SISTEMPERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Bahan Ajar Matematika Fase E Kelas X Eneng Siti Juariah Noor MAN 4 T A S I KMA L A Y A
PETA KON S EP Kali ini kita akan membahas materi tentang sistem persamaan linear tiga variabel. Berikut Peta Konsep materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Sepertinya pernah dengar ya istilah “sistem persamaan linear” itu? Yups betul sekali, kalian pernah belajar tentang sistem persamaan linear pada saat MTs dulu. Tapi bahasannya tentang sistem persamaan linear dua variabel. Lalu apa bedanya dua variabel dengan tiga variabel? Supaya nggak bingung, yuk kita ingat-ingat lagi beberapa istilah yang sering digunakan dalam sistem persamaan linear.
G LOSARIUM Dalam sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV), terdapat beberapa istilah yang sering digunakan, yaitu: Suku bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku akan dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan SPLTV Singkatan dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Merupakan kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Variabel Simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili nilainilai yang tidak diketahui dalam SPLTV. Dalam SPLTV, biasanya digunakan tiga variabel, seperti x, y, dan z Koefisien Angka yang mengalikan variabel dalam persamaan linear. Dalam SPLTV, setiap variabel akan memiliki koefisien sendiri-sendiri. Misalnya, dalam persamaan a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₁, b₁, dan c₁ adalah koefisien Konstanta Suatu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel dan peubahnya.
Materi Untuk apa sih kita harus belajar sistem persamaan linear tiga variabel? Eits jangan salah, sistem persamaan linear sangat berguna untuk kehidupan kita. Salah satunya, belajar SPLTV dapat meningkatkan keterampilan pemecahan masalah secara umum, termasuk kemampuan logika, analisis, dan pemikiran kritis. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah kontekstual yang berkaitan dengan permodelan secara matematis. Untuk lebih jelasnya marilah kita simak ilustrasi berikut ini.
Masalah Seorang pedagang buah hendak memenuhi persediaan buah di kiosnya. Berdasarkan penjualan sehari-hari ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh pembeli, yaitu buah nanas, pisang, dan mangga. Namun karena keterbatasan modal dia tidak dapat sekaligus membeli buah-buahan yang banyak diminati tersebut. Oleh karenanya pedagang tersebut hanya dapat membeli jika modal sudah terkumpul. Hari pertama modal yang terkumpul adalah Rp2.540.000,00 sehingga pedagang tersebut dapat membeli 3 dus buah nanas, 2 dus buah pisang, dan 5 dus buah mangga. Untuk hari kedua pedagang tersebut memperoleh modal Rp1.510.000,00 dan dapat membeli 1 dus buah nanas, 3 dus buah pisang, serta 2 dus buah mangga. Sedangkan untuk hari ketiga dengan modal Rp2.750.000,00 pedagang tersebut dapat membeli 4 dus buah nanas, 5 dus buah pisang, dan 3 dus buah mangga. Jika variabel x menunjukkan harga per dus buah nanas, variabel y menunjukkan harga per dus buah pisang dan variabel z menunjukkan harga per dus buah mangga.
Maka,persamaanyangterbentuk adalahsebagai berikut: Hari pertama : 3x + 2y + 5z = 2640000 persamaan (1) Hari kedua : x + 3y +2z = 1510000 persamaan (2) Hari ketiga : 4x + 5y + 3z = 2750000 persamaan (3) Ketigapersamaan tersebutadalah persamaanmatematisyangdapat terbentukdaripermasalahanpedagang buahdiatas.Dariilustrasi tersebutdapat dibuat sistempersamaan linear tiga variabel (SPLTV). 3x + 2y + 5z = 2640000……….(1) x + 3y + 2z =1510000…………(2) 4x + 5y + 3z = 2750000………(3) U N TU K ME N Y E L E SAI KAN MASALAH KON TE K S TUAL TERS E BUT, K ITA MI SAL KAN : x = harga perdus buah nanas y = harga per dus buah pisang z = harga per dus buah mangga
a₁x+b₁y+c₁z=d₁ a₂x+b₂y+c₂z=d₂ a₃x+b₃y+c₃z=d₃ Di mana x, y, dan z adalah variabel yang tidak diketahui, sedangkan a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, dan d₃ adalah konstanta yang diberikan. Apakah kalian sudah memahamipenjelasan diatas,mudahbukan? Sistem persamaan linear tiga variabel adalah kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Ciri utama suatu persamaan adalah adanya tanda hubung “ = ”. Dengan adanya tanda itu, nilai bilangan ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. Itulah mengapa, kamu harus mencari nilai setiap variabelnya terlebih dahulu. Secara umum, sistem tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
CARA PE N Y E L E SAIAN Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat diselesaikan dengan 3 cara, yaitu: Metodeeliminasi metode atau cara untuk menyelesaikan SPLTV dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut Metodesubstitusi metode atau cara untuk menyelesaikan SPLTV dengan cara menggantikan variabelvariabel secara bertahap hingga mendapatkan nilai-nilai variabel yang tidak diketahui Metodegabungan metode atau cara untuk menyelesaikan SPLTV dengan cara menggunakan metode eliminasi untuk menghilangkan satu variabel dari beberapa persamaan dan kemudian menggunakan metode substitusi untuk menentukan nilai variabel yang lain. Atau sebaliknya, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk mengisolasi satu variabel dan kemudian menggunakan metode eliminasi untuk mencari solusi dari variabel yang tersisa.
MasalahyangMelibatkan SistemPersamaan Linear TigaVariabel Restymempunyaipitahiasberwarna merah,ungu,dan kuning.Jumlahpanjang ketigapitahias tersebutadalah275 cm. Panjangpitaungu 5 cmkurangnyadari panjangpitakuning. Panjangpitakuning 20cmlebihnyadaripanjangpitamerah. Jikapitakuningdipakai sepanjang 35 cm, tentukan sisapanjangpitakuning.
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan Soal Cerita SPLTV seperti ini kita harus membuat persamaan dengan memisalkan variabel terlebih dahulu agar di temukan persamaan Misal: PitaMerah=a, PitaUngu=b dan Pita Kuning=c. a + b + c = 275 ....(1) b = c - 5 ....(2) c = a + 20 ....(3) Ditanya: Panjangpitakuningjika digunakan 35cm(c -25 = ....)? Dari persamaan tersebut kita dapat langsung mengetahui untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel tersebut kita dapat menggunakan Metode Substitusi, namun kita ubah terlebih dahulu persamaan 3.
Itulahpembahasan kitatentangsistem persamaan linear tigavariabel. Semoga bahanajar inibisamembantumubuat memahamipengertian, rumus,dan cara pengerjaan SPLTV,ya. c = a + 20 a = c - 20 ...(4) Lakukan subtitusi persamaan 2 dan 4 ke persamaan 1 untuk mencari nilai c. a + b + c = 275 (c - 20) + (c - 5) + c = 275 c + c + c - 20 - 5 = 275 3c - 25 = 275 3c = 275 + 25 c = 300/3 c = 100 Panjang pita kuning = 100cm maka bila digunakan 35cm yaitu = c - 35 = 100 - 35 = 65cm Jadi panjang sisa pita kuning yaitu sepanjang 65cm.
a.2, 1, 3 LATIHAN SOAL Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. 2x + 5y – 3z = 3 6x + 8y -5z = 7 -3x + 3y + 4y = 15 b.2, 3, 1 c. 1,2, 3 d. 1, 3,2 e. 3,2, 1
Pembahasan
LATIHAN SOAL a. 1buahApeladalah Rp14.000 Tiga bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut: Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000 Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000 Via membeli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000. Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga? b. 1buahJambuadalah Rp14.000 c. 1buahManggaadalah Rp19.000 d. 1buahApeladalah Rp10.000 e. 1buahJambuadalah Rp19.000
Pembahasan
Latihan Soal: Di k et a hui x + 3y + 2z = 1 6 , 2x + 4y – 2z = 12, d a n x + y + 4z = 20. Te n tu k a n n i l a i x , y, z! a. 1, 7, 3 b. 1, 3, 7 c. 3, 1, 7 d. 3, 7, 1 e. 7, 1, 3
Pembahasan
Tokoalat tulispak rudimenjualalat tulisberisibuku, spidol,dan tinta dalam3 jenispaket sebagaiberikut. PaketA: 3buku, 1 spidol,2tintasehargaRp17.200 Paket B: 2buku,2spidol, 3 tintasehargaRp19.700 PaketC: 1buku,2spidol,2tintasehargaRp14.000 Hitunglahharga1buahmasingmasingitem! a. 1 buah buku adalah Rp4.000 LATIHAN SOAL b. 1 buah spidol adalah Rp3.800 c. 1 buah tinta adalah Rp2.700 d. 1 buah buku adalah Rp3.800 e. 1 buah tinta adalah Rp3.000
Pembahasan
Himpunanpenyelesaiannya adalah{(2, 5, -3)} Latihan Soal: Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut. x + y + z = -6 x + y – 2z = 3 x – 2y + z = 9 Himpunanpenyelesaiannya adalah{(2, -5, 3)} Himpunanpenyelesaiannya adalah{(-2, -5, -3)} Himpunanpenyelesaiannya adalah{(2, -5, -3)} Himpunanpenyelesaiannya adalah{(-2, -5, -3)}
Pembahasan
TERIMAKAS IH Eneng Siti Juariah Noor MAN 4 Tasikmalaya