เวกเตอร์ คณิต มอปลายย

คณิตศาสตร์ เรื่เรื่รื่อ รื่ รื่ ง เวกเตอร์ร์ ร์ร์ รื่ อ รื่ ง เวกเตอร์ ม.ปลาย คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

คำ นำ โครงงาน เรื่อ รื่ ง เวกเตอร์ จัด จั ทำ ขึ้น ขึ้ ตามการเรีย รี นการ สอนในวิช วิ า การออกแบบโครงงาน กลุ่มสาระการ เรีย รี นรู้คอมพิวเตร์ โรงเรีย รี นวชิรปราการวิท วิ ยาคม โดยจุดประสงค์ 1.เพื่อ พื่ พัฒ พั นาสื่อ สื่ เพื่อ พื่ การศึกษาในรูปแบบหนัง นั สือ อิเ อิ ล็กทรอนิกส์ เรื่อ รื่ ง เวกเตอร์ 2. ผู้เรีย รี นสามารถทำ แบบทดสอบหลัง ลั เรีน รี นผ่าน เกณฑ์ที่กำ ที่ กำหนดไว้ได้

สารบัญบั หน้า12 3-6 4-6789 10-1112131415 16-21212223242525262728 เนื้อหาแบบทดสอบก่อนเรียรี น บทที่1ที่เนื้อหาตัวตัอย่างบทที่1ที่แบบฝึกหัดหับทที่1ที่เฉลยแบบฝึกหัดหับทที่1ที่บทที่2ที่เนื้อหาตัวตัอย่างบทที่2ที่แบบฝึกหัดหับทที่2ที่เฉลยแบบฝึกหัดหับทที่2ที่บทที่3ที่เนื้อหาตัวตัอย่างบทที่3ที่แบบฝึกหัดหับทที่3ที่เฉลยแบบฝึกหัดหับทที่3ที่บทที่4ที่เนื้อหาตัวตัอย่างบทที่4ที่แบบฝึกหัดหับทที่4ที่เฉลยแบบฝึกหัดหับทที่4ที่แบบทดสอบหลังลัเรียรีน

แบบทดสอบก่อนเรีย รี น 1

บทที่1 ที่ เรื่อ รื่ ง การบวกและการลบของเวกเตอร์ 2

ให้ และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ เวกเตอร์ + หาได้โดยการให้จุดเริ่มริ่ต้นของ อยู่ที่จุที่จุดสิ้นสิ้สุดของ แล้ว + จะเป็นเวก เตอร์ที่มีที่มีจุดเริ่มริ่ต้นอยู่ที่จุที่จุดเริ่มริ่ต้นของ และมีจุมีจุดสิ้นสิ้สุดอยู่ที่จุที่จุดสิ้นสิ้สุดของ ดังดัรูป การบวกเวกเตอร์ พบว่า AB + BC = AC แต่ AB = u และ BC = v ดังดันั้นนั้u + v = AC ดังดันั้นนั้ถ้า u และ v เป็น เวกเตอร์ที่มีที่จุมีจุดเริ่มริ่ต้นเดียวกันกัแล้ว u + v จะเป็น เส้นทแยงมุมของรูปสี่เสี่หลี่ยลี่ม ด้านขนานที่มีที่มีu และ v เป็นด้านประชิด และมีจุมีจุดเริ่มริ่ต้นที่เที่ดียวกับกัu และ v โดยที่ u + v = v + u 3

ตัว ตั อย่างการบวกเวกเตอร์ จงหาเวกเตอร์ u + v 4

การลบเวกเตอร์ ให้ และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ผลลบของ u ด้วย v หมายถึง ผลบวกของ u และนิเสธของ v เขีย ขี นแทนด้วย u - v นั่นคือ u – v = u + (-v) การหาผลลบของเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ที่มีที่จุมีจุดเริมริต้นเดียวกันกัอาจใช้ รูปสีเหลียมด้านขนานช่วยในการหาผลลบ 5

ตัว ตั อย่างการลบเวกเตอร์ จงหาเวกเตอร์ u-v 6

แบบฝึกหัด หั การบวกและลบเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ 7 จากรูปเวกเตอร์คู่ใดเป็นคู่เท่ากัน กั ก.เวกเตอร์ C กับกั H ข.เวกเตอร์ A กับกั E. ค.เวกเตอร์ C กับกั G ง.เวกเตอร์ B กับกั F จ.เวกเตอร์ G กับกั I จากรูปเวกเตอร์คูใดเป็นเวกเตอร์ ตรงกันกัข้ามกันกั ก.เวกเตอร์ D กับกั F ข.เวกเตอร์ C กับกั E ค.เวกเตอร์ C กับกั H ง.เวกเตอร์ D กับกั B จ.เวกเตอร์ G กับกั C การลบเวกเตอร์

เฉลยแบบฝึกหัด หั การบวกและลบเวกเตอร์ 8 จากรูปเวกเตอร์คู่ใดเป็นคู่เท่ากันกั ตอบ ข. จากรูปเวกเตอร์คูใดเป็นเวกเตอร์ ตรงกันกัข้ามกันกั ตอบ ค.

บทที่2 ที่ เรื่อ รื่ ง เวกเตอร์ในระบบพิกัด กั ฉาก 9

จากรูปOA,OB,OCและODเป็นเวกเตอร์ใน 2 มิติ ซึ่ง ซึ่ ต่างก็มีจุดเริ่ม ริ่ ต้นที่จุ ที่ จุ ดกำ เนิด (0, 0) OAคือ ผลบวกของเวกเตอร์ 2 หน่วยในแกน +x กับกัเวกเตอร์ 3 หน่วยในแกน +y ซึ่ง ซึ่ จะเขีย ขี นได้ว่า 10

ลองคิดเล่นๆ ว่าเราจะเขีย ขี นเวกเตอร์ที่เ ที่ หลือในเทอมของ i, j ได้อย่างไร? แล้วเวกเตอร์ 2 มิติที่ไ ที่ ม่ได้เริ่ม ริ่ จากจุดกำ เนิดล่ะ เราจะเขีย ขี นสมการแทนมันมั ได้อย่างไร? เมื่อ มื่ เราทราบจุดเริ่ม ริ่ (A) และจุดปลาย (B) ก็ไม่ยากที่จ ที่ ะเขีย ขี นแสดงเวกเตอร์นี้แ นี้ บบ i, j ขนาดของABหาได้จาก และจะหาความชันชัm ได้ง่ายๆ จาก 11

เมื่อ มื่ เริ่ม ริ่ คุ้นเคยกับ กั เวกเตอร์ใน 2 มิติแล้ว ทีนี้เ นี้ ราลอง มาดูแบบ 3 มิติทะลุจอกัน กั บ้าง PQเป็นเวกเตอร์ที่มี ที่ มี จุดเริ่ม ริ่ (P) และจุดปลาย (Q) ใดๆ ในพิกัดกัxyz เราจะได้ว่า และ 12

2. จงหาเวกเตอร์ CDและ DCที่มีที่มี จุด C คืจุด(1,−3,7) และจุด D คือจุด (-2,−1,2) แบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งเวกเตอร์ในระบบพิกัด กั 13 จงหาเวกเตอร์ ABและ BAที่มีที่1.มี จุด A คือจุด (3,4) และจุด B คือจุด(5,1)

เฉลยแบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งเวกเตอร์ในระบบพิกัด กั 14 1. 2.

บทที่3 ที่ สารพัน พั การคูณเวกเตอร์ 15

หลังลัจากได้ลองบวกและลบเวกเตอร์ในหัวหัข้อก่อนๆ แล้ว ในหัวหัข้อนี้เ นี้ ราจะลอง คูณเวกเตอร์กันกั แต่ขึ้น ขึ้ ชื่อ ชื่ ว่าเป็นปริม ริ าณเวกเตอร์ จะให้คูณแบบเบสิคๆเหมือนตัวตัเลขทั่วไปคง ไม่ได้ มาดูกันกัดีกว่าว่าจะทำ อย่างไร การคูณกับกัเวกเตอร์ อาจแบ่งออกได้เป็น 1. จำ นวนสเกลาร์คูณกับกัเวกเตอร์ เอาตัวตัเลขปกติคูณกับกัเวกเตอร์ ได้ผลลัพลัธ์ออกมา เป็นเวกเตอร์ 2. เวกเตอร์คูณแบบดอทกับกัเวกเตอร์ ได้ผลลัพลัธ์เป็นสเกลาร์หรือ รื ตัวตัเลขธรรมดาหนึ่ง นึ่ ค่า 3. เวกเตอร์คูณแบบครอสกับกัเวกเตอร์ ได้ผลลัพลัธ์เป็นเวกเตอร์ โดยทิศของผลลัพลัธ์ จะตั้งตั้ฉากกับกัสองเวกเตอร์ที่คู ที่คูณกั 16

แบบที่ 1: จำ นวนสเกลาร์คูณกับ กั เวกเตอร์ เช่น ใน 3 มิติ ใน 2 มิติ เช่น เมื่อ มื่ aเป็นจำ นวนจริง ริ ใดๆ 17

ถ้า จะได้เป็นค่าบวก ดังดันั้นนั้ ได้ผลลัพลัธ์เป็นบวก แบบที่ 2:เวกเตอร์คูณแบบดอทกับ กั เวกเตอร์ (Dot product) การคูณแบบนี้จ นี้ ะให้ค่าเป็นสเกลาร์ (ตัวตัเลขปกติไม่ใช่เวกเตอร์) ถ้าต้องการ หาผลคูณแบบดอทของuและvสามารถหาได้ 2 วิธี วิ ธี ดังดันี้ วิธี วิ ที่ ธี ที่1 ที่ คือมุมที่ เมื่อ มื่ ห ที่ างของทั้งทั้สองเวกเตอร์ชนกันกัและ เมื่อ มื่ จะมีค่าบวกลบขึ้น ขึ้ อยู่กับกัค่า x เพราะฉะนั้นนั้เราจึง จึ สามารถสรุปได้ว่า - ถ้า หรือ รื สองเวกเตอร์ตั้งตั้ฉากกันกัจะได้ ดังดันั้นนั้ผลลัพลัธ์ 18

วิธี วิ ที่ ธี ที่ 2 สำ หรับรัเวกเตอร์ใน 2 มิติ สำ หรับรัเวกเตอร์ใน 3 มิติ 19

โดยมีทิศของผลลัพลัธ์เป็นไปตามกฎมือขวา ดังดันี้ 1) แบมือขวา ให้นิ้วทั้งทั้สี่ (ชี้-ชี้ ก้อย) ชี้ไชี้ ปตามทิศของเวกเตอร์ตัวตัตั้งตั้ (u) แล้วพับพันิ้วเข้าหาทิศของตัวตั คูณ (v) นิ้วหัวหัแม่มือจะชี้ใชี้ นทิศผลลัพลัธ์ของ 2) ถ้านิ้วทั้งทั้สี่ชี้ สี่ ไชี้ ปตามทิศvแล้วพับพันิ้วเข้าหาทิศของuนิ้วหัวหัแม่มือจะชี้ใชี้ นทิศ แบบที่ 3:เวกเตอร์คูณแบบครอสกับ กั เวกเตอร์(Cross product) การคูณแบบนี้จ นี้ ะให้ผลลัพลัธ์เป็นเวกเตอร์ ถ้า และ จะได้ว่า 20

ขนาดของ หาได้จาก เมื่อ มื่ คือมุมที่ห ที่ างของทั้งทั้สองเวกเตอร์ชนกันกั และ 21

แบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งสารพัน พั คูณเวกเตอร์ 22

เฉลยแบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งสารพัน พั คูณเวกเตอร์ 23

บทที่4 ที่ การหาพื้น พื้ ที่สี่ ที่ สี่ เ สี่ หลี่ย ลี่ มด้านขนาน จากขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross product) 24

ทราบมั้ยมั้คะว่า เราสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เรื่อ รื่ งผลคูณเชิงเวกเตอร์ ไปใช้ในการหาพื้น พื้ ที่ข ที่ องสี่เ สี่ หลี่ย ลี่ มด้านขนานได้ด้วยล่ะ จากรูปข้างต้น จะได้ว่า ดังดันั้นนั้ เนื่องจาก เพราะฉะนั้นนั้= พื้น พื้ ที่ข ที่ องสี่เ สี่ หลี่ย ลี่ มด้านขนาน 25

แบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งการหาพื้น พื้ ที่สี่ ที่ สี่ เ สี่ หลี่ย ลี่ มด้านขนาน จากขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ 26

เฉลยแบบฝึกหัด หั เรื่อ รื่ งการหาพื้น พื้ ที่สี่ ที่ สี่ เ สี่ หลี่ย ลี่ มด้านขนาน จากขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ 27

แบบทดสอบหลัง ลั เรีย รี น 28

KINGKONG ESPORT GAME