ระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

กลางภาคเรียนที่ 1

คณิตศาสต ์รเพ่ิมเติม
เล่ม 2

02 Chapter

และจเศำนษวสน่วจนรพงิ หนุ าม

รายวชิ าคณติ ศาสตร์ จำนวน 1.0 หนว่ ยกิต (2 คาบเรยี น)
ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2563

พน้ื ฐาน คะแนนท้ังหมด 50/50 คะแนน กลางภาคท่ี 1 เพมิ่ เติม คะแนนทั้งหมด 50/50 คะแนน

เร่อื งทีเ่ รยี น : เซต เร่ืองท่เี รียน : - เซต

คะแนนเกบ็ 20 คะแนน - ระบบจำนวนจรงิ

- คะแนนสมดุ (5) + การบ้าน (5) 10 คะแนน คะแนนเกบ็ 30 คะแนน

- สอบเกบ็ คะแนน 10 คะแนน - คะแนนสมดุ (5) + การบ้าน (5) 10 คะแนน

สอบกลางภาค 30 คะแนน - สอบเกบ็ คะแนน 10 คะแนน

(เซต 5 + ระบบจำนวนจริง 5)

สอบกลางภาค 20 คะแนน

ปลายภาคเรยี นที่ 1

เร่อื งท่เี รยี น : ตรรกศาสตร+์ ระบบจำนวนจริง

คะแนนเก็บ 30 คะแนน

- คะแนนสมดุ (5) + การบ้าน (5) 10 คะแนน

- สอบเกบ็ คะแนน 15 คะแนน

- ทอ่ งตารางค่าความจรงิ 5 คะแนน
กำหนดเน้อื หารายสปั ดาห์ วชิ าคณติ สศอบาปสลตายรภ์เาพคอ20่มคเะตแมินนกลางภาค

ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2563

➢ สัปดาหท์ ี่ 1 ➢ สัปดาห์ที่ 8
- เกรน่ิ นำเนื้อหา รายละเอียดคะแนน - การดำเนนิ การของเศษสว่ นชองพหนุ าม
- ทบทวนจำนวนจริง - การแกอ้ สมการพหนุ าม
- ทบทวนสมการกำลงั สอง
➢ สัปดาห์ท่ี 9
➢ สัปดาห์ที่ 2 - การแก้สมการคา่ สัมบรู ณข์ องพหุนาม
- สมบัติของระบบจำนวนจรงิ - การแก้อสมการค่าสมั บูรณ์ของพหุนาม
- การนำสมบตั ิของจำนวนจรงิ ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
➢ สัปดาห์ท่ี 10
➢ สปั ดาห์ที่ 3 - ทบทวน
- คา่ สัมบูรณ์ - ประเมนิ ผลหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1
- ทบทวน

➢ สัปดาหท์ ่ี 4
- ตัวประกอบพหุนาม
- ทฤษฎบี ทเศษเหลือ

➢ สัปดาหท์ ่ี 5
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ

➢ สปั ดาห์ท่ี 6
- ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ



กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา 1 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

Chapter 0 2 จำนวนจรงิ

ทบทวนก่อนเรียน

จำนวนจริง
คือ: จำนวนท่ีมีอยูใ่ น เซตทีเ่ กดิ จากการยูเนยี นกนั
ธรรมชาติ จำนวนจรงิ (R) ของเซตของจำนวนตรรกยะ
(Real Number) กับเซตของจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ (Q) จำนวนที่ไมส่ ามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรูป จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนทีส่ ามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ น
(Irrational Number) เศษส่วนของจำนวนเตม็ ได้ เชน่ รูปเศษสว่ นของจำนวนเต็มได้
(Rational Number) โดยส่วนไมเ่ ท่ากบั ศูนย์
2, , e, 0.125478...

เซตทีป่ ระกอบด้วย จำนวนเต็ม (I) จำนวนทม่ี ่ใชจ่ ำนวนเต็ม เศษส่วน (Fraction)
–2,-1, 0, 1, 2 (Integer) เช่น 1 ,0.1278...,0.5 ทศนยิ ม (Decimal)

6

จำนวนเต็มลบ (I− ) จำนวนเต็มศูนย์ (I0 ) จำนวนเต็มบวก (I+ )

เซตท่ีประกอบด้วย เซตทีป่ ระกอบด้วย เซตทีป่ ระกอบดว้ ย
-1, -2, -3, … 0 1, 2, 3, …

1. จาํ นวนตรรกยะ ( Rational number )
คือ เซตของจำนวนจรงิ ที่สามารถเขยี นไดใ้ นรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไมเ่ ป็นศูนย์

ประกอบดว้ ย

จำนวนเตม็ (I) เศษส่วน ทศนยิ มซำ้

จำนวนเตม็ ลบ (I− )  -1,-2,-3,… 5,9 ••
จำนวนเต็มศนู ย์ (I0 )  0 34
จำนวนเต็มบวก (I+ )  1,2,3,… 0.524, 0.637

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 2 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

2. จาํ นวนอตรรกยะ ( Irrational number )

คือ เซตของจำนวนจรงิ ที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ (ไม่สามารถเขียนไดใ้ นรปู เศษสว่ นของจำนวนเต็มที่ตวั
ส่วนไมเ่ ปน็ ศนู ย์) ประกอบด้วย

ถอดรากไม่ลงตัว ทศนยิ มไม่ซำ้ 
e
3 0.2546852...
37 2.2547892...

สมบตั จิ ำนวนตรรกยะ 4) อ  ต = อ
หาค่าไม่ได้ เมื่อ ต = 0
1) ต  ต = ต
หาค่าไม่ได้ เมื่อ ส่วน = 0 เช่น 3.12548... 2 =1.5624...

เชน่ 5  ต +

9 5) อ − อ =

3  หาค่าไม่ได้ 

0
เช่น 3 = 1
2) ต  อ = อ อ
เชน่ 4 + 1.785462… = 5. 785462… 3 ต

3) ต  อ = อ
ต เมอื่ ต = 0

เช่น 35.35687... = 16.07061...  อ
014.2563487... = 0  ต
2 = 0.81649...
3

1. ขอ้ ใดมีท้ังจำนวนเต็ม, จำนวนวตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ (O’net 58)

1. - 7.222... , 3 ,  - 1 2. 11 , 3 18 , 16

7

3. 1 , - , 9 −1 4. − 3 , 6.060060006... , 1000

2 5

5. 2 , - 0.414 , 4.718

2.ข้อใดต่อไปน้ีมจี ำนวนตรรกยะอยู่เพยี งสองจำนวน (O’net 56)

1. − 4 ,  − 22 , 1.010010001 2. 3 2 , 8 ,  2

7

3.  +1 , 16 , 0.101001000100001... 4. 9 , 1.11111... , 3 8

11

5. • , 8− 2 , 3 3

0.8

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 3 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

คือสมการท่อี ยู่ในรปู ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a,b,c เป็นค่าคงตัว และ a  0

 การแยกตวั ประกอบพหุนามพน้ื ฐาน รปู แบบท่ี 2 ax2 + bx + c เมอื่ a ≠ 1
รูปแบบท่ี 1 ax2 + bx + c เมือ่ a = 1 “คณู ลงตรงตวั กลาง แลว้ สับรางตอบแบบไขว้”

“คณู กนั ไดต้ วั หลัง บวกกันได้ตัวกลาง”

ตัวอย่างเช่น  (x + 3)(x + 5) = 0 ตัวอยา่ งเชน่ (3x +1)(2x −1) = 0
 (x −5)(x + 4) = 0 6x2 − x −1= 0  (5x −1)(3x −1) = 0
x2 + 8x +15 = 0 15x2 −8x +1 = 0 
x2 − x − 20 = 0

รปู แบบที่ 3 รูปแบบกําลงั สองสมบูรณ์ รูปแบบที่ 4 รูปแบบผลตางกําลงั สอง

( )(a  b)2 = a2  2ab + b2 a2 −b2 = (a −b)(a + b)
( หนา )2 – ( หลงั )2 = ( หนา + หลงั ) ( หนา – หลงั )
( หนา )2 +2 หนา⋅หลัง + ( หลัง )2 = ( หนา + หลัง )2 ตวั อย่างเชน่
( หนา )2 – 2 หนา⋅หลงั + ( หลัง )2 = (หนา – หลัง)2
ตวั อยา่ งเช่น x2 −16 = ( x − 4)( x + 4)
9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5)
x2 +18x + 81 = ( x + 9)2
x2 − 8x +16 = ( x − 4)2

การแกสมการกาํ ลังสองตวั แปรเดียวมี 3 วธิ ี

1. การดึงตัวรวม 2. แยกตัวประกอบ 3. ใชสตู ร x = -b± b2-4ac

ตัวอย่างเชน่ 2a

x2 + 3x = x ( x + 3) ใช้ทั้ง 4 รูปแบบ ตัวอยา่ งเช่น

x = 0, −3 x2 + 22x − 23 = 0
a = 1,,b = 22, c = −23
4x2 − 32x = 4x ( x − 8)
−22  484 − 4(1)(−23)
x = 0,8 x = 2(1)

x = 1, −23

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 4 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

1. พิจารณาการเป็นจำนวนนับ จำนวนเตม็ จำนวนตรรกยะ หรอื จำนวนอตรรกยะ ของจำนวนท่กี ำหนดให้

ดังต่อไปน้ี

จำนวนท่ี จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

กำหนดให้

0 - ✓✓

2- - -✓

3

− 22 - -✓ -

7 -
-
3.1416 - -✓ -

4 +1 ✓ ✓ ✓

1− (−8) ✓ ✓ ✓

6 −1 - - - ✓
7 - - - ✓

22

0.09 - -✓ -
-
−12 -- ✓✓
-
3

( )2 ✓ ✓ ✓

2

−3.999 - -✓ -
-
(−1)2 ✓ ✓ ✓

2. ขอ้ ความต่อไปน้เี ปน็ จริงหรือไม่

1) 1.010010001 เป็นจำนวนตรรกยะ เป็นจริง
เป็นจริง
2) 6.808808880... ไม่เปน็ จำนวนตรรกยะ เปน็ เทจ็
เป็นเทจ็
3) 0.797797797... เป็นจำนวนอตรรกยะ
เปน็ จรงิ
4) 1− 3 ไมเ่ ป็นจำนวนจรงิ

5) 64 เป็นจำนวนตรรกยะ

9

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 5 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4

ทฤษฎีบทเศษเหลือ ( Remainder Theorem )

เมื่อ p(x) คอื พหุนาม anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก
และ an, an−1, an−2,..., a1, a0 เป็นจำนวนจรงิ ซง่ึ an  0

ถา้ หารพหนุ าม p(x) ด้วยพหนุ าม x −c เม่อื c เป็นจำนวนจริงแลว้ เศษเหลอื จะเทา่ กบั p(c)

การแยกตวั ประกอบพหุนาม p(x) โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื มขี ั้นตอนดังนี้

1. หาจํานวนจริง c ท่ที าํ ให p(c) = 0
2. นาํ x −c ทเ่ี ปนตวั ประกอบของ p(x) ไปหาร p(x) ผลหารทไ่ี ดจะเปนพหนุ ามท่มี ีดีกรีตาํ่ กวา p(x)
อยู 1
3. ถาผลหารท่ีไดในขอ 2. มดี ีกรสี ูงกวาสอง สามารถใชทฤษฎบี ทเศษเหลือแยกตัวประกอบตอไปไดอีกตามขอ
1. และขอ 2. และถาผลหารมีดีกรีเทากบั สองสามารถใชความรูเดมิ แยกตวั ประกอบตอหรือจะใชทฤษฎบี ทเศษ
เหลอื แยกตัวประกอบก็ได

ตวั อย่างที่ 1 กำหนด p(x) และ c ดงั ตอ่ ไปน้ี จงหาเศษเหลอื เม่อื หาร p(x) ดว้ ย x −c

1) หาเศษเหลือเมอ่ื หาร 2x4 −3x2 + x −5 และ c = 2

วธิ ที ำ p(2) = 2(2)4 − 3(2)2 + 2 − 5 = 17
ดงั นัน้ เศษเหลือจากการหาร 2x4 −3x2 + x −5 ดว้ ย x − 2 คือ 17 ตอบ

2) หาเศษเหลือเมอื่ หาร 4x3 +11x2 + 2x + 24 และ c = −3 ตอบ

วธิ ที ำ p(−3) = 4(−3)3 +11(−3)2 + 2(−3) + 24 = 9
ดังนน้ั เศษเหลอื จากการหาร 4x3 +11x2 + 2x + 24 ดว้ ย x + 3 คอื 9

3) หาเศษเหลอื เม่ือหาร 5x4 −3x3 −3x2 + 6x +3 และ c = − 1
2

วิธีทำ p  − 1  = 5  − 1 4 − 3 − 1 3 − 3 − 1 2 + 6  − 1  + 3 = − 1
 2   2  2  2   2  16

ดงั นั้น เศษเหลอื จากการหาร 5x4 −3x3 −3x2 + 6x +3 ด้วย x + 1 คอื − 1 ตอบ

2 16

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 6 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนด p(x) และ c ดงั ตอ่ ไปน้ี จงหาเศษเหลอื เมอื่ หาร p(x) ด้วย x −c
1) หาเศษเหลือเมอ่ื หาร x5 − x4 −5x3 + 2x2 − x − 2 ดว้ ย x + 2

วิธที ำ x + 2 = 0  x = −2 แสดงวา่ c = −2
ให้
p(x) = x5 − x4 − 5x3 + 2x2 − x − 2
ดังนน้ั เศษเหลือเทา่ กับ
p(−2) = (−2)5 − (−2)4 − 5(−2)3 + 2(−2)2 − (−2) − 2

= −32 −16 + 40 + 8 + 2 − 2

=0 ตอบ

0

2) หาเศษเหลือเมือ่ หาร x4 −5x3 + 2x2 +3x − 4 ดว้ ย x +1

วธิ ที ำ x +1 = 0  x = −1 แสดงว่า c = −1
ให้ p(x) = x4 − 5x3 + 2x2 + 3x − 4

p(−1) = (−1)4 − 5(−1)3 + 2(−1)2 + 3(−1) − 4

=1+5+ 2−3−4

=1 ตอบ

ดงั นั้นเศษเหลือเทา่ กับ 1

3) หาเศษเหลือเมื่อหาร x3 − 4x2 +5x +1 ด้วย x +1

วธิ ที ำ x +1 = 0  x = −1 แสดงวา่ c = −1
ให้ p(x) = x3 − 4x2 + 5x +1

p(−1) = (−1)3 − 4(−1)2 + 5(−1) +1

= −1− 4 − 5 +1 = −9

ดงั นน้ั เศษเหลือเทา่ กบั -9 ตอบ

4) หาเศษเหลือเมอ่ื หาร x3 − 4x2 +5x +1 ด้วย x − 2

วธิ ีทำ x − 2 = 0  x = 2 แสดงวา่ c = 2
ให้ p(x) = x3 − 4x2 + 5x +1

p(2) = (2)3 − 4(2)2 + 5(2) +1

= 8 −16 +10 +1 = 3

ดงั นั้นเศษเหลือเท่ากับ 3 ตอบ

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 7 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4

ตวั อย่างที่ 2 จงหา c ท่ที ำให้ x +1 หาร x2 −3x + 2c เหลอื เศษ 6

วธิ ีทำ ➢ x +1 = 0  x = −1 แสดงวา่ c = −1
ให้ p(x) = x2 − 3x + 2c

p(−1) = (−1)2 − 3(−1) + 2c

= 1+ 3 + 2c = 6

4 + 2c = 6

2c = 2

c =1

ตัวอยา่ งที่ 3 ถา้ หาร x3 + ax2 +5x + a ดว้ ย x − 2 แลว้ เหลือเศษ 3 จงหาคา่ ของ a

วธิ ีทำ ➢ x − 2 = 0  x = 2 แสดงว่า c = 2
ให้ p(x) = x3 + ax2 + 5x + a

p(2) = (2)3 + a(2)2 + 5(2) + a

= 8 + 4a +10 + a
= 5a +18
5a +18 = 3
5a = −15
a = −3

ดงั น้ัน a = −3

ตัวอย่างที่ 4 จงหา k ที่ทำให้ x +3 หาร x4 −3x2 − kx + 6 ลงตวั

วิธีทำ ➢ x + 3 = 0  x = −3 แสดงว่า c = −3
ให้ p(x) = x4 − 3x2 − kx + 6

p(−3) = (−3)4 − 3(−3)2 − k(−3) + 6

= 81− 27 + 3k + 6 = 0

60 + 3k = 0

k = −20

ตัวอย่างท่ี 5 จงหา k ท่ที ำให้ x −1 หาร x3 −3x2 + 4x + 2k เหลอื เศษ -2

วิธที ำ ➢ x −1 = 0  x =1 แสดงว่า c =1
ให้ p(x) = x3 − 3x2 + 4x + 2k

p(1) = (1)3 − 3(1)2 + 4(1) + 2k

−2 =1− 3+ 4 + 2k

−4 = 2k

k = −2

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 8 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

ตัวอยา่ งท่ี 6 หาคา m จากเง่ือนไขที่กาํ หนดให ตอบ

1) x −3 หาร 2x3 − 4x2 + 3x − m ลงตัว

วธิ ที ำ ให้ p(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − m และ p (3)
เศษ คือ p(3) = 2(3)3 − 4(3)2 + 3(3) − m
จะได้ 54 −36 + 9 − m = 0

27 − m = 0

m = 27

ดังนนั้ m = 27

2) x − m หาร 3x3 + 6 เหลอื เศษ 9 ตอบ

วิธที ำ ให้ p(x) = 3x3 + 6 และ p (m)
เศษ คือ p(m) = 3m3 + 6
จะได้ 9 = 3m3 + 6

3 = 3m3

m3 = 1

m =1

ดังนัน้ m =1

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 9 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ p(x) = x3 + ax2 +bx + 2 โดยที่ a และ b เปน็ จำนวนจริงถา้ x −1 และ x +3
ตา่ งหาร p(x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังน้ัน a + 2b เท่ากบั เทา่ ใด

วิธีทำ ➢ x −1 = 0  x =1 แสดงวา่ c =1 แทน a = 3 ใน 
ให้ p(x) = x3 + ax2 + bx + 2
3+b = 2
p(1) = (1)3 + a (1)2 + b (1) + 2
b = −1
=1+ a +b+ 2 = 5
ดงั น้นั a + 2b = 3 + 2(−1) = 1 ตอบ
a + b = 2 ----------------------
➢ x+3=0  x = −3 แสดงวา่ c = −3

p(−3) = (−3)3 + a (−3)2 + b (−3) + 2

= −27 + 9a − 3b + 2 = 5

3a −b =10 ---------------------- 

+ 4a =12

a=3

ตัวอย่างท่ี 8 จงหา a + b ที่ทำให้ x3 + ax2 + 2x +b หารดว้ ย x −1 และ x + 2 ลงตัว

วิธีทำ ➢ x −1 = 0  x =1 แสดงว่า c =1
ให้ p(1) = (1)3 + a(1)2 + 2(1) + b = 0

=1+ a + 2+b = 0

3+a+b =0

a +b = −3 ----------------------
➢ x + 2 = 0  x = −2 แสดงวา่ c = −2

ให้ p(−2) = (−2)3 + a(−2)2 + 2(−2) + b = 0

−8 + 4a − 4 + b = 0

- ; −12 + 4a + b = 0

4a +b =12---------------------- 

3a =15

a=5

แทน a = 5 ใน  จะได้

5 + b = −3
b = −8

a + b = 5 −8 = −3

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 10 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ (Factor Theorem)

เม่ือ p(x) คอื พหุนาม anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 = 0 โดยที่ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ
an, an−1, an−2,..., a1, a0 เปน็ จำนวนจรงิ ซึ่ง an  0

พหุนาม p(x) จะมี x −c เปนตัวประกอบ กต็ อเมื่อ p (c) = 0

ตวั อย่างที่ 1 แยกตัวประกอบของ x3 − x2 −14x + 24

วธิ ีทำ ให้ p(x) = x3 − x2 −14x + 24
จำนวนท่ีหาร 24 ลงตวั คอื 1,2,3,4,6, 8, 12, 24
➢ พิจารณา p(−2) = (−2)3 − (−2)2 −14(−2) + 24

= −8 − 4 + 28 + 24

= −40  0

ดงั นน้ั x + 2 ไม่เป็นตัวประกอบของ x3 − x2 −14x + 24

➢ พิจารณา p(2) = (2)3 − (2)2 −14(2) + 24

= 8 − 4 − 28 + 24

=0

ดังนั้น x − 2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3 − x2 −14x + 24
2 1 -1 -14 24
2 2 -24
1 1 -12 0

จะไดว้ ่า ( )x3 − x2 −14x + 24 = ( x − 2) x2 + x −12 ตอบ

= (x − 2)(x + 4)(x −3)

ดงั น้ัน สามารถแยกตวั ประกอบของ x3 − x2 −14x + 24 ไดเ้ ปน็ ( x − 2)( x + 4)( x − 3)

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 11 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ตวั อยา่ งที่ 2 แยกตวั ประกอบของ x3 −6x2 − x + 30
วธิ ีทำ ให้ p(x) = x3 − 6x2 − x + 30

จำนวนทห่ี าร 24 ลงตัวคือ 1,2,3,5 6,10,15,30
➢ พิจารณา p(−2) = (−2)3 − 6(−2)2 − (−2) + 30

= −8 − 24 + 2 + 30

=0

ดังนนั้ x + 2 เปน็ ตัวประกอบของ x3 − 6x2 − x + 30
-2 1 -6 -1 30
-2 16 -30
1 -8 15 0

จะไดว้ ่า ( )x3 − 6x2 − x + 30 = ( x + 2) x2 − 8x +15 ตอบ

= (x + 2)(x −5)(x −3)
ดังนั้น สามารถแยกตัวประกอบของ x3 −6x2 − x + 30 ได้เปน็ ( x + 2)( x + 4)( x − 3)

ตัวอยา่ งที่ 3 แยกตวั ประกอบของ x3 −3x2 − 6x +8 ตอบ
วธิ ีทำ ให้ p(x) = x3 −3x2 − 6x +8

จำนวนทหี่ าร 8 ลงตวั คอื 1,2,4,8
➢ พิจารณา p(1) = (1)3 − 3(1)2 − 6(1) + 8

=1−3−6+8 = 0

ดงั นนั้ x −1 เป็นตวั ประกอบของ x3 −3x2 − 6x +8

1) 1 − 3 − 6 8

1 −2 −8

1 −2 −8 0

จะไดว้ า่ ( )x3 − 3x2 − 6x + 8 = ( x −1) x2 − 2x − 8

= ( x −1)( x − 4)( x + 2)
ดงั นนั้ สามารถแยกตวั ประกอบของ x3 −3x2 − 6x +8 ได้เป็น ( x −1)( x − 4)( x + 2)

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 12 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ x3 + 4x2 −9x −36 = 0 ตอบ

วธิ ีทำ ให้ p(x) = x3 + 4x2 −9x −36
จำนวนทห่ี าร 36 ลงตวั คอื 1,2,3,6,12,18,36
➢ พิจารณา p(−3) = (−3)3 + 4(−3)2 − 9(−3) − 36

= −27 + 36 + 27 − 36 = 0

ดงั น้ัน x + 3 เปน็ ตัวประกอบของ x3 + 4x2 −9x −36

− 3) 1 4 − 9 − 36

− 3 − 3 36

1 1 −12 0

จะไดว้ า่ ( )x3 + 4x2 − 9x − 36 = ( x + 3) x2 + x −12

= ( x + 3)(x − 3)(x + 4)

x = −3, −4,3

ดงั นัน้ เซตคำตอบคือ −3,−4,3

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาเซตคำตอบของ x3 − 2x2 − x + 2 = 0 ตอบ

วธิ ที ำ ให้ p(x) = x3 − 2x2 − x + 2
จำนวนที่หาร 36 ลงตวั คือ 1,2
➢ พิจารณา p(1) = (1)3 − 2(1)2 − (1) + 2 = 0

=1− 2 −1+ 2 = 0

ดงั น้นั x −1 เป็นตวั ประกอบของ x3 − 2x2 − x + 2

1) 1 − 2 −1 2

1 −1 − 2
1 −1 − 2 0

จะได้วา่ ( )x3 − 2x2 − x + 2 = ( x −1) x2 − x − 2

= ( x −1)( x − 2)( x +1)

x = −1, 2,1

ดงั น้นั เซตคำตอบคือ −1,1, 2

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 13 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4

ตัวอยา่ งที่ 6 ใหแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอไปนี้ ตอบ

1) p ( x) = x4 + x3 −19x2 +11x + 30

วธิ ที ำ ตัวประกอบของ 30 คือ 1,2,3,5,6,10,15,30

หาคา่ c ที่ทําให p(c) = 0 โดยการหารสงั เคราะห ดงั น้ี

เลือก c = −1 จะได

−1) 1 1 −19 11 30

−1 0 19 − 30

1 0 −19 30 0

หาร x4 + x3 −19x2 +11x + 30 ด้วย x +1 จะได้ x3 −19x + 30
ให้ q ( x) = x3 −19x + 30

เลอื ก c = 2 จะได

2) 1 0 −19 30
1 2 4 − 30
2 −15 0

หาร x3 −19x + 30 ด้วย x − 2 จะได้ x2 + 2x −15
แสดงว่า ( x +1)( x − 2) เปนตัวประกอบของ p(x)

จะไดว้ า่ p(x) = ( x +1)( x − 2)( x2 + 2x −15)

จะไดว้ ่า p(x) = ( x +1)( x − 2)( x + 5)( x − 3)

ดงั นน้ั x4 + x3 −19x2 +11x + 30 = ( x +1)( x − 2)( x + 5)( x − 3)

2) x3 + 3x2 − 2x − 6 = 0 สอนโดยม.จตุรพัฒน์

ให p ( x) = x3 + 3x2 − 2x – 6
จํานวนเตม็ ท่ีหาร −6 ลงตวั คอื 1,2,3,6
พิจารณา p(−3) จะได p(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 2(−3) − 6 = 0
นาํ x + 3 ไปหาร x3 + 3x2 − 2x − 6 จะไดผลหาร คือ x2 - 2 c = 2
จะได x3 + 3x2 − 2x − 6 = (x + 3)(x2 − 2)

0 = (x + 3)(x − 2)(x + 2)
x = − 3, 2, − 2

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ x = −3, 2,− 2

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 14 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

3) ถาพหุนาม p( x) = 6x3 + ax2 + bx − 1 มี x + 1 เปนตัวประกอบและเมอ่ื หารดวย
x − 1 จะเหลือเศษเทากับ −24แลว ab เทากบั เทาใด

วิธที ำ เศษจากการหาร p ( x) ดวย x + 1 คือ 0 ตอบ

จะไดวา p (−1) = 6(−1)3 + a (−1)2 + b(−1) − 1

0 = −6 + a − b − 1

7 = a − b ……………......
เศษจากการหาร p ( x) ดวย x − 1 คอื −24

จะไดวา p (1) = 6(1)3 + a (1)2 + b(1) − 1

−24 = 6 + a + b − 1

−29 = a + b ……………...
+  จะได −22 = 2a

a = −11

แทน a ดวย -11 ใน  จะได 7 = −11 − b

b = −18

ดงั นนั้ ab = (−11)(−18) = 198

4) กาํ หนดให p ( x) = x3 + kx2 + mx + 4 โดยท่ี k และ m เปนคาคงตวั ถา x + 2 เปนตัว
ประกอบหนง่ึ ของ p ( x) และเม่ือนาํ x + 1 ไปหาร p ( x) จะเหลอื เศษ 3 แลว k + m เทากับเทาใด
วิธที ำ เศษจากการหาร p ( x) ดวย x + 2 คือ 0

จะไดวา p(−2) = (−2)3 + k(−2)2 + m(−2) + 4

0 = −8 + 4k − 2m + 4

2 = 2k − m …………………………….
เศษจากการหาร p ( x) ดวย x +1 คือ 3

จะไดวา p(−1) = (−1)3 + k(−1)2 + m(−1) + 4

3 = −1 + k − m + 4 ตอบ

0 = k − m …........................
 - จะได 2 = k
แทน k ดวย 2 ใน  จะได m = 2

ดงั นนั้ k + m = 2 + 2 = 4

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 15 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem)

เม่อื p(x) คอื พหุนาม anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 = 0 โดยท่ี n เป็นจำนวนเต็มบวก และ
an, an−1, an−2,..., a1, a0 เป็นจำนวนจรงิ ซ่งึ an  0

ถ้า x − k เปน็ ตวั ประกอบพหุนาม p(x) โดยท่ี m และ k เปน็ จำนวนเตม็ ซงึ่ m  0 และ ห.ร.ม ของ

m

m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตัว

**** ถ้าเศษจากการหาร p(x) ด้วย x− k คอื p  k  = 0 ดงั นนั้ x− k เป็นตวั ประกอบของ p(x)
m  m  m

ตวั อยา่ งที่ 1 ให้แยกตวั ประกอบของ 4x3 − 7x2 + 2x +1

วธิ ที ำ ให้ p(x) = 4x3 − 7x2 + 2x +1 1, 2, 4
หา m จากจำนวนทห่ี าร 4 ลงตัว 1
k จากจำนวนทีห่ าร 1 ลงตวั

จะได้ k เทา่ กับ 1,  1 ,  1

m 24

หาคา่ k ที่ทำให้ p  k  = 0 แทน k ด้วย −1
m  m  m 4

p  − 1  = 4  − 1 3 − 7  − 1 2 + 2  − 1  +1
 4   4   4   4 

= − 4 − 7 − 2 +1
64 16 4

= − 1 − 7 − 8 + 16
16 16 16 16

=0

ดังนนั้ x + 1 เปน็ ตวั ประกอบของ 4x3 − 7x2 + 2x +1

4

นำ x + 1 ไปหาร 4x3 − 7x2 + 2x +1

4

− 1 4 -7 2 1

4

-1 2 -1
4 -8 4 0

จะได้วา่ p(x) ( ) 1  ( ) 1 
4  4 
 
= x + 4x2 −8x + 4 = x + 4 x2 − 2x +1

=  x + 1  4 ( x −1) ( x −1) = (4x +1) ( x −1) ( x −1) ตอบ
 4 

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 16 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ตวั อยา่ งท่ี 2 หาเซตคำตอบของสมการ 2x3 − x2 −13x − 6 = 0

วิธที ำ ให้ p(x) = 2x3 − x2 −13x − 6 นำ x + 1 ไปหาร 2x3 − x2 −13x − 6
หา m จากจำนวนที่หาร 2 ลงตัว 1,2
2
k จากจำนวนทห่ี าร 6 ลงตวั 1,2,3,6
− 1 2 -1 -13 -6
จะได้ k เทา่ กับ 1,  1 , 2, 3,  3 , 6
2
m 22
-1 1 6
2 -2 -12 0

หาค่า k ท่ที ำให้ p  k  = 0 แทน k ดว้ ย −1
m  m  m 2
จะได้วา่ p(x) ( ) 1 
2 

3 2 = x + 2x2 − 2x −12
 
p  − 1  = 2  − 1 −  − 1 −13 − 1  − 6
 2   2  2 2 

( )=  1 
 x + 2  2 x2 − x −12

= − 2 − 1 + 13 − 6 ( )=  1 
84 2  x + 2  2 x2 − x −12

= − 2 − 2 + 52 − 48 =  x + 1  2 ( x + 3) ( x − 4)
88 8 8  2 

=0 = (2x +1)( x + 3)( x − 4)

ดงั นัน้ x + 1 เป็นตัวประกอบของ 2x3 − x2 −13x − 6

2

ดงั นั้นเซตคำตอบคือ − 1 , −3, 4 ตอบ
 2 

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 17 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

ตวั อย่างที่ 3 หาเซตคำตอบของสมการ 12x3 −32x2 + 25x − 6 = 0

วธิ ที ำ ให้ p(x) =12x3 −32x2 + 25x − 6 นำ x − 1 ไปหาร 12x3 −32x2 + 25x − 6
หา m จากจำนวนที่หาร 12 ลงตัว 1,2,,3,4,6,12
2
k จากจำนวนท่ีหาร 6 ลงตัว 1,2,3,6
1 12 -32 25 -6
จะได้ k เทา่ กบั 1,  1 ,  1 ,  1 ,  1 , 1 , 2,  2 , 3,  3 , 6
2
m 2 3 4 6 12 3 2
6 -13 6

หาค่า k ทที่ ำให้ p  k  = 0 แทน k ด้วย 1 12 -26 12 0
m  m  m 2

3 2 จะได้ว่า p(x) = ( ) − 1 12x2
  2 

p  1  = 12  1 − 32  1 + 25  1  − 6 x − 26x +12
 2   2  2  2 

( )=  1 
= 12 − 32 + 25 − 6  x − 2  2 6x2 −13x + 6
842

= 3 − 16 + 25 − 12 =  x − 1  2( 2x − 3) (3x − 2)
22 2 2  2 

= 0 = (2x −1)(2x − 3)(3x − 2)
ดงั น้นั x − 1 เป็นตวั ประกอบของ 12x3 −32x2 + 25x − 6
ดังนน้ั เซตคำตอบคอื  1 , 3 , 2 ตอบ
2  2 2 
 3 

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 18 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

ตวั อยา่ งท่ี 4 แยกตัวประกอบของ 6x3 −11x2 + 6x −1
วิธีทำ ให p(x) = 6x3 −11x2 + 6x −1

หา k ตัวประกอบของ 1 ไดแก 1
และหา m ตัวประกอบของ 6 ไดแก 1,  2, 3,  6

จะได้ k เทากบั 1,  1 ,  1 ,  1

m 236

เลือก k = 1 จะได

m2

1 ) 6 −11 6 −1
2 1

3 −4

6 −8 2 0

พิจารณา p  1  จะได p  1  = 6  1 3 −11 1 2 + 6  1  −1 = 0
 2   2   2  2   2 

นาํ x − 1 ไปหาร 6x3 −11x2 + 6x −1ไดผลหาร คือ 6x2 −8x + 2

2

( ) ( )จะได 6x3 −11x2 + 6x −1 =  1   1 
 x − 2  6x2 −8x + 2 =  x − 2  2 3x2 − 4x +1

= (2x −1)(3x −1)( x −1)

ดงั นนั้ แยกตวั ประกอบไดเ้ ปน็ (2x −1)(3x −1)( x −1) ตอบ

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 19 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาเซตคำตอบของ 2x3 + 3x2 −11x − 6 = 0
วิธที ำ ให p(x) = 2x3 + 3x2 −11x − 6

หา k ตัวประกอบของ 2 ไดแก 1,2

และหา m ตวั ประกอบของ −6 ไดแก 1,  2,  3,  6

จะได้ k เทากับ 1,  1 ,  1 ,  1

m 236

พจิ ารณา p  1  จะได p  1  = 6  1 3 −11 1 2 + 6  1  −1 = 0
 2   2   2  2   2 

−1) 2 3 −11 − 6
2

−1 −1 6

2 2 −12 0

นํา x − 1 ไปหาร 2x3 + 3x2 −11x − 6 ไดผลหาร คือ 2x2 + 2x −12

2

( ) ( )จะได  1   1 
2x3 + 3x2 −11x − 6 =  x − 2  2x2 + 2x −12 =  x − 2  2 x2 + x − 6

= (2x −1)( x − 2)( x + 3)

ดงั น้นั เซตคำตอบ คือ − 1 , −3, 2 ตอบ
2

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 20 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาเซตคำตอบของ 6x3 + 37x2 + 32x −15 = 0
วิธีทำ ให p(x) = 6x3 + 37x2 + 32x −15
หา k ตวั ประกอบของ −15 ไดแก 1,3,5,15
และหา m ตัวประกอบของ 6 ไดแก 1,  2, 3,  6

จะได้ k เทากบั 1,  1 ,  1 ,  1 , 3,  3 , 5,  5 ,  5 , 15

m 236 2 23

พิจารณา p (−5) จะได p(−5) = 6(−5)3 + 37(−5)2 + 32(−5) −15 = −750 + 925 −160 −15 = 0

− 5) 6 37 32 −15

− 30 − 35 15

6 7 −3 0

จะได 6x3 + 37x2 (+ 32x −15 = ( x + 5) 6x2 + 7x − 3)

= ( x + 5)(2x + 3)(3x −1)

ดังนั้น เซตคำตอบ คือ −5, − 3 , 1  ตอบ
 2 3 


เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 21 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาเซตคำตอบของ 6x3 +13x2 + x − 2 = 0 ตอบ
วิธที ำ ให p(x) = 6x3 +13x2 + x − 2
หา k ตัวประกอบของ −2 ไดแก 1,2
และหา m ตัวประกอบของ 6 ไดแก 1,  2, 3,  6

จะได้ k เทากับ 1,  1 ,  1 ,  1

m 236

พจิ ารณา p (−2) จะได p(−2) = 6(−2)3 +13(−2)2 + (−2) − 2

= −48 + 52 − 2 − 2 = 0
− 2) 6 13 1 − 2

−12 − 2 2

6 1 −1 0

จะได 6x3 +13x2 + x − 2 = ( x + 2)(6x2 + x −1)

= ( x + 2)(2x +1)(3x −1)

ดงั นน้ั เซตคำตอบ คือ −2, − 1 , 1
 2 3 

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 22 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4

ช่วง (Interval) และการแกอ้ สมการพหุนาม (Solving polynomial Inequality)

1. ชวง (Interval)

กาํ หนดใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจรงิ และ a, b p(c) = 0 เปนจํานวนจรงิ ท่ี a < b p(c) = 0

ชวงจาํ กัด

ชวงเปด (a, b) หมายถึง x a  x  b  ab
ชวงปด [a, b] หมายถงึ x a  x  b  ab
ชวงคร่ึงเปดครึ่งปด (a, b] หมายถึง x a  x  b  ab
ชวงครง่ึ ปดครึง่ เปด [a, b) หมายถึง x a  x  b  ab

ชวงอนันต

ชวงครงึ่ เปดอนันต (a, ) หมายถึง {x x  a} a
a
ชวงครึ่งปดอนันต [a, ) หมายถึง x x  a  a
ชวงอนันตคร่งึ เปด (−, a) หมายถึง x x  a  a
ชวงอนนั ตครึง่ ปด (−, a] หมายถึง x x  a 

ชวงอนนั ต (−, ) หมายถึง เซตของจาํ นวนจริง

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 23 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4

1. เขียนชวงตอไปน้ใี หอยูในรปู เซต พรอมท้ังเขียนกราฟเสนจาํ นวน

1) −4, 2) = x −4  x  2

-4 2

2) (−1, ) = x x  −1 

2

3) 5, 9 = x 5  x  9 

59

4) (−5, 0) = x −5  x  0 

-5 0

5) (−, − 2) = x x  − 2 

-2

6) 0, ) = x x  0 

0

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 24 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

2. กําหนด A = x −4  x  2 
B = x −5  x  1 
C = x x  0 

ใหหาเซตตอไปนโี้ ดยเขยี นในรูปชวง พรอมทงั้ เขยี นกราฟเสนจํานวน

1) A B = −5, 2)

-5 -4 12

2) BC = [−5,)

-5 01
02
3) A C = (−4,)

-4

4) A B = (−4, 1)

-5 -4 12

5) BC = 0, 1)

-5 0 1 สอนโดยม.จตุรพัฒน์

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 25 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

6) A C = 0, 1) สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

-4 02

7) B(A C) = (−4, 1)

-5 -4 012

8) C (A  B) = (−4,)

-5 -4 12

9) A B = −5, − 4

-5 -4 12

10) C B = (−, 1)

-5 0 1 2
3. กาํ หนด A = (-5, 2] และ B = [-1, 6) ใหหา
1) A B = (−5, 6)

-5 -1 2 6
2) A B = −1, 2

-5 -1 2 6
เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์

กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 26 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4

3) A − B = (−5, −1)

-5 -1 2 6
4) B − A = (2, 6)

-5 -1 2 6
5) A = (−, − 5](2,)

-5 -1 2 6
6) B = (−, −1) [6,)

-5 -1 2 6
4. กําหนด A = (-3, 6), B = [-4, 3) และ C = [2, 8] ใหหา
1) A BC = −4, 8

-4 -3 23 68
2) (A  B) C= (−3, 8

-4 -3 23 68

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 27 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

3) A − (BC) = (−3, 2) 3, 6)

4) B  (C − A) =-4[−4-,3 3) 6,28 3 68

-4 -3 23 68

5) (A C)  B = (−, − 4) [6,)

-4 -3 23 68

6) A  B C = (−, − 4) (8,)

-4 -3 23 68

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 28 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4

2. การแกอสมการพหนุ าม (Solving Polynomial Inequality)

ในประโยคเปดทีม่ ีตัวแปร x และกลาวถงึ การไมเทากัน เชน 2x  5, x2 −1 0,7 + x 1เปนตน

เรียกประโยคเหลาน้วี า อสมการใน x โดยมี x เปนตวั แปร
การนําจํานวนจรงิ ใด ๆ ไปแทนตัวแปร x ในอสมการ แลวทาํ ใหอสมการเปนจรงิ จาํ นวนนน้ั คอื

คําตอบของอสมการ

1) การแกอสมการเชงิ เสนตวั แปรเดยี ว

การแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ตองใชสมบัตขิ องอสมการตอไปนี้
1. การบวกดวยจํานวนท่เี ทากันทง้ั สองขางของอสมการ
2. การคณู ดวยจาํ นวนทเี่ ทากันที่ไมเปนศนู ยท้งั สองขางของอสมการ

2) การแกอสมการพหุนามดีกรสี อง

การแกอสมการพหุนามดีกรีสอง จะตองจัดพหุนามใหอยูในรูป ax2 + bx + c = 0 แลวใช
วธิ ีการแยกตวั ประกอบของพหุนามใหอยูในรปู การคูณของพหนุ ามยอยมาชวยหาคําตอบของอสมการ

3) การแกอสมการพหุนามท่ีมีดีกรีสูงกวาสอง

การแกอสมการท่มี ดี ีกรสี ูงสุดมากกวาสอง นักเรยี นสามารถใชวธิ ีการเดยี วกับการแกอสมการ
กาํ ลงั สอง คือ การแยกตวั ประกอบแตจะมีพหนุ ามกาํ ลังหนง่ึ มากกวา 2 พหุนาม เมื่อนาํ คาของตัวแปร
ทที่ ําใหแตละพหนุ ามเปนศนู ยมาเขยี นบนเสนจํานวนจะพบวาจุดแบงบนเสนจาํ นวนมีมากกวา 2 จุด
จงึ ตองพจิ ารณาคาของ x ในชวงตาง ๆ เพ่มิ ขนึ้

พหุนามดีกรี n บางพหนุ ามเม่ือแยกตัวประกอบแลวไดเปนกําลงั สองสมบูรณ จะใชสมบตั ิ
ต่อไปในการพจิ ารณาคําตอบของอสมการ

ให n เปนจาํ นวนเตม็ บวกคูใด ๆ และ a เปนจํานวนจริง เซตคําตอบของอสมการ
1. (x − a)n  0 คอื เซตของจาํ นวนจริง (R)
2. (x − a)n  0 คอื R − a 

3. (x − a)n  0 คือ  a 

4. (x − a)n  0 คือ 
ให n เปนจาํ นวนเตม็ บวกคีใ่ ด ๆ และ a x เปนจาํ นวนจริง เซตคาํ ตอบของอสมการ

1. (x − a)n  0 เปนเซตคาํ ตอบเดยี วกับ x − a  0
2. (x − a)n  0 เปนเซตคําตอบเดียวกับ x − a  0
3. (x − a)n  0 เปนเซตคําตอบเดียวกบั x − a  0
4. (x − a)n  0 เปนเซตคาํ ตอบเดยี วกบั x − a  0

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา 29 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4

1. จงแก้อสมการต่อไปนี้ 2) 2x −3  5

1) 3x −5  7 2x  8
x4
3x 12
x4 ชว่ งคำตอบคือ4 (4,)

ช่วงคำตอ4บคือ (−, 4) 4) 5 − x  3 − ( x − 2)
3) 2x − 3( x +1)  0
5−x 3−x+2
2x − 3x − 3  0 5  3+ 2
x+30 55
x  −3
ช่วงคำตอบคือ R
ช่วงคำตอ-3บคือ (−, −3)
5) x + 4 −3x  2x + 4 6) −2( x + 3)  4(2x +1)

4− 2x  2x + 4 −2x − 6  8x + 4
4x  0 −10x 10
x0 10x  −10
x  −1
ช่วงคำตอ0บคือ (−,0)
7) x + 2  3 ชว่ งคำตอบคือ-1(−, −1)

5 8) 6 − x  −2
x + 2 15 2
x 13 6 − x  −4
−x  −10
13 x 10

9) x2 − 3x + 2  0 10) x2 10
ช่วงคำตอ(บxค−ือ1)((1x3−,02))  0
+ xxช−−่ว12ง)ค(ำxต0+อบ2ค) ือ (10,  )
12
( 0
ช่วงคำตอบคือ (1, 2)
12

ชว่ งคำตอบคือ (−,1)  (2,)

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา 30 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

11) x2 − x − 6  0 12) x2 − 6x + 5  0

( x − 3)( x + 2)  0 ( x − 5)( x −1)  0

-2 3 15

ชว่ งคำตอบคือ (−2,3) ชว่ งคำตอบคือ (−,1)  (5,)

13) x2 − 2x  8 14) x2 − 2x  3

x2 − 2x −8  0 x2 − 2x −3  0

(x − 4)(x + 2)  0 ( x − 3)( x +1)  0

-2 4 -1 3

ชว่ งคำตอบคือ (−, −2)  (4,) ช่วงคำตอบคือ (−1,3)

15) x2 −9x  0 16) x2 + 4x − 21 0

x(x −9)  0 ( x + 7)( x − 3)  0

09 -7 3

ช่วงคำตอบคือ 0,9 ชว่ งคำตอบคือ −7,3

17) 49  x2 18) x2 −3x  0

−49  −x2 x( x − 3)  0
x2 − 49  0
03
(x −7)(x +7)  0
ชว่ งคำตอบคือ (−,03,)
-7 7

ชว่ งคำตอบคือ −7,7

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา 31 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

19) x −3  4 20) ( x − 3)( x −1)  x ( x + 6) 3

x  4+3 x2 + x + 3x + 3  x2 + 6x 2
x7 x2 + 4x + 3  x2 + 6x
−2x  −3 ช่วงคำตอบคือ  3 ,  
7 x3  2 
ช่วงคำตอบคือ 7,)
2
21) 14 − 5x − x2  0
คณู ด้วย -1 ท้งั สองขา้ ง 22) 3x2 + 4 13x ชว่ งคำตอบคือ  1 , 4 
 3
x2 + 5x −14  0 3x2 −13x + 4  0

(x + 7)(x − 2)  0 (3x −1)( x − 4)  0

-7 2 14
ชว่ งคำตอบคือ (−,72,)
3

23) ( x 2x −3 5)  0 24) 2x − 4 1

+ 2)(x − x −1

จากอสมการ ( 2x −3 5)  0 x  −2, x  5 จากอสมการ 2x − 4 −1 0 x 1

x + 2)(x − x −1

คูณด้วย (x + 2)2 (x − 5)2 ท้งั สองขา้ ง คูณด้วย (x −1) ทง้ั สองขา้ ง

( x + 2)( x − 5)(2x − 3)  0 x  −2, x  5 (2x − 4)( x −1) − ( x −1)2  0

−2 3 ( x −1) (2x − 4) − ( x −1)  0
2 ( x −1)x − 3  0

5

ช่วงคำตอบคือ  3  ช่วงคำตอบคือ (1,3) 13
 2 
−2,  ( 5,  )

25) x3 −16x  0 26) x3 −9x  0
x(x2 −9)  0
x ( x2 −16)  0
x( x − 3)( x + 3)  0
x(x − 4)(x + 4)  0

−4 0 4 −3 0 3

ชว่ งคำตอบคือ (−, −4)  (0, 4) ชว่ งคำตอบคือ (−3,0)  (3,)

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 32 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมการและอสมการคาสัมบูรณของพหุนาม
(Equation and Inequality of Absolute of Polynomial)

1. การแกสมการในรูปคาสัมบูรณ

เม่อื พิจารณาบนเสนจาํ นวน x = a หมายถงึ จุดแทน x อยูหางจากจุดแทน 0 อยู a หนวย เมือ่

a เปนจาํ นวนจริงบวก

• สําหรับจํานวนจริงบวก a ใด ๆ x = a กต็ อเม่ือ x = − a หรือ x = a

2. การแกอสมการในรูปคาสมั บูรณ

• สําหรบั จาํ นวนจรงิ บวก a ใด ๆ 2. x  a กต็ อเมอื่ − a  x  a
1. x  a กต็ อเมอ่ื −a  x  a 4. x  a ก็ตอเมือ่ x  − a หรือ x  a
3. x  a ก็ตอเมื่อ x  − a หรอื x  a

ตัวอยา่ งท่ี 1 ใหห้ าเซตคำตอบของสมการ x = 6

วิธที ำ จะได x = 6 หรอื x = −6

ดังนน้ั เซตคําตอบของสมการ คอื −6, 6

ตัวอย่างที่ 2 ใหห้ าเซตคำตอบของสมการ x +1 = 3

x +1 = 3 หรอื x +1= −3 ตอบ
x = 2 หรือ x = −4
ดังนัน้ เซตคำตอบคือ −7,2

ตัวอยา่ งท่ี 3 ให้หาเซตคำตอบของสมการ x −1 = 7

x −1 = 7 หรอื x −1= −7 ตอบ
x = 8 หรอื x = −6
ดงั นน้ั เซตคำตอบคือ −6,8

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 33 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4

ตัวอยา่ งท่ี 4 ใหห้ าเซตคำตอบของสมการ 2x + 2 = 6 ตอบ

วิธที ำ จะไดว้ ่า 2x + 2 = 6 หรอื 2x + 2 = −6

2x = 4 2x = −8

x=2 x = −4

ตรวจคำตอบ แทน x ดว้ ย 2 จะได้ 2(2) + 2 = 6 เปน็ จรงิ

แทน x ดว้ ย -4 จะได้ 2(−4) + 2 = 6 เป็นจรงิ

ดังน้ันเซตคำตอบของสมการ 2x + 2 = 6 คือ 2,−4

ตัวอยา่ งที่ 5 ใหห้ าเซตคำตอบของสมการ 2x +5 = 9

2x +5 = 9 หรอื 2x + 5 = −9
2x = −14
2x = 4 หรือ x = −7

x = 2 หรือ

ดงั นน้ั เซตคำตอบคอื −7,2

ตัวอย่างที่ 6 ให้หาเซตคำตอบของสมการ 2x − 6 =10

2x − 6 =10 หรอื 2x − 6 = −10

2x =16 หรอื 2x = −4

x = 8 หรือ x = −2

ดงั น้ันเซตคำตอบคือ −2,8

ตวั อยา่ งท่ี 7 ใหห้ าเซตคำตอบของสมการ 2x +1 = x + 5

2x +1= x + 5 หรอื 2x +1 = −x −5
x = 4 หรือ 3x = −6

หรือ x = −2
ดังนนั้ เซตคำตอบคือ −2,4

เอกสารประกอบการเรียน Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 34 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4
รูปแบบท่ี 3 “Absolute”
การแก้อสมการในรปู ค่าสมั บรู ณ์ของพหนุ าม ยกกำลงั สองท้งั สองข้าง
Inequality of Absolute Value of Polynomial
-2 2
รูปแบบที่ 1 “ , ” รปู แบบท่ี 2 “ ,”
ถ้า a  b ถา้ a  b -3 3

แลว้ −b  a  b แลว้ a  b a  −b 17

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ x  2

วิธที ำ ยกกำลงั สองท้ังสองข้าง

x2  4
x2 − 4  0

(x − 2)(x + 2)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ (−,2) (2,)

ตวั อย่างที่ 2 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ x  3

วธิ ที ำ ยกกำลงั สองทั้งสองขา้ ง

x2  9
x2 −9  0

( x − 3)( x + 3)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ (−3,3)

ตวั อยา่ งที่ 3 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ 2 + x  −1

วธิ ที ำ ยกกำลงั สองทง้ั สองข้าง

x  −3

ไมว่ า่ จะแทน x ดว้ ยจำนวนจริงใดก็ตามทำให้อสมการเป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ คือ R

ตัวอยา่ งท่ี 4 ใหห้ าเซตคำตอบของอสมการ x − 4  3

วิธที ำ ยกกำลงั สองทง้ั สองข้าง

x2 −8x +16  9

x2 −8x + 7  0

( x − 7)( x −1)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ (1,7)

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ 35 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4
-1 5
ตวั อยา่ งท่ี 5 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ 2 − x  3
45
วธิ ีทำ ยกกำลงั สองท้ังสองขา้ ง
45
x2 − 4x + 4  9
-5 6
x2 − 4x −5  0
ตอบ
( x − 5)( x +1)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ (−,−15,)

ตัวอยา่ งที่ 6 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ 2x − 9 1

วิธที ำ ยกกำลังสองทั้งสองขา้ ง

4x2 − 36x + 811

4x2 − 36x + 80  0

x2 − 9x + 20  0

(x −5)(x − 4)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ 4,5

ตัวอยา่ งที่ 7 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ 3x − 4  8

วธิ ีทำ ยกกำลังสองท้งั สองข้าง

9x2 − 24x +16  64

9x2 − 24x − 48  0

3x2 −8x −16  0

(3x + 4)(x − 4)  0

เซตคำตอบของอสมการ คือ  − 4 , 4 
 3 

ตัวอย่างที่ 8 ใหห้ าเซตคำตอบของอสมการ 2x −1 11

วธิ ีทำ จะได้ว่า −11 2x −111 −5, 6

−10  2x  12

−5  x  6

เซตคำตอบของอสมการ 2x −1 11 คือ

เอกสารประกอบการเรียน Option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ 36 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4

ตัวอยา่ งท่ี 9 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ x − 2  1 1 3 ตอบ

วิธที ำ จะไดว้ ่า −1 x − 2 1

1 x 3

เซตคำตอบของอสมการ x − 2  1 คอื 1,3

ตวั อยา่ งที่ 10 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ x + 3  5

วิธที ำ จะไดว้ ่า x + 3  5 หรือ x +3  −5

x2 x  −8
เซตคำตอบของอสมการ x + 3  5 คอื (−, −8)  (2,) -8 2 ตอบ

ตวั อย่างที่ 11 ใหห้ าเซตคำตอบของอสมการ 5 − 2x  5 05

วิธีทำ ยกกำลงั สองทง้ั สองข้าง

25 − 20x + 4x2  25
4x2 − 20x  0
x2 −5x  0

x(x −5)  0
เซตคำตอบของอสมการ คือ (0,5)

ตัวอยา่ งท่ี 12 ให้หาเซตคำตอบของอสมการ 4x + 2 10

วิธีทำ จะได้วา่ 4x + 2  −10 หรอื 4x + 2 10 ตอบ

4x  −12 4x  8

x  −3 x2

เซตคำตอบของอสมการ 4x + 2 10 คือ x x  −3 หรอื x  2

ตวั อย่างที่ 13 ใหห้ าเซตคำตอบของอสมการ 2x −1  4

วธิ ที ำ จะได้วา่ −4  2x −1 4 คือ  −3  x  5 ตอบ
x 2 
−3  2x  5  2 

−3  x  5
22

เซตคำตอบของอสมการ 2x −1  4

เอกสารประกอบการเรยี น Option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์