ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชนั
มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

a1
b2
c3

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ Chapter คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

AB 05แคลวะาฟมังสกมั ช์ พันนั ธ์

C

คอู่ นั ดับ

บทนยิ าม คอู่ นั ดับ (ordered pairs) แสดงความสัมพันธ์
ระหวา่ งปริมาณ 2 ปริมาณ ซ่ึงเขยี นในรปู ทว่ั ไปเปน็ (a, b)

Ex. จงหาคา่ ของตวั แปรเมื่อกำหนด 2) ( x + 2, 4) = (6, y − 5)
1) (a, −7) = (1,b)
x=4
a =1 y=9
b = −7

3) ( x + y, −6) = (2, x − y) 4) ( x + 2y,5) = (−3,3x − y)

x + y = 2 ----- x − y = −6 ----- x + 2y = −3----- 3x − y = 5-----
+; 2x = −4 x2; 3x + 6y = −9 ----
แทน x = −2 ใน  จะได้  -  จะได้ 7y = −14

y=4 y = −2

แทน y = −2 ใน  จะได้

x =1

5) (2m − 3n, −4) = (−3,5m − 4n) 6) (16, 2a − 3b) = (5a − b,9) แลว้ ab เท่าไร

2m + 3n = −3----- 5m − 4n = −4 --- 5a −b =16 ----- 2a −3b = 9 -----
x5; 10m −15n = −15 ---- x3; 15a −3b = 48----
x2; 10m −8n = −8 ----  -  จะได้ 13a = 39
 - ; −7n = −7
a=3
n =1
แทน a = 3 ใน  จะได้
แทน n =1 ใน  จะได้
b = −1
m=0

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 2 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4

2. ผลคณู คาร์ทเี ซยี น (Cartesian Product)

ผลคูณคารท์ ีเซียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่อันดับที่สมาชกิ ตวั หนา้ มาจากเซต A และสมาชกิ ตัว
หลงั มาจากเซต B

Ex 1. กาหนด A=4, a,b และ B=−2, c ให้หา
1) A B= (4, −2),(4, c),(a, −2),(a, c),(b, −2),(b, c)

2) B A= (−2, 4),(c, 4),(−2, a),(c, a),(−2,b),(c,b)

3) A A = (4, 4),(4, a),(4,b),(a, 4),(a, a),(a,b),(b, 4), (b, a), (b,b)

4) B B= (−2, −2),(−2, c),(c, −2),(c, c)

Ex 2. ถา้ A =  0,1 , B =  และ C =  ให้หา

1) A × B = ( 0,  ) , (1,  )

2) A × C = 
3) C×B = 

3 ความสมั พันธ์ (Relation)

 กาหนด A และ B คอื เป็นเซตใดๆ แลว้ r เปน็ ความสัมพนั ธ์จากเซต A ไปเซต B ก็
ต่อเม่ือ r เป็นสับเซตของ A × B

 ถา้ r เป็นเซตของ A × A แลว้ r เปน็ ความสมั พันธ์ในเซต A

(x, y)r เขียนแทนด้วย x r y อ่านว่า x มคี วามสมั พันธ์ r กบั y
(x, y)r เขยี นแทนด้วย x r y อา่ นวา่ x ไม่มีความสัมพันธ์ r กบั y

เอกสารประกอบการเรยี น option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 3 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

Ex 1. กาหนด A=5, 6 และ B=4,6,7 ให้หา
1. r1 เป็นความสัมพนั ธแ์ บบ “มากกว่า” จาก A ไป B

r1 = {(5, 4), (6, 4)}

2. r2 เปน็ ความสัมพนั ธแ์ บบ “มากกวา่ ” จาก B ไป A

r2 = {(6, 5) , (7, 5) , (7, 6)}

Ex 2. กาหนด A=2, 4, 6,8 และ B=4,8,12 ให้หา
1. r1 เป็นความสมั พันธแ์ บบ “ต่างกนั อยู่ 4” จาก B ไป A

r1 = (4, 6) , (8, 4) , (12,8)

2. r2 เป็นความสมั พนั ธแ์ บบ “ผลบวกไม่เกนิ 7” จาก A ไป B
r2 = (2, 4)

Ex 3. กาหนด A=1, 2,3, 4 และ B=2, 4, 6,9 ให้หา
1. r1 เป็นความสมั พันธแ์ บบ “คร่ึงหน่งึ ” B ไป A

r1 = (2, 4)

2. r2 เป็นความสัมพนั ธ์แบบ “หารลงตัว” จาก B ไป A
r2 = (2, 2) , (2, 4) , (4, 4)

Ex 4. จงเขียนความสัมพนั ธท์ ี่กาหนดให้ในรปู แจกแจงสมาชิก

1. กาหนด A=x  I −2  x  2 และ B= x  I + ( x + 3)( x − 2)( x − 4)( x −1) = 0 ให้หา
 1.1 r1 = (x, y)  A B x + y = 3 A = −1, 0,1, 2, B = 2, 4,1

r1 = (−1, 2), (1, 2), (2,1)

1.2 r2 = (x, y)  B  A x +1  y
r2 = (2, −1) , (2, 0), (2,1), (4, −1), (4, 0), (4,1), (4, 2), (1, −1), (1, 0), (1,1)

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 4 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

ควรรู้

 r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B ก็ต่อเม่ือ r  A × B
 r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A หรอื เรยี กว่า ความสมั พันธ์ใน A ก็ตอ่ เม่ือ r  A × A

กาหนด A =1, 2,3, 4 และ B=a,b, c
1. r1 = (2, a),(1,b),(3, a) เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B หรอื ไม่
r1 เปน็ ความสัมพันธ์จาก A ไป B

2. r2 = (3,3),(2,3),(4,3) เปน็ ความสัมพนั ธ์จาก A ไป B หรอื ไม่
r2 เปน็ ความสัมพันธ์จาก A ไป B

3. r3 = (3,b),(2, a),(1, 2) เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B หรอื ไม่
r3 ไมเ่ ปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B

4. r4 = (1,c),(2,b),(3, a) เป็นความสัมพนั ธจ์ าก B ไป A หรือไม่
r4 ไมเ่ ป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

5. r5 = (a, 4),(b,3),(c, 4) เป็นความสัมพนั ธจ์ าก B ไป A หรือไม่
r5 เป็นความสมั พนั ธ์จาก B ไป A

3. กราฟของความสมั พนั ธ์ (Graph of Relation)

ให้ r เปน็ สบั เซตของ R R กราฟของความสมั พันธ์ r เซตของจดุ ในระนาบทีแ่ สดงคู่อันดบั ที่เปน็
สมาชกิ ของความสัมพันธ์ r

ให้เขียนกราฟของความสัมพนั ธต์ ่อไปนี้  2) r = ( x, y)  R  R y = x2 +1

1) r = (−4,1),(2,3),(5, 2),(6, −3),(4,7)

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา 5 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

3) r = ( x, y)  R  R x + y = 5 4) r = ( x, y) I  I x + y = 5

5) r = ( x, y)  R  R x + y  0 6) r = ( x, y)  R  R x + y  0

5. โดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ (Domain and Range of Relation)

 โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หน้าของคอู่ นั ดับใน r เขยี นแทนด้วยวย Dr

Dr = {x ( x, y) r }

เรนจข์ อง r คือ เซตของสมาชกิ ตัวหลังของคู่อันดบั ใน r เขยี นแทนดว้ ย Rr

Rr = {y ( x, y) r }

1. ให้หาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ r = (2, 4),(6, 7),(9,10),(7,5)

Dr = 2, 6, 9, 7
Rr = 4, 7,10, 5

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 6 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4

2. ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์ r = (8,5),(−2, 4),(−6, −7),(6, −9), (2,3)

Dr = 8, −2, −6, 6, 2
Rr = 5, 4, −7, −9, 3

 พจิ ารณา Dr และ Rr ของความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข
➢ Dr : จดั ตัวแปร y ในรปู ของ x แล้วพจิ ารณาค่า x ท่ีทําให้ได้ค่า y ท่สี อดคล้องกบั เงื่อนไข
➢ Rr : จัดตัวแปร x ในรปู ของ y แล้วพิจารณาค่า y ทท่ี ําให้ได้ค่า x ทส่ี อดคล้องกบั เงื่อนไข

1. กำหนด r = ( x, y)  R  R 2x + 3y = 6 ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r

หาโดเมน จดั y ในเทอม x หาเรนจ์ จดั x ในเทอม y

จาก 2x + 3y = 6 จาก 2x + 3y = 6

3y = 6 − 2x 2x = 6 −3y
y = 6 − 2x x = 6−3y

3 2
Dr = R Rr = R

2. กำหนด r = ( x, y)  R  R 7x − 8y = 9 ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r

หาโดเมน จัด y ในเทอม x หาเรนจ์ จัด x ในเทอม y

จาก 7x −8y = 9 จาก 7x −8y = 9

8y = 7x −9 7x = 9+8y
y = 7x −9 x = 9+8y

8 7
Dr = R Rr = R

เอกสารประกอบการเรยี น option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 7 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

3. กำหนด r = ( x, y) R R y = 2x  ให้หาโดเมนและเรนจข์ อง r
x + 3


หาโดเมน จัด y ในเทอม x หาเรนจ์ จดั x ในเทอม y

จาก y = 2x จาก y = 2x

x+3 x+3

x+3 0 xy + 3y = 2x

x  −3 xy − 2x = −3y

Dr = R − −3 x ( y − 2) = −3y

x = −3y y −2  0
y−2
Rr = R −2
y2

4. กำหนด r = ( x, y)  R  R y = 5x  ให้หาโดเมนและเรนจข์ อง r

 x − 7 

หาโดเมน จดั y ในเทอม x หาเรนจ์ จดั x ในเทอม y

จาก y = 5x จาก y = 5x

x−7 x−7

x−7  0 xy − 7 y = 5x

x7 xy − 5x = 7 y

Dr = R − 7 x( y − 5) = 7y

x = 7y y−5 0
y−5
Rr = R − 5
y5

5. กำหนด r = ( x, y)  R  R y = x + 9 ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r

หาโดเมน จัด y ในเทอม x หาเรนจ์ จัด x ในเทอม y

จาก y = x + 9 จาก y = x + 9

Dr = R x+9 = y

เนอื่ งจาก x + 9  0 จะได้วา่ y  0
Rr = 0, )

เอกสารประกอบการเรยี น option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 8 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4

6. กำหนด r = ( x, y)  R  R y = x − 5 ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r

หาโดเมน จัด y ในเทอม x หาเรนจ์ จดั x ในเทอม y
จาก y = x − 5 จาก y = x − 5

Dr = R x−5 = y

เน่ืองจาก x − 5  0 จะได้ว่า y  0

Rr = 0, )

7. กาหนด r =  ( x, y) x2 + y2 − 6x −10y +18 = 0ให้หาโดเมนและเรนจข์ อง r

หาโดเมน จัด x ในเทอมของ y หาเรนจ์ จดั y ในเทอมของ x

( x − 3)2 + ( y − 5)2 = 16 ( x − 3)2  0

16 − ( x − 3)2  0 16 − ( y − 5)2  0

( x − 3)2 −16  0 ( y − 2)2 −16  0

( x − 7)( x +1)  0 ( y −6)( y + 2)  0

 Dr = −1, 7  Rr = −2, 6

8. กาหนด r =  ( x, y) x2 + y2 + 2x − 4y +1 = 0ใหห้ าโดเมนและเรนจ์ของ r

หาโดเมน จดั x ในเทอมของ y หาเรนจ์ จดั y ในเทอมของ x

( x +1)2 + ( y − 2)2 = 4 ( x +1)2  0

4 − ( x +1)2  0 4 − ( y − 2)2  0

( x +1)2 − 4  0 ( y − 2)2 − 4  0

( x + 3)( x −1)  0 y( y − 4)  0

 Dr = −3,1  Rr = −3,1

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 9 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

6. ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation)

ตัวผกผนั ของความสัมพันธ์ r คอื ความสมั พนั ธ์ท่ีเกิดจากการสลับทข่ี องสมาชิกตวั หน้าและสมาชกิ

ตัวหลงั ในแตล่ ะคู่อันดับท่ีเป็นสมาชกิ ของ r ซึ่งเขยี นแทนด้วย r−1

r−1 = {( y, x) ( x, y)  r}

ดงั น้นั Dr = Rr−1 และ Rr = Rr−1
การเขยี นตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ทาได้ ดังนี้

1. การเขยี นตัวผกผันของความสมั พนั ธ์แบบแจกแจงสมาชกิ r−1หาไดโ้ ดยการสลับท่ีสมาชกิ ตวั หนา้
และสมาชิกตวั หลงั ในแต่ละคู่อนั ดบั ที่เปน็ สมาชิกของ r

2. การเขยี นตวั ผกผันของความสัมพนั ธ์แบบบอกเงื่อนไขมี 2 แบบ คือ
1) ใช้คอู่ นั ดับ (x, y)แตต่ ้องเปลีย่ นเงอื่ นไขโดยสลบั ทร่ี ะหว่าง x กบั y คอื ทม่ี ี x เขยี น y
แทน และท่ีมี y เขยี น x แทน และจัดรูปของเง่ือนไขโดยให้ y อยู่ในรปู ของ x
2) ใชค้ อู่ นั ดับ (x, y) และไมต่ ้องสลบั ทตี่ ัวแปร x และ y ในเง่ือนไข

จงหาความสมั พันธ์ผกผัน พร้อมทัง้ หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธผ์ กผัน

1) r = (2,3),(5,1), (7,8), (3, 4)

r−1 = (3, 2),(1,5),(8, 7), (4,3)

Dr−1 = 3,1,8, 4
Rr−1 = 2,5, 7,3

2) r = (8,3),(5, 4), (1, 2), (7, 4), (6,3)

r−1 = (3,8),(4,5),(2,1), (4, 7), (3, 6)

Dr−1 = 3, 4, 2
Rr−1 = 8,5,1, 7, 6

3) r = (a,3),(5, e),(k,9), (w,5)

r−1 = (3, a),(e,5),(9, k ),(5, w)

Dr−1 = 3, e, 9, 5
Rr−1 = a,5, k, w

4) r = (2, 2),(3,3), (h, h), (d, d )

r−1 = (2, 2) ,(3,3), (h, h), (d, d )

Dr−1 = 2, 3, h, d
Rr−1 = 2, 3, h, d

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 10 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 4

การหาโดเมนและเรนจข์ องตัวผกผันของความสมั พนั ธ์ (แบบบอกเงอื่ นไข)

เปล่ยี น x เป็น y และ เปลี่ยน y เป็น x
❑ การหาโดเมน
1. จัด y ในรปู ของ x
2. หาค่า x ท่ที ําให้ y เปน็ จรงิ ได้ตามเงอื่ นไข (สามารถหาค่า y ได)้

❑ การหาเรนจ์
1. จดั x ในรูปของ y
2. หาค่า y ทท่ี าํ ให้ x เป็นจรงิ ได้ตามเงื่อนไข (สามารถหาค่า x ได)้

Ex 1. จงหาตัวผกผนั ของความสมั พนั ธ์ทก่ี าหนดให้ พร้อมทงั้ หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์

1. r = ( x, y) 3x + 2y = 7

หา r−1 โดยการสลบั ที่ x และ y

3y + 2x = 7

❑ การหาโดเมน จัด y ในรปู ของ x

y = 7 − 2x
3

Dr−1 = R

❑ การหาเรนจ์ จดั x ในรปู ของ y

x = 7−3y
2

Rr−1 = R

2. r = ( x, y) x − 3y = 8

หา r−1 โดยการสลับท่ี x และ y

y − 3x = 8

❑ การหาโดเมน จัด y ในรูปของ x

y = 8 + 3x

Dr−1 = R

❑ การหาเรนจ์ จดั x ในรปู ของ y

x = 8+3y
3

Rr−1 = R

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 11 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

7. ค่าของฟงั ก์ชัน

การหาค่าของฟงั กช์ ัน หมายถึง การหาค่าผลลัพธ์ที่ถกู กำหนดดว้ ยฟงั ก์ชนั โดยขนึ้ กับค่าที่นำมาจาก
โดเมนและเรนจ์

1. กำหนด f = (3,8),(4,9),(5,10) ให้หา f (3), f (4) และ f (5)

วธิ ที ำ เนื่องจาก (3,8) f ดังนัน้ f (3) = 8
(4,9) f ดงั นัน้ f (4) = 9
(5,10) f ดงั น้นั f (5) = 10

2. กำหนด f = (1,1),(2,8),(3, 27) ใหห้ า f (1), f (2) และ f (3)

วิธที ำ เนือ่ งจาก (1,1) f ดงั นัน้ f (1) = 1
(2,8) f ดงั นน้ั f (2) = 8
(3, 27) f ดังนนั้ f (3) = 27

3. กำหนด f = (1,5),(2,7),(3,8),(4,9) ใหห้ า f (1), f (2), f (3) และ f (4)

วิธีทำ เนื่องจาก (1,5) f ดังน้นั f (1) = 5
(2,7) f ดงั นนั้ f (2) = 7
(3,8) f ดังนนั้ f (3) = 8
(4,9) f ดงั นน้ั f (4) = 9

4. กำหนด f ( x) = 3x −1 ให้หา f (1), f (3), f (4)
วธิ ีทำ จาก f (1) = 3(1) −1 = 2

f (3) = 3(3) −1 = 8
f (4) = 3(4) −1 = 11

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 12 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

5. กำหนด f ( x) = 3x + 4 ให้หา f (0), f (1), f (5)
วิธที ำ จาก f (0) = 3(0) + 4 = 4

f (1) = 3(1) + 4 = 7
f (5) = 3(5) + 4 = 19

6. กำหนด f ( x) = x + 4 ให้หา f (3), f (a), f (b −1), f (t +1) และ f (2k + 3)
วิธีทำ จาก f (3) = 3 + 4 = 7

f (a) = a+4
f (b −1) = b −1+ 4 = b + 3
f (t +1) = t +1+ 4 = t + 5
f (2k + 3) = 2k + 3 + 4 = 2k + 7

7. กำหนด f ( x) = 2x −1 ให้หา f ( −2 ) , f ( −1) , f  3  และ f (3.5)
 2 

วธิ ที ำ จาก f (−2) = 2(−2) −1 = −5

f (−1) = 2(−1) −1 = −3

f  3 = 2  3  −1 = 2
 2   2 

f (3.5) = 2(3.5) −1 = 6

8. กำหนด f ( x) = 2x +1 ให้หา f (2), f ( −3) , f 3 และ f (u)
 2 

วธิ ที ำ จาก f (2) = 2(2) +1 = 5

f (−3) = 2(−3) +1 = −5

f  3  = 2  3  + 1 = 4
 2   2 

f (u) = 2u +1

เอกสารประกอบการเรยี น option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 13 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

8. ฟงั กช์ ันจากเซตหนง่ึ ไปอีกเซตหนึง่

1) ฟังกช์ ันจาก A ไป B
• f เปน็ ฟงั กช์ ันจาก A ไป B ก็ตอเมอื่ f เปน็ ฟังกช์ ันทีม่ เี ซต A เป็นโดเมนและมีเรนจเ์ ป็นสับเซต

ของเซต B ซ่งึ เขียนแทนดว้ ย f : A → B

1. กำหนด A=1, 2,3, 4 ,B=−1, −2, −3 และ f1, f2 และ f3 ดงั แผนภาพ ให้พจิ ารณาว่าแผนภาพ
ใดเป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B

AB AB A B

1- 1- 1 -
21 21 2 1
3- 3- 3 -
4 f1 2 4 f2 4 f3 2
ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชันจาก- A ไป B เปน็ ฟงั กช์ นั จาก 2 ไป B เป็นฟังก์ชันจาก A- ไป B
A-
3
3 3

2. กำหนด A=4,5,6,7 ,B=0,1, 2 และ f1, f2 ดงั แผนภาพ ให้พิจารณาว่าแผนภาพใดเป็นฟงั กช์ ัน
จาก A ไป B

AB AB A B
4 4
5 0 5 0 4
6 1 6 1 50
7 2 61
72 7 f3 2
f1 f2

เป็นฟังกช์ ันจาก A ไป B ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป B

3. กำหนด A=1, 2,3, 4 ,B=−1, −2, −3, −4 และ f1, f2 และ f3 ดงั แผนภาพ ให้พิจารณาว่า
แผนภาพใดเป็นฟงั กช์ ันจาก A ไป B

AB AB A B

1- 1- 1 -
21 21
3- 3- 21
4 f1 2 4 f2 2 3-
ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั จ-าก A ไป B 4 f3 2
ไมเ่ ป็นฟังก์ชันจา-3ก A ไป B
3 เปน็ ฟงั กช์ นั จาก- A ไป B
- -
4 3
4
-

4

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 14 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

2. กำหนด A=a,b,c และ B=x จงเขยี นฟงั ก์ชัน สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

1) ฟังก์ชันจาก A ไป B

(a, x),(b, x),(c, x)

2) ฟงั กช์ นั จาก B ไป A

( x, a)

3) ฟงั ก์ชนั จาก B ไป B

( x, x)

4) ฟงั กช์ ันจาก A ไป A

(a, a),(b,b),(c,c)

4. กำหนด A=1, 2และ B=3, 4จงเขียนฟงั ก์ชันฟังกช์ ันจาก A ไป B

(1, 3) , ( 2, 3)

5. กำหนด A=1, 2และ B=3 จงเขียนฟงั ก์ชันฟังก์ชันจาก A ไป B

(1, 3) , ( 2, 3)

6. กำหนด A=1,2,3 และ B=a,bจงเขยี นฟังก์ชนั ฟังกช์ นั จาก A ไป B

(1, a),(2, a),(3, a)

7. กำหนด A=1,2,3 และ B=a,bจงเขียนฟงั ก์ชนั ฟังกช์ ันจาก B ไป A

(a,1),(b, 2)

8. กำหนด A=1, 2และ B=a,b,c จงเขยี นฟังก์ชนั ฟังกช์ ันจาก B ไป A

(1, b ) , ( 2, b )

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 15 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

2) ฟังกช์ นั จาก A ไปท่ัวถึง B

• f เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไปท่วั ถึง B กต็ อเม่ือ f เป็นฟังกช์ ันที่มเี ซต A เปนโดเมนและมีเรนจเ์ ป็นสับ

เซตของเซต B ซึ่งเขยี นแทนดว้ ย f : A → B

ทัว่ ถงึ

1. กำหนด A=1, 2,3, 4 ,B=−1, −2, −3, −4 และ f1, f2 และ f3 ดงั แผนภาพ ใหพ้ จิ ารณาว่า

แผนภาพใดเปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป B

1) A B 2) B 3) B
1-
A - A -
21
1 1

3- 21 21
3-
4 f1 2 3- 4 f3 2

ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั จาก-3 A ไปทว่ั ถงึ B 4 f2 2

เป็นฟังกช์ ันจาก A- ไปทัว่ ถึง B เปน็ ฟังก์ชัน-จาก A ไปทวั่ ถงึ B
33
2.(กaำ, หxน) ,ด( bA,=-4x) a, (,cb,, x, y จงเขยี นฟงั ก์ช-ันฟังกช์ ันจาก A ไปทั่วถงึ B -
c และ B= 44

y )

3. กำหนด A=1,2,3 และ B=x, y, zจงเขยี นฟงั ก์ชันฟังกช์ นั จาก A ไปทั่วถงึ B

(1, x),(2, y),(2, z)

4. กำหนด A=1,2,3 และ B=x, y, zจงเขียนฟังก์ชันฟังก์ชันจาก B ไปท่วั ถงึ A

( x,1),( y, 2),( z,3)

5. กำหนด A=1,2,3 และ B=x, y, zจงเขยี นฟงั ก์ชนั ฟงั ก์ชันจาก A ไปทวั่ ถึง A

(1,1),(2, 2),(3,3)

6. กำหนด A=1,2,3 และ B=x, y, zจงเขียนฟงั ก์ชนั ฟงั กช์ ันจาก B ไปทว่ั ถงึ B

( x, x),( y, y),( z, z)

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 16 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

3) ฟังกช์ นั หนง่ึ ตอ่ หน่ึงจาก A ไป B
• f เป็นฟงั กช์ ันหนึง่ ต่อหนึ่งจาก A ไป B กต็ อเมอ่ื f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B สำหรับ x1, x2

ใดๆในเซต A ถ้า f ( x1 ) = f ( x2 ) แล้ว x1 = x2 ซ่ึงเขยี นแทนด้วย f : A →1-1 B

1. ใหพ้ ิจารณาว่าแผนภาพใดเป็นฟังก์ชนั หน่ึงตอ่ หนึง่

1) A B 2) A B
1 1
2 - 2 -
3 1 3 1
- 4 -
2
f1 2
เป็นฟังกช์ ันจาก A ไปท-3วั่ ถงึ B
ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั จ3- าก A ไปท่ัวถึง B
2. ใฟหังต้ กร์ชวนัจสแอลบะวถ่าา้ คเ-4ปวา็นมฟสังัมกพ์ชนันั ธเปท์ ็น่ีกฟำหังกนช์ดนัดหว้ ยนแ่งึ ผตน่อหภนาพง่ึ หหรรือือไกมร่ าฟในแต่ละข้อต่อไปนี้ เปน็ 4-ฟงั ก์ชนั หรอื ไมเ่ ปน็

1) A B 2) A B
14
- 0 25
1 1 36
0 7

1 ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน
เป็นฟังกช์ ัน

แต่ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ันหนึ่งตอ่ หน่งึ

3) 4)

เป็นฟังกช์ ัน ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั
แต่ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั หนง่ึ ตอ่ หน่งึ 6)

5)

เป็นฟงั กช์ นั เปน็ ฟังกช์ นั
และเปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหน่งึ แตไ่ มเ่ ป็นฟังกช์ ันหน่งึ ตอ่ หน่งึ

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ 17 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

3. กำหนดให้ A = a,b,c ,B = x, y, z จงเขยี นฟงั ก์ชันตามเง่ือไขแต่ละข้อต่อไปน้ี
1) ฟังกช์ ัน 1−1 จาก A ไป B

(a, x),(b, y),(c, z)
(a, x),(b, z),(c, y)
(a, z),(b, x),(c, y)

2) ฟังก์ชนั 1−1 จาก B ไป A

( x, a),( y,b),( z,c)
( x,b),( y, a),( z,c)
( x,c),( y,b),( z, a)

3) ฟังกช์ นั 1−1 จาก A ไป A

(a, a),(b,b),(c,c)

(a,b),(b,c),(c, a)

4) ฟงั ก์ชัน 1−1 จาก B ไป B

( x, x),( y, y),( z, z)

( x, y),( y, z),( z,)

4. ใหต้ รวจสอบว่าความสัมพันธ์ทกี่ ำหนดในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี เปน็ ฟังกช์ ันหรอื ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั และถา้ เปน็

ฟังกช์ ันเปน็ ฟงั กช์ นั หนงึ่ ต่อหนึ่งหรือไม่ เพราะเหตใุ ด

1) (a,1),(b, 2),(c, 2),(d,3) 3) (m, −1),(n, −2),(r, −3),(s, −2)

เปน็ ฟงั กช์ ัน เป็นฟังกช์ ัน

แตไ่ มเ่ ปน็ ฟังกช์ ันหน่งึ ตอ่ หนง่ึ และเป็นฟังก์ชันหนง่ึ ต่อหนง่ึ

4. ให้พจิ ารณาว่าฟังกช์ นั ท่ีกำหนดต่อไปนี้ ฟังก์ชันใดเป็นฟังกช์ ันหนึง่ ต่อหนงึ่

1) f = ( x, y) y = x + 2

วธิ ที ำ พิจารณา y = x + 2 หรอื f ( x) = x + 2

ถา้ f ( x1 ) = f ( x2 ) จะได้ x1 + 2 = x2 + 2
ดงั นนั้ x1 = x2

นนั่ คือ f = ( x, y) y = x + 2 เป็นฟังกช์ ันหนงึ่ ต่อหนง่ึ

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 18 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

**การพิจารณากราฟฟงั ก์ชันหน่ึงตอ่ หนง่ึ จาก A ไป B

ลากเสน้ ตรงขนานแกน X แลว้ พจิ ารณาจำนวนจุดตดั ทเ่ี สน้ ตรงนี้ตัดกบั เสน้ กราฟ
 ถา้ มจี ุดตดั เพยี ง 1 จดุ ฟังก์ชั้นนน้ั เป็นฟงั ก์ชันหน่ึงต่อหนง่ึ
 ถ้ามีจำนวนจุดตดั มากกว่า 1 จุด ฟังก์ช่ันน้ันไม่เป็นฟังก์ชนั หนึ่งต่อหน่งึ

1. ให้พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั ในแต่ละข้อต่อไปนวี้ ่า ฟังก์ชนั ขอ้ ใดเป็นฟงั กช์ นั หน่งึ ต่อหนึ่งและฟังกช์ ันข้อใด
ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ันหนง่ึ ต่อหนึ่ง
1) 2)

เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่งึ ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหนง่ึ
3) 4)

เป็นฟงั กช์ นั หนงึ่ ต่อหนงึ่ ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ันหน่งึ ต่อหน่ึง

แบบฝึกหดั รวม

1. พิจารณาฟังกช์ ันทกี่ าํ หนดให้ ขอใดมลี ักษณะเปน็ ฟังก์ชนั ตามท่ีกาํ หนด

ก) 1 a ข) 1 a
2 b2 b
3 c3 c
4 d4 d

ค) ง) 5

1a 1a
2b 2b
3c 3c
4d 4d

e

1) ฟงั กช์ ันจาก A ไป B ก,ข,ค

2) ฟังกช์ นั จาก B ไป A ง

3) ฟังกช์ ันจาก A ไปท่วั ถึง B ข

4) ฟงั กช์ ันหนงึ่ ตอหนงึ่ จาก A ไป B ค

5) ฟงั กช์ นั หนง่ึ ตอหนง่ึ จาก B ไป A ง

2. พจิ ารณาฟงั กช์ นั ทกี่ าํ หนดให้ ข้อใดมลี กั ษณะเป็นฟังก์ชันตามทก่ี าํ หนด

1

เอกสารประ2กอบการเรยี น option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพัฒน์

3

4

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 19 1 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา 2) 2 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4
3
1) 0 4 0
2 5 2
4 4
6 1 6
2
3) 1 0 4) 3 0
2 2 4 2
3 4 5 4
4 6 6
8 8

1) ฟังกช์ ันจาก A ไป B 1), 2), 3)
2) ฟังกช์ นั จาก B ไป A 4)
3) ฟังกช์ ันจาก A ไปท่ัวถงึ B 2)
4) ฟงั กช์ ันหนึ่งต่อหน่ึงจาก A ไป B 3)
5) ฟังกช์ นั หนึง่ ต่อหน่งึ จาก B ไปทัว่ ถงึ A 4)

3. กำหนด A = 1, 2,3,B = a,b, c

f1 = (1,1),(2, 2),(3,3) f4 = (a,3),(b, 2),(c, 2)
f2 = (1, a),(2,c),(3,b) f5 = (a,1),(b,3),(c, 2)
f3 = (1, a),(2, a),(3, a) f6 = (a, a),(b,b),(c, a)

ให้พิจารณาว่าฟงั กช์ นั ท่ีกำหนดฟงั กช์ นั ใดเป็น

1) ฟังกช์ นั จาก A ไป B f2 และ f3
f4 และ f5
2) ฟังกช์ นั จาก B ไป A
f2
3) ฟงั กช์ นั จาก A ไปท่วั ถงึ B f5
4) ฟงั กช์ นั จาก B ไปทัว่ ถึง A f6
5) ฟังกช์ นั จาก B ไป B f1
6) ฟงั ก์ชันจาก A ไปทว่ั ถงึ A
7) ฟงั กช์ ันหน่ึงต่อหนง่ึ f1, f2 และ f5

8) ฟังก์ชันหนึ่งต่อหน่งึ จาก A ไป B f2

เอกสารประกอบการเรียน option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ 20 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสนเ์ อกตรา ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

11. การดำเนินการของฟังก์ชนั (Function Operation)

บทนิยาม กำหนด f และ g เปน็ ฟังก์ชนั ที่มโี ดเมนและเรนจท์ ี่เป็นสบั เซตของจำนวนจริง ผลบวก (Sum)

ผลต่าง (Difference) ผลคูณ (Product) และผลหาร (Quotient) ของฟงั ก์ชนั กำหนดโดย

( f + g)(x) = ( f )(x)+(g)(x) เมือ่ Df  Dg

( f − g)(x) = ( f )(x)−(g)(x) เมอื่ Df  Dg

( f •g)(x) = ( f )(x)•(g)(x) เมอ่ื Df  Dg

 f  ( x ) = ( f ) ( x) เม่อื Df  Dg และ ( g )( x)  0
 g  ( g ) ( x)
 

1. กำหนด f = (1,6),(2,9),(3,8),(4,7),(5,3)

และ g = (1, 2),(2,3),(3,5),(4,0),(8, 2),(6, 4) ให้หา

1) f + g = (1, 8) , ( 2,12 ) , (3,13) , ( 4, 7 )

2) ( f + g )(1) = ( f )(1) + ( g )(1) = 6 + 2 = 8

3) f − g = (1, 4),(2,6),(3,3),(4,7)
4) ( f − g )(2) =
5) f • g = ( f )(2)−(g)(2) = 9−3 = 6
6) ( f • g )(3) =
(1,12),(2, 27),(3, 40),(4,0)

( f )(3) ( g )(3) = 8 5 = 40

7) f = (1, 3) , ( 2, 3) ,  3, 8 
5 
g 

8)  f  (1) = f (1) = 6 = 3
 g  g (1) 2
 

2. กำหนด f = (0,1),(1, −1),(2,0),(3, 2),(4, −2),(5,1),(6, −4)

และ g = (0,3),(2,1),(4,5),(6,8),(7, −3),(8, 2) ให้หา

1) f + g = (0, 4),(2,1),(4,3),(6, 4)

2) ( f + g )(1) = 

3) f − g = (0, −2),(2, −1),(4, −7),(6, −12)

4) ( f − g )(2) = ( f )(2) − ( g )(2) = 0 −1 = −1

5) f • g = (0,3),(2,0),(4, −10),(6, −32)

6) ( f • g )(3) = ( f )(3) ( g )(3) = 

7) f =  0, 1  ,  2, 0  ,  4, − 2  ,  6, − 1 
 3   1  5   2 
g

8)  f  (1) = 
 g 
 

เอกสารประกอบการเรยี น option คณิตศาสตร์ สอนโดยม.จตุรพฒั น์

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 21 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรยี นสารสาสน์เอกตรา ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

3. กำหนด f = (1, 2),(2,3),(3, 4),(4,5) สอนโดยม.จตรุ พฒั น์

และ g = (1,3),(2,5),(3,7) ให้หา

1) f + g = (1, 5) , ( 2, 8) , ( 3,11)

2) f − g = (1, −1),(2, −2),(3, −3)

3) f g = (1,6),(2,15),(3, 28)

4) f = 1, 2  ,  2, 3  ,  3, 4 
3  5  7
g

4. กำหนด f = (2, −1),(4, −2),(6, −3),(8, −4),(10, −5)
และ g = (4,7),(2,6),(10,10) ใหห้ า

1) f + g = ( 2, 5) , ( 4, 6 ) , (10, 5)
2) f − g = (2, −7),(4, −10),(10, −15)
3) f g = (2, −6),(4, −16),(10, −50)

4) f =  2, − 1  ,  4, − 1  , 10, − 1 
 6  4  2 
g

5. กำหนด f = (1,3),(2,5),(3,7),(4,9)

และ g = (1, 4),(2,0),(4,1) ให้หา

1) f + g = (1, 7 ) , ( 2, 5) , ( 4,10 )

2) f − g = (1, −1),(2,5),(4,10)

3) f g = (1,12 ) , ( 2, 0 ) , ( 4, 9 )

4) f = 1, 3  , ( 4, 9 )
4 
g 

6. กำหนด f = (1, 2),(2, 4),(3, −2),(4,0)

และ g = (1,3),(2,0),(3,5),(4, 2) ใหห้ า

1) f + g = (1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2)
2) f − g = (1, −1),(2, 4),(3, −7)(4, −2)
3) f g = (1,6),(2,0),(3, −10),(4,0)

4) f = 1, 2  ,  3, − 2  , ( 4, 0)
3  5 
g 

5) g = 1, 3  , ( 2, 0) ,  3, − 5 
2  2 
f
(1,17),(2, 4),(3, 23),(4,10)
6) f + 5g =
7) 2 f −3g = (1, −5),(2,8),(3, −19),(4, −6)

เอกสารประกอบการเรยี น option คณติ ศาสตร์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 22 คณติ ศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสน์เอกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

12. ฟงั ก์ชนั ประกอบ (Composite Function)

บทนิยาม กำหนด f และ g เปน็ ฟังกช์ ันท่ีและ Rf  Dg   ฟังก์ชันคอมโพสทิ ของ f และ g เขยี น

แทนดว้ ย g f กำหนดโดย ( g f )( x) = g ( f ( x)) สำหรับทกุ x ซง่ึ f ( x) Dg

1. กำหนด f = (4,1),(5,3),(6,3)

และ g = (1, 4),(2, 4),(3,6) ใหห้ า

1) g f = (4, 4),(5,6),(6,6)

2) Dg f = 4,5, 6
3) Rg f = 4, 6
4) f g =
(1,1) , ( 2,1) , (3, 3)

5) Df g = 1, 2,3
6) Rf g = 1, 3

2. กำหนด f = (1,5),(2, 4),(3,6)

และ g = (4,7),(5,7),(6,8) ให้หา

1) g f = (1, 7 ) , ( 2, 7 ) , (3, 8)

2) Dg f = 1, 2,3
3) Rg f = 7,8
4) f g = -

5) Df g = -
6) Rf g = -

3. กำหนด f = (1, 2),(3, 4),(5,6),(7,8)

และ g = (2,5),(4,7),(6,9),(8,11) ให้หา

1) g f = (1, 5) , (3, 7 ) , (5, 9 ) , ( 7,11)

2) Dg f = 1, 3, 5, 7
3) Rg f = 5, 7, 9,11
4) f g =
( 2, 6 ) , ( 4, 8)

5) Df g = 2, 4
6) Rf g = 6,8

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์ สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ 23 คณิตศาสตร์ 1
โรงเรียนสารสาสนเ์ อกตรา ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

4. กำหนด f = (a,1),(b, 2),(c,3),(d, 4) สอนโดยม.จตรุ พัฒน์

และ g = (4, a),(3,b),(2,c),(1, d ) ให้หา

1) g f = (a, d ),(b,c),(c,b),(d, a)

2) Dg f = a,b,c, d
3) Rg f = d,c,b, a
4) f g =
(4,1),(3, 2),(2,3),(1, 4)

5) Df g = 4,3, 2,1
6) Rf g = 1, 2,3, 4

5. กำหนด f = (5, −1),(4, −2),(3, −3),(2, −4)

และ g = (−1,3),(−2,5),(−3,7),(−4,9) ใหห้ า

1) g f = ( 5, 3) , ( 4, 5) , (3, 7 ) , ( 2, 9 )

2) Dg f = 5, 4,3, 2
3) Rg f = 3, 5, 7, 9
4) f g =
(−1, −3),(−2, −1)

5) Df g = A −1, −2 B g C
6) Rf g = −3, −1
6. กำหนด
f

1 4 7
2 5 8
3 6 9

ให้หา (1, 4),(2,6),(3,5)
1) f = ( 4, 8) , (5, 7 ) , ( 6, 9 )
2) g = (1, 8) , ( 2, 9 ) , (3, 7 )
3) g f =
4) Dg f = 1, 2,3
5) Rg f = 8,9, 7
6) f g = -
7) Df g = -
8) Rf g = -

เอกสารประกอบการเรียน option คณติ ศาสตร์