แบบฝึกทักษะเล่ม6

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 3

เรื่อง ภาคตัดกรวย

จุดประสงค์การเรียนรู้

 นกั เรียนสามารถเขียนสมการในรูปทวั่ ไป
ของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h, k)ได้

 นกั เรียนสามารถหาจุดโฟกสั เสน้ ไดเรกตริกซ์
ของพาราโบลาจากสมการในรูปทว่ั ไปได้

สมการมาตรฐานของพาราโบลา
พาราโบลาขนานแกน X พาราโบลาขนานแกน Y

(y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)

จัดสมการในรูปทวั่ ไป

y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ ก

เร่ือง ภาคตัดกรวย

คานา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 จดั ทาข้ึนเพื่อเสริมหรือ
พฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรียนและเป็ นแนวทางสาหรับครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียน
การสอนให้กับนักเรียนระดับช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4 เรื่อง ภาคตดั กรวย โดยในเล่มน้ีเป็ นชุดท่ี 6
เรื่อง สมการในรูปทวั่ ไปของพาราโบลา

เน้ือหาในชุดที่ 6 น้ี เนน้ ใหน้ กั เรียนรู้จกั สมการในรูปทว่ั ไปของพาราโบลา ซ่ึงประกอบดว้ ย
คาช้ีแจงสาหรับครู คาแนะนาสาหรับนักเรียน จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ ใบความรู้
แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบฝึกทกั ษะ และแบบทดสอบหลงั เรียน

ผูจ้ ดั ทาหวงั เป็ นอย่างยิ่งว่าแบบฝึ กทักษะเล่มน้ีจะเอ้ืออานวยประโยชน์แก่นักเรียนและ
ผสู้ นใจเป็นอยา่ งดี และอาจใชเ้ ป็นแนวทางในการสร้างนวตั กรรมต่อไป

อจั ฉริยา พหลทพั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข

เร่ือง ภาคตัดกรวย

สารบัญ

เรื่อง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาช้ีแจงสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3
ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 6 11
แบบทดสอบหลงั เรียน 15
เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 6 17
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 21
บรรณานุกรม 22

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 1

เรื่อง ภาคตดั กรวย

ช่วยอ่านคาช้ีแจงให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทักษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้ึนเพ่ือใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบง่ เป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดที่ 6 สมการในรูปทว่ั ไปของพาราโบลา
ส่ิงที่ครูตอ้ งช้ีแจงกบั นกั เรียนใหป้ ฏิบตั ิมีดงั น้ี

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้
2. ใหน้ กั เรียนศึกษาตวั อยา่ งในแบบฝึกทกั ษะ
3. ครูสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรียนขณะท่ีนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
4. ใหน้ กั เรียนตรวจแบบฝึกทกั ษะจากเฉลยและบนั ทึกคะแนน
5. ครูควรสรุปเพมิ่ เติมขอ้ ที่นกั เรียนทาไม่ถูกตอ้ ง เพอื่ ใหน้ กั เรียน

มีความเขา้ ใจมากยง่ิ ข้ึน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 2

เรื่อง ภาคตดั กรวย

เพอ่ื นๆ อ่านคาแนะนาให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทักษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
สร้างข้นึ เพ่ือใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเลม่ น้ีเป็นชุดท่ี 6 สมการในรูปทวั่ ไปของพาราโบลา

ใหน้ กั เรียนอา่ นคาแนะนา และปฏิบตั ิกิจกรรมแต่ละข้นั ตอนต้งั แตต่ น้
จนจบ นกั เรียนจะไดร้ ับความรู้อยา่ งครบถว้ น โดยปฏิบตั ิตามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ศึกษาจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพอื่ ใหท้ ราบวา่ เมื่อเรียนจบแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้ีแลว้ นกั เรียนสามารถเรียนรู้อะไรบา้ ง

2. นกั เรียนศึกษาใบความรู้และฝึกทกั ษะท่ีกาหนดไว้ เพ่อื ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจ
ในเน้ือหามากข้ึน

3. นกั เรียนตอ้ งมีความซื่อสตั ยต์ ่อตนเอง ไมด่ ูเฉลยก่อน ถา้ นกั เรียนขาด
ความซ่ือสัตยแ์ ลว้ จะไมป่ ระสบผลสาเร็จในการศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะน้ี

4. ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมลงในแบบฝึกทกั ษะท่ีครูแจกให้
5. เม่ือนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จแลว้ ให้ตรวจสอบคาตอบกบั เฉลย
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน แลว้ ตรวจคาตอบจากน้นั บนั ทึกคะแนน
7. การประเมินผล แบบทดสอบหลงั เรียน มีจานวน 10 คะแนนทาได้ 8 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 4

เรื่อง ภาคตดั กรวย

ใบความรู้ชุดที่ 6 สมการในรูปทวั่ ไปของพาราโบลา

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ค31202 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4

พาราโบลาขนานกบั แกน x พาราโบลาขนานกบั แกน y
y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F = 0

ตัวอย่าง 1 จากข้อ 1-4 จากสมการในรูปทว่ั ไปของพาราโบลา
ให้จดั สมการในรูปมาตรฐาน

y2 + 12x – 48 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0

วธิ ีทา y2 = - 12x + 48 วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4
(y – 0)2 = - 12(x – 4) x2 + 4x + 22 = 16y – 4+ 22
(x + 2)2 = 16y
สอดคล้องกบั (x – (- 2) )2 = 16(y – 0)
(y – k)2 = 4p(x – h)
สอดคล้องกบั (x – h)2 = 4p(y – k)

y2 + 5x– 24y +119 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0
วธิ ีทา y2 – 24y = - 5x – 119
วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4
y2–24y+(12)2 = -5x–119+(12)2 x2 + 4x + 22 = 16y – 4+ 22
(y – 12)2 = -5x–119 + 144 (x + 2)2 = 16y
(y – 12)2 = - 5x + 25 (x – (- 2) )2 = 16(y – 0)
(y – 12)2 = - 5(x – 5)
สอดคล้องกบั (x – h)2 = 4p(y – k)
สอดคล้องกบั (y – k)2 = 4p(x – h)

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 5

เร่ือง ภาคตดั กรวย

ตัวอย่าง 2 จงหาจดุ ยอด จดุ โฟกสั ความยาวลาตสั เรกตมั และสมการเส้นบงั คบั
จากสมการพาราโบลาทกี่ าหนดให้ในแต่ละข้อ พร้อมกบั เขียนกราฟด้วย

x2 + 4x – 16y + 4 = 0
วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4

x2 + 4x + 22 = 16y – 4 + 22
(x + 2)2 = 16y

(x – (- 2) )2 = 16(y – 0)
ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ (x – h)2 = 4p(y – k)

ดงั น้นั จะได้ h = - 2 , k = 0

และ 4p = 16

p = 4 p > 0 (รูปหงาย)

จุดยอด คือ v(h , k) = v(- 2 , 0) ตอบ

จุดโฟกสั คือ F(h , k + p) = F(- 2 , 0 + 4)

= F(-2 , 4) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตัม = 4 p = 16 = 16 หน่วย ตอบ

สมการของเส้นบังคบั คือ y = k – p = 0 – 4 = - 4

หรือ y+4 = 0 ตอบ

เขยี นกราฟได้ดงั นี้ Y

F4 X
(-2,4)

(-2,0) 0

-4

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 6

เรื่อง ภาคตดั กรวย

y2 + 12x – 48 = 0

วธิ ีทา y2 + 12x – 48 = 0

y2 = - 12x + 48

(y – 0)2 = - 12(x – 4)

ซึ่งสอดคล้องกบั (y – k)2 = 4p(x – h)

ซ่ึงจะได้ h = 4, k = 0

และ 4p = - 12

p = −12 = - 3 < 0 (รูปเปิ ดไปทางซ้าย)
4

จุดยอด คือ v(h, k) = v(4 , 0) ตอบ

จุดโฟกสั คือ F(h + p, k) = F(4 + (- 3) , 0) = F(1 ,0) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตัม = 4p = −12 =12 หน่วย ตอบ

สมการของเส้นบังคบั คือ x = h – p = 4 – (- 3) = 7

หรือ x – 7 = 0 ตอบ

เขยี นกราฟได้ดังนี้ Y

F(-4,0) (-1,0) 0 X

7

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 7

เร่ือง ภาคตัดกรวย

พาราโบลาขนานกบั แกน x พาราโบลาขนานกบั แกน y
y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F = 0

ตัวอย่าง 3 จากข้อ 1-4 จงหาสมการของพาราโบลา
ทส่ี อดคล้องกบั เง่ือนไขทกี่ าหนดให้ในแต่ละข้อ

จุดยอด (2 ,3) และ จุดโฟกสั (6 , 3)

วธิ ีทา จากจดุ ยอด (2 ,3) และ จดุ โฟกสั (6 , 3) แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x

ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ (y – k)2 = 4p(x – h) --------- 

จากโจทย์ จะได้ P = 6 − 2 = 4 = 4
แทนค่า h = 2 , k = 3 และ p = 4 ใน  จะได้
(y – 3)2 = 4(4) (x – 2)
y2 – 6y + 9 = 16x – 32
y2 – 16x – 6y + 41 = 0 ซ่ึงเป็ นสมการพาราโบลาทต่ี ้องการ

จุดยอด (2 , 0) และจุดโฟกสั (2 ,2)

เนื่องจากจดุ ยอดของพาราโบลา คือ (2 , 0) และจดุ โฟกสั (2 , 2)
ดังน้นั แกนของพาราโบลา ขนานกบั แกน y ซ่ึงสอดคล้องกบั สมการ

(x – h)2 = 4p(y – k) ------------
จากโจทย์ จะได้ P = 2 − 0 = 2 = 2

แทนค่า h = 2 , k = 0 และ p = 2 ใน  จะได้
(x – 2)2 = 4(2) (y – 0)

x2 – 4x + 4 = 8y
x2 – 4x – 8y + 4 = 0 ซึ่งเป็ นสมการพาราโบลาทต่ี ้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 8

เรื่อง ภาคตดั กรวย

จุดยอด (0 ,2) ความยาวลาตัสเรกตมั 6 หน่วย และรูปพาราโบลาเปิ ดไปทางขวา

วิธีทา พาราเปิ ดไปทางขวา ดงั น้ันแกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x

ซ่ึงสอดคล้องกบั สมการ (y – k)2 = 4p(x – h) ------------

เพราะว่า ความยาวลาตสั เรกตัม = 6 4p =6

เพราะว่าพาราโบลาเปิ ดไปทางขวา ดังน้นั P > 0 จะได้

4P = 6

P=6=3
42

แทนค่า h = 0 , k = 2 และ p = 3 ใน  จะได้
2

(y – 2)2 = 4 3 (x – 0)
 2 

y2 – 4y + 4 = 6x

y2 – 6x – 4y + 4 = 0 เป็ นสมการของพาราโบลาทตี่ ้องการ

จุดโฟกสั (-4 ,-5) ความยาวลาตัสเรกตมั 12 หน่วย และรูปพาราโบลาเป็ นรูปหงาย
วธิ ีทา พาราโบลาหงาย สอดคล้องกบั สมการ (x – h)2 = 4p(y – k) --------

จากโจทย์ ความยาวลาตัสเรกกตัม = 12 4P =12
เพราะว่าพาราโบลาเป็ นรูปหงาย ดังน้นั P > 0 จะได้

4P = 12

P=3

เน่ืองจาก จุดโฟกสั คือ F(h ,k + p) = F(- 4 , - 5 )
ดงั น้นั จะได้ k + p = -5

k + 3 = -5
k = -5-3 = -8

แทนค่า h = - 4 , k = -8 , p = 3 ใน  จะได้
(x – (- 4) )2 = 4(3) (y- (- 8))
(x + 4)2 = 12(y + 8)
x2 + 8x + 16 = 12y + 96

x2 + 8x – 12y – 80 = 0 ซึ่งเป็ นสมการของพาราโบลาท่ีต้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 9

เรื่อง ภาคตัดกรวย

ตัวอย่าง4 ข้อ 1–2 จงหาสมการของพาราโบลาท่ีผ่านจดุ 3 จดุ ในแต่ละข้อ

แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x; ผ่านจุด (0,1) , (0,-3) และ (3, 0)

วธิ ีทา แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x สอดคล้องกบั สมการ

y2 + Dx + Ey + F = 0 --------------------

ผ่านจดุ (0,1) ดงั น้นั แทนค่า x = 0 , y = 1 ใน  จะได้

12+ E + F = 0

E + F = -1 --------------------

ผ่านจุด (0,-3) ดงั น้นั แทนค่า x = 0 , y = - 3 ใน  จะได้

(-3)2 – 3E + F = 0

- 3E + F = - 9 --------------------

ผ่านจดุ (3,0) ดงั น้นั แทนค่า x = 3 , y = 0 ใน  จะได้

02 + 3D + F = 0

3D + F = 0 --------------------

-  จะได้ 4E = 8

E=2

แทนค่า E = 2 ใน  จะได้

2+F = -1

F = -1–2 = -3

แทนค่า F = - 3 ใน  จะได้

3D – 3 = 0

3D = 3

D=1

แทนค่า D = 1, E = 2, F = - 3 จะได้

y2 + x + 2y – 3 = 0 ซ่ึงเป็ นสมการพาราโบลาท่ตี ้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 10

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y; ผ่านจดุ (1,1) , (1,-3) และ (-2,0)

วธิ ีทา แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y สอดคล้องกบั สมการ

x2 + Dx + Ey + F = 0 --------------------

ผ่านจดุ (1,1) ดังน้นั แทนค่า x = 1, y = 1 ใน  จะได้

12 + D + E + F = 0

D + E + F = - 1 --------------------

ผ่านจุด (1,-3) ดังน้นั แทนค่า x = 1, y = - 3 ใน  จะได้

12 + D – 3E + F = 0

D – 3E + F = - 1 --------------------

ผ่านจดุ (-2, 0) ดังน้นั แทนค่า x = - 2, y = 0 ใน  จะได้

(-2)2 – 2D + F = 0

- 2D + F = - 4 --------------------

 -  จะได้ 4E = 0

E=0

 -  จะได้ 3D – 3E = 3 --------------------

แทนค่า E = 0 ใน  จะได้

3D – 3(0) = 3

3D = 3

D=1

แทนค่า D = 1, E = 0 ใน  จะได้

1+0+F = -1

F = - 1 – 1 = -2

แทนค่า D = 1, E = 0, F = - 2 ใน  จะได้

x2+ x – 2 = 0 ซึ่งเป็ นสมการพาราโบลาท่ีต้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 11

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะท่ี 6 สมการในรูปทัว่ ไปของพาราโบลา

ทบทวนความรู้ พาราโบลาขนานกบั แกน y
x2 + Dx + Ey + F =
พาราโบลาขนานกบั แกน x
y2 + Dx + Ey + F = 0

 ให้นักเรียนจดั สมการของพาราโบลาให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

y2 + 5x– 24y +119 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0
วธิ ีทา
วธิ ีทา

y2 + 12x – 48 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0

วธิ ีทา วธิ ีทา

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 12

เร่ือง ภาคตดั กรวย

 จงหาจุดยอด จดุ โฟกสั ความยาวลาตสั เรกตมั และสมการเส้นบงั คบั
จากสมการพาราโบลาท่ีกาหนดให้ในแต่ละข้อ พร้อมกบั เขียนกราฟด้วย

x2 + 4x – 16y + 4 = 0
วธิ ีทา

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 13

เรื่อง ภาคตัดกรวย

y2 + 12x – 48 = 0
วธิ ีทา

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 14

เรื่อง ภาคตัดกรวย

 จงหาสมการของพาราโบลา ทส่ี อดคล้องกบั
เง่ือนไขท่ีกาหนดให้ในแต่ละข้อ

จุดยอด (2 ,3) และ จุดโฟกสั (6 , 3)

วธิ ีทา

จุดยอด (2 , 0) และจุดโฟกสั (2 ,2)

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 15

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 6 สมการในรูปทัว่ ไปของพาราโบลา

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบท่ีถกู ตอ้ งท่ีสุดเพยี งขอ้ เดียวและทาเครื่องหมาย X
ลงในกระดาษคาตอบ

1. ขอ้ ใดไม่ถูกตอ้ งเกี่ยวกบั พาราโบลา y2 + 12x – 48 = 0

1. ความยาวลาตสั เรกตมั เทา่ กบั 12 2. จุดยอดคือ ( 4 , 0 )

3. สมการไดเรกตริกซ์คือ y = 1 4. โฟกสั คอื ( 1 , 0 )

2. พาราโบลามีจุดยอดอยทู่ ี่ (-1 , 2 ) และไดเรกตริกซ์ คือ x – 3 = 0 มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 – 4y +16x + 20 = 0 2. y2 + 4y +16x – 12 = 0

3. x2 – 4x +16y + 20 = 0 4. x2 + 4x +16y – 12 = 0

3. ขอ้ ใดไม่ถูกตอ้ งเกี่ยวกบั พาราโบลา x2 + 4x – 16y + 4 = 0
1. สมการไดเรกตริกซ์คือ y = – 4 2. จุดยอด คือ (–2, 3)
3. ความยาวลาตสั เรกตมั เท่ากบั 16 หน่วย 4. จุดโฟกสั คอื (–2, 4)

4. พาราโบลามีจุดยอดอยทู่ ่ี (2 ,3) และ จุดโฟกสั (6 , 3) มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 – 6y – 16x + 41 = 0 2. x2 – 6x – 16y + 41 = 0

3. y2 + 6y – 16x – 23 = 0 4. x2 + 6x – 16y – 23 = 0

5. สมการพาราโบลาที่มีจุดยอด (0 ,2) ความยาวลาตสั เรกตมั 8 หน่วย

และรูปเปิ ดไปทางขวา ตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 + 4y + 16x + 4 = 0 2. x2 + 4x + 16y + 4 = 0

3. y2 – 4y – 16x + 4 = 0 4. x2 – 4x – 16y + 4 = 0

6. พาราโบลามีจุดยอด (- 1, 2) แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y และผา่ นจุด (3 , 6)

มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 – 2y – 4x – 7 = 0 2. x2 – 2x – 4y – 7 = 0

3. y2 + 2y – 4x + 9 = 0 4. x2 + 2x – 4y + 9 = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 16

เร่ือง ภาคตดั กรวย

7. จากกราฟของพาราโบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 + 8x – 12y – 40 = 0
2. x2 – 8x – 12y + 40 = 0
3. y2 – 8y – 12x + 40 = 0
4. y2 + 8y – 12x – 40 = 0

8. จากกราฟของพาราโบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. y2 + 4y – 20x + 36 = 0
2. y2 – 4y – 20x – 36 = 0
3. x2 + 4x – 20y + 36 = 0
4. x2 – 4x – 20y – 36 = 0

9. จากกราฟของพาราโบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. x2 + 2x + 8y – 23 = 0
2. x2 – 2x + 8y – 24 = 0
3. y2 + 2y + 8x – 23 = 0
4. y2 – 2y + 8x – 24 = 0

10. จากกราฟของพาราโบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 + 6x – 20y + 100 = 0
2. x2 – 6x – 20y + 109 = 0
3. y2 + 6y – 20x + 100 = 0
4. y2 – 6y – 20x + 109 = 0

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 17

เร่ือง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะที่ 6 สมการในรูปทัว่ ไปของพาราโบลา

เฉลย

พาราโบลาขนานกบั แกน x พาราโบลาขนานกบั แกน y
y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F =

จดั สมการของพาราโบลาให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

y2 + 5x– 24y +119 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0
วธิ ีทา y2 – 24y = - 5x – 119
วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4
y2–24y+(12)2 = -5x–119+(12)2 x2 + 4x + 22 = 16y – 4+ 22
(y – 12)2 = -5x–119 + 144 (x + 2)2 = 16y
(y – 12)2 = - 5x + 25 (x – (- 2) )2 = 16(y – 0)
(y – 12)2 = - 5(x – 5)
สอดคล้องกบั (x – h)2 = 4p(y – k)
สอดคล้องกบั (y – k)2 = 4p(x – h)

y2 + 12x – 48 = 0 x2 + 4x – 16y + 4 = 0

วธิ ีทา y2 = - 12x + 48 วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4
(y – 0)2 = - 12(x – 4) x2 + 4x + 22 = 16y – 4+ 22
(x + 2)2 = 16y
สอดคล้องกบั (x – (- 2) )2 = 16(y – 0)
(y – k)2 = 4p(x – h)
สอดคล้องกบั (x – h)2 = 4p(y – k)

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 18

เร่ือง ภาคตัดกรวย

 จงหาจดุ ยอด จุดโฟกสั ความยาวลาตสั เรกตมั และสมการเส้นบังคบั
จากสมการพาราโบลาท่ีกาหนดให้ในแต่ละข้อ พร้อมกบั เขียนกราฟด้วย

x2 + 4x – 16y + 4 = 0

วธิ ีทา x2 + 4x = 16y – 4

x2 + 4x + 22 = 16y – 4 + 22

(x + 2)2 = 16y

(x – (- 2) )2 = 16(y – 0)

ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ (x – h)2 = 4p(y – k)

ดังน้นั จะได้ h = - 2 , k = 0

และ 4p = 16

p = 4 p > 0 (รูปหงาย)

จุดยอด คือ v(h , k) = v(- 2 , 0) ตอบ

จุดโฟกสั คือ F(h , k + p) = F(- 2 , 0 + 4)

= F(-2 , 4) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตมั = 4 p = 16 = 16 หน่วย ตอบ

สมการของเส้นบังคบั คือ y = k – p = 0 – 4 = - 4

หรือ y+4 = 0 ตอบ

เขียนกราฟได้ดังนี้ Y

F4
(-2,4)

X

(-2,0) 0

-4

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 19

เรื่อง ภาคตัดกรวย

y2 + 12x – 48 = 0

วธิ ีทา y2 + 12x – 48 = 0

y2 = - 12x + 48

(y – 0)2 = - 12(x – 4)

ซ่ึงสอดคล้องกับ (y – k)2 = 4p(x – h)

ซ่ึงจะได้ h = 4, k = 0

และ 4p = - 12

p = −12 = - 3 < 0 (รูปเปิ ดไปทางซ้าย)
4

จุดยอด คือ v(h, k) = v(4 , 0) ตอบ

จุดโฟกสั คือ F(h + p, k) = F(4 + (- 3) , 0) = F(1 ,0) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตัม = 4p = −12 =12 หน่วย ตอบ

สมการของเส้นบงั คบั คือ x = h – p = 4 – (- 3) = 7

หรือ x – 7 = 0 ตอบ

เขยี นกราฟได้ดงั นี้ Y

F(-4,0) (-1,0) 0 X

7

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 20

เร่ือง ภาคตัดกรวย

 จงหาสมการของพาราโบลา ทสี่ อดคล้องกบั
เง่ือนไขที่กาหนดให้ในแต่ละข้อ

จุดยอด (2 ,3) และ จุดโฟกสั (6 , 3)

วธิ ีทา จากจุดยอด (2 ,3) และ จดุ โฟกสั (6 , 3) แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x

ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ (y – k)2 = 4p(x – h)

จากโจทย์ จะได้ P = 6 − 2 = 4 = 4
แทนค่า h = 2 , k = 3 และ p = 4 ใน  จะได้
(y – 3)2 = 4(4) (x – 2)
y2 – 6y + 9 = 16x – 32
y2 – 16x – 6y + 41 = 0 ซ่ึงเป็ นสมการพาราโบลาท่ตี ้องการ

จุดยอด (2 , 0) และจุดโฟกสั (2 ,2)

เนื่องจากจดุ ยอดของพาราโบลา คือ (2 , 0) และจดุ โฟกสั (2 , 2)
ดังน้นั แกนของพาราโบลา ขนานกบั แกน y ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ

(x – h)2 = 4p(y – k)
จากโจทย์ จะได้ P = 2 − 0 = 2 = 2

แทนค่า h = 2 , k = 0 และ p = 2 ใน  จะได้
(x – 2)2 = 4(2) (y – 0)

x2 – 4x + 4 = 8y
x2 – 4x – 8y + 4 = 0 ซึ่งเป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 21

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะที่ 6 สมการในรูปทวั่ ไปของพาราโบลา

ข้อท่ี เฉลย

13
21
32
41
53
64
72
84
93
10 4

แลว้ พบกนั
เลม่ ที่ 7 นะจะ๊

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 22

เรื่อง ภาคตัดกรวย

กนกวลี อุษณกรกุล, ปาจรี วชั ชวลั คแุ ละสุเทพ บญุ ซอ้ น, ดร. หนงั สือเรียน สาระการเรียนรู้
เพม่ิ เติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2. บริษทั อกั ษรเจริญ
ทศั น์ อจท. จากดั : กรุงเทพมหานคร, พมิ พค์ ร้ังท่ี 3, 2547.

กิตติคณุ ยพุ ิน พพิ ิธกุล และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ วิเคราะหค์ ณิตศาสตร์ ม.4
เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พ.ว.), 2550.

_______. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีเน้นผเู้ รียนเป็นสาคญั คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 1. กรุงเทพฯ :
พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ (พ.ว.), 2548.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, แบบฝึกมาตรฐานการแมค็ คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 2 ช่วงช้นั ท่ี 4
(ม.4 - ม.6) เลม่ ที่ 2 ม.4 ภาคเรียนท่ี 2. บริษทั สานกั พมิ พแ์ มค็ จากดั : กรุงเทพมหานคร,
2548.

ประทีป โรจนวิภาต. สัมฤทธ์ิมาตรฐานคณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี : ไทยร่มเกลา้ , 2545.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม

คณิตศาสตร์ เลม่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4. หลกั สูตร
การศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. โรงพิมพค์ ุรุสภาลาดพร้าว: กรุงเทพมหานคร,
พิมพค์ ร้ังท่ี 3, 2552.
สมยศ ววิ ฒั นปฐพี, ผชู้ ่วยศาสตราจารย,์ มาลินทร์ อิทธิรส, ผชู้ ่วยศาสตราจารย์ และอนนั ทศิลป์
รุจิเรจ, อาจารย.์ หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้พ้ืนฐาน คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2544.
สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.): กรุงเทพมหานคร, พิมพค์ ร้ังที่ 1, 2547.
สุนนั ท์ ปัทมพรหม และคณะ. ส่ือการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะตามมาตรฐานการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ 1. กรุงเทพฯ : นิยมวทิ ยา, 2546.
สาราญ มีแจง้ และรังสรรค์ มณีเลก็ . สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 สมบูรณ์แบบ.
กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช, 2547.