เอกสารประกอบการเรียน-หน่วยที่-1 (2)

หนวยท่ี 1

สมบตั ขิ องเลขยกกำลัง

ความหมายของเลขยกกำลัง

บทนยิ าม

ถา a แทนจำนวนจริงใด ๆ และ n แทนจำนวนเตม็
บวก a ยกกำลงั n เขยี นแทนดวย an มคี วามหมายดังนี้

an= a x a x a x … x a
1
n ตวั

เรียก anวา เลขยกกำลัง มี a เปนฐาน และ n เปน เลขชี้กำลงั

ชวนคดิ

สัญลกั ษณ anมคี วามหมายวาอยา งไร ร
.

นักเรียนเรียกสัญลกั ษณต ัวอกั ษร a วาอยางไร .
-

นกั เรียนเรียกสญั ลักษณตัวอักษร n วา อยา งไรi
-

นักเรียนอา นสญั ลกั ษณ anวาอยา งไร\
-

ตัวอยาง

22อา นวา สองยกกำลงั สอง
มี 2 เปน ฐาน และมี 2 เปนเลขช้กี ำลงั
22 = 2 x 2

=4

23 อา นวา ลองทำดู
(-0.3)2 อา นวา

6 = (-3)7=

ฝึ

หนว ยท่ี 1

สมบัติของเลขยกกำลัง

สมบตั ิการคณู เลขยกกำลงั

บทนิยาม จำงา ย ๆ
สมบัตขิ องการคูณเลขยกกำลังทมี่ ี ฐาน เหมอื นกนั ใหน ำ
เลขชกี้ ำลังมาบวกกนั
เลขชี้กำลงั เปน จำนวนเต็มบวก เมือ่ a แทน
จำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็ม บวก

amx an= am+n

22x 23= 22+3 เลขช้ีกำลังของผลคณู มี
= 25 > คา เทากับ ผลบวกของ

ชวนคิด เลขชีก้ ำลงั ตัวต้ังกบั ตวั

คณู 5=2+3

การคณู เลขยกกำลงั ขางตน จะมวี ธิ ีการอยา งไร/
/

เลขชีก้ ำลงั ของผลคูณมีความสมั พันธกับเลขชี้กำลังของตัวตง้ั และตัวคณู
อยา งไร 1

1

เรียกสมบตั ขิ องเลขยกกำลงั ในลักษณะขางตน วา อยางไร ะ

ตัวอยาง ตัวอยา ง

22x 22= 22+2 3 x 38= 31+8
= 24 = 39

23x 24 ลองทำดู

34x 38

43x 24 ( a )(a2n-1 2n +1 )

หนวยท่ี 1

สมบตั ิของเลขยกกำลัง

สมบตั ิการหารเลขยกกำลัง

บทนยิ าม จำงาย ๆ
สมบตั ิของการหารเลขยก ฐานเหมอื นกัน ใหน ำ

กำลังท่ีมีเลขชี้กำลงั เปน จำนวนเตม็ บวก =เลขช้กี ำลงั มา ลบ กนั
_
เมอ่ื a แทนจำนวนใด ๆ ท่ไี มใชศูนย m

และ n แทนจำนวนเตม็ บวก
am an = am-n
ะ

ทบทวนสมบตั ิเลขยกกำลงั

สมบตั ิการคณู •
•

สมบัตกิ ารหาร •
D

ชวนคิด

การหารเลขยกกำลงั มีหลักการหารอยางไร -
l

นกั เรยี นคดิ วา ถา เลขฐาน ของเลขยกกำลังท่ีนำมาหารกนั เปนศนู ยได

หรือไม -
1

เรยี กสมบตั ิของเลขยกกำลังในลกั ษณะขา งตนวาอยางไร 1
\

ตวั อยาง ตัวอยา ง 2-1

4 4 =8 2 48-2 (-2)2 \☐ (-2) == ((--22))
\ 46 •
\
=

ลองทำดู

7 715 8
•
•

(-5)9 (-5)4
☐

( ) ( )2 12 2 10
P7
7B

การหาผลลพั ธใ นรปู เลขยกกำลัง

ตัวอยาง = 59+1+2
510
59x 5 x 52 = 512
510 510

= 512-10
= 52
ลองทำดู

(-2)1x0(-2)8x(-2)5
(-2)19

(a2n+6x a7n+8) : a4n+1

หนว ยท่ี 1

สมบตั ิของเลขยกกำลงั

สมบัติของเลขยกกำลงั ทมี่ ีเลขช้ีกำลังเปนศูนย

บทนยิ าม จำงา ยๆ
สมบตั ิของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลงั เปน จำนวนใดกแ็ ลว แตท ีย่ กกำลงั

ศนู ย เมอ่ื a แทนจำนวนใด ๆ ที่ไมใ ชศูนย ศูนย จะมีคา เทากับ 1 เสมอ

a0 = 1

ทบทวนสมบตั เิ ลขยกกำลงั

สมบัตกิ ารคูณ •
•

สมบัตกิ ารหาร •
D

สมบัติอื่นๆ : (เลขชีก้ ำลงั เปนศนู ย)

ชวนคิด
จากสมบตั ิขางตน เลขฐานมคี า เปน อยางไร เ

/

จากสมบตั ิขางตนเลขยกกำลังจากสมบัติตองมคี าเปน เทา ใด-
1

เลขยกกำลงั ที่มฐี านเปน จำนวนใด ๆ แลวมงึ เลือกสีกำลงั เทา กบั ศูนยจะมี
คา เทา กับเทาใดr

-

เรียกสมบัติของเลขยกกำลงั ในลักษณะขางตนวาอยา งไร -
t

ตัวอยาง

ตวั อยา ง a3x a2x a5 = a3+2+5
a6x a4 a 6+4
80= 1
= a10
(-0.5)0= 1 a10

= a10-10
= a0

=1

ลองทำดู

a15x a20x a6
a13x a28

=
=

2n+5 4n+3 6n+8

(b x b ) b-
-
ใน

=

-

=

หนว ยที่ 1

สมบัติของเลขยกกำลงั

สมบัตขิ องเลขยกกำลังทมี่ ีเลขช้กี ำลังเปน จำนวนเต็มลบ

บทนิยาม จำงา ยๆ
สมบตั ขิ องเลขยกกำลงั ท่มี ีเลขช้กี ำลงั เปน ถาคำตอบเปนเลขยกกำลงั

จำนวนเตม็ ลบ เมอ่ื a แทนจำนวนใด ๆ ที่ ตดิ ลบใหท ำการเปลี่ยนเปน

ไมใ ชศนู ย และ n เปนจำนวนเต็มบวก หน่ึงสวนดวยคำตอบทนั ที
a-n= 1
an เชน 2

2

22

ทบทวนสมบัตเิ ลขยกกำลัง

สมบตั กิ ารคูณ •
•

สมบัติการหาร • (เลขชี้กำลงั เปน ศนู ย)
D

สมบตั อิ น่ื ๆ :

(เลขยกกำลงั ทีม่ ีเลขชี้กำลงั เปนจำนวนเตม็ ลบ)

ชวนคดิ

จากสมบัติเลขชก้ี ำลงั ขางตน a เลขช้ีกำลงั มีคา อยา งไร -
l

จากบทนยิ ามเมื่อเลขยกกำลังมีเลขชก้ี ำลงั เปน จำนวนเตม็ ลบสามารถเขยี นใหอยูในรปู -
/

ตัวอยาง a-2 = 1 b5
b5 a2
2-3= 1
23

3-5 ลองทำดู
2X -5
y3 (-4)-7

ตัวอยา ง เกย่ี วกับการใชสมบัติของเลขยกกำลงั ทีม่ เี ลขช้ีกำลังเปนจำนวนเตม็ ลบ

ทำใหอ ยูในรปู ทมี่ เี ลขช้ีกำลงั เปน จำนวนเต็มบวก

1 = 1 x 1 x 1
a-3b-2c a-2 b-3 c
= a2x b3 x 1c
a2 x b3
= c

1
3-2 5-7 73

ตวั อยาง การหาผลลพั ธในรปู เลขยกกำลงั

ที่มเี ลขชกี้ ำลงั เปนจำนวนเตม็ ลบ

a3x b2 x a2 = a3+2x b2
a7x c7 a7x c7
= a5x b2
a7x c7
= a5-7 x b2
c7
= a-2x b2
c7
= b2
a2x c7

ลองทำดู

(-5)3x (-5)5
-
(-5)15

-__

หนว ยท่ี 1

สมบตั ขิ องเลขยกกำลัง

การคณู เลขยกกำลังในกรณีทฐี่ านไมเ หมอื นกนั

amx an= am+n กรณีน้ีใชส มบตั เิ ดียวกนั
กบั สมบตั กิ ารคูณ

ตารางการคณู ของเลขยกกำลงั เลขชก้ี ำลังใน
รูปการบวก
-

การคณู ของเลขยกกำลงั เขียนเลขยกกำลังในรปู กระจาย ผลคณู

23 × 2 12 ✗ 2 ✗ 2) ✗ 12 × 2) 25 3+5
2
2

33 × 3

3

µ

1 " ""

" laxaxax . . . ง . . . ( axax ) a
...
×ล

***ในกรณที ฐ่ี านไมเ ทา กนั เชน 52x 25 > 5×5 =
ตองทำฐานใหเ ทากันกอ น = 52x 52
= 52+2nn
= 54

ู้ฎ๊ีจ้ืฎ้ล

ตวั อยาง am x an เมือ่ a = 0 กำหนด m และ n ดังน้ี
หาผลคูณของ

กำหนด m = -2 , n = -4
amx an= a-2x a-4
= a(-2)+(-4)
= a-6
= 1a6

ลองทำดู

หาผลคูณของ amx anเม่อื a = 0 และกำหนด m และ n ดังนี้

กำหนด m = -6 , n = -9 กำหนด m = - 10 , n = -5

ลองทำดู

หาผลคณู ของ 3-15x 81 ใหอยใู นรปู เลขยกกำลงั ทม่ี เี ลขชี้กำลงั เปน บวก

-
-
คน

หาผลคณู ของ 59 x 625 ใหอยูในรปู เลขยกกำลงั ทมี่ เี ลขชกี้ ำลังเปน บวก

-

หนวยท่ี 1

สมบตั ิของเลขยกกำลงั

การหารเลขยกกำลงั ในกรณที ีฐ่ านไมเหมือนกัน

a a = am n m-n > กรณนี ้ี ใชส มบตั เิ ดียวกัน
\
1

กบั สมบัติการหาร

*** ในกรณนี ี้จะมวี ิธีคดิ เดียวกันกับเร่ือง
การคูณเลขยกกำลงั ท่มี ีฐานตา งกนั

ตัวอยาง am an เม่อื
\
หาผลหารของ \ a = 0 และกำหนด m และ n ดังน้ี

กำหนด m = 5 , n = 0 กำหนดให m = -3 , n = -5

am an = a5 ~ a0
l
--

= a5-0

= a5

ลองทำดู
หาผลการของ 25 i 5-7ตอไปนีเ้ มื่อเลขยกกำลังเปนจำนวนเตม็

513

หาผลหารของ 109÷ 100,000 ตอไปนี้เมือ่ เลขยกกำลงั เปน จำนวนเต็ม
102

หนวยที่ 1

สมบัติของเลขยกกำลัง

สมบัตอิ ่นื ๆ ของเลขยกกำลงั

สมบัตกิ ารกระจายเลขยกกำลัง การคูณ

nnnnrnnnnnnnnrrnrnrrrnrn

บทนิยาม จำงายๆ
เลขยกกำลงั ท่ีมีฐานเปน เลขยกกำลัง เมื่อ a
แทนจำนวนใดๆ ทไ่ี มใชศูนย m และ n แทน (2 2×
จำนวนเต็ม (am )n = am x n
a

ล4

เลขยกกำลงั ทมี่ ฐี านอยใู นรปู การคณู ของ จำงา ยๆ
จำนวนหลายๆ จำนวน เม่อื a และb แทน
จำนวนใดๆ ทไ่ี มใ ชศ ูนย และ n แทน Iabiab
จำนวนเตม็ (ab)n = an x bn

ทบทวนสมบัติเลขยกกำลงั (เลขช้กี ำลงั เปนศนู ย)
สมบัตกิ ารคูณ (เลขยกกำลงั ที่มเี ลขช้กี ำลังเปน จำนวนเต็มลบ)
สมบตั ิการหาร : การกระจายเลขยกกำลงั การคูณ
สมบตั ิอืน่ ๆ

ลฺตฺฏำ

ตวั อยาง (52 )4 มี 5 เปนฐาน และ 4 เปนเลขชีก้ ำลัง . .
(52 )4 = 52x 52x 52x 52
= 52+2+2+2 .. .
= 58
. .
ดงั นั้น (52 )4 = 58หรือ 54x2
i.จับ-เล-ขiยกจกำงำลา ยงั ๆมาคณู กัน .

' _ _ i
-

_ _ _ _ _

ชวนคิด

จากตัวอยา ง จำนวนใดเปนฐานและจำนวนใดเปน ไมใ ชก ำลัง

จากตัวอยาง เลขช้กี ำลังของผลลพั ธห าไดอยา งไร

ลองทำดู

หาผลคณู 3453x (76)3

=
=

ป์ุ

จงหาผลคณู 243-6x 81-4 x 275
94 - 37

-

=
=

=จงหาผลลัพธ 1010x 83 x 505 ในรปู เลขยกกำลงั ที่มีฐานเปนจำนวนเฉพาะ

=

-

=

หนว ยที่ 1

สมบัติของเลขยกกำลงั

สมบตั อิ น่ื ๆ ของเลขยกกำลงั

สมบตั กิ ารกระจายเลขยกกำลงั การหาร

mnnnnrnnnnrnnrnw

บทนยิ าม

เลขยกกำลงั ทม่ี ีฐานอยใู นรูปการหารของจำ

นวนหลายๆ จำนวน เม่อื a และ b แทนจำ

นวนใดๆ ท่ีไมใ ชศนู ย และ n เปน จำนวนเตม็
a n= an
b bn

ทบทวนสมบัตเิ ลขยกกำลัง

สมบัตกิ ารคูณ •
•

สมบัตกิ ารหาร • (เลขชก้ี ำลงั เปน ศูนย)
D

สมบัตอิ ่ืนๆ

(เลขยกกำลงั ท่ีมเี ลขชกี้ ำลงั เปน จำนวนเต็มลบ)

การกระจายเลขยกกำลงั การคูณ

การกระจายเลขยกกำลัง การหาร

-

ตฺ

1ตวั อยา ง 12 5= 25
= 2585
8

(2 3 )5

= 25
23x5

= 25
28

= 25-8
= 2-3
=1

23

ชวนคิด
จากตวั อยา งจำนวนใดเปน ฐานและเลขชกี้ ำลงั i

ต้ังใจเรยี นกนั หนอยนะคา บบบ

ลองทำดู

จงหา 8 3 ในรปู เศษสว นของเลขยกกำลงั ท่ีมฐี านเปนจำนวนเฉพาะ
9

-

- -

-__

=

จงหาผลลพั ธ 8 4 x 23 ในรูปเลขยกกำลงั ทมี่ เี ลขชก้ี ำลงั เปนจำนวนเต็มบวก
9 32

หนวยที่ 1

สมบัตขิ องเลขยกกำลงั

การเขียนจำนวนในรูปสัญกรณวทิ ยาศาสตร

บทนิยาม
สณั กรณวทิ ยาศาสตร คอื การเขยี นจำนวน
ที่มคี า นอยๆ หรอื มคี า มากๆ ใหอยูในรูป
a x 10nเม่อื 1 < a < 10 และ n แทนจำนวนเตม็

ชวนคดิ
ถา จะเขยี นจำนวนทีม่ คี านอ ยๆ หรอื มคี ามากๆ สามารถเขียนไดอ ยางไร-

-

รปู ท่วั ไปของสญั กรณวิทยาศาสตรเ ปนอยางไร \
-

ตวั อยาง 54,000 บาท เขียนแทนดวย 5.4 x 10
25,500,000,000,000 เขียนแทนดวย 2.5 x 10
0.000036 เขยี นแทนดว ย 3.6x 10

. . . . . . . . . . . .

.

..

. จำงายๆ .

_
ะ เลือ่ นจุดไปขา งหนา เลขชกี้ ำลังจะตดิ ลบ i

เล่ือนจดุ ไปขา งหลงั เลขชี้กำลังจะเปน บวก

i.

. . .

. . . . . . .

ตวั อยา ง

จงหาผลลัพธ (10.5 x 10.66) x (3.9 x 10 14) ในรูปสัญกรณว ทิ ยาศาสตร
6.5 x 1013
(10.5 x10.66) x (3.9 x 1014 ) (10.66x 1014 )
6.5 x 1013 = (10.5 x 3.9) X 1013
6.5

= 64.063..59x51020X-131100230
=

= 6.3 x 10 7

ลองทำดู

จงหาผลลพั ธ (1.2 x 10-1 ) x (2.4 x 108) ในรูปสัญการณว ิทยาศาสตร
3.6 x 108

-

-0s

-

-_r

ลองทำดู

ดวงอาทิตยม ีมวลประมาณ 330,000 เทา ของมวลโลก ถา โลกมมี วลประมาณ
6 x 1024 กโิ ลกรมั จงหามวลของดวงอาทิตย

=

⪤´Õ¹Ð¨Ð