ตัวอย่าง

ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 3 1 กลมุ สาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร
เรื่องการแยกตัวประกอบพหุนามท่ีมดี ีกรสี ูงกวา สอง
เอกสารประกอบการเรียน

วิชาคณติ ศาสตร มัธยมศึกษาปท ่ี 3

เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบพหนุ าม
ท่มี ีดกี รสี ูงกวา สอง

กลุมสาระการเรียนรูคณติ ศาสตร

ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 3 1 กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร
เรอ่ื งการแยกตัวประกอบพหนุ ามทีม่ ีดีกรีสูงกวาสอง

บทที่ 2

การแยกตวั ประกอบพหนุ ามทมี่ ดี กี รีสงู กวา สอง

2.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามทีอ่ ยใู นรูปผลบวกและผลตางของ
กำลงั สาม

ผลบวกของกำลังสาม

A3 + B3 = A + B A2 − AB + B2

พจนห นา 3+พจนห ลงั 3 = (พจนห นา + พจนหลงั )[พจนหนา 2 – ( พจนห นา )(พจนหลัง) + พจนห ลัง2 ]

ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ x3 +1
วิธที ำ
x3 +1 = x3 +13
= x +1 x2 − x 1 +12 
= x +1 x2 − x +1

ดังน้ัน x3 +1 = x +1 x2 − x +1

ตัวอยา ง จงแยกตัวประกอบของ x3 + 27
วิธีทำ
x3 + 27 = x3 + 33
ดงั น้นั x3 + 27 = x + 3 x2 − x 3 + 32 
= x + 3 x2 − 3x + 9

= x + 3 x2 − 3x + 9

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 3 2 กลุม สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร
เร่ืองการแยกตวั ประกอบพหุนามท่มี ดี ีกรสี ูงกวา สอง

ตัวอยา ง จงแยกตัวประกอบของ 8x3 +125
วธิ ีทำ
8x3 +125 = 2x 3 + 53

= 2x +5  2x 2− 2x 5 + 52 
 

= 2x + 5 4x2 −10x + 25

ดงั น้นั 8x3 +125 = 2x + 5 4x2 −10x + 25

ตวั อยา ง จงแยกตวั ประกอบของ 64x3 + x −1 3
วิธีทำ
64x3 + x −1 3 = 4x 3 + x −1 3

= 4x + x −1  4x 2− 4x x −1 + x −1 2 
 

= 5x −1 16x2 − 4x2 − 4x + x2 − 2x +1 

= 5x −1 16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x +1

= 5x −1 13x2 + 2x +1

ดังนัน้ 64x3 + x −1 3 = 5x −1 13x2 + 2x +1

ตัวอยา ง จงแยกตวั ประกอบของ x + 2 3 + x − 3 3

วิธีทำ x+2 3 + x−3 3 =  x+2 + x−3   x+2 2− x+2 x−3 + x−3 2
 

= 2x −1  x2 + 4x + 4 − x2 − x − 6 + x2 − 6x + 9 

= 2x −1 x2 + 4x + 4 − x2 + x + 6 + x2 − 6x + 9

ดังนัน้ x+2 3 + x−3 3 = 2x −1 x2 − x +19
= 2x −1 x2 − x +19

ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 2x −1 3 + x − 4 3
วธิ ที ำ
2x −1 3 + x − 4 3 =  2x −1 + x −4   2x −1 2 − 2x −1 x−4 + x −4 2
 

= 3x − 5  4x2 − 4x +1 − 2x2 − 9x + 4 + x2 − 8x +16 

= 3x − 5 4x2 − 4x +1 − 2x2 + 9x − 4 + x2 − 8x +16

ดงั นนั้ 2x −1 3 + x − 4 3 = 3x − 5 3x2 − 3x +13
= 3x − 5 3x2 − 3x +13

ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 3 กลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
เรอื่ งการแยกตัวประกอบพหุนามทมี่ ีดกี รีสูงกวาสอง
แบบฝก หดั

1. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 23 = x + 2 x2 − x 2 + 22 
วธิ ีทำ x3 + 23 = x + 2 x2 − 2x + 4
= x + 2 x2 − 2x + 4
ดังนั้น x3 + 23

2. จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 53 = x + 5 x2 − x 5 + 52 
วธิ ีทำ x3 + 53 = x + 5 x2 − 5x + 25
= x + 5 x2 − 5x + 25
ดงั นัน้ x3 + 53

3. จงแยกตวั ประกอบของ x3 +103

วธิ ที ำ x3 + 53 = x +10 x2 − x 10 +102 

ดงั น้นั x3 + 53 = x +10 x2 −10x +100
= x +10 x2 −10x +100

4. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 73 = x + 7 x2 − x 7 + 72 
วิธที ำ x3 + 73 = x + 7 x2 − 7x + 49
= x + 7 x2 − 7x + 49
ดงั นัน้ x3 + 73

5. จงแยกตัวประกอบของ x3 +123

วธิ ีทำ x3 +123 = x +12 x2 − x 12 +122 

ดังนั้น x3 +123 = x +12 x2 −12x +144
= x +12 x2 −12x +144

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 3 4 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
เร่ืองการแยกตัวประกอบพหนุ ามท่มี ดี ีกรีสงู กวาสอง

6. จงแยกตัวประกอบของ x3 +153

วธิ ีทำ x3 +153 = x +15 x2 − x 15 +152 

ดังนั้น x3 +153 = x +15 x2 −15x + 225
= x +15 x2 −15x + 225

7. จงแยกตวั ประกอบของ x3 +193

วธิ ีทำ x3 +193 = x +19 x2 − x 19 +192 

ดังนั้น x3 +193 = x +19 x2 −19x + 361
= x +19 x2 −19x + 361

8. จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 213

วิธีทำ x3 + 213 = x + 21 x2 − x 21 + 212 

ดังนั้น x3 + 213 = x + 21 x2 − 21x + 441
= x + 21 x2 − 21x + 441

9. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 303

วธิ ีทำ x3 + 303 = x + 30 x2 − x 30 + 302 

ดงั นน้ั = x + 30 x2 − 30x + 900
x3 + 303 = x + 30 x2 − 30x + 900

10. จงแยกตวั ประกอบของ x3 +353

วธิ ีทำ x3 + 353 = x + 35 x2 − x 35 + 352 

ดังนน้ั = x + 35 x2 − 35x +1225
x3 + 353 = x + 35 x2 − 35x +1225

ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 3 5 กลมุ สาระการเรียนรูคณิตศาสตร
เร่อื งการแยกตวั ประกอบพหุนามท่มี ดี กี รสี งู กวาสอง

11. จงแยกตัวประกอบของ x3 +8
วธิ ที ำ x3 + 8 = x3 + 23

= x + 2 x2 − x 2 + 22 

= x + 2 x2 − 2x + 4

ดงั นน้ั x3 + 8 = x + 2 x2 − 2x + 4

12. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 216
วิธที ำ x3 + 216 = x3 + 63

= x + 6 x2 − x 6 + 62 

= x + 6 x2 − 6x + 36

ดงั นั้น x3 + 216 = x + 6 x2 − 6x + 36

13. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 512
วิธีทำ x3 + 512 = x3 + 83

= x + 8 x2 − x 8 + 82 

= x + 8 x2 − 8x + 64

ดังน้ัน x3 + 512 = x + 8 x2 − 8x + 64

14. จงแยกตัวประกอบของ x3 +1000
วธิ ที ำ x3 +1000 = x3 +103

= x +10 x2 − x 10 +102 

= x +10 x2 −10x +100

ดงั นัน้ x3 +1000 = x +10 x2 −10x +100

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 3 6 กลุมสาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
เร่อื งการแยกตวั ประกอบพหนุ ามที่มีดีกรสี ูงกวาสอง

15. จงแยกตวั ประกอบของ x3 +1331
วิธที ำ x3 +1331 = x3 +113

= x +11 x2 − x 11 +112 

= x +11 x2 −11x +121

ดังนน้ั x3 +1331 = x +11 x2 −11x +121

16. จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 2197
วธิ ที ำ x3 + 2197 = x3 +133

= x +13 x2 − x 13 +132 

= x +13 x2 −13x +169

ดงั น้นั x3 + 2197 = x +13 x2 −13x +169

17. จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 2744
วธิ ีทำ x3 + 2744 = x3 +143

= x +14 x2 − x 14 +142 

= x +14 x2 −14x +196

ดงั นั้น x3 + 2744 = x +14 x2 −14x +196

18. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 4096
วิธีทำ x3 + 4096 = x3 +163

= x +16 x2 − x 16 +162 

= x +16 x2 −16x + 256

ดังนน้ั x3 + 4096 = x +16 x2 −16x + 256

ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 3 7 กลุมสาระการเรียนรูคณติ ศาสตร
เรอ่ื งการแยกตัวประกอบพหุนามทีม่ ีดีกรีสูงกวาสอง

19. จงแยกตัวประกอบของ x3 +8000
วิธที ำ x3 +8000 = x3 + 203

= x + 20 x2 − x 20 + 202 

= x + 20 x2 − 20x + 400

ดงั นน้ั x3 +8000 = x + 20 x2 − 20x + 400

20. จงแยกตัวประกอบของ x3 + 27000
วธิ ีทำ x3 + 27000 = x3 + 303

= x + 30 x2 − x 30 + 302 

= x + 30 x2 −30x + 900

ดังนนั้ x3 + 27000 = x + 30 x2 −30x + 900

21. จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 64000
วิธที ำ x3 + 64000 = x3 + 403

= x + 40 x2 − x 40 + 402 

= x + 40 x2 − 40x +1600

ดงั นนั้ x3 + 64000 = x + 40 x2 − 40x +1600

22. จงแยกตวั ประกอบของ x3 +125000
วธิ ที ำ x3 +125000 = x3 + 503

= x + 50 x2 − x 50 + 502 

= x + 50 x2 − 50x + 2500

ดังนั้น x3 +125000 = x + 50 x2 − 50x + 2500

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 3 8 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร
เรอ่ื งการแยกตวั ประกอบพหุนามทมี่ ดี กี รีสงู กวาสอง

23. จงแยกตัวประกอบของ 27x3 + 64 = 3x 3 + 43
วธิ ที ำ 27x3 + 64
= 3x + 4  3x 2− 3x 4 + 42 
ดงั นนั้ 27x3 + 64  

= 3x + 4 9x2 −12x +16

= 3x + 4 9x2 −12x +16

24. จงแยกตวั ประกอบของ 125x3 +343
วธิ ีทำ 125x3 + 343 = 5x 3 + 73

= 5x + 7  5x 2− 5x 7 + 7 2 
 

= 5x + 7 25x2 − 35x + 49

ดังนนั้ 125x3 + 343 = 5x + 7 25x2 − 35x + 49

25. จงแยกตัวประกอบของ 8x3 +729 = 2x 3 + 93
วธิ ีทำ 8x3 + 729
= 2x +9  2x 2− 2x 9 + 9 2 
ดงั นั้น 8x3 + 729  

= 2x + 9 4x2 −18x + 81

= 2x + 9 4x2 −18x + 81

26. จงแยกตวั ประกอบของ 64x3 +1000

วิธีทำ 64x3 +1000 = 4x 3 +103

= 4x +10  4x 2− 4x 10 + 10 2 
 

= 4x +10 16x2 − 40x +100

ดงั นั้น 64x3 +1000 = 4x +10 16x2 − 40x +100

ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 3 9 กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร
เรอ่ื งการแยกตัวประกอบพหนุ ามท่มี ีดกี รสี งู กวาสอง

27. จงแยกตัวประกอบของ 125x3 + 27 = 5x 3 + 33
วธิ ีทำ 125x3 + 27
= 5x +3  5x 2− 5x 3 + 32 
ดังนั้น 125x3 + 27  

= 5x + 3 25x2 −15x + 9

= 5x + 3 25x2 −15x + 9

28. จงแยกตัวประกอบของ 1728x3 +8000

วธิ ีทำ 1728x3 + 8000 = 12x 3 + 203

= 12x + 20  12x 2− 12x 20 + 20 2 
 

= 12x + 20 144x2 − 240x + 400

ดงั นั้น 1728x3 +8000 = 12x + 20 144x2 − 240x + 400

29. จงแยกตวั ประกอบของ 27000x3 +343

วิธีทำ 27000x3 + 343 = 30x 3 + 73

= 30x + 7  30x 2− 30x 7 + 7 2 
 

= 30x + 7 900x2 − 210x + 49

ดงั นน้ั 27000x3 + 343 = 30x + 7 900x2 − 210x + 49

30. จงแยกตัวประกอบของ 512x3 +64000

วิธีทำ 512x3 + 64000 = 8x 3 + 403

= 8x + 40  8x 2− 8x 40 + 402 
 

= 8x + 40 64x2 − 320x +1600

ดงั นั้น 512x3 + 64000 = 8x + 40 64x2 − 320x +1600