แบบฝึกทักษะเรื่องวงกลม

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ 1
เรือ่ ง เรขาคณิตวิเคราะห์
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

เลม่ ที่ 1
รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม

นางนิธิวดี แพรวฒั นะสขุ
ครูชานาญการ

โรงเรยี นสารวิทยา
สานกั งานเขตพนื้ ที่การศึกษามธั ยมศึกษา กรุงเทพมหานคร เขต 2

สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน

2

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสรมิ ทักษะคณติ ศาสตร์ 2 เร่ืองภาคตดั กรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 กลุม่
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ จดั ทาขน้ึ เพอื่ พฒั นาศักยภาพการเรียนรขู้ องนักเรียน ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เป็นนวัตกรรมสาหรบั ครูนาไปใชป้ ระกอบการจดั การเรียนการสอนเพอ่ื ส่งเสรมิ ใหก้ าร
จัดกจิ กรรมการเรียนรมู้ ีประสิทธภิ าพและมีผลสาฤทธม์ิ ากย่ิงขึ้น โดยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ไดแ้ บง่ เน้ือหา
ออกเป็น 9 เลม่ ดงั น้ี

เล่มท่ี 1 เรื่อง รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง รปู แบบทว่ั ไปของสมการวงกลม
เล่มท่ี 3 เร่ือง สมการเส้นสมั ผัสวงกลม
เล่มท่ี 4 เร่อื ง รปู แบบมาตรฐานของสมการพาราโบลา
เล่มที่ 5 เรอื่ ง รูปแบบท่วั ไปของสมการพาราโบลา
เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง รปู แบบมาตรฐานของสมการวงรี
เลม่ ที่ 7 เร่ือง รปู แบบท่ัวไปของสมการวงรี
เล่มที่ 8 เรื่อง รปู แบบมาตรฐานของสมการไฮเพอร์โบลา
เลม่ ท่ี 7 เรื่อง รปู แบบทวั่ ไปของสมการไฮเพอร์โบลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ รายวชิ าเสริมทักษะคณติ ศาสตร์2 เรอ่ื งภาคตัดกรวย ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เลม่ น้ี
เปน็ แบบฝึกทักษะ เล่มท่ี 1 เร่ือง รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม ประกอบดว้ ย แบบทดสอบก่อนเรยี น ใบ
ความรู้ แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน สามารถนาไปใชไ้ ด้ทัง้ ในชวั่ โมงเรยี น และสาหรบั นาไปฝึกฝนเป็น
การบา้ น มตี ัวอย่างพร้อมคาอธิบายทาใหน้ กั เรยี นสามารถนาไปศึกษาไดด้ ้วยตนเองได้ เพ่ือนาไปสู่การพฒั นา
ศักยภาพของตนเองไดต้ ่อไป
ผู้จัดทาหวงั เปน็ อย่างยงิ่ วา่ แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เล่มน้ี จะเปน็ ประโยชน์สามารถสรา้ งทกั ษะความรู้
พืน้ ฐานให้กบั ผู้นาไปใชใ้ นการจดั การเรยี นการสอน ตลอดจนผู้ทไ่ี ด้นาไปศกึ ษาเพอื่ การเรียน รายวชิ าเสรมิ ทกั ษะ
คณิตศาสตร์2 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 2 เรื่องภาคตัดกรวย ต่อไป

ผู้จดั ทา
นิธวิ ดี แพรวัฒนะสขุ

สารบัญ 3
เรอื่ ง
คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ หนา้
สาระสาคญั
ผลการเรีนรู้ 1
จุดประสงค์การเรยี นรู้ 5
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 9
ใบความรทู้ ่ี 1 รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม 13
19
ท่ีมีจุดศนู ย์กลางอยู่ท่ีจุดกาเนิด (0,0) 26
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1
ใบความรูท้ ่ี 2 รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม

ท่ีมีจุดศนู ย์กลางอยู่ที่จุด (h,k)
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2
แบบทดสอบหลังเรยี น
บรรณานกุ รม

4

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

รายวชิ าเสริมทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 คะแนนเตม็ 10 คะแนน

เรอื่ ง สมการวงกลมรูปมาตรฐาน

คาชแี้ จง ให้นกั เรียนทาเครอ่ื งหมาย  ทับตวั เลอื กทถ่ี ูกตอ้ งทสี่ ุด Y

1. สมการในขอ้ ใดเปน็ สมการวงกลม 6.
ก. (x 1)2 (y 9)2 4

ข. x2 y2 1 0

ค. x2 (y 9)2 0

ง. (x 4)2 (y 1)2 25 0 X
X
2. สมการในข้อใดไมเ่ ป็นสมการของวงกลม

ก. x2 (y 4)2 11

ข. x2 y2 16

ค. x2 (y 1)2 3 0 จากกราฟข้างต้นเป็นกราฟของสมการในข้อใด
ก. x2 (y 9)2 16
ง. (x 2)2 (y 1)2 49 ข. (x 9)2 y2 16
ค. x2 (y 9)2 4
3. ข้อใดคือสมการของวงกลมท่มี ีจุดศนู ย์กลางอย่ทู ี่ ง. (x 9)2 y2 4
(1, 3) และมีรศั มยี าว 4 หน่วย
7. Y
ก. (x 1)2 (y 3)2 16
ข. (x 1)2 (y 3)2 4
ค. (x 1)2 (y 3)2 16

ง. (x 1)2 (y 3)2 4

4. สมการของวงกลมที่มีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่ ( 6,4)

และสมั ผัสกับแกน Y ตรงกับข้อใด
ก. (x 6)2 (y 4)2 16

ข. (x 6)2 (y 4)2 36

ค. (x 6)2 (y 4)2 16

ง. (x 6)2 (y 4)2 36

5. ขอ้ ใดคือสมการวงกลมท่ีมีจุดปลายเสน้ ผ่าศนู ยก์ ลาง

อยูท่ ี่ ( 3, 5) และ (1,7)
ก. (x 3)2 (y 5)2 80
ข. (x 2)2 (y 1)2 40 จากกราฟขา้ งต้นเปน็ กราฟของสมการในข้อใด
ค. (x 2)2 (y 1)2 80 ก. (x 5)2 (y 7)2 3
ง. (x 1)2 (y 1)2 40 ข. (x 7)2 (y 5)2 3
ค. (x 5)2 (y 7)2 9

ง. (x 7)2 (y 5)2 9

5

8. กราฟของสมการ (x 2)2 (y 1)2 4 9. ถา้ (x h)2 (y k)2 r2 เป็นสมการของ

ตรงกับข้อใด Y วงกลมทีม่ ีจุดศนู ยก์ ลางที่ (7,5) และผา่ นจุด (1, 3)
ก. แล้ว r 3h 2k มคี ่าตรงกับข้อใด

X ก. -1
Y
ข. ข. -3

ค. -5
ง. -7

10. ข้อใดคอื สมการของวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่
( 2, 9) และผ่านจดุ (6,6)

ก. (x 2)2 (y 9)2 172
ข. (x 2)2 (y 9)2 172
ค. (x 2)2 (y 9)2 232
ง. (x 2)2 (y 9)2 232

X

Y
ค.

X

Y
ง.

X

วงกลม Circle ความสมั พันธข์ องวงกลม 6

บทนิยาม
วงกลม Circle คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหน่ึงบนระนาบเป็นระยะคงท่ีเสมอ

โดยจุดคงที่นัน้ เรียกวา่ “จุดศนู ย์กลางของวงกลม (center)” และระยะคงท่เี รยี กวา่ “รัศมีของวงกลม (radius)”

Y

X

รปู ท่ี 1
กาหนดให้ P(x,y) แทน จุดใดๆ บนระนาบซง่ึ อยูห่ ่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะคงที่ เมอื่ วงกลม
มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และรัศมีของวงกลมมีขนาด r หน่วยแล้ว ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y จากระยะห่าง

ระวห่างจุด 2 จดุ สามารถสรา้ งไดด้ ังนี้

จากสตู ร (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 d ; สตู รระยะห่างระหวา่ งจุด 2 จดุ

จากรปู จะไดว้ า่ (x 0)2 (y 0)2 r ; (x1,y1) (x,y) ,(x2,y2 ) (0,0) และ d r

จะไดส้ มการวงกลมท่ีมีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุดกาเนดิ (0,0) คือ
r2 ; ยกกาลังสองทัง้ สองข้าง
x2 y2

เรียกสมการท่ีอยู่ในรูป x2 y2 r2 นี้ว่า สมการของวงกลม และเรียกสมการรูปแบบนี้ว่า รูปแบบ

มาตรฐานของสมการวงกลม

ในทานองเดียวกนั เม่ือวงกลมมจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ี (0,0) และรัศมีของวงกลมมขี นาด r หนว่ ย แลว้ พิจารณา

จากกราฟจะไดว้ ่า Y

P(x, y)
r
(h,k)

X

7

จากสูตร (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 d ; สตู รระยะห่างระหว่างจุด 2 จดุ

จากรูปจะไดว้ า่ (x h)2 (y k)2 r ; (x1,y1) (x,y) ,(x2,y2 ) (h,k) และ d r

จะไดส้ มการวงกลมทม่ี ีจดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุดกาเนดิ (h,k) คอื
(x h)2 (y k)2 r2 ; ยกกาลังสองทั้งสองข้าง

r2 0 ลกั ษณะของกราฟเม่ือพจิ ารณาจากรศั มี r2 r2 0
Y r2 0 Y

Y

P(x, y)
r

(h,k) X X
X

กราฟของสมการที่กาหนดคือ กราฟของสมการท่ีกาหนดคือจดุ สมการทกี่ าหนดจะไม่มีกราฟ
วงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางที่ (h,k) (h,k)

และมีรศั มี r หน่วย

ดงั นนั้ เมื่อวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยทู่ ่ีจดุ กาเนิด (0,0) นน่ั คือ h 0 และ k 0 จะได้สมการรปู

มาตรฐานของวงกลมดงั น้ี r2

x2 y2

รปู มาตรฐานของสมการวงกลม (Standard equation) ทม่ี จี ดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ่ี (h,k) และมีรัศมยี าว r หนว่ ย คอื
(x h)2 (y k)2 r2

และมีสมการในรปู ทั่วไป ของวงกลมคอื x2 y2 Ax By C 0 เมื่อ A, B และ C คอื ค่าคงตัว ซง่ึ

จะได้ศึกษาต่อในเลม่ ที่ 2

Y

8

ใบความรู้
เรอื่ ง การสรา้ งสมการและส่วนประกอบต่างๆ ของวงกลม

ทม่ี ีจุดศูนยก์ ลางอยูท่ ี่ (0,0)
ในส่วนแรกจะกล่าวถึงสรา้ งสมการและสว่ นประกอบต่างๆ ของวงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางอยูท่ ี่ (0,0) โดยมงุ่
ฝึกฝนใหน้ ักเรียนสามารถสรา้ งสมการของวงกลมตามเง่ือนไข หรือตามสถานการณต์ า่ งๆ ตามทีโ่ จทยก์ าหนดมาให้
และในทานองเดยี วกนั ใหน้ กั เรียนสามารถบอกสว่ นประกอบของวงกลมเม่ือโจทยก์ าหนดรูปแบบมาตรฐานของ
สมการวงกลมมาให้ได้ ดงั จะไดย้ กตัวอย่างให้นกั เรียนศึกษาดังต่อๆไปนี้
1. การสร้างสมการวงกลม
ตัวอยา่ ง จงหาสมการวงกลมที่มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (0,0) และมรี ศั มยี าว 5 หน่วย
วธิ ีทา เราสามารถทาการหาสมการของวงกลมได้ 2 วธิ ี คอื

1) จากบทนิยาม
2) สมการรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมทม่ี จี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (h,k) และรศั มยี าว r หนว่ ย
วธิ ที ีน่ ยิ มใช้กันเปน็ สว่ ยมากคอื วิธที ี่ 2) เพราะมีขั้นตอนน้อยและใช้เวลาไมม่ าก แต่โดยเบ้ืองต้นผเู้ ขยี นจะ
แสดงวิธีทาเพอ่ื ให้ผ้เู รียนไดเ้ ห็นถึงข้อดขี องแต่ละวิธี และเกบ็ ข้อดนี น้ั ไวเ้ พอ่ื ใชใ้ นการศกึ ษาสว่ นต่างๆ ต่อไป

วิธีทาที่ 1) จากบทนยิ าม | CP | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2

5 (x 0)2 (y 0)2

สมการวงกลมคือ x2 y2 25

วิธีทาที่ 2) จากสมการรปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลมท่มี ีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) และรัศมยี าว r หน่วย
x2 y2 r2
สมการคอื

วงกลมมีรศั มียาว 5 หน่วย นัน่ คอื แทนค่า r 5
จะได้สมการวงกลมคือ x2 y2 25

9

ตัวอย่าง จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) มีจุด ( 4,0) และ (4,0) เป็นจุดปลายของเส้นผ่าน

ศนู ยก์ ลาง

วธิ ที า จากสมการรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมทมี่ จี ุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และรัศมียาว r หนว่ ย
r2
สมการคอื x2 y2

เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง (d) คอื ระยะห่างระหวา่ งจดุ ( 4,0) และ (4,0)

จะได้วา่ d x1 x2

44

d8

ดงั นั้น r d 4 หน่วย จะไดส้ มการวงกลมคอื x2 y2 42 x2 y2 16
2

ตวั อย่าง จงหาสมการวงกลมทมี่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (0,0) และวงกลมน้ีผา่ นจดุ (2,2 5)
วธิ ีทา จากสมการรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (0,0) และรศั มียาว r หน่วย
x2 y2 r2
สมการคือ

รัศมี r คือระยะหา่ งจากจดุ ศูนยก์ ลางไปยงั จดุ ใดๆ บนเส้นรอบวง
ดงั น้นั หา r ได้จากระยะหา่ งระหว่างจุด (0,0) และ (2,2 5)

จะได้ว่า r (0 2)2 (0 2 5)2

( 2)2 ( 2 5)2

4 20

r 26

ดังน้ัน r 2 6 หน่วย จะไดส้ มการวงกลมคอื x2 y2 2 6 2 x2 y2 24

ตัวอย่าง จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และวงกลมนี้ผ่านจุดก่ึงกลางระหว่างจุด ( 13,7) และ

( 3, 15)

วิธีทา กาหนดให้ (x,y) แทน จุดกึ่งกลางระหวา่ งจดุ ( 13,7) และ ( 3, 15)

จะได้ว่า (x, y) x1 x2 , y1 y2
22
13 3,7 15
2 2
13 3,7 15
2 2

(x,y) 8, 4

รศั มี r คอื ระยะหา่ งจากจดุ ศูนยก์ ลางไปยงั จดุ ใดๆ บนเสน้ รอบวง
ดงั นั้นหา r ได้จากระยะห่างระหว่างจุด (0,0) และ 8, 4

10

จะได้วา่ r 0 ( 8) 2 0 ( 4) 2

(8)2 (4)2

64 16

r 45 4 52 x2 y2 80

ดงั นนั้ r 4 5 หนว่ ย จะได้สมการวงกลมคอื x2 y2
2. การหาส่วนประกอบต่างๆ ของวงกลม

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาจุดศูนย์กลาง รศั มี พร้อมทั้งวาดกราฟของความสัมพันธ์ของวงกลมท่กี าหนดให้

ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 1.2 x2 y2 169
49
1.1 x2 y2 16
1.4 3x2 3y2 54
1.3 x2 y2 32
1.5 5x2 5y2 375
1.1 x2 y2 16
วธิ ที า จะได้ว่า x2 y2 42
เปน็ วงกลมท่ีมจี ุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (0,0)
แลมีรัศมี r 4 หน่วย วาดกราฟไดด้ งั นี้

1.2 x2 y2 169
49
วิธที า จะไดว้ า่ x2 y2 13 2
7
เป็นวงกลมท่มี ีจุดศนู ย์กลางอย่ทู ่ี (0,0)
13
แลมีรัศมี r 7 หน่วย วาดกราฟได้ดงั นี้

11

1.3 x2 y2 32
วธิ ีทา จะไดว้ า่ เป็นวงกลมท่มี ีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่ (0,0)

แลมรี ศั มี r 3 หน่วย วาดกราฟไดด้ งั น้ี

1.4 3x2 3y2 54 18 3 22
วิธีทา นา 3 หารตลอด

จะไดว้ า่ x2 y2

เปน็ วงกลมทม่ี ีจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (0,0)
แลมรี ศั มี r 3 2 หน่วย วาดกราฟได้ดงั นี้

1.5 5x2 5y2 375 5 22
วธิ ีทา นา -5 หารตลอด

จะไดว้ ่า x2 y2 75

เปน็ วงกลมท่ีมีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (0,0)

แลมีรัศมี r 5 3 หน่วย วาดกราฟไดด้ ังน้ี

12

แบบฝึกทกั ษะ 1

1. จงเตมิ คาตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ต้อง รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม
ขอ้ จุดศูนยก์ ลาง ความยาวรัศมี

1 (0,0) 5 ……………………………………………………………………………
2 (0,0) 3
3 (0,0) 7 ……………………………………………………………………………

1 ……………………………………………………………………………

4 (0,0) 42 ……………………………………………………………………………

5 (0,0) 4 ……………………………………………………………………………

6 (0,0) 2 7 ……………………………………………………………………………
7 (0,0) 13
8 (0,0)
14 ……………………………………………………………………………
3
5 2 ……………………………………………………………………………

9 (0,0) 10 ……………………………………………………………………………

10 (0,0) 72
3 6 ……………………………………………………………………………

2. จงแสดงวิธที าและเติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

1. มีจุดศูนยก์ ลางอยูท่ จ่ี ดุ (0,0) และวงกลมนี้ผา่ นจุด (4 3, 2) หนว่ ย

วิธที า

สมการในรปู แบบมาตรฐาน คอื .......................................................................

13

2. มีจุดศนู ย์กลางอยู่ท่ี (0,0) มจี ดุ (0, 151) และ (0, 151) เปน็ จดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง
วิธีทา

จุดศนู ยก์ ลาง (h,k) เท่ากับ ..........................รัศมี r เทา่ กบั ......................................หนว่ ย
สมการในรปู แบบมาตรฐาน คอื .......................................................................

3. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และวงกลมน้ีผ่านจุดก่ึงกลางระหว่างจุด ( 13,7) และ
( 3, 15)
วิธที า

จดุ ศนู ยก์ ลาง (h,k) เท่ากับ ..........................รศั มี r เท่ากบั ......................................หน่วย
สมการในรปู แบบมาตรฐาน คอื ......................................................................

4. วธิ ที า

ดงั นน้ั สมการในรปู แบบมาตรฐาน คอื

14

3. จงหาจุดศูนย์กลาง รศั มี และวาดกราฟจากสมการรปู มาตรฐานวงกลมท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปนี้
1.1 x2 y2 9
จดุ ศูนย์กลาง (h,k) เท่ากบั ..........................
รัศมี r เทา่ กับ.......................................หนว่ ย

วิธีทำ

1.2 x2 y2 49
จดุ ศนู ย์กลาง (h,k) เท่ากับ ..........................
รัศมี r เทา่ กบั .......................................หน่วย

วธิ ีทำ

1.3 x2 y2 81
จดุ ศนู ย์กลาง (h,k) เทา่ กบั ..........................
รศั มี r เท่ากบั .......................................หน่วย

วธิ ีทำ

15

1.4 2x2 2y2 72
จุดศนู ยก์ ลาง (h,k) เทา่ กับ ..........................
รศั มี r เทา่ กบั .......................................หนว่ ย

วิธีทำ

1.5 8x2 8y2 50
จุดศนู ยก์ ลาง (h,k) เทา่ กบั ..........................
รัศมี r เท่ากับ.......................................หนว่ ย

วธิ ีทำ

1.6 x2 y2 1
จดุ ศูนย์กลาง (h,k) เทา่ กับ ..........................
รัศมี r เท่ากับ.......................................หนว่ ย

วธิ ีทำ

16

ใบความรูท้ ่ี 2
เรือ่ ง การสรา้ งสมการและส่วนประกอบตา่ งๆ ของวงกลม

ท่มี จี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (h,k)
วงกลมมีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ที่ C(h,k) และรัศมขี องวงกลมมีขนาด r หน่วย จะมีความสมั พนั ธเ์ ปน็

(x,y) | (x h)2 (y k)2 r2 เรียกความสัมพันธ์นวี้ ่า ความสมั พันธ์รูปแบบมาตรฐานของสมการ

วงกลม พจิ ารณาจากกราฟได้ดงั นี้ Y

P(x, y)
r
(h,k)

X

จากสตู ร (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 d ; สตู รระยะห่างระหว่างจดุ 2 จดุ

จากรปู จะไดว้ า่ (x h)2 (y k)2 r ; (x1,y1) (x,y) ,(x2,y2 ) (h,k) และ d r

จะได้สมการวงกลมที่มจี ุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจดุ กาเนิด (h,k) คอื
r2 ; ยกกาลังสองทง้ั สองข้าง
(x h)2 (y k)2

r2 0 ลกั ษณะของกราฟเมือ่ พจิ ารณาจากรัศมี r2 r2 0
Y r2 0 Y

Y

P(x, y)
r

(h,k) X X
X

กราฟของสมการที่กาหนดคือ กราฟของสมการที่กาหนดคือจุด สมการท่ีกาหนดจะไมม่ ีกราฟ
วงกลมท่ีมจี ดุ ศูนย์กลางท่ี (h,k) (h,k)
และมีรัศมี r หน่วย

เชน่ เดียวกันกบั วงกลมท่จี ุดศูนยก์ ลางอยู่ที่จดุ กาเนดิ (0,0) สาหรบั วงกลมทจ่ี ุดศูนย์กลางไมอ่ ยู่ทจี่ ดุ กาเนดิ
(h,k) เราสามารถสรา้ งรปู มาตรฐานของสมการวงกลมไดจ้ ากสถานการณ์ หรือเงื่อนไขต่างๆทีโ่ จทยก์ าหนดให้ได้ โดย
สว่ นประกอบหลักท่สี าคัญทใ่ี ช้ในการสรา้ งสมการคือ จุดศูนย์กลาง (h,k) และรัศมี r ซ่ึงจะสามารถหาไดจ้ าก
สถานการณ์ต่างๆ ทโ่ี จทยก์ าหนดไว้ให้ และในบางสถานการณอ์ าจจาเปน็ ต้องใช้ความรพู้ นื้ ฐานทางเรขาคณติ
วิเคราะหท์ ี่เคยไดเ้ รยี นมาแลว้ ช่วยในการหาคาตอบดว้ ย ดงั จะได้ศกึ ษาดังตัวอย่างต่อไปน้ี

17

1. การสรา้ งสมการวงกลม
ตัวอย่าง 1 จงหาสมการวงกลมทีม่ ีจุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (2, 11) และมีรัศมียาว 4 2 หนว่ ย
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า h 0, k 11 และ r 4 2

แทนค่า h, k, r ในรูปมาตรฐานของสมการวงกลมที่มจี ุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (h,k) และรศั มี r

จะไดว้ า่ (x h)2 (y k)2 r2

(x 0)2 y ( 11) 2 (4 2)2

ดงั นน้ั สมการวงกลมคือ x2 (y 11)2 32

ตัวอยา่ ง 2 จงหาสมการวงกลมท่มี จี ุดศูนยก์ ลางอยู่ที่ (5, 4) และมคี วามยาวเสน้ ผ่านศนู ย์กลางเท่ากบั 12 หน่วย
วิธีทา จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า h 5, k 4

และหารัศมี (r) จากเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง (d) ที่โจทยก์ าหนดให้ r  d  12  6 หน่วย
2 2
แทนคา่ h, k, r ในรูปมาตรฐานของสมการวงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี (h,k) และรัศมี r

จะได้วา่ (x h)2 (y k)2 r2

(x 5)2 y ( 4) 2 (6)2

ดังนัน้ สมการวงกลมคือ (x 5)2 (y 4)2 36

ตวั อยา่ ง 3 จงหาสมการวงกลมท่มี จี ุดปลายเส้นผา่ นศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ุด ( 1,3) และ (7, 3)
วธิ ีทา หาจุดศูนย์กลาง (h,k) จากจดุ กงึ่ กลางของเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางทโี่ จทยก์ าหนดให้
(h,k) x1 2 x2 , y1 2 y2
จะไดว้ ่า

1 7,3 ( 3)
2 2
6 0
2 , 2

(h,k) 3,0

รัศมีสามารถหาได้ 2 วิธีคือจะหาจากครึ่งหน่ึงของเส้นผ่านศูนย์กลาง หรือจะหาจากระยะห่างจากจุด

ศูนย์กลางถึงจุดปลายด้านใดด้านหน่ึงของจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางก็ได้ ในท่ีน้ีจะทาการหาจากระยะห่างจากจุด
ศนู ยก์ ลาง (3,0) ถงึ จดุ ปลาย ( 1,3)

สตู รระยะหา่ งระหว่างจุด 2 จดุ d (x1 x2 )2 (y1 y2 )2

r (3 ( 1))2 (0 3)2

16 9

เพราะฉะนั้น r5

18

จะไดว้ า่ (x h)2 (y k)2 r2

(x 3)2 (y 0)2 52

ดงั น้ันสมการวงกลมคือ (x 3)2 y2 25

ตัวอยา่ ง 4 จงหาจงหาสมการวงกลมทมี่ ีจุดศูนยก์ ลางอย่ทู ่ี ( 3, 1) และวงกลมนี้ผา่ นจุด (5, 2)
วธิ ีทา จากโจทย์จะได้วา่ h 3, k 1

เน่อื งจาก รัศมี r คือระยะหา่ งจากจุดศนู ย์กลางไปยงั จุดใดๆ บนเส้นรอบวง
จะสามารถหารัศมจี ากระหา่ งระวา่ งจุด ( 3, 1) และ (5, 2)

สตู รระยะห่างระหวา่ งจุด 2 จดุ d (x1 x2 )2 (y1 y2 )2

r ( 3 ( 5))2 ( 1 ( 2))2

41

เพราะฉะน้นั r5

จะไดว้ ่า (x h)2 (y k)2 r2

(x ( 3))2 (y ( 1))2 ( 5)2

ดังน้ันสมการวงกลมคอื (x 3)2 (y 1)2 5

ตวั อย่าง 5 จงหาสมการวงกลมที่มจี ุดศนู ย์กลางอยทู่ ่ี ( 6, 6) และวงกลมนส้ี ัมผสั แกน Y
วธิ ีทา จากโจทย์จะได้วา่ h 6, k 6

แกน Y สามารถเขียนในรูปของสมการได้คือ x 0

หารัศมี (r) จากระยะหา่ งระหวา่ งจดุ (จุดศนู ย์กลาง) และเส้นตรง (แกน Y หรอื x 0)
d Ax By C
สตู รระยะหา่ งระหว่างจดุ และเส้นตรง A2 B2

r ( 6) 0( 6) 0
12 02

6

เพราะฉะนนั้ r6

จะได้วา่ (x h)2 (y k)2 r2

x ( 6) 2 y ( 6) 2 62

ดังนนั้ สมการวงกลมคอื (x 6)2 (y 6)2 36

ตวั อยา่ ง 6 จงหาสมการวงกลมท่มี ีรศั มียาว 3 หนว่ ย อยใู่ นควอรนั ต์ท่ี 4 และสมั ผสั ทัง้ แกน X และแกน Y
วธิ ที า จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า r 3

แกน Y สามารถเขียนในรูปของสมการได้คอื x 0

แกน X สามารถเขียนในรูปของสมการไดค้ ือ y 0

19

กาหนดจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมคอื (h,k)

หารัศมี (r) จากระยะหา่ งระหวา่ งจุด (จุดศูนย์กลาง) และเส้นตรง (แกน Y หรอื x 0)
d Ax By C
สตู รระยะหา่ งระหว่างจุดและเสน้ ตรง A2 B2

r h 0(k) 0
12 02

3h

h 3, 3

เนื่องจากวงกลมอยูใ่ นควอรนั ต์ท่ี 4 จึงไดว้ า่ h 3

หารศั มี (r) จากระยะห่างระหว่างจดุ (จดุ ศนู ย์กลาง) และเสน้ ตรง (แกน X หรือ y 0)

สูตรระยะห่างระหวา่ งจดุ และเส้นตรง d Ax By C
A2 B2

r 0(h) (k) 0
02 12

3k

k 3, 3

เนื่องจากวงกลมอยใู่ นควอรนั ตท์ ่ี 4 จงึ ไดว้ ่า k 3 r2
(x h)2 (y k)2
จะไดว้ ่า

x (3) 2 y ( 3) 2 32

ดงั น้ันสมการวงกลมคือ (x 3)2 (y 3)2 9

จากตัวอย่างที่ 5 และ 6 นอกจากจะหาความยาวรัศมี หรือจุดศูนย์กลางด้วยวิธีที่ได้กล่าวมาแล้วน้ัน ยัง

สามารถหาได้จากการวาดกราฟได้อีกด้วย ซ่ึงการวาดกราฟจะเป็นวิธีท่มี ีความสะดวกรวดเร็วมากกว่าการแก้สมการ

ในข้างต้น แต่การแก้สมการในข้างต้นจะช่วยให้นักเรียนได้ทบทวนและนาความรู้เดิมมาประยุกต์ใช้ได้ เป็นการฝึก

เพ่ือใหเ้ กดิ ทกั ษะความคิดวิเคราะห์ และเสรมิ สรา้ งทกั ษะความคิดเชอ่ื มโยงอยา่ งแทจ้ รงิ

2. การหาสว่ นประกอบตา่ งๆ ของวงกลม

ตวั อย่าง จงหาจดุ ศูนยก์ ลาง รัศมี พร้อมทง้ั วาดกราฟของความสมั พันธ์ของวงกลมท่ีกาหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1.1 (x 4)2 y2 36
3)2
1.2 (x 2 (y 5)2 8

1.3 (x 2)2 (y 5)2 529
289

1.4 (x 1 )2 (y 3 )2 162
45
1.5 4x2 4(y 1)2 36

20

1.1 (x 4)2 y2 36
วธิ ที า จะได้ว่า (x 4)2 y2 62

เป็นวงกลมท่มี จี ุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4,0)
แลมีรัศมี r 6 หน่วย วาดกราฟได้ดงั นี้

1.2 (x 3)2 (y 5)2 8
2
3)2
วิธที า จะไดว้ า่ (x 2 (y 5)2 (2 2)2

เปน็ วงกลมท่ีมจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี ( 3 , 5)
2

แลมีรัศมี r 2 2 หนว่ ย วาดกราฟไดด้ งั น้ี

1.3 (x 2)2 (y 5)2 529
289
23 2
วิธที า จะได้วา่ (x 2 )2 (y 5)2 17

เปน็ วงกลมทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี ( 2,5)
23
แลมรี ศั มี r 17 หน่วย วาดกราฟไดด้ ังน้ี

21

1.4 (x 1 )2 (y 3 )2 162
4 5

วธิ ที า จะไดว้ ่า (x 1 )2 (y 3 )2 (9 2)2
45

เป็นวงกลมทมี่ จี ดุ ศูนยก์ ลางอย่ทู ี่ ( 1 , 3 )
4 5
แลมรี ศั มี r 4 หน่วย วาดกราฟได้

1.5 4x2 4(y 1)2 36

วธิ ที า จะได้ว่า
เปน็ วงกลมท่มี ีจุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่ (0,0)

แลมีรัศมี r 4 หนว่ ย วาดกราฟได้

แบบฝึกทกั ษะ 2 22

1. จงพจิ ารณาว่าสมการที่กาหนดให้ตอ่ ไปนี้เป็นสมกานรวงกลมหรือไม่ ถา้ เปน็ สมการวงกลมจงหาจดุ ศูนย์กลาง
และรศั มขี องสมการวงกลมท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

ขอ้ สมการ เป็นวงกลม ไมเ่ ปน็ วงกลม จดุ ศนู ย์กลาง รศั มี

1 x2 y2 144

2 x2 y2 4

3 x2 y2 0

4 x2 y2 49 0

5 x2 y2 100 0

6 2x2 2y2 800 0

7 (x 1)2 y2 8

8 x2 (y 15)2 8

9 (x 3)2 (y 1)2 1

10 (x 5)2 (y 3)2 24

11 (x 14)2 (y 2)2 18

12 (x 3 )2 (y 2 ) 2 36
4 5
16 16 16
13 (x 25 )2 (y 25 ) 2 25

14 (x 8)2 (y 7)2 25
9
15 (x 1)2 (y 11)2 3

2. จงหาสมการวงกลมจากจุดศูนย์กลางและรศั มีท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

ขอ้ จดุ ศนู ย์กลาง รัศมี สมการมาตรฐานของวงกลม

1 (0,0) 4 …………………………………………………………………………………….

2 (12,0) 17 …………………………………………………………………………………….

3 (0,3) 1 …………………………………………………………………………………….

4 ( 14,9) 11 …………………………………………………………………………………….

5 ( 21, 22) 2 2

23

ขอ้ จุดศนู ย์กลาง รศั มี สมการมาตรฐานของวงกลม
…………………………………………………………………………………….
6 ( 5, 6) 9 …………………………………………………………………………………….
2 …………………………………………………………………………………….
7 (6,17) 3 …………………………………………………………………………………….
35
8 (185 , 3 2 3 ) …………………………………………………………………………………….
14 …………………………………………………………………………………….
9 ( 2, 19)
13
10 ( 5 , 5 )
4 4

3. จงหารปู มาตรฐานของสมการวงกลมจากกราฟทกี่ าหนดให้ต่อไปน้ี

1) วิธีทา

2) วธิ ีทา

24

3. จงหาจดุ ศูนยก์ ลาง รศั มี และวาดกราฟจากสมการรูปมาตรฐานวงกลมท่กี าหนดให้ตอ่ ไปน้ี
1) (x 4)2 y2 9
วธิ ีทา

จุดศูนยก์ ลาง (h,k) เทา่ กับ ..........................
รัศมี r เทา่ กับ.......................................หนว่ ย

2) x 4 2 y 5 2 36

วธิ ที า

จุดศูนย์กลาง (h,k) เท่ากบั ..........................

รัศมี r เทา่ กับ.......................................หน่วย
49
3) x2 (y 3)2 4

วิธีทา

จุดศูนยก์ ลาง (h,k) เท่ากบั ..........................
รัศมี r เทา่ กบั .......................................หนว่ ย

25

4) x 32 y 1 2 16
2 2 25

วธิ ีทา

จุดศนู ย์กลาง (h,k) เทา่ กบั ..........................
รศั มี r เท่ากับ.......................................หน่วย

5) x 2 2 y 1 2 81

วธิ ีทา

จุดศนู ย์กลาง (h,k) เท่ากับ ..........................
รศั มี r เท่ากบั .......................................หนว่ ย

4. จงหาสมการวงกลมเมื่อกาหนดสว่ นประกอบต่างๆตอ่ ไปน้ี
1. มจี ดุ ศูนย์กลางอยูท่ ีจ่ ดุ (0,4) และมรี ศั มียาว 7 หน่วย
วิธที า

ดังน้นั สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคือ

2. มจี ุดศนู ย์กลางอยู่ทีจ่ ุด ( 5,7) และมีรัศมียาว 1 หน่วย
2
วธิ ที า

ดังน้ัน สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคือ

26

3. มจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ จ่ี ุดกาเนิด และมีรัศมยี าว 13 หน่วย
วธิ ที า

ดังนน้ั สมการวงกลมในรปู มาตรฐานคือ
4. มีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ทจ่ี ุด (6, 8) และมีเส้นผา่ นศูนย์กลางยาว 28 หนว่ ย
วธิ ที า

ดงั นั้น สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคือ
5. มีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่ีจดุ (8, 3) และผ่านจุด ( 4,3)
วิธที า

ดงั นั้น สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคือ
6. มจี ุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุด ( 3, 1) และผ่านจุด (5, 2)
วิธีทา

ดงั นัน้ สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคอื

27

7. มีจุดศนู ย์กลางอยทู่ จี่ ุด ( 7, 3) และผ่านจดุ กาเนดิ
วิธีทา

ดังนั้น สมการวงกลมในรปู มาตรฐานคอื
8. มีจุดศูนยก์ ลางอยู่ทีจ่ ุด ( 4, 2) และสมั ผสั แกน X
วิธีทา

ดงั นั้น สมการวงกลมในรปู มาตรฐานคือ
9. มจี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ ( 4, 2) และสัมผสั แกน Y
วธิ ที า

ดังนัน้ สมการวงกลมในรปู มาตรฐานคอื
10. มีจดุ ปลายของเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางคือ ( 5,2) และ (3,6)
วธิ ีทา

ดงั น้ัน สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคอื

28

11. มีจุดศนู ย์กลางอยู่ทีจ่ ุด (2,5) และมเี ส้นตรง x y 6 เปน็ เส้นสมั ผัส
วิธีทา

ดงั น้นั สมการวงกลมในรปู มาตรฐานคอื

12. มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (2,1) และมเี สน้ ตรง 3x 4y 35 0 เป็นเสน้ สมั ผัส
วิธที า

ดังนนั้ สมการวงกลมในรูปมาตรฐานคอื

29

แบบทดสอบหลังเรียน

รายวิชาเสรมิ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 คะแนนเตม็ 10 คะแนน

เร่ือง สมการวงกลมรปู มาตรฐาน

คาช้ีแจง ใหน้ ักเรียนทาเครื่องหมาย  ทบั ตัวเลอื กทีถ่ กู ต้องทส่ี ุด Y

1. สมการในข้อใดเปน็ สมการวงกลม 6.
ก. (x 1)2 (y 9)2 4

ข. x2 y2 1 0

ค. x2 (y 9)2 0

ง. (x 4)2 (y 1)2 25 0 X
X
2. สมการในขอ้ ใดไมเ่ ป็นสมการของวงกลม

ก. x2 (y 4)2 11

ข. x2 y2 16

ค. x2 (y 1)2 3 0 จากกราฟข้างต้นเป็นกราฟของสมการในขอ้ ใด
ก. x2 (y 9)2 16
ง. (x 2)2 (y 1)2 49 ข. (x 9)2 y2 16
ค. x2 (y 9)2 4
3. ข้อใดคือสมการของวงกลมทม่ี ีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี ง. (x 9)2 y2 4
(1, 3) และมีรัศมยี าว 4 หน่วย
7. Y
ก. (x 1)2 (y 3)2 16
ข. (x 1)2 (y 3)2 4
ค. (x 1)2 (y 3)2 16

ง. (x 1)2 (y 3)2 4

4. สมการของวงกลมที่มีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่ ( 6,4)

และสมั ผสั กบั แกน Y ตรงกบั ข้อใด
ก. (x 6)2 (y 4)2 16

ข. (x 6)2 (y 4)2 36

ค. (x 6)2 (y 4)2 16

ง. (x 6)2 (y 4)2 36

5. ข้อใดคือสมการวงกลมที่มีจดุ ปลายเส้นผ่าศนู ยก์ ลาง

อยทู่ ี่ ( 3, 5) และ (1,7)
ก. (x 3)2 (y 5)2 80
ข. (x 2)2 (y 1)2 40 จากกราฟข้างตน้ เปน็ กราฟของสมการในขอ้ ใด
ค. (x 2)2 (y 1)2 80 ก. (x 5)2 (y 7)2 3
ง. (x 1)2 (y 1)2 40 ข. (x 7)2 (y 5)2 3
ค. (x 5)2 (y 7)2 9

ง. (x 7)2 (y 5)2 9

30

8. กราฟของสมการ (x 2)2 (y 1)2 4 9. ถา้ (x h)2 (y k)2 r2 เป็นสมการของ

ตรงกับข้อใด Y วงกลมที่มีจดุ ศนู ยก์ ลางที่ (7,5) และผา่ นจุด (1, 3)
ก. แล้ว r 3h 2k มคี ่าตรงกับข้อใด

X ก. -1
Y
ข. ข. -3

ค. -5
ง. -7

10. ข้อใดคือสมการของวงกลมท่ีมีจุดศนู ย์กลางอยู่ที่
( 2, 9) และผา่ นจดุ (6,6)

ก. (x 2)2 (y 9)2 172
ข. (x 2)2 (y 9)2 172
ค. (x 2)2 (y 9)2 232
ง. (x 2)2 (y 9)2 232

X

Y
ค.

X

Y
ง.

X

31

บรรณานุกรม

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และทเคโนโลย.ี หนงั สอื รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ เล่ม 2 ช้ัน
มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 – 6. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.ลาดพร้าว, 2552.

กนกวลี อุษณกรกุล และคณะ. แบบฝกึ และประเมนิ ผลคณิตเพมิ่ เติม ม.4-6 เลม่ 2. พิมพ์ครง้ั ท่ี 3.
กรงุ เทพมหานคร : อกั ษรเจริญทัศน,์ 2547.

เจริญ ภูภทั รพงศ์. เทคนคิ คดิ ลัดครติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 1. กรุงเทพมหานคร. SCIENCE CENTER.
ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. หนังสือ 1000 TEST IN MATH 2. กรงุ เทพฯ : สานักพมิ พ์แม็ค จากัด, 2542