Analisis SPM_Matematik Tingkatan 4&5

PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

ii Kandungan Rumus Matematik iv Praktis Formatif • Tingkatan 1, 2 & 3 R1 Jawapan R29 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1 Zon KBAT 7 Praktis SPM 1 8 Jawapan 13 Bab 2 Asas Nombor 14 Zon KBAT 18 Praktis SPM 2 18 Jawapan 22 Bab 3 Penaakulan Logik 23 Zon KBAT 31 Praktis SPM 3 31 Jawapan 38 Bab 4 Operasi Set 40 Zon KBAT 53 Praktis SPM 4 53 Jawapan 65 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf 68 Zon KBAT 73 Praktis SPM 5 74 Jawapan 80 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 81 Zon KBAT 85 Praktis SPM 6 86 Jawapan 91 Bab 7 Graf Gerakan 95 Zon KBAT 101 Praktis SPM 7 101 Jawapan 106 Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul 107 Zon KBAT 114 Praktis SPM 8 114 Jawapan 117 Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung 119 Zon KBAT 125 Praktis SPM 9 126 Jawapan 129 Analisis SPM Maths 2023 Kan 4th.indd 2 11/11/2022 11:36:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iii Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan 130 Zon KBAT 132 Praktis SPM 10 133 Jawapan 135 TINGKATAN 5 Bab 1 Ubahan 136 Zon KBAT 139 Praktis SPM 1 139 Jawapan 143 Bab 2 Matriks 144 Zon KBAT 148 Praktis SPM 2 148 Jawapan 153 Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans 155 Zon KBAT 161 Praktis SPM 3 161 Jawapan 164 Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 166 Zon KBAT 176 Praktis SPM 4 178 Jawapan 182 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 183 Zon KBAT 190 Praktis SPM 5 191 Jawapan 203 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 206 Zon KBAT 218 Praktis SPM 6 218 Jawapan 223 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 225 Zon KBAT 239 Praktis SPM 7 240 Jawapan 244 Bab 8 Pemodelan Matematik 248 Praktis SPM 8 251 Jawapan 254 Kertas Model SPM 255 Jawapan 267 Analisis SPM Maths 2023 Kan 4th.indd 3 11/11/2022 11:36:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

1 1.1 Fungsi dan Persamaan Ungkapan kuadratik 1 Ungkapan kuadratik ialah satu ungkapan dalam bentuk ax2 + bx + c, a ≠ 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan x ialah pemboleh ubah. TIP BIJAK • Ungkapan kuadratik mesti mengandungi satu pemboleh ubah (boleh diwakili oleh sebarang huruf). • Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah itu ialah 2. Fungsi kuadratik TIP BIJAK Fungsi ialah sejenis hubungan khas dengan keadaan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain. 2 Fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 2. 3 Graf fungsi kuadratik (a) Graf bagi fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 berbentuk satu lengkung bersimetri yang licin yang dikenali sebagai parabola. (b) Apabila pekali x2 adalah positif, iaitu a > 0, bentuk graf bagi fungsi kuadratik ialah satu parabola berbentuk ∪. (c) Apabila pekali x2 adalah negatif, iaitu a < 0, bentuk graf bagi fungsi kuadratik ialah satu parabola berbentuk ∩. 4 Ujian garis mencancang (a) Ujian garis mencancang ialah satu kaedah graf yang boleh digunakan untuk menentukan sama ada suatu lengkung ialah graf bagi fungsi atau tidak. (b) Jika garis mencancang yang selari dengan paksi-y bersilang dengan graf lengkung hanya sekali, maka lengkung itu ialah graf fungsi. (c) Jika garis mencancang yang dilukis bersilang dengan graf lengkung lebih daripada sekali, maka lengkung itu bukan graf fungsi. TIP BIJAK (a) y y = x² – 6x + 5 x O 1 5 (3, –4) 5 Garis mencancang Oleh sebab garis mencancang bersilang dengan graf lengkung pada satu titik sahaja, maka y = x2 – 6x + 5 ialah fungsi. Fungsi ini ialah satu fungsi kuadratik. (b) O y y = 2 x x Garis mencancang Oleh sebab garis mencancang bersilang dengan graf lengkung lebih daripada satu titik, maka y = ±2 x bukan satu fungsi. Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Bab 1 Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra NOTA EKSPRES 1 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 1 09/11/2022 5:38:23 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 2 Perubahan nilai a, b dan c terhadap graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c 5 Nilai a, b, c dalam suatu fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c (a) Jika nilai a adalah positif, graf fungsi kuadratik yang terbentuk adalah cekung ke atas. Semakin positif nilai a, semakin curam bentuk graf dengan keadaan bentuk parabolanya menjadi semakin sempit dan sebaliknya. (b) Jika nilai a adalah negatif, graf fungsi kuadratik yang terbentuk adalah cekung ke bawah. Semakin negatif nilai a, semakin curam bentuk graf dengan keadaan bentuk parabolanya menjadi semakin sempit dan sebaliknya. (c) Nilai b menentukan paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik dengan keadaan persamaannya diberi oleh x = – b 2a . (d) Nilai c menentukan pintasan-y bagi graf fungsi kuadratik. TIP BIJAK Titik Paksi minimum simetria > 0 a < 0 Titik maksimum Paksi simetri Menghubung kait fungsi kuadratik dengan persamaan kuadratik 6 Persamaan kuadratik ialah satu persamaan algebra yang mempunyai hanya satu pemboleh ubah dengan keadaan kuasa tertingginya ialah 2, iaitu ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan x ialah pemboleh ubah. Punca-punca suatu persamaan kuadratik 7 Nilai-nilai bagi pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik dikenali sebagai punca-punca bagi persamaan kuadratik itu. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pemfaktoran 8 Terdapat empat kaedah untuk menentukan punca-punca suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, iaitu (a) kaedah cuba jaya, (b) penyempurnaan kuasa dua, (c) rumus kuadratik dan (d) pemfaktoran. Kaedah utama yang digunakan. TIP BIJAK Punca-punca bagi persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, ialah pintasan-x bagi graf f(x) = ax2 + bx + c. Melakar graf fungsi kuadratik 9 Bagi graf y = ax2 + c, lengkung ialah ∪ jika a adalah positif dan ∩ jika a adalah negatif. c ialah pintasan-y bagi lengkung itu. Menyelesaikan masalah persamaan kuadratik 10 Setelah anda mempelajari bagaimana fungsi kuadratik dapat dibentuk berdasarkan suatu situasi tertentu dan seterusnya menghubungkaitkannya dengan persamaan kuadratik, anda akan mempelajari pula kaedah untuk menyelesaikan pelbagai masalah dalam situasi kehidupan harian sebenar yang berkaitan dengan persamaan kuadratik. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 2 09/11/2022 5:38:24 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 3 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik Contoh 1 Nyatakan sama ada setiap ungkapan berikut merupakan ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau bukan. (a) 12w2 + 4w – 5 (b) 5h3 + 3h – 12 (c) p2 – 7pq + 10 Penyelesaian (a) 12w2 + 4w – 5 ialah satu ungkapan kuadratik. Hal ini adalah kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah w ialah 2. (b) 5h3 + 3h – 12 bukan satu ungkapan kuadratik. Hal ini adalah kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah h ialah 3 dan bukannya 2. (c) p2 – 7pq + 10 bukan satu ungkapan kuadratik. Hal ini adalah kerana ungkapan itu mengandungi dua pemboleh ubah, iaitu p dan q. Contoh 2 Tentukan sama ada setiap fungsi berikut ialah fungsi kuadratik atau tidak. (a) f(x) = (3x – 2)(x + 1) (b) g(x) = x3 – x2 – 6x (c) h(x) = 6 x2 Penyelesaian (a) f(x) = (3x – 2)(x + 1) = 3x2 + x – 2 Oleh sebab kuasa tertinggi bagi x ialah 2, maka f(x) = (3x – 2)(x + 1) ialah fungsi kuadratik. (b) g(x) = x3 – x2 – 6x Oleh sebab kuasa tertinggi bagi x ialah 3, maka g(x) = x3 – x2 – 6x bukan fungsi kuadratik. (c) h(x) = 6 x2 = 6x–2 Oleh sebab kuasa tertinggi bagi x ialah –2, maka h(x) = 6 x2 bukan fungsi kuadratik. Contoh 3 Tentukan sama ada bentuk am bagi graf setiap fungsi kuadratik berikut ialah ∪ atau ∩. (a) f(x) = 2x2 + 7x + 5 (b) g(x) = –x2 + 4x + 5 Penyelesaian (a) Oleh sebab pekali x2 bagi f(x) = 2x2 + 7x + 5 adalah positif, maka bentuk am bagi graf f(x) ialah ∪. (b) Oleh sebab pekali x2 bagi g(x) = –x2 + 4x + 5 adalah negatif, maka bentuk am bagi graf g(x) ialah ∩. Contoh 4 Rajah berikut menunjukkan lakaran bagi graf fungsi kuadratik f(x) = x2 + 6x + 5. y x –5 –1 O f(x) = x² + 6x + 5 Tentukan (a) persamaan paksi simetri bagi graf itu, (b) koordinat titik minimum bagi graf itu, (c) nilai a, nilai b dan nilai c bagi f(x) = ax2 + bx + c jika graf f(x) dipantulkan pada paksi-x, (d) nilai b bagi f(x) jika graf bagi f(x) = ax2 + bx + c dipantulkan pada paksi-y. Penyelesaian y –5 –1 O Paksi simetri f(x) = x² + 6x + 5 x Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 3 09/11/2022 5:38:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 4 (a) Purata bagi –5 dan –1: = –5 + (–1) 2 = –3 Maka, persamaan paksi simetri ialah x = –3. (b) Apabila x = –3, y = f(–3) = (–3)2 + 6(–3) + 5 = –4 Maka, koordinat titik minimum ialah (–3, –4). (c) Jika graf bagi f(x) dipantulkan pada paksi-x, tanda bagi setiap sebutan akan berubah, iaitu a = –1, b = –6 dan c = –5. (d) Jika graf bagi f(x) dipantulkan pada paksi-y, tanda bagi b akan berubah, iaitu b = –6. Contoh 5 Rajah berikut menunjukkan satu lukisan yang diletakkan ke dalam sebuah bingkai gambar foto. (x – 3) cm (4x – 5) cm 4x cm Ukuran lukisan itu ialah 4x cm × (4x – 5) cm. Bingkai gambar yang digunakan itu mempunyai lebar seragam (x – 3) cm. Jika luas, L(x) cm2 , bingkai lukisan itu ialah 156 cm2 , bentukkan satu (a) fungsi kuadratik, (b) persamaan kuadratik dalam bentuk am. Penyelesaian (a) L(x) = Luas segi empat tepat besar – Luas segi empat tepat kecil = [4x + 2(x – 3)][(4x – 5) + 2(x – 3)] – 4x(4x – 5) = (4x + 2x – 6)(4x – 5 + 2x – 6) – 16x2 + 20x = (6x – 6)(6x – 11) – 16x2 + 20x = 36x2 – 66x – 36x + 66 – 16x2 + 20x = 36x2 – 16x2 – 66x – 36x + 20x + 66 = 20x2 – 82x + 66 (b) Diberi L(x) = 156, 20x2 – 82x + 66 = 156 20x2 – 82x + 66 – 156 = 0 20x2 – 82x – 90 = 0 10x2 – 41x – 45 = 0 Bahagikan setiap sebutan dengan 2. Persamaan kuadratik dalam bentuk am. TIP BIJAK Bentuk am persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan x ialah pemboleh ubah. Contoh 6 Tentukan sama ada setiap nilai berikut ialah punca bagi persamaan kuadratik x2 + 4x – 12 = 0 atau bukan. (a) x = 2 (b) x = 3 Penyelesaian (a) Apabila x = 2, sebelah kiri = 22 + 4(2) – 12 = 0 = sebelah kanan Maka, x = 2 ialah punca bagi persamaan x2 + 4x – 12 = 0. (b) Apabila x = 3, sebelah kiri = 32 + 4(3) – 12 = 9 ≠ sebelah kanan Maka, x = 3 bukan punca bagi persamaan x2 + 4x – 12 = 0. Contoh 7 Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah pemfaktoran. (a) 3x2 – 7x = 0 (b) 1 9 p2 – 49 = 0 (c) 6h2 – 19h + 15 = 0 (d) 8q2 + 2q – 15 = 0 (e) 2m – 1 = 11 m + 4 TIP BIJAK Menyelesaikan suatu persamaan kuadratik bermaksud menentukan punca-punca bagi persamaan kuadratik itu. Penyelesaian (a) 3x2 – 7x = 0 x(3x – 7) = 0 x ialah faktor sepunya bagi ungkapan kuadratik 3x2 – 7x. x = 0 atau 3x – 7 = 0 3x = 7 x = 7 3 Maka, x = 0 atau 7 3 . Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 4 09/11/2022 5:38:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 5 TIP BIJAK Jika dua nombor c dan d adalah dengan keadaan cd = 0, maka c = 0 atau d = 0. Ciri ini dikenali sebagai ciri hasil darab sifar. (b) 1 9 p2 – 49 = 0 1 1 3 p2 2 – 72 = 0 1 1 3 p + 721 1 3 p – 72 = 0 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 1 3 p + 7 = 0 atau 1 3 p – 7 = 0 1 3 p = –7 atau 1 3 p = 7    p = –21 atau p = 21 Maka, p = –21 atau 21. (c) 6h2 – 19h + 15 = 0 Kita perlu faktorkan ungkapan kuadratik 6h2 – 19h + 15 [a > 1] terlebih dahulu. Senaraikan kombinasi yang mungkin bagi faktor-faktor 6h2 dan +15. 6h2 = h × 6h = 2h × 3h Oleh sebab nilai c adalah positif, kita harus mempertimbangkan faktor-faktor bagi c yang mempunyai tanda yang serupa dengan b (= –19), iaitu negatif. 15 = (–1) × (–15) = (–3) × (–5) 2h –3 ⊗ ⊗ 3h –5 –9h ⊕ –10h 6h2 15 –19h Maka, 6h2 – 19h + 15 = (2h – 3)(3h – 5). Oleh itu, 6h2 – 19h + 15 = 0 (2h – 3)(3h – 5) = 0 2h – 3 = 0 atau 3h – 5 = 0 2h = 3 atau 3h = 5 h = 3 2 atau h = 5 3 Maka, h = 3 2 atau 5 3 . (d) 8q2 + 2q – 15 = 0 Kita perlu faktorkan ungkapan kuadratik 8q2 + 2q – 15 = 0 [a > 1] terlebih dahulu. Senaraikan kombinasi yang mungkin bagi faktor-faktor 8q2 dan –15. 8q2 = q × 8q = 2q × 4q Oleh sebab nilai c (= –15) adalah negatif, tanda dalam tanda kurung yang pertama dan tanda dalam tanda kurung yang kedua haruslah berlawanan. –15 = (–1) × 15 = 1 × (–15) = (–3) × 5 = 3 × (–5) 2q 3 ⊗ ⊗ 4q –5 12q ⊕ –10q 8q2 –15 2q Maka, 8q2 + 2q – 15 = (2q + 3)(4q – 5). TIP BIJAK Bukan semua persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 boleh difaktorkan. Bagi persamaan kuadratik yang tidak boleh difaktorkan, punca-puncanya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadratik, iaitu x = –b ±  b2 – 4ac 2a . Oleh itu, 8q2 + 2q – 15 = 0 (2q + 3)(4q – 5) = 0 2q + 3 = 0 atau 4q – 5 = 0 2q = –3 atau 4q = 5 q = – 3 2 atau q = 5 4 Maka, q = – 3 2 atau 5 4 . (e) 2m – 1 = 11 m + 4 (2m – 1)(m + 4) = 11 Darab silang 2m2 + 8m – m – 4 = 11 2m2 + 7m – 4 – 11= 0 2m2 + 7m – 15 = 0 Ungkapkan dalam bentuk am terlebih dahulu. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 5 09/11/2022 5:38:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 6 Kesilapan Lazim (2m – 1)(m + 4) = 11 2m – 1 = 11 atau m + 4 = 11 Salah kerana tidak mematuhi ciri hasil darab sifar. 2m –3 ⊗ ⊗ m +5 –3m ⊕ 10m 2m2 –15 7m 2m – 3 = 0 atau m + 5 = 0 2m = 3 atau m = –5 m = 3 2 atau m = –5 Maka, m = 3 2 atau –5. Contoh 8 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut: (a) f(x) = x2 + 1 (b) g(x) = x2 – 6x + 8 (c) h(x) = –x2 – 2x + 8 Penyelesaian (a) f(x) = x2 + 1. Oleh sebab a > 0, maka graf berbentuk ∪. Pada paksi-y, x = 0. Oleh itu, y = f(0) = (0)2 + 1 = 1 Maka, graf akan bersilang dengan paksi-y pada (0, 1). Apabila x = ±1, y = (±1)2 + 1 = 2 Apabila x = ±2, y = (±2)2 + 1 = 5 Maka, graf akan melalui titik-titik (–2, 5), (–1, 2), (1, 2) dan (2, 5). Graf y = f(x) = x2 + 1 adalah seperti berikut: y (–2, 5) (2, 5) f(x) = x² + 1 x O 1 (b) g(x) = x2 – 6x + 8. Oleh sebab a > 0, maka graf berbentuk ∪. Pada paksi-y, x = 0. Oleh itu, y = g(0) = 02 – 6(0) + 8 = 8 Maka, graf akan bersilang dengan paksi-y pada (0, 8). Pada paksi-x, y = 0. Oleh itu, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x = 2 atau x = 4 Maka, graf akan bersilang dengan paksi-x pada (2, 0) dan (4, 0). Graf y = g(x) = x2 – 6x + 8 adalah seperti berikut: y O 4 g(x) = x2 – 6x + 8 2 8 x (c) h(x) = –x2 – 2x + 8. Oleh sebab a < 0, maka graf berbentuk ∩. Pada paksi-y, x = 0. Oleh itu, y = h(0) = –02 + 2(0) + 8 = 8 Maka, graf akan bersilang dengan paksi-y pada (0, 8). Pada paksi-x, y = 0. Oleh itu, –x2 – 2x + 8 = 0 x2 – 2x – 8 = 0 (x + 2)(x – 4) = 0 x = –2 atau x = 4 Maka, graf akan bersilang dengan paksi-x pada (–2, 0) dan (4, 0). Graf y = h(x) = –x2 – 2x + 8 adalah seperti berikut: y O 4 h(x) = –x2 – 2x + 8 8 –2 x Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 6 09/11/2022 5:38:28 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 7 Contoh 9 Dalam satu perlumbaan basikal Le Tour de Langkawi sejauh 150 km, laju purata para pelumba ialah (3x + 10) km jam–1 . Jika masa purata yang diambil oleh mereka untuk menamatkan perlumbaan itu ialah 1 1 5 x + 7 4 2 jam, cari laju purata pelumba-pelumba itu. Penyelesaian Memahami masalah Jarak = 150 km Laju purata = (3x + 10) km jam–1 Masa = 1 1 5 x + 7 4 2 jam Merancang strategi (a) Bentukkan persamaan kuadratik. (b) Selesaikan persamaan kuadratik yang dibentuk. (c) Masukkan nilai x yang diperoleh ke dalam persamaan untuk mencari nilai laju purata. Melaksanakan strategi Masa × Laju = Jarak 1 1 5 x + 7 4 2 × (3x + 10) = 150 km (4x + 35)(3x + 10) = 3 000 Persamaan didarab 12x dengan 20. 2 + 145x + 350 = 3 000 12x2 + 145x – 2 650 = 0 (x – 10)(12x + 265) = 0 x = 10 atau x = – 265 12 x = – 265 12 tidak diterima. Hal ini adalah kerana masa dan laju mestilah Oleh itu, x sentiasa positif. = 10 Kesimpulan Maka, laju purata = 3(10) + 10 = 40 km jam–1. Rajah berikut menunjukkan sehelai kain. A B C D E 25x cm (2x + 20) cm 7x cm Diberi bahawa luas kain itu ialah 1.61 m2 . Cari nilai x. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Luas kain = 1.61 m2 Luas segi empat tepat ABCE – Luas segi tiga CDE = (1.61 × 10 000) cm2 (25x × 7x) – 3 1 2 × 7x × (2x + 20)4 = 16 100 175x2 – x + 10 1 3 1 2 × 7x × (2x + 20)4 = 16 100 175x2 – [7x × (x + 10)] = 16 100 175x2 – 7x2 – 70x = 16 100 168x2 – 70x – 16 100 = 0 Ungkapkan dalam bentuk am. 84x2 – 35x – 8 050 = 0 12x2 – 5x – 1 150 = 0 (x – 10)(12x + 115) = 0 x –10 ⊗ ⊗ 12x 115 –120x ⊕ 115x 12x2 –1 150 –5x x – 10 = 0 atau 12x + 115 = 0 x = 10 12x = –115 x = – 115 12 Maka, x = 10. Tidak diterima kerana panjang tidak boleh negatif. Zon KBAT Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 7 09/11/2022 5:38:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 8 1 Diberi –4 ialah salah satu punca persamaan kuadratik 2x2 + hx – 12 = 0, dengan keadaan h ialah pemalar, cari nilai h. A 2 C 4 B 3 D 5 2 Dalam satu perlawanan bola sepak, seorang pemain diberi satu tendangan percuma. Tinggi bola dari tanah, h(x) m, diberi oleh h(x) = – 1 5 x2 + 47 20 x, dengan keadaan x ialah jarak mengufuk bola dari pemain yang membuat tendangan percuma itu. Cari jarak mengufuk, dalam m, yang mungkin apabila tinggi bola itu ialah 6 m. A 7 C 9 B 8 D 10 3 Antara graf berikut, yang manakah mewakili f(x) = –x2 – 4? A y 4 –2 O 2 x B y –2 O 2 x –4 C y 4 O x D y x O –4 4 Rajah berikut menunjukkan bendera Jalur Gemilang. (x – 1) m (x + 1) m 2x m x m2 Jika luas kain yang digunakan untuk menjahit Jalur Gemilang itu ialah 35 m2 , cari nilai x. A 1 C 3 B 2 D 4 5 Jika jejari dan luas permukaan sebiji bola baling masing-masing ialah (x + 3) cm dan 616 cm2 , apakah nilai x? 3Guna p = 22 7 4 A 4 C 6 B 5 D 7 Soalan Objektif Praktis SPM 1 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 8 09/11/2022 5:38:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 9 Soalan Subjektif 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 1 Nyatakan sama ada setiap ungkapan berikut ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau bukan. (a) x + 8 (b) b2 – 9 (c) c2 + 10c (d) k2 + 4k + 5 (e) 4x3 + 3x2 – 6x + 8 (f) 0h2 + 18h + 3 (g) 12 – 5pq + 2p2 (h) x2 + 4x – 5 x 2 Tentukan sama ada setiap fungsi berikut ialah fungsi kuadratik atau tidak. (a) f(x) = (3 – x)(2 + 5x) (b) g(x) = 4 x2 – 5 (c) h(x) = (2 – 3x) 2 (d) m(x) = x – 3 x (e) n(x) = x(3x + 1)2 (f) p(x) = x2 + 5 x2 3 Adakah bentuk am bagi setiap graf fungsi kuadratik berikut berbentuk ∪ atau ∩? (a) f(x) = 6x2 + 7x + 2 (b) g(x) = –3x2 + 5x – 2 (c) m(x) = 15x2 – 4x – 6 (d) n(x) = –10x2 – 13x – 3 4 (a) Rajah berikut menunjukkan lakaran bagi graf fungsi kuadratik f(x) = –x2 + 2x + 3. y f(x) = –x² + 2x + 3 3 x Paksi simetri –1 O Tentukan (i) persamaan paksi simetri bagi graf itu, (ii) koordinat titik maksimum bagi graf itu, (iii) nilai a, nilai b dan nilai c bagi graf f(x) = ax2 + bx + c jika graf f(x) dipantulkan pada paksi-x. (b) Rajah berikut menunjukkan lakaran bagi graf fungsi kuadratik g(x) = x2 – 8x + 7. y Paksi simetri O 1 7 x g(x) = x² – 8x + 7 Tentukan (i) persamaan paksi simetri bagi graf itu, (ii) koordinat titik minimum bagi graf itu, (iii) nilai b bagi graf g(x) = ax2 + bx + c jika graf g(x) dipantulkan pada paksi-y. 5 Diberi bahawa h(x) mewakili hasil darab dua nombor yang berturutan. Hasil darab dua nombor positif yang berturutan ialah 132. Cari satu ungkapan kuadratik bagi h(x). Seterusnya, bentukkan satu persamaan kuadratik daripada maklumat tersebut. 6 Zaki 2 tahun lebih tua daripada adiknya, Lila. Diberi bahawa h(x) mewakili hasil darab umur Zaki dan Lila. Cari satu ungkapan kuadratik bagi h(x). Jika hasil darab umur mereka ialah 120, bentukkan satu persamaan kuadratik. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 9 09/11/2022 5:38:35 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 10 7 Diberi bahawa L(y) mewakili luas, dalam cm2 . Cari satu ungkapan kuadratik bagi L(y). Seterusnya, bentukkan satu persamaan kuadratik berdasarkan maklumat yang diberi dalam rajah berikut dengan keadaan luas segi tiga PQR ialah 40 cm2 . P Q R 4y cm (y + 8) cm 8 Rajah berikut menunjukkan sebuah trapezium PQRS. P Q R S (5t + 2) cm 4t cm 3t cm Diberi bahawa L(t) mewakili luas, dalam cm2 . Cari satu ungkapan kuadratik bagi L(t). Seterusnya, jika luas trapezium itu ialah 80 cm2 , bentukkan satu persamaan kuadratik. 9 Rajah berikut menunjukkan sebuah kuboid. (x + 4) cm 5 cm 2x cm Diberi bahawa V(x) mewakili isi padu, dalam cm3 . Cari satu ungkapan kuadratik bagi V(x). Diberi isi padu kuboid itu ialah 600 cm3 , bentukkan satu persamaan kuadratik. 10 Aina 2 tahun lebih muda daripada kakaknya, Latifah. Umur ibu mereka, Puan Noriah, ialah kuasa dua umur Latifah. Diberi bahawa h(x) mewakili hasil tambah umur Aina, Latifah dan Puan Noriah. Jika umur Latifah ialah x tahun, cari satu ungkapan kuadratik bagi h(x). Seterusnya, bentukkan satu persamaan kuadratik jika hasil tambah umur ketiga-tiga mereka ialah 33 tahun. 11 Dalam satu acara lumba basikal, Ismail mengayuh basikalnya dengan laju 3x km jam–1 bagi (x – 8) jam. Dia kemudiannya mengayuh basikalnya dengan laju (3x + 5) km jam–1 bagi (x – 9) jam. Diberi bahawa J(x) mewakili jarak, dalam km. Cari satu ungkapan kuadratik bagi J(x). Jika jarak keseluruhan trek basikal itu ialah 95 km, bentukkan satu persamaan kuadratik. 12 Jadual berikut menunjukkan harga per kg dan jumlah jisim, dalam kg, bagi tiga jenis bahan masakan yang dibeli oleh seorang pemilik restoran. Bahan masakan Harga per kg (RM) Jumlah jisim bahan yang dibeli (kg) Halia x + 5 x – 4 Bawang putih x + 10 x – 5 Bawang merah x – 4 x – 6 Diberi bahawa W(x) mewakili sejumlah wang, dalam RM. Cari satu ungkapan kuadratik bagi W(x). Jika jumlah wang yang dibayar oleh pemilik restoran itu ialah RM214, bentukkan satu persamaan kuadratik. 13 Tentukan sama ada setiap nilai berikut ialah punca bagi persamaan kuadratik 3x2 – 5x – 2 = 0 atau bukan. (a) x = 2 (b) x = –1 (c) x = – 1 3 14 Tentukan sama ada setiap nilai berikut ialah punca bagi persamaan kuadratik –2x2 + 3x – 1 = 0 atau bukan. (a) x = 2 (b) x = 1 (c) x = 1 2 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 10 09/11/2022 5:38:37 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 11 15 Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah pemfaktoran. (a) 3x2 – 5x = 0 (b) 5k2 + 45k = 0 (c) 16t2 – 25 = 0 (d) 36y2 – 16 = 0 (e) 12t2 – 28t + 15 = 0 (f) 8m2 – 51m + 18 = 0 (g) 6n2 + 5n – 6 = 0 (h) 10s2 – 7s – 12 = 0 (i) –12j 2 – 11j + 36 = 0 16 Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah pemfaktoran. (a) –3x2 = 4 – 13x (b) (2y + 1)2 = 16 (c) 3r + 1 = 7 r – 1 (d) k – 1 = k + 20 6k (e) (p – 3)(p + 2) = 1 2 p(p – 3) (f) h – 1 6 – 2h – 1 5h = 0 17 Lakarkan graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut: (a) f(x) = 2x2 + 2 (b) g(x) = x2 – 6x + 5 (c) h(x) = –x2 – 8x – 12 18 Sebuah segi empat tepat mempunyai panjang p cm dan lebar (2p – 3) cm. Diberi bahawa luas segi empat tepat itu ialah 77 cm2 . (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai p. (c) Hitung lebar segi empat itu. KBAT Mengaplikasi 19 Rajah berikut menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD. A 6 cm B C D (x + 2) cm x cm R Diberi bahawa luas rantau berlorek dalam rajah itu ialah 20 cm2 . (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai x. (c) Hitung lebar segi empat itu. KBAT Mengaplikasi 20 Rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak ABC. A B C x cm (2x – 4) cm 10 cm (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai x. (c) Hitung panjang BC. KBAT Mengaplikasi 21 Rajah berikut menunjukkan sebuah trapezium PQRS. S P Q R 3x cm 9x cm (10 – x) cm Diberi bahawa luas trapezium PQRS itu ialah 96 cm2 . (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai-nilai x yang mungkin. (c) Hitung panjang PQ, QR dan RS dengan menggunakan nilai x yang lebih kecil. KBAT Mengaplikasi 22 Rajah berikut menunjukkan sebuah tangki air berbentuk kuboid dengan isi padu 240 m3 . 4x m 3 m (x + 8) m Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 11 09/11/2022 5:38:39 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 12 (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai x. (c) Hitung tinggi tangki air itu. KBAT Mengaplikasi 23 Rajah berikut menunjukkan segi empat tepat ABCD dan EFGH. A B D C x cm (2x + 3) cm E F H G 3x cm (x – 2) cm Kedua-dua segi empat tepat itu mempunyai luas yang sama. (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai x. (c) Hitung panjang dan lebar bagi (i) segi empat tepat ABCD, (ii) segi empat tepat EFGH. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 24 Sebuah kolam renang mempunyai panjang (6x – 10) m dan lebar (2x + 5) m. Satu laluan pejalan kaki dengan lebar seragam (x – 5) m dibina di sekeliling kolam renang itu. Laluan pejalan kaki itu diwakili oleh rantau berlorek dalam rajah berikut: (x – 5) m (2x + 5) m (6x – 10) m Kolam renang Laluan pejalan kaki Diberi bahawa luas rantau laluan pejalan kaki itu ialah 850 m2 . (a) Bentukkan satu persamaan kuadratik. (b) Cari nilai x. (c) Hitung (i) panjang kolam renang itu, (ii) lebar kolam renang itu, (iii) lebar seragam laluan pejalan kaki itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 25 Gambar foto berikut menunjukkan satu lontaran percuma dalam satu acara sukan bola keranjang. Tinggi, h(x), dalam kaki, bola keranjang dari aras lantai diberi oleh h(x) = – 16 225 x2 + 4 3 x + 6, dengan keadaan x ialah jarak mengufuk, dalam kaki, dari pemain yang membuat lontaran percuma itu. Jika tinggi bola dari aras lantai ialah 10 kaki, cari jarak mengufuk, dalam kaki, bola dari pemain itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 12 09/11/2022 5:38:41 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 1 13 Soalan Objektif 1 D 2 B 3 D 4 C 5 A Soalan Subjektif 1 (a) Tidak (b) Ya (c) Ya (d) Ya (e) Tidak (f) Tidak (g) Tidak (h) Tidak 2 (a) Ya (b) Tidak (c) Ya (d) Tidak (e) Tidak (f) Tidak 3 (a) ∪ (b) ∩ (c) ∪ (d) ∩ 4 (a) (i) x = 1 (ii) (1, 4) (iii) a = 1, b = –2, c = –3 (b) (i) x = 4 (ii) (4, –9) (iii) b = 8 5 h(x) = x2 + x x2 + x – 132 = 0 6 h(x) = x(x + 2) = x2 + 2x x2 + 2x – 120 = 0 7 L(y) = 2y2 + 16y y2 + 8y – 20 = 0 8 L(t) = 16t2 + 4t 4t2 + t – 20 = 0 9 V(x) = 10x2 + 40x x2 + 4x – 60 = 0 10 h(x) = x2 + 2x – 2 x2 + 2x – 35 = 0 11 J(x) = 6x2 – 46x – 45 3x2 – 23x – 70 = 0 12 W(x) = 3x2 – 4x – 46 3x2 – 4x – 260 = 0 13 (a) Ya (b) Tidak (c) Ya 14 (a) Tidak (b) Ya (c) Ya 15 (a) x = 0 atau 5 3 (b) k = 0 atau –9 (c) t = 5 4 atau – 5 4 (c) h(x) = –x2 – 8x – 12 y x O –12 –6 –2 18 (a) 2p2 – 3p – 77 = 0 (b) p = 7 (c) 11 cm 19 (a) x2 – 10x + 16 = 0 (b) x = 2 (x = 8 tidak diterima kerana x < 6) (c) 4 cm 20 (a) 5x2 – 16x – 84 = 0 (b) x = 6 (c) 8 cm 21 (a) x2 – 10x + 16 = 0 (b) x = 2 atau 8 (c) PQ = 6 cm, QR = 8 cm, RS = 18 cm 22 (a) x2 + 8x – 20 = 0 (b) x = 2 (c) 10 m 23 (a) x2 – 9x = 0 (b) x = 9 (c) (i) 21 cm, 9 cm (ii) 27 cm, 7 cm 24 (a) 2x2 – 13x – 70 = 0 (b) x = 10 (c) (i) 50 m (ii) 25 m (iii) 5 m 25 15 kaki (x = 3.75 tidak diterima.) (d) y = 2 3 atau – 2 3 (e) t = 3 2 atau 5 6 (f) m = 6 atau 3 8 (g) n = 2 3 atau – 3 2 (h) s = 3 2 atau – 4 5 (i) j = – 9 4 atau 4 3 16 (a) x = 4 atau 1 3 (b) y = 3 2 atau – 5 2 (c) r = 2 atau – 4 3 (d) k = 5 2 atau – 4 3 (e) p = 3 atau –4 (f) h = 3 atau 2 5 17 (a) y O (–2, 10) (2, 10) 2 f(x) = 2x² + 2 x (b) y x O 5 1 5 g(x) = x² – 6x + 5 Jawapan Analisis SPM Maths Tg4 2023 B1 4th.indd 13 09/11/2022 5:38:43 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

14 2.1 Asas Nombor 1 Digit yang digunakan dalam sistem nombor asas satu ialah 0. 2 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas dua ialah 0 dan 1. 3 Sistem nombor asas dua juga dikenali sebagai nombor binari. 4 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas tiga ialah 0, 1 dan 2. 5 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas empat ialah 0, 1, 2 dan 3. 6 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas lima ialah 0, 1, 2, 3 dan 4. 7 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas enam ialah 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. 8 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas tujuh ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. 9 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas lapan ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. 10 Sistem nombor dalam asas lapan juga dikenali sebagai oktal. 11 Digit-digit yang digunakan dalam sistem nombor asas sembilan ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan 8. 12 Setiap digit bagi nombor dalam asas dua mempunyai nilai tempat seperti yang ditunjukkan dalam jadual berikut: Nilai tempat 24 23 22 21 20 16 8 4 2 1 13 Setiap digit bagi nombor dalam asas lima mempunyai nilai tempat seperti yang ditunjukkan dalam jadual berikut: Nilai tempat 54 53 52 51 50 625 125 25 5 1 14 Setiap digit bagi nombor dalam asas lapan mempunyai nilai tempat seperti yang ditunjukkan dalam jadual berikut: Nilai tempat 84 83 82 81 80 4 096 512 64 8 1 15 Nilai suatu digit bagi suatu nombor dalam pelbagai asas ditentukan dengan cara mendarab digit itu dengan nilai tempatnya. 16 Suatu nombor boleh dicerakinkan mengikut nilai tempat digit-digitnya sebagai hasil tambah nilai digit-digit yang membentuk nilai nombor itu. Menukar nombor daripada satu asas kepada asas yang lain 17 Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam pelbagai asas kepada nombor dalam asas sepuluh adalah seperti berikut: (a) Cerakinkan nombor mengikut nilai tempat digit-digitnya. (b) Hitung nilai pada Langkah menjadi satu nombor tunggal. 18 Suatu nombor dalam asas sepuluh boleh ditukar kepada nombor dalam sebarang asas x dengan membahagi nombor itu dengan x secara berulang sehingga hasil bahaginya ialah sifar. Nombor dalam asas x itu kemudiannya ditentukan dengan menulis bakinya dari bawah ke atas. 19 Untuk menukar satu nombor dalam asas lapan kepada nombor dalam asas dua, tukarkan setiap digit dalam asas lapan itu kepada kombinasi tiga digit dalam asas dua dengan menggunakan kombinasi nombor 4, 2 dan 1. Asas Nombor Bab 2 Bidang Pembelajaran: Nombor dan Operasi NOTA EKSPRES 14 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 14 09/11/2022 5:39:04 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 15 20 Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam asas dua kepada nombor dalam asas lapan adalah seperti berikut: (a) Asingkan setiap tiga digit dalam nombor asas dua dari kanan ke kiri. (b) Cari hasil tambah nilai digit bagi gabungan tiga digit asas dua. (c) Gabungkan nombor dalam asas lapan. 21 Suatu nombor dalam asas x boleh ditukarkan kepada nombor dalam asas y (dengan keadaan x dan y bukan sepuluh) dengan: (a) menukarkan nombor itu kepada nombor dalam asas sepuluh (dengan mencerakinkan nombor itu mengikut nilai tempat digit-digitnya) terlebih dahulu dan (b) kemudian menukarkan nombor dalam asas sepuluh tersebut kepada nombor dalam asas y dengan pembahagian berulang sehingga hasil bahaginya ialah sifar. Tambah/ tolak digit yang diberi dari kanan ke kiri. Tukarkan dua nombor dalam pelbagai asas yang ingin ditambah atau ditolak kepada asas sepuluh. Tukarkan hasil tambah/tolak yang diperoleh kepada nombor dalam asas asal yang diberi. Hitung hasil tambah/ tolak dua nombor tersebut dalam asas sepuluh. Proses ini berulang sehingga semua digit ditambah/ ditolak. Operasi tambah Hasil tambah digit dalam asas sepuluh ditukar kepada asas yang diberi. Operasi tolak Digit hasil tolak ditulis di ruang jawapan. Hasil tolak tidak boleh melebihi asas yang diberikan dan nilainya bersamaan asas sepuluh. (a) Bentuk lazim Menyelesaikan masalah yang melibatkan asas nombor 23 Konsep asas nombor boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah dalam situasi kehidupan harian. Penambahan dan penolakan nombor dalam pelbagai asas 22 Operasi tambah dan tolak bagi nombor dalam pelbagai asas boleh diselesaikan menggunakan dua kaedah: (b) Penukaran asas 2.1 Asas Nombor Contoh 1 Berikan satu contoh nombor yang mewakili nombor dalam (a) asas dua (b) asas lima (c) asas sembilan Penyelesaian (a) 1012 (b) 1435 (c) 3589 Contoh 2 Hitung nilai bagi digit bergaris dalam nombor 51326 . Penyelesaian Nombor asas 6 5 1 3 2 Nilai tempat 63 62 61 60 Nilai bagi digit 5 yang bergaris = 5 × 63 = 5 × 216 = 1 080 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 15 09/11/2022 5:39:04 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 16 Contoh 7 Tukarkan 718 kepada nombor dalam asas dua. Penyelesaian 7 4 + 2 + 1 22 21 20 1 1 1 1 0 + 0 + 1 22 21 20 0 0 1 Asas 2 Asas 8 Dua sifar ditambah untuk membentuk kumpulan tiga digit. ∴ 718 = 1110012 Contoh 8 Tukarkan 32014 kepada nombor dalam asas enam. Penyelesaian (a) Langkah 1 • Tukarkan nombor dalam asas empat kepada nombor dalam asas sepuluh. Nombor asas 4 3 2 0 1 Nilai tempat 43 42 41 40 32014 = (3 × 43 ) + (2 × 42 ) + (0 × 41 ) + (1 × 40 ) = 22510 (b) Langkah 2 • Tukarkan nombor dalam asas sepuluh kepada nombor dalam asas enam. 6 225 Baki 6 37 3 6 6 1 6 1 0 0 1 ∴ 32014 = 10136 Contoh 9 Hitung setiap yang berikut: (a) 1345 + 2015 (b) 7538 – 2368 Penyelesaian (a) Kaedah penukaran asas Langkah 1 Nombor asas 5 1 3 4 Nilai tempat 52 51 50 1345 = (1 × 52 ) + (3 × 51 ) + (4 × 50 ) = 4410 Contoh 3 Cerakinkan 312045 mengikut nilai tempat digitdigitnya. Penyelesaian Nombor asas 5 3 1 2 0 4 Nilai tempat 54 53 52 51 50 312045 = (3 × 54 ) + (1 × 53 ) + (2 × 52 ) + (0 × 51 ) + (4 × 50 ) Contoh 4 Tukarkan nombor 216358 kepada nombor dalam asas sepuluh. Penyelesaian Nombor asas 8 2 1 6 3 5 Nilai tempat 84 83 82 81 80 216358 = (2 × 84 ) + (1 × 83 ) + (6 × 82 ) + (3 × 81 ) + (5 × 80 ) = 8192 + 512 + 384 + 24 + 5 = 9 11710 Contoh 5 Tukarkan 88810 kepada nombor dalam asas sembilan. Penyelesaian 9 888 Baki 9 98 6 9 10 8 9 1 1 0 1 ∴ 88810 = 11869 Contoh 6 Tukarkan 10001102 kepada nombor dalam asas lapan. Penyelesaian 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 4 2 1 0 + 0 + 0 0 4 2 1 4 + 2 + 0 6 Asas 2 Kombinasi nombor 4, 2 dan 1 Asas 8 ∴ 10001102 = 1068 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 16 09/11/2022 5:39:05 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 17 Nombor asas 5 2 0 1 Nilai tempat 52 51 50 2015 = (2 × 52 ) + (0 × 51 ) + (1 × 50 ) = 5110 Langkah 2 4410 + 5110 = 9510 Langkah 3 5 95 Baki 5 19 0 5 3 4 0 3 Maka, 1345 + 2015 = 3405 • Kaedah bentuk lazim 1 1345 +2015 3405 1 + 2 = 310 = 35 1 + 3 + 0 = 410 = 45 4 + 1 = 510 = 105 5 5 Baki 5 1 0 0 1 5 4 Baki 0 4 5 3 Baki 0 3 Tulis 0 di ruang jawapan, 1 dibawa ke nilai tempat seterusnya. Maka, 1345 + 2015 = 3405 Kaedah Alternatif (b) Kaedah penukaran asas Langkah 1 Nombor asas 8 7 5 3 Nilai tempat 82 81 80 7538 = (7 × 82 ) + (5 × 81 ) + (3 × 80 ) = 49110 Nombor asas 8 2 3 6 Nilai tempat 82 81 80 2368 = (2 × 82 ) + (3 × 81 ) + (6 × 80 ) = 15810 Langkah 2 49110 – 15810 = 33310 Langkah 3 8 333 Baki 8 41 5 8 5 1 0 5 Maka, 7538 – 2368 = 5158 • Kaedah bentuk lazim 4 8 7538 – 2368 5158 7 – 2 = 58 4 – 3 = 18 8 + 3 – 6 = 58 Maka, 7538 – 2368 = 5158 Kaedah Alternatif Contoh 10 Johari membeli 1112 batang pen dan 112 batang pembaris panjang dengan jumlah bayaran RM518 . David pula membeli 1102 batang pen dan 112 batang pembaris panjang dengan jumlah bayaran RM1215 . Cari harga bagi sebatang pen dan sebatang pembaris panjang dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Memahami masalah 1112 pen + 112 pembaris panjang ⇒ RM518 1102 pen + 112 pembaris panjang ⇒ RM1215 Merancang strategi • Tukarkan semua nombor dalam asas dua, lima dan lapan kepada asas sepuluh. • Bentukkan persamaan linear. • Selesaikan persamaan linear serentak. Melaksanakan strategi Nombor-nombor dalam asas 2 yang perlu ditukar kepada asas sepuluh ialah: 1112 = (1 × 22 ) + (1 × 21 ) + (1 × 20 ) = 710 112 = (1 × 21 ) + (1 × 20 ) = 310 1102 = (1 × 22 ) + (1 × 21 ) + (0 × 20 ) = 610 Nombor dalam asas 8 yang perlu ditukar kepada asas sepuluh ialah: 518 = (5 × 81 ) + (1 × 80 ) = 4110 Nombor dalam asas 5 yang perlu ditukar kepada asas sepuluh ialah: 1215 = (1 × 52 ) + (2 × 51 ) + (1 × 50 ) = 3610 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 17 09/11/2022 5:39:05 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 18 Katakan x mewakili harga sebatang pen dan y mewakili harga sebatang pembaris panjang. Persamaan linear serentak yang dibentuk ialah: 1112 x + 112 y = 518 , iaitu 7x + 3y = 41 …… 1102 x + 112 y = 1215 , iaitu 6x + 3y = 36 …… – : x = 5 Gantikan x = 5 ke dalam . 7(5) + 3y = 41 3y = 41 – 35 3y = 6 y = 2 Kesimpulan Maka, harga bagi sebatang pen dan sebatang pembaris panjang masing-masing ialah RM5 dan RM2. Hitung 7128 – 4325 dengan mengungkapkan jawapan anda dalam asas tujuh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Nombor asas 8 7 1 2 Nilai tempat 82 81 80 7128 = (7 × 82 ) + (1 × 81 ) + (2 × 80 ) = 45810 Nombor asas 5 4 3 2 Nilai tempat 52 51 50 4325 = (4 × 52 ) + (3 × 51 ) + (2 × 50 ) = 11710 7128 – 4325 = 45810 – 11710 = 34110 7 341 Baki 7 48 5 7 6 6 0 6 Maka, 7128 – 4325 = 6657 Soalan Objektif 1 Diberi 2536 = x7 , cari nilai x. A 200 C 210 B 205 D 215 KBAT Mengaplikasi 2 Diberi 3268 – 4325 = k9 , cari nilai k. A 117 C 135 B 126 D 144 KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 3 Puan Ng membeli 102 kg peria dan 112 kg timun dengan jumlah bayaran sebanyak RM2235 . Puan Zakiah pula membeli 1002 kg peria dan 1012 kg timun dengan jumlah bayaran sebanyak RM1618 . Berapakah harga bagi sekilogram peria dan sekilogram timun masing-masing? A 10 dan 11 C 14 dan 15 B 12 dan 13 D 16 dan 17 KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 4 Apakah nilai digit 6 dalam asas sepuluh, bagi 632307 ? A 1296 C 7776 B 2058 D 14 406 5 Jika 53126 = h4 , apakah nilai h? A 1223 C 102 230 B 3221 D 103 320 6 Jika 1111000101102 = p8 , apakah nilai p? A 7246 C 6247 B 7426 D 6427 7 Hitung 7539 + 4269 . A 1280 C 3003 B 2002 D 4004 8 Hitung 5416 – 4325 dengan menyatakan jawapan anda dalam asas tujuh. A 1347 C 3147 B 1547 D 4137 Zon KBAT Praktis SPM 2 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 18 09/11/2022 5:39:06 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 19 Soalan Subjektif 2.1 Asas Nombor 1 Hitung nilai digit bergaris bagi setiap nombor berikut: (a) 10110112 (c) 10011002 (b) 11100102 (d) 110101012 2 Hitung nilai digit bergaris bagi setiap nombor berikut: (a) 5348 (c) 635428 (b) 32508 (d) 7350618 3 Hitung nilai digit bergaris bagi setiap nombor berikut: (a) 4135 (c) 321345 (b) 51235 (d) 241305 4 Hitung nilai digit bergaris bagi setiap nombor berikut: (a) 2013 (d) 623507 (b) 32104 (e) 241359 (c) 23546 5 Apakah nilai bagi digit bergaris dalam nombor 1001010102 ? 6 Apakah nilai bagi digit 7 dalam nombor 73518 ? 7 Apakah nilai bagi digit 2 dalam nombor 24315 ? 8 Cerakinkan setiap nombor berikut mengikut nilai tempat digit-digitnya. (a) 1023 (d) 64307 (b) 41234 (e) 87659 (c) 54316 9 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh. (a) 1101012 (b) 10111102 (c) 110110112 10 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh. (a) 21378 (b) 111018 (c) 765438 11 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh. (a) 3045 (b) 10235 (c) 121045 12 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas sepuluh. (a) 2123 (d) 26407 (b) 12034 (e) 24689 (c) 53216 13 Tukarkan 22113 kepada nombor dalam asas sepuluh. 14 Tukarkan 23014 kepada nombor dalam asas sepuluh. 15 Tukarkan 53216 kepada nombor dalam asas sepuluh. 16 Tukarkan 23567 kepada nombor dalam asas sepuluh. 17 Tukarkan 84269 kepada nombor dalam asas sepuluh. 18 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas dua. (a) 4710 (b) 9910 (c) 15710 19 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas lapan. (a) 12810 (b) 205010 (c) 1010010 20 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas lima. (a) 4310 (b) 40210 (c) 123410 21 (a) Diberi 2610 = h3 , cari nilai h. (b) Diberi 5710 = k4 , cari nilai k. (c) Diberi 42210 = m6 , cari nilai m. (d) Diberi 209610 = p7 , cari nilai p. (e) Diberi 632310 = q9 , cari nilai q. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 19 09/11/2022 5:39:07 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 20 22 Lengkapkan urutan nombor berikut dalam asas dua. 1012 , , 1112 , , , 23 Ungkapkan 8(82 + 8 + 3) sebagai satu nombor dalam asas lapan. 24 Lengkapkan urutan nombor berikut dalam asas lapan. 2478 , , , 2528 , 25 Ungkapkan 55 + 53 + 4 sebagai satu nombor dalam asas lima. 26 Lengkapkan urutan nombor berikut dalam asas lima. 1315 , , , , 27 Diberi 7410 = x5 , cari nilai x. 28 Diberi 97110 = h7 , cari nilai h. 29 Diberi 186310 = k9 , cari nilai k. 30 Ungkapkan 8[7(84 ) + 6(82 ) + 5] sebagai nombor dalam asas lapan. 31 (a) Diberi 21510 = h3 , dengan keadaan h ialah pemalar, cari nilai h. (b) Ungkapkan 3(94 ) + 5(93 ) + 2 sebagai nombor dalam asas sembilan. 32 Ungkapkan 7[4(73 ) + 3(72 ) + 2(7)] sebagai nombor dalam asas tujuh. 33 (a) Diberi 19510 = k4 , dengan keadaan k ialah pemalar, cari nilai k. (b) Ungkapkan 6[1(64 ) + 2(63 ) + 3] sebagai nombor dalam asas enam. 34 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas lapan. (a) 10110102 (b) 1100000012 (c) 1001111012 35 Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor dalam asas dua. (a) 318 (b) 7048 (c) 6528 36 Tukarkan (a) 11112 kepada nombor dalam asas lima, (b) 435 kepada nombor dalam asas dua, (c) 758 kepada nombor dalam asas lima, (d) 445 kepada nombor dalam asas lapan. 37 Tukarkan (a) 2314 kepada nombor dalam asas enam, (b) 32145 kepada nombor dalam asas tiga, (c) 34569 kepada nombor dalam asas tujuh. 38 Diberi 7358 = w2 , dengan keadaan w ialah integer, cari nilai w. 39 Diberi 1111101010112 = p8 , dengan keadaan p ialah integer, cari nilai p. 40 Diberi 11012 = m5 , dengan keadaan m ialah integer, cari nilai m. 41 Diberi 4445 = q2 , dengan keadaan q ialah integer, cari nilai q. 42 Ungkapkan 3045 sebagai satu nombor dalam asas lapan. 43 Tukarkan 528 kepada nombor dalam asas lima. 44 Diberi 11025 = k10 = x3 = h9 , cari nilai k, x dan h. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 45 Hitung nilai bagi operasi tambah berikut: (a) 101012 + 1112 (b) 1110012 + 101102 46 Hitung nilai bagi operasi tolak berikut: (a) 10112 – 1102 (b) 1011102 – 100102 47 Hitung (a) 1023 + 2223 (b) 5236 + 4016 (c) 3578 + 4168 48 Hitung (a) 3334 – 2014 (b) 6327 – 1457 (c) 8539 – 4169 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 20 09/11/2022 5:39:07 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 21 49 Hitung 4216 + 7658 dengan menyatakan jawapan anda dalam asas lima. 50 Hitung 5126 – 3334 dengan menyatakan jawapan anda dalam asas tiga. 51 Hitung 11023 + 1113 . 52 Hitung 33214 – 12344 . 53 Hitung 45216 + 33336 . 54 Hitung 61237 – 55447 . 55 Hitung 54126 + 32124 dengan menyatakan jawapan anda dalam asas lima. 56 Hitung 24619 – 23518 dengan menyatakan jawapan anda dalam asas tujuh. 57 Puan Faziatul membeli 1002 ekor ikan tilapia merah dan 102 ekor ikan tilapia hitam dengan jumlah bayaran RM1124 . Puan Rosnani pula membeli 112 ekor ikan tilapia merah dan 102 ekor ikan tilapia hitam dengan jumlah bayaran RM2003 . Cari harga bagi seekor ikan tilapia merah dan seekor ikan tilapia hitam dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 58 Harga bagi 1102 buah kerusi dan 112 buah meja ialah RM21206 . Harga bagi 10002 buah kerusi dan 12 buah meja ialah RM11117 . Cari harga bagi sebuah kerusi dan sebuah meja dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 59 Puan Harizah membeli 1102 biji nanas dan 112 biji tembikai susu dengan jumlah bayaran RM3145 . Puan Chang pula membeli 1112 biji nanas dan 1002 biji tembikai susu dengan jumlah bayaran RM3006 . Cari harga bagi sebiji nanas dan sebiji tembikai susu dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 60 Letchumy membeli 10012 botol air mineral 500 ml dan 1102 botol air mineral 1500 ml dengan jumlah bayaran RM1114 . Catherine pula membeli 10002 botol air mineral 500 ml dan 1102 botol air mineral 1500 ml dengan jumlah bayaran RM2023 . Cari harga bagi sebotol air mineral 500 ml dan sebotol air mineral 1500 ml dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 61 Restoran A dan B membeli bawang putih dan bawang merah untuk dijadikan bahan masakan. Restoran A membeli 1102 kg bawang putih dan 125 kg bawang merah dengan jumlah bayaran RM3506 . Restoran B pula membeli 223 kg bawang putih dan 214 kg bawang merah dengan jumlah bayaran RM3507 . Cari harga bagi sekilogram bawang putih dan sekilogram bawang merah dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 62 Harga bagi 1012 batang pensel 2B dan 1102 batang pembaris pendek ialah RM1004 , manakala harga bagi 102 batang pensel 2B dan 12 batang pembaris pendek ialah RM123 . Cari harga bagi sebatang pensel 2B dan sebatang pembaris pendek dalam asas sepuluh. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 21 09/11/2022 5:39:07 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 2 22 12 (a) 2310 (b) 9910 (c) 1 20110 (d) 1 00810 (e) 1 84410 13 7610 14 17710 15 1 20110 16 87410 17 6 18010 18 (a) 1011112 (b) 11000112 (c) 100111012 19 (a) 2008 (b) 40028 (c) 235648 20 (a) 1335 (b) 31025 (c) 144145 21 (a) h = 222 (b) k = 321 (c) m = 1542 (d) p = 6053 (e) q = 8605 22 1102 , 10002 , 10012 , 10102 23 11308 24 2508 , 2518 , 2538 25 1010045 26 1325 , 1335 , 1345 , 1405 27 x = 244 28 h = 2555 29 k = 2500 30 7060508 31 (a) h = 21222 (b) 350029 32 432007 33 (a) k = 3003 (b) 1200306 34 (a) 1328 (b) 6018 (c) 4758 Soalan Objektif 1 C 2 A 3 B 4 D 5 C 6 B 7 A 8 B Soalan Subjektif 1 (a) 8 (b) 16 (c) 0 (d) 128 2 (a) 320 (b) 1 536 (c) 24 576 (d) 229 376 3 (a) 100 (b) 625 (c) 1 875 (d) 1 250 4 (a) 18 (b) 192 (c) 108 (d) 14 406 (e) 2 916 5 256 6 3 584 7 250 8 (a) (1 × 32 ) + (0 × 31 ) + (2 × 30 ) (b) (4 × 43 ) + (1 × 42 ) + (2 × 41 ) + (3 × 40 ) (c) (5 × 63 ) + (4 × 62 ) + (3 × 61 ) + (1 × 60 ) (d) (6 × 73 ) + (4 × 72 ) + (3 × 71 ) + (0 × 70 ) (e) (8 × 93 ) + (7 × 92 ) + (6 × 91 ) + (5 × 90 ) 9 (a) 5310 (b) 9410 (c) 21910 10 (a) 1 11910 (b) 4 67310 (c) 32 09910 11 (a) 7910 (b) 13810 (c) 90410 35 (a) 110012 (b) 1110001002 (c) 1101010102 36 (a) 305 (b) 101112 (c) 2215 (d) 308 37 (a) 1136 (b) 1210023 (c) 103207 38 w = 111011101 39 p = 7653 40 m = 23 41 q = 1111100 42 1178 43 1325 44 k = 152, x = 12122, h = 178 45 (a) 111002 (b) 10011112 46 (a) 1012 (b) 111002 47 (a) 11013 (b) 13246 (c) 7758 48 (a) 1324 (b) 4547 (c) 4369 49 101135 50 111223 51 12203 52 20214 53 122546 54 2467 55 213225 56 14567 57 RM4, RM3 58 RM40, RM80 59 RM4, RM20 60 RM1, RM2 61 RM16, RM6 62 RM2, RM1 Jawapan Analisis SPM Maths Tg4 2023 B2 4th.indd 22 09/11/2022 5:39:08 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

23 3.1 Pernyataan 1 Pernyataan ialah ayat yang dapat ditentukan sama ada benar atau palsu. 2 Ayat yang merupakan soalan, arahan dan seruan adalah bukan pernyataan kerana kita tidak dapat menentukan sama ada ia benar atau palsu. 3 Pengkuantiti “semua” bermaksud setiap objek atau kes memenuhi syarat tertentu. 4 Pengkuantiti “sebilangan” bermaksud beberapa dan tidak semestinya setiap objek atau kes memenuhi syarat tertentu. Menafikan suatu pernyataan 5 Penafian ialah satu proses yang menidakkan suatu pernyataan dengan menggunakan perkataan “bukan” atau “tidak”. Suatu pernyataan benar boleh ditukar kepada pernyataan palsu dan sebaliknya dengan menggunakan perkataan “bukan” atau “tidak”. 6 Penafian ke atas suatu pernyataan akan mengubah nilai kebenaran pernyataan tersebut. Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk 7 Satu pernyataan majmuk dapat dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan dengan menggunakan perkataan “dan”. 8 Satu pernyataan majmuk juga dapat dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan dengan menggunakan perkataan “atau”. 9 Nilai kebenaran bagi pernyataan majmuk “p dan q” adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual kebenaran berikut: p q p dan q Benar Benar Benar Benar Palsu Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Palsu Palsu 10 Nilai kebenaran bagi pernyataan majmuk “p atau q” adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual kebenaran berikut: p q p atau q Benar Benar Benar Benar Palsu Benar Palsu Benar Benar Palsu Palsu Palsu Implikasi Antejadian dan akibat bagi suatu implikasi 11 Bagi dua pernyataan, p dan q, pernyataan “jika p, maka q” ialah satu implikasi dengan keadaan p ialah antejadian dan q ialah akibat. Implikasi “jika dan hanya jika” 12 Bagi dua pernyataan p dan q, pernyataan “p jika dan hanya jika q” ialah singkatan bagi “jika p, maka q” dan “jika q, maka p”. 13 Bagi pernyataan “p jika dan hanya jika q”, dua implikasi boleh ditulis seperti berikut: Implikasi 1: Jika p, maka q. Implikasi 2: Jika q, maka p. Penaakulan Logik Bab 3 Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret NOTA EKSPRES 23 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 23 09/11/2022 5:39:27 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 24 Akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi Akas bagi suatu implikasi 14 Akas bagi implikasi “jika p, maka q” ialah “jika q, maka p”. 15 Akas bagi suatu implikasi tidak semestinya benar. Songsangan bagi suatu implikasi 16 Songsangan bagi implikasi “jika p, maka q” ialah “jika bukan p, maka bukan q”. 17 Songsangan bagi suatu implikasi tidak semestinya benar. Kontrapositif bagi suatu implikasi 18 Kontrapositif bagi implikasi “jika p, maka q” ialah “jika bukan q, maka bukan p”. 19 Kontrapositif bagi suatu implikasi sentiasa benar jika implikasi itu adalah benar. 3.2 Hujah 20 Premis ialah beberapa (biasanya dua) pernyataan yang dapat menjustifikasikan satu kesimpulan. 21 Penghujahan ialah proses membuat suatu kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang diberi. Pernyataanpernyataan yang diberi itu dinamakan premis. Hujah deduktif dan hujah induktif 22 Hujah deduktif ialah hujah dengan keadaan premisnya adalah umum yang menghasilkan kesimpulan yang khusus. 23 Hujah induktif ialah hujah dengan keadaan premisnya adalah khusus yang menghasilkan kesimpulan yang umum. Menentukan sama ada suatu hujah deduktif yang sah itu munasabah 24 Tiga bentuk hujah deduktif ialah: Hujah deduktif bentuk I Premis 1: Semua A ialah B. Premis 2: C ialah A. Kesimpulan: C ialah B. Hujah deduktif bentuk II Premis 1: Jika p, maka q. Premis 2: p adalah benar. Kesimpulan: q adalah benar. Hujah deduktif bentuk III Premis 1: Jika p, maka q. Premis 2: Bukan q adalah benar. Kesimpulan: Bukan p adalah benar. 25 Suatu hujah deduktif yang sah (betul dari segi format bentuk I, II atau III) akan menjadi tidak munasabah jika premis 1 atau premis 2 adalah tidak benar. Hujah deduktif yang sah 26 Bagi suatu hujah deduktif yang sah berdasarkan dua premis benar yang diberi, satu kesimpulan yang benar boleh dibuat. Kekuatan suatu hujah induktif 27 Kekuatan suatu hujah induktif ditentukan oleh tahap kebolehpercayaan premis dan selogik mana kesimpulan yang dibuat. • Hujah induktif yang kuat mempunyai premis yang kukuh dan kebolehpercayaan yang tinggi dengan keadaan satu kesimpulan yang logik dan meyakinkan dapat dibuat. • Hujah induktif yang lemah mempunyai premis yang meragukan mengakibatkan kesimpulan yang dibuat adalah tidak logik dan tidak kukuh. Menyelesaikan masalah melibatkan penaakulan logik 28 Penaakulan deduktif ialah suatu proses membuat kesimpulan khusus berdasarkan pernyataan yang umum. 29 Penaakulan induktif ialah suatu proses membuat kesimpulan umum berdasarkan kes-kes khusus. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 24 09/11/2022 5:39:27 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 25 3.1 Pernyataan Contoh 1 Tentukan sama ada setiap ayat berikut ialah pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan sebab anda. (a) Sudut pada lilitan dalam sebuah semibulatan ialah 90°. (b) Apakah punca bagi persamaan kuadratik (x – 3)2 = 0? (c) 1 kg bersamaan dengan 100 g. (d) Sila isi borang ini. (e) Amboi, cantiknya pakaian awak hari ini! (f) 5k + 2k – 3k Penyelesaian (a) Pernyataan kerana kita dapat menentukan bahawa ayat itu adalah benar. (b) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu soalan. (c) Pernyataan kerana kita dapat menentukan bahawa ayat itu adalah palsu. (d) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu arahan. (e) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu seruan. (f) Bukan pernyataan kerana kita tidak dapat menentukan bahawa ayat itu adalah benar atau palsu. Contoh 2 Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu. (a) Nombor 0.005620 mempunyai tiga angka bererti. (b) 23 + 27 3 > 10 (c) Semua ungkapan kuadratik boleh difaktorkan. (d) Sebilangan nombor perdana adalah ganjil. Penyelesaian (a) Pernyataan palsu 0.005620 mempunyai empat angka bererti kerana digit 0 yang terakhir (selepas titik perpuluhan) diambil kira sebagai angka bererti. (b) Pernyataan benar 23 + 27 3 = 8 + 3 = 11, dan 11 adalah lebih besar daripada 10. (c) Pernyataan palsu Ungkapan kuadratik seperti x2 + x – 3 tidak boleh difaktorkan. (d) Pernyataan benar 2 ialah nombor perdana yang genap. Contoh 3 Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu. Tulis pernyataan yang mengubah nilai kebenaran setiap pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan “bukan” atau “tidak”. (a) Bilangan maksimum punca bagi suatu persamaan kuadratik ialah 2. (b) Jika x < –6, maka x ialah –4. Penyelesaian (a) Bilangan maksimum punca bagi suatu persamaan kuadratik ialah 2. [Benar] Bilangan maksimum punca bagi suatu persamaan kuadratik bukan 2. [Palsu] (b) Jika x < –6, maka x ialah –4. [Palsu] Jika x < –6, maka x bukan –4. [Benar] Contoh 4 Tentukan sama ada setiap pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu. (a) 0.00204 mempunyai 3 angka bererti dan 6450 = 6.45 × 103 . (b) 8 ialah punca bagi persamaan 3x – 5 = x + 9 dan penyelesaian bagi x = 3 ialah x = 9. (c) 5 7 > 2 7 dan 11 8 > 11 5 . (d) Garis lurus dengan persamaan y = –2x + 5 mempunyai kecerunan positif dan hasil tambah panjang dua sisi sebuah segi tiga adalah kurang daripada panjang sisi yang ketiga. Penyelesaian Benar (a) 0.00204 mempunyai 3 angka bererti dan 6450 = 6.45 × 103 adalah benar. Benar ‘Benar’ dan ‘Benar’ adalah ‘Benar’. Palsu (b) 8 ialah punca bagi persamaan 3x – 5 = x + 9 dan penyelesaian bagi x = 3 ialah x = 9 adalah palsu. ‘Palsu’ dan ‘Benar’ adalah ‘Palsu’. Benar Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 25 09/11/2022 5:39:27 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 26 (c) 5 7 > 2 7 dan 11 8 > 11 5 adalah palsu. ‘Benar’ dan ‘Palsu’ adalah ‘Palsu’. Benar Palsu Palsu (d) Garis lurus dengan persamaan y = –2x + 5 mempunyai kecerunan positif dan hasil tambah panjang dua sisi sebuah segi tiga adalah kurang daripada panjang sisi yang ketiga adalah palsu. Palsu ‘Palsu’ dan ‘Palsu’ adalah ‘Palsu’. Contoh 5 Tentukan sama ada setiap pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu. (a) Oktagon mempunyai lapan sisi atau 121 ialah nombor kuasa dua sempurna. (b) Isi padu sebuah kuboid ialah hasil darab panjang, lebar dan tingginya atau semua gandaan bagi 3 ialah gandaan bagi 6. (c) (125 3 ) –2 = 25 atau 0.000128 = 1.28 × 10–4. (d) Garis lurus dengan persamaan y = 2x + 5 bersilang dengan paksi-y pada titik (0, 2) atau sin 30° = 3 2 . Penyelesaian Benar (a) Oktagon mempunyai lapan sisi atau 121 ialah nombor kuasa dua sempurna adalah benar. Benar ‘Benar’ atau ‘Benar’ adalah ‘Benar’. Benar (b) Isi padu sebuah kuboid ialah hasil darab panjang, lebar dan tingginya atau semua gandaan bagi 3 ialah gandaan bagi 6 adalah benar. Palsu ‘Benar’ atau ‘Palsu’ adalah ‘Benar’. Palsu (c) (125 3 )–2 = 25 atau 0.000128 = 1.28 × 10–4 adalah benar. Benar ‘Palsu’ atau ‘Benar’ adalah ‘Benar’. Palsu (d) Garis lurus dengan persamaan y = 2x + 5 bersilang dengan paksi-y pada titik (0, 2) atau sin 30° = 3 2 adalah palsu. Palsu ‘Palsu’ atau ‘Palsu’ adalah ‘Palsu’. Contoh 6 Nyatakan antejadian dan akibat bagi setiap implikasi berikut: (a) Jika k ialah faktor bagi 5, maka k ialah faktor bagi 10. (b) Jika θ = 30°, maka kos θ = 3 2 . Penyelesaian (a) Antejadian: k ialah faktor bagi 5. Akibat: k ialah faktor bagi 10. (b) Antejadian: θ = 30°. Akibat: kos θ = 3 2 . Contoh 7 Bina satu implikasi bagi pasangan antejadian dan akibat berikut: Antejadian: h ialah gandaan bagi 6. Akibat: h ialah gandaan bagi 3. Penyelesaian Jika h ialah gandaan bagi 6, maka h ialah gandaan bagi 3. Contoh 8 Tulis dua implikasi berdasarkan setiap pernyataan berikut: (a) x < 0 jika dan hanya jika x ialah nombor negatif. (b) (x – 2)(x + 4) = 0 jika dan hanya jika x = 2 atau x = –4. Penyelesaian (a) Implikasi 1: Jika x < 0, maka x ialah nombor negatif. Implikasi 2: Jika x ialah nombor negatif, maka x < 0. (b) Implikasi 1: Jika (x – 2)(x + 4) = 0, maka x = 2 atau x = –4. Implikasi 2: Jika x = 2 atau x = –4, maka (x – 2)(x + 4) = 0. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 26 09/11/2022 5:39:27 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 27 Contoh 9 Bina satu pernyataan dalam bentuk “jika dan hanya jika” daripada setiap pasangan implikasi berikut: (a) Jika jejari sebuah sfera ialah 7 cm, maka isi padu sfera itu ialah 4 3 π(7)3 cm3 . Jika isi padu sebuah sfera ialah 4 3 π(7)3 cm3 , maka jejari sfera itu ialah 7 cm. (b) Jika luas sebuah bulatan ialah 25π cm2 , maka jejari bulatan itu ialah 5 cm. Jika jejari sebuah bulatan ialah 5 cm, maka luas bulatan itu ialah 25π cm2 . Penyelesaian (a) Jejari sebuah sfera ialah 7 cm jika dan hanya jika isi padu sfera itu ialah 4 3 π(7)3 cm3 . (b) Luas sebuah bulatan ialah 25π cm2 jika dan hanya jika jejari bulatan itu ialah 5 cm. Contoh 10 Nyatakan akas bagi setiap implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada akas itu benar atau palsu. (a) Jika 7x ialah nombor genap, maka x ialah nombor genap. (b) Jika y > 8, maka y > 5. Penyelesaian (a) Akas: Jika x ialah nombor genap, maka 7x ialah nombor genap. Akas itu adalah benar. (b) Akas: Jika y > 5, maka y > 8. Akas itu adalah palsu. y > 5: y = 6, 7, 8, … y > 8: y = 9, 10, 11, … Jika y = 6, maka y tidak melebihi 8. Maka, akas “Jika y > 5, maka y > 8” adalah palsu. TIP BIJAK Satu kes sudah mencukupi untuk menafikan nilai kebenaran suatu pernyataan. Contoh 11 Nyatakan songsangan bagi implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada songsangan itu benar atau palsu. “Jika y > x, maka –y < –x.” Penyelesaian Bukan p (antejadian) Bukan q (akibat) Songsangan: “Jika y  x, maka –y  – x.” Songsangan itu adalah benar. Contoh 12 Nyatakan kontrapositif bagi implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada kontrapositif itu benar atau palsu. “Jika Pandelela Rinong berasal dari Bau, maka beliau berasal dari Sarawak.” Penyelesaian Bukan q (antejadian) Kontrapositif: Jika Pandelela Rinong bukan berasal dari Sarawak, maka beliau bukan berasal dari Bau. Kontrapositif itu adalah benar. Bukan p (akibat) 3.2 Hujah Contoh 13 Tentukan sama ada setiap hujah berikut ialah hujah deduktif atau hujah induktif. (a) Hasil tambah semua sudut pedalaman dalam sebuah segi tiga ialah 180°. ABC ialah sebuah segi tiga. Maka, hasil tambah semua sudut pedalaman dalam segi tiga ABC ialah 180°. (b) 20° dan 160° ialah sudut penggenap. 110° dan 70° ialah sudut penggenap. Maka, hasil tambah dua sudut penggenap ialah 180°. (c) Ikan salmon mempunyai kandungan omega-3 yang tinggi. Tahap omega-3 yang tinggi di dalam badan dapat membantu mengekalkan kesihatan kardiovaskular kita. Maka, dengan memakan ikan salmon yang banyak akan mengurangkan risiko penyakit jantung. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 27 09/11/2022 5:39:28 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 28 Penyelesaian (a) Hujah deduktif Premis adalah umum dan kesimpulan adalah khusus. (b) Hujah induktif Premis adalah khusus dan kesimpulan adalah umum. (c) Hujah induktif Kesimpulan yang kuat berdasarkan premis yang meyakinkan. Contoh 14 Tentukan sama ada setiap hujah berikut munasabah atau tidak. Berikan sebab anda. (a) Premis 1: Semua heptagon mempunyai sembilan sisi. Premis 2: PQRSTUV ialah sebuah heptagon. Kesimpulan: PQRSTUV mempunyai sembilan sisi. (b) Premis 1: Jika dua digit terakhir suatu nombor boleh dibahagi dengan 4, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 4. Premis 2: Dua digit terakhir 924 boleh dibahagi dengan 4. Kesimpulan: 924 boleh dibahagi dengan 4. (c) Premis 1: Jika seseorang pemandu memandu melebihi 150 km j–1 di Lebuhraya Utara Selatan, maka dia sudah melebihi had laju yang ditetapkan. Premis 2: Encik Hilmi tidak memandu melebihi had laju di Lebuhraya Utara Selatan. Kesimpulan: Encik Hilmi memandu tidak melebihi 150 km j–1. (d) Premis 1: Jika kecerunan dua garis lurus adalah sama, maka kedua-dua garis lurus itu adalah selari. Premis 2: Garis lurus y = 2x + 4 dan y = –2x + 4 mempunyai kecerunan yang sama. Kesimpulan: Garis lurus y = 2x + 4 dan y = –2x + 4 adalah selari. Penyelesaian (a) Tidak munasabah kerana premis pertama tidak benar. Hal ini adalah kerana heptagon mempunyai tujuh sisi dan bukannya sembilan sisi. (b) Munasabah kerana hujah deduktif itu adalah sah dan kedua-dua premis dan kesimpulan adalah benar. (c) Tidak munasabah kerana premis pertama adalah tidak benar. Hal ini adalah kerana had laju yang ditetapkan bagi Lebuhraya Utara Selatan ialah 110 km j–1. (d) Tidak munasabah kerana premis kedua adalah tidak benar. Kecerunan garis lurus y = 2x + 4 dan y = –2x + 4 masing-masing ialah 2 dan –2, iaitu tidak sama. Contoh 15 Tulis kesimpulan bagi setiap hujah deduktif berikut: (a) Premis 1: Semua burung bertelur. Premis 2: Penguin ialah burung. Premis 3: Nuri ialah burung. Kesimpulan: (b) Premis 1: Jika setiap sudut pedalaman bagi sebuah poligon sekata ialah 108°, maka poligon itu ialah sebuah pentagon sekata. Premis 2: Setiap sudut pedalaman bagi poligon sekata PQRST ialah 108°. Kesimpulan: (c) Premis 1: Jika x dan y ialah sudut-sudut yang tertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran, maka x + y sama dengan 180°. Premis 2: x + y tidak sama dengan 180°. Kesimpulan: Penyelesaian (a) Premis 1: Semua burung bertelur. A B Premis 2: Penguin ialah burung. C1 A Premis 3: Nuri ialah burung. C2 A Kesimpulan: Penguin dan nuri bertelur. C1 C2 B Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 28 09/11/2022 5:39:28 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 29 p (b) Premis 1: Jika setiap sudut pedalaman bagi sebuah poligon sekata ialah 108°, maka poligon itu ialah sebuah pentagon sekata. q Premis 2: Setiap sudut pedalaman bagi poligon sekata PQRST ialah 108°. p adalah benar. Kesimpulan: PQRST ialah sebuah pentagon sekata. q adalah benar. p (c) Premis 1: Jika x dan y ialah sudut-sudut yang tertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran, maka x + y sama dengan 180°. q Premis 2: x + y tidak sama dengan 180°. Bukan q adalah benar. Kesimpulan: x dan y bukan sudut-sudut yang tertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran. Bukan p adalah benar. Contoh 16 KBAT Mengaplikasi Lengkapkan setiap hujah deduktif berikut: (a) Premis 1: Premis 2: θ ialah sudut refleks. Kesimpulan: θ adalah lebih besar daripada 180° dan lebih kecil daripada 360°. (b) Premis 1: Jika x 3 – 2 3 = 4, maka x = 14. Premis 2: Kesimpulan: x = 14 (c) Premis 1: Jika x = 45°, maka sin x = 1 2 . Premis 2: Kesimpulan: x ≠ 45° Penyelesaian (a) Hujah deduktif bentuk I Semua A ialah B. Premis 1: Premis 2: θ ialah sudut refleks. C A C B Kesimpulan: θ adalah lebih besar daripada 180° dan lebih kecil daripada 360°. A ∴ Premis 1: Semua sudut refleks adalah lebih besar daripada 180° dan lebih kecil daripada 360°. Semua A ialah B. B (b) Hujah deduktif bentuk II p q Premis 1: Jika x 3 – 2 3 = 4, maka x = 14. q adalah benar. Premis 2: Kesimpulan: x = 14 q adalah benar. ∴ Premis 2: x 3 – 2 3 = 4 p adalah benar. (c) Hujah deduktif bentuk III p q Premis 1: Jika x = 45º, maka sin x = 1 2 . Bukan q adalah benar. Premis 2: Kesimpulan: x ≠ 45° Bukan p adalah benar. ∴ Premis 2: sin x ≠ 1 2 Bukan q adalah benar. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 29 09/11/2022 5:39:28 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 30 Contoh 17 Tentukan sama ada setiap hujah berikut adalah kuat atau lemah. (a) Premis 1: Pak Zainal ialah seorang datuk. Premis 2: Pak Zainal menjadi separuh botak kerana mengalami keguguran rambut yang banyak. Kesimpulan: Semua datuk mengalami separuh botak. (b) Premis 1: Menara Jam Condong terletak di Teluk Intan atau di Ipoh. Premis 2: Menara Jam Condong bukannya terletak di Ipoh. Kesimpulan: Menara Jam Condong terletak di Teluk Intan. Penyelesaian (a) Lemah Hujah ini lemah dan tidak meyakinkan kerana kesimpulan bahawa semua datuk adalah separuh botak adalah tidak kukuh. Terdapat segelintir masyarakat yang sudah menjadi datuk tetapi masih memiliki rambut yang lebat dan cantik. (b) Kuat Premis dan kesimpulannya adalah logik dan meyakinkan. Contoh 18 Diberi bahawa isi padu sebuah kon ialah 1 3 πj 2 t, dengan keadaan j ialah jejari tapak dan t ialah tinggi. Buat satu kesimpulan berdasarkan penaakulan deduktif bagi isi padu sebuah kon dengan jejari tapak 7 cm dan tinggi 12 cm. 3Guna π = 22 7 4 Penyelesaian Isi padu kon = 1 3 × 22 7 × 72 × 12 = 616 cm3 Contoh 19 Jadual berikut menunjukkan dua jujukan nombor yang mempunyai corak pola yang tertentu. n Sebutan ke-n Hasil tambah n sebutan pertama 1 10 = 10 + (1 – 1)(5) 10 = 1 2 [2(10) + (1 – 1)(5)] 2 15 = 10 + (2 – 1)(5) 25 = 2 2 [2(10)+(2 – 1)(5)] 3 20 = 10 + (3 – 1)(5) 45 = 3 2 [2(10)+(3 – 1)(5)] 4 25 = 10 + (4 – 1)(5) 70 = 4 2 [2(10)+(4 – 1)(5)]    n Tn Sn Seutas dawai sepanjang 325 cm dibengkokkan tepat kepada n bahagian mengikut corak yang ditunjukkan dalam rajah berikut dengan keadaan panjang tiga keratan yang pertama masing-masing ialah 10 cm, 15 cm dan 20 cm. Diberi bahawa Tn dan Sn masing-masing mewakili panjang bahagian dawai yang ke-n dan hasil tambah n bahagian dawai pertama. Cari (a) Tn dan Sn dalam sebutan n berdasarkan penaakulan induktif, (b) nilai n, (c) panjang bahagian terakhir dawai itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian (a) Tn = 10 + (n – 1)(5) = 5 + 5n, n = 1, 2, 3, 4, … Sn = n 2 [ 2(10) + (n – 1)(5)] = n 2 (15 + 5n), n = 1, 2, 3, 4, … (b) Sn = 325 n 2 (15 + 5n) = 325 n(15 + 5n) = 325 × 2 n(5n + 15) = 650 5n2 + 15n = 650 n2 + 3n = 130 n2 + 3n – 130 = 0 (n – 10)(n + 13) = 0 n = 10 atau –13 n = –13 tidak diterima. n = –13 tidak diterima kerana n merujuk kepada bilangan keratan dawai. n –10 × × n 13 –10n + 13n n2 –130 3n Bahagi setiap sebutan dengan 5. ∴ n = 10 (c) T10 = 5 + 5(10) = 55 Maka, panjang bahagian terakhir dawai itu ialah 55 cm. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 30 09/11/2022 5:39:29 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 31 (a) Lengkapkan hujah deduktif berikut: Premis 1: Premis 2: θ ≠ 30° Kesimpulan: tan 30° ≠ 1 3 (b) Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi urutan nombor 7, 20, 57, 166, … yang mengikuti pola berikut: 7 = 2(3)1 + 1 20 = 2(3)2 + 2 57 = 2(3)3 + 3 166 = 2(3)4 + 4 Seterusnya, tentukan nombor yang kelapan. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian (a) Hujah bentuk III Jika p, maka q. Premis 1: Premis 2: θ ≠ 30° Bukan q adalah benar. Kesimpulan: tan θ ≠ 1 3 Bukan p adalah benar. ∴ Premis 1: Jika tan θ = 1 3 , maka θ = 30°. Kesilapan Lazim Premis 1: Jika θ = 30°, maka tan θ = 1  3 . Ia mesti “jika p, maka q dan bukannya jika q, maka p”. (b) Sebutan ke-n = 2(3)n + n , n = 1, 2, 3, 4, … Sebutan ke-8 = 2(3)8 + 8 = 13 130 Soalan Objektif 1 Antara ayat berikut, yang manakah merupakan satu pernyataan? A Apakah maksud pengiklanan? B Pergi cuci tangan anda. C Wah, cantiknya bangunan itu! D Faktor sepunya terbesar bagi 18 dan 27 ialah 9. 2 Tentukan pernyataan yang palsu. A Sebilangan ungkapan kuadratik tidak boleh difaktorkan. B Bendera Malaysia juga dikenali sebagai Jalur Gemilang dan orang utan ialah haiwan kebangsaan Malaysia. C Harimau belang ialah haiwan kebangsaan Malaysia atau Rafflesia ialah bunga kebangsaan Malaysia. D Jika x < –5, maka x < –2. 3 Diberi implikasi “jika m < –7, maka m < –5”, tentukan pernyataan yang palsu. A Akas bagi implikasi yang diberi ialah jika “m < –5, maka m < –7”. B Songsangan bagi implikasi yang diberi ialah “jika m  –7, maka m  –5”. C Kontrapositif bagi implikasi yang diberi ialah “jika m  –5, maka m  –7”. D Kontrapositif bagi implikasi yang diberi adalah palsu. 4 Antara ayat berikut, yang manakah merupakan pernyataan? A Pentagon ialah sebuah poligon yang mempunyai sembilan sisi. B 2x2 + 5x + 2 C Amboi, cantiknya baju batik yang anda pakai hari ini! D Tolong pinjamkan cikgu sebuah kalkulator saintifik. 5 Premis 1: Patriotisme ialah satu nilai moral yang penting. Premis 2: Cinta kepada Raja dan Negara ialah nilai patriotisme. Kesimpulan: Kita harus berdiri tegak dan menyanyi bersama apabila lagu Negaraku dimainkan. Praktis SPM 3 Zon KBAT Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 31 09/11/2022 5:39:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 32 Soalan Subjektif 3.1 Pernyataan 1 Tentukan sama ada setiap ayat berikut ialah pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan sebab anda. (a) Ikan paus bukan mamalia. (b) Apakah haiwan kebangsaan Malaysia? (c) Lukis satu plot batang-dan-daun. (d) Malaysia boleh! (e) (x + 2)(x – 2) = 0 ialah satu persamaan kuadratik. (f) 125 3 – 16 (g) Faktor sepunya terbesar bagi 15, 30 dan 45 ialah 45. 2 Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu. (a) 32 × 16 < 33 + 23 (b) (x – 6)2 = x2 – 12x + 36 (c) Jejari sebuah bulatan yang melalui titik sentuhan tangen kepada bulatan itu adalah berserenjang dengan tangen itu. (d) 0.0000075 = 7.5 × 10–5 (e) 50 km2 = 50 000 m2 (f) Semua punca persamaan kuadratik adalah nyata. (g) Semua mamalia hidup di darat. (h) Semua poligon dengan n sisi mempunyai hasil tambah sudut pedalaman yang bersamaan dengan (n – 2) × 180º. (i) Sebilangan nombor perpuluhan ialah nombor nisbah. (j) Sebilangan graf fungsi kuadratik tidak bersilang dengan paksi-x. (k) Sebilangan tetrahedron mempunyai empat muka. Apakah yang diwakili oleh isi kandungan dalam petak di atas? A Hujah deduktif B Hujah induktif C Penaakulan deduktif D Penaakulan induktif 6 Pernyataan majmuk manakah yang palsu? A –6 > –5 atau 3 4 > 2 5 . B 49 ialah nombor kuasa dua sempurna atau 1 ialah nombor perdana. C Kota Kinabalu ialah ibu negeri bagi Sabah atau Kuching ialah ibu negeri bagi Sarawak. D Semua heksagon mempunyai enam sisi yang sama panjang atau sebilangan oktagon sekata mempunyai lapan paksi simetri. 7 Diberi implikasi “jika h > 8, maka h > 5”, pernyataan manakah yang palsu? A Akas bagi implikasi itu ialah “jika h > 5, maka h > 8”. B Songsangan bagi implikasi itu ialah “jika h  8, maka h  5”. C Kontrapositif bagi implikasi itu ialah “jika h < 5, maka h < 8”. D Kontrapositif bagi implikasi itu ialah “jika h  5, maka h  8”. 8 Antara hujah deduktif berikut, yang manakah tidak munasabah? A Premis 1: Semua segi tiga tidak mempunyai pepenjuru. Premis 2: KMN ialah sebuah segi tiga. Kesimpulan: KMN tidak mempunyai pepenjuru. B Premis 1: Jika – 3 4 x > 6, maka x < –8. Premis 2: – 3 4 x > 6 Kesimpulan: x < –8 C Premis 1: Jika x = 45°, maka tan x = 1. Premis 2: tan x ≠ 1 Kesimpulan: x ≠ 45° D Premis 1: Jika p = 30°, maka sudut penggenap bagi p = 60°. Premis 2: p = 30° Kesimpulan: Sudut penggenap bagi p = 60°. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 32 09/11/2022 5:39:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 33 3 Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu. Tulis pernyataan yang mengubah nilai kebenaran setiap pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan “bukan” atau “tidak”. (a) Sungai Rajang terletak di negeri Sabah. (b) Nombor 2 ialah nombor perdana yang terkecil. (c) Hasil tambah sudut-sudut pedalaman sebuah heksagon ialah 720°. (d) Penyu ialah reptilia. (e) kos 60° sama dengan 3 2 . (f) Tun Dr Mahathir Mohamad ialah Perdana Menteri Malaysia yang keempat dan ketujuh. 4 Tentukan sama ada setiap pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu. (a) Sudut-sudut berselang-seli mempunyai nilai yang sama dan sudut dongak ialah sudut di antara garis mengufuk yang melalui mata pencerap dan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah atas garis mengufuk itu. (b) kos 60° = 1 2 dan 1 000 3 = 100. (c) – 9 11 > – 6 11 dan 9 11 > 6 11 . (d) Sebilangan garis lurus y = mx + c (c ≠ 0) menyilang pada kedua-dua paksi dan hasil tambah semua sudut pedalaman sebuah heksagon ialah 360°. (e) Faktor sepunya terbesar bagi 18 dan 27 ialah 9 dan – 5 6 > – 1 2 . (f) Nilai integer k yang terbesar bagi ketaksamaan – 2 3 k > 4 ialah –6 dan gandaan sepunya terkecil bagi 30 dan 36 ialah 180. 5 Tentukan sama ada setiap pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu. (a) Panjang sisi semua poligon sekata adalah sama atau 729 ialah nombor kuasa tiga sempurna. (b) –x–1 = x atau 1 abad = 100 tahun. (c) Heksagon sekata mempunyai enam paksi simetri atau 2 × 10–3 × 7 × 105 = 1.4 × 102 . (d) Garis lurus dengan persamaan y = 5 adalah selari dengan paksi-y atau sin 45° = 2 . (e) 10m4 n6 5m3 n5 = 2mn atau penyelesaian bagi ketaksamaan –3x < 12 ialah x < –4. (f) 2 ialah nombor perdana yang paling kecil atau cicak ialah amfibia. 6 Nyatakan antejadian dan akibat bagi setiap implikasi berikut: (a) Jika sudut B bagi segi tiga ABC ialah sudut tegak, maka segi tiga ABC ialah sebuah segi tiga bersudut tegak. (b) Jika PQRS ialah sebuah sisi empat, maka PQRS mempunyai empat sisi. (c) Jika y ialah nombor ganjil, maka y tidak boleh dibahagi dengan 2. (d) Jika m > n, maka –n > –m. (e) Jika dua set adalah sama, maka keduadua set itu mengandungi unsur-unsur yang sama. (f) Jika set A ialah subset bagi set B, maka semua unsur bagi set A merupakan unsur bagi set B. 7 Bina satu implikasi bagi setiap pasangan antejadian dan akibat berikut: (a) Antejadian: x = 125 Akibat: x3 = 5 (b) Antejadian: PQRSTUV ialah sebuah heptagon sekata. Akibat: PQRSTUV mempunyai tujuh paksi simetri. (c) Antejadian: –2x > 8 Akibat: x < –4 (d) Antejadian: k ialah integer positif. Akibat: 2k + 1 ialah nombor ganjil. 8 Tulis dua implikasi berdasarkan setiap pernyataan berikut: (a) x > y jika dan hanya jika 1 3 x > 1 3 y. (b) x2 = 49 jika dan hanya jika x = ±7. (c) 3(x + 4) = 18 jika dan hanya jika 3x + 12 = 18. (d) PQR ialah sebuah segi tiga sama sisi jika dan hanya jika ∠P = ∠Q = ∠R = 60°. (e) Dua digit terakhir bagi suatu nombor n boleh dibahagi dengan 4 jika dan hanya jika n boleh dibahagi dengan 4. (f) θ ialah sudut pelengkap bagi a jika dan hanya jika θ + a = 90°. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 33 09/11/2022 5:39:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 34 9 Bina satu pernyataan dalam bentuk “jika dan hanya jika” daripada pasangan implikasi berikut: (a) Implikasi 1: Jika a b ialah pecahan tak wajar, maka a > b. Implikasi 2: Jika a > b, maka a b ialah pecahan tak wajar. (b) Implikasi 1: Jika dua garis lurus adalah selari, maka kecerunan dua garis itu adalah sama. Implikasi 2: Jika kecerunan dua garis lurus adalah sama, maka dua garis lurus itu adalah selari. (c) Implikasi 1: Jika sebuah poligon ialah sisi empat, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 360°. Implikasi 2: Jika hasil tambah sudut pedalaman sebuah poligon ialah 360°, maka poligon itu ialah sebuah sisi empat. (d) Implikasi 1: Jika tan x = 1, maka x = 45°. Implikasi 2: Jika x = 45°, maka tan x = 1. 10 Nyatakan akas bagi setiap implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada akas itu adalah benar atau palsu. (a) Jika x > –5, maka x > –8. (b) Jika y = 3x + 2, maka x = y – 2 3 . (c) Jika ABCDEF ialah sebuah heksagon sekata, maka setiap sudut pedalaman bagi ABCDEF ialah 120°. (d) Jika digit terakhir bagi suatu nombor ialah 0, maka nombor itu boleh dibahagi dengan 5. (e) Jika suatu poligon ialah rombus, segi empat sama atau lelayang, maka pepenjuru-pepenjuru poligon itu bersilang pada sudut tegak. (f) Jika p ialah gandaan bagi 6, maka p ialah gandaan bagi 3. 11 Nyatakan songsangan bagi setiap implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada songsangan itu adalah benar atau palsu. (a) Jika h > 7 3 , maka h > 4 3 . (b) Jika k < –15, maka k < –10. (c) Jika p < – 7 9 , maka p < – 4 9 . (d) Jika f(x) ialah suatu fungsi kuadratik, maka grafnya berbentuk parabola. (e) Jika dua garis lurus tidak bersilang, maka dua garis lurus itu adalah selari. (f) Jika suatu nombor adalah negatif, maka kuasa tiga nombor itu adalah negatif. 12 Nyatakan kontrapositif bagi setiap implikasi berikut dan seterusnya, tentukan sama ada kontrapositif itu adalah benar atau palsu. (a) Jika sebuah poligon mempunyai lima sisi yang sama panjang, maka ia adalah pentagon sekata. (b) Jika θ = 45°, maka sin θ = 1 2 . (c) Jika x ialah gandaan 12, maka x ialah gandaan 3. (d) Jika x < – 8 9 , maka x < – 5 9 . (e) Jika suatu nombor ialah nombor ganjil, maka ia tidak boleh dibahagi dengan 2. (f) Jika k ialah faktor bagi 12, maka k ialah faktor bagi 24. 3.2 Hujah 13 Tentukan sama ada setiap hujah berikut ialah hujah deduktif atau hujah induktif. (a) Semua poligon sekata dengan n sisi mempunyai n paksi simetri. Heptagon sekata mempunyai 7 sisi. Maka, heptagon sekata mempunyai 7 paksi simetri. (b) Dalam satu sukan boling, dua puluh lontaran pertama Zahid gagal mencapai jatuhan semua pin. Jurulatih Zahid memberi sedikit tunjuk ajar kepada Zahid. Maka, dalam lontaran yang berikutnya, Zahid pasti berjaya mencapai jatuhan semua pin. (c) Jika sebatang jalan raya sepanjang 30 km dilukis pada peta dengan panjang 50 cm, maka skala yang digunakan pada peta itu ialah 1 : 60 000. Jalan raya PQ sepanjang 30 km dilukis pada peta dengan panjang 50 cm. Maka, skala yang digunakan pada peta itu ialah 1 : 60 000. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 34 09/11/2022 5:39:31 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 35 (d) 45° dan 135° ialah dua sudut bertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran. 60° dan 120° ialah dua sudut bertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran. Maka, hasil tambah dua sudut pedalaman dalam sebuah sisi empat kitaran ialah 180°. 14 Tentukan sama ada setiap hujah deduktif berikut munasabah atau tidak. Berikan sebab anda. (a) Premis 1: Semua nombor nisbah boleh dinyatakan dalam bentuk pecahan a b . Premis 2: 0.8 boleh dinyatakan dalam bentuk pecahan 4 5 . Kesimpulan: 0.8 ialah satu nombor nisbah. (b) Premis 1: Jika p ialah sudut pelengkap bagi q, maka p adalah sama dengan 180° – q. Premis 2: 60° ialah sudut pelengkap bagi q. Kesimpulan: p sama dengan 180° – 60°. (c) Premis 1: Jika seseorang memandu melebihi had laju lebuh raya dan gambarnya ditangkap oleh kamera AES, maka dia akan disaman RM1 000. Premis 2: Encik Lau tidak disaman RM1 000. Kesimpulan: Encik Lau tidak memandu melebihi had laju lebuh raya dan gambarnya tidak ditangkap oleh kamera AES. (d) Premis 1: Jika pepenjuru-pepenjuru sebuah sisi empat bersilang pada sudut tegak, maka ia merupakan sebuah segi empat selari. Premis 2: Pepenjuru-pepenjuru sisi empat PQRS bersilang pada sudut tegak. Kesimpulan: Sisi empat PQRS ialah sebuah segi empat selari. 15 Nyatakan kesimpulan berdasarkan premis yang diberi. (a) Premis 1: Semua trapezium mempunyai dua sisi yang selari. Premis 2: KLMN ialah sebuah trapezium. Kesimpulan: (b) Premis 1: Jika –5x  7, maka x  – 7 5 . Premis 2: –5x  7 Kesimpulan: (c) Premis 1: Semua lelayang hanya mempunyai satu paksi simetri sahaja. Premis 2: PQRS ialah sebuah lelayang. Kesimpulan: _____________________ (d) Premis 1: Jika sin x = kos y = 1 2 , maka x + y = 90º. Premis 2: sin x = kos y = 1 2 Kesimpulan: (e) Premis 1: Jika set P = φ, maka n(P) = 0. Premis 2: n(P) ≠ 0 Kesimpulan: 16 Lengkapkan setiap hujah berikut: (a) Premis 1: Premis 2: PQRS ialah sebuah segi empat selari. Kesimpulan: PQRS ialah sebuah sisi empat. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis (b) Premis 1: Semua pentagon mempunyai lima sisi. Premis 2: Kesimpulan: RSTUV mempunyai lima sisi. (c) Premis 1: Jika a m n = b, maka a = b n m. Premis 2: Kesimpulan: a = b n m (d) Premis 1: Jika tan x = 3 , maka x = 60º. Premis 2: Kesimpulan: tan x ≠ 3 (e) Premis 1: Premis 2: a b bukan pecahan wajar. Kesimpulan: a > b KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 35 09/11/2022 5:39:31 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 36 (f) Premis 1: Premis 2: Buaya ialah reptilia. Kesimpulan: Buaya berdarah sejuk. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis (g) Premis 1: Jika x ialah sudut pelengkap bagi y, maka x + y = 90°. Premis 2: Kesimpulan: x + y = 90° (h) Premis 1: Jika θ + a = 180°, maka θ ialah sudut penggenap bagi a. Premis 2: Kesimpulan: θ + a ≠ 180° (i) Premis 1: Premis 2: h + k = 360° Kesimpulan: k ialah sudut konjugat bagi h. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 17 Tentukan sama ada setiap hujah induktif berikut adalah kuat atau lemah. Berikan sebab anda. (a) Premis 1: Terdapat 20 buah buku di rak atas sebuah rak buku dan 15 buah buku di rak bawah. Premis 2: Tiada buku di tempat lain pada rak buku itu. Kesimpulan: Terdapat 35 buah buku pada rak buku itu. (b) Premis 1: Ahli-ahli keluarga Encik Hashim terdiri daripada isterinya, Puan Sofi, anak lelakinya, Sadini dan anak perempuannya, Noriah. Premis 2: Puan Sofi, Sadini dan Noriah berkaca mata. Kesimpulan: Semua ahli keluarga Encik Hashim berkaca mata. (c) Premis I: Seorang ahli sains mendakwa bahawa klorin dan fluorin dalam bekalan air di Pulau Pinang boleh menjejaskan kesihatan penduduk Pulau Pinang. Premis 2: Tiada penduduk Pulau Pinang yang jatuh sakit kerana meminum air yang dibekalkan itu. Kesimpulan: Dakwaan ahli sains itu tidak boleh diterima. (d) Premis 1: Semua buret yang digunakan oleh murid Tingkatan 6 di sebuah sekolah tertentu untuk membuat eksperimen Sains berada dalam keadaan yang baik. Premis 2: Semua buret yang digunakan oleh murid Tingkatan 4 dan 5 untuk membuat eksperimen Sains berada dalam keadaan yang baik. Kesimpulan: Semua buret yang ada di sekolah itu berada dalam keadaan yang baik. 18 Tulis kesimpulan yang sesuai supaya setiap hujah induktif berikut adalah kuat. (a) Premis 1: Minuman berkarbonat mempunyai kandungan gula yang tinggi yang boleh mengakibatkan penyakit kencing manis jika diminum dengan kerap. Premis 2: Encik Steven yang berusia 55 tahun meminum 6 botol minuman berkarbonat setiap hari. Kesimpulan: (b) Premis 1: Bersenam penting untuk mengekalkan kesihatan yang baik. Premis 2: Encik Jamaludin yang baru bersara pada usia 60 tahun berjalan 5 km setiap hari. Premis 3: Encik Ong bersenam 20 minit tiga kali seminggu. Kesimpulan: (c) Premis 1: 20° dan 70° ialah sudut pelengkap. Premis 2: 40° dan 50° ialah sudut pelengkap. Kesimpulan: Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 36 09/11/2022 5:39:31 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 37 19 Rajah berikut menunjukkan sebuah piramid tegak dengan tapak segi empat sama ABCD yang mengufuk. M ialah titik tengah sisi AB dan V ialah puncak piramid itu. V A M B C 10 cm 13 cm D Diberi BC = 10 cm, VM = 13 cm dan isi padu sebuah piramid ialah 1 3 × luas tapak × tinggi, buat satu kesimpulan berdasarkan penaakulan deduktif bagi isi padu piramid itu. 20 Diberi bahawa luas permukaan melengkung sebuah hemisfera dan sebuah kon masing-masing ialah 2πj 2 dan πjs, dengan keadaan j ialah jejari dan s ialah tinggi sendeng kon. 50 cm 28 cm Buat satu kesimpulan berdasarkan penaakulan deduktif bagi jumlah luas permukaan gabungan pepejal dalam rajah di atas yang terdiri daripada gabungan sebuah hemisfera berdiameter 28 cm dan sebuah kon dengan tinggi sendeng 50 cm. 3Guna p = 22 7 4 21 Jadual berikut menunjukkan dua jujukan nombor yang mempunyai corak pola yang tertentu. n Sebutan ke-n Hasil tambah n sebutan pertama 1 1 = (2)1 – 1 1 = 21 – 1 2 2 = (2)2 – 1 3 = 22 – 1 3 4 = (2)3 – 1 7 = 23 – 1 4 8 = (2)4 – 1 15 = 24 – 1    n Tn Sn Rajah berikut menunjukkan sebuah alat permainan tradisional yang mempunyai lubang-lubang di dalamnya. Suraini memasukkan 1 biji benih merah, 2 biji benih merah, 4 biji benih merah, 8 biji benih merah dan seterusnya ke dalam lubanglubang itu. Suraini mempunyai 511 biji benih merah. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Diberi bahawa Tn mewakili bilangan biji benih merah yang dimasukkan ke dalam lubang ke-n dan Sn mewakili hasil tambah biji benih merah yang dimasukkan dalam n lubang pertama. Cari (a) Tn dan Sn dalam sebutan n berdasarkan penaakulan induktif, (b) nilai n, (c) bilangan biji benih merah yang dimasukkan ke dalam lubang yang ketujuh. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 37 09/11/2022 5:39:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 38 Soalan Objektif 1 D 2 B 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D Soalan Subjektif 1 (a) Pernyataan kerana kita dapat menentukan bahawa ayat itu adalah palsu. (b) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu soalan. (c) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu arahan. (d) Bukan pernyataan kerana ayat itu merupakan suatu seruan. (e) Pernyataan kerana kita dapat menentukan bahawa ayat itu adalah benar. (f) Bukan pernyataan kerana kita tidak dapat menentukan bahawa ayat itu adalah benar atau palsu. (g) Pernyataan kerana kita dapat menentukan bahawa ayat itu adalah palsu. 2 (a) Palsu (b) Benar (c) Benar (d) Palsu (e) Palsu (f) Palsu (g) Palsu (h) Benar (i) Benar (j) Benar (k) Palsu 3 (a) Palsu Sungai Rajang bukan terletak di Sabah. [Benar] (b) Benar Nombor 2 bukan nombor perdana yang terkecil. [Palsu] (c) Benar Hasil tambah sudutsudut pedalaman sebuah heksagon bukan 720º. [Palsu] (d) Benar Penyu bukan reptilia. [Palsu] (e) Palsu kos 60º tidak sama dengan  3 2 . [Benar] (f) Benar Tun Dr Mahathir Mohamad bukan Perdana Menteri Malaysia yang keempat dan ketujuh. [Palsu] 4 (a) Benar (b) Palsu (c) Palsu (d) Palsu (e) Palsu (f) Palsu 5 (a) Benar (b) Benar (c) Benar (d) Palsu (e) Benar (f) Benar 6 (a) Antejadian: Sudut B bagi segi tiga ABC ialah sudut tegak. Akibat: Segi tiga ABC ialah sebuah segi tiga bersudut tegak. (b) Antejadian: PQRS ialah sebuah sisi empat. Akibat: PQRS mempunyai empat sisi. (c) Antejadian: y ialah nombor ganjil. Akibat: y tidak boleh dibahagi dengan 2. (d) Antejadian: m > n Akibat: –n > –m (e) Antejadian: Dua set adalah sama. Akibat: Kedua-dua set itu mengandungi unsurunsur yang sama. (f) Antejadian: Set A ialah subset bagi set B. Akibat: Semua unsur bagi set A merupakan unsur bagi set B. 7 (a) Jika x = 125, maka 3 x = 5. (b) Jika PQRSTUV ialah sebuah heptagon sekata, maka PQRSTUV mempunyai tujuh paksi simetri. (c) Jika –2x > 8, maka x < –4. (d) Jika k ialah integer positif, maka 2k + 1 ialah nombor ganjil. 8 (a) Implikasi 1: Jika x > y, maka 1 3 x > 1 3 y. Implikasi 2: Jika 1 3 x > 1 3 y, maka x > y. (b) Implikasi 1: Jika x2 = 49, maka x = ±7. Implikasi 2: Jika x = ± 7, maka x2 = 49. (c) Implikasi 1: Jika 3(x + 4) = 18, maka 3x + 12 = 18. Implikasi 2: Jika 3x + 12 = 18, maka 3(x + 4) = 18. (d) Implikasi 1: Jika PQR ialah sebuah segi tiga sama sisi, maka ∠P = ∠Q = ∠R = 60°. Implikasi 2: Jika ∠P = ∠Q = ∠R = 60°, maka PQR ialah sebuah segi tiga sama sisi. (e) Implikasi 1: Jika dua digit terakhir bagi suatu nombor n boleh dibahagi dengan 4, maka n boleh dibahagi dengan 4. Implikasi 2: Jika suatu nombor n boleh dibahagi dengan 4, maka dua digit terakhir bagi n boleh dibahagi dengan 4. (f) Implikasi 1: Jika θ ialah sudut pelengkap bagi α, maka θ + α = 90°. Implikasi 2: Jika θ + α = 90°, maka θ ialah sudut pelengkap bagi α. 9 (a) a b ialah pecahan tak wajar jika dan hanya jika a > b. (b) Dua garis lurus adalah selari jika dan hanya jika kecerunan dua garis itu adalah sama. (c) Sebuah poligon ialah sisi empat jika dan hanya jika hasil tambah sudutsudut pedalamannya ialah 360°. Jawapan Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 38 09/11/2022 5:39:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 3 39 (d) tan x = 1 jika dan hanya jika x = 45º. 10 (a) Jika x > –8, maka x > –5. [Palsu] (b) Jika x = y – 2 3 , maka y = 3x + 2. [Benar] (c) Jika setiap sudut pedalaman bagi ABCDEF ialah 120°, maka ABCDEF ialah sebuah heksagon sekata. [Benar] (d) Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan 5, maka digit terakhir bagi nombor itu ialah 0. [Palsu] (e) Jika pepenjuru-pepenjuru sebuah poligon bersilang pada sudut tegak, maka poligon itu ialah rombus, segi empat sama atau lelayang. [Benar] (f) Jika nombor p ialah gandaan bagi 3, maka p ialah gandaan bagi 6. [Palsu] 11 (a) Jika h  7 3 , maka h  4 3 [Palsu] (b) Jika k  –15, maka k  –10. [Palsu] (c) Jika p  – 7 9 , maka p  – 4 9 . [Palsu] (d) Jika f(x) bukan suatu fungsi kuadratik, maka grafnya bukan berbentuk parabola.[Benar] (e) Jika dua garis lurus bersilang, maka dua garis itu tidak selari. [Benar] (f) Jika suatu nombor bukan negatif, maka kuasa tiga nombor itu bukan negatif. [Benar] 12 (a) Jika sebuah poligon bukan pentagon sekata, maka ia tidak mempunyai lima sisi yang sama panjang. [Benar] (b) Jika sin θ ≠ 1  2 , maka θ ≠ 45°. [Benar] (c) Jika x bukan gandaan 3, maka x bukan gandaan 12. [Benar] (d) Jika x  – 5 9 , maka x  – 8 9 . [Benar] (e) Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan 2, maka nombor itu bukan nombor ganjil. [Benar] (f) Jika k bukan faktor bagi 24, maka k bukan faktor bagi 12. [Benar] 13 (a) Hujah deduktif (b) Hujah induktif (c) Hujah deduktif (d) Hujah induktif 14 (a) Munasabah kerana hujah deduktif itu adalah sah dan kedua-dua premis dan kesimpulan adalah benar. (b) Tidak munasabah kerana kedua-dua premis itu adalah tidak benar. Perkataan “pelengkap” sepatutnya “penggenap”. (c) Tidak munasabah kerana premis pertama adalah tidak benar. Saman ‘RM1 000’ sepatutnya ‘RM300’. (d) Tidak munasabah kerana Premis 1 tidak semestinya benar. Hal ini adalah kerana pepenjuru-pepenjuru sebuah segi empat selari tidak semestinya bersilang pada sudut tegak kecuali rombus dan segi empat sama. 15 (a) KLMN mempunyai dua sisi yang selari. (b) x  – 7 5 (c) PQRS hanya mempunyai satu paksi simetri sahaja. (d) x + y = 90° (e) Set P ≠ φ 16 (a) Semua segi empat selari ialah sisi empat. (b) RSTUV ialah sebuah pentagon. (c) a m n = b (d) x ≠ 60° (e) Jika a < b, maka a b ialah pecahan wajar. (f) Semua reptilia berdarah sejuk. (g) x ialah sudut pelengkap bagi y. (h) θ bukan sudut penggenap bagi α. (i) Jika h + k = 360°, maka k ialah sudut konjugat bagi h. 17 (a) Kuat kerana premis dan kesimpulannya adalah logik dan meyakinkan. (b) Lemah kerana hujah induktif itu tidak menyatakan sama ada Encik Hashim berkaca mata atau tidak mengakibatkan kesimpulannya tidak kukuh. (c) Kuat kerana premis dan kesimpulannya adalah logik dan meyakinkan. (d) Lemah kerana berkemungkinan murid menengah rendah tidak berpeluang untuk menggunakan buret yang berkeadaan baik untuk membuat eksprimen Sains. 18 (a) Encik Steven berkemungkinan tinggi untuk menghidap penyakit kencing manis. (b) Encik Jamaludin dan Encik Ong berkemungkinan dapat mengekalkan kesihatan yang baik adalah tinggi. (c) Hasil tambah dua sudut pelengkap ialah 90°. 19 400 cm3 20 3 432 cm2 21 (a) Tn = 2n – 1 , n = 1, 2, 3, 4, … Sn = 2n – 1, n = 1, 2, 3, 4, … (b) n = 9 (c) 64 biji benih merah Analisis SPM Maths Tg4 2023 B3 2nd.indd 39 09/11/2022 5:39:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

40 4.1 Persilangan Set 1 Persilangan antara set P dan Q ditulis sebagai P ∩ Q. P ∩ Q ialah set unsurunsur sepunya bagi kedua-dua set P dan Q. 2 Dalam gambar rajah Venn berikut, rantau berlorek mewakili P ∩ Q.  P Q Rantau berlorek ini terdiri daripada unsur-unsur sepunya bagi set P dan set Q. 3 Persilangan antara set P, Q dan R ditulis sebagai P ∩ Q ∩ R. P ∩ Q ∩ R ialah set unsur-unsur sepunya bagi ketiga-tiga set P, Q dan R. 4 Dalam gambar rajah Venn berikut, rantau berlorek mewakili P ∩ Q ∩ R. P Q R  Rantau berlorek ini terdiri daripada unsur-unsur sepunya bagi set P, set Q dan set R. 5 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x :1  x 10, x ialah integer}, set F = {x : x ialah nombor perdana} dan set G = {x : x ialah nombor ganjil}. Oleh itu, set semesta, ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} set F = {2, 3, 5, 7} set G = {1, 3, 5, 7, 9} Maka, F ∩ G = {x : x ialah nombor perdana dan x ialah nombor ganjil} = {3, 5, 7} Perwakilan secara tatatanda pembina set bagi F ∩ G. TIP BIJAK Perwakilan secara perihalan bagi F ∩ G ialah nombor perdana dan nombor ganjil. 6 Jika P ⊂ Q, maka P ∩ Q = P. Hubungan ini ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: P Q  7 Jika set A dan set B tidak bersilang antara satu sama lain, maka A ∩ B = φ. Hubungan ini ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: A B  40 Operasi Set Bab 4 Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret NOTA EKSPRES Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 40 09/11/2022 5:40:00 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 41 Pelengkap bagi persilangan set 8 Set pelengkap bagi persilangan antara dua set, A dan B, diwakili oleh (A ∩ B)'. (A ∩ B)' ialah suatu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ, yang bukan unsur bagi A ∩ B. 9 (A ∩ B)' diwakili oleh rantau berlorek seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: A B  11 Gambar rajah Venn berikut menunjukkan tiga kumpulan murid di sebuah sekolah mengenai buah-buahan kegemaran mereka. Diberi bahawa set semesta, ξ = {murid di sekolah}, TIP BIJAK Dalam masalah yang melibatkan situasi kehidupan yang sebenar, (A ∩ B)' mewakili “bukan kombinasi kedua-dua set A dan set B”. TIP BIJAK • A ∩ φ = φ • A ∩ ξ = A • A ∩ A' = φ Menyelesaikan masalah melibatkan persilangan set 10 Gambar rajah Venn berikut menunjukkan dua kumpulan murid di sebuah sekolah mengenai novel kegemaran mereka. Diberi bahawa set semesta, ξ = {murid di sekolah}, set R = {murid yang menggemari novel romantik} dan set P = {murid yang menggemari novel penyiasatan}. set B = {murid yang menggemari betik}, set T = {murid yang menggemari tembikai} dan set J = {murid yang menggemari jambu batu}. R P  Murid yang menggemari novel penyiasatan sahaja. Murid yang menggemari novel romantik sahaja. Murid yang menggemari kedua-dua novel romantik dan penyiasatan. Murid yang tidak menggemari manamana novel sama ada novel romantik atau penyiasatan. 41 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 41 09/11/2022 5:40:01 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 42 4.2 Kesatuan Set 12 Kesatuan antara dua set, P dan Q, ditulis sebagai P ∪ Q. P ∪ Q ialah suatu set yang terdiri daripada semua unsur dalam set P atau set Q atau kedua-duanya. 13 Dalam gambar rajah Venn berikut, rantau berlorek mewakili P ∪ Q. P Q  P sahaja P dan Q Q sahaja 14 Kesatuan antara tiga set, P, Q dan R, ditulis sebagai P ∪ Q ∪ R. P ∪ Q ∪ R ialah suatu set yang terdiri daripada semua unsur dalam set P atau set Q atau set R atau ketiga-tiganya. 15 Dalam gambar rajah Venn berikut, rantau berlorek mewakili P ∪ Q ∪ R. P Q R  16 Jika P ⊂ Q, maka P ∪ Q = Q. Hubungan ini ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: Q P  B T J  Murid yang menggemari tembikai dan jambu batu sahaja. Murid yang menggemari tembikai sahaja. Murid yang menggemari ketiga-tiga betik, tembikai dan jambu batu. Murid yang menggemari betik dan jambu batu sahaja. Murid yang menggemari betik sahaja. Murid yang menggemari betik dan tembikai sahaja. Murid yang menggemari jambu batu sahaja. Murid yang tidak menggemari mana-mana buah sama ada betik, tembikai atau jambu batu. 42 Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 42 09/11/2022 5:40:04 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 43 17 Jika set A dan set B tidak bersilang antara satu sama lain, iaitu A ∩ B = φ, maka rantau yang mewakili A ∪ B adalah seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: A B  Pelengkap bagi kesatuan set 18 Set pelengkap bagi kesatuan dua set, A atau B, diwakili oleh (A ∪ B)'. (A ∪ B)' ialah suatu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ, yang bukan unsur bagi A ∪ B. 19 (A ∪ B)' diwakili oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn berikut: A B  TIP BIJAK Dalam masalah yang melibatkan situasi kehidupan yang sebenar, (A ∪ B)' mewakili “bukan set A atau set B”. TIP BIJAK • A ∪ φ = A • A ∪ ξ = ξ • A ∪ A' = ξ Menyelesaikan masalah melibatkan kesatuan set 20 Masalah dalam situasi kehidupan sebenar boleh diselesaikan dengan menggunakan gambar rajah Venn yang melibatkan kesatuan set. 4.3 Gabungan Operasi Set 21 Gabungan operasi set melibatkan keduadua gabungan ∩ dan ∪. 22 Apabila melakukan gabungan operasi set, lakukan dari kiri ke kanan. 23 Sekiranya gabungan operasi set itu melibatkan tanda kurung, lakukan operasi dalam tanda kurung terlebih dahulu. Pelengkap bagi gabungan operasi set 24 Gabungan operasi ke atas set melibatkan penggunaan simbol persilangan ‘∩’, kesatuan ‘∪’, pelengkap set “(A')” dan tanda kurung ‘( )’. 25 Gambar rajah Venn berikut menunjukkan set (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C), dengan keadaan ξ = A ∪ B ∪ C. A B C Maka, pelengkap bagi set (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C) ditulis sebagai [(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C)]' dan gambar rajah Venn berikut menunjukkan pelengkap bagi gabungan operasi set tersebut. A B C Menyelesaikan masalah melibatkan gabungan operasi set 26 Gabungan operasi ke atas set boleh diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah dalam situasi kehidupan harian yang sebenar. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 43 09/11/2022 5:40:06 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 44 4.1 Persilangan Set Contoh 1 Diberi bahawa set semesta, ξ ={x : 1  x  8, x ialah integer}, set P = {x : x ialah faktor bagi 8} dan set Q = {x : x ialah nombor genap}. Senaraikan unsur bagi P ∩ Q. Penyelesaian ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P = {1, 2, 4, 8} Q = {2, 4, 6, 8} P ∩ Q = {2, 4, 8} Unsur sepunya bagi set P dan set Q. Contoh 2 Diberi bahawa set semesta, ξ = {a, b, c, e, f, o, q, r, u, x, y, z}, set P = {a, e, o, u, q, r}, set Q = {a, b, c, e, o, f} dan set R = {a, c, e, u, x, y}. (a) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili unsur-unsur bagi set semesta ξ, set P, set Q dan set R. (b) Lorekkan rantau yang mewakili P ∩ Q ∩ R. Penyelesaian (a) P Q R z r q o u e a b f c x y  (b) P ∩ Q = {a, e, o} ∴ P ∩ Q ∩ R = {a, e} P Q R z r q o u e a b f c x y  Contoh 3 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 2  x  8, x ialah integer}, set A = {x : x ialah gandaan bagi 2} dan set B = {x : x ialah gandaan bagi 4}. (a) Senaraikan unsur bagi A ∩ B. (b) (i) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili unsur-unsur bagi set semesta ξ, set A dan set B. (ii) Lorekkan rantau yang mewakili A ∩ B. Penyelesaian (a) ξ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {2, 4, 6, 8} B = {4, 8} A ∩ B = {4, 8} (b) (i) 3 5 7 2 6 4 8 B A  (ii) 3 5 7 2 6 4 8 B  A Contoh 4 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 11  x  18, x ialah integer}, set A = {x : x ialah nombor ganjil} dan set B = {x : x ialah nombor genap}. (a) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili unsur-unsur bagi set semesta ξ, set A dan set B. (b) Nyatakan set yang diwakili oleh A ∩ B. Penyelesaian (a) A = {11, 13, 15, 17} B = {12, 14, 16, 18} A B 11 15 13 17 12 16 14 18  (b) A ∩ B = φ Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 44 09/11/2022 5:40:09 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 45 Contoh 5 Gambar rajah Venn berikut menunjukkan setset A, B dan C. Pada gambar rajah Venn itu, lorekkan set A ∩ B ∩ C. A B C Penyelesaian Langkah 1: Lorekkan rantau yang mewakili A ∩ B dengan menggunakan corak . A B C Langkah 2: Lorekkan rantau yang mewakili set C dengan menggunakan corak . A B C Kaedah Alternatif Kaedah penyenaraian rantau Labelkan setiap rantau dengan angka Roman. A B C I II III IV V Senaraikan rantau bagi setiap set. Set A = {II, III, IV, V} Set B = {I, II, III} Set C = (III, IV) A ∩ B ∩ C = {III} Lorekkan rantau III seperti berikut: A B C I II III IV V Langkah 3: Lorekkan rantau persilangan antara dua corak lorekan yang berlainan pada Langkah 1 dan Langkah 2. A B C Contoh 6 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 1  x  12, x ialah integer}, set A = {3, 5, 6, 7, 9} dan set B = {x : x ialah gandaan bagi 3}. (a) Senaraikan unsur bagi (i) A ∩ B, (ii) (A ∩ B)'. (b) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili set semesta ξ, set A dan set B. Seterusnya, lorekkan set (A ∩ B)'. Penyelesaian (a) ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {3, 5, 6, 7, 9} B = {3, 6, 9, 12} (i) A ∩ B = {3, 6, 9} (ii) (A ∩ B)' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12} (b) A B 3 6 9 12 1 2 4 5 7 11 10 8  Contoh 7 KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis Gambar rajah Venn menunjukkan persatuan yang disertai tiga kumpulan murid di sebuah sekolah. Diberi bahawa set semesta, ξ = M ∪ E ∪ C, set M = {murid yang merupakan ahli Persatuan Matematik}, set E = {murid yang merupakan ahli Persatuan Bahasa Inggerís} dan set C = {murid yang merupakan ahli Persatuan Bahasa Melayu}. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 45 09/11/2022 5:40:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 46 50 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik, 55 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Inggerís, 62 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Melayu, 26 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís, 29 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Melayu, 31 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Inggerís dan Persatuan Bahasa Melayu dan 15 orang murid ialah ahli ketiga-tiga persatuan. M E C Hitung bilangan murid yang merupakan (a) ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís tetapi bukan ahli Persatuan Bahasa Melayu, (b) ahli dua persatuan sahaja, (c) ahli satu persatuan sahaja. Penyelesaian Label setiap rantau dalam gambar rajah Venn masing-masing dengan I, II, III, IV, V, VI dan VII seperti yang ditunjukkan di bawah. M E C V II I VI III IV VII • 15 orang murid ialah ahli ketiga-tiga persatuan. Maka, n(rantau I) = 15. • 26 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís. Maka, n(rantau II) = 26 – 15 = 11. • 29 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Melayu. Maka, n(rantau III) = 29 – 15 = 14. • 31 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Inggerís dan Persatuan Bahasa Melayu. Maka, n(rantau IV) = 31 – 15 = 16. • 50 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik. Maka, n(rantau V) = 50 – n(rantau I, II dan III) = 50 – (15 + 11 + 14) = 10 • 55 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Inggerís. Maka, n(rantau VI) = 55 – n(rantau I, II dan IV) = 55 – (15 + 11 + 16) = 13 • 62 orang murid ialah ahli Persatuan Bahasa Melayu. Maka, n(rantau VII) = 62 – n(rantau I, III dan IV) = 62 – (15 + 14 + 16) = 17 Maka, gambar rajah Venn yang lengkap dengan bilangan ahli dalam setiap rantau adalah seperti berikut: M E C 10 11 15 13 14 16 17 Kesilapan Lazim Anda harus memberi perhatian kepada maklumat bilangan unsur yang diberi sama ada mengandungi perkataan ‘sahaja’ atau tidak. Misalnya, maklumat ‘26 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís’ melibatkan keduadua rantau I dan rantau II’ tetapi jika maklumatnya ialah ‘26 orang murid ialah ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís sahaja’, maka ia melibatkan rantau II sahaja. Kesilapan Lazim Dalam suatu gambar rajah Venn ‘•5’ (dengan titik di sebelah kiri) mewakili unsur dalam suatu set manakala ‘5’ (tanpa titik di sebelah kiri) mewakili bilangan unsur dalam suatu set. (a) TIP BIJAK Murid yang merupakan ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís tetapi bukan ahli Persatuan Bahasa Melayu diberi oleh set (M ∩ E) ∩ C'. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 46 09/11/2022 5:40:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 BAB 4 47 Langkah 1: Lorekkan rantau M ∩ E dengan menggunakan corak . M E C Langkah 2: Lorekkan rantau C' dengan menggunakan corak . M E C Langkah 3: Lorekkan rantau persilangan antara dua corak lorekan yang berlainan pada Langkah 1 dan Langkah 2. M 10 11 13 14 15 17 16 E C Maka, bilangan ahli Persatuan Matematik dan Persatuan Bahasa Inggerís tetapi bukan ahli Persatuan Bahasa Melayu ialah 11 orang. (b) Bilangan murid yang merupakan ahli dua persatuan sahaja = n(rantau II) + n(rantau III) + n(rantau IV) = 11 + 14 + 16 = 41 orang (c) Bilangan murid yang merupakan ahli satu persatuan sahaja = n(rantau V) + n(rantau VI) + n(rantau VII) = 10 + 13 + 17 = 40 orang 4.2 Kesatuan Set Contoh 8 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 1  x  12, x ialah integer}, set P = {x : x ialah faktor bagi 12} dan set Q = {x : x ialah nombor perdana}. Senaraikan unsur bagi P ∪ Q. Penyelesaian ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} P = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Q = {2, 3, 5, 7, 11} P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12} Contoh 9 Diberi bahawa set semesta, ξ = {3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15}, set P = {3, 4, 5, 8, 10}, set Q = {3, 5, 9, 12} dan set R = {11, 13}. (a) Senaraikan unsur bagi (i) P ∩ Q, (ii) P ∪ Q ∪ R. (b) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili unsur-unsur dalam set semesta ξ, set P, set Q dan set R. (c) Lorekkan rantau yang mewakili P ∪ Q ∪ R. Penyelesaian (a) (i) P ∪ Q = {3, 5} (ii) P ∪ Q ∪ R = {3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13} (b) 4 8 10 3 5 9 12 P Q R 15 11 13  (c) 4 8 10 3 5 9 12 P Q R 15 11 13  Contoh 10 Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 2  x  10, x ialah integer}, set A = {x : x ialah integer antara 2 dan 11} dan set B = {x : x ialah nombor kuasa dua sempurna}. Analisis SPM Maths Tg4 2023 B4 3rd.indd 47 09/11/2022 5:40:21 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.