เรื่อง ขนาดของเวกเตอร์ (1)

คณิตศาตร์เพิ่มเติม

เรื่อง ขนาดของเวกเตอร์

จัดทำโดย
นางสาว กนกกร บุญประเสริฐ

เลขที่ 17 ม.5/3
เสนอ

คุณครู ศิริวรรณ ขำพาลี

โรงเรียนปากพนัง
สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 12

สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน
กระทรวงศึกษาธิการ

คำนำ

รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาตร์
เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 โดยมีจุดประสงค์เพื่อ
ศึกษาความรู้ที่ได้จากเรื่องขนาดของเวกเตอร์

ผู้จัดทำได้เลือกหัวข้อนี้ในการทำรายงาน เนื่องมา
จากเป็นเรื่องที่น่าสนใจและ ต้องขอขอบคุณ คุณครู
ศิริวรรณ ขำพาลี ผู้ให้ความรู้และแนวทางการศึกษา
เพื่อน ๆ ทุกคนที่ให้ ความช่วยเหลือมาโดยตลอดผู้จัด
ทำหวังว่ารายงานฉบับนี้จะให้ความรู้ และเป็นประโยชน์
แก่ผู้อ่านทุก ๆ ท่าน หากมีข้อผิดพลาดประการใดขอ
อภันมา ณที่นี้

นางสาว กนกกร บุญประเสริฐ
7 ตุลาคม 2564

สารบัญ

เรื่อง หน้า

คำนำ 2
สารบัญ
คำชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกเสริมทักษะ 3
คณิตศาสตร์เรื่อง ขนาดของงเวกเตอร์
คำเเนะนำการใช้แบบฝึกเสริมทักษะ 4
คณิตศาสตร์ สำหรับครู
6

คำเเนะนำการใช้แบบฝึกเสริมทักษะ
7
คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน
มาตรบานการเรียน/ตัวชี้วัด จุดประสงค์ 8
การเรียนรู้
แบบทดสอบก่อนเรียน 9
เฉลยแบบทดสอบ ก่อนเรียน 14
ใบความรู้ 15
แบบฝึกหัด 27
เฉลยแบบฝึกหัด 28
แบบทดสอบหลังเรียน 29
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 37
อ้างอิง 38

คำชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกเสริม

ทักษะคณิตศาสตร์

เรื่อง ขนาดของงเวกเตอร์

1.เอกสารนี้เป็นแบบชฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องขนาด
ของเวกเตอร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
ชุดที่ 1 ความหมายของเวกเตอร์
ชุดที่ 2 สัญลักษณ์แทนปริมาณเวกเตอร์
ชุดที่ 3 การเท่ากันของเวกเตอร์
ชุดที่ 4 นิเสธของเวกเตอร์
ชุดที่ 5 เวกเตอร์ศูนย์
ชุดที่ 6 การบวกเเละลบเวกเตอร์
ชุดที่ 7 เวกเตอร์
ชุดที่ 8 การหาขนาดของเวกเตอร์

2.แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ขนาดของเวกเตอร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
ชุดที่ 1 เวกเตอร์ ประกอบด้วย

2.1 คำแนะนำการใช้แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ สำหรับ
ครู

2.2 คำแนะนำการใช้แบบงฝึกทักษะคณิตศาสตร์
สำหรับนักเรียน

2.3 ขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกเสริมทักษะ
คณิตศาสตร์

2.4 มาตรฐานการเรียน/ตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้

2.5 แบบทดสอบก่อนเรียน
2.6 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
2.7 ใบความรู้ / ตัวอย่าง
2.8 แบบฝึกเสริมทักษะ
2.9 เฉลยแบบฝึกเสริมทักษะ
2.10 แบบทดสอบหลังเรียน
2.11 เฉลยเเบทดสอบหลังเรียน
2.12 แบบบันทึกคะเเนน
2.13 บรรณาณุกรม

คำเเนะนำการใช้แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์

สำหรับครู

การใช้แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อขนาดของเวก
เตอร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ครูผู้สอนถือเป็นส่วนหนึ่งที่มีความ
สำคัญ ในการจัดการเรียนการสอนให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียน
รู้ที่กำหนดไว้ ครูผู้สอนจึงควรศึกษารายละเอียดการใช้แบบฝึกเสริม
ทักษดะคณิตศาสตร์
ดังนี้

1.ครูต้องศึกษาแบบฝึกเสริมทักษดะคณิตศาสตร์ เรื่อง ขนาด
ของเวกเตอร์ และอ่านเนื้อหาสาระอย่างละเอียดรอบคอบ พร้อมทั้ง
ทำความเข้าใจเนื้อหาแบบฝึกเสริมทักษะทุกชุดก่อนที่จะนำไปจัดการ
เรียนการสอนกับนัก้รียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

2.ครูเตรียมแบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ขนาดของเวก
เตอร์ให้ครบถ้วนและเพียงพอกับจำนวนนักเรียน

3.ครูเตรียมเครื่องมือวัดผล และประเมิณผล เพื่อให้ทราบความ
ก้าวหน้าของนักเรียน

4.ครูชี้แจงให้นักเรียนทราบถึงวขั้นตอน วิธีการจัการเรียนการ
สอน และประโยชน์ที่ได้จากแบบฝึกทักษะ เรื่อง ขนาดของเวกเตอร์
อย่างชัดเจน

5.ครูชี้แจงเกี่ยวกับบทบาทของนักเรียนในการเรียน โดยใช้แบบ
ฝึกทักษะ และเน้นย้ำเรื่องความซื่อสัตย์ สุจริตในระหว่างการจัด
กิจกรรมการเรียนการสอน โดยห้ามลอกเพื่อนเเละไม่ดูเฉลยคำตอบ

คำเเนะนำการใช้แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์

สำหรับนักเรียน

การใช้แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ขนาดเวก
เตอร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 นักเรียนควรปฏิบัติตามคำ
แนะนำ
ดั้งนี้

1.ให้นักเรียนอ่านคำชี้แจงที่คุณครูได้แจ้งเอาไวเให้
ละเอียด

2.ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน 10 ข้อ เพื่อประ
เมิณความรู้เบื้องต้น

3.นักเรียนต้องศึกษาเนื้อหา ตัวอย่าง ก่อนทำแบบ
ฝึกหัดเสริมทักษะ เรื่องขนาดของเวกเตอร์ ให้เข้าใจ

4.หลังจากทำแบบฝึกเสริมทักษะเสร็จเเล้ว ให้นักเรียน
ประเมิณตนเองว่าอยู่ในเกณฑ์ใด

5.ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน ประเมิณความ
เข้าใจของตน

6.ให้นักเรียนซื่อสัตย์ต่อตนเองในขณะทำข้อสอบ

มาตรบานการเรียน/ตัวชี้วัด
จุดประสงค์การเรียนรู้

สาระ / มาตรฐาน

สาระที่ 1 เวกเตอร์
มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไร

ตัวชี้วัด

มีความรู้ความเข้าใจในเรื่องของเวกเตอร์ เเละ

ขนาดของเวกเตอร์ได้อย่างเข้าใจ

จุดประสงค์การเรียนรู้


สามารถบวกลบเวกเตอร์ และสามารถหา
ขนาดของเวกเตอร์ได้

แบบทดสอบก่อนเรียน

คำชี้แจ้ง : แบบทดสอบมีจำนวน 10 ข้อโดยให้นักเรียนเลือกตัว
เลือกที่ถูกต้องเพียงตัวเลือกเดียว

ณเวกเตอร์
กรัม
องศาเซลเซียส
งโรงเรียน 2 กิโลเมตร
เร็ว 90 กม./ชม.

เท่ากับข้อใด

3. ข้อใดที่เป็นปริมาณสเกลาร์
ก. ชูใจหนัก 45 กิโลกรัม
ข. วีระวิ่งไปทางทิศเหนือ
ค. มานะออกแรงยกหิน
ง. ปิติขับรถไปโรงเรียน

4.กำหนดให้ A(-1, 2, 3) และ B(3, 3, 4) ระยะทาง
ของ AB เท่ากับข้อใด

√ก.2 3
√ข.3 2
√ค.5 3
√ง.3 5

5. ข้อใดเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ที่กำหนดให้ได้ถูกต้อง

ก. BA ข.AB
ค. A ง.B

6. เวกเตอร์ในข้อใดขนานกัน
ก. ข.

ค. ง.

7. เวกเตอร์ในข้อใดเท่ากัน
ก. ข.

ค. ง.

9. ข้อใดไม่ใช่ผลบวกของ u , v และ w ที่กำหนดให้
8. เวกเตอร์ในข้อใดเป็นนิเสธซึ่งกันและกัน
ก. ข.

ก. ค. ง.ข.

ค. ง.

10. ข้อใดไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์
ก. ข.

ค. ง.

ใบความรู้

ความหมายของเวกเตอร์
ในการกล่าวถึงปริมาณใดๆ เราจำแนกปริมาณออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่
ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar Quantity ) คือ ปริมาณที่บอกเพียงขนาดอย่างเดียว

เช่น ระยะทาง อัตราเร็ว อัตราเร่ง
ปริมาณเวกเตอร์ (Vector Quantity ) คือ ปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง

เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนปริมาณเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่จะกล่าวในระดับนี้เป็นเวกเตอร์ในระนาบเท่านั้น

ปริมาณเวกเตอร์ สามารถเขียนแทนด้วย ''ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง''
โดย ขนาดเวกเตอร์ แทนด้วย ความยาวเส้นตรง
ทิศทางเวกเตอร์ แทนด้วย หัวลูกศร

ใช้สัญลักษณ์ AB แทนส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศจาก A ไป B อ่านว่า เวกเต
อร์เอบี เรียก A ว่าจุดเริ่มต้น (initial point) ของ

AB เรียก B ว่าจุดสิ้นสุด(terminal point) ของAB หัวลูกศรจะอยู่ที่จุดสื้น
สุด

ขนาดของเวกเตอร์AB คือความยาวของส่วนของเส้นตรง AB ใช้
สัญลักษณ์ |AB| ขนาดนี้จะเป็นปริมาณสเกลาร์

อาจใช้สัญลักษณ์ u แทนเวกเตอร์ได้

การเท่ากันของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ

1. มีขนาดเท่ากัน 2. มีทิศทางเดียวกัน

นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ที่มีขาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม

ให้ u เป็นเวกเตอร์ใดๆ เขียนแทนนิเสธของ u ด้วย - u

เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน

ดังนั้น เวกเตอร์ศูนย์คือจุดนั่นเอง เนื่องจากไม่มีความยาว และมีขนาดเท่ากับ
ศูนย์

การบวกและลบเวกเตอร์

กรณีที่เป็นการบวกเวกเตอร์

นิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ใดๆในระนาบ สามารถหา u+v ได้
โดยเลือกจุด A

จุดใดจุดหนึ่งมาหาจุด B ที่ทำให้ u = AB และหาจุด C ที่ทำให้ v = BC ซึ่งจะได้ w
= AC จะได้

AC = AB + BC หรือ w = u + v

ในกรณีที่เป็นการลบเวกเตอร์

ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆในระนาบ ลบของเวกเตอร์ u ด้วย v เขียนแทนได้
ด้วย u - v และ

u - v = u + ( -v )

เวกเตอร์ (vectors)
เวกเตอร์ ปริมาณมี 2 แบบ คือสเกลาร์ กับเวกเตอร์
สเกลาร์ เป็น ปริมาณที่มีแต่ขนาด เช่น พื้นที่ อุณหภูมิ ความ
ยาว เป็นต้น
เวกเตอร์ เป็น ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่นความเร็ว
แรง เป็นต้น
เราสามารถแทนเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิตได้ด้วยส่วนของเส้น
ตรงและลูกศร โดยที่ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวก
เตอร์ และความยาวของลูกศรแทน ขนาดของเวกเตอร์ หาง
ลูกศรเรียกว่า จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ หัวลูกศร เรียกว่า
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

(รูปที่ 1)

บทนิยาม 1 ถ้าเวกเตอร์ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวก
เตอร์ศูนย์ แล้ว ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขียนแทน
ด้วยเวกเตอร์ u + v หาได้จากให้ตำแหน่งเวกเตอร์ v มีจุด
เริ่มต้นอยู่ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u
เวกเตอร์ u + v จะแทนด้วยลูกศรจากจุดเริ่มต้นของเวก
เตอร์ u ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ v ดังรูปที่ 2

(รูปที่ 2)

บทนิยาม 2 ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์
และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว เวกเตอร์ kv
หมายถึงเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |k| เท่าของเวกเตอร์ v เมื่อ
k>0 เวกเตอร์ kv จะมีทิศทางเดียวกับ v และเมื่อ k<0 เวก
เตอร์ kv มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ v และให้เวกเตอร์ kv
=0 เมื่อ k =0

จากรูปที่ 3 ได้ว่าเวกเตอร์ v กับเวกเตอร์ Kv เป็นเวก
เตอร์ที่ขนานกัน

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ
ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติใน

ระบบพิกัดฉาก ซึ่งมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด และจุดสิ้นสุด
อยู่ที่จุด (x1,y1,z1) ดังรูปที่ 5 เรียกพิกัด x1,y1และ z1ว่า ส่วน
ประกอบเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วย





ตัวอย่าง 2 กำหนดให้ จุด A(1, 2, 3) ,B(4, -1, -2)และ C(-3, 4,
0)

จะได้เวกเตอร์ AB = <4,-1,-2> – <1,2,-3> = <3,-3,1>
เวกเตอร์ BC = <-3,4,0> – <4,-1,-2> = <-7,5,2>
ขนาดของเวกเตอร์
ขนาดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ จะได้ว่า ‖u‖
ขนาดของเวกเตอร์ u เรียกอีกอย่างว่า ค่าประจำของเวกเตอร์
u





ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้เวกเตอร์ u = <2, -1, -2>
1. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศเดียวกับเวกเตอร์ u
2. เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 5 หน่วยทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ u

SOPHIA HILL

BELDEN'S BEST SELLING SELF-IMPROVEMENT BOOK

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบทดสอบหลังเรียน

คำชี้แจ้ง : แบบทดสอบมีจำนวน 10 ข้อโดยให้นักเรียนเลือก
ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงตัวเลือกเดียว
1. ข้อใดกล่าวถึงเวกเตอร์ที่กำหนดให้ถูกต้อง

ก.สมบัติปิดการบวก
ข.สมบัติสลับที่การบวก
ค.สมบัติเปลี่ยนกลุ่มการบวก
ง.เอกลักษณ์การบวก

2.ข้อใดเป็นผลลบของ u ด้วย v ที่กำหนดให้
ก. ข.
ค. ง.

3.ข้อใดเป็นผลคูณของ u ที่กำหนดให้ด้วย 2

ก. ข.
ค. ง.

4. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องจากโจทย์ต่อไปนี้
ง.

5.ให้ A(-2, -3) และ B(6, -8) ข้อใดเป็นเวกเตอร์ AB
ก. ข.

ค. ง.

6. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องจากโจทย์ต่อไปนี้
ก. ข.

ค. ง.

7. ให้ A(-6, 9, -4) และ B(-5, -6, -12) ข้อใดเป็นเวกเตอร์ AB
ก. ข.

ค. ง.

9. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องจากโจทย์ต่อไปนี้

√ √ก. 5 2 หน่วย
ข. 4 2 หน่วย
√ √ค8..ถ้า3ให้ C5(-1,หน2่ว, ย-3) และ งD.(22, 4,5-3ห)น่วแลย้วเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ CD คือเวกเตอร์ในข้อใด

10ก..ให้ A(5, -2) และ B(-3, -6) ขนาดขอ. งเวกเตอร์ BA เท่ากับข้อ

ใด


√ก. 4 5 หน่วย √ข.
9 5 หน่วย
√ค. 4 3 หน่วย √ง.
9 3หน่วย

ค. ง.

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

1. ก.
2. ค.
3. ง.
4. ค.
5. ข.
6. ข.
7. ค.
8. ข
9. ก.
10. ก.

อ้างอิง

-https://sites.google.com/site/physicsforgu/fisiks
-
https://kulazaza.wordpress.com/2013/06/17/%E0%B9%80
%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B
8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C-vectors/
ฟหนังสือ

ภาคผนวก

กระดาษคำตอบ
ชื่อ...........................................ชั้น............................เลขที่...............................
วิชา................วันที่สอบ .................................................

เฉลยแบบทดสอบ ก่อนเรียน

1. ง.
2. ก.
3. ก.
4. ข.
5. ข.
6. ก.
7. ก.
8. ข.
9. ง.
10. ง.

เฉลยแบบฝึกหัด

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

1. ก.
2. ค.
3. ง.
4. ค.
5. ข.
6. ข.
7. ค.
8. ข
9. ก.
10. ก.