Cap 1 Teoria de fallas

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-1

CAPÍTULO 1: TEORÍAS DE FALLA

1.1 Introducción

Todas las piezas de construcción, ya sean elementos de máquinas o elementos de
estructuras, se deforman bajo la acción de fuerzas externas. A estas fuerzas externas se les
oponen fuerzas que se originan al interior de la estructura del material y son tales que
oponen resistencia a la deformación. Ellas son las denominadas fuerzas internas. En caso
normal las fuerzas externas e internas se encuentran en equilibrio.

Para la determinación de las fuerzas internas se emplea el método de las secciones. Por
ejemplo, la pieza cilíndrica de la figura Fig. 1.1a se divide en dos partes mediante una
sección imaginaria. Para recomponer el equilibrio se debe colocar a cada una de las partes
la fuerza Fi. Esta es la fuerza interna o también denominada fuerza de sección. En la figura
Fig. 1.1b se muestra otro ejemplo en el que además aparece un momento flector como
momento interno o de sección. Estas fuerzas y momentos internos actúan como fuerzas de
cohesión en la sección respectiva y son las que mantienen unidas entre sí a las partículas
que componen el material. Si crecen las fuerzas externas, es decir, si crece la carga,
entonces también crecen las fuerzas internas en el material.

Area transversal

(a)

(b)

Fig. 1.1 Fuerzas y/o momentos de sección: a) En un elemento
sometido a tracción, b) en un elemento sometido a flexión.

Como medida de la solicitación de una pieza se utiliza el esfuerzo mecánico, simplemente
denominado esfuerzo. Diremos entonces que el esfuerzo es la fuerza interna referida a una
unidad de superficie, o dicho de otra manera: es la fracción de fuerza interna que puede
soportar una unidad de superficie de la sección analizada.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-2

Solicitación de una pieza
de construcción

Cargas Vigas con eje recto o
ligeramente curvado.
Fuerzas, momentos
Reacciones en apoyos y Vigas, soportes, ...
fuerzas de sección
Parámetros del
Estática área
(a = 0)
transversal
Condiciones
cinemáticas Área

(a ≠ 0) cinética

Parámetros (medidas) Configuración del área
de la solicitación Momento de inercia
mecánica Momento polar de
inercia
Esfuerzos
Deformaciones Valores de resistencia
Trabajo de cambio de obtenidos en ensayos de
forma
materiales
Criterios de falla Resistencia estática
Solicitación permisible Resistencia en función
Cargabilidad del tiempo
Factores de seguridad Resistencia a la fatiga
Tipo de carga (variable,
continua) Confiabilidad de los
procesos de cálculo
Aspectos económicos,
funciones y exigencias Causas, condicionamientos
en el sistema técnico
Formas constructivas Modelación (idealización)
recomendadas Transmisión del modelo
Economía en el uso del Requerimientos técnicos
material especiales
Sustitución del material
Definicioones en el
marco técnico-
económico

Fig. 1.2 Factores que intervienen en el cálculo de una pieza por resistencia.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-3

La fuerza interna por unidad de área resistente se denomina resistencia. Los elementos de
máquinas o de estructuras pueden ser solicitados de tal manera que no deben llegar a ser
destruidos o que no alcancen deformaciones tales que el desempeño de sus funciones se
vea afectado. En otras palabras: sus límites de resistencia no deben ser sobrepasados. Estos
límites de resistencia de los diferentes materiales utilizados en ingeniería se determinan en
el marco de los ensayos de materiales a través de pruebas de laboratorio y se denominan
esfuerzos límite. En el presente Texto utilizaremos para los esfuerzos, casi exclusivamente,
la unidad N/mm2, también conocida como Mega-Pascal, en honor al gran Pascal 1).

1.2 Tarea de la Resistencia de Materiales

En la Resistencia de Materiales han sido desarrollados procedimientos de cálculo mediante
los cuales se pueden determinar los esfuerzos y deformaciones que corresponden a
determinados tipos de solicitación. Ello posibilita predecir si los esfuerzos en una pieza,
como consecuencia de una cierta solicitación, están dentro de límites admisibles. O dicho
en otras palabras: si la pieza es capaz de soportar la solicitación a que es sometida. Es
decir, se puede predecir si la pieza fallará o no, o si ella se deformará excesivamente o no.
La Fig. 1.2 muestra los factores que intervienen en un cálculo de esta naturaleza.

Por otro lado es posible calcular las dimensiones necesarias de una pieza si es que se
conocen las características del material y la magnitud de la solicitación. En otro caso, si se
conocieran las dimensiones y características mecánicas del material, entonces se pueden
calcular las máximas cargas externas que la pieza estaría en condiciones de soportar para
ciertos márgenes de seguridad.

En todos los cálculos de resistencia es necesario hacer simplificaciones o idealizaciones,
pues en la realidad la verdadera distribución de esfuerzos en una pieza es muy complicada
y es muy difícil de determinar a partir de procedimientos analíticos. La teoría de elasticidad
proporciona algunos métodos analíticos muy complicados y con muchos
condicionamientos y restricciones en su aplicación. Felizmente en los últimos años se han
desarrollado métodos que permiten evaluar con muy buena aproximación los verdaderos
esfuerzos. Entre ellos se pueden mencionar el método fotoelástico, el método de los
elementos finitos y el método de los elementos de borde.

1.3 El ensayo de tracción

Las propiedades de los materiales determinadas por la ciencia de los materiales mediante
ensayos de laboratorio son condicionamientos muy importantes para la resistencia de los
materiales. Para la determinación de las fuerzas internas bastan los métodos desarrollados
en la estática de los cuerpos rígidos. Ellos pueden ser aplicados directamente también para
los cuerpos deformables o elásticos, pues las deformaciones que éstos presentan son
normalmente muy pequeñas.

1) Blaise Pascal (1623 - 1662), filósofo y matemático francés.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-4

En la construcción de máquinas y de estructuras metálicas se utilizan muy a menudo los
resultados que provee el ensayo de tracción según DIN 50145. En la Fig 1.3a se puede
observar la probeta respectiva antes del ensayo. Ésta tiene sección circular de diámetro d0 y
longitud de prueba sin deformar L0. Si se carga la probeta con una fuerza F (Fig. 1.3b) la
probeta se estira en ∆L. Si la longitud en ese instante es L entonces diremos que el
estiramiento es ∆L = L - L0. Se define:

Deformación unitaria: ε = ∆L = L − L0 (1.1)
L0 L0

la cual es una relación cuyo valor es un número muy pequeño y por ello se acostumbra a
expresarla en porcentaje:

Def. unitaria en porcentaje: ε = ∆L 100 % (1.2)
L0

estricción

(a) (b) (c)

Fig. 1.3 Probeta para el ensayo de tracción según DIN 50145. a) Probeta sin
carga, b) Probeta deformada en ∆L debido a la acción de la carga F
(esfuerzo nominal σ<σP), c) Probeta al momento de la rotura.

Aparte de haberse estirado, la probeta ha disminuido en su diámetro transversal. Se define:

Deformación transversal: εq = ∆d = d0 − d (1.3)
d0 d0

La relación entre la deformación transversal y la deformación unitaria se denomina módulo
de Poisson1). Su valor depende del material y como dato referencial se puede mencionar

que dicho módulo es 0,3 para los aceros.

Módulo de Poisson: ν = εq (1.4)
ε

1) Siméon-Dénis Poisson (1781, Phitiviers – 1840, París), físico francés.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-5

Si se hace crecer la fuerza F y se grafican los diversos valores de esfuerzo en función de la
deformación unitaria obtendremos el denominado gráfico esfuerzo-deformación. En la
figura 1.4 se muestra el mencionado gráfico para un acero de bajo contenido de carbono.
La línea más gruesa indica el esfuerzo referido al área transversal inicial de la probeta A0 y
se denomina esfuerzo nominal (σ = F/A0) mientras que la línea más delgada representa al
esfuerzo referido al área transversal Ae y que se denomina esfuerzo efectivo (σe = F/Ae).
Ambas gráficas están representadas en función de la deformación unitaria ε = ∆L/L0. La
gráfica del esfuerzo efectivo está por encima de la otra puesto que éste está referido al área
efectiva Ae.

σ

σe

σB σ

σF
σσEP

σZ

σZ

ε

Fig. 1.4 Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de
bajo contenido de carbono.

El esfuerzo aumenta en forma lineal hasta el límite de proporcionalidad σP. Esta región
está representada por una recta denominada recta de Hooke1) en honor al descubridor de
esta característica. La ley de Hooke establece que en la región de proporcionalidad, el
esfuerzo es proporcional a la deformación. El factor de proporcionalidad se denomina
módulo de elasticidad E.

Módulo de elasticidad: E = σ (1.5)
ε

Análogamente existe en el rango de proporcionalidad el factor G (módulo de elasticidad
transversal) que relaciona el esfuerzo de corte con el ángulo de distorsión:

Módulo de elasticidad transversal: G = τ (1.6)
γ

La relación entre el módulo de elasticidad E y el módulo de elasticidad transversal G es:

G = 2 E ν) (1.7)
(1 +

1) Robert Hooke (1635, Freshwater/Insel Wright – 1703, London), físico inglés.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-6

En la tabla 1.1 se muestran algunas propiedades de materiales comúnmente utilizados en
ingeniería.

Tabla 1.1 Densidad ρ, módulo de elasticidad E, módulo transversal de
elasticidad G y coeficiente de dilatación lineal α para algunos
materiales.

Material ρ E G α

Fundición gris kg/dm3 N/mm2 N/mm2 10-6/°K
Fundición templable
Acero, acero fundido 7,2 100 000 40 000 10
Aluminio 7,4 170 000 68 000 10
Plomo 7,85 210 000 80 000 12
Cobre 2,7 70 000 27 000 24
Bronce 11,35 16 000 6 000 29
Vidrio 8,96 120 000 47 000 17
Madera: 8,4 80 000 31 000 18
2,4 60 000 24 000 8
• en dirección de las fibras
• perpendicular a las fibras 0,7 11 000 5 500 0,4
0,7 8 000 - 5

Para esfuerzos mayores que σP la deformación aumenta más rápido que el esfuerzo
nominal. Entonces la recta se convierte en una curva de muy pequeña curvatura. Hasta el
límite de elasticidad σE el material se comporta en forma completamente elástica. Es decir,
si se descarga la probeta, ésta recupera su forma y tamaño original. Apenas se sobrepasa
este valor de σE se entra en el rango plástico del material. Ante una eventual descarga la
probeta ya no recupera su tamaño original. En otras palabras, se producen deformaciones
permanentes (plásticas). Como se puede ver en el gráfico analizado, los valores de σP y σE
no son claros en el diagrama. Es más, sus valores están muy cercanos uno de otro y no son
fácilmente medibles.

El esfuerzo de fluencia σF sí es fácil de reconocer pues a ese nivel se produce una caída
brusca del esfuerzo. Durante la fluencia se produce gran deformación del material sin que
se eleve el esfuerzo. Una vez que ella termina es necesario aumentar la carga F para seguir
deformando el material hasta llegar al límite de rotura σB. A partir de este valor ya no es
posible elevar el valor del esfuerzo. Bajo una estricción (contracción) muy fuerte
disminuye el esfuerzo nominal hasta el límite de desprendimiento σZ. En la técnica este
valor no tiene significado práctico alguno.

El esfuerzo de fluencia σF se denomina también límite de proporcionalidad Re y el límite
de rotura σB se denomina también Resistencia a la tracción Rm.
En el caso de materiales para los cuales no se presenta el fenómeno de fluencia (Fig. 1.5) y
que por consiguiente no presentan un claro límite de fluencia, es usual utilizar el límite de
deformación del 0,2% (σ0,2) en reemplazo del límite de proporcionalidad.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-7

σ

σB
σ0,2

ε
ε = 0,2%
Fig. 1.5 Diagrama esfuerzo-deformación para un acero de alto
contenido de carbono (no presenta fluencia).

1.4 Materiales dúctiles y materiales frágiles
En función del comportamiento de los materiales en ensayos de tracción, podemos
clasificar a éstos en dos grupos:

• Materiales dúctiles
• Materiales frágiles
Los materiales dúctiles sufren relativamente mayor deformación que los frágiles para los
mismos niveles de solicitación. Ello se nota en las gráficas de las figuras 1.6 y 1.7.

ε material frágil

material dúctil

σF

σ

Fig. 1.6 Gráficos σ-ε para material dúctil y material frágil

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-8

En general diremos que un material dúctil sufre una deformación mayor que el 5% al
momento de la rotura, mientras que en el frágil la deformación está muy por debajo de este
nivel. Por otro lado, en los materiales dúctiles se presenta la estricción antes de la rotura
final (ver Fig. 1.3c), mientras que en los frágiles la rotura se produce con deformación
transversal muy pequeña. El fenómeno de la fluencia es característica de algunos materiales
dúctiles, como por ejemplo los aceros de bajo contenido de carbono.

Tabla 1.2 Resistencia a la tracción (σB) y esfuerzo de fluencia (σF) de algunas
aleaciones ferrosas.

Material σB σF (σ0,2)

Hierros fundidos grises GG-15 N/mm2 N/mm2
(DIN 1691) GG-20
GG-25 150 ... 250 -
GG-30 200 ... 300 -
GG-35 250 ... 350 -
300 ... 400 -
350 ... 450 -

Fundiciones maleables GTS-35-10 350 200
(DIN 1692) GTS-45-06 450 270
GTS-55-04 550 340
GTS-65-02 650 430
GTS-70-02 700 530
GTW-40-05 360 .. 420 200 ... 230
GTW-45-07 400 ... 480 230 ... 280

Hierros fundidos GGG-40 370 ... 400 240 ... 250
(DIN 1693) GGG-50 420 ... 500 290 ... 320
GGG-60 550 ... 600 340 ... 380
GGG-70 650 ... 700 380 ... 440

Aceros fundidos GS-38 380 200
(DIN 1681) GS-45 450 230
GS-52 520 260
GS-60 600 300

Aceros de construcción St 37-2 340 ... 470 195 ... 235
(DIN 17 100) St 44-2 410 ... 540 235 ... 275
St 50-2 470 ... 610 255 ... 295
St 60-2 570 ... 710 295 ... 335
St 70-2 670 ... 830 325 ... 365

Aceros bonificables C 35, Ck 35 550 ... 780 320 ... 430
(DIN 17 200) C 45, Ck 45 630 ... 850 370 ... 500
C 60, Ck 60 750 ... 1000 450 ... 580
34 Cr 4 700 ... 1100 460 ... 700
34 CrMo 4 700 ... 1200 450 ... 800
42 CrMo 4 750 ... 1300 500 ... 900
50 CrV 4 800 ... 1300 600 ... 900
30 CrNiMo 8 900 ... 1450 700 ... 1050

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-9

acero de alta resistencia
acero de mediana resistencia
metal no ferroso

fundición
gris

Fig. 1.7 Gráficos σ-ε para diferentes materiales.

En las siguiente tablas se presentan algunas relaciones interesantes entre los parámetros de
resistencia de las aleaciones ferrosas.

Tabla 1.3 Parámetros de resistencia de aceros y hierros fundidos
sometidos a carga estática o cuasi-estática (σB y σF ó σ0,2 según
la tabla 1.2, fq según la tabla 1.4)

Tipo de carga Material Fundición gris
Acero σB
Tracción σB σF (ó σ0,2)
Compresión σcB ≈ 4 σB
Flexión σcB ≈ σB σcF ≈ σF σfB ≈ fq σB
Corte τcB ≈ σB
Torsión σfB ≈ fq σB σf F ≈ fq σF τtB ≈ σB

τcB ≈ 0,8 σB -

τtB ≈ 0,7 σB τtF ≈ 0,6 σF

Tabla 1.4 Factor de forma de sección fq 1) para flexión estática
Sección fq Sección fq Sección fq

≈ 1,05 ≈ 1,2 ≈ 1,4

≈ 1,15 ≈ 1,2 ≈ 1,5

1) El factor de forma de sección para flexión estática es la relación σfF/σF (o también σfB/σB).

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-10

1.5 Criterios de falla

Hasta ahora se han visto algunos aspectos del proceso del cálculo de piezas de máquinas o
de estructuras por resistencia. Temas importantes como la evaluación de las cargas sobre
una pieza así como las fuerzas de reacción que originan y la determinación de fuerzas y
momentos de sección han sido tratados al detalle en el curso de Estática. Además, en un
curso introductorio de Resistencia de Materiales se analizaron los esfuerzos ocasionados
por un determinado tipo de carga individual (carga axial o torsión o flexión pura, por
ejemplo). En esos casos los esfuerzos ocasionados podían ser relacionados directamente
con experimentos análogos para el mismo material. Tomando como base tal evidencia
experimental se aprendió a preveer, ciertamente con un cierto margen razonable de
exactitud, el comportamiento de las piezas con respecto al inicio de la fluencia o rotura de
una cierta pieza.

La respuesta de un material al esfuerzo uniaxial o al esfuerzo cortante puro se puede
representar en un diagrama σ-ε. Sin embargo ello no será posible para el caso en que
debido a una solicitación compleja del elemento se origine un estado combinado de
esfuerzos, lo cual se presenta a menudo en los elementos de máquinas o de estructuras.
Habrá que establecer entonces criterios de comportamiento para esos casos para poder así
predecir la falla o no del elemento.

1.6 Definición de falla

Un elemento de máquinas o estructural falla, cuando deja de cumplir las funciones para las
cuales fue diseñado. A partir de esta definición se pueden establecer los siguientes tipos de
falla:

• falla por resistencia
• falla por deformación
• falla por estabilidad

En la falla por resistencia se producen esfuerzos de tal magnitud que superan los límites de
resistencia del material. Estos límites están dados por la fluencia en materiales dúctiles y
por la rotura en materiales frágiles. Cuando se diseña un elemento de tal manera que en
ningún punto de él se alcance la resistencia límite del material se dice que el elemento se
calcula por resistencia.

σ Lim = σσ F (σ B ) para materiales du&ctiles
R para materiales fra&giles

En la falla por deformación el elemento alcanza deformaciones que sobrepasan valores de
deformación permisibles aún sin haber alcanzado los límites de resistencia del material.
Cuando se diseña un elemento de tal manera que ésto no ocurra se dice que el cálculo es
por rigidez.

En la falla por estabilidad el estado de equilibrio del elemento alcanza un nivel de
inestabilidad tal que se produce un cambio brusco a un nivel de equilibrio más estable. Este
cambio va acompañado generalmente de grandes deformaciones que hacen que el elemento

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-11

colapse. Ejemplos de ello son el pandeo de elementos esbeltos sometidos a compresión o la
abolladura de cilindros de paredes delgadas. Este tipo de falla será especialmente analizado
en el capítulo de pandeo.

1.7 Teorías de falla y esfuerzo equivalente

Hemos visto que las propiedades de resistencia (como σB y σF) se determinan a partir de
ensayos de tracción según DIN 50145 y por consiguiente están referidas a estados de
esfuerzo uniaxial. La Fig. 1.8 muestra una pieza solicitada por una fuerza axial F. Se trata
de analizar un punto cualquiera del elemento para preveer si falla o no. El esfuerzo de
tracción representado en el elemento diferencial mostrado se puede comparar directamente
con un elemento diferencial de una probeta del mismo material sometida a tracción al
momento de la falla.

F σt σt F

Fig. 1.8 Elemento sometido a carga axial.

La comparación en este caso es directa y se puede afirmar, independientemente del
mecanismo real que causa la falla en el material, que mientras σt sea menor que σLim no se
producirá la falla del elemento. Como conclusión se puede afirmar que un elemento
sometido sólo a tracción no falla si se cumple que el esfuerzo originado por la solicitación
axial no iguala al esfuerzo límite del material (el cual se determina a través de un ensayo de
tracción). Es decir, se debe cumplir que σ t ≤ σ Lim .

Ahora bien, el mismo razonamiento nos llevaría a afirmar que un elemento sometido sólo a
torsión (Fig. 1.9) no fallaría si el esfuerzo de corte producido en el punto más solicitado de
la sección no iguala al esfuerzo de corte límite del material (el cual se determina en un
ensayo de torsión para una probeta del mismo material del elemento). Es decir, τ t ≤ τ Lim .

τmax

Fig. 1.9 Elemento sometido a torsión. El elemento diferencial representa a un
punto cualquiera de la superficie del elemento, el cual está sometido al
máximo esfuerzo de corte que aparece en el elemento.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-12

Sin embargo en la mayoría de los casos prácticos de la técnica se presentan mas bien
solicitaciones combinadas que originan estados de esfuerzos complejos en los que se
tienen, en general, esfuerzos normales debidos a carga axial, esfuerzos debidos a flexión,
esfuerzos de corte debidos a torsión y esfuerzos de corte longitudinal. Ahora bien, la
pregunta es: cómo podríamos preveer si un tal elemento falla o no?. En otras palabras:
cómo podríamos relacionar un estado general de esfuerzos con los resultados de un ensayo
de tracción para predecir la falla o no del elemento?.

Para ilustrar esta última cuestión analizaremos la pieza de la Fig. 1.10. En ella el elemento
está solicitado por una carga F. En un punto cualquiera del elemento, como el mostrado, se
produce un estado plano de esfuerzos.

FF

σx σx σ1
τxy σ2

(a) (b)

Fig. 1.10 Pieza bajo la acción de carga flexionante, a) un punto cualquiera como el
mostrado está sometido a estado de esfuerzo plano, b) el mismo estado de
esfuerzos representado por los esfuerzos principales.

Está claro que este estado de esfuerzos (Fig. 1.10a) es diferente al estado uniaxial de
esfuerzos que se produciría en una probeta del mismo material, por lo tanto, una
comparación directa ya no es posible. Sabemos que para el punto analizado es posible
hallar los esfuerzos principales que representan un estado equivalente de esfuerzos (ver
Fig. 1.10b). Sin embargo, y a pesar de la simplificación efectuada, tampoco es posible una
comparación directa con el estado uniaxial de esfuerzos de la prpobeta a tracción. Entonces
se hace necesario establecer criterios referentes al mecanismo real de falla del material,
para a través de ellos, comparar un estado general de esfuerzos con el estado de esfuerzos
en la probeta. En la Fig. 1.11 se muestra en forma esquemática el camino de solución para
resolver el problema planteado y que permite hacer la comparación de ambos estados de
esfuerzos en el material.

σy σ3 σ1
τyz τyxτxy σ2

⇒τzy ⇒ σeq σeq

σx σ1 σ2 (c)
τzx τxz (b) σ3
σz

(a)

Fig. 1.11 Obtención del esfuerzo equivalente a partir del estado general de esfuerzos:
a) Estado general de esfuerzos, b) esfuerzos principales y c) esfuerzo equivalente.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-13

El paso del estado general de esfuerzos (Fig. 1.11a) al estado triaxial representado por los
esfuerzos principales (Fig. 1.11b) ha sido ya estudiado en el primer curso de Resistencia de
Materiales y a manera de repaso se resumirá el procedimiento para hallar dichos esfuerzos
principales. Sea S la matriz que representa al tensor estado general de esfuerzos:

σ x τ xy τ xz 

S = τ yx σ y τ yz  (1.1)

τ zx τ zy σ z 

Entonces, los valores propios de esta matriz S son los esfuerzos principales, mientras que
los vectores propios son las direcciones principales. En general se debe cumplir que:

(S − σ E) n = 0 (1.2)

donde E es la matriz unidad, σ es uno cualquiera de los esfuerzos principales y n es la
matriz columna que representa al vector dirección principal correspondiente.

Para que no haya solución trivial: S − σ E = 0

es decir: σx −σ τ xy τ xz ! (1.3)
τ yx σy −σ τ yz =0
τ zx σz −σ
τ zy

El desarrollo de este determinante da lugar a una ecuación polinómica de tercer grado
denominada ecuación característica:

σ 3 − I1 σ 2 + I2 σ − I3 = 0 (1.4)
I1 = σ x + σ y + σ z
donde:

I2 = σxσy + σyσz + σxσz − τ2 − τ2 − τ2
xy yz xz

σ x τ xy τ xz
I 3 = τ yx σ y τ yz

τ zx τ zy σ z

Los coeficientes I1, I 2 e I 3 son las denominadas invariantes del tensor esfuerzo. Las raíces
de la ecuación característica son reales (pues la matriz S es simétrica) y constituyen los

esfuerzos principales σ1 , σ2 y σ3 , los cuales aplicadors urno aruno a la ecuación (1.2)
determinan las correspondientes direcciones principales n1 , n2 y n3 .

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-14

El paso del estado triaxial (Fig. 1.11b) al de un estado “equivalente” uniaxial (Fig. 1.11c)
no es posible en forma analítica. La única manera de hacerlo es a través de suposiciones
sobre el mecanismo real de falla. Estas suposiciones han sido presentadas por diferentes
grupos de científicos y se conocen como teorías o hipótesis de falla.

Debe estar claro que el esfuerzo equivalente σeq, sea cual fuere la teoría de falla utilizada,
estará en función de todas las componentes del estado general de esfuerzos:

o lo que es lo mismo: σeq = σeq (σx, σy, σz, τxy, τyz , τxz,) (1.5)
σeq = σeq (σ1, σ2, σ3) (1.6)

Ahora sí es posible una comparación directa entre el estado de esfuerzo “equivalente”
uniaxial y el de la probeta al momento de producirse la falla. Entonces podemos decir que
no se producirá la falla del elemento si garantizamos que

σeq (σ1, σ2, σ3) < σLim (1.7)

Como cualquier hipótesis en la ciencia de la mecánica de los materiales, ninguna de las
hipótesis de falla es de aplicación universal y mas bien encuentran sus propios campos de
aplicación en función del tipo de material. Algunas darán mejores resultados, es decir,
resultados más cercanos a la realidad, cuando sean aplicadas a materiales dúctiles y otras
serán más convenientes de usar para preveer la falla de materiales frágiles.

No es objetivo de este capítulo mostrar todas las hipótesis de falla existentes, si no mas
bien las más utilizadas en la mecánica aplicada:

• Para materiales dúctiles: - Teoría del máximo esfuerzo cortante (Tresca)
- Teoría de la máxima energía de distorsión (von Mises)

• Para materiales frágiles: - Teoría del máximo esfuerzo normal (Rankine)
- Teoría de Mohr

1.7.1 Teoría del máximo esfuerzo cortante (Tresca , Guest & Mohr)

Esta teoría fue aparentemente propuesta por C.A. Coulomb 1) en 1773. Sin embargo fue H.
Tresca 2) quien la mencionó formalmente en 1868 de la siguiente manera.

“Un material falla cuando el esfuerzo cortante máximo resistente iguala el valor del
esfuerzo cortante de una probeta sometida a tracción en el momento de la fluencia”.

Este criterio se basa en la observación de que la fluencia en los materiales dúctiles es
causada por el deslizamiento a lo largo de superficies oblicuas y se debe primordialmente a
esfuerzos cortantes.

1) Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806), científico francés.
2) Henry Tresca presenta en 1868 su trabajo acerca del flujo de metales a grandes presiones ante la

Academia Francesa y allí menciona por primera vez su famosa teoría.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-15

• Caso de estado uniaxial de esfuerzos

La Fig. 1.12a muestra una pieza sometida a carga uniaxial, el cual sería el caso de una
probeta sometida a ensayo de tracción. Si analizamos una sección cualquiera del
elemento que forme el ángulo ϕ con una sección transversal (Fig. 1.12b) obtendremos
las siguientes fuerzas de sección:

FN = F cos ϕ
Ft = F sen ϕ

F FN
F
Area transversal A Area oblícua A(ϕ) = A
(a) cosϕ Ft
(b)

Fig. 1.12 a) Elemento sometido a tracción, b) Fuerzas internas en una sección oblicua.

A esas fuerzas internas corresponden los siguientes esfuerzos:

σ (ϕ) = FN = F cos2 ϕ (1.8)
A(ϕ) A (1.9)

τ (ϕ) = Ft = F senϕ cosϕ
A(ϕ) A

Si llamamos σ0 al esfuerzo normal en una sección transversal (ϕ =0) entonces:

σ0 = F
A

Utilizando las relaciones trigonométricas cos2 ϕ = 1 + cos2ϕ
2

y senϕ cosϕ = 1 sen 2ϕ
2

obtenemos de (1.8) y (1.9): σ (ϕ) = σ 0 (1 + cos2ϕ) (1.10)
2 (1.11)

τ (ϕ) = σ 0 sen 2ϕ
2

La Fig. 1.13 muestra las gráficas de σ (ϕ) y τ (ϕ) en función del ángulo ϕ . Los valores

extremos de esfuerzo cortante se presentan correspondientemente en planos que forman

45° con el eje longitudinal del elemento. De la expresión (1.10) se observa que dichos

valores son: τ max = ± σ0 .
2

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-16

Esfuerzo normal σ(ϕ)
Esfuerzo de corte τ(ϕ)

ϕ

Fig. 1.13 Gráficas de σ(ϕ) y τ(ϕ) en función del ángulo ϕ.

En el caso de un elemento sometido a carga axial de compresión se presenta la misma
característica respecto de la influencia del esfuerzo cortante en planos oblicuos a 45° del
eje longitudinal de la pieza (ver Fig. 1.14).

Fig. 1.14 Falla de un elemento sometido a carga axial de compresión.

Esto se puede ver de otra manera si usamos el círculo de Mohr para representar los
esfuerzos en el punto analizado del elemento sometido a tracción (Fig. 1.15).

τ 90° σ
τmax = σ 0 90° σ0

2

0
-σ0

2

Fig. 1.15 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto
cualquiera de un elemento sometido sólo a tracción.

En dicha figura se puede notar que si rotamos 90° en sentido horario o antihorario en el
círculo de Mohr respecto del eje que representa al eje longitudinal de la pieza (eje de las

abscisas), o lo que es lo mismo, si giramos 45° en uno u otro sentido respecto del eje
longitudinal de la pieza analizada, estaremos ante un estado de esfuerzos equivalente en

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-17

el que el esfuerzo cortante es justamente el máximo que se podría alcanzar, es decir,
±σ0/2. Ello coincide con el análisis realizado anteriormente.

Ahora bien, a partir de las observaciones realizadas, podríamos expresar con cierta
justeza que en los materiales dúctiles los esfuerzos cortantes juegan un papel importante
en el mecanismo que ocasiona la fluencia. Entonces, sea cual fuere el estado de
esfuerzos a que está sometido un elemento de material dúctil, la teoría del máximo
esfuerzo cortante dice que para que no falle el elemento, el máximo esfuerzo cortante no
debe igualarse con el máximo esfuerzo cortante que actúa en una probeta del mismo
material al momento mismo de ocurrir la falla, es decir, al momento de iniciarse la
fluencia. El siguiente paso será la determinación de este esfuerzo. La Fig. 1.16 muestra
el círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en la probeta de tracción al
momento de iniciarse la fluencia.

τ
τmax = τF = σ F

2

0 σF σ

-σF
2

Fig. 1.16 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en un punto
cualquiera de una probeta de tracción al momento de alcanzar la
fluencia.

De dicho círculo se ve claramente que el esfuerzo de corte máximo al momento de la

fluencia es:

τF = σF (1.12)
2

• Caso de estado general de esfuerzos

Ya hemos visto que independientemente de cualquier hipótesis de falla y gracias a una
simple transformación de coordenadas, un sistema general de esfuerzos puede ser
representado por un estado triaxial de esfuerzos en el que solamente actúan los tres
esfuerzos principales según las direcciones principales correspondientes.

La tarea que nos podemos plantear a continuación sería la de evaluar el esfuerzo
cortante máximo que se originaría en el caso del estado triaxial de esfuerzos. Para ello
tendremos que distinguir los diferentes casos que se derivan del signo de los esfuerzos
principales.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-18

- Si σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0 (ver Fig.1.17) τ max = σ1 −σ3
2
τ
τmax σ1 σ

0 σ3 σ2

Fig. 1.17 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el
caso en que σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0.

Para que no ocurra la falla, según la TMEC: τ max = σ1 −σ3 < τF = σ F
2 2

Es decir: σ1 −σ3 < σF (i)

- Si σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0 (ver Fig.1.18)

τ τ max = σ1 −σ 3
τmax 2

σ3 σ2 σ1 0 σ

Fig. 1.18 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para
el caso en que σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0.

Para que no ocurra la falla, según la TMEC: τ max = σ1 −σ 3 < τF = σ F
2 2

Es decir: σ1 −σ3 < σ F (ii)

- Si σ1 > σ2 > σ3 donde σ1 ≥ 0 y σ3 ≤ 0 (ver Fig.1.19)

según la TMEC, para que no ocurra la falla: τ max = σ1 −σ3 < τF = σ F
2 2

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-19

τ τ = σ1 −σ3
τmax 2

max

σ3 σ2 0 σ1 σ

Fig. 1.19 Círculo de Mohr que representa el estado de esfuerzos triaxial para el
caso en que σ1 > σ2 > σ3 y σ1 y σ3 tienen diferentes signos.

Es decir: σ1 −σ3 < σF (iii)

Las expresiones (i), (ii) y (iii) se pueden generalizar en una sola:

σ1 −σ3 < σ F (1.13)

Si es que ahora observamos nuevamente la Fig. 1.11c y recordamos las consideraciones
que nos llevaron a la expresión 1.7, podemos concluir que para el caso del estado
general de esfuerzos y según la TMEC:

σ eq = σ 1 − σ 3 (1.14)

donde σ1 > σ2 > σ3 para cualesquiera signos de σ1, σ2 y σ3.

• Estado plano de esfuerzos (σ3 = 0)

Aquí consideraremos dos casos para el análisis, de acuerdo a los signos de los esfuerzos
σ1 y σ2.

- Si σ1 y σ2 tienen el mismo signo

En la Fig. 1.20 se ve claramente que el
esfuerzo cortante máximo es:

τ max = σ1
2

Según la TMEC la falla no se produce

Fig. 1.20 Círculo de Mohr para estado plano de si: τ max = σ1 < τF = σF
esfuerzos: σ1 y σ2 tienen el mismo 2 2
signo.

Es decir: σ1 < σF.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-20

Si consideramos que σ2 podría ser mayor que σ1, entonces se tendría que cumplir
que:

τ max = σ2 < τ F = σF ⇒ σ2 < σF.
2 2

La condición de no-falla para ambas posibilidades será: σ1 < σF ∧ σ2 < σF (1.15)

Ahora viene la posibilidad adicional de que ambos esfuerzos principales σ1 y σ2 sean
negativos, por lo cual tendremos que reescribir la expresión 1.15 para que quede en

ella la consideración de esta última posibilidad:

σ 1 < σF ∧ σ 2 < σF (1.16)

- Si σ1 y σ2 tienen diferente signo

τ max σ1 + σ2 En la Fig. 1.21 se ve que el esfuerzo
2 cortante máximo es:

=

τ max = σ1 + σ2
2

σ2 σ1 Según la TMEC, la falla no se produce

si:

τ max = σ1 + σ2 < τF = σF
2 2

Fig. 1.21 Círculo de Mohr para estado plano de Es decir: σ 1 + σ 2 < σF. (1.17)
esfuerzos: σ1 y σ2 tienen diferente
signo.

Si graficamos las relaciones (1.16) y (1.17) en un plano σ1 vs. σ2 (Fig.1.22)
obtendremos el denominado hexágono de Tresca.

σ2

σF

-σF σF σ1

-σF
Fig. 1.22 Criterio de fluencia basado en la teoría del máximo

esfuerzo cortante o de Tresca.

Si el punto que representa un estado cualquiera de esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro
del hexágono de Tresca, se interpreta como que el elemento no fallará.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-21

Ejemplo 1.1: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan σx y τxy.

En este caso τ max =  σx  2 +τ 2 ⇒ τ max = 1 σ x2 + 4 τ xy2 .
2 xy 2

No hay falla si 1 σ x 2 + 4 τ xy 2 < σF ⇒ σ x 2 + 4 τ xy 2 < σ F .
2 2

Por consiguiente: σ eq = σ 2 + 4τ 2 (1.18)
x xy

1.7.2 Teoría de la máxima energía de distorsión (von Mises1), Hencky y Huber)

Esta teoría se basa en conceptos de energía de deformación. La energía elástica total de
deformación se puede dividir en dos partes: una relacionada con los cambios volumétricos
del material, y otra que causa distorsiones por corte. A partir de ello se hace el siguiente
enunciado, que constituye el criterio de falla de von Mises:

“La falla se produce si el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen del
material es igual a la energía de distorsión por unidad de volumen requerida para causar
fluencia en una probeta de prueba a tracción del mismo material”.

El siguiente paso será, por consiguiente, evaluar la energía de distorsión para el estado
general de esfuerzos. El tensor esfuerzo correspondiente a los tres esfuerzos principales se
puede descomponer en dos tensores:

σ 1 0 0  σ 0 0  σ 1 −σ 0 0 
  
 0 σ2 0  =  0 σ 0  +  0 σ 2 −σ 0  (1.19)
0 0 σ3 0 0 σ 0 0 −
σ 3 σ

donde σ = σ 1 + σ 2 + σ 3 es el denominado tensor hidrostático medio.
3

El primer tensor está relacionado directamente a la dilatación del cubo elemental en estudio
y por ello se le llama tensor esfuerzo dilatacional. El segundo tensor está relacionado a la
distorsión del elemento y recibe el nombre de esfuerzo distorsional o desviatorio. De
acuerdo a lo dicho podemos dividir la energía total de deformación elástica en dos partes:
la relativa a la actuación del esfuerzo dilatacional y la relativa al esfuerzo distorsional.

Utotal = Udilat + Udist (1.20)

1) En realidad fue el italiano E. Beltrami, quien en 1885 intentó utilizar la energía total de deformación como
criterio de fluencia. En 1904, el polaco M.T. Huber propuso la teoría en su forma actual y posteriormente
fueron el alemán R. von Mises (1913) y el americano H. Hencky (1925) quienes la desarrollaron y
explicaron más a fondo.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-22

( )U total 1 ε2 ε3
Evaluación de la energía total: = 2 σ1 ε1 +σ2 +σ3 (1.21)

La ley de Hooke generalizada establece que: ε1 = σ1 − ν (σ 2 +σ 3)
E E

ε2 = σ2 − ν (σ 1 +σ 3)
E E

ε3 = σ3 − ν (σ 1 +σ 2)
E E

Reemplazando estas tres expresiones en la de energía total (1.21) y ordenando se obtiene:

( ) ( )Utotal = 1 2 −ν
2E σ 1 +σ 2 + σ 32 E σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 1σ 3 (1.22)
2

La energía por cambio de volumen se puede evaluar reemplazando en la ecuación 1.22 los
términos σ1, σ2 y σ3 por el valor del esfuerzo hidrostático medio σ :

U dilat = 3(1 − 2ν ) σ 2 = 1 − 2ν (σ 1 +σ2 +σ 3)2 (1.23)
2E 6E

La energía de distorsión la podemos evaluar simplemente restando la expresión (1.23) de la
(1.22) y recordando de (1.7) que G = E / 2(1+ν):

U dist =1 [(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 ] (1.24)
12 G

Para el caso de tracción pura (σ2 = σ3 = 0) la energía de distorsión será: Ud = 1 σ 2
6G 1

Por consiguiente, en el instante de la fluencia la energía de distorsión será:

Ud F = 1 σ F2 (1.25)
6G

Según la TMED o de von Mises, no se produce falla si:

U dist = 1 [(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3)2 + (σ 3 − σ 1)2 ] < Ud F = 1 σ F2
12 G 6G

o lo que es lo mismo, si se cumple que:

(σ 1 − σ )2 + (σ 2 −σ )2 + (σ 1 − σ )2 < σF. (1.26)

2 3 3

2

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-23

Si es que observamos nuevamente la Fig. 1.11c y la expresión (1.7), podemos concluir que
para el caso del estado general de esfuerzos y según la TMED:

σ eq = (σ 1 − σ )2 + (σ 2 −σ )2 + (σ 1 −σ )2 (1.27)

2 3 3

2

• Estado plano de esfuerzos (σ3 = 0)

La energía de distorsión será según (1.24) es: U dist = 1 (σ 2 −σ1 σ 2 + σ 22 )
6G 1

Según von Mises, la condición de “no falla” es:

U dist = 1 (σ 12 −σ1 σ 2 +σ 22) < Ud F = 1 σ F2
6G 6G

Es decir: σ 2 +σ 2 −σ1σ 2 < σF (1.28)
1 2

y por consiguiente: σ eq = σ 2 +σ 22 −σ1σ2 (1.29)
1

Si graficamos la relación (1.28) en un plano σ1 vs. σ2 (Fig.1.23) obtendremos la
denominada elipse de von Mises. Si un punto que representa un estado cualquiera de
esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro de la elipse, diremos que el elemento, según von
Mises, no fallará.

σ2

σF

-σF σF σ1

-σF

Fig. 1.23 Criterio de fluencia basado en la teoría de la máxima
energía de distorsión o de von Mises.

A continuación se presenta un ejemplo de aplicación de está teoría, muy común en
elementos de máquinas como ejes de transmisión de potencia, en que se presentan
esfuerzos normales debidos a flexión y esfuerzos de corte debidos a torsión.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-24

Ejemplo 1.2: Aplicación para el caso de estado plano de esfuerzos en que actúan σx y τxy.

En este caso σ3=0 y según (1.28) la condición de “no falla” será:

σ 2 +σ 2 −σ1σ 2 < σF
1 2

Recordando la teoría del círculo de Mohr (Fig, 1.24) para la determinación de los esfuerzos

principales:

τ σ1 =σx +1 σ 2 +4τ 2
2 2 x xy

τxy σ2 =σx − 1 σ x 2 + 4 τ xy 2 .
2 2

σ2 σx σ1 σ Reemplazando σ1 y σ2 en la condición de
-τxy no falla se obtiene:

σ 2 + 3 τ 2 < σF
x xy

Fig. 1.24 Círculo de Mohr para estado plano de Es decir: σ eq = σ 2 + 3τ 2 (1.30)
esfuerzos en que actúan σx y τxy. x xy

1.7.3 Teoría del máximo esfuerzo normal (Rankine 1) )

Según esta teoría “la falla se produce cuando el esfuerzo normal máximo alcanza el
esfuerzo límite del material obtenido en un ensayo de tracción”. Por consiguiente, para
aplicar este criterio sólo se debe determinar el mayor de los esfuerzos principales.

Los resultados experimentales indican que esta teoría arroja buenos resultados para
materiales frágiles. En dicho caso el esfuerzo límite corresponde al esfuerzo de rotura.

• Estado triaxial de esfuerzos ⇒ σeq = σ1 (1.31)
- Si σ1 > σ2 > σ3 ≥ 0 ⇒ no falla si σ1 < σRt (1.32)

- Si σ3 < σ2 < σ1 ≤ 0 ⇒ no falla si σ 3 < σRc ⇒ σeq = σ 3 (1.33)

- Si σ1 > σ2 > σ3 , σ1 ≥ 0, σ3 ≤ 0 ⇒ no falla si σ1 < σRt ∧ σ 3 < σRc
⇒ σeq = σ1 ∨ σeq = σ 3

1) W.J.M. Rankine (1820 - 1872), científico británico.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-25

• Estado plano de esfuerzos (σ3 = 0)

- Si σ1 y σ2 positivos ⇒ no hay falla si σ1 < σRt ∧ σ2 < σRt

- Si σ1 y σ2 negativos ⇒ no hay falla si σ 2 < σRc ∧ σ 1 < σRc

- Si σ1 y σ2 de diferente signo ⇒ no hay falla si:σ1 < σRt ∧ σ 2 < σRc
o si: σ2 < σRt ∧ σ 1 < σRc

De manera análoga a las otras teorías descritas, si graficamos estas relaciones en un

plano σ1 vs. σ2 obtendremos el polígono mostrado en la Fig. 1.25. Si un punto que
representa un estado cualquiera de esfuerzo plano (σ1, σ2) está dentro del polígono,
diremos que el elemento, según esta teoría, no fallará.

-σRc σ2 σ1
σRt

0 σRt

-σRc

Fig. 1.25 Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría del máximo esfuerzo normal.

1.7.4 Teoría de Mohr 1)

Primero se realizan diferentes experimentos con probetas de material frágil: una prueba de
tracción, una de compresión y una de corte puro. Si graficamos los círculos de Mohr que
representan cada uno de los experimentos mencionados al momento de la rotura,
obtendremos la figura 1.26. Es lógico pensar que cualquier círculo de Mohr que está dentro
de alguno de los tres círculos dibujados representará un estado de esfuerzos que no causa
falla (en este caso rotura) en el material. Mohr establece que una evolvente a dichos
círculos definirá una evolvente de falla. Es decir, los círculos tangentes a dicha evolvente
definen a su vez los valores de σ1 y σ2 para los cuales se produce la condición de falla.

1) Otto Mohr (1835, Wesselburen / Holstein – 1918, Dresden), ingeniero alemán.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-26

τ

Evolvente de falla (Mohr)

Círculo para

compresión al momento Círculo para corte puro
al momento de la rotura
de la rotura τR
0 Círculo para tracción al
σRc momento de la rotura

σRt σ

Fig. 1.26 Evolvente de Mohr.

Si graficamos los puntos (σ1, σ2) que representan a estos círculos entonces obtendremos el
polígono de falla para la teoría de Mohr (Fig. 1.27)

σ2

σRt

-σRc 0 σRt σ1

-σRc

Fig. 1.27 Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría de Mohr.

En la práctica se suele reemplazar las partes curvas referentes a la evolvente de Mohr con
rectas. Al gráfico resultante se le denomina polígono simplificado de la teoría de Mohr.

σ2

σRt

-σRc 0 σRt σ1

-σRc

Fig. 1.28 Criterio de falla para materiales frágiles basado en la
teoría de Mohr modificada.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-27

1.8 Incertidumbre y factor de seguridad

Siempre que se hace el cálculo de algún elemento se tiene la incertidumbre de si va a
cumplir su función tal como se espera que lo haga. Entre otras preguntas que uno se puede
hacer están las de: ¿resistirá?, ¿se deformará excesivamente?.

El motivo de estas preguntas radica en algunas dudas, tales como:

• ¿tendrá el material la resistencia que se especifica en el catálogo o la norma?
• ¿se hará el tratamiento térmico en forma adecuada?
• ¿será correcta la teoría aplicada?
• ¿se presentará alguna sobrecarga?
• ¿habrán vibraciones?
• ¿se está asumiendo lo correcto al no poder evaluar exactamente alguna carga?

1.8.1 Incertidumbre en el diseño

• Debido a los métodos de análisis: Todos los métodos de diseño están basados en ciertas
hipótesis simplificatorias. Los esfuerzos calculados son sólo aproximaciones a las
reales.

• Variaciones en las propiedades del material: La composición, resistencia y dimensiones
de los materiales están sujetas a pequeñas variaciones en su manufactura.

• Tipo de carga: No se conoce con exactitud tipo de carga (son aproximaciones). Se
requiere tener en cuenta efectos dinámicos (entre impacto y aplicación progresiva o
estática de la carga).

• Tipo de falla: Los materiales dúctiles sufren deformaciones considerables que dan aviso
antes de la falla, mientras que los materiales frágiles fallan súbitamente, sin advertencia.
La falla por inestabilidad o pandeo es repentina. Cuando existe posibilidad de falla
súbita debe usarse mayor factor de seguridad.

• Mantenimiento y condiciones ambientales: Desgaste y corrosión son difíciles de
controlar. Operación en temperaturas distintas a las normales (dilataciones, esfuerzos,
enfriamientos, frágilidad).

• Efecto de maquinado y proceso de conformación: Pueden introducir efectos de
concentración de tensiones; tratamientos térmicos mal efectuados.

• Efecto del tamaño en la determinación de propiedades: Las tablas de propiedades (a
menos que se indique otras condiciones) listan valores para especímenes de tamaño
normalizado; componentes más grandes pueden fallar a esfuerzos menores, como en la
solicitación cíclica (fatiga).

• Riesgo para la vida y propiedad.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-28

Para tomar en cuenta estas fuentes de incertidumbre se introduce el factor de seguridad
(FS). Basándose en la práctica, en cada rama de las diversas disciplinas de ingeniería, se
sientan métodos y exigencias de acuerdo a las cuales se señalan factores de seguridad
recomendados o directamente esfuerzos admisibles.

1.8.2 Factor de seguridad:

Con el Factor de Seguridad (FS) se tratan de cubrir las dudas o incertidumbre que se
presenten durante el cálculo. Se define como una relación numérica de la siguiente manera:
el factor de seguridad existente es la relación entre el esfuerzo límite del material y el
esfuerzo de trabajo a actuante. Este último corresponde, en general, al esfuerzo equivalente
calculado a través de alguna teoría de falla adecuada. Es decir:

FS = σ Lim (> 1) (1.34)
σ eq

σF Seguridad σR Seguridad
σt Adm σt Adm

(a) (b)
Fig. 1.29 Margen de seguridad para los casos de: a) material dúctil y b) material frágil.

Esto último significa que si estamos dimensionando un cierto elemento, dado un cierto
factor de seguridad mínimo que debe tener la construcción, el esfuerzo equivalente en el
punto más crítico será tal que a lo más:

σeq = σ Lim (1.35)
FS

En la práctica bastará realizar el dimensionamiento de tal manera que:

σeq ≤ σ Lim (1.36)
FS

Si definimos esfuerzo admisible (σAdm) como:

σ Adm = σ Lim donde σ Lim = σ F σ si materialdúctil (1.37)
FS σ Rt , si material frágil
Rc

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-29

Entonces, al diseñar un elemento por resistencia se debe cumplir que:

σ eq ≤ σ Adm =σ Lim (1.38)
FS

Relación fundamental para el
diseño por resistencia

Como se dijo anteriormente, el Factor de Seguridad de esta expresión se da por
recomendación o por experiencia y en algunos casos (elevadores de personal, estructuras,
calderas, recipientes de fluidos a alta presión) son determinados por las normas de diseño y
construcción correspondientes.

Mayormente se conocen, para diversos materiales, resultados de ensayos de tracción, por lo
que para solicitaciones diferentes a tracción, se pueden utilizar las relaciones aproximadas
mostradas en la tabla 1.5. En todo caso, si se tienen datos más exactos, se deben preferir
éstos (ver tablas anexas A y B al final del texto).

Tabla 1.5 Relaciones aproximadas con respecto al esfuerzo admisible para tracción (σt Adm) para

esfuerzos admisibles para diferentes tipos de solicitación estática.

[Ref.: Roloff/Matek, Maschinenelemente, Ed. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1994]

dúctil Material frágil
Fundición maleable
Aceros, Aluminio, Hierros
Tipo de solicitación aceros aleaciones fundidos
fundidos, de aluminio
aleaciones blanca negra
de cobre

Tracción σt Adm = σ F (σ 0,2 ) σt Adm = σB
FS FS

Compresión σc Adm ≈ σt Adm 1,2σt Adm 2,5σt Adm 1,5σt Adm 2σt Adm
Flexión σf Adm ≈
Corte τc Adm ≈ σt Adm σt Adm σt Adm σt Adm σt Adm
Torsión τc Adm ≈
Combinada σ Adm ≈ 0,8 σt Adm 0,8σt Adm 1,2σt Adm 1,2σt Adm 1,2σt Adm

0,65σt Adm 0,7σt Adm - - -

σt Adm σt Adm σt Adm σt Adm σt Adm

En cuanto a los valores de FS recomendados para la tabla anterior se tiene lo siguiente:

FS = 1,2 ... 1,8 Seguridad a la fluencia
FS = 1,5 ... 3 Seguridad a la rotura

Notar que para el caso de esfuerzos combinados, el esfuerzo equivalente se debe comparar
con el esfuerzo admisible para tracción (σt Adm).

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap. 1 Teorías de falla Pág. 1-30

Lógicamente en la literatura especializada se pueden encontrar muchas más
recomendaciones, como por ejemplo la que hace Joseph Vidosic “Machine Design
Projects”, The Ronald Press, New York, 1957, y que se muestra en la tabla 1.6.

Tabla 1.6 Factores de Seguridad recomendados para la construcción de maquinaria.

Caso Factor de Observaciones
1 Seguridad

FS

1,25 ... 1,5 Para materiales excepcionalmente confiables usados bajo
condiciones controladas y sujetos a carga y esfuerzos que
pueden determinarse con exactitud. Una consideración muy
importante es que casi siempre se usan para pesos pequeños.

Para materiales bien conocidos, para condiciones de medio
2 1,5 ... 2 ambiente razonablemente constantes y sujetos a carga y

esfuerzos que puedan calcularse con facilidad.

Para materiales promedio que trabajen en condiciones de
3 2 ... 2,5 medio ambiente ordinarias y sujetos a cargas y esfuerzos

que puedan calcularse.

Para materiales poco experimentados o para materiales
4 2,5 ... 3 frágiles en condiciones promedio de medio ambiente, carga

y esfuerzo.

5 3 ... 4 Para materiales no experimentados usados para condiciones
promedio de medio ambiente, carga y esfuerzo.

Deberá también usarse con materiales mejor conocidos que
6 3 ... 4 vayan a usarse en condiciones ambientales inciertas o

sujetos a cargas y esfuerzo inciertos.

Cargas repetidas: son aceptables los factores indicados en
7 los puntos 1 al 6 pero debe aplicarse el límite de rotura por

carga cíclica o esfuerzo de fatiga en lugar del esfuerzo de
fluencia del material

8 Fuerza de impacto: son aceptables los factores dados en los
puntos 3 al 6, pero deberá incluirse un factor de impacto.

Materiales frágiles: si se considera a la resistencia máxima
9 (σR) como la máxima teórica, los factores indicados en los

puntos 1 al 6 deberán multiplicarse por 2.

Para el caso deseable de tener factores elevados, deberá
10 efectuarse un análisis muy completo del problema antes de

decidir sobre su uso.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-31

Ejemplo 1.3: La figura muestra el árbol de una máquina que se encuentra apoyado sobre
los cojinetes A y B y lleva un engranaje cónico de dientes rectos y una rueda
cilíndrica de dientes rectos. La rueda cilíndrica es accionada por la fuerza
tangencial Ft, la cual le es transmitida por su respectivo piñón (no
mostrado). La potencia transmitida es 12 kW a una velocidad de 1450 RPM.

• El árbol es de acero 42 CrMo 4.
• Diámetro primitivo de la rueda cilíndrica: 90 mm.
• Semiángulo del vértice del cono: δ = 20°
• Ángulo de presión de todas las ruedas: α = 20°.
• El apoyo B soporta toda la carga axial ejercida por el piñón cónico sobre el árbol.

a) Dibujar diagramas acotados de fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos
torsores para el árbol.

b) Calcular el diámetro d necesario en la sección 1 para un FS = 2. Utilizar el criterio de
von Mises.

c) Calcular el factor de seguridad en la sección 3 sabiendo que su diámetro es también d.

Solución: Diagrama de fuerzas y momentos sobre el árbol:

z Fr m My = 9,83 N-m RA z RB z Mt
y Fa m Ft
A RB x
x Ft m RA y
B
80 RB y
Fr
100
70

• Fuerzas en los engranajes cilíndricos (entrada de la potencia al árbol):

El torque transmitido por el árbol será: Mt = P = 12000 ⋅ 60 = 79 N-m = 79000 N-mm
ω 2π ⋅1450

Además, en el engranaje mayor: Mt = Ft ⋅ D
2

donde: Ft es la fuerza tangencial en la rueda

D es el diámetro primitivo de la rueda

despejando: Ft = 2Mt = 2 ⋅ 79000 → Ft = 1756,2 N
La fuerza radial será: D 90 → Fr = 639,2 N

Fr = Ft tan 20°

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-32

• Fuerzas en los engranajes cónicos:

En el piñón cónico: Mt = Ftm ⋅ Dm donde: Ft m es la fuerza tangencial,
Entonces: 2 Dm es el diámetro medio del piñón.

Ftm = 2⋅Mt = 2 ⋅ 79000 → Ftm = 1975 N
Dm 80

Frm = Ftm tan 20° cos 20° → Frm = 675,5 N

Fam = Ftm tan 20° sen 20° → Fam = 245,8 N

• Cálculo de las reacciones en los apoyos A y B:

Σ Fx = 0 : → RBx = 245,8 N
Σ MyA = 0 : →
Σ Fz = 0 : → 9,83 − 675,5 ⋅ 0,08 + RB z ⋅ 0,1 −1756,2 ⋅ 0,17 = 0 → RB z = 3427,6 N
Σ MzA = 0 : → RAz = −2346,9 N
Σ Fy = 0 : → − 675,5 − RAz − RB z + 1756,2 = 0 → RB y = −2666,6 N
RA y = 4002,4 N
1975 ⋅ 0,08 + RB y ⋅ 0,1 + 639,2 ⋅ 0,17 = 0 →

− 1975 + RAx + RB y + 639,2 = 0 →

z Fr m My RA z RB z
y Fa m A
RB x Mt
x Ft
B
Ft m RA y RB y
Fr
80 100
70

1671,4

DFC (plano xz) -1756,2
122,9
-675,5 N

DMF (plano xz)

9,8 N-m

DFC (plano xy) 44,2 -639,2
2027,4 44,7
-1975 N
158 N-m
DMF (plano xy)

79 N-m

DMT

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-33

a) Análisis de la sección 1: Las fuerzas internas en esta sección son:
Fuerza normal: F = 312,97 N
momento flector: M f = (158 ⋅103 )2 + (44,2 ⋅103 )2 → M f = 164 ⋅103 N-mm
momento torsor: Mt = 79 N-m = 79⋅103 N-mm

fuerza cortante: V = 167,42 + 2027,42 = 26275 N (se puede despreciar!)

Los esfuerzos correspondientes serán (d en mm):

Esfuerzo normal: σn = F → σ n = 312,97 N/mm2
A d2

esfuerzo de flexión: σf = M f (d / 2) = 32 Mf → σf = 1670,54 ⋅103 N/mm2
π d 4 / 64 π d3 d3

esfuerzo de torsión: τt = 16 Mt → τt = 402,35 ⋅103 N/mm2
π d3 d3

esfuerzo de corte: τc = V → τc = 3345,6 N/mm2
A d2

El esfuerzo equivalente según von Mises será: σ eq = (σ f + σn)2 + 3 (τ 2 + τ 2 )
t c

 1670,54 ⋅ 103 312,9  2  402,35 ⋅ 103 2  3345,6  2 
d3 d2 d3  d2  
→ σ eq = + + 3 + 

Se debe cumplir que: σ eq ≤ σ F = 700 = 350 N/mm2
FS 2

Resolviendo se obtiene d = 17,3 mm → d = 20 mm (para asiento de rodamiento)

Nota: Se obtiene el mismo resultado despreciando el efecto de la fuerza normal y la cortante.

c) Para el análisis de la sección 3 despreciaremos el efecto de la fuerza cortante.

Fuerza normal: F = 312,97 N

Momento flector: M f = (122,9 ⋅103 )2 + (44,7 ⋅103 )2 → M f = 130,77 ⋅103 N-mm
Momento torsor: Mt = 79 N-m = 79⋅103 N-mm

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-34

Los esfuerzos correspondientes serán (para d = 20 mm):

Esfuerzo normal: σn = F → σn = 312,97 = 0,78 N/mm2
esfuerzo de flexión: A d2
esfuerzo de torsión:
32 Mf 1332,01⋅10 3
π d3 d3
σf = → σf = = 166,5 N/mm2

τt = 16 M t → τt = 402,35 ⋅103 = 50,29 N/mm2
π d3 d3

El esfuerzo equivalente según von Mises será: σ eq = (σ f + σ n)2 + 3τ 2
t

es decir: σ eq = (166,5 + 0,78)2 + 3 (50,29)2 = 188,6 N/mm2

Por consiguiente: FS = σ Lim = σ F = 700 → FS = 3,7
σ eq σ eq 188,6

Nota: En la realidad los árboles de transmisión no se calculan bajo carga estática, como lo
acabamos de hacer, si no mas bien se tienen que hacer consideraciones de falla por fatiga,
puesto que los esfuerzos ocasionados por la flexión en un eje giratorio son variables en el
tiempo. Ello será tratado en el tercer capítulo.

Ejemplo 1.4: En la figura se muestra un elevador de capacidad T. El aparejo o winche de
arrastre no se muestra. El material de la viga horizontal es un acero
estructural St 37 (según DIN 17100). Despreciando los cambios de
velocidad en el cable, se pide:

a) Dibujar los diagramas de fuerzas normales, fuerzas cortantes y momentos flectores
para la viga empotrada.

b) Para la sección más crítica se pide mostrar la distribución de esfuerzos normales y de
flexión y de cortante longitudinal.

c) Calcular el máximo valor de T que se puede aplicar al aparejo para tener un factor de
seguridad FS=2 para la viga. Utilizar el criterio de Tresca.

1200

T 700 152
Pontificia Universidad Católica del Perú 89
60,4 28,6 x
x
G

Area: A = 30,36 cm2
T Inercia: Ix = 215,4 cm4

Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-35

a) Cálculo de reacciones: 1200

1200

Ax A T
MA M = 700 T
Ay
T
DFN
700 -T

T T
DFC
T
DMF
ΣFx = 0 → Ax = T 1900 T

ΣFy = 0 → Ay = T 700 T

ΣMA = 0 → MA = M + 1200 T

= 700 T+ 1200 T

→ MA = 1900 T

b) Sección crítica: del DMF se ve que el máximo momento flector actúa en el
empotramiento.

σn σf t τc (promedio)

xx
G

σf c

Esfuerzo normal (compresión): σn = F = T → σ n = −3,29 ⋅10−4 T N/mm2 (C)
A 3036

Esfuerzo cortante: τc = V = T → τ c = 3,29 ⋅10−4 T N/mm2
A 3036

Esfuerzo de flexión: σf = M f ⋅ cmax
Ix

¤ para el lado a tracción: σ f t = 1900 T ⋅ 28,6 → σ f t = 2,52 ⋅10−2 T N/mm2 (T)
2,154 ⋅106

¤ para el lado a compresión: σ f c = 1900 T ⋅ 60,4 → σ f c = −5,33⋅10−2 T N/mm2 (C)
2,154 ⋅106

Se ve claramente que la fibra crítica es la que está a compresión.

c) En el punto crítico (en el lado de compresión para cmax = 60,4 mm):

σ c = σ f c + σ n = − 5,33 ⋅10−2 T - 3,29 ⋅10−4 T N/ mm2 = − 5,36 ⋅10−2T (C)
τ c = 3,29 ⋅10−4 T N/mm2

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-36

Los esfuerzos principales serán: σ 1, 2 = σx ±  σx  2 +τ 2
2  2  xy

donde σx = σc = − 5,36 ⋅10−2 T N/mm2
y τxy = τ c = 0,329 ⋅10−3 T N/ mm2

Reemplazando: σ1 = 2,024 ⋅10−6 T N/mm2
σ2 = − 5,36 ⋅10−2 T N/ mm2

Graficamos el punto P de coordenadas (σ1, σ2) dentro del hexágono de Tresca:

σ1 El factor de seguridad para el esfuerzo
representado por P estará dado por:
σF

. .L2 FS = OQ = OQ , es decir: FS = OQ
OP x x
L1 Q P(σ1 ,σ2)
−σF OP σ1 P
x

0 σ1 Recta límite: L2: σ 2 = σ1 + σ F (i)
(recta límite en segundo cuadrante)

Recta de carga: L1: σ 2 =  σ 2  Pσ1 (ii)
σ 1
−σF

(nota: aquí σ2P y σ1P con sus signos !)

La falla se produciría, según Tresca, si el esfuerzo estuviera representado por el punto Q
(intersección de la recta límite con la línea de carga). Para hallar sus coordenadas:

igualando (i) y (ii):  σ 2 Pσ 1 = σ1 +σ → (σ 1 ) Q = σF
σ 1
F  σ  P
σ
1 − 2
1

El factor de seguridad estará dado por:

σF 240

OQ (σ 1)Q 1−  σ2  P 1 −  − 5,36 ⋅10−2 T  !
x (σ1) P σ1 2,024 ⋅10−6 T
FS = = = = =2 → T = 2 238,7 N
OP (σ1 )P 2,024 ⋅10−6 T
x

Comprobemos el resultado utilizando la expresión para el esfuerzo equivalente σeq
deducida en el ejemplo 1.1:

σ eq = σ x2 + 4 τ xy 2 = (−5,36 ⋅10−2 T )2 +4 (2,024 ⋅10−6 T )2 = 5,36 ⋅10−2 T

Se debe cumplir que: σ eq = 5,36 ⋅10−2 T ≤ σ Adm = σF = 240 N/mm2
FS 2

De donde: Tmax = 2 238,3 N

Notar que el esfuerzo cortante es muy pequeño (despreciable) al lado del esfuerzo de flexión.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-37

Ejemplo 1.5 Teorías de falla para materiales frágiles.

En la figura se muestra una consola de hierro fundido sometida a la acción de una carga F.
El material de la consola es un hierro fundido gris con las siguientes características:

σRt = 120 N/mm2
σRc = 360 N/mm2

Se pide:

a) Calcular el valor máximo de la fuerza F que se puede aplicar a la consola para que la
sección A tenga un factor de seguridad de 1,8. Considerar en los cálculos el esfuerzo
cortante promedio (τc = V/A). Utilizar la teoría del máximo esfuerzo normal.

b) Lo mismo que en a), pero utilizando la teoría de Mohr simplificada.

M

N

Solución:

a) Ubicación del centro de gravedad de la sección A:

z = (850)(5) + (100)(15) + (200)(90) = 20,65 mm
850 +100 + 200

Cálculo del momento de inercia respecto al eje x:

Ix = 1 (85)(10)3 + (850)(15,65)2 + 1 (10)(10)3 + (100)(5,65)2 + 10(20)3 + (200)(69,35)2
12 12 12

→ Ix = 1 187 844,21 mm4

Los puntos M y N son los puntos más críticos de la sección A (mayor esfuerzo normal
debido a la flexión). Por consiguiente calcularemos en cada uno de ellos los máximos
esfuerzos normales.

• Punto M: Flexión: σf = M f ⋅ cM = 80 F (20,65) = 1,39.10−3 F [N/mm2] (tracción)
Corte: Ix
1187 844,21

τc =V =F = 8,7 ⋅10−4 F [N/mm2]
A 1150

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-38

Determinación de los esfuerzos principales:

( ) ( )σ1,2 σf  σf  2
= 2 ± 2 + τ 2 = 6,95 ⋅10−4 F ± 6,95 ⋅10−4 F 2 + 8,7 ⋅10 −4 F 2
c

De donde: σ 1 = 1,81⋅10−3 F (tracción)
σ 2 = − 4,18 ⋅10−4 F (compresión)

Como se ve, hemos obtenido esfuerzos principales de diferente signo, por consiguiente hay

que comparar cada uno de ellos con el correspondiente esfuerzo límite, es decir σRt ó σRc,
según sea el caso. Queda claro que en este caso bastará trabajar con σ1, pues σ2 es bastante
menor en módulo mientras que el esfuerzo admisible correspondiente es mayor.

Se debe cumplir que: σ1 = 1,81⋅10−3 F ≤ σAdm = σ Rt = 120 [N/mm2]
FS
1,8

→ F ≤ 36 832,41 N (i)

• Punto N: Flexión: σf = M f cN = 80 F (79,35) = 5,34 ⋅10−3 F [N/mm2] (C)
Corte: Ix
1187 844,21

τc = V =F = 8,7 ⋅10−4 F [N/mm2]
A 1150

Determinación de los esfuerzos principales:

( ) ( )σ1,2 σf  σf  2
= 2 ± 2 + τ 2 = −5,34 ⋅10−3 F ± − 5,34 ⋅10−3 F 2 + 8,7 ⋅10−4 F 2
c

De donde: σ 1 = 1,38 ⋅10−4 F (tracción)
σ 2 = − 5,48 ⋅10−3 F (compresión)

En este caso queda claro que bastará trabajar con σ2, pues σ1 es bastante menor en módulo
y además el esfuerzo límite correspondiente es mayor.

Se debe cumplir que: σ2 = 5,48 ⋅10−3 F ≤ σAdm = σ Rc = 360 [N/mm2]
FS 1,8

→ F ≤ 36 496,35 N (ii)

Se ve pues de las expresiones (i) y (ii), que el punto N es ligeramente más crítico que M,
por lo que la respuesta será:

Fmax = 36 496,35 N

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-39

b) Ya tenemos calculados tanto σ1 como σ2 para los puntos críticos M y N. Sólo falta
ubicar, para cada uno de éstos, el punto (σ1, σ2) en el polígono simplificado de la
Teoría de Mohr.

• Punto M: σ2

σRt

−σRc 0 σRt σ1
A B σ1
L2
σ2

L1

−σRc

Sabemos que: σ 1 = 1,81⋅10−3 F (tracción)
σ 2 = − 4,18 ⋅10−4 F (compresión)

Recta límite: σ2 = σ Rc (σ 1 −σ Rt ) (recta L1: recta límite en cuarto cuadrante)
→ σ Rt

σ 2 = 3 (σ 1 −120)

Línea de carga: σ 2 =  σ 2  Aσ 1 (recta L 2) (nota: aquí σ2A y σ1A con sus signos !)
σ 1

La máxima carga posible según Mohr, asumiendo un incremento lineal, ocasionaría un
esfuerzo que estaría representado por la intersección de la recta límite con la línea de carga
(punto B).

Intersección:  σ 2  σ = 3 (σ 1 − 120) → (σ1) B = 360
σ 1
A 1  σ  A
σ
3 − 2
1

Determinando la fuerza F máxima que podrá soportar la consola para un factor de

seguridad de 1,8:

360
( )FS
como = OB = OB = (σ 1) B = 3 − − 2,31⋅10−1 !
OA x (σ 1) A 1,81⋅10−3 F
= 1,8
OA
x

→ Fmax = 34 199 N (iii)

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada

Cap.1 Teorías de falla Pág. 1-40

• Punto N:

Tenemos ya calculados los esfuerzos principales correspondientes:

σ 1 = 1,38 ⋅10−4 F (tracción)
σ 2 = − 5,48 ⋅10−3 F (compresión)

Pendiente de la línea de carga:  σ 2  A = − 39,71
σ 1

El factor de seguridad está dado de manera análoga a la deducida para el punto M:

Intersección:  σ 2  σ = 3 (σ 1 − 120) → (σ1) B = 360
σ 1
A 1  σ  A
σ
3 − 2
1

360

3 −  σ 2  A 360
σ 1
FS = (σ1 ) B = = 3 − (− 39,71) ! 1,8
(σ1 ) A (σ 1) A
1,38 ⋅10−4 =

→ F = 33 932,93 N (iv)

Por lo tanto, de (iii) y (iv) concluimos que la máxima fuerza F será:

→ Fmax = 33 932,93 N

-----------------------

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Mecánica Aplicada