ENERBIT ILMU BAKTI SDN. BH
Bab 7 Geometri Koordinat 49 – 56 Coordinate Geometry Bab 8 Vektor 57 – 65 Vectors Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 66 – 70 Solution of Triangles Bab 10 Nombor Indeks 71 – 77 Index Number Peperiksaan Akhir Sesi Akademik 78 – 92 Jawapan J1 – J18 Bab 1 Fungsi 1 – 10 Functions Bab 2 Fungsi Kuadratik 11 – 20 Quadratic Functions Bab 3 Sistem Persamaan 21 – 25 Systems of Equations Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 26 – 32 Indices, Surds and Logarithms Bab 5 Janjang 33 – 39 Progressions Bab 6 Hukum Linear 40 – 48 Linear Law Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) No. 18, Jalan PJS 5/26, Taman Desaria, 46150 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: 03-7783 3233, 7783 5233 Faks: 03-7783 7233 E-mel: [email protected] Laman web: www.penerbitilmubakti.com © Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2025 Pertama kali diterbitkan 2025 ISBN 978-629-473-735-8 Cetakan: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Semua hak cipta terpelihara. Sebarang bahagian dalam buku ini tidak boleh diterbitkan semula, dalam cara yang boleh digunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik secara elektronik, mekanik, gambar, rakaman dan sebagainya, tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M). Penyunting: Wan Rahmatul Aishah Wan Mohd Zin Pereka kulit buku: Mohd Tajul Askat Pereka letak: Helen Wong Teks diset dalam Utopia 10/12 poin Dicetak di Malaysia oleh Commercial Book Binders Sdn. Bhd. Kandungan • Jawapan Peperiksaan Akhir Sesi Akademik Imbas dan Muat Turun PT SPM Add Math Tkt 4-Kandungan.indd 1 10/02/2025 3:23 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
1 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 1.1 Fungsi/ Functions 1 Rajah 1 menunjukkan graf (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5. Diagram 1 shows the graph (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5. (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 y x O Rajah 1/ Diagram 1 Tentukan sama ada graf itu ialah fungsi atau bukan. Beri alasan anda. TP 2 BT ms.4 Aras R Determine whether the graph is a function or not. Give your reason. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 Diberi bahawa f(x) = 3x – 2. Cari nilai p jika f(p) = 10. TP 3 BT ms.9–10 Aras R Given that f(x) = 3x – 2. Find the value of p if f(p) = 10. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 1 Fungsi Functions PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 1 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
2 3 Diberi fungsi f(x) = |x + 2|, cari TP 3 BT ms.9–10 Aras R Given that the function f(x) = |x + 2|, find (a) nilai-nilai x apabila f(x) = 1, the values of x when f(x) = 1, [2 markah/marks] (b) julat nilai x dengan keadaan f(x) 2. the range of values of x such that f(x) 2. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.2 Fungsi Gubahan/ Composite Functions 4 Dua fungsi, f dan g ditakrifkan oleh f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x2 – 9. Cari gf(x). TP 3 BT ms.13–14 Aras R Two functions, f and g are defined by f(x) = x + 4 and g(x) = 2x2 – 9. Find gf(x). [2 markah/marks] Jawapan/Answer: 5 Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 3x – 5, cari TP 3 BT ms.16–17 Aras S The function f is defined by f(x) = 3x – 5, find (a) f 2 (x) [1 markah/mark] (b) f 4 (x), [2 markah/marks] (c) nilai p dengan keadaan f 4 ( p 3) = 16. the value of p such that f 4 ( p 3) = 16. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 2 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
3 6 Diberi bahawa fungsi f(x) = 3 – x dan g(x) = px2 + q. Jika fungsi gubahan gf(x) = 3x2 – 18x + 15, cari It is given that the functions f(x) = 3 – x and g(x) = px2 + q. If the composite function gf(x) = 3x2 – 18x + 15, find TP 3 BT ms.16–18 Aras S (a) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, [3 markah/marks] (b) nilai bagi g2 (0). the value of g2 (0). [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.3 Fungsi Songsang/ Inverse Functions 7 Diberi fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 3x – 5, cari f –1(4). TP 3 BT ms.27–28 Aras R The function f is defined by f(x) = 3x – 5, find f –1(4). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 3 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
4 8 Diberi bahawa f(x) = 2x – 14 dan f –1(x) = px + q. Cari nilai p dan nilai q. TP 3 BT ms.27–28 Aras S It is given that f(x) = 2x – 14 and f–1(x) = px + q. Find the value of p and of q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 9 Fungsi f dan g ditakrifkan oleh f : x → 6 3x – 4 , x ≠ p dan g : x → 6x – 3. TP 3 BT ms.27–28 Aras T The functions f and g are defined by f : x → 6 3x + 4 , x ≠ p and g : x → 6x – 3. (a) Cari fungsi f –1g(x). Find the function f–1g(x). [3 markah/marks] (b) Cari nilai k dengan keadaan f –1g(k) = 1. Find the value of k such that f–1g(k) = 1. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 4 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
5 Bahagian B / Section B 1.1 Fungsi/ Functions 10 Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = |2x – 5|. Cari TP 3 BT ms.9–10 Aras S The function f is defined by f(x) = |2x – 5|. Find (a) imej bagi –2 di bawah f, the image of –2 under f, [2 markah/marks] (b) nilai-nilai x dengan keadaan f(x) = 3, the values of x such that f(x) = 3, [2 markah/marks] (c) nilai-nilai x yang memetakan kepada diri sendiri, the values of x which maps to itself, [2 markah/marks] (d) domain bagi f(x) > 4. the domain of f(x) > 4. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) (d) 1.2 Fungsi Gubahan/ Composite Functions 11 Diberi bahawa g(x) = 6 3x – 2 , x ≠ 2 3 dan gh(x) = 6 3x2 + 4. TP 3 Aras S It is given that g(x) = 6 3x – 2 , x ≠ 2 3 and gh(x) = 6 3x2 + 4. (a) Tentukan fungsi h. BT ms.13–14 Determine the function of h. [2 markah/marks] (b) Cari nilai hg(2). BT ms.15 Find the value of hg(2). [3 markah/marks] (c) Ungkapkan p dalam sebutan q jika g(p + 2) = 1 2 gh(q). BT ms.16–17 Express p in terms of q if g(p + 2) = 1 2 gh(q). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 5 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
6 1.3 Fungsi Songsang/ Inverse Functions 12 Dua fungsi, f dan g ditakrifkan oleh f : x → 4x – 6 dan g –1 : x → 3x – 18 2 , cari TP 3 BT ms.27–28 Aras S Two functions, f and g are defined by f : x → 4x – 6 and g –1 : x → 3x – 18 2 , find (a) g(x), [2 markah/marks] (b) f –1(4), [3 markah/marks] (c) f –1g(x). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 13 Diberi f(x) = 6x + q dan f –1(x) = px – 12, cari TP 3 BT ms.27–28 Aras S Given that f(x) = 6x + q and f –1(x) = px – 12, find (a) nilai pemalar p dan q, the value of the constants p and q, [3 markah/marks] (b) f –1(12), [1 markah/mark] (c) nilai x dengan keadaan f(x) = f –1(x). the value of x such that f(x) = f –1(x). [2 markah/marks] (d) nilai x jika f –1(x) = 1 6 . the value of x if f –1(x) = 1 6 . [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) (d) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 6 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
7 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Dalam Rajah 1, fungsi f memetakan set A kepada set B dan fungsi g memetakan set B kepada set C. In Diagram 1, the function f maps set A to set B and the function g maps set B to set C. x A B C f g 4x + 3 24x + 8 Rajah 1/ Diagram 1 Cari/ Find TP 3 Aras S (a) (i) dalam sebutan x, fungsi yang memetakan set B kepada set A, BT ms.27–28 in terms of x, the function which maps set B to set A, (ii) g(x) BT ms.16 [5 markah/marks] (b) nilai x dengan keadaan gf(x) = 21x – 7. BT ms.15 the value of x such that gf(x) = 21x – 7. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 7 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
8 2 Suatu fungsi ditakrifkan oleh f: x → w – x 5 + 3x bagi semua nilai x kecuali x = u dan w ialah pemalar. A function is defined by f: x → w – x 5 + 3x for all the values of x except x = u and w is a constant. TP 3 Aras S (a) Tentukan nilai u. BT ms.9–10 Determine the value of u. [1 markah/mark] (b) Diberi –3 memetakan kepada diri sendiri di bawah fungsi f, cari Given that –3 is mapped onto itself under the function f, find (i) nilai w, BT ms.9–10 the value of w, [2 markah/marks] (ii) nilai x yang satu lagi yang memetakan kepada diri sendiri di bawah fungsi f, BT ms.9–10 the another value of x that mapped onto itself under the function f, [3 markah/marks] (iii) nilai bagi f²( 1 3). BT ms.15 the value of f²( 1 3). [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) (iii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 8 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
9 Bahagian B / Section B 3 (a) Suatu fungsi f(x) ditakrifkan oleh f(x) = x – m x – 6 , x ≠ 6. f(x) memetakan kepada diri sendiri apabila x = 2. Cari nilai m. TP 3 BT ms.9–10 Aras S A function f(x) is defined by f(x) = x – m x – 6 , x ≠ 6. f(x) is mapped onto itself when x = 2. Find the value of m. [2 markah/marks] (b) Diberi bahawa u(x) = px x – 2q + 1, x ≠ 2q – 1 dan v(x) = 5x x – 6 , x ≠ 6. TP 3 BT ms.13–15 Aras S It is given that u(x) = px x – 2q + 1, x ≠ 2q – 1 and v(x) = 5x x – 6 , x ≠ 6. (i) Jika u(2) = –4 dan u(3) = –9, tentukan nilai p dan q. If u(2) = –4 and u(3) = –9, determine the values of p and q. [3 markah/marks] (ii) Cari uv(x) dan vu(x). Seterusnya, tulis satu kesimpulan. Find uv(x) and vu(x). Hence, write down a conclusion. [2 markah/marks] (c) Diberi g(x) = 2x – 5 dan fg(x) = 6x – 17, cari f(x). TP 3 BT ms.15–16 Aras S Given that g(x) = 2x – 5 and fg(x) = 6x – 17, find f(x). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) (c) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 9 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
10 Zon KBAT 1 Dua fungsi ditakrifkan oleh g(x) = 4x – 3 dan h(x) = 2x – 4. TP 3 Aras T Two functions are defi ned by g(x) = 4x – 3 and h(x) = 2x – 4. (a) Cari g–1(x) dan h–1(x). BT ms.27–28 Find g–1(x) and h–1(x). (b) Apakah hubungan antara (gh)–1(x) dengan h–1g–1(x)? Justifi kasikan jawapan anda. What is the relation between (gh)–1(x) and h–1g–1(x)? Justify your answer. BT ms.27–28 KBAT Menganalisis (c) Lakar graf y = g(x) untuk domain 0 x 4. Pada satah yang sama, lakar graf y = g–1(x). Seterusnya, nyatakan hubungan antara kedua-dua graf tersebut. BT ms.26 KBAT Menganalisis Sketch the graphs of y = g(x) for the domain 0 x 4. On the same plane, sketch the graph of y = g–1(x). Hence, state the relations between the two graphs. Jawapan/Answer: (a) (b) (c) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 10 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
11 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik Quadratic Equations and Inequalities 2.1 1 Diberi 6x² – 4y – 30 = 0, cari julat nilai x jika y < 6. TP 3 BT ms.43 Aras R Given that 6x² – 4y – 30 = 0, fi nd the range of values of x if y < 6. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 Diberi bahawa 3α dan 3β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x² + ux – 12 = 0. It is given that 3α and 3β are the roots of the quadratic equation 2x² + ux – 12 = 0. TP 3 BT ms.39–40 Aras S (a) Cari nilai u jika α + β = – 5 6 . Find the value of u if α + β = – 5 6 . [2 markah/marks] (b) Bentukkan satu persamaan kuadratik dengan punca-punca α dan β. Form a quadratic equation with the roots α and β. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 2 Fungsi Kuadratik Quadratic Functions PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 11 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
12 3 Diberi bahawa α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x² – 8x = 4x + 5. Bentukkan satu persamaan kuadratik dengan punca-punca berikut. TP 3 BT ms.39–40 Aras S It is given that α and β are the roots of the quadratic equation 3x² – 8x = 4x + 5. Form a quadratic equation with the following roots. (a) 1 α – 1 dan/and 1 β – 1 [3 markah/marks] (b) β α dan/and α β [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik Types of Roots of Quadratic Equations 2.2 4 (a) Diberi persamaan kuadratik hx2 + 6x + k = 4 mempunyai dua punca nyata yang sama, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Ungkapkan h dalam sebutan k. TP 3 BT ms.46–47 Aras R It is given that the quadratic equation hx2 + 6x + k = 4 has two real and equal roots, such that h and k are constants. Express h in terms of k. [2 markah/marks] (b) Persamaan kuadratik x2 + x = 3kx – k2 mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Cari julat nilai k. The quadratic equation x2 + x = 3kx – k2 has two real and different roots. Find the range of values of k. BT ms.46–47 Aras R [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 12 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
13 5 (a) Diberi persamaan kuadratik 3x2 – 6px + p = 0, dengan keadaan p ialah pemalar hanya memuaskan satu nilai x. Cari nilai p. TP 3 BT ms.46–47 Aras S Given the quadratic equation 3x2 – 6px + p = 0, where p is a constant satisfies only one value of x. Find the value of p. [2 markah/marks] (b) Persamaan kuadratik x2 – kx + 4 = 3x mempunyai dua punca nyata yang sama. Cari nilai-nilai k yang mungkin. TP 3 BT ms.46–47 Aras S The quadratic equation x2 – kx + 4 = 3x has two equal real roots. Find the possible values of k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2.3 Fungsi Kuadratik/ Quadratic Functions 6 Diberi fungsi kuadratik f(x) = 3(x + 2)(x – 5). TP 3 BT ms.55–56 Aras S Given that a quadratic function f(x) = 3(x + 2)(x – 5). (a) Ungkapkan fungsi kuadratik itu dalam bentuk verteks, f(x) = 3(x + h)² + k, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Seterusnya, nyatakan nilai h dan nilai k. Express the quadratic function in the vertex form, f(x) = 3(x + h)² + k, where h and k are constants. Hence, state the value of h and of k. [3 markah/marks] (b) Tentukan/Determine (i) koordinat titik pusingan,/the coordinates of the turning point, (ii) paksi simetri./the axis of symmetry. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 13 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
14 Bahagian B / Section B 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik/ Types of Roots of Quadratic Equations 2.3 Fungsi Kuadratik/ Quadratic Functions 7 (a) Diberi persamaan kuadratik 5x² – 2x + p = px – 2, dengan keadaan p ialah pemalar mempunyai dua punca nyata yang sama. Cari nilai-nilai p. TP 3 BT ms.46–47 Aras R Given that quadratic equation 5x² – 2x + p = px – 2, where p is a constant has two equal real roots. Find the values of p. [3 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = a(x + b)² + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar. TP 3 BT ms.57–59 Aras R Diagram 1 shows the graph of quadratic function f(x) = a(x + b)² + c, where a, b and c are constants. f(x) –1.5 — x –5 — 0 3 f(x) = a(x + b)2 + c Rajah 1/ Diagram 1 (i) Tentukan nilai-nilai a, b dan c./Determine the values of a, b and c. [3 markah/marks] (ii) g(x) ialah fungsi bagi graf f(x) yang dipantulkan pada paksi-x. Tulis fungsi g(x). Kemudian, nyatakan titik pusingan bagi g(x). g(x) is the function of the graph of f(x) that is reflected in the x-axis. Write the function g(x). Hence, state the turning point of g(x). [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 14 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
15 2.3 Fungsi Kuadratik/ Quadratic Functions 8 Pergerakan suatu objek boleh diwakili oleh graf fungsi kuadratik f(x) = ax² + nx seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2. The movement of an object can be represented by the quadratic function graph f(x) = ax² + nx as shown in Diagram 2. TP 4 BT ms.61–62 Aras S (a) Cari nilai a dan nilai n. Find the value of a and of n. [3 markah/marks] (b) Ungkapkan fungsi kuadratik itu dalam bentuk verteks. Seterusnya, tentukan tinggi maksimum yang dicapai oleh objek itu. Express the quadratic function in the vertex form. Hence, determine the maximum height achieved by the object. [3 markah/marks] (c) Tunjukkan satu kaedah alternatif untuk mencari tinggi maksimum bagi pergerakan objek itu. Show an alternative method to find the maximum height of the movement of the object. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 9 Graf bagi fungsi kuadratik f(x) = (x – p)² + q melalui titik (0, –12) dan (5, –7). TP 3 Aras S The graph of quadratic function f(x) = (x – p)² + q passes through the points (0, –12) and (5, –7). (a) Tentukan nilai p dan nilai q. BT ms.56 Determine the value of p and of q. [3 markah/marks] (b) Lakar graf fungsi f(x) itu. BT ms.60 Sketch the graph of function f(x). [3 markah/marks] (c) Jika h(x) ialah fungsi bagi graf f(x) yang dipantulkan pada paksi-y, nyatakan fungsi h(x). Seterusnya, tentukan koordinat titik pusingan bagi h(x). BT ms.57–59 If h(x) is the function of the graph of f(x) that is reflected in the y-axis, state the function h(x). Hence, determine the coordinates of the turning point of h(x). [2 markah/marks] f(x) • x (2, 21) 16 O • f(x) = ax2 + nx Rajah 2/ Diagram 2 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 15 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
16 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Diberi fungsi kuadratik f(x) = –5x² – 5x + 3. TP 3 Aras S Given a quadratic function f(x) = –5x² – 5x + 3. (a) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, ungkapkan f(x) dalam bentuk f(x) = –5(x + m)² + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Seterusnya, nyatakan nilai m dan nilai n. BT ms.37 By using the completing the square method, express f(x) in the form of f(x) = –5(x + m)² + n, where m and n are constants. Hence, state the value of m and of n. [2 markah/marks] (b) Lakar graf bagi fungsi kuadratik itu. BT ms.60 Sketch the graph of the quadratic function. [2 markah/marks] (c) Jika y = px + 8 ialah tangen kepada lengkung f(x) = –5x² – 5x + 3, cari nilai-nilai bagi p. Seterusnya, tentukan titik persilangan antara tangen dengan lengkung itu jika p > 0. BT ms.46–47 If y = px + 8 is the tangent to the curve f(x) = –5x² – 5x + 3, fi nd the values of p. Hence, determine the point of intersection between the tangent and the curve if p > 0. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 16 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
17 2 Fungsi kuadratik f(x) = 4(x + 5)(2 – x) boleh diungkapkan dalam bentuk f(x) = a(x + p)² + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. TP 3 BT ms.61–62 Aras S The quadratic function f(x) = 4(x + 5)(2 – x) can be expressed in the form f(x) = a(x + p)² + q, where a, p and q are constants. (a) Tentukan nilai a, p dan q. Seterusnya, nyatakan nilai minimum atau maksimum bagi f(x). Determine the values of a, p and q. Hence, state the minimum or maximum value of f(x). [4 markah/marks] (b) Diberi g(x) = 4x + 20, cari julat nilai x jika f(x) g(x). Given that g(x) = 4x + 20, find the range of values of x if f(x) g(x). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3 (a) Rajah 1 menunjukkan dua graf fungsi kuadratik, g(x) = –3(x – 2)2 – 1 dan h(x) = k(x – 2)2 – 1, dengan keadaan k ialah pemalar yang bersilang di titik (2, –1). Diagram 1 shows two graphs of quadratic functions, g(x) = –3(x – 2)2 – 1 and h(x) = k(x – 2)2 – 1, where k is a constant that intersect at point (2, –1). TP 3 BT ms.57–59 Aras S (i) Nyatakan julat nilai k./State the range of values of k. [1 markah/mark] (ii) Tulis fungsi kuadratik yang baharu, w(x) jika graf fungsi kuadratik g(x) bergerak 6 unit ke kiri. Write the new quadratic function, w(x) if the graph of quadratic function g(x) moves 6 units to the left. [1 markah/mark] (b) Diberi garis lurus y = x + k tidak menyilang bulatan x² + y² – 2x – 2y = 0, cari julat nilai k. Given that the straight line y = x + k does not intersect the circle x² + y² – 2x – 2y = 0, find the range of values of k. TP 3 BT ms.46–47 Aras S [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) x y O (2, –1) h(x) = k(x – 2)2 – 1 g(x) = –3(x – 2)2 – 1 Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 17 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
18 Bahagian B / Section B 4 Diberi bahawa fungsi kuadratik f(x) = hx – 3x² – (h – 11), dengan keadaan h ialah pemalar dan h > 1 mempunyai nilai maksimum 8. TP 3 Aras S It is given that the quadratic function f(x) = hx – 3x² – (h – 11), where h is a constant and h > 1 has a maximum value of 8. (a) Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) dalam bentuk verteks dalam sebutan x dan h. BT ms.56 Express the quadratic function f(x) in the vertex form in terms of x and h. [3 markah/marks] (b) Cari nilai h. Seterusnya, tentukan sama ada graf fungsi f(x) menyilang paksi-x. BT ms.46–47 Find the value of h. Hence, determine whether the graph of function f(x) intersects the x-axis. [4 markah/marks] (c) Jika graf fungsi f(x) menyilang graf fungsi h(x) = 2x² – 2x + k + 5 pada dua titik yang berlainan, cari julat nilai k. BT ms.46–47 If the graph of function f(x) intersects the graph of function h(x) = 2x² – 2x + k + 5 at two different points, find the range of values of k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 5 (a) Diberi bahawa α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x² – 4hx + 6 = h. TP 3 Aras S It is given that α and β are the roots of the quadratic equation 2x² – 4hx + 6 = h. (i) Jika α ≠ β, cari julat nilai h. BT ms.46–47 If α ≠ β, find the range of values of h. (ii) Jika h = 1, bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca 2α + 3 dan 2β + 3. BT ms.39–40 If h = 1, form a quadratic equation with the roots 2α + 3 and 2β + 3. [6 markah/marks] (b) Menggunakan paksi-paksi yang sama, lakar graf bagi fungsi f(x) = (x – 3)² – 16 dan pantulan bagi graf f(x) pada paksi-x. Jika g(x) ialah pantulan bagi f(x), nyatakan fungsi g(x). TP 3 BT ms.60–61 Aras S By using the same axes, sketch the graph of function f(x) = (x – 3)² – 16 and the reflection of the graph of f(x) in the x-axis. If g(x) is the reflection of f(x), state the function of g(x). [4 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 18 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
19 Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 6 Lengkung bagi fungsi kuadratik f(x) = 3x2 – 12x – 36 menyilang paksi-x pada dua titik yang berlainan. Diberi bahawa f(x) boleh ditulis sebagai f(x) = a(x + h)2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. The curve of a quadratic function f(x) = 3x2 – 12x – 36 intersects the x-axis at two different points. It is given that f(x) can be written as f(x) = a(x + h)2 + k, where a, h and k are constants. TP 3 Aras T (a) Cari/Find BT ms.54–56 (i) koordinat titik-titik persilangan, / the coordinates of the intersection points, (ii) nilai-nilai a, h dan k, / the values of a, h and k, (iii) koordinat titik pusingan. / the coordinates of the turning point. [6 markah/marks] (b) (i) Lakar graf bagi f(x) = a(x + h)2 + k untuk –2 x 6. BT ms.60 Sketch the graph of f(x) = a(x + h)2 + k for –2 x 6. (ii) Diberi r(x) = a1 (x + h1 )2 + k1 mewakili pantulan bagi f(x) pada paksi-x. Nyatakan nilai-nilai a1 , h1 dan k1 . BT ms.57–58 KBAT Menganalisis Given r(x) = a1 (x + h1 )2 + k1 represents the reflection of f(x) in the x-axis. State the values of a1 , h1 and k1 . [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 19 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
20 Zon KBAT 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah bukit. Bentuk parabola bagi bukit itu diwakili oleh persamaan y = –(x – 6)2 + 36, dengan keadaan x dan y diukur dalam meter. Diagram 1 shows a hill. Th e parabolic shape of the hill is represented by the equation y = –(x – 6)2 + 36, where x and y are measured in metres. O Rajah 1/ Diagram 1 Seorang penembak berada setinggi 9 m tegak di atas titik O dan membuat tembakan pada satu kecerunan m. Cari julat nilai m jika tembakannya tidak mengena bukit itu. TP 4 BT ms.61–62 Aras T KBAT Mengaplikasi A shooter is at a height of 9 m vertically above the point O and set his shooting at a gradient of m. Find the range of values of m if his shooting is not hitting the hill. Jawapan/Answer: 2 Sebuah motobot bergerak dengan kelajuan 30 km/j. Masa yang diperlukan untuk bergerak sejauh 25 km ialah 5 8 jam lebih lama bagi motobot yang bergerak melawan arus laut berbanding dengan motobot yang bergerak mengikut arus laut. Hitung kelajuan, dalam km/j, bagi arus laut. A motorboat moves at a speed of 30 km/h. Th e time required to travel 25 km is 5 8 hours longer for a motorboat that moving against the ocean current compared to a motorboat that moving with the ocean current. Calculate the speed, in km/h, of the ocean current. TP 4 BT ms.61–62 Aras T KBAT Mengaplikasi Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 20 14/01/2025 5:25 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
21 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah Systems of Linear Equations in Three Variables 3.1 1 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut: BT ms.74–76 Aras R Solve the following systems of linear equations: 4x − 3y + z = 25 x + y − z = 4 3x – 2z = 17 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut: BT ms.74–76 Aras R Solve the following systems of linear equations: 3x + y + 2z = 2.8 5x – 2y + z = 2.5 4x + y – 3z = 1.9 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 3 Sistem Persamaan Systems of Equations PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 21 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
22 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear Simultaneous Equations Involving One Linear Equation and One Non-Linear Equation 3.2 3 Rajah 1 menunjukkan pelan bagi sebuah ladang yang berbentuk trapezium. Diagram 1 shows the plan of a farm in the form of a trapezium. 3x m F G E H y m (2y + 3) m x m Rajah 1/ Diagram 1 Diberi bahawa perimeter ladang itu ialah 42 m. Cari luas, dalam m2 , ladang itu. TP 4 BT ms.83 Aras S It is given that the perimeter of the farm is 42 m. Find the area, in m2 , of the farm. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: Bahagian B / Section B Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear Simultaneous Equations Involving One Linear Equation and One Non-Linear Equation 3.2 4 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut. BT ms.80–81 Aras S Solve the following simultaneous equations. x2 – 2y + y2 = x + 3y = 12 [4 markah/marks] (b) Cari koordinat bagi semua titik persilangan antara garis lurus 2x + 3y + 6 = 0 dengan lengkung 2 x + 3 y = 4. BT ms.80–81 Aras S Find the coordinates of all the points of intersection between the straight line 2x + 3y + 6 = 0 and the curve 2 x + 3 y = 4. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 22 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
23 5 (a) Diberi (p, 2) ialah titik persilangan bagi garis lurus y = x + q dan lengkung x2 + y2 – 3qy = 8. Cari nilai p dan nilai q. BT ms.80–81 Aras S Given (p, 2) is a point of intersection of the straight line y = x + q and the curve x2 + y2 – 3qy = 8. Find the value of p and of q. [4 markah/marks] (b) Rajah 2 menunjukkan sebidang tanah yang berbentuk segi tiga. Diberi perimeter tanah itu ialah 56 m. Diagram 2 shows a triangular land. Given the perimeter of the land is 56 m. B A C (y + 1) m y m x m Rajah 2/ Diagram 2 Cari nilai positif x dan y. BT ms.83 Aras S Find the positive value of x and of y. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 23 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
24 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian B / Section B 1 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut: BT ms.80–81 Aras S Solve the following simultaneous equations: 2x + y = x2 − y2 − 2xy − 1 = 1 [5 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan pakej harga yang ditawarkan untuk tiga jenis makanan, iaitu burger, nasi lemak dan kek. Diagram 1 shows the price packages off ered for three types of food which are burger, nasi lemak and cake. RM25 RM20 RM19 Rajah 1/ Diagram 1 Cari harga seunit bagi setiap jenis makanan. BT ms.83 Aras S Find the unit price of each type of food. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 (a) Diberi perimeter sebuah segi empat tepat ialah 44 cm dan panjang pepenjurunya ialah 2√65 cm. Cari panjang dan lebar, dalam cm, segi empat tepat itu. BT ms.83 Aras S Given the perimeter of a rectangle is 44 cm and the length of its diagonal is 2√65 cm. Find the length and width, in cm, of the rectangle. [5 markah/marks] (b) Rajah 2 menunjukkan sebuah kolam berbentuk segi empat tepat DEGH dan sukuan bulatan EFG ialah kawasan berumput. BT ms.83 Aras T KBAT Mengaplikasi Diagram 2 shows a rectangular pond DEGH and a quadrant of circle EFG is grassy area. p m E q m H G F D Rajah 2/ Diagram 2 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 24 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
25 Jika luas kolam itu ialah 9π m2 dan DE ialah π m lebih panjang daripada lengkok EF, cari nilai p. If the area of the pond is 9π m2 and DE is π m longer than the arc EF, fi nd the value of p. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Zon KBAT 1 Rajah 1 menunjukkan persilangan antara lengkung y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) dengan garis lurus y = 4x – 16. Diagram 1 shows the intersection between the curve y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) and the straight line y = 4x – 16. O y x y = 4x – 16 y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) Rajah 1/ Diagram 1 Cari titik-titik persilangan itu. BT ms.83 Aras T KBAT Mengaplikasi Find the points of intersection. Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 25 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
26 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 4.1 Hukum Indeks/ Laws of Indices 1 (a) Diberi 8(2x − 2) = 16x , cari nilai x. BT ms.91–93 Aras R Given that 8(2x − 2) = 16x , fi nd the value of x. [2 markah/marks] (b) Diberi 2a = 7b = 14m, ungkapkan m dalam sebutan a dan b. BT ms.93 Aras R Given that 2a = 7b = 14m, express m in terms of a and b. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 (a) Selesaikan persamaan / Solve the equation: BT ms.91–93 Aras R 16(23x − 5) = 1 2x [2 markah/marks] (b) Selesaikan 32x − 4(3x + 1) + 27 = 0. BT ms.91–93 Aras R Solve 32x − 4(3x + 1) + 27 = 0. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 4 Indeks, Surd dan Logaritma Indices, Surds and Logarithms PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 26 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
27 3 Selesaikan / Solve BT ms.93 Aras R (a) 3x = 162 − 3x (b) 52x − 1 = 32 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 (a) Diberi 9u × 27u – 2 = 1 81 , cari nilai u. BT ms.93 Aras S Given that 9u × 27u – 2 = 1 81 , find the value of u. [2 markah/marks] (b) Diberi bahawa 33x = g, 3y = h dan 33x 3y = 8 + 27x . Ungkapkan g dalam sebutan h. BT ms.93 Aras S It is given that 33x = g, 3y = h and 33x3y = 8 + 27x . Express g in terms of h. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 Selesaikan / Solve BT ms.93 Aras R (a) 2n − 1 + 2n = 48 (b) 3n + 2 − 3n + 1 + 4(3n) = 81 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 27 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
28 4.2 Hukum Surd/ Laws of Surds 6 Permudahkan ungkapan yang berikut: BT ms.102 Aras R Simplify the following expressions: (a) (3 − √ 5 )2 (b) (3√2 + √3 )(3√2 − √ 3 ) [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 Nisbahkan penyebut dan permudahkan ungkapan yang berikut: BT ms.104–109 Aras S Rationalise the denominator and simplify the following expressions: (a) 3 3 + √ 6 (b) 6 2√ 5 – √2 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4.3 Hukum Logaritma/ Laws of Logarithms 8 (a) Diberi loga 4 = p dan loga 3 = q, ungkapkan loga 27a 16 dalam sebutan p dan q. BT ms.115–116 Aras S Given that loga 4 = p and loga 3 = q, express loga 27a 16 in terms of p and q. [2 markah/marks] (b) Diberi log81 u − log3 w = 1 2 , ungkapkan u dalam sebutan w. BT ms.117–118 Aras S Given that log81 u − log3 w = 1 2 , express u in terms of w. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 28 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
29 9 (a) Selesaikan persamaan / Solve the equation BT ms.115–116 Aras S 1 + log5 x = log5 (x + 7) [2 markah/marks] (b) Selesaikan log2 √x − log4 3 = 3 2 . BT ms.117–118 Aras S Solve log2 √x – log4 3 = 3 2 . [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 10 Diberi p = 3m dan q = 3n, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan m dan n. BT ms.115–116 Aras S Given that p = 3m and q = 3n, express each of the following in terms of m and n. (a) log3 ( pq5 81 ) (b) log27 p − logq 9 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 11 Diberi bahawa log2 3 = 1.585 dan log2 5 = 2.322. Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, nilaikan It is given that log2 3 = 1.585 and log2 5 = 2.322. Without using a scientific calculator, evaluate (a) log2 7.5, (b) log4 54. BT ms.115–116 Aras R [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 29 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
30 12 Selesaikan / Solve BT ms.119 Aras S (a) log10 ( x2 + 21 x ) = 1 (b) 4log2 x = 6 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 13 Suhu sejenis logam meningkat daripada 28 °C kepada v °C berdasarkan persamaan v = 28(1.16)t apabila logam itu dipanaskan selama t saat. The temperature of a type of metal increases from 28 °C to v °C in accordance to v = 28(1.16)t when it is heated for t seconds. Hitung / Calculate BT ms.119–120 Aras S (a) suhu logam itu apabila ia dipanaskan selama 12.5 saat, the temperature of the metal when it is heated for 12.5 seconds, (b) masa, dalam saat, yang diambil untuk meningkatkan suhu logam itu daripada 28 °C kepada 1 200 °C. the time, in seconds, taken to increase the temperature of the metal from 28 °C to 1 200 °C. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 30 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
31 Bahagian B / Section B 14 (a) Tunjukkan bahawa 1 logm mn + 1 logn mn = 1. Seterusnya, selesaikan log6 (2x – 1) = 1 logm mn + 1 logn mn . Show that 1 logm mn + 1 logn mn = 1. Hence, solve log6 (2x – 1) = 1 logm mn + 1 logn mn . BT ms.119 Aras T KBAT Mengaplikasi [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan / Solve the equation BT ms.119 Aras S 52x – 5x + 1 = 50 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Permudahkan / Simplify BT ms.119 Aras S log3 (3x + 4) – 7 log9 x2 + 6 log3 x Seterusnya, selesaikan / Hence, solve log3 (3x + 4) – 7 log9 x2 + 6 log3 x = 2 [6 markah/marks] Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 31 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
32 2 Diberi bahawa log2 m3 p2 = 21 dan log2 m4 p = 17, dengan keadaan m dan p ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai p. BT ms.119 Aras S It is given that log2 m3 p2 = 21 and log2 m4 p = 17, where m and p are constants. Find the value of m and of p. [7 markah/marks] Jawapan/Answer: Bahagian B / Section B 3 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut: / Solve the following simultaneous equations: 9x 3y = 1 BT ms.119 Aras S 8x 4y = 4 [5 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan serentak berikut untuk x > 0 dan y > 0. BT ms.119 Aras S Solve the following simultaneous equations for x > 0 and y > 0. log2 x + log2 y = 3 log3 (3y – 1) − 2 log9 x = 1 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Zon KBAT 1 Diberi log2 (13 + log3X) = 4 dan log5 (4X – 87 + log2 Y) = 2, cari nilai X + Y. BT ms.119 Aras T KBAT Mengaplikasi Given that log2 (13 + log3 X) = 4 and log5 (4X – 87 + log2 Y) = 2, fi nd the value of X + Y. Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 32 15/01/2025 11:06 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
33 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 5.1 Janjang Aritmetik/ Arithmetic Progressions 1 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 12 – x, 18 dan 4x. Cari Aras S Th e fi rst three terms of an arithmetic progression are 12 – x, 18 and 4x. Find (a) beza sepunya janjang itu, BT ms.129 the common diff erence of the progression, (b) hasil tambah daripada sebutan ke-10 hingga sebutan ke-20. BT ms.134 the sum of the 10th term to the 20th term. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 2 (5n + 3). Cari Th e sum of the fi rst n terms of an arithmetic progression is given by Sn = n 2 (5n + 3). Find BT ms.134 Aras R (a) hasil tambah 7 sebutan pertama, the sum of the fi rst 7 terms, (b) sebutan ke-7. the 7th term. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 5 Janjang Progressions PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 33 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
34 3 Diberi bahawa hasil tambah p sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sp = q – 3 2 (a + 13), dengan keadaan q ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 13 ialah sebutan terakhir. It is given that the sum of the first p terms of an arithmetic progression is Sp = q – 3 2 (a + 13), such that q is a constant, a is the first term and 13 is the last term. BT ms.134 Aras S (a) Ungkapkan q dalam sebutan p. / Express q in terms of p. (b) Nyatakan julat nilai q. / State the range of values of q. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Sebutan keempat bagi suatu janjang aritmetik ialah 14 dan sebutan kelima ialah 20. Cari Aras S The fourth term of an arithmetic progression is 14 and the fifth term is 20. Find (a) beza sepunya bagi janjang itu, BT ms.129 the common difference of the progression, (b) hasil tambah 35 sebutan pertama bagi janjang itu. BT ms.134 the sum of the first 35 terms of the progression. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5.2 Janjang Geometri/ Geometric Progressions 5 Diberi sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri ialah 32 dan hasil tambah sebutan ketiga dan sebutan keempat ialah 16. Cari Aras S Given the third term of a geometric progression is 32 and the sum of the third term and the fourth term is 16. Find (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu, BT ms.142–143 the first term and the common ratio of the progression, (b) hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang itu. BT ms.146–147 the sum to infinity of the progression. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 34 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
35 Jawapan/Answer: (a) (b) 6 (a) Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Tentukan nilai positif w. BT ms.140 Aras S Given the first three terms of a geometric progression are 3w + 1, 5w − 1 and 7w + 1. Determine the positive value of w. [2 markah/marks] (b) Tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri ialah 36, h dan k. Diberi bahawa hasil tambah sebutan-sebutan itu ialah 28. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi h dan k. BT ms.140 Aras S Three consecutive terms of a geometric progression are 36, h and k. It is given that the sum of the terms is 28. Find the possible values of h and k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 5.1 Janjang Aritmetik/ Arithmetic Progressions 5.2 Janjang Geometri/ Geometric Progressions 7 (a) Rajah 1 menunjukkan susunan bagi tiga buah kon yang mempunyai jejari sepunya, j cm. Aras T Diagram 1 shows the arrangement of three cones which are having the common radius, j cm. (i) Tunjukkan bahawa isi padu kon itu mengikut janjang aritmetik. BT ms.129 KBAT Menganalisis Show that the volume of the cones follows arithmetic progression. (ii) Diberi isi padu bagi n buah kon yang pertama ialah 124 3 πj 2 cm3 , cari nilai n. BT ms.137 Given that the volume of the first n cones is 124 3 πj 2 cm3 , find the value of n. [4 markah/marks] 5 cm 8 cm 11 cm Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 35 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
36 (b) Hasil tambah tujuh sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 129 dan nisbah sepunya ialah –2. Cari BT ms.144 Aras S Th e sum of the fi rst seven terms of a geometric progression is 129 and the common ratio is −2. Find (i) sebutan pertama, / the fi rst term, (ii) sebutan kesembilan. / the ninth term. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan susunan silinder yang mempunyai jejari yang sama, iaitu 4 cm. Tinggi silinder pertama ialah 5 cm dan tinggi silinder yang seterusnya bertambah sebanyak 3 cm. BT ms.137 Aras S Diagram 1 shows the arrangement of cylinders with the same radius, 4 cm. Th e height of the fi rst cylinder is 5 cm and the height of the following cylinder increases by 3 cm. 5 cm 8 cm 11 cm Rajah 1/ Diagram 1 (a) Hitung isi padu, dalam cm3 , bagi silinder ke-15, dalam sebutan π. Calculate the volume, in cm3 , of the 15th cylinder, in terms of π. [3 markah/marks] (b) Diberi jumlah isi padu bagi n silinder pertama ialah 13 984π cm3 , cari nilai n. Given that the total volume of the fi rst n cylinders is 13 984π cm3 , fi nd the value of n. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 36 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
37 2 Firdaus mula bekerja di sebuah syarikat pada 1 Januari 2016 dengan permulaan gaji tahunan sebanyak RM24 000. Gaji tahunannya meningkat sebanyak 8% setiap tahun. Hitung BT ms.148 Aras S Firdaus started working in a company on 1st January 2016 with an initial annual salary of RM24 000. His annual salary increases by 8% every year. Calculate (a) gaji tahunan beliau, kepada ringgit terdekat, pada tahun 2021, his annual salary, to the nearest ringgit, for the year 2021, [2 markah/marks] (b) nilai minimum n jika gaji tahunan pada tahun ke-n melebihi RM60 000, the minimum value of n if the annual salary in the nth year is more than RM60 000, [2 markah/marks] (c) jumlah gaji, kepada ringgit terdekat, yang dibayar kepada beliau oleh syarikat itu dari tahun 2016 ke tahun 2021. the total salary, to the nearest ringgit, paid to him by the company from the year 2016 to the year 2021. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 Dua buah kedai, Bestari dan Cemerlang, mula menjual telefon bimbit pada masa yang sama. Two shops, Bestari and Cemerlang, start to sell handphones at the same time. BT ms.137 Aras S (a) Kedai Bestari menjual x buah telefon bimbit pada bulan pertama dan jualannya bertambah secara seragam sebanyak y buah telefon bimbit pada setiap bulan seterusnya. Kedai itu menjual 210 buah telefon bimbit pada bulan ke-7 dan jumlah jualan dalam 9 bulan pertama ialah 1 440 buah telefon bimbit. Cari nilai x dan nilai y. Bestari Shop sells x handphones in the first month and its sales increase at a constant by y handphones on the following months. The shop sells 210 handphones in the 7th month and the total sales in the first 9 months is 1 440. Find the value of x and of y. [4 markah/marks] (b) Kedai Cemerlang menjual 95 buah telefon bimbit pada bulan pertama dan jualannya bertambah secara seragam sebanyak 20 buah telefon bimbit pada setiap bulan seterusnya. Jika bilangan telefon bimbit yang dijual oleh kedua-dua buah kedai adalah sama pada bulan ke-n, cari nilai n. Cemerlang Shop sells 95 handphones in the first month and its sales increase at a constant by 20 handphones on the following months. If the number of handphones sold by both shops is equal in the nth month, find the value of n. [3 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 37 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
38 Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Seutas dawai dipotong kepada n bahagian. Panjang setiap bahagian bertambah mengikut janjang geometri. Diberi bahawa panjang bagi bahagian keenam ialah sembilan kali panjang bagi bahagian keempat dawai itu. BT ms.148 Aras S A wire is cut into n parts. The length of each part is increased according to geometric progression. It is given that the length of the sixth part is nine times the length of the fourth part of the wire. (a) Hitung nisbah sepunya. / Calculate the common ratio. [2 markah/marks] (b) Jika jumlah panjang dawai itu ialah 5 465 mm dan panjang bahagian pertama dawai itu ialah 5 mm, hitung If the total length of the wire is 5 465 mm and the length of the first part of the wire is 5 mm, calculate (i) nilai n, / the value of n, (ii) panjang, dalam mm, bahagian terakhir dawai itu. the length, in mm, of the last part of the wire. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) Bahagian B / Section B 5 (a) Seutas tali yang panjangnya 2 030 cm dipotong kepada 28 bahagian. Panjang setiap bahagian tali itu mengikut janjang aritmetik. Bermula daripada tali terpanjang 140 cm, cari BT ms.137 Aras S A string with a length of 2 030 cm is cut into 28 pieces. The length of each piece of the string follows arithmetic progression. Starting from the longest string 140 cm, find (i) beza sepunya bagi panjang bahagian tali, the common difference in length of the pieces of the string, (ii) hasil tambah n sebutan pertama, the sum of the first n terms, (iii) panjang bagi bahagian ke-n. the length of the nth part. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 38 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
39 (b) Rajah 2 menunjukkan beberapa bulatan. Bulatan pertama mempunyai jejari j cm. Bulatan kedua mempunyai jejari 3 5 j cm. Bulatan ketiga mempunyai jejari 3 5 daripada jejari bulatan kedua dan proses itu berterusan secara tak terhingga. Diagram 2 shows a few circles. Th e fi rst circle has a radius of j cm. Th e second circle has a radius of 3 5 j cm. Th e third circle has a radius of 3 5 of the radius of the second circle and the process is continued indefi nitely. j cm • • • Rajah 2/ Diagram 2 Diberi luas bagi bulatan terbesar ialah 1 600π cm2 . Cari dalam sebutan π, BT ms.148 Aras S Given the area of the largest circle is 1 600π cm2 . Find in terms of π, (i) lilitan bulatan, dalam cm, bagi lima bulatan pertama, the circumference, in cm, of the fi rst fi ve circles, (ii) hasil tambah ketakterhinggan bagi lilitan bulatan. the sum to infi nity of the circumferences. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) Zon KBAT 1 Tunjukkan bahawa / Show that 1 5 + 2 52 + 3 53 + 4 54 + 5 55 + 6 56 + ... = 5 16. BT ms.146–147 Aras T KBAT Mengaplikasi Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 39 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
40 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear/ Linear and Non-Linear Relations 1 Rajah 1 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot xy melawan x2 . Diagram 1 shows a straight line graph obtained by plotting xy against x2 . Ungkapkan y dalam sebutan x. BT ms.157–158 Aras R Express y in terms of x. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear/ Linear Law and Non-Linear Relations 2 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y3 = 3x(7 – x). Graf garis lurus diperoleh dengan memplot y3 x melawan x seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Th e variables x and y are related by the equation y3 = 3x(7 – x). A straight line graph is obtained by plotting y3 x against x as shown in Diagram 2. Cari nilai u dan nilai w. BT ms.162 Aras R Find the value of u and of w. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: xy x2 18 0 9 Rajah 1/ Diagram 1 (5, u) y 3 x 0 (w, 0) x Rajah 2/ Diagram 2 Bidang Pembelajaran: Algebra BAB 6 Hukum Linear Linear Law PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 40 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
41 3 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan xy = 12x – 4x3 . Graf garis lurus diperoleh dengan memplot y melawan x2 seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3. BT ms.162 Aras R The variables x and y are related by the equation xy = 12x – 4x3 . A straight line graph is obtained by plotting y against x2 as shown in Diagram 3. (a) Tukar persamaan tak linear xy = 12x – 4x3 kepada persamaan linear. Convert the non-linear equation xy = 12x – 4x3 to the linear equation. (b) Nyatakan / State (i) kecerunan garis lurus itu, the gradient of the straight line, (ii) koordinat G. coordinates of G. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 4 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = mx3 , dengan keadaan m ialah pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan memplot log10 y melawan log10 x seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4. The variables x and y are related by the equation y = mx3 , where m is a constant. A straight line graph is obtained by plotting log10 y against log10 x as shown in Diagram 4. BT ms.162 Aras S (a) Tukar persamaan y = mx3 kepada bentuk linear. Convert the equation y = mx3 to the linear form. (b) Cari nilai / Find the value of (i) log10 m, (ii) p. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) log10 y log10 x (0, 2) (1, p) 0 Rajah 4/ Diagram 4 y x2 H G 0 Rajah 3/ Diagram 3 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 41 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
42 5 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x , dengan keadaan h ialah pemalar. Rajah 5 menunjukkan garis lurus MN yang diperoleh dengan memplot xy melawan x3 . BT ms.162 Aras S The variables x and y are related by the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x , where h is a constant. Diagram 5 shows the straight line MN obtained by plotting xy against x3 . (a) Tukar persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x kepada bentuk linear. Convert the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x to the linear form. (b) Diberi kecerunan MN ialah − 3 10, cari nilai h dan nilai p. Given that the gradient of MN is − 3 10 , find the value of h and of p. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = v 6x , dengan keadaan v ialah pemalar. Rajah 6 menunjukkan sebahagian daripada graf garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan x. BT ms.162 Aras S The variables x and y are related by the equation y = v 6x , where v is a constant. Diagram 6 shows part of the line of best fit obtained by plotting log10 y against x. (a) Tukar persamaan y = v 6x kepada bentuk linear. Convert the equation y = v 6x to the linear form. (b) Cari nilai v. / Find the value of v. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) xy x3 N(0, ) M 0 p 2 Rajah 5/ Diagram 5 log10 y x 0 (0, –4) Rajah 6/ Diagram 6 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 42 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
43 Bahagian B / Section B 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear/ Linear and Non-Linear Relations 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear/ Linear Law and Non-Linear Relations 7 (a) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 1 y = g x + h, dengan keadaan g dan h ialah pemalar. Rajah 7 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot 1 y melawan 1 x . The variables x and y are related by the equation 1 y = g x + h, such that g and h are constants. Diagram 7 shows the line of best fit obtained by plotting 1 y against 1 x . BT ms.162 Aras S (i) Cari nilai g dan nilai h. / Find the value of g and of h. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. / Express y in terms of x. [4 markah/marks] (b) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan log y = n log x + p, dengan keadaan n dan p ialah pemalar. Rajah 8 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot log y melawan log x. BT ms.162 Aras S The variables x and y are related by the equation log y = n log x + p, such that n and p are constants. Diagram 8 shows the line of best fit obtained by plotting log y against log x. (i) Cari nilai n dan nilai p. / Find the value of n and of p. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. / Express y in terms of x. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) L K 4 M (6, 10) 0 1 y 1 x Rajah 7/ Diagram 7 Rajah 8/ Diagram 8 log y log x 0 1 (4, 7) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 43 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
44 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Jadual 1 menunjukkan keputusan daripada suatu eksperimen yang melibatkan dua pemboleh ubah, x dan y yang dihubungkan oleh persamaan √ y = px + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Table 1 shows the results from an experiment involving two variables, x and y which are related by the equation √y = px + q, such that p and q are constants. BT ms.163–164 Aras S x 1 2 3 4 6 y 30.25 53.29 90.25 136.89 240.25 Jadual 1/ Table 1 (a) Plot graf √ y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit paksi-√y . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of √y against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 2 units on the √y -axis. Hence, draw the line of best fi t. [4 markah/marks] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai p dan nilai q. Use the graph in (a) to fi nd the value of p and of q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 44 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
45 Bahagian B / Section B 2 Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = (2p − 3)x2 + u p x, dengan keadaan p dan u ialah pemalar. BT ms.163–164 Aras S Table 2 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation y = (2p − 3)x2 + u p x, where p and u are constants. x 2 3 4 5 6 7 y 9.6 16.2 23.8 33 42.6 53.9 Jadual 2/ Table 2 (a) Plot graf y x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y x against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on both axes. Hence, draw the line of best fit. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai / From the graph, find the value of (i) p, (ii) u. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) (i) (ii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 45 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
46 3 Jadual 3 menunjukkan hubungan antara kadar tindak balas kimia, R dengan suhu, H. Table 3 shows the relation between the rate of chemical reaction, R and the temperature, H. Suhu, H (°C) / Temperature, H (°C) 95.5 37.8 24.8 17.4 14.5 Kadar tindak balas kimia, R (mol s−1) Rate of chemical reaction, R (mol s−1) 29.2 16.6 10.09 5.52 3.61 Jadual 3/ Table 3 Diberi bahawa kadar tindak balas kimia, R dengan suhunya, H dihubungkan oleh persamaan R = β(2.8)–α H, dengan keadaan α dan β ialah pemalar. BT ms.163–164 Aras S It is given that the rate of chemical reaction, R and its temperature, H are related by the equation R = β(2.8)–α H, such that α and β are constants. (a) Tukar persamaan R = β(2.8)–α H kepada bentuk linear. Convert the equation R = β(2.8)–α H to the linear form. [2 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.01 unit pada paksi- 1 H dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 R, plot graf log10 R melawan 1 H. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 0.01 unit on the 1 H -axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 R-axis, plot the graph of log10 R against 1 H . Hence, draw the line of best fit. [4 markah/marks] (c) Daripada graf, cari nilai α dan nilai β. / From the graph, find the value of α and of β. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 cm 2 cm PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 46 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
47 (c) 4 Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = uwx − 2, dengan keadaan u dan w ialah pemalar. BT ms.163–164 Aras S Table 4 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation y = uwx − 2, where u and w are constants. x 3 4 5 6 8 y 34.7 19.2 10.41 5.75 1.74 Jadual 4/ Table 4 (a) Plot graf log10 y melawan (x – 2), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x – 2) dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of log10 y against (x – 2), by using a scale of 2 cm to 1 unit on the (x – 2)-axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 y-axis. Hence, draw the line of best fit. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai / From the graph, find the value of (i) u, (ii) w. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 2 cm 2 cm PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 47 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
48 Zon KBAT 1 Dalam Rajah 1, PQ ialah sebuah satah condong pada sudut β kepada satah mengufuk QR. P berada 1.35 m tegak di atas R. Satu objek G dilepaskan daripada keadaan pegun di titik P dan jaraknya dari titik P selepas t s ditunjukkan dalam Jadual 1. In Diagram 1, PQ is an inclined plane with angle β to the horizontal plane QR. P is 1.35 m vertically above R. An object G is released from a stationary state at point P and its distance from point P after t s is shown in Table 1. TP 4 BT ms.166–167 Aras T Masa, t selepas dilepaskan dari titik P (s) Time, t after release from point P (s) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Jarak, d dari titik P (m) Distance, d from point P (m) 0.18 0.90 1.90 3.34 5.2 Jadual 1/ Table 1 Diberi bahawa jarak yang dilalui, d berubah secara langsung dengan kuasa dua masa, t 2 . It is given that the distance travelled, d varies directly as square of the time, t2 . (a) Plot graf d melawan t 2 , dengan menggunakan skala yang sesuai pada kedua-dua paksi. Plot the graph of d against t2 , by using a suitable scales on both axes. KBAT Menganalisis (b) Jika objek G mengambil masa selama 2.8 s untuk tiba di titik Q, tentukan nilai β. KBAT Menganalisis If the object G takes 2.8 s to reach point Q, determine the value of β. Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) P Q R β G Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 48 14/01/2025 5:30 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.