ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

นางสาวประภาพร วินเหมือน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่406 เลขที่26

โรงเรียนโพธาวัฒนาเสนี

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดง
ให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาส

เกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด

กฎของความน่าจะเป็น

หลักการบวก
กรณีที่ 1 สามารถทำได้ n1วิธี ซึ่งวิธีการทำงานในทั้งสองกรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน

และการทำงานในแต่ละกรณีทำให้
กรณีที่ 2 สามารถทำได้ n2วิธี งานเสร็จสมบรูณ์ แล้วจะสามารถทำงานได้
ทั้งหมด n 1+ n2 วิธี

เช่น

ร้ายอาหารแห่งหนึ่งมีอาหารจีน 5 อย่าง อาหารเกาหลี 9 อย่าง

การบวก อาหารญี่ปุ่่ น 8 อย่าง ถ้าต้องการสั่งอาหารจะสั่งอาหาร
ได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ 5 + 9 + 8 จะเท่ากับ 22 วิธี

เจโฮปต้องการซื้อของแบรนด์เนมมีแบรนด์HERMRS

แบรนด์LOUIS และแบรนด์GUCCI เจโฮปจะมีวิธีการเลือก

การคูณ ซื้อของแบรนด์เนมได้กี่วิธี โดยที่วิธีห้ามซ้ำกัน

วิธีทำ H L G

JH L JH H JH L

G G H

H L G

JH G JH G JH H

L H L

แฟกทอเรียล !

แฟกทอเรียล ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือ
ผลคูณ ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่า

หรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n!

สูตร n! = n×(n-1)
n = n×(n-1)(n-2)(n-3)...
n = n×(n+3)(n+2)(n+1)...
เมื่อn=0! 0จะมีค่าเท่ากับ1!

เช่น n! = 720 n! = 30
(n+2)!
(n-3)!

=n×(n-1)(n-2)(n-3)! 720 =(n+2)(n+1)n! 30
(n-3)! n!

=n×(n-1)(n-2) 720 =(n+2)(n+1) 6×5

10×9×8 = 720# (n+2) =6
n = 4#

การหาผลคูณในรูปแบบของ !

7×6×5×4×3×2×1 = 7! 41×56×58×39×57×40
= 1196!!
19×18×17 =41×40×39 41! ในกรณีที่เจอตัวเลขที่ไม่เรียงกัน
38! ให้นำมาเรียงกันใหม่ โดยจะแบ่งได้ 2 แบบ
จะได้เป็น41×40×39 กับ 58×57×56 และ
77×76×75×74 = 77! =58×57×56 58! นำมาหาคำตอบ ก็จะได้คำตอบนั้นๆ
73! 55!

การเรียงสับเปลี่ยน

การสับเปลี่ยนเชิงเส้น จำนวนวิธีเรียงสับเลี่ยนเชิงเส้น
ของสิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่ง คราวละ r สิ่ง
โดยที่1 ≤ r ≤ n

สูตร
Pn,r = n!
(n-r)!

เช่น นำตัวอีกษรCLIPVIDVAมาจัดเรียงเป็นคำต่างๆโดยไม่สนใจ
ความหมายได้ทั้งหมดกี่วิธีในตัวอักษรทุกตัวในการเรียง

อันดับแรกให้นับตัวอักษรที่ซ้ำกันว่ามีกี่ตัว
จะได้C1 L1 I2 P1 V2 D1 A1

=9! 9×48×7×6×5×4×3
2
1! 1! 2! 1! 2! 1! 1!
= 90,720#

มีนักเรียน 8 คน จะมีวิธีจัดคนเข้าแถวกี่วิธี

1.นำคนมาจัดแถวเพียง 5 คน 2.ใช้คนทั้ง 8 คน ในการจัดแถว

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้สามารถตอบได้ทันที

8×7×6×5×4×3! 8! #
3!

6,720#

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม คือ จำนวนวิธีเรียง
สับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันในแนววงกลม

ได้แตกต่างกันทั้งหมด (n-1)! วิธี

เช่น มีคนอยู่7คน จะจดตนทั้ง 7 คนนี้ นั่งรอบโต๊ะกลม

เพื่อรับประทานอาหารได้กี่วิธี

สามารถจัดคน 7 คน นั่งรอบโต๊ะได้ = (7-1)!
= 6×5×4×3×2
= 720#

มีชาย 3 คน หญิง 3 คน ถ้าจัดให้คนทั้ง 6 คนนี้นั่งรอบโต๊ะกลม
จะทำได้กี่วิธีถ้าชายและหญิง ต้องนั้งสลับที่กันคนต่อคน

ชาย กำหนดให้ชายคนหนึ่ง เป็นที่นั่งคงที่ ส่วนที่เหลือนำมาคิด
หญิง หญิง เหมือนกับ การจัดเรียงแบบเส้นตรง จะได้ ญ ช ญ ช ญ

( เพราะชายหญิง จะต้องสลับกัน )
ชาย ชาย ขั้นตอนที่ 1 สลับ ที่ ชาย 2 คน ได้ 2! วิธี

ขั้นตอนที่ 2 สลับ ที่ หญิง 3 คน ได้3! วิธี
หญิง จำนวนวิธีที่จะจัดให้นั่งได้ทั้งหมดเท่ากับ 2! × 3! = 2 × 6 = 12#

การจัดหมู่

การจัดหมู่ เป็นวิธีการเลือกสิ่งของจำนวนหนึ่ง
มาจากสิ่งของที่มีอยู่ทั้งหมด โดยไม่คำนึงถึงลำดับ
การจัดหมู่สิ่งของ n สิ่ง จากสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง

มีวิธีการจัดทั้งหมด

สูตร Cn,r = n!
(n-r)! r!
วิธีการคิด 1.นำ5 มาลบกับ3 ก็จะได้คำตอบเป็น 2 n
2.ส่วน3!มาจากตัวหลัง ที่สามารถนำมาใส่ได้เลย
C5-,13 3.ที่ไม่ใส่ 3 เพราะ เราสามารถตัดออกไปได้เลยหรือ ( )หรือเขียนในรูปแบบนี้ก็ได้ r

จะใส่ก็ได้ แต่สุดท้ายก็ต้องตัดทิ้ง ทำให้ไม่เหลืออยู่ดี
4.นำมาคูณกัน ก็จะได้คำตอบที่สมบูรณ์

2 25! 3! !2 = 52×432×!33
= 10#

เช่น *ในกรณีที่เจอแบบนี้ให้สังเกตข้างหลัง และนำตัวเลข
มาบวกกันก็จะได้เท่ากับตัวข้างหน้าและคำตอบก็ยังเหมือนกัน
C6,3 C7,2 C7,5

36! !3! = 36×35×4 57! !2! = 72×36 27! !5! = 72×36
= 40# = 21 = 21

C8,4

48! !4! = 48×74×6×5
= 420#

แบบฝึกหัด

จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้

1. n! 2. (n-9)!
(n-2)! (n-11)!

3. n! 10! = n!
(n-10)! 8!(n-8)!

1. 3! 3. 5! 5. 23! 7. 2! 4!
3! 10! 10! 6!

2. 7! 4. 23! 6. 4! 8. 12!
18! 13! 6!+5! 4! 9!

จงเขียนผลคูณต่อไปนี้ในรูปแบบของแฟกทอเรียล !

1. 66×33×22×11
2. 181×179×177×175×174
3. 19×29×99×115×230×999
4. 127×13×27×55×79×123
5. 78×3×205×128×74×96×63×10

แบบฝึกหัด

จงแก้โจทย์ปัญหาต่อไปนี้

1. นำตัวอักษร MEARTROCKER มาสับเปลี่ยนใหม่ได้ทั้งหมดกี่วิธี
2. นำตัวอักษร BANGTAN มาจัดเรียงเป็นคำต่างๆโดย
ไม่สนใจความหมายได้ทั้งหมดกี่วิธี ใช้ตัวอักษรทุกตัวในการเรียง

3. ในกระเป๋ามีหนังสือจีนต่างกัน 2 เล่ม อังกฤษต่างกัน 3 เล่ม
ไทยต่างกัน 2 เล่ม นำออกมาเรียงกันจะได้ทั้งหมดกี่วิธี

4. ป้ายรถเมล์มีเก้าอี้ 13 ตัว ถ้าคน 23 คน มารอที่ป้ายรถเมล์
จำนวนการนั่งเก้าอี้โดยเก้าอี้แต่ละตัวจะมีคนนั่ง จะนั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

5. มีผู้สมันเป็นกรรมการ 9 คน จะมีวิธีเลือกประธาน รองประธาน
และเลขาได้ทั้งหมดกี่วิธี

6. ถ้าต้องเลือกตัวอักษรคำว่า HEART โดยขึ้นต้นด้วย H ลงท้ายด้วย T
จะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี

7. ลูกเต๋าแต่ละลูกประกอบด้วย 6 หน้า โดยมรแต้ม 12345 และ6
ปรากฏอยู่แต่ละหน้า ถ้าทอยลูกเต๋าลูงหนึ่ง 2 ครั้ง

7.1 จำนวนวิธีที่แต้มที่ได้จาการทอดลูกเต๋าทั้ง 2 ครั้งเท่ากับ
7.2 จำนวนวิธีที่แต้มที่ได้จาการทอดลูกเต๋าทั้ง 2 ครั้ง ต่างกัน
7.3 จำนวนวิธีของผลรวมแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋าทั้ง 2 น้อยกว่า 10

n! = n×(n-1) (P) Pn,r = n!
n = n×(n-1)(n-2)(n-3)... (n-r)!
n = n×(n+3)(n+2)(n+1)...
เมื่อn=0! 0จะมีค่าเท่ากับ1! n!
(n-r)! r!
( )Cn,r=

#ไฟท์ติ้งในการเรียนคณิตนะคะน้องๆ^^ n
หรือเขียนในรูปแบบนี้ก็ได้ r

Fight!!!!!!
<3