Matrix

Matrix

จัดทำโดย

นายธนภัทร ธีรานันตชัย ม.4/2 เลขที่ 26

Matrix

ประเภทของเมทริกซ์
เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) คือ เมทริกซ์ที่

มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0

เมตริกซ์หลัก (Column Matrix ) เป็น
Matrix ที่มีสมาชิกเพียงหลักเดียว

Matrix

ประเภทของเมทริกซ์
เมทริกซ์แถว (Diagonal Matrix) เป็นเมทริกซ์

ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียว

เมทริกซ์จัตุรัส (Scalar Matrix) เมทริกซ์ที่มี
จำนวนหลักและแถวเท่ากัน

Matrix

ประเภทของเมทริกซ์
เมทริกซ์สเกลาร์ (Identity Matrix) เป็นเม
ทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก
เท่ากันหมด และสมาชิกที่เหลือเป็น 0 หมด

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Scalar Matrix) เป็น
สเกลาร์เมทริกซ์ที่มีเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น
1 เท่ากันหมด สัญลักษณ์ใช้ I แทน Identity

Matrix

Matrix

การบวก ลบ เมทริกซ์
การบวก และการลบเมทริกซ์ คือ
การนำเอาสมาชิกของเมทริกซ์ซึ่งอยู่ในตำแหน่ง
เดียวกันของเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน
มาบวกหรือลบกัน ทำให้ได้เมทริกซ์ใหม่ เช่น

Matrix

สมบัติการบวก ลบ เมทริกซ์
1.) สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวก

กันแล้วผลลัพธ์ยังเป็นเมทริกซ์เหมือนเดิมและมิติก็
เท่าเดิมด้วย



2.) สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเม
ทริกซ์ จะได้ว่า A +B = B +A



3.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B +
C)



4.) สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การ
บวกของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ศูนย์ (สมาชิกทุก
ตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทนด้วย

5.) สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆ
แล้วจะได้ว่า (-A) เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A ซึ่งเมื่อนำ

A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เมทริกซ์ศูนย์

Matrix

การคูณ เมทริกซ์ด้วย จำนวนจริง
การคูณ เมทริกซ์ด้วย "จำนวนจริง" คือ

การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธี
การคูณแบบนี้สามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไป
คูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้องคูณ
ทุกตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้
เช่น

การคูณ เมทริกซ์ด้วย จำนวนจริง
ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ และ c, d เป็น
จำนวนจริง
1.) (cd)A = c(dA) = d(cA) เช่น
2.) c(A + B) = cA + cB
3.) (c + d)A = cA + dA
4.) 1(A) = A และ -1(A) = -A

Matrix

การคูณ เมทริกซ์ด้วย เมทริกซ์
การคูณ เมทริกซ์ด้วย "เมทริกซ์" คือ

เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้
1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ
จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลัง
2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวน
แถวของตัวหน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง เช่น

Matrix

วิธีการคูณเมทริกซ์

Matrix

สมบัติการคูณเมทริกซ์
1.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่
ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อ
กันได้ จะได้ A(BC) = (AB)C
2.) สมบัติการมีเอกลักษณ์
**เมทริกซ์ที่มีเอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส
3.) สมบัติการรแจกแจง
(A + B)C = AC + BC
A(B +C) = AB + AC
**เมทริกซ์จะมีสมบัติการแจกแจง เมื่อ A + B,
B + C, AB, AC, BC สามารถหาค่าได้

Matrix

ดีเทอร์มิแนนต์
ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของ
ตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็น
เมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ
A ด้วย det(A) หรือ
โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอใน
ข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า
3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก
**ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมี
เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเมทริกซ์
จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์
เพียงค่าเดียวเท่านั้น**
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

*หลักการจำคือ คูณลง - คูณขึ้น*

Matrix

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 จะซับ
ซ้อนกว่า 2×2 นิดหน่อย แต่ยังใช้หลักการเดิมคือ
คูณลง - คูณขึ้น และสิ่งที่เพิ่มมาก็คือ การเพิ่ม
จำนวนหลักเข้าไปอีก 2 หลัก ซึ่งหลักที่เพิ่มนั้นก็
คือค่าของ 2 หลักแรกนั่นเอง

Matrix

สมบัติเกี่ยวกับ ดีเทอร์มิแนนต์
ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ขนาด n×n
1.) โดยที่ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
2.) ถ้า สมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลัก
หนึ่ง) เป็น 0 ทุกตัว จะได้ว่า det(A) = 0
3.) ถ้า B คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับแถว
(หรือหลัก) ของ A เพียงคู่เดียว จะได้ว่า det(B)
= - det(A)
4.) ถ้า B เกิดจากการคูณค่าคงตัว c ในสมาชิก
แถวใดแถวหนึ่ง (หลักใดหลักหนึ่ง) ของ A จะได้
ว่า det(B) = cdet(A)
5.) det(AB) = det(A)det(B)
6.) det(In) = 1 และ det(0) = 0
7.) det(A^n) = ((det(A))^n
8.) A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ det(A) = 0
9.) A เป็ยเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ det(A)
ไม่เท่ากับ 0

Matrix

สมบัติเกี่ยวกับ ดีเทอร์มิแนนต์
10.) ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้วจะได้ว่า
det(A)^-1 = 1/det(A)
11.) ถ้า c เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า det(cA) = c^n
det(A) (n คือมิติของเมทริกซ์ A)
12.) สามเหลี่ยมล่าง และสามเหลี่ยมบน
ถ้าสมาชิกที่อยู่ใต้เส้นทะแยงมุมหลัก (หรือบน
เส้นทะแยงมุมหลัก) เป็น 0 ทุกตัว จะได้ว่า ค่าดีเท
อร์มิแนนต์จะเท่ากับ ผลคูณของสมาชิกเส้นทะ
แยงมุมหลัก

Matrix

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix)
คือ

เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก
เปลี่ยนหลักเป็นแถว เช่น แถวที่ 1 ก็เปลี่ยนเป็น
หลักที่ 1
สมมติให้ A เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า A^T คือเม
ทริกซ์สลับเปลี่ยน

Matrix

คุณสมบัติ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
1.) เมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนสองครั้งจะได้เม
ทริกซ์ต้นแบบ

2.) การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติ
การกระจายในการบวก เมื่อเมทริกซ์ทั้งสอง
สามารถบวกกันได้

3.)การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติ
การกระจายในการคูณ เมื่อเมทริกซ์ทั้งสอง
สามารถคูณกันได้ โปรดสังเกตว่าลำดับของการ
คูณจะเรียงย้อนกลับ ไม่ว่าจะมีกี่เมทริกซ์ก็ตาม

Matrix

คุณสมบัติ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
4.) การสลับเปลี่ยนของสเกลาร์ ก็จะได้สเกลาร์
ตัวเดิม จึงสามารถดึงตัวร่วมออกมาได้

5.) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีค่าเท่ากับดีเท
อร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

6.) ผลคูณจุด ของเวกเตอร์สองคอลัมน์ a กับ b
สามารถคำนวณได้จาก

7.) เมทริกซ์ผกผันของการสลับเปลี่ยน เท่ากับเม
ทริกซ์สลับเปลี่ยนของการผกผัน

Matrix

เมทริกซ์ผกผัน
เมทริกซ์ผกผัน (inversed Matrix) คือเมทริกซ์
ที่คูณกับเมทริกซ์ใดแล้วได้เป็นเมทริกซ์
เอกลักษณ์เมทริกซ์ผกผันของ A สามารถเขียน
แทนด้วย A^-1 โดยที่ A -1 A = AA-1 = I เม
ทริกซ์ผกผันเป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์จัตุรัส
ทุกเมทริกซ์ไม่จำเป็นต้องมีเมทริกซ์ผกผัน หาก
เมทริกซ์ใดมีเมทริกซ์ผกผัน แล้วเมทริกซ์นั้น
เรียกว่า เมทริกซ์ไม่ใช่เอกฐาน (non-singular
matrix) และเมทริกซ์ที่ไม่มีเมทริกผกผัน เรียก
ว่า เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เม
ทริกซ์ที่ ตัวกำหนดมีค่าเป็น 0 จะไม่มีเมทริกซ์
ผกผัน

Matrix

เมทริกซ์ผกผันแบบ 2 x 2

เมทริกซ์ผกผันแบบทั่วไป
การหาเมตริกซ์ผกผัน สำหรับเมทริกซ์ทั่วไปทำได้
ดังนี้
(1) คำนวณเมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix)
ของ A หรือ adj A โดยเมทริกซ์ผูกพัน เป็นเม
ทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ที่มีสมาชิก
ประกอบด้วยโคแฟกเตอร์ของสมาชิก A หรือ
adj A = [cij] nxn
(2)คำนวณเมทริกซ์ผกผันโดย
โดย det(A) ไม่เท่ากับ 0

Matrix

เมทริกซ์ผกผันแบบ 2 x 2

เมทริกซ์ผกผันแบบทั่วไป
การหาเมตริกซ์ผกผัน สำหรับเมทริกซ์ทั่วไปทำได้
ดังนี้
(1) คำนวณเมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix)
ของ A หรือ adj A โดยเมทริกซ์ผูกพัน เป็นเม
ทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ที่มีสมาชิก
ประกอบด้วยโคแฟกเตอร์ของสมาชิก A หรือ
adj A = [cij] nxn
(2)คำนวณเมทริกซ์ผกผันโดย
โดย det(A) ไม่เท่ากับ 0