แบบฝึกทักษะเล่ม3

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์

เร่ือง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 3

เร่ือง ภาคตดั กรวย

จุดประสงค์การเรียนรู้

 นกั เรียนสามารถจดั สมการวงกลมในรูปทว่ั ไปไดถ้ กู ตอ้ ง
 นกั เรียนสามารถวิเคราะห์หาจุดศนู ยก์ ลางและความยาว

รัศมีของวงกลมจากสมการในรูปทว่ั ไปไดถ้ กู ตอ้ ง

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ก

เร่ือง ภาคตดั กรวย

คานา

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 จดั ทาข้ึนเพื่อเสริมหรือ
พฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรียนและเป็นแนวทางสาหรับครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียน
การสอนให้กับนักเรียนระดับช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 เร่ือง ภาคตัดกรวย โดยในเล่มน้ีเป็ นชุดท่ี 3
เร่ือง สมการในรูปทว่ั ไปของวงกลม

เน้ือหาในชุดท่ี 3 น้ี เน้นให้นักเรี ยนสามารถเขียนสมการวงกลมในรูปท่ัวไป ซ่ึง
ประกอบดว้ ย คาช้ีแจงสาหรับครู คาแนะนาสาหรับนกั เรียน จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระการเรียนรู้
ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบฝึกทกั ษะ และแบบทดสอบหลงั เรียน

ผูจ้ ดั ทาหวงั เป็ นอย่างย่ิงว่าแบบฝึ กทักษะเล่มน้ีจะเอ้ืออานวยประโยชน์แก่นักเรียนและ
ผสู้ นใจเป็นอยา่ งดี และอาจใชเ้ ป็นแนวทางในการสร้างนวตั กรรมตอ่ ไป

อจั ฉริยา พหลทพั

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ข

เร่ือง ภาคตดั กรวย

สารบัญ

เรื่อง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาช้ีแจงสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3
ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 3 10
แบบทดสอบหลงั เรียน 12
เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 3 14
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 17
บรรณานุกรม 18

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 1

เรื่อง ภาคตดั กรวย

ช่วยอ่านคาชี้แจงให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทกั ษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดที่ 3 เร่ือง สมการในรูปทว่ั ไปของวงกลม
สิ่งที่ครูตอ้ งช้ีแจงกบั นกั เรียนใหป้ ฏิบตั ิมีดงั น้ี

1. ใหน้ กั เรียนศึกษาใบความรู้
2. ใหน้ กั เรียนศึกษาตวั อยา่ งในแบบฝึกทกั ษะ
3. ครูสังเกตพฤติกรรมของนกั เรียนขณะที่นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
4. ใหน้ กั เรียนตรวจแบบฝึกทกั ษะจากเฉลยและบนั ทึกคะแนน
5. ครูควรสรุปเพ่ิมเติมขอ้ ท่ีนกั เรียนทาไม่ถูกตอ้ ง เพ่อื ใหน้ กั เรียน

มีความเขา้ ใจมากยงิ่ ข้ึน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 2

เรื่อง ภาคตดั กรวย

เพอ่ื นๆ อ่านคาแนะนาให้เข้าใจ
ก่อนใช้แบบฝึ กทักษะนะคะ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
สร้างข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนศึกษาไดด้ ว้ ยตนเอง แบ่งเป็นชุด จานวน 12 ชุด
โดยเล่มน้ีเป็นชุดที่ 3 สมการในรูปทวั่ ไปของวงกลม

ใหน้ กั เรียนอ่านคาแนะนา และปฏิบตั ิกิจกรรมแตล่ ะข้นั ตอนต้งั แต่ตน้
จนจบ นกั เรียนจะไดร้ ับความรู้อยา่ งครบถว้ น โดยปฏิบตั ิตามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ศึกษาจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพ่ือใหท้ ราบวา่ เม่ือเรียนจบแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้ีแลว้ นกั เรียนสามารถเรียนรู้อะไรบา้ ง

2. นกั เรียนศึกษาใบความรู้และฝึกทกั ษะที่กาหนดไว้ เพ่อื ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจ
ในเน้ือหามากข้นึ

3. นกั เรียนตอ้ งมีความซื่อสัตยต์ ่อตนเอง ไม่ดูเฉลยก่อน ถา้ นกั เรียนขาด
ความซื่อสตั ยแ์ ลว้ จะไมป่ ระสบผลสาเร็จในการศึกษาตามแบบฝึกทกั ษะน้ี

4. ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรมลงในแบบฝึกทกั ษะที่ครูแจกให้
5. เมื่อนกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จแลว้ ให้ตรวจสอบคาตอบกบั เฉลย
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน แลว้ ตรวจคาตอบจากน้นั บนั ทึกคะแนน
7. การประเมินผล แบบทดสอบหลงั เรียน มีจานวน 10 คะแนนทาได้ 8 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 4

เร่ือง ภาคตดั กรวย

ใบความรู้ชุดที่ 3 สมการวงกลมในรูปทว่ั ไป

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ค31202 ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4

จากสมการ 2 22

(x – h) + (y – k) = r

2 22 22
จะได้ x – 2hx + h + y – 2ky + k = r

22 2 22
x + y – 2hx – 2ky + h + k – r = 0

22

รูปท่ัวไปของสมการวงกลม x + y + Dx + Ey + F = 0

ตัวอย่าง 1 จากจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมจี งเขียนรูปท่วั ไปของสมการวงกลม

(h, k)=(3,-4) และ r = 5 (h, k)=(2, 4) และ r = 4

วธิ ีทา วธิ ีทา

แทนค่า h=3 , k=-4 , r=5 แทนค่า h=2 , k= 4 , r = 4
ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

(x – 3)2 +(y –(-4)2 = 52 (x – 2)2 +(y - 4)2 = 42
จะได้ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 52
x2–4x +4 +y2 - 8y + 16 = 16
x2–6x +9 +y2+8y+16 = 25
ดังน้นั x2 + y2-4x -8y +4=0
ดงั น้นั x2 + y2–6x + 8y = 0
คือ รูปทว่ั ไปของสมการวงกลม
คือ รูปทัว่ ไปของสมการวงกลม

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 5

เรื่อง ภาคตดั กรวย

. จากสมการรูปทว่ั ไปของวงกลมจงหาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมี

ตัวอย่าง 2

x2 + y2 + 14x + 2y + 1 = 0

วิธที า สมการอย่ใู นรูปของ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
ดังน้นั จะได้ D = 14 , E = 2 และ F = 1

เพราะว่า C(h, k ) = C  −D , −E  = C  −14 , −2  = C (−7, −1)
 2 2   2 2 

เพราะว่า r = h2 + k2 − F
= (−7)2 + (−1)2 −1 = 49 +1−1 = 49 = 7

แทนค่า h = - 7 , k = - 1 และ r = 7 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

จะได้ ( x – ( - 7 ) )2 + ( y – ( - 1 ) ) 2 = 72 ซึ่งเป็ นรูปมาตรฐาน

โดยมีจดุ ศูนย์กลาง คือ C( h, k) = C(-7, -1) และรัศมีของวงกลม คือ 7 หน่วย

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 6

เร่ือง ภาคตดั กรวย

x2 + y2 – 24x – 6y – 153 = 0

วิธที า จาก x2 + y2 – 24x – 6y –153 = 0 อยู่ในรูปของ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
ดังน้นั จะได้ D = - 24 , E = - 6 , F = - 153

เพราะว่า h = −D = −(24) = 12
22

k = −E = −(−6) = 3
22

r = h2 + k 2 − F = 122 + 32 − (−153)

= 144 + 9 +153 = 306

แทนค่า h = 12 , k = 3 , r = 306 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2
จะได้( x – 12 )2 + ( y – 3 )2 = ( 306)2 ซ่ึงเป็ นรูปมาตรฐานของวงกลม
โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ C(h, k) = C(12, 3) และรัศมีของวงกลม คือ 306 หน่วย

36x2 + 36y2 + 24x – 12y – 319 = 0

วิธีทา นา 36 หารตลอด จะได้ x2 + y2 + 2 x − 1 y − 319 = 0

3 3 36

ซ่ึงอยใู่ นรูปของ x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0

ดงั น้นั จะได้ D = 2 , E = − 1 และ F = − 319
33 36

เพราะวา่ h = −D = −  2 = −1
2  2 3  3

k = −E = −(−1) = 1
2 23 6

r= h2 + k2 − F =  −1 2 +  1 2 −  −319 
 3   6   36 

= 1 + 1 + 319 = 4 +1+ 319 = 324 = 9 = 3
9 36 36 36 36

แทนค่า h = −1,k = 1 และ r = 3 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

36

จะได้  x −  −1 2 +  y − 1 2 = 32 ซ่ึงเป็ นรูปมาตรฐานของวงกลม
  3   6 

มจี ุดศูนย์กลาง คือ C(h, k) = C  −1 , 1  และรัศมีของวงกลม คือ 3 หน่วย
 3 6 

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 7

เร่ือง ภาคตดั กรวย

ความรู้ทต่ี ้องใช้

วงกลมสัมผสั กบั เส้นตรง Ax + By + C = 0
r = ระยะทางจากจุด ( h , k ) ไปยงั เส้นตรง Ax + By + C = 0

r =d = Ax1 + By1 + C
A2 + B2

ตวั อย่าง 3 จงหาสมการของวงกลมท่สี ัมผสั กบั เส้นตรง Ax + By +C= 0

จงหาสมการของวงกลมท่สี ัมผัสกบั เส้นตรง 3x + 2y – 5 = 0

และมจี ุดศูนย์กลางอยู่ท่ี (4 , 2)

วธิ ีทา ให้ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 ----------------------------

เพราะว่า r = ระยะทางจากจดุ (4 , 2) ไปยังเส้นตรง 3x + 2y – 5 = 0

จาก r = d = Ax1 + By1 + C

A2 + B2

ดังน้นั จะได้ = 3(4) + 2(2) − 5 = 12 + 4 − 5 = 11
32 + 22 13 13

แทนค่า h = 4 , k = 2 , r = 11 ใน  จะได้

13

(x – 4)2 + (y – 2)2 =  11 2
 13 

x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 121

13

x2 + y2 – 8x – 4y + 20 = 121

13

13x2 + 13y2 – 104x – 52y + 260 = 121

13x2 + 13y2 – 104x – 52y + 139 = 0 ซ่ึงเป็ นสมการวงกลมทต่ี ้องการ

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 8

เร่ือง ภาคตดั กรวย

จงหา k ทีท่ าให้วงกลม x2 + y2– 8x + 10y + k = 0 มรี ัศมียาว 7 หน่วย

วธิ ที า จาก x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0 อย่ใู นรูปของ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
จะได้ D = - 8 , E = 10 , F = k

เพราะว่า h = −D = −(−8) = 4
จาก 22

k = −E = −10 = −5
22

r = h2 + k2 − F

แทนค่า r = 7, h = 4, k = −5, F = k

7 = 42 + (−5)2 − k

นน่ั คือ 49 = 16 + 25 − k
49 = 41− k
k = −8
k = −8

จงหาสมการของวงกลมท่ีมีจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กกลางเป็ น (5 , - 1) และ (- 3 , 7)

วิธีทา ให้ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 -------------------------------

เนื่องจากจดุ ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม คือ (5 , - 1) และ (- 3 , 7)

ดังน้ันจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ จุดกง่ึ กลางระหว่างจดุ (5 , - 1) และ (- 3 , 7)

เพราะฉะน้นั จุด C (h, k) = C  5 − 3 , −1 + 7  = C (1, 3)
 2 2 

และรัศมีของวงกลม (r) = ระยะทางระหว่างจดุ C(1, 3) และ (-3, 7)

= (1− (−3))2 + (3 − 7)2

= 42 + (−4)2 = 32

แทนค่า h = 1 , k = 3 และ r = 32 ใน  จะได้
(x – 1)2 + (y – 3)2 = ( 32)2

หรือ x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0 ซ่ึงเป็ นสมการวงกลมทีต่ ้องการ

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 9

เรื่อง ภาคตดั กรวย

จงหาสมการวงกลมทผ่ี ่านจุด(4,5), (3,-2) และ (1,-4)

วิธที า ให้ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ------------------------------

วงกลมผ่านจุด (4,5) ดังน้นั แทนค่า x = 4, y = 5 ใน  จะได้

42 + 52 + 4D + 5E + F = 0

4D + 5E + F = - 41 --------------------------------
วงกลมผ่านจุด (3, - 2) ดังน้นั แทนค่า x = 3, y = - 2 ใน  จะได้

32 + (- 2)2 + 3D – 2E + F = 0

3D – 2E + F = - 13 ---------------------------------→
วงกลมผ่านจดุ (1 , -4) ดงั น้นั แทนค่า x = 1 , y = - 4 ใน  จะได้

12 + (- 4)2 + D – 4E + F = 0

นา  - → ; D – 4E + F = - 17 ---------------------------------
D + 7E = - 28
--------------------------------

→-; 2D + 2E = 4
D+E = 2

หรือ E = 2 – D ---------------------------------
แทนค่า E = 2 – D ใน  จะได้

D + 7(2 – D) = - 28
D + 14 – 7D = - 28

- 6D = - 28 – 14 = -42

D = −42 = 7

−6

แทนค่า D = 7 ใน  จะได้ E = 2 – 7 = - 5

แทนค่า D = 7 , E = - 5 ใน → จะได้
3(7) – 2(- 5) + F = - 13
21 + 10 + F = - 13
F = - 13 – 31 = - 44

แทนค่า D = 7, E = - 5, F = - 44 ใน  จะได้ ตอบ
x2 + y2 + 7x – 5y – 44 = 0

ซ่ึงเป็ นสมการวงกลมท่ีต้องการ

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 10

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 3 สมการในรูปทัว่ ไปของวงกลม

 จากจดุ ศูนย์กลางและความยาวรัศมจี งเขยี นรูปทว่ั ไปของสมการวงกลม

x 2+ y 2+Dx+Ey+F = 0

(h, k)=(3, 4) และ r = 6 (h, k)=(-2, -1) และ r = 4

วธิ ีทา วธิ ีทา

แทนค่า h=...... , k=......, r =......
ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

(x –.....)2 +(y –.....)2 =......2

จะได้

คือ รูปทว่ั ไปของสมการวงกลม

(h, k)=(-4, 2) และ r = 6 (h, k)=(2,-3) และ r = 7

วธิ ีทา วธิ ีทา

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 11

เร่ือง ภาคตดั กรวย

จากสมการรูปทัว่ ไปของวงกลมจงหาจดุ ศูนย์กลางและความยาวรัศมี

4x2 + 4y2 – 60x – 20y + 225 = 0

วิธที า

36x2 + 36y2 + 24x – 12y – 319 = 0

วิธที า

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ 12

เรื่อง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 3 สมการในรูปท่วั ไปของวงกลม

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบที่ถูกตอ้ งที่สุดเพียงขอ้ เดียวและทาเครื่องหมาย X
ลงในกระดาษคาตอบ

1. วงกลมมีจุดศูนยก์ ลางท่ี (3, 2) รัศมี 4 หน่วย มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16 2. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 16

3. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 4. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

2. วงกลมมีจุดศนู ยก์ ลางท่ี (-1, 2) รัศมี 5 หน่วย มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 2. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

3. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 25 4. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25

3. วงกลมมีจุดศูนยก์ ลางที่ (3, -4) รัศมี 5 หน่วย มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 + y2–6x + 8y -16 = 0 2. x2 + y2–6x + 8y +16 = 0

3. x2 + y2–6x + 8y = 0 4. x2 + y2+6x + 8y = 0

4. วงกลมมีจุดศูนยก์ ลางท่ี (2, 4) รัศมี 4 หน่วย มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 + y2-4x -8y -4 = 0 2. x2 + y2-4x -8y +4 = 0

3. x2 + y2+ 4x + 8y +4 = 0 4. x2 + y2+ 4x + 8y – 4 = 0

5. วงกลม x2 + y2+ 14x + 2y + 1 = 0 มีจุดศนู ยก์ ลางตรงกบั ขอ้ ใด

1. (7, -1) 2. (7, 1)

3. (-7, 1) 4. (-7, -1)

6. วงกลม 36x2 + 36y2 + 24x – 12y – 319 = 0 มีความยาวรัศมีตรงกบั ขอ้ ใด

1. 7 หน่วย 2. 5 หน่วย

3. 3 หน่วย 4. 2 หน่วย

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 13

เรื่อง ภาคตดั กรวย

7. จากกราฟของวงกลมท่ีบอกจุดศูนยก์ ลาง และสัมผสั แกน X มีสมการตรงกบั ขอ้ ใด
1. x2 + y2 – 6x – 10y - 9 = 0
2. x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0
3. x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
4. x2 + y2 + 6x + 10y - 9 = 0

8. จากกราฟของวงกลม ที่บอกจุดศนู ยก์ ลาง และรัศมีมีสมการตรงกบั ขอ้ ใด

Y X 1. x2 + y2 – 2x +4y + 30 = 0
2. x2 + y2 – 2x +4y – 20 = 0
5 3. x2 + y2 – 2x +4y + 20 = 0
(1,-2) 4. x2 + y2 – 2x +4y – 30 = 0

9. ค่า k ที่ทาใหว้ งกลม x2 + y2– 8x + 10y + k = 0 มีรัศมียาว 7 หน่วยตรงกบั ขอ้ ใด
1. 7 2. -7
3. 8 4. -8

10. สมการของวงกลมที่มีจุดปลายเส้นผา่ นศูนยก์ กลางเป็น(5,- 1) และ (- 3,7)ตรงกบั ขอ้ ใด

1. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 6y + 22 = 0

3. x2 + y2 + 2x + 6y – 22 = 0 4. x2 + y2 + 2x + 6y + 22 = 0

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 14

เร่ือง ภาคตดั กรวย

เฉลย แบบฝึ กทักษะที่ 3 สมการในรูปท่วั ไปของวงกลม



(h, k)=(3, 4) และ r = 6 (h, k)=(-2, -1) และ r = 4

วธิ ีทา วธิ ีทา

แทนค่า h=3 , k= 4 , r=6 แทนค่า h=-2 , k= -1 , r=4
ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

(x – 3)2 +(y – 4)2 = 62 (x +2)2 +(y + 1)2 = 42

จะได้ จะได้

x2–6x +9 +y2-8y+16 = 36 x2+4x +4 +y2+2y+1 = 16
หรือ x2–6x+9+y2-8y+16-36=0 หรือ x2+4x +4 +y2+2y+1=0

x2+y2–6x -8y-11= 0 x2+y2+4x +2y-11=0

คือ รูปทว่ั ไปของสมการวงกลม คือ รูปทว่ั ไปของสมการวงกลม

(h, k)=(-4, 2) และ r = 6 (h, k)=(2,-3) และ r = 7

วธิ ีทา วธิ ีทา

แทนค่า h=-4 , k= 2 , r=6 แทนค่า h=2 , k= -3 , r=7
ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2 ใน (x – h)2 + (y– k)2 = r2

(x + 4)2 +(y – 2)2 = 62 (x – 2)2 +(y + 3)2 = 72

จะได้ จะได้

x2+8x +16 +y2-4y+4 = 36 x2–4x +4 +y2+6y+9 = 49
หรือ x2+8x+16+y2-4y+4-36=0 หรือ x2–4x +4 +y2+6y+9-49=0

x2+y2+8x-4y-16=0 x2+y2–4x +6y-36=0

คือ รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ รูปทัว่ ไปของสมการวงกลม

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ 15

เรื่อง ภาคตดั กรวย



4x2 + 4y2 – 60x – 20y + 225 = 0

วิธีทา รูปมาตรฐานท่ี 1 ของสมการวงกลม คือ -----------------------------

( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
จาก 4x2 + 4y2 – 60x –20y + 225 = 0
นา 4 หารตลอด จะได้

x2 + y2 – 15x – 5y + 225 = 0 อยใู่ นรูปของ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

4

จะได้ D = -15 , E = -5 และ F = 225

4

เพราะวา่ h = −D = −(−15) = 15

2 22

kh = −E = −(−5) = 5

2 22

r= h2 + k2 − F =  15 2 +  5 2 − 225
 2   2  4

= 225 + 25 − 225 = 25 = 5
444 42

แทนคา่ h = 15 , k = 5 และ r = 5 ใน  จะได้
22 2

 x − 15 2+ y − 5 2 =  5 2 ซ่ึงเป็ นรูปมาตรฐาน ของสมการวงกลมโดยมี
 2 2   2 

จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม คือ C (h, k ) = C  15 , 5 
 2 2 

และรัศมีของวงกลม คือ 5 หน่วย

2

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 16

เรื่อง ภาคตดั กรวย

36x2 + 36y2 + 24x – 12y – 319 = 0

วิธที า รูปมาตรฐานที่ 1 ของวงกลม คือ ---------------------------
(x – h )2 + ( y – k )2 = r2

จาก 36x2 + 36y2 + 24x – 12y – 319 = 0
นา 36 หารตลอด จะได้

x2 + y2 + 2 x − 1 y − 319 = 0
3 3 36

ซ่ึงอยู่ในรูปของ x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0

ดังน้นั จะได้ D = 2 , E = − 1 และ F = − 319
33 36

เพราะว่า h = −D = −  2 = −1
2  2 3  3

k = − E = − − 1  = 1
2 32 6

r = h 2 + k 2 − F =  − 12 +  1 2 −  − 319 
 3   6   36 

=  1  +  1  −  319 
 9   36   36 

=  4  +  1  +  319  = 324 = 9 = 3
 36   36   36  36

แทนคา่ h = −1, k = 1 และ r = 3 ใน  จะได้

36

 x + 1 +2 +  y − 1 2 = 32 ซ่ึงเป็นรูปมาตรฐานของสมการวงกลม

 3  6

โดยมี

จุดศูนยก์ ลางของวงกลม คือ C(h, k ) = C − 1 , 1 

 3 6

และรัศมีของวงกลม คือ 3 หน่วย

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ 17

เร่ือง ภาคตดั กรวย

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 3 รูปท่ัวไปของสมการวงกลม

ข้อท่ี เฉลย

11
22
33
42
54
63
73
82
94
10 1

แลว้ พบกนั
เล่มท่ี 4 นะจะ๊

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ 18

เรื่อง ภาคตดั กรวย

กนกวลี อุษณกรกุล, ปาจรี วชั ชวลั คแุ ละสุเทพ บญุ ซอ้ น, ดร. หนงั สือเรียน สาระการเรียนรู้
เพม่ิ เติม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2. บริษทั อกั ษรเจริญ
ทศั น์ อจท. จากดั : กรุงเทพมหานคร, พมิ พค์ ร้ังที่ 3, 2547.

กิตติคณุ ยพุ ิน พพิ ิธกุล และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ วิเคราะหค์ ณิตศาสตร์ ม.4
เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พ.ว.), 2550.

_______. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีเน้นผเู้ รียนเป็นสาคญั คณิตศาสตร์ ม.4 เลม่ 1. กรุงเทพฯ :
พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ (พ.ว.), 2548.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา, แบบฝึกมาตรฐานการแมค็ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 2 ช่วงช้นั ท่ี 4
(ม.4 - ม.6) เลม่ ที่ 2 ม.4 ภาคเรียนท่ี 2. บริษทั สานกั พมิ พแ์ มค็ จากดั : กรุงเทพมหานคร,
2548.

ประทีป โรจนวิภาต. สัมฤทธ์ิมาตรฐานคณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี : ไทยร่มเกลา้ , 2545.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม

คณิตศาสตร์ เลม่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4. หลกั สูตร
การศึกษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว: กรุงเทพมหานคร,
พิมพค์ ร้ังท่ี 3, 2552.
สมยศ ววิ ฒั นปฐพี, ผชู้ ่วยศาสตราจารย,์ มาลินทร์ อิทธิรส, ผชู้ ่วยศาสตราจารย์ และอนนั ทศิลป์
รุจิเรจ, อาจารย.์ หนงั สือเรียนสาระการเรียนรู้พ้ืนฐาน คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2544.
สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.): กรุงเทพมหานคร, พิมพค์ ร้ังที่ 1, 2547.
สุนนั ท์ ปัทมพรหม และคณะ. ส่ือการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะตามมาตรฐานการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ 1. กรุงเทพฯ : นิยมวทิ ยา, 2546.
สาราญ มีแจง้ และรังสรรค์ มณีเลก็ . สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 2 สมบูรณ์แบบ.
กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช, 2547.