ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (group assignment AS1203A & AS1203C5K)

Amirah Hana Mohamed Nor

ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (GROUP ASSIGNMENT)
INTEGRATION BY U-SUBSTITUTION

Use an appropriate substitution to evaluate the following

∶ 1 +
1. ∫ (9 − 2)32
2. ∫ (9 − 2)23 √9 − 2

(1 − ) ∶ − 1 (9 − 2)52 +
3. ∫ 2 5

( )2 ∶ − 1 (1 − )2 +
4. ∫ 2

∶ 1 ( )3 +
2

√1 + ∶ 2 (1 + )23 +
5. ∫ 3 9

6. ∫ 3 − 2 ∶ − 3 − 2 +
2

7. ∫ 2 − 3 ∶ − 1 − 3 +
3

8. ∫ 2√1 + 2 ∶ 1 (1 + 3 +
3
2 )2

9. ∫ 3 2( 2) ∶ − 3 ( 2) +
2

10. ∫ 2 2( 3) ∶ 1 ( 3) +
3

11. ∫ 3 ∶ − 1 3 +
3

12. ∫ 3 ∶ 1 3 − +
3

13. ∫ 2 ∶ − 1 | 2 | +
2

−12 ∶ 1 ( −12 )2 +
14. ∫ 1 + 4 2 4

1 ∶ 1 ( | −12 |) +
15. ∫ (1 + 4 2) −1(2 ) 2

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ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (GROUP ASSIGNMENT)

INTEGRATION BY PARTIAL FRACTIONS

Decomposed into the sum of partial fraction. Hence evaluate the following

4 + 3 − 2 2 − 4 4 + 3 − 2 2 − 4
1. ∫ ( 2 − 4)( + 1)

112
∶ ( 2 − 4)( + 1) = − + 2 + − 2 + + 1

4 − 2 3 + 6 2 − 6 + 6 4 − 2 3 + 6 2 − 6 + 6
2. ∫ ( 2 + 4)( − 1)

∶ 21
= − 1 + 2 + 4 + − 1
( 2 + 4)( − 1)

5 + 2 5 + 2 131
3. ∫ ( 2 − 4)( − 2)

∶ ( 2 − 4)( − 2) = 2( − 2) + ( − 2)2 − 2( + 2)

3 − 3 − 9 3 − 3 − 9 1 1 2
4. ∫ 2( − 3)2

1
∶ 2( − 3)2 = − − 2 + − 3 + ( − 3)2

4 2 − 2 4 2 − 2
5. ∫ ( − 1)2( 2 + 1)

2 1 1 − 2
∶ ( − 1)2( 2 + 1) = − 1 + ( − 1)2 + 2 + 1

2 4 + 8 3 + 5 2 + 25 2 4 + 8 3 + 5 2 + 25
6. ∫ ( + 4)( 2 + 4)

1 1 − 2
∶ ( + 4)( 2 + 4) = 2 − + 4 + 2 + 4

5 2 + 12 − 12 5 2 + 12 − 12
7. ∫ ( + 4)2( 2 + 4)

1 1
∶ ( + 4)2( 2 + 4) = − + 4 + ( + 4)2 + 2 + 4

8 3 − 4 2 − 2 8 3 − 4 2 − 2 2 1
8. ∫ (2 − 1)3 ∶ (2 − 1)3 = 1 + 2 − 1 − (2 − 1)3

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ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (GROUP ASSIGNMENT)

− 3 + 2 + 1 − 3 + 2 + 1 1 −
9. ∫ ( 2 + 1)2


∶ ( 2 + 1)2 = 2 + 1 + ( 2 + 1)2

4 − 2 3 + 5 2 − 5 + 5 4 − 2 3 + 5 2 − 5 + 5
10. ∫ ( − 1)( 2 + 1)

1 − 2
∶ = − 1 + − 1 + 2 + 1
( − 1)( 2 + 1)

3 + 9 2 + + 99 3 + 9 2 + + 99
11. ∫ ( + 9)( 2 + 9)

1 1 −
∶ ( + 9)( 2 + 9) = 1 + + 9 + 2 + 9

8 2 + 72 − 90 8 2 + 72 − 90
12. ∫ ( + 9)2( 2 + 9)

1 1
∶ ( + 9)2( 2 + 9) = − + 9 − ( + 9)2 + 2 + 9

9 − 9 9 − 9 1 1 1 −
13. ∫ 2( 2 + 9) ∶ 2( 2 + 9) = − 2 + 2 + 9

− 3 3 − 3 3
14. ∫ (1 − )2(1 + 2)

31 2
∶ (1 − )2(1 + 2) = 1 − − (1 − )2 − 1 + 2

15. ∫ − 4 + 3 3 − 3 2 − 1

(1 − )3 − 4 + 3 3 − 3 2 − 1

12
∶ = + (1 − )2 − (1 − )3
(1 − )3

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ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (GROUP ASSIGNMENT)

INTEGRATION BY TRIGONOMETRIC SUBSTITUTION

Use trigonometric substitution to evaluate the following

1. ∫ 3 √4 + 9 2 ∶ 1 (√4 + 3 +
9
9 2)

√4 − 9 2 ∶ −√4 − 9 2 − 3 −1 3 +
2. ∫ 2 (2)

√9 2 − 4 ∶ √9 2 − 4 − 2 −1 3 +
3. ∫ (2)

4. ∫ 3 ∶ 1 (√ 2 − 3 + 4√ 2 − 4 +
3
√ 2 − 4 4)

5. ∫ 3 ∶ −4√ 2 + 4 + 1 (√ 2 + 3 +
3
√ 2 + 4 4)

6. ∫ 3 ∶ 1 (√4 − 3 − 4√4 − 2 +
3
√4 − 2 2)

7. ∫ 1 √16 − 2
∶ − 16 +
2√16 − 2

8. ∫ 1 √16 + 2
∶ − 16 +
2√16 + 2

9. ∫ 1 √ 2 − 16
∶ 16 +
2√ 2 − 16

1 ∶ − 1 − 9 − 1 −1 +
10. ∫ ( 2 − 9)23 3√ 2 27 (3)

∶ − 1 +
11. ∫ ( 2 + 9)23
√ 2 + 9

∶ 1 +
12. ∫ (9 − 2)23
√9 − 2

∶ − 1 +
13. ∫ ( 2 − 9)23
√ 2 − 9

14. ∫ 3 ∶ − 1 √1 + 4 2 + 1 (√1 + 3 +
16 48
√1 + 4 2 4 2)

15. ∫ 3 ∶ 1 (√4 2 − 3 + 1 √4 2 − 1 +
48 16
√4 2 − 1 1)

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ASSESSMENT 3 MAT238 DEC 2022 (GROUP ASSIGNMENT)

INTEGRATION BY PARTS

Use integration by parts to evaluate the following

1. ∫ −1( 2) ∶ 1 2 −1( 2 ) − 1 |1 + 4| +
2. ∫ 2 ℎ(4 ) 2 4
3. ∫ 2(3 )
∶ 1 2 ( ℎ(4 ) + 2 ℎ(4 )) +
−6
4. ∫ ( − 1)2
1 1 | (3 )| +
∶ − 3 (3 ) + 9

∶ − + | − 1| +
1 −

1 ∶ − 1 2 + 1 2 +
5. ∫ ( ) 2 4
6. ∫ ℎ−1
7. ∫ ( ) ∶ ℎ−1 + 1 |1 − 2| +
8. ∫ 2 (3 + 1) 2
9. ∫(4 2 + 1) (2 )
∶ ( ( ) − ( )) +
2

22
∶ 3 (3 + 1) + 9 (3 + 1) +

∶ 2 2 (2 ) + 2 (2 ) − 1
2 (2 ) +

10. ∫( + 1) +2 ∶ +2 +



11. 2 2 + 2) ∶ = 3.1416

∫ (

0

12. ∫ −1(2 ) ∶ 1 2 −1(2 ) − 1 −1(2 ) + 1 √1 − 4 2 +
2 16 32

13. ∫ 2(4 ) ∶ 1 (4 ) + 1 | (4 )| +
4 16

14. ∫ 3 (2 ) ∶ 1 3 [3 (2 ) + 2 (2 )] +
13

15. ∫(3 2 − 1) (3 ) ∶ − 1 (3 2 − 1) (3 ) + 22 +
3 3 (3 ) + 9 (3 )

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