BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Nama Mahasiswa : Prafitri Kusumaningrum Nomor Peserta : 0911250374042 Bidang Studi : Matematika PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG) FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS ISLAM MALANG 2023
PERSAMAAN LINGKARAN A. PENDAHULUAN 1. Deskripsi Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-hari. (Chaeruddin dkk, 2021) Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan sebagai pusat lingkaran. Jarak titik pusat ke titik pada lingkaran dinamakan sebagai jari-jari. Konsep lingkaran yang meliputi luas, keliling, panjang tali busur, luas juring, serta menghitung panjang garis singgung lingkaran telah kalian pelajari di SMP/MTs. Pada pertemuan ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu peserta didik untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri. Kemudian, kita juga akan mempelajari konsep lingkaran secara analitik meliputi persamaan lingkaran, kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran. 2. Capaian Pembelajaran 1. Menganalisis persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat (0,0) 2. Menganalisis persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat (, ) 3. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (1, 1 ) 4. Menganalisis persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien terhadap lingkaran 2 + 2 = 2 5. Menganalisis persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien terhadap lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 6. Menganalisis persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien terhadap lingkaran 2 + 2 + + + = 0
B. URAIAN MATERI PETA KONSEP Lingkaran Persamaan Lingkaran Berpusat di (0,0) dan berjari-jari r Berpusat di (a,b) dan berjari-jari r Persamaan Umum Lingkaran Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran Persamaan Garis Singgung dengan gradien m Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Kedudukan Dua Lingkaran
Sebelum mempelajari tentang persamaan garis singgung lingkaran, mari mengingat kembali tentang Persamaan Garis Lurus. Kemiringan/Gradien Garis ❖ Gradien Garis yang Melalui Dua Titik Perhatikan gambar berikut. Gambar 1. Garis Melalui Dua Titik Misalkan garis melalui titik (1, 1 ) dan (2, 2 ) maka gradien garis adalah = 2 − 1 2 − 1 ❖ Gradien Garis yang Saling Sejajar Jika Dua Garis saling sejajar, maka dua garis tersebut memiliki gradien sama. 1 = 2 ❖ Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus Jika dua garis saling tegak lurus, maka gradiennya saling berkebalikan negatif. 1 × 2 = −1 1 = − 1 2 Persamaan Garis Lurus ❖ Persamaan Garis Lurus yang memiliki gradien dan melalui titik (1, 1 ) adalah − 1 = ( − 1 ) ❖ Persamaan Garis Lurus yang melaui dua titik (1, 1 ) dan (2, 2 ) adalah − 1 2 − 1 = − 1 2 − 1 Ingat Kembali
Perhatikan Gambar Berikut dengan Cermat! Buatlah garis lurus yang menyinggung lingkaran dan melalui titik , titik , titik berikut ini! Tulislah informasi yang kalian dapat! Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Satu Titik , C B A
Mari Kita Menanya 1 Persamaan Garis Singgung di Titik , Masalah 1.1 Buatlah Garis yang melalui titik (1, 1 ) dan menyinggung lingkaran Setelah mengamati masalah di atas, 1. Bagaimana jika ditarik garis bantu yang melalui titik pusatnya? 2. Bagaimana kedudukan dua garis tersebut? 3. Bagaimana caranya menemukan persamaan garis singgungnya? Mari Kita Amati (1, 1 )
Mari Kita Mencoba Gunakan konsep persamaan garis lurus yang saling tegak lurus untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (1, 1 ) pada lingkaran 2 + 2 = 2 Alternatif Penyelesaian: (1, 1 ) Garis singgung … menyinggung lingkaran 2 + 2 = 2 di titik (1, 1 ). Karena ⊥ …. maka × 1 = −1 Persamaan Garis Singgungnya sebagai berikut − 1 = 1 ( − 1 )
Mari Kita Menalar Mari Kita Mengkomunikasikan Mari Kita Menyimpulkan Berdasarkan informasi yang sudah kalian dapatkan, cobalah temukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (1, 1 ) pada: 1. Lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 2. Lingkaran 2 + 2 + + + = 0 Lakukan penyelesaian seperti Langkah-langkah penyelesaian di atas! Setelah kalian mencoba menyelesaikan masalah di atas, diskusikan hal tersebut dengan teman kalian! Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Titik (1, 1 ) Pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah + = Pada lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah ( − )( − ) + ( − )( − ) = Pada lingkaran 2 + 2 + + + = 0 adalah + + ( + ) + ( + ) + =
Perhatikan Gambar Berikut dengan Cermat! Buatlah garis lurus yang menyinggung lingkaran dan melalui titik dan titik berikut ini! Tulislah informasi yang kalian dapat! Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Diketahui Gradiennya B A
Mari Kita Amati Mari Kita Menanya Masalah 1.2 Perhatikan ilustrasi berikut! Setelah mengamati masalah di atas, 1. Bagaimana bentuk persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0)? 2. Bagaimana bentuk umum persamaan garis lurus yang memiliki gradien ? 3. Apakah syarat dari dua garis yang saling bersinggungan? Ingat Kembali tentang nilai diskriminan. 4. Bagaimana caranya menemukan persamaan garis singgungnya?
Mari Kita Mencoba Sekarang, cobalah kalian substitusikan persamaan garis lurus ke persamaan lingkarannya
Mari Kita Menalar Mari Kita Mengkomunikasikan Mari Kita Menyimpulkan Berdasarkan informasi yang sudah kalian dapatkan, cobalah temukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki gradien pada: 1. Lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 2. Lingkaran 2 + 2 + + + = 0 Lakukan penyelesaian seperti Langkah-langkah penyelesaian di atas! Setelah kalian mencoba menyelesaikan masalah di atas, diskusikan hal tersebut dengan teman kalian! Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Kerjakan Latihan di bawah ini dengan benar dan ilustrasikan hasil pekerjaan kalian di aplikasi GeoGebra! 1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (−6, 8) pada lingkaran 2 + 2 = 100! Tugas Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang memiliki gradien Pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah = ± ξ + Pada lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah − = ( − ) ± ξ + Pada lingkaran 2 + 2 + + + = 0 adalah − = ( − ) ± ξ +
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( + 3) 2 + ( − 5) 2 = 36 pada titik (2, 3)! 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 1) pada lingkaran 2 + 2 − 2 + 4 − 5 = 0! 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2ξ2 pada lingkaran 2 + 2 = 16! 5. Diketahui lingkaran 2 + 2 + 4 − 2 + 1 = 0 . Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis : −3 + 4 − 1 = 0 terhadap lingkaran! Diskusikan dengan temanmu, persamaan garis singgung lingkaran dapat diimplementasikan dalam hal apa saja di kehidupan sehari-hari? Selanjutnya, diskusikan pula bagaimana cara menentukan persamaan gatis singgung lingkaran jika diketahui satu titik yang berada pada limgkaran tersebut? Bagaimana pula cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui garis lain yang tegak lurus terhadap garis singgung lingkaran tersebut? C. PENUTUP Kemiringan/Gradien Garis ❖ Gradien Garis yang Melalui Dua Titik Misalkan garis melalui titik (1, 1 ) dan (2, 2 ) maka gradien garis adalah = 2 − 1 2 − 1 ❖ Gradien Garis yang Saling Sejajar Jika Dua Garis saling sejajar, maka dua garis tersebut memiliki gradien sama. Forum Diskusi Rangkuman
1 = 2 ❖ Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus Jika dua garis saling tegak lurus, maka gradiennya saling berkebalikan negatif. 1 × 2 = −1 1 = − 1 2 Persamaan Garis Lurus ❖ Persamaan Garis Lurus yang memiliki gradien dan melalui titik (1, 1 ) adalah − 1 = ( − 1 ) ❖ Persamaan Garis Lurus yang melaui dua titik (1, 1 ) dan (2, 2 ) adalah − 1 2 − 1 = − 1 2 − 1 Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Titik (, ) Pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah + = Pada lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah ( − )( − ) + ( − )( − ) = Pada lingkaran 2 + 2 + + + = 0 adalah + + ( + ) + ( + ) + = Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang memiliki gradien Pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah = ± ξ + Pada lingkaran ( − ) 2 + ( − ) 2 = 2 adalah − = ( − ) ± ξ + Pada lingkaran 2 + 2 + + + = 0 adalah − = ( − ) ± ξ +
Kerjakan Soal Berikut dengan Benar, jika perlu ilustrasikan pada aplikasi GeoGebra! 1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2 + 2 = 13 dititik (2, −3)! 2. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1, −2) pada lingkaran ≡ ( − 1) 2 + ( − 3) 2 = 25! 3. Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, −1) pada lingkaran ≡ 2 + 2 + 6 − 4 − 45 = 0! 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien −3 pada lingkaran 2 + 2 = 25! 5. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis ≡ − 3 − 6 = 0 pada lingkaran 2 + 2 = 25! DAFTAR PUSTAKA B.K. Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan (Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam) SMA/MA Kelas XI. Penerbit Erlangga Suparno, dkk. 2021. PR Buku Interaktif Matematika Untuk SMA/MA Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam Kelas XI Semester 1. Penerbit Intan Pariwara Tes Formatif