แบบฝึกทักษะเล่ม10

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 3

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

จุดประสงค์การเรียนรู้

 นกั เรียนสามารถเขียนสมการมาตรฐานและกราฟ
ของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศนู ยก์ ลางท่ีจุด (0, 0)ได้

 นกั เรียนสามารถหาจุดโฟกสั จุดปลายแกนตามขวางและ
จุดปลายแกนสงั ยคุ ของวงรีท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางท่ีจุด (0, 0)ได้

ไฮเพอร์ โบลา (Hyperbola) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซ่ึงผลต่างของ
ระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตน้ีไปยงั จุดคงท่ี สองจุดมีคา่ คงตวั ซ่ึงมากกวา่ ศูนย์
แต่นอ้ ยกวา่ ระยะห่างระหวา่ งจุดคงท่ีท้งั สอง

สมการในรูปมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

1) แกนตามขวางอย่บู นแกน X 2) แกนตามขวางอย่บู นแกน Y

สมการมาตรฐาน สมการมาตรฐาน
y2 x2
x2 − y2 =1 a2 − b2 = 1
a2 b2

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ ก

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10

คานา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 จดั ทาข้ึนเพื่อเสริมหรือ
พฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรียนและเป็นแนวทางสาหรับครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียน
การสอนให้กบั นักเรียนระดับช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 เรื่อง ภาคตดั กรวย โดยในเล่มน้ีเป็ นชุดที่ 10
เร่ือง ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (0,0)

เน้ือหาในชุดท่ี 10 น้ี เน้นให้นักเรียนรู้จักบทนิยาม สมการ และส่วนประกอบของ
ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (0,0) ซ่ึงประกอบดว้ ย คาช้ีแจงสาหรับครู คาแนะนาสาหรับ
นกั เรียน จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ และ
แบบทดสอบหลงั เรียน

ผูจ้ ัดทาหวงั เป็ นอย่างย่ิงว่าแบบฝึ กทักษะเล่มน้ีจะเอ้ืออานวยประโยชน์แก่นักเรียนและ
ผสู้ นใจเป็นอยา่ งดี และอาจใชเ้ ป็นแนวทางในการสร้างนวตั กรรมตอ่ ไป

อจั ฉริยา พหลทพั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10 หน้า

สารบญั ก
ข
เร่ือง 1
2
คานา 3
สารบญั 4
คาช้ีแจงสาหรับครู 13
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 17
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 19
ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 25
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 10 26
แบบทดสอบหลงั เรียน
เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดที่ 10
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
บรรณานุกรม

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 1

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10

ช่วยอ่านคาช้ีแจงให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทกั ษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบง่ เป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเลม่ น้ีเป็นชุดที่ 10 ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (0,0)
ส่ิงที่ครูตอ้ งช้ีแจงกบั นกั เรียนใหป้ ฏิบตั ิมีดงั น้ี

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้
2. ใหน้ กั เรียนศึกษาตวั อยา่ งในแบบฝึกทกั ษะ
3. ครูสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรียนขณะท่ีนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
4. ใหน้ กั เรียนตรวจแบบฝึกทกั ษะจากเฉลยและบนั ทึกคะแนน
5. ครูควรสรุปเพม่ิ เติมขอ้ ท่ีนกั เรียนทาไมถ่ กู ตอ้ ง เพ่อื ใหน้ กั เรียน

มีความเขา้ ใจมากยงิ่ ข้ึน

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 2

เร่ือง ภาคตัดกรวย

10

เพอ่ื นๆ อ่านคาแนะนาให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทักษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเลม่ น้ีเป็นชุดท่ี 10 ไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (0,0)

ใหน้ กั เรียนอา่ นคาแนะนา และปฏิบตั ิกิจกรรมแตล่ ะข้นั ตอนต้งั แตต่ น้
จนจบ นกั เรียนจะไดร้ ับความรู้อยา่ งครบถว้ น โดยปฏิบตั ิตามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ศึกษาจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพอ่ื ใหท้ ราบวา่ เมื่อเรียนจบแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์เล่มน้ีแลว้ นกั เรียนสามารถเรียนรู้อะไรบา้ ง

2. นกั เรียนศึกษาใบความรู้และฝึกทกั ษะที่กาหนดไว้ เพือ่ ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจ
ในเน้ือหามากข้นึ

3. นกั เรียนตอ้ งมีความซ่ือสตั ยต์ ่อตนเอง ไม่ดูเฉลยก่อน ถา้ นกั เรียนขาด
ความซ่ือสัตยแ์ ลว้ จะไมป่ ระสบผลสาเร็จในการศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะน้ี

4. ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมลงในแบบฝึกทกั ษะที่ครูแจกให้
5. เม่ือนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จแลว้ ให้ตรวจสอบคาตอบกบั เฉลย
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน แลว้ ตรวจคาตอบจากน้นั บนั ทึกคะแนน
7. การประเมินผล แบบทดสอบหลงั เรียน มีจานวน 10 คะแนนทาได้ 8 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 4

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

ใบความรู้ชุดท่ี 10 ไฮเพอร์โบลาท่มี ีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ค31202 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4

ไฮเพอร์ โบลา (Hyperbola) คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซ่ึงผลต่างของ
ระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตน้ีไปยงั จุดคงท่ี สองจุดมีค่าคงตวั ซ่ึงมากกวา่ ศนู ย์
แตน่ อ้ ยกวา่ ระยะห่างระหวา่ งจุดคงที่ท้งั สอง

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 5

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

แกนตามขวางอยู่บนแกน Y สรุปลกั ษณะไฮเพอร์โบลาที่มีแกน

ตามขวาง บนแกน Y หรือไฮเพอร์โบลาแนวต้งั

จุดศนู ยก์ ลางที่ (0, 0) y2 x2
a2 b2
1) สมการมาตรฐาน − =1

2) และ c2 = a2 + c2 โดยท่ี c > a

3) จุดศนู ยก์ ลางที่จุด C (0, 0)

4) โฟกสั F (0, c) และ F (0, - c)

5) จุดยอด V (0, a) และ V( 0 , - a )

6) แกนตามขวางอยบู่ นแกน Y

7) ผลตา่ งของระยะทางจากจุด P(x, y) ใดๆบน

ไฮเพอร์โบลาไปยงั โฟกสั ท้งั สองเท่ากบั 2c

สรุปลกั ษณะไฮเพอร์โบลา แกนตามขวางอยู่บนแกน X

ท่ีมีแกนตามขวางอยบู่ นแกน X หรือ

ไฮเพอร์โบลาแนวนอน

จุดศนู ยก์ ลาง อยทู่ ่ี (0, 0)
x2 y2
1) สมการมาตรฐาน a2 − b2 =1

2) และ c2 = a2 + c2 โดยที่ c > a

3) จุดศูนยก์ ลางที่จุด C (0, 0)

4) โฟกสั F (c, 0) และ F (- c, 0)

5) จุดยอด V (a, 0) และ V( -a , 0)

6) แกนตามขวาง อยบู่ นแกน X

7) ผลตา่ งของระยะทางจากจุด P(x, y) ใดๆบน

ไฮเพอร์โบลาไปยงั โฟกสั ท้งั สองเทา่ กบั 2c

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 6

10 เรื่อง ภาคตัดกรวย

เปรียบเทยี บไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กกาเนดิ จะมีอยู่ 2 แบบ ดงั รูป

ซ่ึงมสี มบัติดงั ตารางข้างล่าง

x2 − y2 =1 สมการมาตรฐาน y2 − x2 = 1
a2 b2 a2 b2
ปลายเปิ ดตามแกน x ลกั ษณะกราฟ ปลายเปิ ดตามแกน y

(แกนอยบู่ นแกน x ) จุดยอด (แกนอยบู่ นแกน y )
จุดโฟกสั
v1(a,0) และ v2 (−a,0) แกนไฮเพอร์โบลา v1(0,a) และ v2 (0,−a)
แกนร่วม(แกนสงั ยคุ )
F1 (−c,0) และ F2 (c,0) ความยาวเส้นลาตสั เรกตมั F1 (0,c) และ F2 (0,−c)
ความยาวแกนตามขวาง
V1V2 ความยาวแกนสงั ยคุ V1V2
ความสมั พนั ธ์ของ a,b,c
BB  BB 
2b2 สมการเส้นกากบั 2b2

a ค่าเอค็ เซนตริกซิตี (e ) a

2a 2a

2b 2b
c2 =a2 +b2
c2 =a2 +b2

y = bx y =  ax
a b

c c

a a

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 7

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10 จากสมการไฮเพอร์โบลา จงหา ก. จดุ ยอด ข. จดุ โฟกสั
ค. ความยาวลาตสั เรกตัม ง. ค่า e
ตวั อย่าง 1 จ. สมการของเส้นกากบั และวาดกราฟวงรีด้วย

x2 − y2 =1
94

วธิ ีทา สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 − y2 =1 ----------
a2 b2

โดยเทียบสมการ  จะได้ a2 = 9 ดงั น้นั จะได้ a = 9 = 3

และ b2 = 4 ดงั น้นั จะได้ b = 4 = 2

หาคา่ c จาก b2 = c2 – a2

แทนคา่ a2 = 9, b2 = 4 จะได้

4 = c2 – 9

c2 = 4 + 9 = 13

c = 13

ดังน้นั จะได้

ก. จดุ ยอด V( ±a,0 )=V(±3,0) ข. จุดโฟกสั F(±c,0) = F(± 13 ,0)

ค. ความยาวเลตัส เรกตัม= 2b2 = 2(4) = 8 หน่วย ง. ค่า e= c = 13
3 3 a 3
a
b 2
จ. สมการของเส้นกากบั คือ y= ± a x = ± 3 x

กราฟ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 8

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10

x2 − y2 =1 ----------
9 27

วิธที า สอดคล้องกบั สมการ x2 − y2 =1

a2 b2

เมื่อ a > b และ b2 = a2 – c2

โดยการเทยี บสมการ  จะได้

a2 = 9 ดังน้นั จะได้ a = 9 = 3

และ b2 = 27 ดงั น้นั จะได้ b = 27 = 3 3

หาค่า c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = 9 และ b2 = 27 จะได้

27 = c2 – 7
c2 = 27 + 9 = 36

c = 36 = 6

ดังน้นั จะได้

ก. จุดยอด V(±a,0 ) = V(±3,0 )

ข. จดุ โฟกสั F(±c,0 ) = F(±6,0 )

ค. ความยาวเลตัสเรกตมั = 2b2 = 2(27) = 18 หน่วย
a 3

ง. ค่า e = c = 6 = 2

a3

จ. สมการของเส้นกากบั y = ± b x = ±3 3 x =  3x
a 3

และวาดกราฟ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 9

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10 y2 x2
45 4
− =1

วิธที า ซ่ึงสอดคล้องกบั สมการ y2 − x2 =1 -------------------
a2 b2
โดยการเทียบสมการ  จะได้

a2 = 45 ดังน้นั จะได้ a = 45 =3 5

b2 = 4 ดังน้นั จะได้ b = 4 = 2

หาค่า c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = 45 และ b2 = 4 จะได้

4 = c2 – 45

c2 = 45 + 4 = 49

c = 49 = 7

ดังน้นั จะได้

ก. จดุ ยอด V(0, ±a) = V(0, ±3 5 )

ข. จดุ โฟกสั F(0, ±c) = F(0, ±7)

2b 2 2(4) 85
a 35 15
ค. ความยาวเลตัส เรกตมั = = = หน่วย

ง. ค่า e = c − 7 = 7 5

a 35 3

จ. สมการเส้นกากบั คือ y= ± a x =325 x
b

และวาดกราฟ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 10

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

x2 − y2 =1 y2 − x2 =1
a2 b2 a2 b2

จัดสมการในรูปทว่ั ไป

Ax2- By2 + F = 0 By2- Ax2 + F = 0

จงเขียนสมการไฮเพอร์โบลา จากเง่ือนไขท่ีกาหนดให้

จุดโฟกสั อย่ทู ี่ (-5,0 ) และ (5,0 ) ความยาวแกนตามขวาง 6 หน่วย

วธิ ีทา จะได้ c=5 และสอดคล้องกบั สมการ x2 − y2 =1 --------------
a2 b2

เพราะว่า ความยาวแกนตามขวาง = 6 จะได้ 2a = 6

a =3

หาค่า b จาก b2 = c2-a2 แทนค่า a = 3 , c = 5

จะได้ b2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16

b = 16 = 4

แทนค่า a= 3,b = 4 ใน  จะได้ x2 − y2 =1
32 42

x2 − y2 =1
9 16

16x2 - 9y2 = 144

สมการไฮเพอร์โบลา คือ 16x2 – 9y2 – 144 = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 11

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

จดุ โฟกสั (0,-13) และ (0,13 ) ความยาวแกนตามขวาง 10 หน่วย

วธิ ีทา จะได้ c = 13 และสอดคล้องสมการ y2 − x2 = 1 -----------
a2 b2

เพราะว่า ความยาวแกนตามขวาง = 10 จะได้ 2a = 10

a= 5

หาค่า b จาก b2 = c2 – a2 แทนค่า a = 5 , c = 13 จะได้

b2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144

b = 144 = 12

แทนค่า a = 5 , b = 12 ใน  จะได้

y2 − x2 =1
52 122
y2 − x2 =1
25 144
144 y2 − 25x2 = 3600

หรือ 144y2 – 25x2– 3600 = 0

ความยาวแกนสังยคุ 24 หน่วย จดุ โฟกสั ที่อยู่ (0,±13 )

วธิ ีทา จะได้ c = 13 และสอดคล้องกบั สมการ y2 − x2 =1 ------------
a2 b2

เพราะว่า ความยาวแกนสังยุค = 24 จะได้ 2b = 24

b =2

หาค่า a จาก b2 = c2 – a2 122 = 132 – a2

a2 = 169 – 144 = 25

a = 25 = 5

แทนค่า a = 5 , b = 12 ใน  จะได้ y2 − x2 = 1

52 122
y2 − x2 =1
25 144
144 y2 − 25x2 = 3600

หรือ 144y2 – 25x2 – 3600 = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 12

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

จุดโฟกสั (8,0) และจุดยอด (6,0)

วธิ ีทา จะได้ a = 6, c = 8 และสอดคล้องสมการ x2 − y2 =1 -------------
a2 b2

หาค่า b จาก b2 = c2 - a2

แทนค่า a = 6, c = 8 จะได้

b2 = 82 - 62 = 64 - 36 = 28

b = 28

แทนค่า a = 6, b = 28 ใน  จะได้

x2 −( y2 =1
62 28)2
x2 y2
36 − 28 =1

7x2 –9y2 = 252

หรือ 7x2 - 9y2 - 252 = 0

จดุ ยอด v (±12,0) ความยาวลาตัสเรกตัม 32 หน่วย
3
x2 y2
วธิ ีทา จะได้ a = 12 และสอดคล้องสมการ a2 − b2 =1 -------------

เพราะว่า ความยาวเลตสั เรกตมั = 32 แทนค่า a = 12, b = 8 ใน  จะได้
3
2b2 32 x2 y2
a = 3 122 − 82 =1

2b2 = 32 x2 − y2 = 1
12 3 144 64
b2 32
6 = 3 4x2 - 9y2 = 576

b2 = 32  6 = 64 หรือ 4x2 - 9y2 - 576 = 0
3

b = 64 = 8

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 13

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

แบบฝึ กทักษะที่ 10 ไฮเพอร์โบลาทม่ี จี ุดศูนย์กลางท่ีจุด (0, 0)

ทบทวนความรู้

1) แกนตามขวางอย่บู นแกน X 2) แกนตามขวางอย่บู นแกน Y

สมการมาตรฐาน สมการมาตรฐาน
y2 x2
x2 − y2 = 1 a2 − b2 =1
a2 b2

จากกราฟจงเติมข้อมูลของในช่องว่างให้ถูกต้อง

1) แกนตามขวาง.............................
แกนสังยคุ ..................................
จุดศูนยก์ ลาง .............................
จุดโฟกสั ................ และ.............
จุดยอด................ และ................
จุดปลายแกนสงั ยคุ .....................
สมการคือ

2) แกนตามขวาง.............................
แกนสังยคุ ..................................
จุดศูนยก์ ลาง .............................
จุดโฟกสั ................ และ.............
จุดยอด................ และ................
จุดปลายแกนสงั ยคุ .....................
สมการคอื

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 14

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

3) จากสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ ก. จุดยอด ข. จุดโฟกสั

ค. ความยาวลาตัสเรกตัม ง. ค่า e จ. สมการเส้นบังคบั และวาดรูป

(1) จx. 2สม−กyาร2ขอ=ง1เสน้ กากบั

94

วิธที า สอดคลอ้ งกบั สมการ ----------

โดยเทียบสมการ  จะได้ a2 = ดงั น้นั จะได้ a =

และ b2 = ดงั น้นั จะได้ b =

หาค่า c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = , b2 = จะได้

( ) = c2 – ( )

c2 = ( ) + ( ) =

c=

ดงั น้นั จะได้

ก. จดุ ยอด V( ±a,0 )= ข. จดุ โฟกสั F(±c,0) =

ค. ความยาวลาตัส เรกตมั = หน่วย ง. ค่า e =

จ. สมการของเส้นกากบั คือ y =

วาดรูป

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 15

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

2. x2 − y2 =1
9 27

วธิ ีทา สอดคลอ้ งกบั สมการ ----------

โดยเทียบสมการ  จะได้ a2 = ดงั น้นั จะได้ a =

และ b2 = ดงั น้นั จะได้ b =

หาคา่ c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = , b2 = จะได้

( ) = c2 – ( )

c2 = ( ) + ( ) =

c=

ดังน้นั จะได้

ก. จดุ ยอด V( ±a,0 )= ข. จดุ โฟกสั F(±c,0) =

ค. ความยาวลาตสั เรกตัม = หน่วย ง. ค่า e =

จ. สมการของเส้นกากบั คือ y =

วาดรูป

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 16

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

3. จากส่ิงทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้ จงหาสมการวงรี

(1) จุดยอด (±6, 0) สมการของเส้นกากบั 6y = ±7x

.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

(2) แกนตามขวางอยู่บนแกน x, e = 1 7 และความยาวลาตัสเรกตมั 6 หน่วย
2

........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
............................................. ..........................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 17

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10

แบบฝึ กทกั ษะที่ 10 ไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ีจุด (0, 0)

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบท่ีถูกตอ้ งท่ีสุดเพียงขอ้ เดียวและทาเครื่องหมาย X

ลงในกระดาษคาตอบ
1. ไฮเพอร์โบลา 16x 2 − 9y2 −144 = 0 มีความยาวของแกนสงั ยคุ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 16 หน่วย 2. 9 หน่วย

3. 8 หน่วย 4. 4 หน่วย

2. สมการไฮเพอร์โบลาที่มีโฟกสั อยทู่ ี่ (5 , 0 ) แกนตามขวางยาว 8 หน่วยคอื ขอ้ ใด
x2 y2
1. x92 − y126 =1 2. x2 − y2 =1
3. 16 − 25 =1 16 9
x2 y2
4. 16 − 25 =1

3.จากสมการไฮเพอร์โบลา 16x2 – 9y2 =144 ขอ้ ใดไม่ถูกตอ้ ง

1. แกนตามขวางอยบู่ นแกน X 2. จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

3. จุดยอด V(9,0) และ V (-9,0) 4. โฟกสั F(5,0) และ (-5,0)

4. จากสมการวงรี x2 − y2 =1 ขอ้ ใดไม่ถูกตอ้ ง

94

1. โฟกสั อยทู่ ี่จุด (  13 , 0) 2. จุดยอดอยทู่ ่ีจุด ( 0 , 3 )

3. แกนตามขวางยาว 6 หน่วย 4. แกนสงั ยคุ ยาว 8 หน่วย

5. สมการไฮเพอร์โบลาขอ้ ใดที่มีผลต่างคงตวั เทา่ กบั 2

1. 4x2 –y2 =16 2. 9y2 – x2 = 9

3. x2 – y2 = 2 4. 9y2 – x2 = 18

6. ขอ้ ใดเป็นสมการไฮเพอร์โบลาที่มีโฟกสั อยทู่ ี่ (  3 , 0 ) มีผลต่างคงตวั เท่ากบั 4 หน่วย

1. 5x2 – 4y2 = 9 2. 5x2 – 4y2 = 20

3. 5y2 – 4x2 = 9 4. 5y2 – 4x2 = 20

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 18

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

7. จากสมการไฮเพอร์โบลา 16x2 – 25y2= 400 ตดั แกน X ท่ีจุดใด

1. ( 0 , 4 ) และ (0 , -4 ) 2. ( 0 , 5 ) และ (0 , -5 )

3. ( 4 , 0 ) และ ( -4, 0 ) 4. ( 5 , 0 ) และ ( -5 , 0)

8. จากสมการไฮเพอร์โบลา 4y2 – 3x2= 48 พจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดผิด

1. จุดยอดคือ (  12 , 0 ) 2. จุดโฟกสั คอื ( 0 ,  2 7 )

3. แกนสังยคุ ยาว 8 หน่วย 4. แกนตามขวางยาว 2 3 หน่วย

9. จากกราฟไฮเพอร์โบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 − y2 =1
2. x225 − y224 =1
3. y224 − x225 =1
4. y225 − x224 =1
24 25

10. จากกราฟไฮเพอร์โบลา มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. y2 − x2 =1
2. y72 − x92 =1
3. x92 − y72 =1
4. x92 − y72 =1
9
7

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 19

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10 แบบฝึ กทักษะที่ 10 ไฮเพอร์โบลาทมี่ ีจุดศูนย์กลางที่จุด (0, 0)

เฉลย

1) แกนตามขวางอย่บู นแกน X 2) แกนตามขวางอย่บู นแกน Y

สมการมาตรฐาน สมการมาตรฐาน
y2 x2
x2 − y2 = 1 a2 − b2 =1
a2 b2

จากกราฟจงเตมิ ข้อมูลของในช่องว่างให้ถูกต้อง

1) แกนตามขวาง..........แ..ก..น....Y...........
แกนสังยคุ .............แ..ก..น....X.............
จุดศนู ยก์ ลาง ........(.0..,.0..)...............
จุดโฟกสั ...(..0..,.7..)...... และ...(..0..,.-.7..)..
จุดยอด.(.0...,.2......6....) และ.(.0...,.-.2......6...)

จุดปลายแกนสังยคุ .....(.±..5...,.0..).......
y2 x2
สมการคอื 24 − 25 =1

2) แกนตามขวาง..........แ..ก..น....X...........
แกนสังยคุ ..............แ...ก..น....Y...........
จุดศูนยก์ ลาง ..........(.0..,.0..).............
จุดโฟกสั .......(..4..,.0..).. และ.....(.-.4..,.0..).
จุดยอด.......(.3..,.0..)... และ..(.-.3..,.0..).......
จุดปลายแกนสงั ยคุ ...(.0..,.±......7....)....
x2 y2
สมการคือ 9 − 7 =1

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 20

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

x2 − y2 =1
94

วธิ ที า สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 − y2 =1 ----------
a2 b2

โดยเทียบสมการ  จะได้ a2 = 9 ดงั น้นั จะได้ a = 9 = 3

และ b2 = 4 ดงั น้นั จะได้ b = 4 = 2

หาคา่ c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = 9, b2 = 4 จะได้

4 = c2 – 9

c2 = 4 + 9 = 13

c = 13

ดังน้นั จะได้

ก. จดุ ยอด V( ±a,0 )=V(±3,0) ข. จุดโฟกสั F(±c,0) = F(± 13 ,0)

ค. ความยาวลาตสั เรกตมั = 2b2 = 2(4) = 8 หน่วย ง. ค่า e = c = 13
3 3 a 3
a
b 2
จ. สมการของเส้นกากบั คือ y= ± a x = ± 3 x

กราฟ

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 21

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

x2 − y2 =1 ----------
9 27

วธิ ีทา สอดคล้องกบั สมการ x2 − y2 =1

a2 b2

เมื่อ a > b และ b2 = a2 – c2

โดยการเทียบสมการ  จะได้

a2 = 9 ดงั น้นั จะได้ a = 9 = 3

และ b2 = 27 ดังน้นั จะได้ b = 27 = 3 3

หาค่า c จาก b2 = c2 – a2

แทนค่า a2 = 9 และ b2 = 27 จะได้

27 = c2 – 7
c2 = 27 + 9 = 36

c = 36 = 6

ดังน้นั จะได้

ก. จุดยอด V(±a,0 ) = V(±3,0 )

ข. จุดโฟกสั F(±c,0 ) = F(±6,0 )

ค. ความยาวลาตสั เรกตัม = 2b2 = 2(27) = 18 หน่วย
a 3

ง. ค่า e = c = 6 = 2

a3

จ. สมการของเส้นกากบั y = ± b x = ±3 3 x =  3x
a 3

และวาดกราฟ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 22

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

1) วิธีทา จากโจทย์ จดุ ยอด (±6,0) ดงั น้ัน จะได้ a = 6

และสอดคล้องกบั สมการ x2 − y2 = 1 --------------------
a2 b2

เพราะว่าสมการของเส้นกากบั 6y = ± 7x

y = ± 7 x
6

สมการ  จะมีสมการของเส้นกากบั คือ y =  b x
a

ดงั น้นั จะได้ b = 7
a 6

น่ันคือ a = 6, b = 7

แทนค่า a = 6, b = 7 ใน  จะได้

x2 − y2 =1
62 72
x2 y2
36 − 49 =1

49x2 - 36y2 = 1764

หรือ 49x2 - 36y2 - 1764 = 0 เป็ นสมการไฮเพอร์โบลาที่ต้องการ

ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 23

เรื่อง ภาคตดั กรวย

10

2) แกนตามขวางอย่บู นแกน x, e = 1 7 และความยาวลาตสั เรกตัม 6 หน่วย
2
วิธีทา จากโจทย์ แกนตามขวางอย่บู นแกน x ดังน้นั สอดคล้องกบั สมการ

x2 − y2 =1 --------------------------
a2 b2

จาก e = 1 7
2

c=1 7
a2

c = 1 7a
2

เพราะว่า ความยาวลาตสั เรกตัม = 6

2b2 =6
a
b2 = 3a
------------------------------

จาก b2 = c2 - a2

แทนค่า c = 7a และ b2 = 3a จะได้
2

 7a 2 − a2
3a =  2 

3a = 7a2 − a2
4

12a = 7a2 − 4a2

12a = 3a2

3a2 −12a = 0

a2 − 4a = 0

a(a − 4) = 0

นัน่ คือ a = 0, 4

แต่ a = 0 เป็ นไปไม่ได้ ดงั น้นั a = 4

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 24

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

แทนค่า a = 4 ใน  จะได้

b2 = 3(4) = 12

b = 12

แทนค่า a = 4, b = 12 ใน  จะไได้

x2 − y2 = 1
42 ( 12)2

x2 − y2 =1
16 12
3 x2 – 4y2 = 48

3x2 – 4y2 – 48 = 0 เป็ นสมการไฮเพอร์โบลาทตี่ ้องการ

ตอบ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 25

เรื่อง ภาคตัดกรวย

10

แบบฝึ กทักษะที่ 10 ไฮเพอร์โบลาที่มจี ุดศูนย์กลางท่ีจุด(0, 0)

ข้อท่ี เฉลย

13
22
33
44
52
62
74
84
94
10 3

แลว้ พบกนั
เล่มที่ 11 นะจ๊ะ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 26

เร่ือง ภาคตดั กรวย

10

กนกวลี อษุ ณกรกุล, ปาจรี วชั ชวลั คุและสุเทพ บญุ ซ้อน, ดร. หนงั สือเรียน สาระการเรียนรู้
เพ่ิมเติม กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2. บริษทั อกั ษรเจริญ
ทศั น์ อจท. จากดั : กรุงเทพมหานคร, พมิ พค์ ร้ังท่ี 3, 2547.

กิตติคุณ ยพุ นิ พพิ ธิ กุล และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ วิเคราะห์คณิตศาสตร์ ม.4
เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พ.ว.), 2550.

_______. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีเน้นผเู้ รียนเป็นสาคญั คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 1. กรุงเทพฯ :
พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พ.ว.), 2548.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, แบบฝึกมาตรฐานการแมค็ คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 2 ช่วงช้นั ท่ี 4
(ม.4 - ม.6) เล่มท่ี 2 ม.4 ภาคเรียนที่ 2. บริษทั สานกั พิมพแ์ มค็ จากดั : กรุงเทพมหานคร,
2548.

ประทีป โรจนวิภาต. สมั ฤทธ์ิมาตรฐานคณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี : ไทยร่มเกลา้ , 2545.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4. หลกั สูตร
การศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว: กรุงเทพมหานคร,
พมิ พค์ ร้ังท่ี 3, 2552.
สมยศ ววิ ฒั นปฐพ,ี ผชู้ ่วยศาสตราจารย,์ มาลินทร์ อิทธิรส, ผชู้ ่วยศาสตราจารย์ และอนนั ทศิลป์
รุจิเรจ, อาจารย.์ หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้พ้นื ฐาน คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2544.
สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.): กรุงเทพมหานคร, พิมพค์ ร้ังที่ 1, 2547.
สุนนั ท์ ปัทมพรหม และคณะ. ส่ือการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะตามมาตรฐานการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ 1. กรุงเทพฯ : นิยมวทิ ยา, 2546.
สาราญ มีแจง้ และรังสรรค์ มณีเลก็ . สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 2 สมบรู ณ์แบบ.
กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช, 2547.