนด เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
A พิจารณาสามเหลย่ี ม ABC
พจิ ารณาสามเหลยี่ ม ABD
(4 3)2= 42 + 2
(5 3)2= 42 + 2
4 53 48 = 16 + 2 75 = 16 + 2
2 = 48 − 16 2 = 75 − 16
2 = 59
4 3 2 = 32 = 59

B C D = 32 ดังนั้นความยาวของ CD

= 4 2 = 59 − 4 2

กลมุ่ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2

เรื่อง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตวั อยา่ ง ทรงสี่เหลยี่ ม ABCDEFGH มีด้าน AF ยาว 8 หนว่ ย ดา้ น FC ยาว 17
หนว่ ย และดา้ น BC ยาว 12 หน่วย จงหาความยาวของด้าน AB
E
F พิจารณาสามเหล่ยี ม ACF พจิ ารณาสามเหลยี่ ม ABC
8D
A H 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2
G 172 = 2 + 82 152 = 2 + 122
17 225 = 2 + 144
B 12 C 289 = 2 + 64 2 = 225 − 144
2 = 289 − 64 2 = 81
= 9
2 = 225
ดังนัน้ ความยาวของ AB =9
A = 15

กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ตัวอยา่ ง จากรูปจงหาพื้นทสี่ ่วนทแี่ รเงา AD = 15

พจิ ารณาพน้ื ทสี่ ว่ นที่แรเงา ∆ACE พืน้ ท่ี ∆ACD = 1 × 8 × 15 = 60
หาพน้ื ที่∆ACE 2

A หาพืน้ ที่∆CDE ∆AC = 60 − 48 = 12

202 = 162 + DE2 หาพน้ื ท่ี∆BDE
พนื้ ที่ BDE = 1 × 16 × 12
17 E 400 = 256 + DE2 ร
DE2 = 144 2

20 DE = 12 = 96
พน้ื ท่ี ∆CDE = 1 × 12 × 8 = 48
หาพื้นที่∆ACD2 ดงั น้ันพ้นื ท่แี รเงา = 96+12
C 8 D 16 B = 108
172 = 82 + AD2

AD2 = 225

กลุ่มสาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ตัวอย่าง โป้งสูง 165 เซนตเิ มตร มองเหน็ เครื่องซึ่งอยสู่ ูงจากพน้ื ดิน 41.65 เมตร โดยที่
เครอื่ งบินลาดังกลา่ วอยู่ตรงศรี ษะของปน้ั พอดี ถ้าโปง้ ยนื ห่างจากป้ันเปน็ ระยะ

9 เมตร จงหาวา่ ศีรษะโป้งอยู่ห่างจากเครอื่ งบนิ กี่เซนติเมตร

โปง้ สงู 165 เซนติเมตร = 1.65 เมตร

A AC2 = BC2 + AB2

AC2 = 92 + 402

C 41.65 ม. AC2 = 81 + 1600
1.65 ม. B AC2 = 1681
= 41

ศรี ษะโปง้ อยหู่ า่ งจากเครอื่ งบนิ 41เมตร = 4100 เซนตเิ มตร

กลุม่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เร่อื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ตวั อย่าง กอล์ฟเดนิ ทางจากบา้ นเพอ่ื ไปบ้านมารต์ ิน ตามแผนผงั การเดนิ ทางกอล์ฟจะตอ้ งเดินทางไป
ทางทิศเหนอื เป็นระยะทาง 3.5 กม. เพอ่ื แวะทานขา้ วท่ีรา้ นป้าศรี หลังจากทานข้าวเสรจ็
มารต์ ิน เล้ยี วขวาไปทางทศิ ตะวนั ออก 2 กม.แล้วตรงขนึ้ ไปทางทศิ เหนืออีก 1.5 ก.ม. ถงึ จะถึง
ป้าศรี

2 กม. 1.5 กม. สถานที่บา้ นมาร์ตนิ จงหาว่าบา้ นมาร์ตนิ อยหู่ ่างจากบา้ นกอลฟ์ ก่ีกโิ ลเมตร
b
3.5 กม. 2 = 2 + 2

กอลฟ์ 2 = 22 + ร52
a 2 = 4 + 25

2 = 29

cb = 29
a บา้ นมารต์ ินอยหู่ ่างจากบ้านกอล์ฟ 29 กโิ ลเมตร

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั

ตัวอย่าง กล่องนมทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากกว้าง 4 เซนติเมตร ยาว 8 เซนตเิ มตร สงู 15 เซนตเิ มตร

ดา้ นหนา้ อยากทราบวา่ ทางผผู้ ลติ จะตอ้ งผลิตหลอดเพอื่ ติดขา้ งกล่องได้ยาวทส่ี ดุ ก่ีเซนติเมตรโดย
a 15 cm.
8 cm. หลอดไมย่ าวพน้ กลอ่ ง

ดา้ นขา้ ง พจิ ารณาด้านหน้า พจิ ารณาด้านขา้ ง
2 = 82 + 152
2 = 64 + 2ร25 2 = 42 + 152
2 = 289 2 = 16 + 225
2 = 241

= 241

= 17 ≈ 15.52

b 15 cm. ถา้ ติดด้านหน้า หลอดยาว 17 ซม. ถา้ ตดิ ด้านขา้ ง หลอดยาว 15.52 ซม.

4 cm. ดงั นน้ั หลอดยาวที่สุด = 17 ซม.

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตวั อย่าง คิงต้องการปนี หลงั คาบา้ นเพือ่ ไปเปลีย่ นกระเบอื้ งทีแ่ ตก โดยคิงทราบวา่ ขอบของหลงั คา
บา้ นสูงจากพ้นื 35 ฟุต หากเขามบี ันไดยาว 37 ฟตุ ดังน้ันเขาตอ้ งวางบันไดห่างจากขอบ
บา้ นกีฟ่ ุตจึงจะพาดบันไดตรงปลายหลังคาพอดี

35 37 372 = 2 + 352
a 1369 =ร 2 + 1225

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ 2 = 1369 − 1225
2 = 144
= 12

บันไดห่างจากขอบบ้าน 12 ฟตุ

ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ∆ABC เปน็ สามเหล่ียมมุมฉาก CD ตงั้ ฉากกบั AB ทจี่ ดุ D , AC = 24 หนว่ ย

และ BC = 7 หนว่ ย จงหา

1) ความยาว AB

C AB2 = 242 + 72
24 AB2 = 576 + 49
ร AB2 = 625
7

A B AB = 25

ดา้ น AB ยาว 25 หนว่ ย

กลุ่มสาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2

เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ∆ABC เป็นสามเหลยี่ มมมุ ฉาก CD ตั้งฉากกบั AB ทจ่ี ุด D , AC = 24 หนว่ ย

และ BC = 7 หน่วย จงหา

2) พนื้ ทขี่ อง ∆ABC C พน้ื ทีส่ ามเหลย่ี ม =1 × ฐาน × สงู
24 2
7
A B 1
ร = 2 × 24 × 7

= 84

พนื้ ที่สามเหล่ียม = 84 ตารางหน่วย

กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ∆ABC เปน็ สามเหลยี่ มมุมฉาก CD ต้ังฉากกับ AB ท่ีจดุ D , AC = 24 หนว่ ย

และ BC = 7 หนว่ ย จงหา

3) ความยาวของ CD C พ้ืนทสี่ ามเหลี่ยม = 1 × ฐาน × สงู
24 7 2

84 = 1 × 25 × สงู
2
ร
สูง = 6.72

A DB ความยาวของ CD = 6.72 หนว่ ย

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เรอื่ ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง จงหาพืน้ ทขี่ องสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัวตอ่ ไปน้ี

A 502 = 142 + AD2

2500 = 196 + AD2

50 50 AD2 = 2500 − 196

AD2 = 2304
ร
B 2A8 D 14 C
AD = 48
1
พน้ื ท่สี ามเหลยี่ ม = 2 × ฐาน × สงู

50 = 1 × 28 × 48
D 14 C
2

= 672

พน้ื ที่ของสามเหล่ียมหน้าจว่ั 672

กลุม่ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

เร่ือง ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง เสาไฟฟ้าต้นหนงึ่ ถูกพายุพัดหักโคน่ โดยทปี่ ลายยอดแตะพื้นดินดงั รูป วดั จากจดุ
ทหี่ กั ถงึ โคนเสาไฟฟา้ ยาว 8 เมตร วดั ระยะจากยอดถงึ โคนเสาไฟฟา้ ตาม
แนวนอนห่างกนั 15 เมตร จงหาวา่ เสาไฟฟ้าต้นนม้ี ีความสงู กีเ่ มตร

8 2 = 82 + 152
15 ร 2 = 64 + 225
2 = 289
8a
= 17

เสาไฟฟา้ ต้นน้ีมคี วามสงู 17 + 8 = 25 เมตร

15

กล่มุ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

เรื่อง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตัวอยา่ ง ชาวสวนโค่นต้นมะพรา้ วปรากฏววา่ ตน้ มะพรา้ วหกั ไปพาดกาแพงบ้าน ถา้ โคน
ของตน้ มะพร้าวอยูห่ ่างจากกาแพงบา้ น 12 เมตร ถา้ ตน้ มะพรา้ วสงู 15 เมตร
จงหาวา่ กาแพงสงู กีเ่ มตร

a 152 = 122 + a2
12 เมตร 225 = 144ร + a2

2 = 225 − 144
2 = 81

= 9

ดังนั้น กาแพงสงู 9 เมตร

กลุ่มสาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง เจดยี ์องคห์ นง่ึ สงู 60 เมตร ชายผู้หนึ่งสังเกตพบว่า เม่ือเวลา 9.00น. เงาของ

ยอดเจดยี ์อยูท่ ่ีจดุ A และวดั ระยะจากจดุ A ถึงยอดเจดยี ไ์ ด้ระยะ 100 เมตร

และเมอ่ื เวลา 10.00 น. เงาของยอดเจดยี ์อยทู่ ่จี ุด B วัดระยะจากจดุ B ถงึ ยอด

เจดียเ์ ปน็ ระยะ 61 เมตร อยากทราบวา่ เงาของยอดเจดยี ์ เมื่อเวลา 9.00น.
60 ม. 611ม0.0แมล.ะเมอ่ื เวลา 10.00 น. ห่างกนั เรทา่ ไร
B A หาความยาว CB หาความยาว AC ดงั น้นั เงาของ
D ยอดเจดยี ์ เมื่อ
60 612 = 602 + CB2 1002 = 602 + AC2 เวลา 9.00น. และ
เมื่อเวลา 10.00
100 3721 = 3600 + CB2 10000= 3600 + AC2 น. หา่ งกัน80-11
CB2 = 3721 − 3600 AC2 = 10000 − 3600
61 CB2 = 121 AC2 = 6400
= 69
C B A CB = 11 AC = 80

กลมุ่ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 2

เรอื่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

1.2 ทฤษฎบี ทกลับพีทาโกรัส

สาหรบั รูปสามเหล่ยี มใดๆถา้ กาลังสองของความยาวของด้านดา้ นหนงึ่ เทา่ กบั ผลบวก
กาลงั สองของความยาวของดา้ นอกี สองดา้ นแลว้ รปู สามเหล่ยี มนั้นเป็นรูปสามเหลย่ี ม
มมุ ฉาก

ถ้า a2 + b2 = c2 แล้ว สามเหล่ยี มนนั้ เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก

กลมุ่ สาระการเรยี นคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง กาหนดความยาวดา้ นของรปู สามเหล่ยี มเปน็ 7, 24, 25 สามเหลีย่ มนีเ้ ป็น
สามเหลีย่ มมุมฉากหรือไม่

252 = 242 + 72ร
625 = 576 + 49

625 = 625

ซงึ่ เปน็ จริง ดงั น้นั รปู สามเหล่ียมนเี้ ปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เรือ่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง กาหนดความยาวดา้ นของรปู สามเหล่ยี มเปน็ 8, 15, 17 สามเหลีย่ มนีเ้ ป็น
สามเหลีย่ มมุมฉากหรือไม่

172 = 152 + 82ร
289 = 225 + 64

289 = 289

ซงึ่ เปน็ จริง ดงั น้นั รปู สามเหล่ียมนเี้ ปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ตวั อย่าง กาหนดความยาวดา้ นของรูปสามเหลีย่ มเป็น 10, 60, 61 สามเหล่ยี มนี้เป็น
สามเหล่ยี มมุมฉากหรอื ไม่

612 = 602 + 10ร2
3721 = 3600 + 100

3721 = 3700

ซงึ่ เปน็ เทจ็ ดงั น้นั รูปสามเหลย่ี มน้ีไม่เปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

กลมุ่ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ตวั อย่าง กาหนดความยาวดา้ นของรูปสามเหลีย่ มเป็น 12, 35, 36 สามเหล่ยี มนี้เป็น
สามเหล่ยี มมุมฉากหรอื ไม่

362 = 352 + 12ร2
1296 = 1225 + 144

1296 = 1396

ซงึ่ เปน็ เทจ็ ดงั น้นั รูปสามเหลย่ี มน้ีไม่เปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

กลมุ่ สาระการเรียนคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรัส

ตวั อยา่ ง จงแสดงว่า ∆ABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากหรอื ไม่
พิจารณา ∆ABC
A 15 AD2 = 225 − 81
13 AD2 = 144 BC2 = AB2 + AC2

AD = 12 142 = 132 + 152

B D9 C พจิ ารณา ∆ABร D 196 = 169 + 225
พจิ ารณา ∆ACD
AB2 = BD2 + AD2 196 = 394
AC2 = AD2 + CD2 132 = BD2 + 122
152 = AD2 + 92 ซึ่งเปน็ เทจ็ ดังนั้นรปู สามเหลย่ี ม
169 = BD2 + 144 นไ้ี ม่เป็นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก

BD2 = 169 − 144
BD2 = 25
225 = AD2 + 81
BD = 5

กลุม่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

1. AB ยาวเท่าใด A เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรัส
40
ก. 21 C9 B
ข. 31
ค. 41 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2
ง. 51

กล่มุ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

2. AD ยาวเท่าใด เรื่อง ทฤษฎบี ทพที าโกรัส
B
ก. 0.8
ข. 0.9 1.5 1.3
ค. 0.7 A D 0.5C
ง. 0.6
ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2
กลมุ่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

A เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั
3.7
3. AB ยาวเท่าใด
C 3.5 B
ก. 1.5
ข. 1.4 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2
ค. 1.3
ง. 1.2

กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์

4. ความยาวรอบรูปสามเหลย่ี ม ABC คอื ขอ้ ใด เรือ่ ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั
B
ก. 27 13
ข. 37
ค. 25 A 9 D5C
ง. 15
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2
กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์

5. BC ยาวเทา่ ใด เรอ่ื ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั

ก. 0.8 A
ข. 0.9 1.7
ค. 0.7
ง. 0.6 1.5
CB
กลุ่มสาระการเรียนคณติ ศาสตร์
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

6. BC ยาวเท่าใด เรื่อง ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
B
ก. 23
ข. 13 15
ค. 12 A 9 D5 C
ง. 22
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2
กลุ่มสาระการเรียนคณิตศาสตร์

C D เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั

7. CD ยาวเท่าใด 3.9 3.6 B 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2

ก. 3.5 A
ข. 2.5
ค. 2.2
ง. 3.4

กลุ่มสาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

8. BD ยาวเท่าใด เร่ือง ทฤษฎีบทพที าโกรัส
B
ก. 0.8
ข. 0.9 15 12 13
ค. 0.7 A 9 DC
ง. 0.6
ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2
กลมุ่ สาระการเรยี นคณติ ศาสตร์

9. ความยาวรอบรูปสามเหล่ยี ม ABC คือขอ้ ใด เร่อื ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั
B
ก. 22
ข. 12 3.9 2.5

A 3.6 D C

ค. 1.3

ง. 3.7

กล่มุ สาระการเรียนคณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2