คณิตศาสตร์ ม.3 หน่วย 2_สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

2หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี

สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว

ตวั ชวี้ ัด
• ประยกุ ตใ์ ช้สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี วในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ (ค 1.3 ม.3/2)

ถา้ = − . + + . เปน็ สมการทแ่ี สดงความสัมพนั ธ์

ระหวา่ ง ของลกู บาสเกตบอล (เมตร) กับ

หลังจากโยนลูกบาสเกตบอลให้ลงห่วง (วนิ าที)

เราจะทราบได้อย่างไรว่า ลูกบาสเกตบอลจะลงหว่ ง
หลังจากโยนลกู บาสเกตบอลไปก่ี
เมอ่ื หว่ งบาสเกตบอลสูงจากพืน้ 3 เมตร

พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว การแยกตัวประกอบของพหนุ าม

พหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว คอื พหนุ ามท่เี ขียนได้ การแยกตัวประกอบของพหนุ าม คอื การเขียนพหุนาม
ในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b และ c ที่กาหนดให้ในรูปการคณู ของตวั ประกอบพหุนาม
เปน็ ค่าคงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร ตง้ั แต่สองพหนุ ามข้นึ ไป

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม การแยกตัวประกอบของพหุนาม การแยกตวั ประกอบของพหุนาม การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรสี องในรปู ax2 + bx + c ดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c ดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c ดกี รีสองทอ่ี ยู่ในรูปกาลังสอง ดีกรสี องทีอ่ ยู่ในรูปผลตา่ ง
เม่ือ a, b เป็นจานวนเตม็ เม่ือ a = 1, b และ c เป็น เมื่อ a, b และ c เปน็ จานวนเต็ม สมบรู ณ์ กาลงั สอง
และ c = 0 จานวนเตม็ และ c ≠ 0 โดยท่ี a ≠ 1 และ c ≠ 0 กาหนดให้ A แทนพจน์หน้า กาหนดให้ A แทนพจน์หนา้

แยกตัวประกอบ B แทนพจนห์ ลัง B แทนพจน์หลงั

x2 + bx + c ax2 + bx + c A2 + 2AB + B2 = A + B 2 A2 − B2 = A + B A − B

ax2 + bx = x ax + b + + A2 − 2AB + B2 = A − B 2

= =

กระจาย x+m x+n mx + p nx + q

สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว
คอื สมการทีม่ ี x เปน็ ตวั แปร และมรี ูปท่วั ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตัว และ a ≠ 0

สมการท่ีเปน็ สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว สมการที่ไมเ่ ปน็ สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว

+ + = − = + = =
− + = − =
− + = − + = − + = − =

คาตอบของสมการกาลงั สองตัวแปรเดียว
คือ จานวนจริงใด ๆ ท่ีแทนตัวแปรในสมการกาลังสองตัวแปรเดยี วแลว้ ทาให้สมการเป็นจริง

1 2 3

−3 เป็นคาตอบของสมการ x2 + 2x − 3 = 0 3 เป็นคาตอบของสมการ 12x2 − 12x − 72 = 0 4 เปน็ คาตอบของสมการ −2x2 + 8x = 0
เพราะเมื่อแทน x ดว้ ย −3 ในสมการ เพราะเมอื่ แทน x ดว้ ย 3 ในสมการ เพราะเม่อื แทน x ด้วย 4 ในสมการ
จะได้ (−3)2 + 2 −3 − 3 = 0 จะได้ 12(3)2 − 12 3 − 72 = 0 จะได้ −2(4)2 + 8 4 = 0

9 − 6 − 3=0 108 − 36 − 72 = 0 −32 + 32 = 0

0=0 0=0 0=0

จะเห็นวา่ เมือ่ แทน x ดว้ ย −3 ในสมการ จะเหน็ วา่ เมอื่ แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะเห็นวา่ เมอื่ แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ
x2 + 2x − 3 = 0 จะทาให้สมการเปน็ จรงิ 12x2 − 12x − 72 = 0 จะทาให้สมการเป็นจริง −2x2 + 8x = 0 จะทาให้สมการเปน็ จรงิ
ดังน้นั −3 เปน็ คาตอบของสมการ ดงั นน้ั 3 เปน็ คาตอบของสมการ ดังน้ัน 4 เป็นคาตอบของสมการ

x2 + 2x − 3 = 0 12x2 − 12x − 72 = 0 −2x2 + 8x = 0

การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดยี วจาเป็นต้องใช้ความรู้เกี่ยวกบั สมบตั ิของจานวนจริงต่อไปน้ี

สมบตั ิ
กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

การแก้สมการกาลังสองตวั แปรเดียว ทาไดห้ ลายวิธี ดังนี้
การแกส้ มการกาลงั สองตัวแปรเดียวโดยใช้การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดยี วโดยวิธที าเป็นกาลังสองสมบูรณ์
การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดยี วโดยใชส้ ตู ร x = −b ± b2 − 4ac

2a

mx + p nx + q = 0 mx + p = 0 หรอื x = − p หรอื
m
ax2 + bx + c = 0 เมื่อ mx nx = ax2 nx + q = 0
q
pq = c x = −n
q mx + p(nx) = bx

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + − =

จาก x2 + 3x − 28 = 0
จะได้ x + 7 x − 4 = 0

ดงั นนั้ x + 7 = 0 หรือ x − 4 = 0

x = −7 หรอื x=4

ตรวจสอบคาตอบ เม่อื แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ
เมอ่ื แทน x ด้วย −7 ในสมการ จะได้ 42 + 3(4) − 28 = 0
จะได้ (−7)2 + 3(−7) − 28 = 0
16 + 12 − 28 = 0
49 − 21 − 28 = 0
0= 0
0= 0

ดงั นน้ั − และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ + − =

(x + p)2 − p2 + q = 0

ax2 + bx + c = 0 เมือ่ p b (x + p)2− 2
= 2a
p2 − q = 0

c
q=a

x = −p + p2 − q หรือ x + p − p2 − q = 0 หรอื (x + p − p2 − q)(x + p + p2 − q) = 0

x = −p − p2 − q x + p + p2 − q = 0

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − − =

จาก x2 − 2x − 1 = 0 อย่าลมื ตรวจสอบคาตอบนะครบั
จะได้ x2 − 2x − 1 = 0

x2 − 2 x (1) + 12 − 12 − 1 = 0

(x − 1)2 − 1 − 1 = 0

(x − 1)2 − 2 = 0

(x − 1)2 − 2

2 =0

x−1− 2 x−1+ 2 = 0

ดงั นน้ั x − 1 − 2 = 0 หรือ x − 1 + 2 = 0
หรือ x = 1 − 2
x=1+ 2

น่นั คอื + และ − เป็นคาตอบของสมการ − − =

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ + + =

จาก x2 + 4x + 10 = 0
จะได้ x2 + 4x + 10 = 0

x2 + 2 x (2) + 22 − 22 + 10 = 0

(x + 2)2 − 4 + 10 = 0

(x + 2)2+ 6 = 0

เนือ่ งจาก (x + 2)2 ≥ 0 สาหรบั จานวนจรงิ x ทกุ จานวน
จะได้ (x + 2)2+ 6 > 0 สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน

แสดงวา่ ไม่มีจานวนจรงิ ใดที่แทนค่า x ในสมการ (x + 2)2+ 6 = 0 แล้วทาให้สมการเป็นจริง

ดงั นัน้ สมการ (x + 2)2+ 6 = 0 ไมม่ ีคาตอบของสมการที่เป็นจานวนจริง

คาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เม่อื a, b, c เปน็ คา่ คงตวั และ a ≠ 0 คือ

− ± −
=

ลกั ษณะคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 สามารถพจิ ารณาได้จากคา่ ของ b2 − 4ac ดังน้ี

123

ถา้ − > แล้วสมการ ถา้ − = แลว้ สมการ ถ้า − < แล้วสมการ
จะมคี าตอบเปน็ จานวนจริง 2 คาตอบ จะมคี าตอบเป็นจานวนจริง 1 คาตอบ จะไม่มีคาตอบเปน็ จานวนจรงิ

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ + + =

จากสมการ x2 + 5x + 3 = 0 เม่อื เทียบกับสมการ ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 1, b = 5 และ c = 3
ดงั นัน้ b2 − 4ac = 52 − 4(1)(3)

= 25 − 12

= 13 ซ่งึ มีคา่ มากกว่า 0

น่นั คอื สมการ + + = มคี าตอบเปน็ จานวนจรงิ 2 คาตอบ

กอ่ นแกส้ มการกาลังสองตวั แปรเดยี ว นกั เรยี นควรพจิ ารณาคา่ ของ −
เพื่อตรวจสอบวา่ สมการนมี้ ี 1 คาตอบ 2 คาตอบ หรือไมม่ ีคาตอบท่ีเป็นจานวนจรงิ

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + + =

เนือ่ งจาก = − ± − เป็นคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0


จะได้ คาตอบของสมการ x2 + 5x + 3 = 0 คือ

−5 ± 52 − 4(1)(3)
x = 2(1)

−5 ± 25 − 12
=2

−5 ± 13
=2

−5 + 13 −5 − 13
= 2,
2

ดังน้ัน − + และ − − เปน็ คาตอบของสมการ + + =


ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − + =

จากสมการ x2 − 2x + 1 = 0 เมื่อเทียบกับสมการ ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 1, b = −2 และ c = 1
ดงั นนั้ b2 − 4ac = −2 2 − 4(1)(1)

=4−4
=0

นัน่ คอื สมการ − + = มีคาตอบเป็นจานวนจรงิ 1 คาตอบ

ตวั อยา่ งที่

จงแก้สมการ − + =

เนือ่ งจาก = − ± − เป็นคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0


จะได้ คาตอบของสมการ x2 − 2x + 1 = 0 คือ

−(−2) ± (−2)2 − 4(1)(1)
x = 2(1)

2± 4−4
=2

2±0
=2

2
=2
=1

ดงั น้นั 1 เปน็ คาตอบของสมการ − + =

ตวั อย่างที่

จงแกส้ มการ + + =

จากสมการ 2x2 + 3x + 7 = 0 เม่อื เทียบกับสมการ ax2 + bx + c = 0
จะได้ a = 2, b = 3 และ c = 7
ดงั นัน้ b2 − 4ac = 32 − 4(2)(7)

= 9 − 56

= −47 ซงึ่ มีคา่ นอ้ ยกว่า 0

นนั่ คอื สมการ + + = ไมม่ คี าตอบเปน็ จานวนจรงิ

เรม่ิ ตน้ ปญั หา
วเิ คราะห์โจทย์ปัญหา

กาหนดตัวแปร
พจิ ารณาเง่อื นไขตามท่ีโจทย์กาหนด
และเขยี นสมการกาลงั สองตัวแปรเดยี ว

แก้สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว

ตรวจสอบความสมเหตสุ มผล
ของคาตอบ

แสดงคาตอบ
สิ้นสุด

ตวั อย่างที่

จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเ่ี หล่ยี มผืนผา้ ที่มเี สน้ รอบรูปยาว 30 หนว่ ย และมีพืน้ ท่ี 50 ตารางหน่วย

ให้ x แทนความยาวของด้านกวา้ งของรูปสเ่ี หลี่ยมผืนผ้า

จะได้ รปู ส่เี หลย่ี มผนื ผา้ มดี ้านยาวยาว 30 − 2x = 15 − x หนว่ ย
2

เนือ่ งจาก รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผ้ามีพ้ืนที่ 50 ตารางหน่วย

จะได้ x(15 − x) = 50

15x − x2 = 50
x2 − 15x + 50 = 0
(x − 10)(x − 5) = 0

x = 10, 5

ตวั อยา่ งที่

จงหาความกวา้ งและความยาวของรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ ท่ีมเี สน้ รอบรปู ยาว 30 หน่วย และมีพ้ืนท่ี 50 ตารางหนว่ ย

ตรวจคาตอบ
ถา้ รปู สี่เหลี่ยมผนื ผา้ มีด้านกว้างยาว 5 หน่วย
จะได้ รปู สีเ่ หลยี่ มผืนผ้ามดี ้านยาวยาว 15 − 5 = 10 หนว่ ย
ดังนน้ั ความยาวรอบรูปของรปู สีเ่ หลี่ยมผนื ผา้ เท่ากับ 2(5) + 2(10)

= 10 + 20

= 30 หนว่ ย
พน้ื ทีข่ องรปู ส่ีเหลยี่ มผนื ผ้าเทา่ กับ 5 × 10

= 50 ตารางหน่วย
ซง่ึ เปน็ จรงิ ตามเงือ่ นไขที่โจทยก์ าหนด
ถ้ารปู สเี่ หลย่ี มผืนผา้ มดี า้ นกว้างยาว 10 หนว่ ย
จะได้ รูปสีเ่ หล่ยี มผืนผ้ามีดา้ นยาวยาว 15 − 10 = 5 หนว่ ย ซึ่งขดั แย้งกับความเป็นจริง

ดังนน้ั รูปสเ่ี หล่ยี มผืนผา้ มีดา้ นกวา้ งยาว 5 หนว่ ย และดา้ นยาวยาว 10 หนว่ ย

จากคาถามตอนตน้ ทถ่ี ามวา่ “เราจะทราบได้อยา่ งไรว่า
ลกู บาสเกตบอลจะลงหว่ งหลงั จากโยนลกู บาสเกตบอลไปก่ี

เมื่อห่วงบาสเกตบอลสงู จากพ้นื 3 เมตร”

นักเรยี นจะหาได้โดยการแกส้ มการ
3 = −3.5t2 + 7t + 2.5 ซง่ึ จะได้ t ≈ 1.9
ดังนน้ั ลูกบาสเกตบอลจะลงห่วงหลงั จาก
โยนลกู บาสเกตบอลไปประมาณ 1.9 วนิ าที