หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 1
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 1 แบบฝึกหัดที่ 5.1 ชื่อ ค่าของฟังก์ชัน ชั้น ม.3/ เลขที่ จงหาค่าของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กำหนด ( ) 2 f x x 2x = + 1.1) f(3) = ( ) ( ) 2 3 3 + 2 = 9 + 6 = 15 1.2) f(-3) = ( ) ( ) 2 −3 3 + 2 − = 9 - 6 = 3 1.3) f(-1) = ( ) ( ) 2 −1 1 + 2 − = 1 - 2 = -1 1.4) 1 f 2 = 2 1 2 1 2 2 + = 1 1 4 + = 1 ( ) 4 4 1 4 + = 1 4 4 + = 5 4 1.5) 1 f - 2 = 2 + 1 1 - - 2 2 2 = 1 1 4 − = 1 ( ) 4 4 1 4 − = 1 4 4 − = 3 4 − 2. กำหนด ( ) 3 2 f x 3x 2x 4x 1 = − + − 2.1) f(1) = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 1 1 − + − 4 = 3 2 4 (1 1 ) − + − ( ) 1 = 3 – 2 + 4 -1 = 4 2.1) f(2) = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 - 2 + 2 2 4 2 - 1 = 3 - 2 + (8 4 ) ( ) 8 -1 = 24 – 8 + 8 -1 = 23 2.1) f(-1) = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 - -1 -1 -2 +4 -1 1 = 3 - (-1 1 - )-2( ) 4 1 = -3 – 2 - 4 -1 = -10 2.1) f(-2) = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 - -2 -2 -2 +4 -2 1 = 3 - (-8 4 - )-2( ) 8 1 = -24 – 8 - 8 -1 = -41 3. กำหนด ( ) ( ) 2 g x 2 x 4 = − 3.1) 1 g 2 = 2 2 1 2 4 − = ( ) ( ) 2 4 2 1 2 2 2 − = 2 2 7 2 − = 2 49 4 = 49 2 3.2) g 4( ) = ( ) 2 2 4 − 4 = ( ) 2 2 0 = 2(0) = 0 3.3) g 1 (− ) = ( ) 2 2 4 −1− = ( ) 2 2 −5 = 2(25) = 50 3.4) g 10 ( ) = ( ) 2 2 10 − 4 = ( ) 2 2 6 = 2(36) = 72 4. กำหนด ( ) ( ) 2 g x 1 2x x = − − 4.1) g 5 (− ) = ( ) ( ) 2 1 - 2 - -5 -5 = 2 1 + 10 + 5 = ( ) 2 11 + 5 = 121 + 5 = 126 4.2) g 3( ) = ( ) ( ) 2 1 - 2 - 3 3 = 2 1 - 6 - 3 = ( ) 2 −5 - 3 = 25 - 3 = 22 5. กำหนด h x x 5 ( ) = + 5.1) h 1 (− ) = −1+ 5 = 4 = 2 5.2) h 4 (− ) = −4 + 5 = 1 = 1 5.3) h 3( ) = 3 + 5 = 8 = 222 = 2 2 6. กำหนด ( ) ( ) 2 h x x 3 ax = − − 6.1) h a( ) = ( ) ( ) 2 a − − 3 a a = 2 2 a 6a 9 a − + − = − + 6a 9 6.2) h 5( ) = ( ) ( ) 2 a − − 3 a a = 2 2 a 6a 9 a − + − = − + 6a 9
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 2 แบบฝึกหัดที่ 5.2 ชื่อ สมการพาราโบลา ชั้น ม.3/ เลขที่ สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสมการของพาราโบลาหรือไม่ เพราะเหตุใด 1. y 3x 5 = − ตอบ ไม่เป็นสมการของพาราโบลา เพราะ ไม่มีพจน์ 2 ax หรือไม่สามารถเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a 0 2. y 6 = ตอบ ไม่เป็นสมการของพาราโบลา เพราะ ไม่มีพจน์ 2 ax หรือไม่สามารถเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a 0 3. 2 y x 2x 3 = + − ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น ( ) 2 y=x +2x+ -3 โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -3 4. 2 y 2x = − ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น 2 y 2x 0x 0 = − + + โดยที่ a = -2, b = 0 และ c = 0 5. 2 y 4x 5 = − ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น ( ) 2 y=4x +0x+ -5 โดยที่ a = 4, b = 0 และ c = -5 6. 2 4x x y 2 − = จะได้ 2 -1x 4x y + + 0 2 2 = ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น 2 y=-0.5x +2x+0 โดยที่ a = -0.5, b = 2 และ c = 0 7. 2 y 6 x = − ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น 2 y= -1x + 0x + 6 โดยที่ a = -1, b = 0 และ c = 6 8. ( ) 2 y 2 x 3 = + จะได้ 2 y 2(x 6x 9) = + + ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น 2 y= 2x + 12x + 18 โดยที่ a = 2, b = 12 และ c = 18 9. y x 7x 5 = + ( ) จะได้ 2 y 7x 5x = + ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา เพราะเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้เป็น 2 y= 2x + 12x + 18 โดยที่ a = 2, b = 12 และ c = 18 10. ( ) 2 y x x 1 = − จะได้ 3 2 y x 1x = − ตอบ ไม่เป็นสมการของพาราโบลา เพราะมีพจน์ 3 x ไม่สามารถเขียนสมการในรูป 2 y ax bx c = + + ได้
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 3 แบบฝึกหัดที่ 5.3 ชื่อ กราฟของฟังก์ชัน 2 y ax = เมื่อ a 0 ชั้น ม.3/ เลขที่ กำหนดสมการพาราโบลา ให้นักเรียนเติมข้อความให้สมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะกราฟที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ 2. จุดยอดเป็นจุดต่ำสุด/สูงสุด ที่จุดใด 3. มีค่าต่ำสุด/สูงสุด เท่าใด 4. เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือสมการใด สมการที่ (1) 2 y 3x = − จะได้ a = 3 สมการที่ (2) 2 y x = จะได้ a = 1 กราฟพาราโบลา คว่ำ กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 0) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (3) 2 2 y x 3 = − จะได้ a 0.67 สมการที่ (4) 2 1 y x 5 = จะได้ a = 0.2 กราฟพาราโบลา คว่ำ กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 0) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (5) 2 1 y x 6 = − จะได้ a 0.17 สมการที่ (6) 2 5 y x 3 = จะได้ a 1.67 กราฟพาราโบลา คว่ำ กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 0) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เรียงลำดับกราฟที่บานมากที่สุดไปจนถึงกราฟที่บานน้อยที่สุดตามลำดับคือ ตอบ กราฟที่บานมากที่สุด ตามลำดับดังนี้ สมการ (5), สมการ (4), สมการ (3), สมการ (2), สมการ (6), สมการ (1)
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 4 แบบฝึกหัดที่ 5.4 ชื่อ กราฟของฟังก์ชัน 2 y ax k = + เมื่อ a 0 ชั้น ม.3/ เลขที่ กำหนดสมการพาราโบลา ให้นักเรียนเติมข้อความให้สมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะกราฟที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ 2. จุดยอดเป็นจุดต่ำสุด/สูงสุด ที่จุดใด 3. มีค่าต่ำสุด/สูงสุด เท่าใด 4. เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือสมการใด สมการที่ (1) 2 y 2x = สมการที่ (4) 2 y 2x = − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (2) 2 y 2x 2 = + สมการที่ (5) 2 y 2x 2 = − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 2) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 2) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 2 ค่า สูงสุด ที่ y = 2 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (3) 2 y 2x 3 = − สมการที่ (6) 2 y 2x 3 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, -3) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, -3) ค่า ต่ำสุด ที่ y = -3 ค่า สูงสุด ที่ y = 3 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (7) 2 1 y x 5 2 = + สมการที่ (8) 2 y 5x 1 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 5) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, -1) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 5 ค่า สูงสุด ที่ y = -1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 กราฟที่บานมากที่สุดคือ กราฟสมการ (7) กราฟที่บานน้อยที่สุดคือ กราฟสมการ (8)
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 5 แบบฝึกหัดที่ 5.5 ชื่อ กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x h = − เมื่อ a 0 ชั้น ม.3/ เลขที่ กำหนดสมการพาราโบลา ให้นักเรียนเติมข้อความให้สมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะกราฟที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ 2. จุดยอดเป็นจุดต่ำสุด/สูงสุด ที่จุดใด 3. มีค่าต่ำสุด/สูงสุด เท่าใด 4. เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือสมการใด สมการที่ (1) 2 y 2x = สมการที่ (4) 2 y 2x = − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (2) ( ) 2 y 2 x 3 = − สมการที่ (5) ( ) 2 y 2 x 3 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (3, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-3, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 3 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -3 สมการที่ (3) ( ) 2 y 2 x 4 = + สมการที่ (6) ( ) 2 y 2 x 4 = − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (-4, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-4, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -4 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -4 สมการที่ (7) ( ) 2 1 y x 7 2 = + สมการที่ (8) ( ) 2 y 7 x 4 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (-7, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (4, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -7 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 4 กราฟที่บานมากที่สุดคือ กราฟสมการ (7) กราฟที่บานน้อยที่สุดคือ กราฟสมการ (8)
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 6 แบบฝึกหัดที่ 5.6 ชื่อ กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x h k = − + เมื่อ a 0 ชั้น ม.3/ เลขที่ กำหนดสมการพาราโบลา ให้นักเรียนเติมข้อความให้สมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะกราฟที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ 2. จุดยอดเป็นจุดต่ำสุด/สูงสุด ที่จุดใด 3. มีค่าต่ำสุด/สูงสุด เท่าใด 4. เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือสมการใด สมการที่ (1) ( ) 2 y 2 x 1 = − สมการที่ (4) ( ) 2 y 2 x 1 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (1, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (1, 0) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 สมการที่ (2) ( ) 2 y 2 x 1 2 = − + สมการที่ (5) ( ) 2 y 2 x 1 2 = − − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (1, 2) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (1, 2) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 2 ค่า สูงสุด ที่ y = 2 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 สมการที่ (3) ( ) 2 y 2 x 1 3 = − − สมการที่ (6) ( ) 2 y 2 x 1 3 = − − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (1, -3) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (1, -3) ค่า ต่ำสุด ที่ y = -3 ค่า สูงสุด ที่ y = -3 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 สมการที่ (7) ( ) 2 y 0.1 x 1 1 = − + + สมการที่ (8) ( ) 2 y 7 x 1 1 = − + − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (-1, 1) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-1, -1) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 1 ค่า สูงสุด ที่ y = -1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -1
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 7 สมการที่ (9) ( ) 2 y 0.2 x 1 1 = − + สมการที่ (10) ( ) 2 y 1.2 x 1 1 = − − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (1, 1) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (1, -1) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 1 ค่า สูงสุด ที่ y = -1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 1 สมการที่ (11) ( ) 2 y 0.01 x 5 4 = + − สมการที่ (12) ( ) 2 y 11.5 x 5 6 = − − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (-5, 4) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (5, 6) ค่า ต่ำสุด ที่ y = 4 ค่า สูงสุด ที่ y = 6 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -5 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 5 สมการที่ (13) ( ) 2 y x 2 7 = − − − สมการที่ (14) ( ) 2 y 2.5 x 8 3 = + − กราฟพาราโบลา คว่ำ กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (2, -7) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-8, -3) ค่า ต่ำสุด ที่ y = -7 ค่า สูงสุด ที่ y = -3 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 2 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -8 สมการที่ (15) ( ) 2 y 3 x 6 5 = + − สมการที่ (16) ( ) 2 y 4 x 9 11 = − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-6, -5) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (9, 11) ค่า สูงสุด ที่ y = -5 ค่า สูงสุด ที่ y = 11 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -6 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 9 กราฟที่บานมากที่สุด คือ กราฟสมการ (11) กราฟที่บานน้อยที่สุด คือ กราฟสมการ (12) กราฟที่บานเท่ากัน คือ กราฟสมการ (1), (2), (3), (4), (5), (6)
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 8 แบบฝึกหัดที่ 5.7 ชื่อ ลักษณะกราฟของฟังก์ชัน ชั้น ม.3/ เลขที่ กำหนดสมการพาราโบลา ให้นักเรียนเติมข้อความให้สมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะกราฟที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ 2. จุดยอดเป็นจุดต่ำสุด/สูงสุด ที่จุดใด 3. มีค่าต่ำสุด/สูงสุด เท่าใด 4. เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือสมการใด สมการที่ (1) ( ) 2 y 3 x 5 = + สมการที่ (2) 2 y x 1 = − + กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา คว่ำ จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-5, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด ที่จุด (0, 1) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า ต่ำสุด ที่ y = 1 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -5 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 สมการที่ (3) 2 y 4x = สมการที่ (4) ( ) 2 y 5 x 3 4 = + − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (-3, -4) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = -4 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = -3 สมการที่ (5) ( ) 2 y x 8 = − สมการที่ (6) ( ) 2 y 7 x 10 11 = − − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (8, 0) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (10, 11) ค่า สูงสุด ที่ y = 0 ค่า สูงสุด ที่ y = 11 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 8 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 10 สมการที่ (7) 2 y 0.5x 9 = + สมการที่ (8) ( ) 2 y 12 x 7 = − กราฟพาราโบลา หงาย กราฟพาราโบลา หงาย จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (0, 9) จุดยอดเป็นจุด สูงสุด ที่จุด (7, 0) ค่า สูงสุด ที่ y = 9 ค่า สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ x = 7 กราฟที่บานมากที่สุด คือ กราฟสมการ (7) กราฟที่บานน้อยที่สุด คือ กราฟสมการ (8) กราฟที่บานเท่ากัน คือ กราฟสมการ (2) และ กราฟสมการ (5)
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 9 แบบฝึกหัดที่ 5.8 ชื่อ ลักษณะกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ชั้น ม.3/ เลขที่ ให้นักเรียนนำเสนอลักษณะกราฟฟังก์ชันกำลังสองทั้ง 4 แบบ และบอกด้วยว่ากราฟของสมการใดที่บานมาก มากน้อยหรือบานเท่ากัน โดยคิดสมการเอง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ กราฟของฟังก์ชัน 2 y ax = เมื่อ a 0 กราฟของฟังก์ชัน 2 y ax k = + เมื่อ a 0 สมการที่ (1) สมการที่ (2) กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (0, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (0, k) ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = 0 ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = 0 เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = k กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x h = − เมื่อ a 0 กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x h k = − + เมื่อ a 0 สมการที่ (3) สมการที่ (4) กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (h, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (h, k) ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = 0 ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = k เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x m = − เมื่อ a 0 กราฟของฟังก์ชัน ( ) 2 y a x m k = − + เมื่อ a 0 สมการที่ (5) สมการที่ (6) กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ กราฟพาราโบลา a > 0 หงาย และ a < 0 คว่ำ จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (m, 0) จุดยอดเป็นจุด ต่ำสุด/สูงสุด ที่จุด (m, k) ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = 0 ค่าต่ำสุด/สูงสุด ที่ y = k เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = m เส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = m กราฟที่บานมากที่สุด คือ กราฟสมการที่ มีค่า a น้อย กราฟที่บานน้อยที่สุด คือ กราฟสมการที่ มีค่า a มาก กราฟที่บานเท่ากัน คือ กราฟสมการที่ มีค่า a เท่ากัน
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 10 แบบฝึกหัดที่ 5.9 ชื่อ การเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ชั้น ม.3/ เลขที่ จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ 1) y = 2 x x + 8 +15 วิธีทำ จัดสมการในรูป y = ( ) 2 a x h k − + ได้ดังนี้ y = ( ) 2 2 2 x x + 8 +ล −ล +15 y = ( ) 2 2 x x + 8 + − 4 16 +15 y = ( ) 2 x + 4 −1 จะได้ a = 1 h = -4 k = -1 จากสมการข้างต้นจะสรุปลักษณะกราฟได้ดังนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ตอบ หงาย และเส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = -4 2. จุดยอดเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ ต่ำสุด ที่จุด (-4, -1) 3. ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ ต่ำสุด ที่ค่า y = -1 4. หาพิกัดของจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร ดังตาราง x -6 -4 -2 หาค่า y โดยการ แทนค่า x ในสมการ y = ( ) 2 x + 4 −1 y = ( ) 2 −6 + − 4 1 y = ( ) 2 −2 −1 y = 4 – 1 y = 3 คู่อันดับ (-6, 3) y = ( ) 2 −4 + − 4 1 y = ( ) 2 0 −1 y = 0 – 1 y = -1 คู่อันดับ (-4, -1) y = ( ) 2 −2 + − 4 1 y = ( ) 2 2 −1 y = 4 – 1 y = 3 คู่อันดับ (-2, 3) เขียนกราฟของสมการได้ดังนี้
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 11 2) y = 2 − − 2 4 x x − 5 วิธีทำ จัดสมการในรูป y = ( ) 2 a x h k − + ได้ดังนี้ y = ( ) 2 −2 2 x x + − 5 y = ( ) 2 2 − + 2 x x2 +1 −1 −5 y = ( ) 2 − + 2 x 1 + 2 − 5 y = ( ) 2 − + 2 1 x − 3 จะได้ a = 1 h = -1 k = -3 จากสมการข้างต้นจะสรุปลักษณะกราฟได้ดังนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ตอบ คว่ำ และเส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = -1 2. จุดยอดเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ สูงสุด ที่จุด (-1, -3) 3. ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ สูงสุด ที่ค่า y = -3 4. หาพิกัดของจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร ดังตาราง x -1 0 1 หาค่า y โดยการ แทนค่า x ในสมการ y = ( ) 2 − + − 2 1 3 x y = ( ) 2 -2 + -1 1 -3 y = ( ) 2 -2 0 -3 y = 0 – 3 y = -3 คู่อันดับ (-1, -3) y = ( ) 2 -2 0+1 -3 y = ( ) 2 -2 1 -3 y = -2 – 3 y = -5 คู่อันดับ (0, -5) y = ( ) 2 -2 1+1 -3 y = ( ) 2 -2 2 -3 y = -8 – 3 y = -11 คู่อันดับ (1, -11) เขียนกราฟของสมการได้ดังนี้
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 12 3) y = 2 3 6 x x − + 5 วิธีทำ จัดสมการในรูป y = ( ) 2 a x h k − + ได้ดังนี้ y = ( ) 2 3 2 x x − + 5 y = ( ) 2 2 3 2 x x − +1 1 − + 5 y = ( ) 2 3 x −1 3 − + 5 y = ( ) 2 3 x −1 + 2 จะได้ a = 3 h = 1 k = 2 จากสมการข้างต้นจะสรุปลักษณะกราฟได้ดังนี้ 1. กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ตอบ หงาย และเส้นตรงที่เป็นแกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = 1 2. จุดยอดเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ ต่ำสุด ที่จุด (1, 2) 3. ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตอบ ต่ำสุด ที่ค่า y = 2 4. หาพิกัดของจุดต่าง ๆ ที่อยู่บนข้างเดียวกันของแกนสมมาตร ดังตาราง x 0 1 2 หาค่า y โดยการ แทนค่า x ในสมการ y = ( ) 2 3 1 2 x − + y = ( ) 2 3 0 − + 1 2 y = ( ) 2 3 2 −1 + y = 3 + 2 y = 5 คู่อันดับ (0, 5) y = ( ) 2 3 1− + 1 2 y = ( ) 2 3 0 + 2 y = 0 + 2 y = 2 คู่อันดับ (1, 2) y = ( ) 2 3 2 − + 1 2 y = ( ) 2 3 1 + 2 y = 3 + 2 y = 5 คู่อันดับ (2, 5) เขียนกราฟของสมการได้ดังนี้
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 13 แบบทดสอบเก็บคะแนน วิชาคณิตศาสตร์ 5 ชื่อ หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ชั้น ม.3/ เลขที่ ตอนที่ 1 คำสั่ง ให้นักเรียนกากบาทเลือกคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียวในข้อสอบนี้ 1. กราฟในข้อใดบานมากที่สุด ก. 2 y x = −0.5 ข. 2 y x = − 2 1 ค. ( ) 2 y x = − +1 ง. ( ) 2 y x = − − − 0.2 1 2 2. กราฟในข้อใดบานน้อยที่สุด ก. 2 y x = −0.5 ข. 2 1 1 2 y x = − ค. ( ) 2 y x = − +1 ง. ( ) 2 y x = − − − 0.2 1 2 3. กราฟในข้อใดจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด ก. 2 y x = −5 ข. 2 y x = +1 ค. ( ) 2 y x = − +1 ง. ( ) 2 y x = + + 1 2 4. กราฟในข้อใดมีสมการ x = -2 เป็นแกนสมมาตร ก. 2 y x = −2 ข. 2 y x = − 2 ค. ( ) 2 y x = + − 2 2 ง. ( ) 2 y x = − − 2 2 5. กราฟในข้อใดที่มีจุดต่ำสุด มีจุดยอด (-1, 1) ก. 2 y x = − +1 ข. ( ) 2 y x = + + 1 1 ค. ( ) 2 y x = − + 1 1 ง. ( ) 2 y x = − + + 1 1 6. กำหนด ( ) 2 y x = − + − 2 3 ข้อใดถูกต้อง ก. กราฟคว่ำ มีจุดยอดที่ (-2 , -3) ข. กราฟคว่ำ มีจุดยอดที่ (2 , -3) ค. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (2 , -3) ง. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (-2 , -3) 7. กำหนด 2 y x = − 2 3 ข้อใดถูกต้อง ก. กราฟคว่ำ มีจุดยอดที่ (0 , -3) ข. กราฟคว่ำ มีจุดยอดที่ (2 , -3) ค. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (2 , -3) ง. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (0 , -3) 8. กำหนด ( ) 2 y x = + 3 2 ข้อใดถูกต้อง ก. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (3 , 2) ข. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (3 , -2) ค. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (-2 , 0) ง. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (2 , 0) 9. กำหนด ( ) 2 y x = − − 3 2 1 ข้อใดถูกต้อง ก. กราฟมีค่าสูงสุด ที่ y = -1 ข. กราฟมีค่าต่ำสุด ที่ y = -1 ค. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (-2 , 1) ง. กราฟหงาย มีจุดยอดที่ (-2 , -1) 10. กำหนด ( ) 2 y x = − +1 ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. กราฟพาราโบลาคว่ำ ข. กราฟมีค่าสูงสุด ที่ y = 0 ค. กราฟมีค่าสูงสุด ที่ y = -1 ง. กราฟมีสมการแกนสมมาตร x = -1
หน่วยที่ 5 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (By ครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน) หน้า 14