คณิตศาสตร์ (1)

วิชา: คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เรื่อง

ลิมิตของลำดับอนันต์

&

อนุกรม

นางสาว ปัณฑารีย์ มะลิเผือก
ม.6/2 เลขที่40

ลิมิตของลำt ดับอนันต์

บทนิยาม

เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลำดับมีค่ามากขึ้นไม่ เข้าใกล้จำนวนจริงใดจำนวน
หนึ่ง ลำดับนี้จึงไม่มีลิมิตและไม่เป็นลำดับลู่เข้าเรียกลำดับอนันต์นี้ว่าลำดับลู่ออก (Divergent sequence)

ถ้า a1,a2,a3,…,an,… เป็นลำดับอนันต์เรียกลำดับนี้ว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent sequence)

ทฤษฎีบทที่1 ทฤษฎีบทที่2

ให้ r เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า ให้ r เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า

lim 1 = 0 และ
nlim nr =หาค่าไม่ได้ 1. ถ้า | r | < 1 แล้ว li
m rn = 0
nr
n n
8
8
88
lim2. ถ้า | r | > 1 แล้ว n rn =หาค่าไม่ได้

ทฤษฎีบทที่3

lim limให้ an, bn, tn เป็นลำดับของจำนวนจริง A,B, เป็นจำนวนจริง

และ C เป็นค่าคงตัวใดๆโดยที่n an= A และ n bn= B จะได้ว่า
88 8
8
lim1.ถ้า tn= c ทุกจำนวนเต็มบวก n แล้ว n tn = nlim c= c
lim c lim
2. 8 88ca = =nnlim8 88a = cA
n
lim n n lim

3. n (a n+ bn) an+ n 88 8bn = A+B

4. nlim (an- bn) =nlim an - nlim bn = A-B
lim nlim bn= AB
5. lim (a nx b n) = an
8 n 8 = nnlliimm
n an
+ bn A
B
( )6.ถ้า bn =/ 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B =/ 0 แล้ว lim an 88 =
bn

ลิมิตของลtำดับอนันต์

ทฤษฎีบทที่4 ให้ a1,a2,a3,..,an,...เป็นลำดับซึ่ง a = 0 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

limถ้า n 1 = 0 แล้วลำดับ a ,a ,a ,...,an,... จะลู่ออก
a 1 23
8 n
8

8
8
ทฤษฎีบทที่5 ให้ a เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
และ m เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

lim√ √ √ถ้า
lim=an r = mnlim an = m L
n แล้ว n m an
L

ตัวอย่าง

จงตรวจสอบว่าลำดับ an = n2 เป็ นลู่เข้าหรือลู่ออก
n+1

วิธีทำ lim lim n+1
n ( )1=
8 = n 88 n2
an
lim 1 +1n2
n
n

= lim 8 1 + lim 8 1
n n2
n n

= 0+0 = 0

ตอบ ลำดับ anเป็ นลู่ออก

อนุกรม

อนุกรมเลขคณิต

ให้ a1,a2,a3,...,anเป็ นลำดับเลขคณิตซึ่งมี d เป็ นผลต่างร่วม
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ

= =Sn 2n(a1+an) และ Sn 2n (2a1+(n-1)d)

ตัวอย่าง

จงหาผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต
7,15,23,...

วิธีทำ an= a1+(n-1)d

a7= 7+(7-1)8

= 7+48

= 275(57+55)
s7=

= 27 (62)

= 217 Ans.

อนุกรม

อนุกรมเรขาคณิต

ให้ a1,a2,a3,...,anเป็ นลำดับเรขาคณิตซึ่งมี r เป็ นอัตราส่วนร่วม
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ

= =Sn a11(-1r-rn) ; r 1

ตัวอย่าง

จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต

1,2,4,8,..

=Sวิธีทำ n a11-(1r-rn)

=S8 1(28-1)
2-1
=255 Ans.

TThyhyoaoauunn!!kk