แบบฝึกทักษะเล่ม7

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 3

เร่ือง ภาคตดั กรวย

จุดประสงค์การเรียนรู้

 นกั เรียนสามารถเขียนสมการมาตรฐานและกราฟ
ของวงรีที่มีจุดศูนยก์ ลางที่จุด (0, 0)ได้

 นกั เรียนสามารถหาจุดโฟกสั จุดปลายแกนเอกและ
จุดปลายแกนโทของวงรีที่มีจุดศูนยก์ ลางท่ีจุด (0, 0)ได้

วงรี (Eclipse) คือ เซตของจุดทุกจดุ บนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ
ในเซตนไี้ ปยงั จุดคงที่ 2 จุด มีค่าคงตัว โดยค่าคงตวั น้นั มากกว่าระยะห่างระหว่างจดุ คงที่

น้นั

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ ก

เร่ือง ภาคตัดกรวย

คานา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 จดั ทาข้ึนเพ่ือเสริมหรือ
พฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรียนและเป็นแนวทางสาหรับครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียน
การสอนให้กับนักเรียนระดับช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4 เรื่อง ภาคตัดกรวย โดยในเล่มน้ีเป็ นชุดที่ 7
เรื่อง วงรีที่มีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (0,0)

เน้ือหาในชุดท่ี 7 น้ี เนน้ ให้นกั เรียนรู้จกั บทนิยามของพาราโบลา สมการ และส่วนประกอบ
ของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ซ่ึงประกอบด้วย คาช้ีแจงสาหรับครู คาแนะนาสาหรับ
นกั เรียน จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ และ
แบบทดสอบหลงั เรียน

ผูจ้ ัดทาหวงั เป็ นอย่างยิ่งว่าแบบฝึ กทักษะเล่มน้ีจะเอ้ืออานวยประโยชน์แก่นักเรียนและ
ผสู้ นใจเป็นอยา่ งดี และอาจใชเ้ ป็นแนวทางในการสร้างนวตั กรรมต่อไป

อจั ฉริยา พหลทพั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข

เร่ือง ภาคตัดกรวย

สารบัญ

เรื่อง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาช้ีแจงสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3
ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 15
แบบทดสอบหลงั เรียน 21
เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 7 13
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 29
บรรณานุกรม 30

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 1

เรื่อง ภาคตดั กรวย

ช่วยอ่านคาช้ีแจงให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทกั ษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้นึ เพ่ือใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบง่ เป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดท่ี 7 วงรีท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (0,0)
สิ่งที่ครูตอ้ งช้ีแจงกบั นกั เรียนใหป้ ฏิบตั ิมีดงั น้ี

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้
2. ใหน้ กั เรียนศึกษาตวั อยา่ งในแบบฝึกทกั ษะ
3. ครูสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรียนขณะท่ีนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
4. ใหน้ กั เรียนตรวจแบบฝึกทกั ษะจากเฉลยและบนั ทึกคะแนน
5. ครูควรสรุปเพมิ่ เติมขอ้ ที่นกั เรียนทาไมถ่ ูกตอ้ ง เพอื่ ใหน้ กั เรียน

มีความเขา้ ใจมากยงิ่ ข้ึน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 2

เรื่อง ภาคตัดกรวย

เพอื่ นๆ อ่านคาแนะนาให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทักษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดท่ี 7 วงรีที่มีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (0,0)

ใหน้ กั เรียนอ่านคาแนะนา และปฏิบตั ิกิจกรรมแต่ละข้นั ตอนต้งั แตต่ น้
จนจบ นกั เรียนจะไดร้ ับความรู้อยา่ งครบถว้ น โดยปฏิบตั ิตามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ศึกษาจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพอื่ ใหท้ ราบวา่ เม่ือเรียนจบแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้ีแลว้ นกั เรียนสามารถเรียนรู้อะไรบา้ ง

2. นกั เรียนศึกษาใบความรู้และฝึกทกั ษะที่กาหนดไว้ เพ่อื ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจ
ในเน้ือหามากข้ึน

3. นกั เรียนตอ้ งมีความซ่ือสตั ยต์ ่อตนเอง ไม่ดูเฉลยก่อน ถา้ นกั เรียนขาด
ความซื่อสตั ยแ์ ลว้ จะไมป่ ระสบผลสาเร็จในการศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะน้ี

4. ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมลงในแบบฝึกทกั ษะท่ีครูแจกให้
5. เมื่อนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จแลว้ ให้ตรวจสอบคาตอบกบั เฉลย
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน แลว้ ตรวจคาตอบจากน้นั บนั ทึกคะแนน
7. การประเมินผล แบบทดสอบหลงั เรียน มีจานวน 10 คะแนนทาได้ 8 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 4

เร่ือง ภาคตดั กรวย

ใบความรู้ชุดท่ี 7 วงรีทีม่ ีจดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (0,0)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ค31202 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4

วงรี (Eclipse) คือ เซตของจุดทุกจดุ บนระนาบซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ
ในเซตนไี้ ปยังจดุ คงที่ 2 จุด มคี ่าคงตวั โดยค่าคงตวั น้นั มากกว่าระยะห่างระหว่างจดุ คงที่น้นั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 5

เร่ือง ภาคตดั กรวย

วงรีท่มี ีแกนเอกบนแกน Y สรุปลกั ษณะวงรีทม่ี ีแกนเอกบนแกน Y

หรือวงรีแนวต้งั จดุ ยอดท่ี (0, 0)
y2 x2
1) สมการมาตรฐาน a2 + b2 =1

2) และ b2 = a2 - c2 โดยท่ี a > b

3) จุดศูนย์กลางท่จี ดุ C (0, 0)

4) โฟกสั F (0, c) และ F (0, - c)

5) จดุ ยอด A (0, a) และ A( 0 , - a )

6) แกนเอกอย่บู นแกน Y

7) ผลบวกของระยะทางจากจดุ P(x, y) ใดๆบน

วงรีไปยังโฟกสั ท้ังสองเท่ากบั 2a

วงรีทม่ี แี กนเอกบนแกน X

สรุปลกั ษณะวงรีที่มีแกนเอกบนแกน X

หรือวงรีแนวนอนจดุ ยอดที่ (0, 0)
x2 y2
1) สมการมาตรฐาน a2 + b2 = 1

2) และ b2 = a2 - c2 โดยที่ a > b

3) จดุ ศูนย์กลางทจ่ี ดุ C (0, 0)

4) โฟกสั F (c, 0) และ F (- c, 0)

5) จดุ ยอด A (a, 0) และ A( -a , 0)

6) แกนเอกอย่บู นแกน X

7) ผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y)

ใดๆบนวงรีไปยังโฟกสั ท้ังสองเท่ากบั 2a

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 6

เร่ือง ภาคตดั กรวย

เปรียบเทยี บวงรีทม่ี ีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนดิ

วงรีท่ีมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุดกกาเนิด จะมีอยู่ 2 แบบ ดงั รูปขา้ งลา่ งคอื

ซ่ึงมสี มบตั ดิ งั ตารางข้างล่าง

x2 + y2 =1 สมการมาตรฐาน x2 + y2 =1
a2 b2 b2 a2
วงรีนอน ลกั ษณะกราฟ วงรีต้งั
จุดยอด
( )V2 (−a,0) และV1(a,0) จุดโฟกสั V2(0 ,−a )และV1(0 , a )
F 2 (0,−c ))
F 2 c1,0 และ F 1 (c ,0) จุดปลายแกนโท และF 1 (0,c )

B (0,−b ) และ B (0, b ) แกนหลกั (แกนเอก) B (− b ,0) และ
แกนรอง(แกนโท)
ความยาวแกนหลกั B (b ,0)
ความยาวแกนรอง
V1V2 V1V2
ความยาวส้นั ลาตสั เรกตมั
B B B B
2a ความสมั พนั ธ์ของ 2a
2b a,b,c
2b 2 2b
a 2b 2

a2 =b2 +c2 a

a2 =b2 +c2

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 7

เร่ือง ภาคตัดกรวย

ตวั อย่าง 1 จากข้อ 1-4 จากสมการวงรี จงหา ก. ความยาวคร่ึงแกนเอก
ข. ความยาวครึ่งแกนโท ค. จุดโฟกสั ง. จุดยอด
จ. ค่า e และวาดกราฟวงรีด้วย

x2 + y2 = 1
169 144
x2 y2
วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ a2 + b2 =1 ----------

เมื่อ a > b และ b2 = a2 – c2

โดยการเทยี บกบั สมการ  จะได้

a2 = 169 ดงั น้ัน a = 169 = 13

b2 = 144 ดงั น้ัน b = 144 = 12

หาค่า c จาก b2 = a2 - c2 แทนค่า a2 =169,b2 =144

144 = 169 - c2

c2 = 169 − 144 = 25

c = 25 = 5

ดังน้นั จะได้

ก. ความยาวครึ่งแกนเอก = a = 13 หน่วย ข. ความยาวครึ่งแกนโท = b = 12 หน่วย

ค. จุดโฟกสั F(c,0) = F(5,0) ง. จดุ ยอด V( a,0) = V(13,0)

จ. ค่า e = c = 5

a 13

กราฟวงรี

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 8

เร่ือง ภาคตัดกรวย

x2 + y2 =1
8 12
x2 y2
วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ b2 + a2 =1 ----------

เม่ือ a > b และ b2 = a2 – c2

โดยการเทยี บกบั สมการ  จะได้

a2 = 12 ดังน้นั a = 12 = 2 3

b2 = 8 ดังน้นั b = 8=2 2
หาค่า c จาก b2 = a2 – c2
แทนค่า a2 = 12 , b2 = 8 จะได้

8 = 12 – c2
c2 = 12 – 8 = 4

c= 4=2
ดังน้นั จะได้

ก. ความยาวคร่ึงแกนเอก = a = 2 3 หน่วย

ข. ความยาวคร่ึงแกนโท = b = 2 2 หน่วย
ค. จดุ โฟกสั คือ F ( 0 ,  c ) = F ( 0 ,  2 )
ง. จุดยอด คือ v ( 0 ,  a ) = v ( 0 ,  2 3 )

จ. ค่า e = c = 2 = 1 = 3 และวาดกราฟวงรี

a 23 3 3

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 9

เรื่อง ภาคตดั กรวย

225x2 + 289y2 = 65025

วิธที า นา 65025 หารตลอด จะได้
x2 y2
ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ 2x829 + 2y225 = 1 -------------------
a2 + b2 = 1 -------------------

โดยการเทยี บสมการ  และ  จะได้

a2 = 289 ดังน้นั จะได้ a = 289 = 17
b2 = 225 ดังน้นั จะได้ b = 225 = 15
หาค่า c จาก b2 = a2 – c2

แทนค่า a2 = 289 , b2 = 225 จะได้

225 = 289 – c2
c2 = 289 – 225 = 64

c = 64 = 8

ดังน้นั จะได้

ก. ความยาวครึ่งแกนเอก = a = 17 หน่วย

ข. ความยาวคร่ึงแกนโท = b = 15 หน่วย

ค. จดุ โฟกสั คือ F ( ±c , 0 ) = F (±8 , 0 )

ง. จุดยอด คือ v (± a , 0 ) = v (± 17 , 0 )

จ. ค่า e = c = 8 และวาดกราฟวงรี

a 17

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 10

เรื่อง ภาคตัดกรวย

x2 + y2 =1 x2 + y2 =1
b2 a2 a2 b2

จดั สมการในรูปทวั่ ไป

Ax2+ By2 + F = 0

จงเขยี นสมการวงรี จากเง่ือนไขท่ีกาหนดให้

จุดโฟกสั ( 0 , 8 ) จุดยอด ( 0 ,  17 )

วิธีทา จะได้ a = 17 , c = 8 และสอดคลอ้ งกบั สมการ x2 + y2 =1--------

b2 a2

หาค่า b จาก b2 = a2 – c2

แทนคา่ a = 17 , c = 8 จะได้

b2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225

b = 225 = 15

แทนคา่ a = 17 , b = 15 ใน  จะได้

x2 + y2 =1
152 172
x2 y2
หรือ 225 + 289 = 1

289x2 + 225y2 = 65025

หรือ 289x2 + 225y2 – 65025 = 0 ซ่ึงเป็นสมการวงรีที่ตอ้ งการ ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 11

เรื่อง ภาคตดั กรวย

ความยาวลาตัสเรกตมั = 5 และ จุดยอด ( 10 , 0 )

วธิ ีทา จากโจทย์ จุดยอด v ( 10 , 0 ) จะได้ a = 10

และสอดคล้องกับสมการ

x2 + y2 =1 ----------------------
a2 b2

เพราะว่า ความยาวลาตสั เรกตมั = 5

2b2 = 5
a
2b2 = 5 ( a = 10)
10
2b2 = 510 = 50

b2 = 50 = 25
2

b = 25 = 5

แทนค่า a = 10 , b = 5 ใน  จะได้

x2 + y2 =1
102 52
x2 y2
100 + 25 = 1

x2 + 4y2 = 100

หรือ x2 + 4y2 – 100 = 0 ซึ่งเป็ นสมการวงรีทีต่ ้องการ

ตอบ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 12

เรื่อง ภาคตดั กรวย

จุดโฟกสั ( 0 , 6 ) ความยาวครึ่งแกนโท 8

วธิ ีทา จากโจทย์ จุดโฟกสั ( 0 ,  6 ) จะได้ c = 6 และ

สอดคล้องกบั สมการ

x2 + y2 =1 -------------------------
b2 a2

เพราะว่า ความยาวคร่ึงแกนโท = 8

ดังน้ัน b = 8

หาค่า a

จาก b2 = a2 – c2

แทนค่า b = 8 , c = 6 จะได้

82 = a2 – 62

a2 = 64 + 36 = 100

a = 100 = 10

แทนค่า a = 10 , b = 8 ใน  จะได้

x2 y2 =1
82 + 102
x2 y2
64 + 100 = 1

25x2 + 64y2 = 1600

หรือ 25x2 + 64y2 – 1600 = 0

ซึ่งเป็ นสมการวงรีทีต่ ้องการ ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 13

เรื่อง ภาคตัดกรวย

จุดโฟกสั ( 5 , 0 ) , e = 5
8

วธิ ีทา จากโจทย์ จุดโฟกสั F ( 5 , 0 ) จะได้ c = 5

และสอดคล้องกบั สมการ

x2 + y2 =1 ------------------------
a2 b2

จาก e = 5
8

c = 5
a 8

5 = 5
a 8

a=8

หาค่า b

จาก b2 = a2 – c2

แทนค่า a = 8 , c = 5 จะได้

b2 = 82 – 52 = 64 – 25 = 39

b = 39

แทนค่า a = 8 , b = 39 ใน  จะได้

x2 + 82 = 1
82 ( 39 )2

x2 + y2 =1
64 39

39x2 + 64 y2 = 2496

หรือ 39x2 + 64y2 – 2496 = 0

ซึ่งเป็ นสมการวงรีทต่ี ้องการ ตอบ

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 14

เร่ือง ภาคตัดกรวย

จงหาจดุ โฟกสั ค่า e ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโทของวงรี 9x 2 + 5y 2 − 45 = 0

วธิ ีทา 9x2 + 5y2 = 45

x2 + y2 =1
5 9

( )x2 2 + y2 =1
5 32

จะได้ a = 3 , b = 5
เน่ืองจาก a 2 = b 2 + c 2

( )จะได้ c 2 = a 2 − b 2 = 32 − 5 2

c = 9 − 5 = 2

นัน่ คือ จดุ โฟกสั คือ จดุ (0,2) และ (0,−2)

ค่า e = c = 2
a 3

ความยาวแกนหลกั = 2a = 6 หน่วย

ความยาวแกนรอง = 2b = 2  5 = 2 5 หน่วย

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 15

เร่ือง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทักษะท่ี 7 วงรีท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ีจุด (0, 0)

ทบทวนความรู้ x2 + y2 =1
สมการของวงรี xb22 + ya22 =1
a2 b2
แกน Y เป็ นแกนเอก

แกน X เป็ นแกนเอก

จากกราฟจงเตมิ ข้อมูลของวงรีในช่องว่างให้ถูกต้อง

1) แกนเอก............ แกนโท ..........
จุดศูนย์กลาง ............................
(-4, 0) (4, 0) จุดโฟกสั .............. และ.............
2) (0, 20 ) จดุ ยอด.............. และ................
สมการวงรีคือ
(0, - 20 )
แกนเอก............ แกนโท ..........
จดุ ศูนย์กลาง ............................
จดุ โฟกสั .............. และ.............
จดุ ยอด.............. และ................
สมการวงรีคือ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 16

เรื่อง ภาคตดั กรวย

3) แกนเอก............ แกนโท ..........
จดุ ศูนย์กลาง ............................
(-4, 0) (4, 0) จุดโฟกสั .............. และ.............
จดุ ยอด.............. และ................
4) สมการวงรีคือ

(0, 20 ) แกนเอก............ แกนโท ..........
(0, - 20 ) จุดศูนย์กลาง ............................
จุดโฟกสั .............. และ.............
5) (0, 20 ) จุดยอด.............. และ................
สมการวงรีคือ
(0, - 20 )
แกนเอก............ แกนโท ..........
6) จดุ ศูนย์กลาง ............................
จุดโฟกสั .............. และ.............
(0, -1+ 7 ) จุดยอด.............. และ................
(0,-1 - 7 ) สมการวงรีคือ

แกนเอก............ แกนโท ..........
จดุ ศูนย์กลาง ............................
จุดโฟกสั .............. และ.............
จุดยอด.............. และ................
สมการวงรีคือ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 17

เร่ือง ภาคตดั กรวย

จากสมการวงรีในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด โฟกัส

จุดปลายแกนโท และความยาวลาตัสเรกตัม

(1) x2 + y2 =1
16 9

2. x2 + y2 =1
4 9

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 18

เรื่อง ภาคตดั กรวย

(3) 3x2 + y2 = 3

(4) x2 + 4y2 = 16

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 19

เรื่อง ภาคตัดกรวย

3. จากสิ่งท่ีกาหนดให้ต่อไปนี้ จงหาสมการวงรี
(1) โฟกสั อยู่ทจี่ ดุ (3, 0) และ (–3, 0) และผลบวกของระยะจากจุดใดๆ
ไปยังโฟกสั ท้งั สอง (ผลบวกค่าคงตวั ) เท่ากบั 8 หน่วย

(2) โฟกสั อย่ทู ่จี ดุ (0, 4) และ (0, –4) และผลบวกของระยะจากจุดใดๆ

ไปยังโฟกสั ท้งั สอง (ผลบวกค่าคงตัว) เท่ากบั 10 หน่วย

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 20

เรื่อง ภาคตัดกรวย

(3) จุดยอดอย่ทู ีจ่ ุด (5, 0) และ (–5, 0) โฟกสั จุดหน่งึ อย่ทู ี่ (2, 0)

(4) โฟกสั อย่ทู ่จี ุด (3, 0) และ (–3, 0) แกนเอกยาว 8 หน่วย

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 21

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะที่ 7 วงรีทม่ี ีจุดศูนย์กลางท่ีจุด (0, 0)

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบท่ีถกู ตอ้ งที่สุดเพียงขอ้ เดียวและทาเครื่องหมาย X

ลงในกระดาษคาตอบ
1. จากสมการวงรี 9x 2 +16y 2 = 144 มีความเย้อื งศูนยก์ ลางเทา่ ไร
4 5
1. 3 2. 4

3. 7 4. 7
4 4
2. สมการวงรีที่มีผลบวกคงท่ี 6 หน่วยและมีจุดโฟกสั อยทู่ ่ี (2,0) คอื ขอ้ ใด
x2 y2 x2 y2
1. x92 + y42 =1 2. x92 + y52 =1
3. 6 + 5 =1 4. 6 + 4 =1

3.จากสมการวงรี 25x2 + 16y2 = 400 ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ตอ้ ง

1. จุดศูนยก์ ลาง คือ C (0,0) 2. จุดยอด คือ V(0,5) และ V(0, -5)

3. จุดปลายแกนโท B(4, 0)และ B (-4, 0) 4. โฟกสั F(3, 0) และF (-3, 0)
x2 y2
4. จากสมการวงรี 36 + 16 =1 ขอ้ ใดไม่ถูกตอ้ ง

1. โฟกสั อยทู่ ี่จุด (  2 5 , 0) 2. จุดยอดอยทู่ ่ีจุด ( 0 , 6 )

3. แกนเอกยาว 12 หน่วย 4. แกนโทยาว 8 หน่วย

5. วงรีท่ีมีโฟกสั อยทู่ ี่ ( 3 , 0 ) จุดยอดจุดหน่ึงอยทู่ ่ี ( 5 , 0 ) สมการของวงรี คือขอ้ ใด
x2 y2 x1x2692++y2y22525==11
1. x225 + y126 =1 2.
3. 9 + 25 =1 4.

6. วงรีท่ีมีจุดยอด(4,0) และ(-4,0) มีโฟกสั จุดหน่ึงอยทู่ ี่ (3,0) สมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. 7x2 + 16y2 = 112 2. 7x2 + 14y2 = 98

3. 16x2 + 7y2 = 112 4. 14x2 + 7y2 = 98

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 22

เร่ือง ภาคตดั กรวย

7. กาหนดสมการ x2 + y2 =1 จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
9 3
1) กราฟของสมการเป็นวงรีท่ีมีจุดยอดอยทู่ ่ีจุด (3,0 ) กบั (-3,0 )

2) กราฟของสมการเป็นวงรีท่ีมีจุดปลายแกนโทอยทู่ ่ีจุด ( 3 ,0 ) กบั (- 3 ,0 )

3) กราฟของสมการเป็นวงรีท่ีมีโฟกสั อยทู่ ่ีจุด ( 6 ,0 ) กบั (- 6 ,0 )

ขอ้ ใดสรุปถูกตอ้ ง

1. มีขอ้ ถกู 1 ขอ้ 2. มีขอ้ ถกู 2 ขอ้

3. ถกู ท้งั 3 ขอ้ 4. ผิดท้งั 3 ขอ้

8. ถา้ จุดยอดของวงรีอยทู่ ี่จุด (0 ,  4 ) วงรีผา่ นจุด (2 , 0 ) โฟกสั ของวงรีจะอยทู่ ่ีจุดใด

1. (  12 , 0) 2. ( 0 ,  12 )

3. (12 , 0 ) 4. ( 0 ,  12 )

9. จากกราฟของวงรี ที่ มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด x2 y2
x92 y42
1. x126 + y225 =1
2. x225 + y126 =1
3. 9 + 25 =1
4. + =1

10. จากกราฟของวงรี ท่ี มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด 1. x2 ++++yyy22422255y92===111=
2. x92
3. x126 1
4. 2x25
9

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 23

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะที่ 7 วงรีทมี่ ีจุดศูนย์กลางที่(0, 0)

เฉลย

1. จากรูปวงรี จงเตมิ ข้อความให้ถกู ต้อง แกนเอก.แ..ก..น....X... แกนโท ..แ..ก..น....Y

1) จุดศูนยก์ ลาง ......(..0..,.0..)...............
จุดโฟกสั ...(.-..4..,.0..)... และ.(.4..,.0..)......
(-5, 0) (-4, 0) (4, 0) (5, 0)
จุดยอด...(.-..5..,.0..)... และ....(.5..,.0..)......
2) (0, 20 ) x2 y2
สมการวงรีคอื 25 + 9 =1
(0, - 20 )
แกนเอก.แ..ก..น....Y....แกนโท ..แ..ก...น...X
3)
จุดศนู ยก์ ลาง ......(.0...,.0..)............
(-4, 0) (4, 0) จุดโฟกสั ...(.0..,.-.4..).....และ.....(.0..,.4..)..
จุดยอด..(.0..,..-......2. 0 ) และ........(.0..,..... 20 )
4) x2 y2
สมการวงรีคือ + 20 =1
(0, 20 ) 4
(0, - 20 )
แ.ก...น...เอ...ก....แ....ก....น........Y........แ...ก..น...โ..ท.......แ....ก......น......X........

จุดศนู ยก์ yลYาง ....(..0..,.0..)..............

จุดโฟกสั ...(.0..,.-.3..).... และ....(.0..,.3..)...

จุดยอด...(.0..,.-.5..).... และ.....(..0..,.5..)....
x2 y2
สมการวงรีคือ 16 + 25 =1

......................................................

..แกนเอก..แ...ก..น....X..แกนโท ....แ..ก..น.. Y
จุดศูนยก์ ลาง .....(.0..,.0..)............

จุดโฟกสั ...(.-.4..,.0..).... และ.....(.4..,.0..)..

จุดยอด.(..-.6..,.0..). และ.....(..6..,.0..)....
x2 y2
สมการวงรีคอื 36 + 20 =1

......................................................

..

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 24

เร่ือง ภาคตดั กรวย

5) (0, 20 ) แกนเอกแ..ก..น....Y.... แกนโท ....แ..ก..น.. X

(0, - 20 ) จุดศูนยก์ ลาง .....(..0.,..0..)..............
6) (0, -1+ 7 ) จุดโฟกสั ..(.0..,.-.2..)..... และ.......(.0..,.2..)

(0,-1 - 7 ) จุดยอด..(..0..,..-......20 ) และ.....(.0..,.......2.0 )
x2 y2
2. สมการวงรีคอื 16 + 20 =1

แ...ก..น...เ.อ..ก........แ....ก.....น.......X....แ..ก..น...โ..ท...........แ....ก.....น.....Y.....
จุดศนู ยก์ ลาง .....(..3.,.-..1..)............
จุดโฟกสั ..(.0..,.-.1..)..... และ....(.6..,.-.1..)..

จุดยอด.(..-.1..,.-.1..).... และ...(..7..,.-.1..).....
(x - 3)2 +1)2
สมการวงรีคือ 16 + (y 7 =1

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 25

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 26

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 27

เรื่อง ภาคตัดกรวย

3.

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 28

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 29

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะที่ 7 วงรีทม่ี จี ุดศูนย์กลางท่ี(0, 0)

ข้อท่ี เฉลย
1
2 4
3 2
4 4
5 2
6 1
7 1
8 2
9 2
10 4
3
แลว้ พบกนั
เล่มท่ี 8 นะจ๊ะ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 30

เรื่อง ภาคตัดกรวย

กนกวลี อุษณกรกุล, ปาจรี วชั ชวลั คแุ ละสุเทพ บญุ ซอ้ น, ดร. หนงั สือเรียน สาระการเรียนรู้
เพม่ิ เติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2. บริษทั อกั ษรเจริญ
ทศั น์ อจท. จากดั : กรุงเทพมหานคร, พมิ พค์ ร้ังที่ 3, 2547.

กิตติคณุ ยพุ ิน พพิ ธิ กุล และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ วิเคราะหค์ ณิตศาสตร์ ม.4
เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พ.ว.), 2550.

_______. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีเน้นผเู้ รียนเป็นสาคญั คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 1. กรุงเทพฯ :
พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ (พ.ว.), 2548.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, แบบฝึกมาตรฐานการแมค็ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 2 ช่วงช้นั ท่ี 4
(ม.4 - ม.6) เลม่ ที่ 2 ม.4 ภาคเรียนท่ี 2. บริษทั สานกั พมิ พแ์ มค็ จากดั : กรุงเทพมหานคร,
2548.

ประทีป โรจนวิภาต. สัมฤทธ์ิมาตรฐานคณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี : ไทยร่มเกลา้ , 2545.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม

คณิตศาสตร์ เลม่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4. หลกั สูตร
การศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว: กรุงเทพมหานคร,
พิมพค์ ร้ังท่ี 3, 2552.
สมยศ ววิ ฒั นปฐพ,ี ผชู้ ่วยศาสตราจารย,์ มาลินทร์ อิทธิรส, ผชู้ ่วยศาสตราจารย์ และอนนั ทศิลป์
รุจิเรจ, อาจารย.์ หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้พ้ืนฐาน คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2544.
สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.): กรุงเทพมหานคร, พิมพค์ ร้ังที่ 1, 2547.
สุนนั ท์ ปัทมพรหม และคณะ. ส่ือการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะตามมาตรฐานการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ 1. กรุงเทพฯ : นิยมวทิ ยา, 2546.
สาราญ มีแจง้ และรังสรรค์ มณีเลก็ . สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 สมบูรณ์แบบ.
กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช, 2547.