0 รวมเฉลย เมทริกซ์

MเอกสAารปรTะกอRบกาIรเรXียน

100
010
001

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

1

ระบบสมการเชงิ เสน้
และเมทรกิ ซ์

1. เมทริกซ์ ( Matrix )

บทนิยาม เมทรกิ ซ์ คือ ชุดจำนวน mn ตวั ( m , n  I+ ) ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลกั
ภายใน เครอื่ งหมายวงเลบ็ ในรปู แบบ

a11 a12 ... a1n  แถวท่ี 1
a 21  แถวท่ี 2
 a 22 ... a 2n 
 แถวที่ m
a m1 

am2 ... amn 

หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลักที่ n

เรยี ก aij วา่ เป็นสมาชิก ( entry ) ในแถวท่ี i และ หลกั ที่ j ของเมทริกซ์ หรอื เรยี กว่าเปน็ สมาชิก
ในตําแหน่งที่ ij ของเมทรกิ ซ์ เมื่อ i = 1 , 2 , … , m และ j = 1 , 2 , … , n เรยี ก เมทรกิ ซ์ที่มี

m แถว และ n หลัก วา่ เปน็ m×n เมทรกิ ซ์ ( อ่านว่า เอ็ม คณู เอน็ เมทริกซ์ ) และ เรยี ก m×n

วา่ เป็นมิตขิ องเมทริกซ์ ( dimension of matrix )

เช่น

1 2 3  1 1 2 3 
4 5 6 2 1 2 4 5 6
3 2 3 7 8 9

1.กำหนด A = 1 2 3 จงตอบคำถามต่อไปน้ี
4 5 6

มติ ขิ องเมทริกซ์ A 23

สมาชิกแถวที่ 1 หลกั ที่ 1 1

สมาชกิ แถวท่ี 1 หลักที่ 3 3

สมาชกิ แถวที่ 2 หลกั ท่ี 1 4

สมาชิกแถวท่ี 2 หลักที่ 2 5

สมาชิกแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 3 6

2

1 4 7
2. กำหนด B = 2 5 8 จงตอบคำถามต่อไปนี้
3 6 9

มติ ิของเมทริกซ์ B 33

b13 = 7

b32 = 6

b31 + b21 = 3+2=5

2i+ j ; i j
= (i + j )2 ; i= j
3. กำหนดเมทรกิ ซ์ C = cij 33 โดยท่ี cij ; i j
i  j

4 2 3
 
C =  8 16 6 

16 32 36

4. กำหนด D = dij 43 และ dij = 4 เม่อื i = j , dij = i + j เม่อื i  j , dij = −2 เมื่อ i  j ,
จงหาค่าของ ( )d42 − d13 d11

d42 = 4 + 2 = 0 = 6 d13 = −2 d11 = 4

(d42 − d13 ) d11 = (6 + 2) 4 = 32

5. จงเขียนระบบสมการเชงิ เสน้

5x − 2y = 6

8x = −3

เป็นสมการเมทรกิ ซใ์ นรปู Ax + yB = C เมือ่ x, y เปน็ ตวั แปร และ A, B,C เปน็ เมทริกซข์ นาด 21

ให้ A = 5 , B = −2 และ C = 6  จากระบบสมการเชิงเส้น
8 0  −3

x 5 + y −2 = 6 
8 0  −3


3

6. ข้อมูลแสดงจำนวนนักเรยี นท้งั หมดของโรงเรียนแห่งหน่ึงเขียนเป็นเมทรกิ ซ์ได้ดงั น้ี

58 49
48 51
64 63

โดยแถวท่ี 1 ถึง 3 แสดงจำนวนนกั เรียนช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 ถงึ 6 ตามลำดบั และหลักท่ี 1 ถงึ 2 แสดง
จำนวนนักเรยี นชายและหญงิ ตามลำดับ จงหา
1) จำนวนนักเรยี นหญิงช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 5
51 คน

2) จำนวนนกั เรียนทง้ั หมดของช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
127 คน

3) เมทริกซแ์ สดงผลต่างของจำนวนนกั เรียนหญงิ และชายในแตล่ ะระดับชน้ั ของโรงเรียนแห่งนี้

 58 − 49  9
  3
 48 − 51  = 1 
 64 − 63 
 

7. พิจารณาผลการแข่งขนั ฟุตบอลกฬี าสขี องโรงเรยี น ดังน้ี
ผลการ ชนะ
สี แข่งขัน เสมอ แพ้ ประตไู ด้ ประตเู สีย คะแนน

สีฟา้ 31 0 9 5 12
7 6 10
สีชมพู 22 1 4 7 8
2 9 0
สีเขยี ว 11 2

สเี หลอื ง 02 1

จงเขยี นข้อมลู จากมาเขยี นในรูปเมทริกซ์

3 1 0 9 5 12
2 2 1 7 6 10
1 1 2 4 7 8 
0 2 1 2 9 
0 

4

2. การเท่ากนั ของเมทริกซ์

บทนยิ าม ให้ A = aij mn และ B = bij  pq
A เท่ากับ B กต็ ่อเมื่อ m = p, n = q และ aij = bij สำหรับทุก i 1, 2,3,..., m และ
j 1, 2,3,..., n เขียนแทน A เท่ากบั B ด้วย A = B

1. กำหนด x, y และ z เป็นจำนวนจรงิ

1) 2 3 = 2 3
−2 4  x 4

x = -2

2) 8 6 = y 6
5 −7 5 x

x= -7
y=
8

3) 3x + 2 5 y + 4 7 = 2x −1 5 5y − 8 7

x = -3
y= 8

2x + y 7  −2 7
   
4)  4 −6  =  4 −6 

 −9 −11 −9 x − 2 y

x= -3
y=
3

−8 7 −5 2  −8 7 −5 2 
   
5 )  6 3 −3 5  =  6 y − z −3 5 

−1 −6 3 2   x −6 3 2 
12 −9 8 z − 2 y 12 −9 8 −1

x = -1

y = -2

z = -5

5

6) 8 2y+1 −10 = 8 4y+7 −10
 7 x2 −9 −7   7 0 −7 

x = -3 หรอื 3

y = -3

−5 8 4  −5 8 x+4
−3 −2 
7) −3 y2 + 3y 2  = 11 2 

 4 11 5z  4 0 
x=
y= 0 หรือ -8
z=
-1 หรือ -2

0

8) 1 9 = y 6
4 7 22 
x 2 

x = 7 หรือ − 7

y = 1 หรือ -1

 2x + 3y 0 7 2 z +11 0 7 2
 5  x + 8 −3 5
6 y−z −3 =  6
9) 
 −1 −6 3 2  −1 −6 3 2
2 y + z − 2x −9 6  −9 8 6
8  0

x = -1

y= 3

z = -4

4 −5 4  4 −5 2x 
 0 
10 )  7 0 6 =  x + y x+ y+z 6 

−8 9 9  −8 9 

x= 2
y=
5

z= 2

6

3. การบวกเมทรกิ ซ์

บทนยิ าม ให้ A = aij mn และ B = bij mn เปน็ เมทริกซ์ท่ีมขี นาดเท่ากนั
ผลบวกของเมทริกซ์ A กบั เมทริกซ์ B คือ cij mn เมื่อ cij = aij + bij สำหรบั ทกุ
i 1, 2,3,..., m และ j 1, 2,3,..., n

เขียนแทน A บวก B ด้วย A + B นน่ั คอื aij mn + bij mn = aij + bij mn

1. กำหนด A = −5 1 และ B = 7 9 จงหา A+ B
−6 4 −8 11

A + B = −5 1 + 7 9
−6 4 −8 11

= −5 + 7 1+9 
 − 8 4 +11
 −6

= 2 10
−14 15

 2 −6 8 −2
2. กำหนด A = −4 −5 และ B = −3
 9 −7  1 −4 จงหา A+ B

−8

 2 −6  8 −2
A + B = −4 −5 + −3 −4

 9 −7  1 −8

 2 + 8 −6 − 2
= −4 − 3 −5 − 4

 9 +1 −7 − 8

10 −8 
= −7 
−9 
10
−15

7

3. โปง้ และปั้นเปน็ พนักงานขายโทรศพั ท์มอื ถือแหง่ หน่งึ โดยแตล่ ะคนมียอดขายโทรศัพท์ระบบปฏบิ ัตกิ าร
android และ ios (มีหนว่ ยเป็นแสนบาท) ในเดือน มกราคม และเดอื นกมุ ภาพนั ธ์ 2564 ดงั นี้

ยอดขายโทรศัพท์มอื ถือในเดือน

ระบบปฏิบตั ิการ มกราคม 2564 กุมภาพันธ์ 2564
พนักงาน
โป้ง android ios android ios
ปั้น
9 7.7 8.2 7.4

6.5 12.5 7.4 12.6

จงหาวา่ แต่ละคนมียอดขายโทรศัพท์มือถือระบบปฏิบตั ิการ android และ ios รวมทงั้ สองเดือนเทา่ ไร
ให้ A เปน็ ยอดขายโทรศพั ท์มือถือของโปง้ และปัน้ ในเดือนมกราคม 2564

= 9 7.7 
6.5 12.5

ให้ B เป็นยอดขายโทรศพั ท์มือถอื ของโป้งและปนั้ ในเดือนกุมภาพันธ์ 2564

= 8.2 7.4 
7.4 12.6

A+ B เป็น ยอดขายโทรศัพท์มือถือระบบปฏิบตั ิการ android และ ios รวมท้ังสองเดือน

= 9 7.7  + 8.2 7.4 
6.5 12.5 7.4 12.6

= 17.2 15.1
13.5 25.1

ดงั นนั้ ยอดขายโทรศัพท์มือถือของโปง้ ระบบปฏบิ ัติการandroid 1,720,000 บาท และios 1,510,000 บาท

ยอดขายโทรศพั ท์มือถือของป้ันระบบปฏิบตั ิการ android 1,350,000บาท และ ios 2,510,000บาท

8

4. การคณู เมทริกซ์กบั จำนวนจรงิ

บทนิยาม ให้ A = aij mn และ c จำนวนจรงิ
ผลคณู ของ c กบั เมทริกซ์ A คือเมทรกิ ซ์ bij mn เม่ือ bij = caij สำหรบั ทกุ
i 1, 2,3,..., m และ j 1, 2,3,..., n

เขยี นแทนผลคูณของ c กบั เมทริกซ์ A ดว้ ย cA นั่นคือ c aij mn = caij mn

1. กำหนด A = −3 2 จงหา 6A
 7 8

6 A = 6 −3 2
 7 8

= (6)(−3) (6)(2)
 
 ( 6) (7 ) (6) (8) 

= −18 12 
 42 48

−1 2 −5 2  4 −7 −9 −8
 5  
2) กำหนด  6 3 −3 2 และ  0 1 −2 6  จงหา
A = −6 3 B =  7 −5 −2 2A + 3B
−1 −1
12 −9 8 5 −5 −4 −13 11

−1 2 −5 2  4 −7 −9 −8
 5  
2 A + 3B = 2  6 3 −3 2 + 3  0 1 −2 6 
−6 3  7 −5 −2
−1 −1
12 −9 8 5 −5 −4 −13 11

(2)(−1) (2)(2) (2)(−5) (2)(2)  (3)(4) (3)(−7) (3)(−9) (3)(−8)
 ( 2 ) (5)   
=  ( 2)(6) (2)(3) ( 2 ) ( −3) (2)(2) +  (3) (0) (3) (1) (3) ( −2 ) (3) (6) 
( 2 ) ( −6 ) (2)(3)  (3) (7) (3) ( −5) (3) ( −2 )
( 2 ) ( −1) (3) ( −1) 
(2)(12) (2)(−9) (2)(5) (3)(−5) (3)(−4) (3)(−13) 
(2)(8) (3) (11) 

10 −17 −37 −20
= 12 
9 −12 28 

19 −27 0 4 
 
 9 −30 −23 43 

9

5. การลบเมทริกซ์

บทนิยาม A และ B เป็นเมทริกซท์ ม่ี ีขนาดเท่ากัน
เมทรกิ ซ์ A ลบด้วยเมทริกซ์ B คอื ผลบวกของเมทรกิ ซ์ A กับเมทรกิ ซ์ −B
เขยี นแทน A− B นั่นคือ A− B = A+ (−B)

1. กำหนด A = 9 −6 และ B = 4 −6 จงหา 3A− 4B
−8 −7 −5 −1

3A − 4B = A = 9 −6 − 4 4 −6
3 −8 −7 −5 −1

 (3)(9) (3)(−6)  (4)(4) (4)(−6)
= (3)(−8) (3)(−7) − (4)(−5) 
(4 ) (−1) 

=  27 −18 −  16 −24
−24 −21 −20 
−4 

= 11 6
−4 −17

2. กำหนด A = −3 4 −7 และ B = 2 −13 14 จงหา 2B −5A
 −11 9 8   5 −6 −1 

2B − 5A = 2 −3 4 −7 − 5 2 −13 14
 −11 9 8   5 −6 −1 

= ( 2) ( −3) (2)(4) ( 2 ) ( −7 ) − (5) ( 2) (5) ( −13) (5) (14 )
 (2)(9)   (5) ( −6 ) 
 ( 2)( −11) ( 2) (8)   (5) (5) (5) ( −1) 

=  −6 8 −14  − 10 −65 70 
−22 18 16 25 −30 −5

= −16 73 −84
 −47 48 21 

10

3. กำหนด A = 8 −6 0 2 และ B = 7 0 1 −5  จงหา 3A− 2B
 4 −3 9 1 9 0 6 −4

3A − 2B = 3 8 −6 0 2 − 2 7 0 1 −5 
 4 −3 9 1 9 0 6 −4

= 24 −18 0 6 − 14 0 2 −10
12 −9 27 3 18 0 
12 −8 

= 10 −18 −2 16
 −9 15 
 −6 11 

4. กำหนด A = 1 3 , B = 2 6 และ C = 0 −9 จงหา A−B−C
1 4 −4 5 1 7 

A − B − C = 1 3 − 2 6 − 0 −9
1 4 −4 5 1 7 

= −1 6
 −8
 4

−5  5  −5 9
    −6 −1
5. กำหนด A =  6  , B =  0  ,C = 8 และ D = 2 จงหา D − 3A− 2B − 5C
 7   1 
  −2 −2  
 0   0 

 9  −15 10  −25
−1     −30
D − 3A − 2B − 5C = 2 −  18  −  0  −  40 
 21   2 
    −4 −10
 0   0 

 39 
 
=  11 

−61
 
 14 

11

6. กำหนด A = 3 9 จงหาเมทริกซ์ X ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ 3X − A = A
6 −6

3X = 2A

X =2A
3

X = 2 3 9
3 6 −6

X = 2 6
4 −4

 0 12 18  1 A = 2( X − A)
7. กำหนด A = 12 −24
0 0  จงหาเมทริกซ์ X ทสี่ อดคลอ้ งกับสมการ 3
−6 6

A = 6( X − A)

A = 6X −6A

7A = 6X
X =7A

6

7  0 12 18 
6 12 −24
X = −6 0 0 
6

 0 14 21 
X = 14 0 −28

−7 7 0 

12

บทนิยาม เมทริกซ์ทม่ี ขี นาด mn และสมาชกิ ทุกตำแหน่งเป็น 0 เรียกวา่ เมทริกซศ์ นู ย์ เขยี นแทนดว้ ย
0mn หรอื 0

การบวกเมทริกซ์และการคณู เมทรกิ ซ์กับจำนวนจรงิ มสี มบัตติ ่อไปนี้

ให้ A, B,C และ 0 เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ีขนาด mn และ c,d เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ จะได้ว่า

1. A+ B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B) + C

3. A+ 0 = 0 + A = A
4. A+ (−A) = (−A) + A = 0
5. c(A+ B) = cA+ cB
6. (c + d)A = cA+ dA
7. (cd ) A = c (dA)

8. 1A = A
9. 0A = 0

1. พลงั งานและปรมิ าณสารอาหารที่ไดร้ บั จากอาหารแต่ละอย่างของรา้ นอาหารแหง่ หน่ึงแสดงไดด้ ัง

ตารางตอ่ ไปนี้

พลงั งาน (กโิ ลแคลอร่ี) ไขมนั (กรมั ) โซเดียม (มลิ ลิกรมั )

ข้าวกระเพราหมู 1 จาน 623 8 990

ค่ัวกลิง้ 1 ชอ้ น 210 4 360

ขนมครก 1 คู่ 150 3 25

ถ้ารบั ประทานข้าวกระเพราหมู 1 จาน คั่วกลง้ิ 2 ชอ้ น และ ขนมครก 3 คู่ จะไดร้ ับพลงั งาน ไขมัน
และ โซเดียมอย่างละเทา่ ไร
นำข้อมลู จากตารางมาเขียนในรูปเมทรกิ ซ์ขนาด 13 ไดด้ งั น้ี

A = 623 8 990
B = 210 4 360
C = 150 3 25
623 8 990 + 2210 4 360 + 3150 3 25
623 8 990 + 420 8 720 + 450 9 75 = 1493 25 1785

13

2. ร้านขายเสอ้ื แห่งหน่งึ ใชเ้ มทริกซข์ นาด 23 แสดงข้อมูลจำนวนเสอ้ื คงเหลือ โดยกำหนดให้สมาชิกในแถวท่ี
1 และ แถวท่ี 2 แสดงจำนวนเสื้อสีเขียว และ สแี ดง ตามลำดบั สว่ นสมาชิกในหลัก 1 ถึง 3 แสดงจำนวนเส้อื
ขนาด S,M และ L ตามลำดับ ถ้าเมทริกซ์ A แสดงจำนวนเสอ้ื เริ่มต้น และเมทริกซ์ B แสดงจำนวนเสือ้ ท่ี
ขายได้ โดยท่ี

A = 25 11 19 และ B= 11 9 12 
 8 30 27  6 18 26

จงหาว่าจะต้องสง่ั ซื้อแตล่ ะสีและแต่ละขนาดจำนวนอย่างละเทา่ ใด เพื่อให้เหลอื แตล่ ะสแี ละ แต่ละขนาดอย่าง

นอ้ ย 9 ตัว

A − B = 25 11 19 − 11 9 12 
 8 30 27  6 18 26

= 14 2 7
 12 1
 2

ดงั นัน้ ร้านตอ้ งส่ังซ้ือเสอ้ื สเี ขียวขนาด M จำนวน 7 ตัว เสอ้ื สเี ขียวขนาด L จำนวน 2 ตวั

เสื้อสแี ดงขนาด S จำนวน 7 ตัว เสอ้ื สีแดงขนาด L จำนวน 8 ตวั

3. รา้ นขายรองเท้าแห่งหนง่ึ ใช้เมทรกิ ซข์ นาด 34 แสดงข้อมูลจำนวนรองเท้าคงเหลือ โดยกำหนดใหส้ มาชกิ
ในแถวท่ี 1 แถวท่ี 2 และ แถวที่ 3 แสดงจำนวนรองเทา้ สดี ำ สขี าว และ สีแดง ตามลำดับ ส่วนสมาชกิ ในหลัก
1 ถึง 4 แสดงจำนวนเสือ้ ขนาด 38,40,42 และ 44 ตามลำดับ ถา้ เมทรกิ ซ์ A แสดงจำนวนรองเทา้ เริ่มต้น
และเมทริกซ์ B แสดงจำนวนรองเท้าท่ขี ายได้ โดยที่

15 8 14 7 15 6 13 2
A = 17 9 11 5 และ B = 13 
2 11 1 

19 7 13 8  1 3 2 6 

จงหาวา่ จะตอ้ งส่งั ซอื้ แต่ละสแี ละแตล่ ะขนาดจำนวนอย่างละเทา่ ใด เพื่อให้เหลอื อแต่ละสีและ แต่ละขนาดอยา่ ง

นอ้ ย 3 คู่

15 8 14 7 15 6 13 2
A − B = 17 9 11 5 − 13 2 11 1

19 7 13 8  1 3 2 6 

0 2 1 5
 
=  4 7 0 4 

18 4 11 2

ดงั นน้ั ร้านต้องสง่ั ซื้อรองเท้าสีดำขนาด 38 จำนวน 3 คู่ ขนาด 40 จำนวน 1 คู่ และขนาด 42 จำนวน 2 คู่

สีขาวขนาด 42 จำนวน 3 คู่

14

4. โปง้ และปน้ั เปน็ พนักงานขายโทรศัพท์มอื ถอื แห่งหนึ่ง โดยแตล่ ะคนมยี อดขายโทรศัพท์ระบบปฏิบัตกิ าร
android และ ios (มหี นว่ ยเป็นแสนบาท) ในเดือน มกราคม และเดือนกุมภาพนั ธ์ 2564 ดังนี้

ยอดขายโทรศัพท์มอื ถือในเดอื น

ระบบปฏิบตั ิการ มกราคม 2564 กมุ ภาพนั ธ์ 2564
พนักงาน
โป้ง android ios android ios
ปั้น
13.6 19.7 15.9 22.4

20.2 31.5 29.6 36.8

จงหาวา่ แตล่ ะคนมยี อดขายโทรศพั ท์มือถือระบบปฏิบตั ิการ android และ ios รวมท้งั สองเดือนเทา่ ไร
ให้ A เป็นยอดขายโทรศพั ท์มือถือของโป้งและปนั้ ในเดือนมกราคม 2564

= 13.6 19.7 
20.2 31.5

ให้ B เปน็ ยอดขายโทรศัพท์มือถือของโปง้ และปนั้ ในเดือนกุมภาพันธ์ 2564

= 15.9 22.4
29.6 36.8

B − A เปน็ ยอดขายโทรศัพท์มือถือระบบปฏิบัติการ android และ ios รวมท้งั สองเดือน

= 15.9 22.4 − 13.6 19.7 
29.6 36.8 20.2 31.5

= 2.3 2.7
9.4 5.3

ดงั นั้น ยอดขายโทรศพั ทม์ ือถือของโป้งระบบปฏบิ ตั ิการandroid 230,000 บาท และios 270,000 บาท

ยอดขายโทรศัพทม์ ือถอื ของป้ันระบบปฏิบัติการ android 940,000บาท และ ios 530,000บาท

15

6. การคณู เมทริกซ์

บทนิยาม ให้ A = aij mn และ B = Bij  pq
ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทน AB จะนิยามได้ก้ต่อเม่อื n = p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมี
ขนาด mq ซึง่ มีสมาชิกแถวที่ i และหลกั ท่ี j เป็น

ai1bi1 + ai2bi2 + ... + ainbin

สำหรับทกุ i 1, 2,3,..., m และ j 1, 2,3,..., q

1. ให้ A = 2 −3 และ B = 0 2 จงหา
5 1  3 −4

1) AB

AB = 2 −3 0 2
5 1  3 −4

= (2)(0) + (−3)(3) (2)(2) + (−3)(−4)
 
 (5)(0) + ( 3) (1) (5)(2) + (1)(−4) 

= −9 16
 
 3 6 

2) BA

BA = 0 2  2 −3
3 −4 5 1 

 (0)(2) + (2)(5) (0)(−3) + (2)(1) 
= (3)(2) + (−4)(5) (3)(−3) + (−4)(1)

=  10 2
−14 −13

16

2. ให้ A = −5 −6 และ B = 0 จงหา
 0 3  8

1) AB

AB = −5 −6 0
  8
 0 3 

(−5)(0) + (−6)(8)
= 
 (0)(0) + (3)(8) 

= −48
 24 

2) BA

BA = 0 −5 −6
8  0 3 

ไมน่ ิยาม

2 7 0 2 3
3. ให้ A = −3  4 −1 5
5  และ B = จงหา
 5
−4

1) AB

2 7 0 2 3
AB = −3  4 −1 5
 5 5 

−4

 (2)(0) + (7)(4) (2)(2) + (7)(−1) (2)(3) + (7)(5) 
= (−3)(0) + (5)(4) (−3)(2) + (5)(−1) (−3)(3) + (5)(5)

(5)(0) + (−4)(4) (5)(2) + (−4)(−1) (5)(3) + (−4)(5)

 28 −3 41
 
=  20 −11 16 

−16 14 −5

17

2) BA

0 2 3 2 7
4 −1 5 −3 
BA =  5 5 

−4

 (0)(2) + (2)(−3) + (3)(5) (0)(7) + (2)(5) + (3)(−4) 
= (4)(2) + (−1)(−3) + (5)(5) (4)(7) + (−1)(5) + (5)(−4)

= 9 −2
36 3 

1

4. ให้ A = −2 0 6 และ B = 2 จงหา

3

1) AB

1

AB = −2 0 6 2

3

= (−2)(1) + (0)(2) + (6)(3)
= 16

2) BA

1

BA = 2−2 0 6

3

= (1)(−2) (2)(0) (3)(6)
= −2 0 18

18

5. จงหาผลคณู ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

−4
 
1) 0 2 1  2 

 1 

= (0)(−4) + (2)(2) + (1)(1)

= 5

1 3 5 1
2 4 6 0
2) 1

=  (1)(1) + (3)(0) + (5)(1) 
( 2) (1) + (4)(0) + (6)(1)

= 6
8

3) 2 5 −4 0
−3

 (2)(5) (2)(−4) (2)(0) 
= (−3)(5) (−3)(−4) (−3)(0)

=  10 −8 0
−15 12 0

1 0 1 a
0 1 0 b 
4) c 


(1)(a) + (0)(b) + (1)(c) 
= (a)(0) + (1)(b) + (0)(c)

= a + c 
 b 

19

6. กำหนด A = 1 y , B = x 3 และ AB = 4 −5 จงหา 2x + y
3 0  −1 4 6 9 

AB = 1 y x 3
3 0 −1 4

= x− y 3+ 4y
 3x 9 

x− y 3 + 4y  = 4 −5
9  6
 3x  9 
 

x− y = 4

3+ 4y = −5  y = −2

3x = 6  x = 2
2x + y = 2(2)− 2 = 2

7. กำหนด A = 1 4 B = −2 x และ AB = −30 −9 จงหา 2x + y
 2 , −7 −x −24 
 y 9 

AB = 1 4 −2 x
 y 2 −7 −x

 −30 x − 4x  = −30 −9
−2 y −14 xy − 2x −24 
9 

x − 4x = 9

−3x = −9

x=3

−2y −14 = −24

−2y = −10

y=5

20

8. ในการแข่งขันเปา่ ยิงฉบุ มีผ้เู ขา้ รว่ มท้ังหมด 20 คน โดยผลการแขง่ ขันของคนที่ไดค้ ะแนนสูงสดุ 5 อนั ดบั

แรก หลงั จากแขง่ ขนั นัดท่ี 20 แสดงไดด้ งั ตาราง

อนั ดับ ผู้เขา้ แขง่ ขนั ชนะ เสมอ แพ้

1 โป้ง 19 1 0

2 ปั้น 17 2 1

3 กอลฟ์ 15 3 2

4 ลซิ ่า 11 6 7

5 อ้อยใจ 10 7 3

ถ้าในการแขง่ ขันแตล่ ะนัด คนท่ีชนะจะได้ 5 คะแนน คนทเ่ี สมอได้ 3 คะแนน และคนทแ่ี พ้ได้ 0 คะแนน จงหา
คะแนนรวมที่แตล่ ะคนทำไดห้ ลงั จากจบการแขง่ ขนั

19 1 0 
17 1
ขอ้ มูลการแข่งขนั = 15 2 2
11 3 

6 7

10 7 3

5

คะแนน = 3

0

19 1 0 (19)(5) + (1)(3) + (0)(0) 98
17 1 (17  91
= 15 2 2 5 ) (5) + ( 2) ( 3) + (1) ( 0 )  84
3 7 3 73
คะแนนทแ่ี ต่ละคนได้ 11 6 0 = (15)(5) + (3)(3) + (2)(0) =
(11)(5) + (6)(3) + (7)(0)
(10)(5) + (7)(3) + (3)(0) 71
10 7 3

โปง้ ได้คะแนน 98

ปั้น ไดค้ ะแนน 91

กอลฟ์ ไดค้ ะแนน 84

ลซิ า่ ได้คะแนน 73

อ้อยใจ ได้คะแนน 71

9. ร้านขายขนมไทยมีสตู รในการทำ ดงั ตารางร้อยละของส่วนผสมต่อไปนี้

21

ร้อยละ ขนม ทองหยบิ ขนมปงั เคก้ กลว้ ยหอม
ของสว่ นผสม
นำ้ ตาล 15 79
แปง้ 70 65 60
ไข่ 12 25 30
อนื่ ๆ 3 31

ถ้าร้านขายขนมไทยต้องการทำ ทองหยิบ 60 กโิ ลกรมั ขนมปงั 20 กโิ ลกรัม เค้กกลว้ ยหอม 45 กิโลกรมั จะใช้
น้ำตาล แป้ง ไข่ อ่นื ๆ อย่างละเทา่ ไร

0.15 0.07 0.09
 
รอ้ ยละของส่วนผสม =  0.7 0.65 0.6 

0.12 0.25 0.3 
0.03 0.03 0.01

60

จำนวนขนมทจ่ี ะทำ = 20

45

0.15 0.07 0.09 60
  20
จะใช้สว่ นผสม =  0.7 0.65 0.6  45
0.25
0.12 0.03 0.3 
0.03 0.01

(0.15)(60) + (0.07)(20) + (0.09)(45)
 
=  (0.7)(60) + (0.65)(20) + (0.6)(45) 
 (0.12)(60) + (0.25)(20) + (0.3)(45) 
 
 ( 0.03) (60) + (0.03) (20) + ( 0.01) ( 45) 

14.45
 
= 82 

 25.7 
 
 2.85 

22

10. ยอดขายผลไม้ของจังหวดั เชยี งใหม่และจังหวัดลำพูน (มีหน่วยเปน็ ตนั ) ในเดอื นสงิ หาคม 2564 แสดงดงั
ตาราง

จังหวัด ผลไม้ ลำไย ลน้ิ จี่ สตรอเบอร่ี

จงั หวดั เชียงใหม่ 25 31 15
จังหวัดลำพนู 30 24 12

ถ้ารฐั บาลกำหนดราคาขาย ลำไย ลิน้ จ่ี สตรอเบอร่ี ในประเทศตันละ 22,000 บาท 25,000 บาท และ 28,000
บาท ตามลำดับ และราคาส่งออกไปขายต่างประเทศตันละ 28,000 บาท 30,000 บาท และ 29,000 บาท
ตามลำดับ จงหารายรับในเดือนสิงหาคม 2564 ของจังหวัดเชียงใหม่และจังหวดั ลำพูน ในกรณีที่แต่ละจังหวดั
ขายผลไม้ทกุ ชนิดในราคาขายภายในประเทศ และในกรณีท่ขี ายผลไมท้ ุกชนิดในราคาส่งออกตา่ งประเทศ

ให้ A เปน็ เมทรกิ ซแ์ สดงขอ้ มูลจากตารางยอดขายผลไม้ A =  25 31 15
30 24 12

22000

ให้ B เป็นเมทริกซแ์ สดงราคาขายผลไม้ภายในประเทศ B = 25000

28000

รายรบั ในกรณีที่แต่ละจงั หวดั ขายผลไมท้ ุกชนิดในราคาขายภายในประเทศ

AB =  25 31 15 22000 = (25)(22000) + (31)(25000) + (15) ( 28000 ) 
30 24 12 25000 (30)(22000) + (24)(25000) + (12 ) ( 28000 )
28000

= 1, 745, 000
1, 596, 000

แสดงว่ารายรับของจังหวัดเชยี งใหม่ คือ 1,745,000 บาท และ รายรับจงั หวดั ลำพนู 1,596,000 บาท

ให้C เป็นเมทรกิ ซ์แสดงราคาขายผลไม้ส่งออกนอกประเทศ

28000
C = 30000

29000

AC =  25 31 15 28000 = (25)(28000) + (31)(30000) + (15) ( 29000 ) 
30 24 12 30000 (30)(28000) + (24)(30000) + (12 ) ( 29000 )
29000

= 2, 065, 000
1,908, 000 

แสดงว่ารายรบั ของจงั หวัดเชียงใหม่ คือ 2,065,000 บาท และ รายรบั จงั หวัดลำพูน 1,908,000 บาท

23

7. เมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์

บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆให้ In เป็นเมทริกซ์ขนาด nnซงึ่ มีสมาชิกในแถวที่ i และหลัก
ที่ i เป็น 1 สำหรบั ทุก i 1,2,3,..., m และ สมาชิกหลกั ท่ี i และหลักที่ j เป็น 0 เมอื่ i  j
เรยี ก In ว่า เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (identity matrix) ขนาด nn

ตัวอยา่ ง เมทรกิ ซ์เอกลักษณ์

1 0 0 1 0 0 0
I3 = 0 1 0 , 0 0
I1 = 1, I2 = 1 0 0 1 I4 = 0 1 0 0
0 1 , 0 0 1 1
0 0 0

ถ้าไม่เกิดความสับสนเกยี่ วกบั ขนาดของเมทริกซ์แลว้ อาจเขียน I แทน In

1. ให้ A = 1 −3 จงหา
4 
2 

1) I2 A

I2 A = 1 0 1 −3
0 1 4 2 

(1)(1) + (0)(4) (1)(−3) + (0)(2)
= (0)(1) + (1)(4) (0)(−3) + (1)(2)

= 1 −3
4 2 

2) AI2

AI2 = 1 −3 1 0
4  0 1
2 

= (1)(1) + (0)(−3) (1)(0) + (1)(−3)
 
 ( 4) (1) + (0)(2) (0) ( 4) + (1) (2) 

= 1 −3
4 
2 

24

 2 0 3

2. ให้ A = −4 5 8 จงหา

 6 −7 9

1) I3 A

1 0 0  2 0 3
I3 A = 0 1 0 −4 5 8

0 0 1  6 −7 9

(1)(2) + (0)(−4) + (0)(6) (1)(0) + (0)(5) + (0)(−7) (1)(3) + (0)(8) + (0)(9)
= (0)(2) + (1)(−4) + (0)(6) (0)(0) + (1)(5) + (0)(−7) (0)(3) + (1)(8) + (0)(9)

(0)(2) + (0)(−4) + (1)(6) (0)(0) + (0)(5) + (1)(−7) (0)(3) + (0)(8) + (1)(9)

 2 0 3
= −4 5 8

 6 −7 9

2) AI3

 2 0 3 1 0 0
AI3 = −4 5 8 0 1 0

 6 −7 9 0 0 1

 (1)(2) + (0)(0) + (0)(3) (2)(0) + (0)(1) + (0)(3) (2)(0) + (0)(0) + (0)(9)
= (0)(2) + (1)(−4) + (0)(6) 
(0)(0) + (1)(5) + (0)(−7) (0 ) (3) + (1) (8) + (0) (9) 

(0)(2) + (0)(−4) + (1)(6) (0)(0) + (0)(5) + (1)(−7) (0)(3) + (0)(8) + (1)(9) 

 2 0 3
= −4 5 8

 6 −7 9

25

สมบัตขิ องเมทริกซท์ ่เี ก่ียวข้องกบั การคูณเมทรกิ ซ์มดี งั ต่อไปนี้

ให้ A = aij mn , B = bij np และ C = cij  pq จะไดว้ ่า
1. A( BC ) = ( AB)C

2. และ0rm A = 0rn 0nr A = 0mr

3. Im A = A และ AIn = A

4. (cA) B = A(cB) = c( AB) เม่ือ c เปน็ จำนวนจริง

5. A(B + D) = AB + AD เมือ่ D เป็นเมทริกซ์ขนาด n p

6. ( A + E) B = AB + EB เมอื่ E เป็นเมทริกซข์ นาด mn

8. เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั

เมทริกซ์จตั รุ สั (square matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเทา่ กับจำนวนหลกั

1. ให้ A = 2 7 จงหา
−4 6

1) A2

A2 = 2 7  2 7
−4 6 −4 6

 (2)(2) + (7)(−4) (2)(7) + (7)(6) 
= (2)(−4) + (6)(−4) (−4)(7) + (6)(6)

= −24 56
−32 8 

2) A3

A3 = A2 A = −24 56  2 7
−32 8  −4 6

= (−24)(2) + (56)(−4) (−24)(7) + (56)(6)
 
 ( −32) (2) + (8) (−4) (−32) ( 7) + (8) (6) 

= −272 168 
 −96 −176

26

2. ให้ A = 1 −2 และ B = 0 3 จงหา
−1 2  1 2

1) ( A + B)2

( A + B)2 =  1 −2 + 0 32
−1 2  1 2 

= 1 12
0 4 


= 1 1 1 1
0 4 0 4

=  (1) (1) + (1) ( 0 ) (1)(1) + (1)(4) 
(0) (1) + (0)(4) (0)(1) + (4)(4)

= 1 5
0 16

2) A2 + 2AB + B2

A2 + 2 AB + B2 = 1 −2  1 −2 + 2 1 −2 0 3 + 0 3 0 3
−1  −1  −1  1 2 1 2 1 2
2  2  2 

= 3 −6 + −4 −2 + 3 6
−3 6   4 2  2 7

= 3 −2
3 15 

3) A2 + AB + BA + B2

= 1 −2  1 −2 + 1 −2 0 3 + 0 3  1 −2 + 0 3 0 3
−1 2  −1 2  −1 2  1 2 1 2 −1 2  1 2 1 2

= 3 −6 + −2 −1 + −3 6 + 3 6
−3 6   2 1  −1 1 2 7

= 1 5
0 16

27

9. เมทรกิ ซส์ ลบั เปลย่ี น

ให้ A = aij mn และ B = bij np โดยที่ bij = a ji สำหรบั ทุก i 1, 2,3,..., n และ j 1, 2,3,..., n
แล้วจะเรียก B วา่ เมทริกซ์สลับเปล่ยี น (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย At

1. กำหนดให้ A = −1 3 จงหา At
 −4
 2

At = −1 2
 3 −4

2. กำหนดให้ B = 1 −2 0 จงหา Bt
5 −6 −7

1 5
Bt = −2 −6
−7
 0

3. กำหนดให้ A = 0 6 และ B =  −1 0 3 จงหา
−1 2 −2 0 4

1) ( AB)t

AB = 0 6  −1 0 3
−1 2 −2 0 4

 (0)(−1) + (6)(−2) (0)(0) + (6)(0) (0)(3) + (6)(4) 
= (−1)(−1) + (2)(−2) (0)(0) + (6)(0) (−1)(3) + (2)(4)

= −6 0 24
 −3 0 5 

−12 −3
 
( AB)t =  0 0 

 24 5 

28

2) Bt At

0 −1 −1 −2
6  
At = 2  Bt =  0 0 

 3 4 

−1 −2 0 −1
  6 2 
At Bt =  0 0 
4 
 3

−12 −3
 
=  0 0 

 24 5 

4. กำหนดให้ C = 0 5 จงหา (Ct )t
−1 2

Ct = 0 −1
5 
2 

( )Ct t = 0 5
−1 2

5. กำหนดให้ D = 2 −7 จงหา
3 
1 

1) (4D)t

4D = 8 −28
12 4 

( 4D )t = 8 12
−28 4 

2) 4( D)t

Dt = 2 3
−7 1

4( D)t = 8 12
−28 4 

29

6. กำหนดให้ A = 1 −3 , B = 0 4 และ C = 8 −7 จงหา ( AB)t + Ct
−2 6  3 5 4 6 

AB = 1 −3 0 4
−2  3 5
6 

(1)(0) + (−3)(3) (1)(4) + (−3)(5) 
= (−2)(0) + (6)(3) (−2)(4) + (6)(5)

= −9 −11
18 22 

( AB )t =  −9 18 
−11 22

Ct = 8 4
−7 6

( AB)t + Ct =  −9 18  + 8 4
−11 22 −7 6

=  −1 22
−18 28

3 −1 จงหา ( A2 )t + ( At )t t
( )7. 0 2 
กำหนดให้ A =

A2 = AA = 3 −1 3 −1
0  0 
2  2 

= (3)(3) + (−1)(0) (3)(−1) + (−1)(2)
 
 ( 0) (3) + ( 2) (0) ( 0) (−1) + (2) ( 2) 

= 9 −5
0 4 

( )A2 t = 9 0
−5 4

( )( )At t t 3 0
−1 2
= At =

( )( ) ( )A2 t + t t 9 −5 3 0
0 −1 2
At = 4  +


= 12 −5
−1 6 

30

10. ดเิ ทอร์มแิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ขนาด

ให้ A = a b จะได้ ดเิ ทอรม์ ิแนนต์ของ A คือ
c d 

เขียนแทนดิเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det A หรอื a b
c d
bc
ab
det A = = ad − bc
cd

ad

จงหาดิเทอร์มิแนนของเมทรกิ ซต์ อ่ ไปน้ี

1) A = 1 3
2 4

1 3 = (1)(4) − (2)(3)
det A =
24

= 4−6

= −2

2) A = 3 2
−4 −5

3 2 = (3)(−5) − (2)(−4)
det A =
−4 −5

= −15 +8
= −7

3) A = 1 2
−3 0

1 2 = (1)(0) − (2)(−3)
det A =
−3 0

=0+6

=6

31

2. จงหาค่า x จากดิเทอร์มิแนนต์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1) A = 3 2 det A = 2
−1 x

-2

32

−1 x
3x

3x + 2 = 2
3x = 0
x=0

2) B = 2 −3x det B = −5
 x −4 

−3x2
2 −3x
x −4

-8

3x2 −8 = −5
3x = 3
x =1

3) C = 2x −7 det C = 37
3x 
8 

−21x
2x −7

3x 8
16x

21x +16x = 37
37x = 37
x =1

32

การหาดิเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซ์ 33

 a11 a12 a13 
 จะได้ ดเิ ทอรม์ ิแนนต์ของ คือ
ให้ A = a21 a22 a23  A

a31 a32 a33  a32 a23 a11
a12 a33a21a12
a11 a31a22 a13
det A = a21 a12 a13 a11

a31 a22 a23 a21 a22

a32 a33 a31 a32

a11a22 a33 a13a21a32

a12 a23 a31

( )det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12

1. จงหาดเิ ทอร์มิแนนของเมทริกซ์ต่อไปนี้

 1 −3 0 

1) A = −2 6 −1

 4 2 3 
0 −2 18

1 −3 0 1 −3
det A = −2 6 −1 −2 6

4 2 34 2

18 12 0
=18 +12 + 0 − (0 − 2 +18) =14

 0 −1 −3
 
2) A =  1 −2 4 

−2 3 −5

−12 0 −5

0 −1 −3 0 −1

det A = 1 −2 4 1 −2

−2 3 −5 −2 3

0 8 −9
= 0 + 8 − 9 − (−12 + 0 − 5) =16

33

4 −3 9 
3) A = 1 2 
5 

0 1 −4

0 20 12

4 −3 9 4 −3

det A = 1 2 5 1 2

0 1 −4 0 1

−32 0 9

= −32 + 0 + 9 − (0 + 20 +12) = −55

 2 −1 9 
5) A = −1 −2 
8 

−3 −4 −7

54 −64 −7
2 −1 9 2 −1
det A = −1 −2 8 −1 −2
−3 −4 −7 −3 −4

28 24 36

= 28 + 24 + 36 − (54 − 64 − 7) = 105

 2 −5 −1
6) A = −1 6 
3 

 3 4 2 

−18 24 10
2 −5 −1 2 −5

det A = −1 6 3 −1 6

342 34

24 −30 4

= 24 − 30 + 4 − (−18 + 24 +10) = −18

34

2. จงหาค่า x จากดิเทอร์มิแนนตใ์ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

2 −1 2  det A = −18

1) A = x 0 −1

4 −2 −2

0 4 2x
2 −1 2 2 −1

det A = x 0 −1 x 0

4 −2 −2 4 −2

0 4 −4x

0 + 4 − 4x − 4 − 2x = −18
−6x = −18

x=3

x 3 −1 det B = −39

2) B = 1 6 −2

0 −4 −3

0 8x −9
x 3 −1 x 3

det B = 1 6 −2 1 6

0 −4 −3 0 −4

−18x 0 4

−18x + 0 + 4 + 0 −8x + 9 = −39
−26x = −52
x=2

35

ดิเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์มีสมบัตดิ ังทฤษฎีตอ่ ไปน้ี
ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตรุ สั ที่มขี นาดเท่ากัน และ I เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ จะได้ว่า

1. det(I) =1
2. ถา้ เมทริกซ์ B ไดจ้ ากการสลับแถวสองแถวของเมทริกซ์ A แล้ว det (B) = −det ( A)
3. ถา้ เมทริกซ์ B ไดจ้ ากการคณู สมาชิกทุกตวั ในแถวใดแถวหน่งึ ของเมทริกซ์ A ด้วยคา่ คงตวั c แล้ว

det ( B) = c det ( A)
4. เมทรกิ ซ์ B ไดจ้ ากการคูณสมาชิกแตล่ ะตวั ในแถวใดแถวหนึ่งขอฃเมทริกซ์ A ดว้ ยคา่ คงตวั c
แล้ว นำไปบวกกบั สมาชิกแต่ละตวั ทอ่ี ย่ใู นหลักเดียวกันในอีกแถวหนง่ึ แลว้ det (B) = det ( A)
5. ถา้ เมทรกิ ซ์ A มี 2 แถว ที่เหมือนกัน แล้ว det ( A) = 0

6. det ( At ) = det ( A)

7. det ( AB) = det ( A) det ( B)

( )8. det ( An ) = det ( A)n

ให้ A = 2 3 จงหา
−2 5

1) det ( A2 ) −6

det ( A) = 2 3

−2 5

10

det ( A) = 10 + 6 = 16

( )det A2 = 162 = 256

2) det ( At ) −6

det ( A) = 2 3

−2 5

10

det ( A) = 10 + 6 = 16

det ( At ) = 16

36

11. เมทรกิ ซผ์ กผัน

ให้ A เปน็ เมทริกซ์ขนาด nn ถา้ เมทรกิ ซ์ B ขนาด nn ซง่ึ

AB = BA = In

แลว้ จะเรียก B ว่า เมทริกซผ์ กผัน หรอื ตวั ผกผนั การคูณ หรือ อนิ เวอร์สการคูณ ของเมทรกิ ซ์ A และ
เขียนแทนด้วย A−1

ถ้า A มเี มทริกซผ์ กผัน แล้วเมทริกซ์ผกผนั ของ A จะมีเพยี งเมทรกิ ซ์เดยี วเทา่ นนั้

ให้ A = a b จะได้ A−1 = 1 d −b เม่ือ ad − bc  0
c  ad − bc −c 
d  a 

ข้อสงั เกต ad −bc เปน็ ดิเทอร์มิแนต์ของ A น่นั คือ A−1 = 1 A d −b เมื่อ det A  0 ถ้า
det −c a 

det A = 0 แลว้ เมทรกิ ซ์ A จะไม่มเี มทรกิ ซ์ผกผัน

จงหาเมทริกซ์ผกผนั ของเมทริกซต์ ่อไปน้ี (ถา้ มี)

1) −1 −3
 2 4 

-6

−1 −3
det A =

24

= −4 + 6 = 2 -4

A−1 = 1 4 3
2 −2 −1

2) 2 4
3 6

12

24
det A =

36

=12 −12 = 0 12
det A = 0 แลว้ เมทริกซ์ A จะไมม่ เี มทริกซ์ผกผนั

37

12. การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้

ระบบสมการเชิงเส้นท่มี ี m สมการและมี n ตัวแปรร คอื ระบบสมการที่อยใู่ นรูป

a11x1 + a12 x2 + ...a1n = b1
a21x1 + a22 x2 + ...a2n = b2

am1x1 + am2 x2 + ...amn = bm

เมื่อ x1, x2,..., xn เปน็ ตวั วแปรและ aij ,bi เป็นจำนวนจริงสำหรบั i 1, 2,3,..., m และ
j 1, 2,3,..., n
กลา่ วว่า (r1, r2, r3,..., rn ) เป็นคำตอบของระบบสมการ กต็ ่อเม่ือ r1, r2, r3,..., rn เป็นจำนวนจรงิ ที่เมอื่ นำไป
แทนตัวแปร x1, x2,..., xn ตามลำดบั ในแต่ละสมการ แล้วไดส้ มการที่เป็นจริงท้ังหมด

AX = B

X = A−1B

1. จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี

2x + 3y = −5

x + 2 y = −4

ให้ A = 2 3 =  x และ B = −5
1 2 , X  y −4

เขยี นสมการในรปู สมการเมทรกิ ซ์ AX = B ไดด้ ังน้ี

2 3  x = −5
1 2  y −4

หาเมทรกิ ซ์ผกผันของ A จะได้ A−1 = 1 2 −3 = 2 −3
4 − 3 −1  −1 
2  2 

 x = 2 −3 −5
 y  −1 2  −4

 x = (2)(−5) + (−3)(−4)
 y  (−1)(−5) + (2)(−4)

 x = 2
 y −3

นั่นคือ x = 2, y = −3

38

2. จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี

x − 3y = −16

3x + y = 2

ให้ A = 1 −3 , X = x และ B = −16
3   y   
1    2 

เขียนสมการในรูปสมการเมทรกิ ซ์ AX = B ไดด้ งั น้ี

1 −3  x  = B = −16
3   y   
1     2 

หาเมทริกซผ์ กผันของ A จะได้ A−1 = 1 1 9 1 3 = 1 1 3
+ −3 1 10 −3 1

 x = 1 1 3 −16
 y 10 −3 1  2 

 x = 1  (1)( −16) + (3)(2) 
 y 10 ( −3) (−16) + (1)(2)


 x = −1
 y  
  5 

นัน่ คอื x = −1, y = 5

3. จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้

x + 4 y = 16

y − 2x = −5

ให้ A = 1 4 =  x และ B = 16 
−2 1 , X  y −5


เขยี นสมการในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B ได้ดังน้ี

1 4  x = B = 16 
−2 1  y −5

หาเมทรกิ ซผ์ กผนั ของ A จะได้ A−1 = 1 1 8 1 −4 = 1 1 −4
+ 2 1  9 2 1 

 x = 1 1 −4 16 
 y  9 2 1  −5

 x = 1 (1)(16) + ( −4 ) ( −5)
 y  9  
  ( 2) (16) + (1) ( −5) 

 x = 4
 y 3

น่ันคือ x = 4, y = 3

39

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่ประกอบดว้ ย m สมการ n ตัวแปรตอ่ ไปน้ี

a11x1 + a12 x2 + ...a1n = b1
a21x1 + a22 x2 + ...a2n = b2

am1x1 + am2 x2 + ...amn = bm

จะเรยี กเมทริกซ์ที่อยู่ในรูป

 A B =  a11 a12 a1n b1 
 a21 a22 a2n b2 
 a32 a3n 
 a42 a4n 
 a31 
b4 
a41

ว่าเมทริกซ์แตง่ เตมิ ของระบบสมการ

ถา้ เมทริกซ์ B ไดจ้ ากการดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ A จะกล่าวว่า เมทรกิ ซ์ A สมมลู กบั เมทริกซ์ B
เขียนแทนดว้ ย A B

ให้ AX = B และ CX = D แทนระบบสมการเชิงเส้น ถา้  A B สมมลู กับ C D แลว้ AX = B และ
CX = D มีคำตอบเหมือนกัน

1. จงหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ ตอ่ ไปน้ี 1 0 7 22 
0 1 
x + 2y + 3z = 14 −2 −4 
2x − y − 2z = −6
3x + 2y − z = 4 0 0 −18 −54 1 R3
1 2 3 14  −18
2 −1 −2 −6 R2 − 2R1
3 2 −1 4  R3 − 3R1

1 2 3 14  1 0 7 22 R1 − 7 R3
0 −5 −8 −34 R2  R3 0 1 −2 −4 R2 + 2R3
0 −4 −10 −38
0 0 1 3 

1 2 3 14  1 0 0 1
0 −4 −10 −38 R2 − R3 0 1 0 2
0 −5 −8 −34 0 0 1 3

1 2 3 14  R1 − R2
0 1 −2 
−4  x =1, y = 2, z = 3

0 −5 −8 −34 R3 + 5R2

40

2. จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ต่อไปน้ี

2x − y + 3z = 15

x−2y+ z =8

x + y − 2z = −1

2 −1 3 15  R1 − R2 1 1 2 7 R1 − R2
1 −2 1 8  0 1 −1 −3

1 1 −2 −1 R3 − R2 0 −3 −1 1  R3 + 3R2

1 1 2 7  1 0 3 10 
1 −2  0 1 −1 −3
1 8  R2 − R1

0 3 −3 −9 0 0 −4 −8 1 R3
−4

1 1 2 7  1 0 3 10  R1 − 3R3
0  0 1 −1 −3 R2 + R3
−3 −1 1  R2  R3

0 3 −3 −9 0 0 1 −8 R3

1 1 2 7  1 1 0 0 4 
0 −9 3 0 1 0 −1
0 3 −3 1  R2 0 0 1 −2
−3 −1

x = 4, y = −1, z = −2

3. จงหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นต่อไปน้ี

y−x+ z =6

2x −3y + z =1

3x + 2y + 4z = 5

−1 1 1 6 − R1 1 0 −4 −19
 −3 1 1 0 1 −3 −13
 2

 3 2 4 5 0 0 22 88  1 R3
22

1 −1 −1 −6 1 0 −4 −19 R1 + 4R3
2 −3  0 1 −3 −13 R2 + 3R3
1 1  R2 − 2R1

3 2 4 5  R3 − 3R1 0 0 22 88 

1 −1 −1 −6 1 0 0 −3
0  0 1 0 −1
−1 3 13  − R2 0 0 1 4 

0 5 7 23

1 −1 −1 −6  R1 + R2
0 1 −3 −13
x = −3, y = −1, z = 4

0 5 7 23  R3 − 5R2