ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

ความเท่ากันทุกประการของ
รปู สามเหลยี่ ม

ความเทา่ กนั ทกุ ประการ (congruence)

บทนิยาม รูปเรขาคณติ สองรปู เทา่ กันทุกประการ กต็ ่อเมื่อ เคล่อื นทีร่ ูปหนงึ่ ไปทบั อีกรปู หนึง่ ได้สนทิ

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู สามเหลี่ยม

พิจารณารูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF ซ่ึงเท่ากันทกุ ประการ ดังรูป

เมอ่ื จับค่จู ดุ A กบั จดุ D จดุ B กับจุด E และ จดุ C กับจุด F
จะได้ ดา้ น AB สมนัยกบั ด้าน DE ดา้ น BC สมนัยกับดา้ น EF และ ดา้ น CA สมนัยกับดา้ น FD

 สมนัยกับ D̂ B̂ สมนยั กับ Ê และ Ĉ สมนัยกับ F̂
เมื่อตรวจสอบความยาวของด้านคู่ทส่ี มนัยกัน จะได้วา่ AB = DE, BC = EF และ CA = FD
เมอ่ื ตรวจสอบขนาดของมุมคู่ท่ีสมนัยกัน จะไดว้ ่า Â = D̂ B̂ = Ê และ Ĉ = ̂F
โดยทว่ั ไป ถ้ารปู สามเหลย่ี มสองรูปเท่ากันทุกประการแล้วด้านค่ทู ส่ี มนัยกันและมุมคู่ท่สี มนัยกันของรปู
สามเหล่ียมทง้ั สองรปู นั้นมีขนาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ
ในทางกลับกัน เม่ือรูปสามเหลยี่ ม ABC และรปู สามเหลีย่ ม DEF มดี ้านคทู่ ี่สมนัยกันยาวเท่ากนั คือ AB =
DE, BC = EF และ CA = FD และมีมมุ คทู่ ี่สมนัยกันมีขนาดเท่ากนั คือ Â = D̂ B̂ = Ê และ Ĉ = ̂F ดงั รปู

เมอื่ ตรวจสอบโดยการเคลอื่ นที่ ∆ABC ใหท้ บั กบั ∆DEF จะไดว้ ่า รูปสามเหลย่ี มท้ังสองรูปทับกนั ไดส้ นทิ
นัน่ คือ ∆ABC ≅ ∆DEF

โดยท่ัวไป ถา้ รปู สามเหลีย่ มสองรปู มดี า้ นคทู่ ีส่ มนัยกันและมุมคู่ทส่ี มนัยกนั มีขนาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ แล้วรปู
สามเหลย่ี มท้ังสองรปู น้ันเท่ากันทกุ ประการ

ผลสรปุ ขา้ งตน้ เป็นไปตามสมบัตติ อ่ ไปน้ี

รูปสามเหลีย่ มสองรูปเท่ากนั ทุกประการ กต็ ่อเม่ือ ด้านคู่ท่ีสมนยั กนั และมุมคู่ท่ีสมนัย
กนั ของรปู สามเหล่ียมท้ังสองรูปนน้ั มีขนาดเท่ากนั เปน็ คู่ๆ

จากสมบัติดงั กลา่ วน้ี เม่ือต้องการตรวจสอบวา่ รูปสามเหล่ียมสองรูปปเท่ากันทุกประการหรอื ไม่ เราจะต้อง
ตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของด้านทสี่ มนยั กนั ทุกคู่ และมมุ ทสี่ มนัยกันทุกคู่ ถา้ พบว่ารูปสามเหล่ยี มสองรูป
น้นั มีด้านคู่ท่สี มนัยกนั 3 คู่ แตล่ ะคู่ยาวเท่ากัน และมมุ คู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ แตล่ ะคมู่ ีขนาดเทา่ กัน แลว้ รปู สามเหลี่ยม
สองรปู นั้นเท่ากนั ทุกประการ

ในการเขยี นสัญลักษณ์แสดงรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีเทา่ กันทุกประการ นยิ มเขียนตัวอักษรเรียงตามลำดบั ของมุมคู่
ทส่ี มนยั กันและด้านคู่ที่สมนยั กัน เชน่ เมอ่ื รูปสามเหล่ยี ม ABC เทา่ กนั ทุกประการกับรูปสามเหล่ยี ม DEF ดงั รปู

จากรูป มมุ คู่ที่สมนยั กันและด้านคู่ท่สี มนัยกันมีขนาดเท่ากันดังนี้

 = D̂ AB = DE

B̂ = Ê และ BC = EF

Ĉ = ̂F CA = FD

จะสามารถเขยี นสัญลกั ษณแ์ สดงความทา่ กนั ทุกประการของรูปสามเหล่ยี มสองรูปไดด้ งั น้ี

∆ABC ≅ ∆DEF

จากทกี่ ลา่ วมาแล้ววา่ การตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ยี มสองรูป โดยทัว่ ไปจะต้อง
ตรวจสอบการเทา่ กนั ของความยาวของด้านคูท้ ่สี มนยั กนั 3 คู่ และการเทา่ กันของขนาดของมุมคทู่ ส่ี มนัยกนั อีก 3 คู่
ซง่ึ แท้จริงแลว้ เราสามารถตรวจสอบสอบการเทา่ กันของความยาวของด้านหรือขนาดของมมุ เพียง 3 คู่ ตามเงื่อนไข
ที่กำหนด กเ็ พียงพอทีจ่ ะสรุปได้วา่ รปู สามเหล่ียมสองรุปนั้นเทา่ กนั ทุกประการ

ความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหล่ียม

รปู สามเหล่ียมสองรูปใด ๆ เท่ากันทุกประการกต็ ่อเมื่อ
1. สามเหลีย่ มสองรูปน้นั มดี า้ นยาวเท่ากันสองคู่ และมมุ ระหวา่ งดา้ นคู่ที่ยาวเท่ากนั มขี นาดเท่ากัน

(ดา้ น-มุม-ด้าน)

2. สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั มีมุมขนาดเท่ากนั สองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนรว่ มของมุมทงั้ สองมีขนาดเท่ากัน
มคี วามยาวเทา่ กัน (มุม-ด้าน-มุม)

3. สามเหลย่ี มสองรูปนั้น มดี ้านท่ีความยาวเทา่ กนั 3 คู่ (ดา้ น-ด้าน-ด้าน)

4. สามเหล่ียมสองรปู นั้น มีมมุ ขนาดเท่ากนั สองคู่ และมดี ้านยาวเทา่ กันหนง่ึ คู่ (มุม-มมุ -ดา้ น)

5. สามเหลย่ี มมุมฉาก 2 รูป มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเทา่ กนั และมีด้านหนงึ่ ยาวเท่ากัน
(ฉาก-ด้าน-ดา้ น)

imttbazotamttttaatbeeoorttttthtteaeคณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 4
แบบทดสอบเรืองความเท่ากันทุกประการ

1. จงพิจารณาวา่ รูปสามเหลยี มซึงกําหนดให้สองรูปตอ่ ไปนี เทา่ กนั ทกุ ประการหรือไม่
ถ้าเท่ากนั ทกุ ประการให้พิจารณาวา่ เทา่ กนั ทกุ ประการเพราะวา่ มีความสมั พนั ธ์แบบใด

(1) (2)

……………………………………… ………………………………………
(3) (4)

……………………………………… ………………………………………
(5) (6)

……………………………………… ………………………………………
(7) (8)

……………………………………… ………………………………………
(9) (10)

……………………………………… ………………………………………

cocne-s-stetfttotESDT-oa-zg-rz-ms-s-nosco-a-s-r-s-sTDo-E.es...........................................................................................................................................................................................................

imttbazotamttttaatbeeoorttttthtteaeคณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 5

(11) (12)

……………………………………… ………………………………………
(13) (14)

……………………………………… ………………………………………
(15) (16)

……………………………………… ………………………………………
(17) (18)

……………………………………… ………………………………………
(19) (20)

……………………………………… ………………………………………

cocne-s-stetfttotESDT-oa-zg-rz-ms-s-nosco-a-s-r-s-sTDo-E.es...........................................................................................................................................................................................................

imttbazotamttttaatbeeoorttttthtteaeคณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 6
2. จากรูป กําหนดให้ AB = CD และ ABD CDB จงพิสจู น์วา่ BAD BCD

รูป สิงทีกาํ หนดให้

1. ....................................................................................

D

2. ....................................................................................

สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

BC

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

A

3. จากรูป กําหนดให้ AD = AE , ADC AEB จงพิสจู น์วา่ BE = CD

รูป สิงทีกําหนดให้
1. ....................................................................................
A 2. ....................................................................................

DE สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

BC

cocne-s-stetfttotESDT-oa-zg-rz-ms-s-nosco-a-s-r-s-sTDo-E.es...........................................................................................................................................................................................................

ipmkaammoamtbeosttaeqntzrrcttคณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 7
4. จากรูปกําหนดให้ PQS และ QSR เป็นรูปสามเหลยี มหน้าจวั ตงั อยบู่ นฐาน QS ร่วมกนั
จงพิสจู น์วา่ QPR SPR

รูป สิงทกี าํ หนดให้

R 1. ....................................................................................

QS 2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

P

5. จากรูป กําหนดให้ ACB DFE, CAB FDE และ AE = BD จงพิสจู น์วา่ ABC DEF

รูป สิงทีกําหนดให้

C F 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

A E BD

coennosmstttcttttstttoarzgmrzcmsoszoscosamssrmsosttootsssffltlfl...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 8

6. จากรูป กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสีเหลียมจตั รุ ัส และ DX = DY จงพิสจู น์วา่ ADX CDY

รูป สิงทกี ําหนดให้

A XB 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

Y สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

DC

7. กําหนดให้ OB = OC และ OBE OCF จงพิสจู น์วา่ AOB DOC

รูป สิงทกี าํ หนดให้

AB 1. ....................................................................................
E 2. ....................................................................................

O สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

F D ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล
C

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 9

8. กําหนดรูปสเี หลียมมมุ ฉาก ABCD ถ้า CE = DF
จงพิสจู น์วา่ (1) BCE ADF และ

(2) ABE BAF

รูป สิงทกี ําหนดให้

DF EC 1. ....................................................................................
2. ....................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ 1. ..............................................................................
2. ...............................................................................

AB

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

...........................................................................................................................................................................................................

nccettttttttttttttppgseoossnottottttttlbrtstppnonerorsคณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 10
9. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลยี มหน้าจวั โดยมี A เป็นมมุ ยอด
จดุ D และ E เป็นจดุ กงึ กลางของด้านประกอบมมุ ยอดทงั สองตามลาํ ดบั BDF CEF
จงพิสจู น์วา่ (1) BDE CDE , (2) DEF เป็ นสามเหลียมหน้าจวั และ (3)

รูป สิงทีกําหนดให้

A 1. ....................................................................................

2. ....................................................................................

3. ...................................................................................

D E สิงทตี ้องพสิ ูจน์ 1. ................................................................................

F 2. ................................................................................

B C 3. ................................................................................
ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

otrltttttttlhrtlelhtfttesssossotnnoennoonrrottttttmsss...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 11

10. จากรูป กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลยี มหน้าจวั โดยทีมี C เป็นมมุ ยอด \
ถ้า CDEF เป็นรูปสีเหลียมรูปวา่ ว จงพิสจู น์วา่ ADE BFE

รูป สิงทีกาํ หนดให้

C 1. ....................................................................................
DF
2. ....................................................................................
A
E สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

B

11. จากรูป กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี มมมุ ฉาก จดุ D เป็นจดุ กึงกลางของด้าน BC
ถ้า DE ตงั ฉากกบั AC , DF ตงั ฉากกบั AB และ CD = AD จงพิสจู น์วา่ CDE DBF

รูป สิงทีกําหนดให้

C 1. ....................................................................................
ED
2. .................................... 3. .......................................
AF
4. .................................... 5. .......................................

สิงทีต้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

B ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 12

12. จากรูป กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลยี ม โดยทีมี BE = CD และ ABC ACB
จงพิสจู น์วา่ ADE เป็นสามเหลียมหน้าจวั

รูป สิงทกี ําหนดให้

A 1. ....................................................................................

2. ....................................................................................

3. ....................................................................................

สิงทตี ้องพสิ ูจน์ ....................................................................................

ขนั ตอนการพสิ ูจน์ เหตุผล

BD E C

13. จากรูป ABCD เป็นรูปสเี หลยี มจตั รุ ัส E เป็นจดุ ๆหนึงบนด้าน BD ถ้า EC ถกู ตอ่ ออกไปจนถงึ จดุ F
ทําให้ CF = CB และ CFB 20o แล้ว EBF BCE เท่ากบั กีองศา

DC

AB

...........................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ช่วงชนั ที 3 ....................................................................................................................................................................................... 13

14. กําหนดรูป ABC และ ADE เป็ นสามเหลยี มหน้าจวั โดยที AB = AC และ AD = AE
ถ้า AC ตงั ฉากและแบง่ ครึง DE ทีจดุ C และ ABC 55o, ADE 70o
จงหาขนาดของ BAE

15. กําหนดรูปสามเหลยี ม ABC โดยที AB = AC , BC = CD และ BAC 40o

จงหาขนาดของมมุ ตอ่ ไปนี

A (1) BDC (2) ACD

D C
B

...........................................................................................................................................................................................................