แบบฝึกทักษะเล่ม4

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 3

เร่ือง ภาคตัดกรวย

จุดประสงค์การเรียนรู้

 นกั เรียนสามารถเขียนสมการมาตรฐานและกราฟ
ของพาราโบลาท่ีมีจุดยอดท่ีจุด (0, 0)ได้

 นกั เรียนสามารถหาจุดโฟกสั เส้นไดเรกตริกซ์และ
เส้นกากบั ของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0, 0)ได้

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ ก

เรื่อง ภาคตัดกรวย

คานา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 จดั ทาข้ึนเพ่ือเสริมหรือ
พฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรียนและเป็นแนวทางสาหรับครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียน
การสอนให้กับนักเรียนระดับช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 เรื่อง ภาคตัดกรวย โดยในเล่มน้ีเป็ นชุดที่ 4
เร่ือง พาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยทู่ ่ี (0,0)

เน้ือหาในชุดท่ี 4 น้ี เนน้ ใหน้ กั เรียนรู้จกั บทนิยามของพาราโบลา สมการ และส่วนประกอบ
ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยทู่ ่ี (0,0) ซ่ึงประกอบดว้ ย คาช้ีแจงสาหรับครู คาแนะนาสาหรับนกั เรียน
จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึ กทักษะ เฉลยแบบฝึ กทักษะ และ
แบบทดสอบหลงั เรียน

ผูจ้ ดั ทาหวงั เป็ นอย่างยิ่งว่าแบบฝึ กทักษะเล่มน้ีจะเอ้ืออานวยประโยชน์แก่นักเรียนและ
ผสู้ นใจเป็นอยา่ งดี และอาจใชเ้ ป็นแนวทางในการสร้างนวตั กรรมต่อไป

อจั ฉริยา พหลทพั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข

เร่ือง ภาคตัดกรวย

สารบัญ

เรื่อง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาช้ีแจงสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3
ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 4 15
แบบทดสอบหลงั เรียน 20
เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 4 22
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 27
บรรณานุกรม 28

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 1

เร่ือง ภาคตัดกรวย

ช่วยอ่านคาชี้แจงให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทกั ษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดที่ 4 พาราโบลาที่มีจุดยอดอยทู่ ่ี (0,0)
ส่ิงท่ีครูตอ้ งช้ีแจงกบั นกั เรียนใหป้ ฏิบตั ิมีดงั น้ี

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้
2. ใหน้ กั เรียนศึกษาตวั อยา่ งในแบบฝึกทกั ษะ
3. ครูสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรียนขณะท่ีนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
4. ใหน้ กั เรียนตรวจแบบฝึกทกั ษะจากเฉลยและบนั ทึกคะแนน
5. ครูควรสรุปเพม่ิ เติมขอ้ ท่ีนกั เรียนทาไม่ถูกตอ้ ง เพ่อื ใหน้ กั เรียน

มีความเขา้ ใจมากยง่ิ ข้ึน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 2

เรื่อง ภาคตัดกรวย

เพอ่ื นๆ อ่านคาแนะนาให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทกั ษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้นึ เพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเลม่ น้ีเป็นชุดท่ี 4 พาราโบลาที่มีจุดยอดอยทู่ ่ี (0,0)

ใหน้ กั เรียนอา่ นคาแนะนา และปฏิบตั ิกิจกรรมแตล่ ะข้นั ตอนต้งั แต่ตน้
จนจบ นกั เรียนจะไดร้ ับความรู้อยา่ งครบถว้ น โดยปฏิบตั ิตามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ศึกษาจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพื่อใหท้ ราบวา่ เมื่อเรียนจบแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์เล่มน้ีแลว้ นกั เรียนสามารถเรียนรู้อะไรบา้ ง

2. นกั เรียนศึกษาใบความรู้และฝึกทกั ษะที่กาหนดไว้ เพ่อื ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจ
ในเน้ือหามากข้นึ

3. นกั เรียนตอ้ งมีความซื่อสัตยต์ ่อตนเอง ไมด่ ูเฉลยก่อน ถา้ นกั เรียนขาด
ความซ่ือสตั ยแ์ ลว้ จะไม่ประสบผลสาเร็จในการศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะน้ี

4. ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมลงในแบบฝึกทกั ษะที่ครูแจกให้
5. เม่ือนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จแลว้ ให้ตรวจสอบคาตอบกบั เฉลย
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน แลว้ ตรวจคาตอบจากน้นั บนั ทึกคะแนน
7. การประเมินผล แบบทดสอบหลงั เรียน มีจานวน 10 คะแนนทาได้ 8 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 4

เรื่อง ภาคตัดกรวย

ใบความรู้ชุดที่ 4 พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ค31202 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4

บทนยิ ามของพาราโบลา (Parabola)

พาราโบลา (Parabola) คือเซตของจุดท้งั หมดในระนาบที่ห่างจากจุด F ที่ตรึงอยกู่ บั ท่ี
จุดหน่ึงและเส้นตรง L เสน้ หน่ึงเป็นระยะทางเทา่ กนั จุดที่ตรึงอยกู่ บั ที่น้ีเรียกวา่ โฟกสั และ
เส้นตรงท่ีตรึงอยกู่ บั ที่น้ีเรียกวา่ เส้นบงั คบั หรือไดเรกตริกซ์ (Directrix) ของพาราโบลา

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 5

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 6

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 7

เรื่อง ภาคตัดกรวย

ตัวอย่าง 1 จากข้อ 1-4 จงหาจุดโฟกสั ความยาวลาตสั เรกตมั
สมการเส้นบังคบั และเขียนกราฟของพาราโบลา

y2 = 8x

วธิ ีทา จะเห็นว่าสมการ y2 = 8x เป็ นสมการพาราโบลาซ่ึงสอดคล้องกบั

สมการ y2 = 4px

จะได้ 4p = 8

p = 8 =2;(p>0)
4

ดงั น้นั จุดโฟกสั คือ F ( p , 0 ) = F ( 2 , 0 ) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตัม = 4p หน่วย
= 4(2) = 8 = 8 หน่วย
ตอบ

สมการเส้นบังคบั คือ x = - p = - 2

หรือ x + 2 = 0 ตอบ

เขยี นกราฟของพาราโบลา ได้ดังนี้

x = -2 y y2 = 8x
-2 4

F(2,0)
0 2x

-4

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 8

เร่ือง ภาคตัดกรวย

y2 = - 12x

วธิ ีทา จะเห็นว่า y2 = - 12x สอดคล้องกับสมการ y2 = 4px

จะได้ 4p = - 12

p = − 12 = -3;(p<0)
4

ดังน้ันจุดโฟกสั คือ F ( p , 0 ) = F ( - 3 , 0 ) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตมั = 4p หน่วย ตอบ
หน่วย= 4(−3) = −12 = 12

สมการเส้นบงั คบั คือ x = - p ตอบ
x = -(-3) = 3

หรือ x - 3 = 0

เขยี นกราฟของพาราโบลา y2 = -12x ได้ดงั นี้

6 x=3

F(−3,0)

03 x

-6

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 9

เร่ือง ภาคตัดกรวย

x2 = 16y

วธิ ีทา สมการพาราโบลาสอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py

จะได้ 4p = 16

p = 16 = 4 (p>0)
4

ดังน้ัน จุดโฟกสั คือ F ( 0 , p ) = F ( 0 , 4 ) ตอบ

ความยาวลาตสั เรกตัม = 4p หน่วย
หน่วย= 4(4) = 16 =16 ตอบ

สมการเส้นบงั คบั คือ y = - p = -4

หรือ y+4 = 0 ตอบ

เขยี นกราฟของพาราโบลา x2 = 16y ได้ดังนี้

y
F(0, 4)

-8 0 8
-4 xy = -4

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 10

เร่ือง ภาคตัดกรวย

x2 = - 10y

วธิ ีทา สมการของพาราโบลาซ่ึงสอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py

จะได้ 4p = - 10

p = − 10 = −5 ; ( p < 0 )
4 2

ดังน้ัน จุดโฟกสั คือ F (0, p) = F  0, −5  ตอบ
 2 

ความยาวลาตัสเรกตัม = 4p หน่วย

หน่วย=  −5  ตอบ
4  2  = −10 = 10

สมการไดเร็กทริกซ์ คือ y = -p = - ( −25) = 5
2
5
หรือ y- 2 = 0 ตอบ

y

5 5 y=5

0 5 2
2

 5  x2 = -10y
 2 
F 0, −

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 11

เร่ือง ภาคตัดกรวย

y2 = 4 (p)x x2 = 4 (p)y
y2 - 4px = 0 x2 - 4py = 0
เป็ นสมการพาราโบลา เป็ นสมการพาราโบลา

ตวั อย่าง2 ข้อ 1 – 8 จงหาสมการของพาราโบลา เม่ือจดุ ยอดอย่ทู จี่ ุดกาเนดิ
และสอดคล้องกบั เง่ือนไขในแต่ละข้อ

1. จดุ โฟกสั อย่ทู ี่ ( 0 , - 4 )
วธิ ีทา จากโจทย์จุดโฟกสั อย่ทู ี่ F ( 0 , - 4 ) ดงั น้ัน จะได้ p = - 4
และสอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py
แทนค่า p = - 4 จะได้
x2 = 4 (- 4 ) y = - 16y
หรือ x2 + 16y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ ตอบ

2. จดุ โฟกสั อย่ทู ่ี (-1, 0 ) ตอบ
วธิ ีทา จากโจทย์จุดโฟกสั อย่ทู ่ี F (-1, 0) ดงั น้นั จะได้ p = - 1
และสอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px
แทนค่า p = - 1 จะได้
y2 = 4 ( - 1 )y = - 4x
หรือ y2 + 4x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 12

เร่ือง ภาคตัดกรวย

3. ความยาวลาตัสเรกตัม 8 หน่วย และกราฟพาราโบลาเปิ ดไปทางซ้าย

วธิ ีทา จากโจทย์ ความยาวลาตัสเรกตัม 8 หน่วย และกราฟพาราโบลา

เปิ ดไปทางซ้าย

สอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px

เน่ืองจาก ความลาตัสเรกตัม = 8 หน่วย

หรือ 4p = 8

เนื่องจาก กราฟเปิ ดไปทางซ้าย ดงั น้ัน จะได้

−4 p = 8;( p  0)

p = 8 = −2
−4

แทนค่า p = - 2 ในสมการ  จะได้

y2 = 4 ( - 2 )x = - 8x

หรือ y2 + 8x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาท่ตี ้องการ ตอบ

4. ความยาวลาตสั เรกตัม 16 หน่วย และกราฟพาราโบลาเป็ นรูปหงาย

วิธีทา จากกราฟพาราโบลาเป็ นรูปหงาย ดังน้นั สอดคล้องกบั สมการ

x2 = 4py ; (P > 0)

เพราะว่าความยาวเลตัสเรกตัม = 16

4P = 16

4P = 16 ; (P > 0)

P = 16 = 4
4
แทนค่า P = 4 ใน x2 = 4py จะได้

x2 = 4(4)y = 16y

หรือ x2 – 16y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาทต่ี ้องการ ตอบ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 13

เรื่อง ภาคตัดกรวย

5. สมการเส้นบงั คับคือ x – 10 = 0 ตอบ
วธิ ีทา จากโจทย์สมการเส้นบังคับคือ x – 10 = 0
x = 10
x = -(-10)
จะได้ P = -10 และสอดคล้องกบั สมการ
y2 = 4px
แทนค่า p = - 10 จะได้ y2 = 4 ( - 10 )x
y2 = - 40x
หรือ y2+ 40x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ

6. สมการเส้นบงั คับ คือ y + 6 = 0 ตอบ
วธิ ีทา จากโจทย์ สมการเส้นบังคบั y + 6 = 0
หรือ y = - 6
จะได้ p = 6 และสอดคล้องกบั สมการ
x2 = 4py
แทนค่า p = 6 จะได้ x2 = 4 (6)y
x2 = 24y
หรือ x2 – 24y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาท่ีต้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 14

เรื่อง ภาคตัดกรวย

7. จุดโฟกสั อย่บู นแกน y และผ่านจดุ ( 2 , 8 )

วิธีทา จากโจทย์ จดุ โฟกสั อย่บู นแกน y นนั่ คือจุดโฟกสั คือ F(0, p) ซึ่ง

สอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py

เน่ืองจากพาราโบลาผ่านจดุ ( 2 , 8 ) ดงั น้นั

แทนค่า x = 2 , y = 8 ใน x2 = 4py จะได้ 22 = 4p( 8 )

4 = 32p

p = 4 = 1
32 8
แทนค่า P = 1 ใน x2 = 4py
8 จะได้ x2 = 4  1  y = 1 y
 8  2

x2 - 1 y = 0
2
หรือ 2x2 – y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ
ตอบ

8. จดุ โฟกสั อย่บู นแกน x และผ่านจุด ( 4 , - 3 )

วธิ ีทา จากโจทย์ จดุ โฟกสั อยู่บนแกน x ดงั น้นั จดุ โฟกสั คือ F ( p , 0 )

และสอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px

พาราโบลาผ่านจดุ ( 4 , - 3 ) ดงั น้นั แทนค่า x = 4 , y = - 3

จะได้ ( - 3 )2 = 4p(4)

9 = 16p

p = 9
16
9
แทนค่า p = 16 ใน y2 = 4px จะได้

y2 = 4 ( 9 )x = 9 x
16 4
9
y2 - 4 x = 0

หรือ 4y2 – 9x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ ตอบ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 15

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะที่ 4 พาราโบลาที่มีจุดยอดท(ี่ 0, 0)

ทบทวนความรู้ y2 = 4px
x2 = 4py
สมการของพาราโบลา
แกน X เป็ นแกนพาราโบลา
แกน Y เป็ นแกนพาราโบลา

จงหาจุดโฟกสั และความยาวลาตสั เรกตมั ของพาราโบลา

1) y2 = 16x 2) y2 = -24x

วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ
y2 = 4px

จะได้ 4p =
p=

ดงั น้ัน จุดโฟกสั คือ
F(p,0)=

ความยาวลาตัสเรกตมั = 4p
=
=

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 16

เร่ือง ภาคตัดกรวย

3) x2 = 8y 4) x2 = - 12y

จงหาสมการของพาราโบลาทมี่ ีจุดยอดที่ (0,0) และสอดคล้องกบั

ทบทวนความรู้

y2 = 4 (p)x x2 = 4 (p)y
y2 - 4px = 0 x2 - 4py = 0
เป็ นสมการพาราโบลา เป็ นสมการพาราโบลา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 17

เรื่อง ภาคตัดกรวย

1. จุดโฟกสั อย่ทู ่ี ( 0 , - 2 ) ตอบ
วิธีทา จากโจทย์จดุ โฟกสั อยู่ที่ F ( 0 , - 2 ) ดงั น้ัน จะได้ p =
และสอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py
แทนค่า p = - 2 จะได้
x2 = 4 (……) y =
หรือ x2 + 8y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ

2. จดุ โฟกสั อย่ทู ่ี (-4, 0 )
วิธีทา

3. ความยาวลาตสั เรกตัม 4 หน่วย และกราฟพาราโบลาเปิ ดไปทางซ้าย
วธิ ีทา

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 18

เรื่อง ภาคตัดกรวย

4. ความยาวลาตสั เรกตมั 24 หน่วย และกราฟพาราโบลาเป็ นรูปหงาย
วธิ ีทา

5. สมการเส้นบงั คับคือ x – 10 = 0
วธิ ีทา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 19

เร่ือง ภาคตัดกรวย

6. จุดโฟกสั อย่บู นแกน y และผ่านจดุ ( 2 , 8 )
วธิ ีทา

7. จดุ โฟกสั อย่บู นแกน x และผ่านจดุ ( 4 , - 3 )
วธิ ีทา

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 20

เร่ือง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4 พาราโบลาทีม่ ีจุดยอดท่ี (0, 0)

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบที่ถูกตอ้ งที่สุดเพียงขอ้ เดียวและทาเคร่ืองหมาย X
ลงในกระดาษคาตอบ

1. พาราโบลา x2 = – 8y มีสมการไดเรกตริกซต์ รงกบั ขอ้ ใด

1. y = 2 2. y = –2

3. x = 2 4. x = –2

2. พาราโบลา y2 = 16x มีสมการไดเรกตริกซต์ รงกบั ขอ้ ใด

1. y = 4 2. y = –4

3. x = 4 4. x = –4

3.จากสมการพาราโบลา y2 = -20x มีจุดโฟกสั ตรงกบั ขอ้ ใด

1. (0 , 5 ) 2. (-5 , 0 )

3. (0 , -5 ) 4. (5 , 0 )

4. จากสมการพาราโบลา x2 = 32x มีจุดโฟกสั ตรงกบั ขอ้ ใด

1. (-8 , 0 ) 2. (8 , 0 )

3. (0 , -8 ) 4. (0 , 8 )

5. พาราโบลามีจุดโฟกสั อยบู่ นแกน y และผา่ นจุด ( 2 , 8 ) มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. 2y2 – x = 0 2. 2x2 + y = 0

3. 2y2 + x = 0 4. 2x2 – y = 0

6. พาราโบลามีจุดจุดโฟกสั อยบู่ นแกน x และผา่ นจุด ( 4 , - 3 ) มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. 4y2 + 9x = 0 2. 4x2 – 9y = 0

3. 4y2 – 9x = 0 4. 4x2 + 9y = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 21

เร่ือง ภาคตัดกรวย

7. จากกราฟของวงกลมที่บอกจุดศูนยก์ ลาง และสัมผสั แกน X มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. y2 = 16x
2. y2 = -16x
3. x2 = 16y
4. x2 = -16y

8. จากกราฟของวงกลม ที่บอกจุดศนู ยก์ ลาง และรัศมี มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. y2 = 10x
2. y2 = -10x
3. x2 = 10y
4. x2 = -10y

9. จากกราฟของวงกลม ที่บอกจุดศูนยก์ ลาง และรัศมี มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. y2 = 8x
2. y2 = -8x
3. x2 = 8y
4. x2 = -8y

10. จากกราฟของวงกลม ที่บอกจุดศนู ยก์ ลาง และรัศมีมีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 = 12x
2. y2 = -12x
3. x2 = 12y
4. x2 = -12y

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 22

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทักษะที่ 4 พาราโบลาท่มี จี ุดยอดที(่ 0, 0)

เฉลย

จงหาจุดโฟกสั และความยาวลาตสั เรกตมั ของพาราโบลา

1) y2 = 16x 2) y2 = -24x

วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ
y2 = 4px
y2 = 4px
จะได้ 4p = -24
จะได้ 4p = 16 p = -6 ; ( p  0 )

p = 16 =4;(p>0) ดงั น้ัน จุดโฟกสั คือ
4 F ( p , 0 ) = F ( -6 , 0 )

ดงั น้ัน จุดโฟกสั คือ

F(p,0)=F(4,0)

ความยาวลาตัสเรกตมั = 4p ความยาวลาตสั เรกตัม = 4p
= 4(4) = 4(-6)
= 16 หน่วย = 24 หน่วย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 23

เรื่อง ภาคตัดกรวย

3) x2 = 8y 4) x2 = - 12y

วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ
x2 = 4py
x2 = 4py
จะได้ 4p = -12
จะได้ 4p = 8 p = -3 ; ( p  0 )

p = 8 =2;(p>0) ดังน้ัน จุดโฟกสั คือ
4 F ( 0 , p ) = F ( 0 , -3 )

ดงั น้ัน จุดโฟกสั คือ ความยาวลาตสั เรกตมั = 4p
= 4(-3)
F(0,p)=F(0,2) = 12 หน่วย

ความยาวลาตัสเรกตมั = 4p
= 4(2)
= 8 หน่วย

จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดยอดท่ี (0,0) และสอดคล้องกบั

ทบทวนความรู้

y2 = 4 (p)x x2 = 4 (p)y
y2 - 4px = 0 x2 - 4py = 0
เป็ นสมการพาราโบลา เป็ นสมการพาราโบลา

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 24

เรื่อง ภาคตัดกรวย

1. จดุ โฟกสั อยู่ที่ ( 0 , - 2 )
วิธีทา จากโจทย์จดุ โฟกสั อยู่ที่ F ( 0 , - 2 ) ดงั น้ัน จะได้ p = - 2
และสอดคล้องกบั สมการ x2 = 4py
แทนค่า p = - 2 จะได้
x2 = 4 (- 2 ) y = - 8y
หรือ x2 + 8y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาท่ีต้องการ ตอบ

2. จดุ โฟกสั อยู่ที่ (-4, 0 ) ตอบ
วิธีทา จากโจทย์จดุ โฟกสั อยู่ท่ี F (-4, 0) ดงั น้นั จะได้ p = - 4
และสอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px
แทนค่า p = - 4 จะได้
y2 = 4 ( - 4 )y = - 16x
หรือ y2 + 16x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาท่ตี ้องการ

3. ความยาวลาตัสเรกตมั 4 หน่วย และกราฟพาราโบลาเปิ ดไปทางซ้าย

วธิ ีทา จากโจทย์ ความยาวลาตัสเรกตัม 4 หน่วย และกราฟพาราโบลา

เปิ ดไปทางซ้าย

สอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px

เนื่องจาก ความยาวลาตสั เรกตัม = 4 หน่วย

หรือ 4p = 4

เน่ืองจาก กราฟเปิ ดไปทางซ้าย ดงั น้ัน จะได้

-4p = 4 (p  0)

p = -1

แทนค่า p = - 1 ในสมการ y2 = 4px จะได้ y2 = 4 ( - 1 )x = -4x

หรือ y2 + 4x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาทีต่ ้องการ ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 25

เร่ือง ภาคตัดกรวย

4. ความยาวลาตสั เรกตัม 24 หน่วย และกราฟพาราโบลาเป็ นรูปหงาย

วิธีทา จากกราฟพาราโบลาเป็ นรูปหงาย ดงั น้นั สอดคล้องกบั สมการ

x2 = 4py ; (P > 0)

เพราะว่าความยาวลาตัสเรกตมั = 24

4P = 24

4P = 24 ; (P > 0)

P = 24 = 6; (p>0)
4
แทนค่า P = 6 ใน x2 = 4py จะได้

x2 = 4(4)y = 24y

หรือ x2 – 24y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ ตอบ

5. สมการเส้นบงั คับคือ x – 10 = 0 ตอบ
วิธีทา จากโจทย์สมการเส้นบงั คบั คือ x – 10 = 0
x = 10
x = -(-10)
จะได้ P = -10 และสอดคล้องกบั สมการ
y2 = 4px
แทนค่า p = - 10 จะได้ y2 = 4 ( - 10 )x
y2 = - 40x
หรือ y2+ 40x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 26

เร่ือง ภาคตัดกรวย

6. จุดโฟกสั อย่บู นแกน y และผ่านจุด ( 2 , 8 )

วิธีทา จากโจทย์ จดุ โฟกสั อย่บู นแกน y นัน่ คือจุดโฟกสั คือ F(0, p) ซึ่ง

สอดดคล้องกบั สมการ x2 = 4py

เน่ืองจากพาราโบลาผ่านจดุ ( 2 , 8 ) ดงั น้นั

แทนค่า x = 2 , y = 8 ใน x2 = 4py จะได้ 22 = 4p( 8 )

4 = 32p

p = 4 = 1
32 8
ใน x2 = 4py
แทนค่า P=1 จะได้ x2 = 4  1  y = 1 y
8  8  2

x2 - 1 y = 0
2
หรือ 2x2 – y = 0 เป็ นสมการพาราโบลาท่ีต้องการ
ตอบ

7. จดุ โฟกสั อยู่บนแกน x และผ่านจุด ( 4 , - 3 )

วธิ ีทา จากโจทย์ จุดโฟกสั อยู่บนแกน x ดงั น้นั จดุ โฟกสั คือ F ( p , 0 )

และสอดคล้องกบั สมการ y2 = 4px

พาราโบลาผ่านจุด ( 4 , - 3 ) ดังน้นั แทนค่า x = 4 , y = - 3

จะได้ ( - 3 )2 = 4p(4)

9 = 16p

p = 9
16
9
แทนค่า p = 16 ใน y2 = 4px จะได้

y2 = 4 ( 9 )x = 9 x
16 4
9
y2 - 4 x = 0

หรือ 4y2 – 9x = 0 เป็ นสมการพาราโบลาที่ต้องการ ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 27

เรื่อง ภาคตัดกรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4 พาราโบลาท่ีมีจุดยอดท่ี(0, 0)

ข้อที่ เฉลย

11
23
32
44
54
63
73
84
92
10 4

แลว้ พบกนั
เล่มที่ 5 นะจ๊ะ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 28

เรื่อง ภาคตัดกรวย

กนกวลี อุษณกรกุล, ปาจรี วชั ชวลั คแุ ละสุเทพ บุญซอ้ น, ดร. หนงั สือเรียน สาระการเรียนรู้
เพม่ิ เติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2. บริษทั อกั ษรเจริญ
ทศั น์ อจท. จากดั : กรุงเทพมหานคร, พมิ พค์ ร้ังท่ี 3, 2547.

กิตติคณุ ยพุ ิน พพิ ิธกุล และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ วิเคราะหค์ ณิตศาสตร์ ม.4
เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พ.ว.), 2550.

_______. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีเน้นผเู้ รียนเป็นสาคญั คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 1. กรุงเทพฯ :
พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ (พ.ว.), 2548.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, แบบฝึกมาตรฐานการแมค็ คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 2 ช่วงช้นั ที่ 4
(ม.4 - ม.6) เลม่ ที่ 2 ม.4 ภาคเรียนท่ี 2. บริษทั สานกั พมิ พแ์ มค็ จากดั : กรุงเทพมหานคร,
2548.

ประทีป โรจนวิภาต. สัมฤทธ์ิมาตรฐานคณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี : ไทยร่มเกลา้ , 2545.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม

คณิตศาสตร์ เลม่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4. หลกั สูตร
การศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว: กรุงเทพมหานคร,
พิมพค์ ร้ังท่ี 3, 2552.
สมยศ ววิ ฒั นปฐพี, ผชู้ ่วยศาสตราจารย,์ มาลินทร์ อิทธิรส, ผชู้ ่วยศาสตราจารย์ และอนนั ทศิลป์
รุจิเรจ, อาจารย.์ หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้พ้นื ฐาน คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2544.
สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.): กรุงเทพมหานคร, พิมพค์ ร้ังที่ 1, 2547.
สุนนั ท์ ปัทมพรหม และคณะ. ส่ือการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะตามมาตรฐานการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ 1. กรุงเทพฯ : นิยมวทิ ยา, 2546.
สาราญ มีแจง้ และรังสรรค์ มณีเลก็ . สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 สมบูรณ์แบบ.
กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช, 2547.