1 เลขยกกำลัง ม5

บทท่ี 1 เลขยกกำลงั

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

1.1 ความหมายของเลขยกกาลัง

เม่ือ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก เลขยกกาลัง ที่มี a เป็นฐาน และ n เป็นเลข
ช้ีกาลัง เขยี นแทนด้วย

= × × × ⋯ × เปน็ เลขชี้กาลงั

n ตัว

อา่ นวา่ “ ยกกาลงั ” เปน็ ฐาน
หรอื “ ยกกาลงั ”
หรือ “กาลงั ของ ”

เม่อื มีจานวนท่ีคูณซ้าหลายๆตัว เราสามารถใชต้ ัวเลขยกกาลงั เขยี นแทนจานวนนั้นได้

3×3×3×3 เขยี นแทนดว้ ย 34
0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 เขยี นแทนดว้ ย 0.55

(−9) × (−9) เขียนแทนดว้ ย (−9)2

111 เขยี นแทนดว้ ย 13
3×3×3 3

a×a×a×a×a×a เขยี นแทนดว้ ย a6

ตวั อย่าง จงหาวา่ 63 แทนจานวนใด

63= 6 × 6 × 6

6×6×6

36

216

ดงั นน้ั 63= 216

ตวั อยา่ ง จงหาว่า 43 แทนจานวนใด

43= 4 × 4 × 4

4×4×4

16

64

ดังนั้น 43= 64

ตวั อยา่ ง จงหาวา่ 303 แทนจานวนใด

303= 30 × 30 × 30

30 × 30 × 30

900

27000
ดงั นั้น 303= 27000

ตวั อยา่ ง จงหาว่า 1 3 แทนจานวนใด
3

13 1 1 1
3 =3×3×3

111
3×3×3

1
9

ดังนัน้ 13 1 1
3 = 27 27

ตวั อยา่ ง จงหาว่า − 1 3 แทนจานวนใด
2

13 1 1 1
−2 = −2 × −2 × −2

111
−2 × −2 × −2

1
4

ดังนนั้ 13 1 1
−2 = −8 −8

ตวั อย่าง จงหาว่า 0.7 3 แทนจานวนใด

0.7 3= 0.7 × 0.7 × 0.7
0.7 × 0.7 × 0.7

0.49

0.343
ดงั นน้ั 0.7 3= 0.343

ตวั อยา่ ง จงหาว่า 0.02 3 แทนจานวนใด

0.02 3= 0.02 × 0.02 × 0.02
0.02 × 0.02 × 0.02

0.0004
0.000008

ดังนนั้ 0.02 3= 0.000008

ตวั อย่าง จงหาว่า 1.2 3 แทนจานวนใด

1.2 3= 1.2 × 1.2 × 1.2
1.2 × 1.2 × 1.2

1.44

1.728
ดังนั้น 1.2 3= 1.728

ตวั อยา่ ง จงหาว่า −5 4 แทนจานวนใด

−5 4= −5 × −5 × −5 × −5
−5 × −5 × −5 × −5

25

-125

625

ดังนัน้ −5 4= 625

ตวั อยา่ ง จงหาวา่ 6 4 แทนจานวนใด

6 4= 6 × 6 × 6 × 6
6×6×6 ×6

36

216

1296

ดงั นั้น 6 4= 1296

ตวั อย่าง จงหาวา่ 0.2 4 แทนจานวนใด

0.2 4= 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2
0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2

0.04

0.008

0.0016

ดังนนั้ 0.2 4= 0.0016

ตวั อย่าง จงหาว่า 3 4 แทนจานวนใด
5

3 4 3 × 3 × 3 × 3
5 5 5 5 5
=

333 3
5×5×5 ×5

9
25

27
125

ดังนัน้ 3 4 81 81
625
=
5 625

1.2 สมบัตขิ องเลขยกกาลัง

ในกรณที ั่วไป พจิ ารณา × เมื่อ เป็นจานวนใดๆ และ เป็นจานวนเตม็ บวก

× = × × × ⋯ × × × × × ⋯ ×

m ตวั n ตวั

= × × × ⋯ × × × × × ⋯ ×

m+n ตัว

1. × = +

ตวั อย่าง จงเขียน 35 × 312 ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งง่ายและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมเี ลขช้ีกาลังเปน็
จานวนเต็มบวก

จาก 35 × 312 = 35+12

= 317

ดังน้ัน 35 × 312 = 317

ตวั อยา่ ง จงเขยี น 731 × 752 ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมเี ลขช้ีกาลงั
เปน็ จานวนเตม็ บวก

จาก 731 × 752 = 731+52

= 783

ดังนนั้ 731 × 752 = 783

ตัวอยา่ ง จงเขียน 913 × 929 ใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมีเลขชี้กาลัง
เปน็ จานวนเต็มบวก

จาก 913 × 929 = 913+29

= 942

ดังนนั้ 913 × 929 = 942

ตวั อยา่ ง จงเขยี น 1139 × 1114 ใหอ้ ยใู่ นรูปอย่างงา่ ยและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขช้ีกาลงั
เปน็ จานวนเต็มบวก

จาก 1139 × 1114 = 1139+14

= 1153

ดงั น้ัน 1139 × 1114 = 1153

ตวั อย่าง จงเขียน 2027 × 2019 ให้อยู่ในรปู อยา่ งง่ายและเลขยกกาลังทุกจานวนมีเลขชี้กาลัง
เป็นจานวนเต็มบวก

จาก 2027 × 2019 = 2027+19

= 2046

ดงั นน้ั 2027 × 2019 = 2046

ตวั อยา่ ง จงเขียน 3523 × 3528 ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมเี ลขชี้กาลงั
เปน็ จานวนเตม็ บวก

จาก 3523 × 3528 = 3523+28

= 3551

ดังน้นั 3523 × 3528 = 3551

2. =

ตวั อย่าง จงเขียน 642 ใหอ้ ยู่ในรปู อยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขชก้ี าลงั เปน็
จานวนเต็มบวก

จาก 642 = 26 2
= 26×2

= 212

ดังน้ัน 642 = 212

ตวั อย่าง จงเขียน 6253 ใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขยกกาลังทุกจานวนมีเลขชก้ี าลงั เป็น
จานวนเต็มบวก

จาก 6253 = 54 3
= 54×3

= 512

ดงั นัน้ 6253 = 512

ตวั อย่าง จงเขียน 34310 ให้อยใู่ นรูปอยา่ งง่ายและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขชกี้ าลังเปน็
จานวนเต็มบวก

จาก 34310 = 73 10
= 73×10

= 730

ดงั นัน้ 34310 = 730

ตวั อย่าง จงเขียน 87 × 45 ใหอ้ ย่ใู นรปู อยา่ งง่ายและเลขยกกาลังทกุ จานวนมีเลขชก้ี าลงั เป็น
จานวนเต็มบวก

จาก 87 × 45 = 23 7 × 22 5
= 23×7 × 22×5

= 221 × 210
= 221+10

= 231

ดงั นนั้ 87 × 45 = 231

ตวั อยา่ ง จงเขยี น 1611 × 6415 ให้อยูใ่ นรปู อยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมีเลขชกี้ าลงั
เปน็ จานวนเตม็ บวก

จาก 1611 × 6415 = 24 11 × 26 15
= 24×11 × 26×15

= 244 × 290
= 244+90

= 2134

ดังนั้น 1611 × 6415 = 2134

ตวั อยา่ ง จงเขียน 34316 × 4912 ใหอ้ ยูใ่ นรูปอย่างงา่ ยและเลขยกกาลังทกุ จานวนมีเลขช้ี
กาลังเปน็ จานวนเต็มบวก

จาก 34316 × 4912 = 73 16 × 72 12

= 73×16 × 72×12
= 748 × 724
= 748+24
= 772

ดังนน้ั 34316 × 4912 = 772

3. × = ×

ตวั อย่าง จงเขยี น 610 ใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งง่ายและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขชก้ี าลงั เปน็
จานวนเต็มบวก

จาก 610 = 6 10
= 2 × 3 10

= 210 × 310

ดังนนั้ 610 = 210 × 310

ตวั อย่าง จงเขยี น 107 ให้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมเี ลขช้กี าลังเปน็
จานวนเต็มบวก

จาก 107 = 10 7
= 2×5 7

= 27 × 57

ดงั นั้น 107 = 27 × 57

ตวั อย่าง จงเขยี น 215 × 76 ให้อยใู่ นรูปอย่างงา่ ยและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมีเลขชกี้ าลงั
เป็นจานวนเต็มบวก

จาก 215 × 76 = 7 × 3 5 × 76
= 75 × 35 × 76

= 75+6 × 35

= 711 × 35

ดงั น้ัน 215 × 76 = 711 × 35

ตวั อย่าง จงเขยี น 158 × 39 ให้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลงั ทุกจานวนมเี ลขชก้ี าลงั
เปน็ จานวนเตม็ บวก

จาก 158 × 39 = 5 × 3 8 × 39
= 58 × 38 × 39

= 58 × 38+9

= 58 × 317

ดงั น้ัน 158 × 39 = 58 × 317

ตวั อยา่ ง จงเขียน 285 × 143 ใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งง่ายและเลขยกกาลังทุกจานวนมีเลขชกี้ าลงั
เปน็ จานวนเต็มบวก

จาก 285 × 143 = 7×4 5× 7×2 3
= 7 × 22 5 × 73 × 23
= 75 × 210 × 73 × 23

= 75+3 × 210+3
= 78 × 213

ดังนั้น 285 × 143 = 78 × 213


4. =

ตัวอยา่ ง จงเขียน 2 4 ให้อยูใ่ นรปู อย่างงา่ ยและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขชก้ี าลงั เปน็
3
จานวนเตม็ บวก

จาก 2 4 24
3 =3

24
= 34

ดงั น้นั 2 4 = 24
3 34

ตวั อยา่ ง จงเขยี น 8 6 × 28 ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งง่ายและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมเี ลขชก้ี าลัง
เปน็ จานวน5เตม็ บวก

จาก 8 6 23 6
= 5 ×7×4
5 × 28

= 218 × 7 × 22
56

220 × 7
= 56

ดังน้นั 8 6 220 × 7
5 × 28 = 56

ตวั อย่าง จงเขยี น 81 5 × 63 ให้อยู่ในรปู อย่างง่ายและเลขยกกาลังทกุ จานวนมีเลขช้ี
8
กาลังเป็นจานวนเต็มบวก

จาก 81 5 34 5
8 × 63 = 23 × 7 × 9

= 320 × 7 × 32
215

322 × 7
= 215

ดังนน้ั 81 5 322 × 7
8 × 63 = 215

5. = −


ตวั อย่าง จจางเนขวียนนเต็ม บ วใหกอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมเี ลขช้กี าลังเป็น

จาก = 25−3
= 22

ดงั นัน้ = 22


ตวั อยา่ ง จงเขยี น ให้อยู่ในรูปอย่างงา่ ยและเลขยกกาลังทุกจานวนมเี ลขช้กี าลงั เปน็

จานวนเต็มบวก

จาก 23 5
= 24 3

215
= 212
= 215−12

= 23

ดังนน้ั = 23


ตวั อย่าง จจงาเนขวียนนเตม็ บ วกใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่ายและเลขยกกาลังทกุ จานวนมเี ลขช้กี าลงั เปน็

จาก 34 6
= 33 9
ดังน้ัน
324
= 327
= 324−27

= 3−3

1
= 33
816 1
279 = 33

ตวั อยา่ ง จเปง็นเขจียานนว น เ ต ××ม็ บ ว กให้อยใู่ นรปู อย่างงา่ ยและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมีเลขชี้กาลงั

จาก × 2 × 5 7 × 2 × 3 10
× = 5×3 4× 2×7 8

27 × 57 × 210 × 310
= 54 × 34 × 28 × 78

27+10−8 × 57−4 × 310−4
= 29 × 53 × 7386
= 78
107 × 610 29 × 53 × 36
ดงั น้ัน 154 × 148 =
78

ตวั อยา่ ง จงหา 3) −1 320

1) 1250 จาก −1 320 = 1
ดงั น้ัน −1 320 = 1
จาก 1250 = 1
ดงั นั้น 1250 = 1 4) 256.025 0

2) −1 199 จาก 256.025 0 = 1
ดงั น้ัน 256.025 0 = 1
จาก −1 199 = −1
ดังนั้น −1 199 = −1

ตวั อย่าง ให้ x, y และ z เปน็ จานวนจริงทไี่ มเ่ ท่ากบั ศนู ย์ จงทาให้พจนต์ อ่ ไปน้ีอยู่ในรูปอยา่ ง
ง่ายและเลขยกกาลงั ทกุ จานวนมเี ลขชก้ี าลงั เป็นจานวนเตม็ บวก

5 9 3 4
1) 4
3

จาก 5 9 3 4 15 27 4
4 3 = 12 × 3
= 15+4 27−12−3

= 19 12

ดังน้ัน 5 9 3 4 = 19 12
4 3

2 3 5 3 2 2
2) 4
3

จาก 2 3 5 3 2 2 10 15 6 4
4 3 = 20 × 6

16 15 4
= 20 6

16 9
= 16

ดงั นั้น 2 3 5 3 2 2 16 9
4 3 = 16

3) 4 7 2 2 3 5 2 3 2 3
3 6

จาก 4 7 2 2 3 5 2 3 2 3 = 8 14 × 10 15 × 6 9 6
3 6 6 30

14 33 21
= 6 30

33 15
= 16

ดงั น้ัน 4 7 2 2 3 5 2 3 2 3 = 33 15
3 6 16

1.3 รากท่ี n ของจานวนจรงิ

ให้ a แทนจานวนจรงิ บวกใดๆหรือศนู ย์ รากท่สี องของ a คอื จานวนจรงิ ที่ยกกาลังสองแล้วได้ a

ตวั อย่าง 3 เปน็ รากท่ีสองของ 9 เนื่องจาก 32 = 9
-3 เป็นรากที่สองของ 9 เน่ืองจาก (−3)2= 9
4 เปน็ รากทสี่ องของ 16 เน่ืองจาก 42 = 16
-4 เป็นรากทีส่ องของ 16 เนอื่ งจาก (−4)2= 16

2 เปน็ รากท่สี องของ 2 เน่อื งจาก 2
− 2 เปน็ รากท่ีสองของ 2 เน่ืองจาก
2 =2
(− 2)2= 2

ตวั อยา่ ง จงหา 3) 625

1) 16 169

จาก 16 = 4 จาก 625 25
ดงั นั้น 16 = 4 169 = 13

ดงั นั้น 625 25
169 = 13

2) 121 = 11 144 144 12 4
4) 225 = 15 =5
จาก 121
225

จาก

ดังนั้น 121 = 11 ดังน้ัน 144 4
225 = 5

ให้ ≥ 0 และ ≥ 0 จะได้

∙ =

ตวั อยา่ ง จงเขยี นจานวนตอ่ ไปน้ใี หอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย

1) 5 ∙ 7 2) 11 ∙ 3

จาก 5 ∙ 7 = 5 × 7 จาก 11 ∙ 3 = 11 × 3

= 35 = 33

ดังนั้น 5 ∙ 7 = 35 ดงั นั้น 11 ∙ 3 = 33

ให้ ≥ 0 และ > 0 จะได้

=


ตวั อย่าง จงเขียนจานวนตอ่ ไปน้ใี หอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย

63 63 24 24
1) =7 2) =3

7 3

จาก 63 จาก 24
7 3

=9 =8

ดังน้ัน =3 ดงั น้ัน =2 2
24 = 2 2
63 = 3
3
7

คา่ หลักของรากที่ n

ให้ , เปน็ จานวนจรงิ และ n เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกว่า 1
เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี n ของ กต็ อ่ เมอื่
1. เป็นรากที่ n ของ
2. ≥ 0

ตวั อย่าง จงหา

1) ค่าหลักของรากท่ี 2 ของ 9 2) ค่าหลักของรากที่ 4 ของ 625
เนือ่ งจากรากที่ 2 ของ 9 คอื 3 และ -3 เน่ืองจากรากท่ี 4 ของ 625 คือ 5 และ -5
และ 9 3 > 0 แต่ 9 −3 < 0 และ 625 5 > 0 แต่ 625 −5 < 0
ดงั นนั้ ค่าหลักของรากท่ี 2 ของ 9 คอื 3 ดังนั้น ค่าหลักของรากท่ี 4 ของ 625 คอื 5

3) คา่ หลักของรากที่ 3 ของ 27 4) คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ -343
เนื่องจากรากที่ 3 ของ 27 คอื 3 เน่ืองจากรากที่ 3 ของ -343 คอื -7
และ 27 3 > 0 และ −343 −7 > 0
ดังน้นั ค่าหลกั ของรากที่ 3 ของ 27 คอื 3 ดังน้นั ค่าหลักของรากที่ 3 ของ -343 คอื -7

5) คา่ หลักของรากท่ี 3 ของ -216 6) คา่ หลักของรากท่ี 4 ของ -625
เนอ่ื งจากรากท่ี 3 ของ -216 คือ -6 เนอ่ื งจากจานวนจริงบวกและจานวนจรงิ ลบ
และ -216 −6 > 0 ยกกาลงั ดว้ ยจานวนคู่จะไดผ้ ลลัพธ์เป็น
ดังนั้น คา่ หลักของรากท่ี 3 ของ -216 คือ -6 จานวนจรงิ บวก ดังน้ัน จึงไมม่ รี ากท่ี 4 ของ
-625 ในระบบจานวนจรงิ
จะได้ว่าไมม่ คี ่าหลักของรากท่ี 4 ของ -625
ในระบบจานวนจริง

ให้ , เปน็ จานวนจรงิ และ n เปน็ จานวนเต็มที่มากกว่า 1 โดยท่ี และ มีรากที่ n จะได้

∙ =

ตวั อยา่ ง จงหา

1) 3 7 × 3 49 = 3 7 × 49 2) 3 5 × 3 200
จาก 3 7 × 3 49 จาก 3 5 × 3 200 = 3 5 × 200

ดังน้ัน = 3 343 ดงั น้ัน = 3 1000

=7 = 10
3 7 × 3 49 = 7 3 5 × 3 200 = 10

3) 53 2 + 33 32 + 3 10 × 3 250
2
3

จาก 53 2 + 33 32 + 3 10 × 3 250 = 53 3 32 3 250
2 2+
3 2+3

= 53 2 + 33 16 + 53 2

= 53 2 + 63 2 + 53 2

= 163 2

ดังนั้น 53 2 + 33 32 + 3 10 × 3 250 = 16 3 2
2
3

4) 3 5 + 4 2 5 − 3 2 = 15 − 9 5 × 2 + 4 10 − 24
จาก 3 5 + 4 2 5 − 3 2

= −9 − 9 10 + 4 10

= −9 − 5 10

ดงั น้ัน 3 5 + 4 2 5 − 3 2 = −9 − 5 10