R1Standard Kandungan Standard Pembelajaran Halaman Tahap PenguasaanPencapaian(✓) Menguasai(✗) Belum MenguasaiBidang Pembelajaran: AlgebraBab 1 Fungsi1.1 Fungsi 1.1.1 Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan tatatanda. 2 – 3 21.1.2 Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi.4 25 31.1.3 Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya. 5 – 8231.2 Fungsi Gubahan 1.2.1 Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi.1.2.2 Menentukan fungsi gubahan. 8 – 9 31.2.3 Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan sebaliknya. 9 31.2.4 Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsinya diberi. 10 – 13 31.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan. 13 – 14451.3 Fungsi Songsang 1.3.1 Memerihalkan songsangan suatu fungsi.1.3.2 Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifatsifat fungsi songsang.14 – 15 21.3.3 Menentukan fungsi songsang. 15 – 17 3Bab 2 Fungsi Kuadratik2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik2.1.1 Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan rumus. 21 – 23 32.1.2 Membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca yang diberi.23 – 24 224 – 27 32.1.3 Menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. 28 22.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik2.2.1 Membuat perkaitan antara jenis-jenis punca persamaan kuadratik dan nilai pembezalayan. 29 22.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan jenis-jenis punca dalam persamaan kuadratik. 29 – 31 32.3 Fungsi Kuadratik 2.3.1 Menganalisis dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan a, b dan c dalam f(x) = ax2 + bx + c terhadap bentuk dan kedudukan graf. 32 32.3.2 Menghubungkaitkan kedudukan graf fungsi kuadratik dengan jenis punca. 32 – 35 32.3.3 Membuat perkaitan antara bentuk verteks fungsi kuadratik, f(x) = a(x – h)2 + k dengan bentuk fungsi kuadratik yang lain.35 32.3.4 Menganalisis dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan a, h dan k dalam fungsi kuadratik f(x) = a(x – h)2 + k terhadap bentuk dan kedudukan graf.36 32.3.5 Melakar graf fungsi kuadratik. 37 – 38 32.3.6 Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi kuadratik. 38 – 4045Matematik Tambahan Rekod Prestasi Murid KSSM Tingkatan 4NAMA MURID: KELAS: NAMA GURU: 00a Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Rekod_Final.indd 1 9/30/25 6:40 AM
iiBab 1 Fungsi 1• Revisi Pantas 1• Praktis PBD1.1 Fungsi 21.2 Fungsi Gubahan 81.3 Fungsi Songsang 14• Praktis SPM 1 18• Zon KBAT 19Bab 2 Fungsi Kuadratik 20• Revisi Pantas 20• Praktis PBD2.1 Persamaan dan KetaksamaanKuadratik 212.2 Jenis-jenis Punca PersamaanKuadratik 292.3 Fungsi Kuadratik 32• Praktis SPM 2 41• Zon KBAT 42Bab 3 Sistem Persamaan 43• Revisi Pantas 43• Praktis PBD3.1 Sistem Persamaan Linear dalamTiga Pemboleh Ubah 443.2 Persamaan Serentak yang MelibatkanSatu Persamaan Linear dan SatuPersamaan Tak Linear 50• Praktis SPM 3 57• Zon KBAT 57Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 58• Revisi Pantas 58• Praktis PBD4.1 Hukum Indeks 594.2 Hukum Surd 624.3 Hukum Logaritma 674.4 Aplikasi Indeks, Surd danLogaritma 71• Praktis SPM 4 72• Zon KBAT 73Bab 5 Janjang 74• Revisi Pantas 74• Praktis PBD5.1 Janjang Aritmetik 755.2 Janjang Geometri 85• Praktis SPM 5 95• Zon KBAT 97Bab 6 Hukum Linear 98• Revisi Pantas 98• Praktis PBD6.1 Hubungan Linear danTak Linear 996.2 Hukum Linear dan HubunganTak Linear 1066.3 Aplikasi Hukum Linear 110• Praktis SPM 6 113Bab 7 Geometri Koordinat 116• Revisi Pantas 116• Praktis PBD7.1 Pembahagi Tembereng Garis 1177.2 Garis Lurus Selari dan GarisLurus Serenjang 1207.3 Luas Poligon 1287.4 Persamaan Lokus 132• Praktis SPM 7 137• Zon KBAT 140Bab 8 Vektor 141• Revisi Pantas 141• Praktis PBD8.1 Vektor 1428.2 Penambahan dan PenolakanVektor 1468.3 Vektor dalam Satah Cartes 149• Praktis SPM 8 152• Zon KBAT 154Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 155• Revisi Pantas 155• Praktis PBD9.1 Petua Sinus 1569.2 Petua Kosinus 1619.3 Luas Segi Tiga 1659.4 Aplikasi Petua Sinus, PetuaKosinus dan Luas Segi Tiga 170• Praktis SPM 9 173• Zon KBAT 174Bab 10 Nombor Indeks 175• Revisi Pantas 175• Praktis PBD10.1 Nombor Indeks 17510.2 Indeks Gubahan 182• Praktis SPM 10 189• Zon KBAT 190Jawapan 191Rekod Prestasi Murid R1 – R4Kandungan00b Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Kandungan_Final.indd 2 9/30/25 6:41 AM
1Praktis PBD1.1 FungsiFunctions1 Fungsi ialah suatu hubungan yang memetakan setiap unsur x dalam set X kepada hanya satu unsur y dalam set Y. Perhatikan gambar rajah anak panah di bawah.A function is a relation that maps each element x in set X to only one element y in set Y. Refer the arrow diagram below.1234812Set X Set Y2 Unsur dalam set X, iaitu 1, 2, dan 3 dikenali sebagai objek, manakala unsur dalam set Y, iaitu 4, 8 dan 12 dikenali sebagai imej.The elements in set X, which are 1, 2 and 3 are known as objects, while the elements in set Y, which are 4, 8 and 12 are known as images.3 Suatu graf boleh ditentukan sama ada graf tersebut ialah fungsi atau bukan dengan menggunakan ujian garis mencancang.A graph can be determined whether the graph is a function or not by using the vertical line test.i-THINK Peta PokokUjian garis mencancangVertical line testFungsiFunctionBukan fungsiNot a functionGaris mencancang memotong graf hanya pada satu titik.The vertical line cuts the graph at only one point.Garis mencancang tidak memotong manamana titik pada graf atau memotong lebih daripada satu titik.The vertical line does not cut the graph at any point or cuts more than one point.yx Oyx O4 Jika fungsi f memetakan set X kepada set Y,If function f maps set X to set Y,(a) set X dikenali sebagai domainset X is known as domain(b) set Y dikenali sebagai kodomainset Y is known as codomain(c) unsur dalam set Y yang dipetakan dari X dikenali sebagai julatthe elements in set Y that are mapped from X is known as range5 Imej f(x) boleh ditentukan dengan menggantikan nilai objek x ke dalam suatu fungsi./The image f(x) can be determined by substituting the value of object x in a function.6 Objek x juga boleh ditentukan dengan menggantikan nilai f(x).The object x can also be determined by substituting the value of f(x).1.2 Fungsi GubahanComposite Functions1 Jika fungsi f memetakan set A kepada set B dan fungsi g memetakan set B kepada set C, maka fungsi gf memetakan set A kepada set C./If function f maps set A to set B and function g maps set B to set C, then function gf maps set A to set C.xxfgfgf(x)gf(x)g(x)Set A Set B Set C2 Fungsi gf dikenali sebagai fungsi gubahan.The function gf is known as composite function.1.3 Fungsi SongsangInverse Functions1 Fungsi songsang bagi suatu fungsi f ditulis sebagai f −1.The inverse function of a function f is written as f −1.ff −1x y2 Jika fungsi f : x → y, maka f −1 : y → x.If function f : x → y, then f −1 : y → x.Revisi PantasBab1Bidang Pembelajaran: AlgebraFungsiFunctions01 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 1_1-19_Final.indd 1 9/30/25 7:06 AM
2Praktis PBD1694−4432PenyelesaianHubungan ini bukan fungsi kerana objek –4 tidak mempunyai imej.This relation is not a function because object –4 has no image.Contoh 1 175432120–2–4Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.2 efghijabcdHubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.3abc52–5Hubungan ini bukan fungsi kerana objek b tidak mempunyai imej.This relation is not a function because object b has no image.4235243036Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.5abcd23468Hubungan ini bukan fungsi kerana objek d mempunyai lebih daripada satu imej.This relation is not a function because object d has more than one image.1.1 Fungsi/ FunctionsLatihan 1 Tentukan sama ada setiap hubungan yang berikut ialah fungsi atau bukan. Beri alasan anda.Determine whether each of the following relations is a function or not. Give your reason. TP 2TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi.3 Ujian garis mengufuk boleh digunakan untuk menentukan sama ada graf bagi suatu fungsi itu mempunyai fungsi songsang atau tidak.The horizontal line test can be used to determine whether the graph of a function has an inverse function or not.4 Fungsi songsang hanya wujud jika garis mengufuk memotong graf itu hanya pada satu titik.The inverse function exists only if the horizontal line cuts the graph at only one point.Fungsi songsang wujud.Inverse function exist.Fungsi songsang tidak wujud.Inverse function does not exist.yx Oy = f(x)Ujian garismengufukHorizontalline testyx Oy = f(x)Ujian garismengufukHorizontalline test01 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 1_1-19_Final.indd 2 9/30/25 7:06 AM
3Praktis PBDLatihan 2 Tentukan sama ada setiap graf yang berikut ialah fungsi atau bukan. Beri alasan anda. Determine whether each of the following graphs is a function or not. Give your reason. TP 2TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi.yO xPenyelesaianGraf ini ialah suatu fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, hanya satu titik memotong graf itu.The graph is a function because when tested with the vertical line, there is only one point that cuts the graph.Contoh 2 1yO xGraf ini ialah suatu fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, hanya satu titik memotong graf itu.The graph is a function because when tested with the vertical line, there is only one point that cuts the graph.2yO xGraf ini bukan fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.3 yO xGraf ini ialah suatu fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, hanya satu titik memotong graf itu.The graph is a function because when tested with the vertical line, there is only one point that cuts the graph.4 yO xGraf ini bukan fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.5yO xGraf ini bukan fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.01 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 1_1-19_Final.indd 3 9/30/25 7:06 AM
18Praktis SPM(a) f −1,(b) f −1g(2).[5 markah/marks]4 Diberi fungsi f(x) = 3 − x dan g(x) = px² + q. Jika fungsi gubahan gf(x) = 3x² − 18x + 15, cari Given that the functions f(x) = 3 − x and g(x) = px² + q. If the composite function gf(x) = 3x² − 18x + 15, find (a) nilai p dan nilai q, KBAT Mengaplikasithe value of p and of q,[3 markah/marks](b) nilai bagi g²(0).the value of g²(0).[2 markah/marks]5 Tiga fungsi ditakrifkan oleh f : x → 3x − 4, fg : x → 6x + 11 dan hf : x → 9x² − 24x + 10. CariThree functions are defined by f : x → 3x − 4, fg : x → 6x + 11 and hf : x → 9x² − 24x + 10. Find (a) g(x),(b) h(x).[6 markah/marks]6 (a) Diberi bahawa g(x) = x + 42x − 5 , x ≠ 52. Cari nilai g−1(−3). It is given that g(x) = x + 42x − 5 , x ≠ 52. Find the value of g−1(−3).[2 markah/marks](b) Diberi fungsi f(x) = −ax + b, dengan keadaan adan b ialah pemalar. Cari nilai a dan b dengan keadaan f −1(7) = 4 dan f −1(−3) = 9. Given that the function f(x) = −ax + b, where a and b are constants. Find the values of a and b such that f −1(7) = 4 and f −1(−3) = 9.[3 markah/marks]TArasSArasSArasSAras1 (a) Rajah 1 menunjukkan fungsi gubahan kh yang memetakan set u kepada set w.Diagram 1 shows the composite function kh that maps set u to set w.u vkhwRajah 1/Diagram 1Nyatakan/State (i) fungsi yang memetakan set u kepada set v,the function that maps set u to set v,(ii) k−1(w).[2 markah/marks](b) Diberi fungsi f : x → 6x + 4 dan g : x → 3x − 8, cari g−1f(x). Given that the function f : x → 6x + 4 and g : x → 3x − 8, find g−1f(x).[3 markah/marks]2 Diberi bahawa fungsi f : x → p + qx. It is given that the function f : x → p + qx.(a) Cari f −1(x) dalam sebutan p dan q.Find f −1(x) in terms of p and q.[2 markah/marks](b) Jika f −1(11) = −1 dan f(4) = −4, cari nilai p dan q.If f −1(11) = −1 and f(4) = −4, find the values of p and q.[4 markah/marks]3 Fungsi f dan g ditakrifkan oleh f : x → 8 − 6x dan g : x → x² − 6. Cari The functions f and g are defined by f : x → 8 − 6x and g : x → x² − 6. FindRArasSArasSArasSArasPraktis SPM 1Kertas 1Bahagian A01 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 1_1-19_Final.indd 18 9/30/25 7:06 AM
19Praktis SPM7 Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → mx − 1 + n, x ≠ k. Diberi f(2) = 5 dan f(5) = 2, cari A function f is defined by f : x → mx − 1 + n, x ≠ k. Given that f(2) = 5 and f(5) = 2, find(a) nilai k,/the value of k, [1 markah/mark](b) nilai m dan nilai n,/the value of m and of n, [3 markah/marks](c) f 2(x), [2 markah/marks](d) f −1(3). [2 markah/marks]SAras1 Diberi bahawa g : x → 2x − 3 dan h : x →x3 + 2, cari It is given that g : x → 2x − 3 and h : x → x3 + 2, find(a) g−1(x), [2 markah/marks](b) g−1h(x), [2 markah/marks](c) fungsi k(x) dengan keadaan kh(x) = 2x + 8. [3 markah/marks]the function k(x) such that kh(x) = 2x + 8.SAras2 Diberi bahawa g : x → 3x + 15 dan h : x → 2x − 12. It is given that g : x → 3x + 15 and h : x → 2x − 12.(a) Cari/Find(i) h(8),(ii) nilai p jika g(p − 1) = 12h(8) + 1,the value of p if g(p − 1) = 12h(8) + 1,(iii) hg(x).[5 markah/marks](b) (i) Lakar graf bagi y = |hg(x)| untuk −6 x 0. KBAT MengaplikasiSketch the graph of y = |hg(x)| for −6 x 0.(ii) Cari nilai q dengan keadaan hg(q) = 2gh(q).Find the value of q such that hg(q) = 2gh(q).[5 markah/marks]SArasTAras1 Jumlah bayaran meletak kenderaan, p, di sebuah pasar raya ialah RM7.00 untuk satu jam yang pertama dan RM4.00 bagi setiap jam yang berikutnya, x. KBAT MengaplikasiThe total parking fee, p, at a supermarket is RM7.00 for the first hour and RM4.00 for each subsequent hour, x.(a) Tulis suatu fungsi untuk mewakili jumlah bayaran meletak kenderaan untuk x jam.Write a function to represent the total parking fee for x hours.(b) Cari fungsi songsangan bagi p. Seterusnya, cari jumlah masa meletak kenderaan jika jumlah bayaran ialah RM87.00.Find the inverse function of p. Then, find the total parking time if the total fee is RM87.00.TArasBahagian BKertas 2Bahagian ABahagian BZon KBAT01 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 1_1-19_Final.indd 19 9/30/25 7:06 AM
202.1 Persamaan dan Ketaksamaan KuadratikQuadratic Equations and Inequalities1 Bentuk am persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.The general form of a quadratic equation is ax2 + bx + c = 0, where a, b and c are constants and a ≠ 0.2 Ciri-ciri persamaan kuadratik:Characteristics of a quadratic equation:(a) Melibatkan hanya satu pemboleh ubah.Involves only one variable.(b) Mempunyai tanda ‘=’ dan boleh dinyatakan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0.Has an equal sign ‘=’ and can be expressed in the form ax2 + bx + c = 0.(c) Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah ialah 2.The highest power of the variable is 2.3 Terdapat dua kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik:There are two methods that can be used to solve quadratic equations:(a) Kaedah penyempurnaan kuasa duaCompleting the square method(b) Kaedah rumusFormula methodx = −b ± b2 − 4ac2a4 Persamaan kuadratik dengan punca-punca yang diberi boleh ditulis sebagaiA quadratic equation with given roots can be expressed asx2 − (hasil tambah punca)x + (hasil darab punca) = 0x2 − (sum of roots)x + (product of roots) = 05 Kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik:The methods that can be used to solve a quadratic inequality:(a) Kaedah lakaran graf/Graph sketching method(b) Kaedah garis nombor/Number line method(c) Kaedah jadual/Table method2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan KuadratikTypes of Roots of Quadratic Equations1 Jenis-jenis punca bagi suatu persamaan kuadratik boleh ditentukan dengan mencari nilai b2 − 4ac. Nilai ini dikenali sebagai pembezalayan.Types of roots of a quadratic equation can be determined by finding the value of b2 − 4ac. This value is known as discriminant. 2 Terdapat tiga jenis punca persamaan kuadratik:There are three types of roots of quadratic equations:(a) Dua punca nyata yang sama, b2 − 4ac = 0Two real and equal roots, b2 − 4ac = 0(b) Dua punca nyata dan berbeza, b2 − 4ac > 0Two real and different roots, b2 − 4ac > 0(c) Tidak mempunyai punca nyata, b2 − 4ac < 0Has no real roots, b2 − 4ac < 02.3 Fungsi Kuadratik/Quadratic Functions1 Diberi fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c,Given that a quadratic function f(x) = ax2 + bx + c,(a) jika a ialah positif (a > 0), maka graf fungsi kuadratik itu mempunyai satu titik minimum,if a is positive (a > 0), then the graph of the quadratic function has a minimum point,(b) jika a ialah negatif (a < 0), maka graf fungsi kuadratik itu mempunyai satu titik maksimum.if a is negative (a < 0), then the graph of the quadratic function has a maximum point.2 Perubahan nilai a, b dan c memberi kesan terhadap bentuk dan kedudukan graf.The changes in the values of a, b and c affect the shape and position of the graph.3 Bentuk dan kedudukan graf tersebut adalah seperti berikut:/The shape and position of the graph is as follows:PembezalayanDiscriminantJenis punca dan kedudukan grafTypes of roots and position of the graphf(x) = ax2 + bx + ca > 0 a < 0b2 − 4ac > 0• Dua punca nyata dan berbeza/Two real and different roots• Graf menyilang paksi-x pada dua titik yang berbezaThe graph intersects the x-axis at two different pointsx xb2 − 4ac = 0• Dua punca nyata yang sama/Two real and equal roots• Graf menyentuh paksi-x hanya pada satu titik The graph touches the x-axis at one point only xxRevisi PantasPraktis PBDBab Bidang Pembelajaran: Algebra2 Fungsi KuadratikQuadratic Functions02 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 2_20-42_Final.indd 20 9/30/25 9:45 AM
21PembezalayanDiscriminantJenis punca dan kedudukan grafTypes of roots and position of the graphf(x) = ax2 + bx + ca > 0 a < 0b2 − 4ac < 0• Tidak mempunyai punca nyata/Has no real roots• Graf tidak menyilang paksi-xThe graph does not intersect the x-axis xx4 Fungsi kuadratik boleh ditulis dalam bentuk am, bentuk verteks dan bentuk pintasan.A quadratic function can be written in general form, vertex form and intercept form.Bentuk am/General formf(x) = ax2 + bx + cBentuk verteks/Vertex formf(x) = a(x − h)2 + kBentuk pintasan/Intercept formf(x) = a(x − p)(x − q)VerteksVertex 1− b2a, f1− b2a 22 (h, k) 1p + q2 , f1p + q2 22Paksi simetriAxis of symmetry x = − b2a x = h x = p + q2x² − 7x − 4 = 0Penyelesaian x² − 7x − 4 = 0x² − 7x = 4x² − 7x + 1−72 22= 4 + 1−72 221x − 72 22= 4 + 4941x − 72 22= 654x − 72 = ± 654x = −0.531 atau/or x = 7.531 Contoh 1 1 x² − 5x + 3 = 0x² − 5x + 3 = 0x² − 5x = −3x² − 5x + 1−52 22 = −3 + 1−52 221x − 5222 = −3 + 2541x − 5222 = 134x − 52 = ± 134x = 0.697 atau/or x = 4.3032 x² − 9x − 7 = 0x² − 9x − 7 = 0x² − 9x = 7x² − 9x + 1−92 22 = 7 + 1−92 221x − 92 22 = 7 + 8141x − 92 22 = 1094x − 92 = ± 1094x = −0.720 atau/or x = 9.720 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik/Quadratic Equations and InequalitiesLatihan 1 Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Beri jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. TP 3Solve the following quadratic equations by using completing the square method. Give the answers correct to three decimal places.TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi kuadratik untuk melaksanakan tugasan mudah.Praktis PBD02 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 2_20-42_Final.indd 21 9/30/25 9:45 AM
43Praktis PBD3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak LinearSimultaneous Equations Involving One Linear Equation and One Non-Linear Equation1 Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan serentak:The steps to solve simultaneous equations:Selesaikan persamaan kuadratik itu dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus x = −b ± b2 − 4ac2a .Solve the quadratic equation by using factorisation or formula x = −b ± b2 − 4ac2a .Gantikan penyelesaian satu demi satu ke dalam persamaan linear untuk mendapatkan nilai-nilai pemboleh ubah.Substitute the solution one by one into the linear equation to obtain the value of the variables.Jadikan salah satu pemboleh ubah sebagai subjek persamaan.Make one of the variables as the subject of the equation.Kenal pasti persamaan linear.Identify the linear equation.Gantikan pemboleh ubah itu ke dalam persamaan tak linear, menjadikan satu persamaan kuadratik dengan satu pemboleh ubah.Substitute the variable into the non-linear equation, giving a quadratic equation in one variable. i-THINK Peta Alir3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh UbahSystems of Linear Equations in Three Variables1 Sistem persamaan linear terdiri daripada dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama.A system of linear equations consists of two or more linear equations that contain the same set of variables.2 Bentuk am bagi suatu sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah ialah ax + by + cz = d, dengan keadaan a, b dan c ≠ 0.The general form of a linear equation in three variables is ax + by + cz = d, where a, b and c ≠ 0.3 Terdapat dua kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah:There are two methods that can be used to solve systems of linear equations in three variables:(a) Kaedah penghapusan/ Elimination method(b) Kaedah penggantian/ Substitution method4 Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharian. Masalah yang diberi diungkapkan sebagai satu sistem persamaan linear dan kemudian diselesaikan untuk menentukan nilai bagi setiap pemboleh ubah. Kadang-kadang, sistem persamaan itu terdiri daripada tiga persamaan linear tetapi tidak semestinya setiap persamaan linear melibatkan tiga pemboleh ubah.Systems of linear equations in three variables are used to solve problems in daily life. The given problem is expressed as a system of linear equations and then solved to determine the value of each variable. Sometimes, the systems of equations consists of three linear equations but not every linear equation involves three variables.Bab Bidang Pembelajaran: Algebra3 Sistem PersamaanSystems of EquationsRevisi Pantas03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 3_43-57_Final.indd 43 9/30/25 9:48 AM
47Praktis PBDLatihan 4 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem persamaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.Selesaikan sistem persamaan linear berikut.Solve the following system of linear equation.x + 2y + z = 32x − y + 3z = 132x + 3y + 4z = 11Langkah 1: Pilih ‘Equation/Function’ pada Menu. Pilih Simul Equation dan pilih 3 pemboleh ubah.Step 1: Choose ‘Equation/Function’ in Menu. Choose Simul Equation and select 3 unknowns.MENU ALPHA (−) 1 3Langkah 2: Masukkan semua nilai pekali bagi pemboleh ubah dan tekan ‘=’ untuk mendapatkan nilai-nilai x, y dan z.Step 2: Key in all the coefficients of the variables and press ‘=’ to get the values of x, y and z.=11=32==21==33==1(−)4211=====3Sudut KalkulatorSiti membeli 2 kg lobak merah, 1 kg kubis dan 3 kg ubi kentang dengan harga RM21.50, manakala Salmah membeli 4 kg lobak merah, 1 kg kubis dan 2 kg ubi kentang dengan harga RM27.50. Diberi jumlah harga bagi 1 kg lobak merah dan 1 kg kubis adalah melebihi harga bagi 1 kg ubi kentang sebanyak RM5. Cari harga untuk sekilogram bagi setiap jenis sayur, dalam RM.Siti buys 2 kg of carrots, 1 kg of cabbages and 3 kg of potatoes for RM21.50, while Salmah buys 4 kg of carrots, 1 kg of cabbages and 2 kg of potatoes for RM27.50. Given the total price of 1 kg of carrots and 1 kg of cabbages exceeds the price of 1 kg of potatoes by RM5. Find the price for a kilogram of each type of vegetable, in RM. Katakan harga bagi 1 kg lobak merah = xharga bagi 1 kg kubis = yharga bagi 1 kg ubi kentang = zLet the price of 1 kg of carrots = xthe price of 1 kg of cabbages = ythe price of 1 kg of potatoes = z2x + y + 3z = 21.5 14x + y + 2z = 27.5 2 x + y − z = 5 3Hapuskan y daripada 1 dan 2 ,Eliminate y from 1 and 2 ,1 : 2x + y + 3z = 21.52 : 4x + y + 2z = 27.5 (−) −2x + z = −6 4Hapuskan y daripada 2 dan 3 ,Eliminate y from 2 and 3 ,2 : 4x + y + 2z = 27.53 : x + y − z = 5 (−) 3x + 3z = 22.5 x + z = 7.5 5Selesaikan 4 dan 5 untuk mencari nilai x dan z,Solve 4 and 5 to find the values of x and z,4 : −2x + z = −65 : x + z = 7.5 (−) −3x = −13.5 x = 4.5Daripada/From 5 , (4.5) + z = 7.5 z = 3Daripada/From 1 , 2(4.5) + y + 3(3) = 21.5 y = 3.5Maka, harga bagi 1 kg lobak merah ialah RM4.50, harga bagi 1 kg kubis ialah RM3.50 dan harga bagi 1 kg ubi kentang ialah RM3.Hence, the price of 1 kg of carrots is RM4.50, the price of 1 kg of cabbages is RM3.50 and the price of 1 kg of potatoes is RM3.Contoh 403 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 3_43-57_Final.indd 47 9/30/25 9:48 AM
584.1 Hukum IndeksLaws of Indices1 Hukum indeks boleh digunakan untuk mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan indeks.Laws of indices can be used to simplify an algebraic expression involving indices.• am × an = am + n• am ÷ an = am − n• (am)n = am × n• 1ab 2m= ambm• a1 = a• a0 = 1, a ≠ 0• a−m = 1am• amn = a n m2 Persamaan yang melibatkan indeks boleh diselesaikan dengan menggunakan cara berikut:Equations involving indices can be solved by using the following methods:(a) Jika am = an, maka m = n.If am = an, then m = n(b) Jika am = bm, maka a = b.If am = bm, then a = b.4.2 Hukum SurdLaws of Surds1 Surd merupakan nombor dalam bentuk punca kuasa, a , dengan keadaan a ialah integer positif.Surds are numbers in the square root form, a , where a is a positive integer.2 Surd mempunyai bilangan perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak berulang.Surds have infinite decimal places and are non-recurring.Contoh/Example:3 tidak boleh dipermudah, maka 3 ialah surd.3 cannot be simplified, therefore 3 is a surd.3 Suatu nombor dengan simbol radikal dan nilainya ialah suatu integer atau perpuluhan berulang ialah bukan surd.A number with a radical symbol and whose value is an integer or recurring decimal is not a surd.Contoh/Example:9 ialah bukan surd kerana 9 = 39 is not a surd because 9 = 34 Hukum surd/Laws of surds:(a) a × b = ab(b) a ÷ b = a b5 Suatu pecahan dengan penyebutnya ialah nombor tak nisbah hendaklah ditulis dengan menisbahkan penyebut itu.A fraction with an irrational denominator should be written by rationalising the denominators.6 Untuk menisbahkan penyebut, darabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat supaya surd dihapuskan daripada penyebutnya.To rationalise the denominators, multiply the numerator and denominator with the conjugate surd so that the surd can be eliminated from the denominator.Surd/Surd Surd konjugat/Conjugate surdm a m am a + n b m a − n bm a − n b m a + n b4.3 Hukum LogaritmaLaws of Logarithms1 Jika N = ax, dengan keadaan a > 0 dan a ≠ 1, maka x ialah logaritma N dalam asas a, iaitu loga N = x.If N = ax, where a > 0 and a ≠ 1, then x is the logarithm of N to the base a, which is loga N = x.N = ax ↔ loga N = x2 Bagi sebarang nombor nyata, a > 0 dan a ≠ 1For any real numbers, a > 0 and a ≠ 1loga 1 = 0loga a = 13 Logaritma bagi suatu nombor negatif dan sifar adalah tidak tertakrif.Logarithm of a negative number and zero are undefined.4 Hukum logaritma/Laws of logarithms:(a) loga xy = loga x + loga y(b) logaxy = loga x − loga y(c) loga xn = n loga x5 Logaritma dalam asas tertentu boleh ditukarkan kepada asas lain dengan menggunakan rumus berikut:The logarithm of a certain base can be changed to other bases using the following formulae:(a) loga b = logc blogc a (b) loga b = 1logb aRevisi PantasPraktis PBDBab Bidang Pembelajaran: Algebra4 Indeks, Surd dan LogaritmaIndices, Surds and Logarithms04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 4_58-73_Final.indd 58 9/30/25 7:23 AM
594.1 Hukum Indeks/ Laws of IndicesLatihan 1 Permudahkan ungkapan algebra yang berikut. TP 2Simplify the following algebraic expressions. TP 2 Mempamerkan kefahaman asas tentang indeks, surd dan logaritma.( 3h)4 × (5hk)3(15hk)2Penyelesaian = ( 3h)4 × (5hk)3(3 × 5hk)2= ( 3)4 × h4 × 53 × h3 × k 332 × 52 × h2 × k2= 32 − 2 × 53 − 2h4 + 3 − 2k3 − 2= 30 × 51 × h5k1= 5h5kContoh 1 1 (2m2n3)2 × (2m5n)−1= 22m4n6 × 2−1m−5n−1= 22 − 1m4 − 5n6 − 1= 21m−1n5= 2n5m2 2n + 4 − 2n + 22n + 2= 2n(24) − 2n(22)2n(22)= 16(2n) − 4(2n)4(2n)= 12(2n)4(2n)= 33 36m−5p4 × 112 × mp3222= 36m−5p4 × 14 × m²p3= 9m−5 + 2p4 + 3= 9m−3p7= 9p7m34 ( 3xy2)6 × y−43xy2= ( 3)6x6y12 × y−43xy2= 33x6 − 1 y12 − 4 − 23= 9x5y65 (4p³)2 × (2q−2)2(6pq−1)2= 16p6 × 4q−436p2q−2= 16 × 436 × p6 − 2q−4 − (−2)= 169 p4q−2= 16p49q26 Logaritma jati ialah logaritma yang mempunyai asas e dan boleh ditulis sebagai loge atau ln.Natural logarithms are logarithms with base e and can be written as loge or ln.4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan LogaritmaApplications of Indices, Surds and Logarithms1 Masalah yang melibatkan indeks, surd dan logaritma boleh diselesaikan dengan menggunakan hukum indeks, hukum surd dan hukum logaritma.Problems involving indices, surds and logarithms can be solved using laws of indices, laws of surds and laws of logarithms.Praktis PBD04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 4_58-73_Final.indd 59 9/30/25 7:23 AM
64(a) AB45B(b) 2AB50B − 3AB2BPenyelesaian(a) AB45B = ABBBB 9 × 5B = AB9B × AB5B = 3 × AB5B = 3AB5B(b) 2AB50B − 3AB2B= 2ABBBBB 25 × 2B − 3AB2B= 2(AB25B × AB2B) − 3AB2B= 2(5 × AB2B) − 3AB2B= 10AB2B − 3AB2B= 7AB2BContoh 7 1 AB52B= ABBBBB 4 × 13B= AB4 B × ABB13= 2 × ABB13= 2ABB132 ABBB147B= ABBBBB 49 × 3B= ABB49 × AB3 B= 7 × AB3 B= 7AB3 B3 AB48B2= ABBBBB 16 × 3B2= ABB16 × AB3B2= 4 × AB3B2= 2 × AB3B= 2AB3 B4 AB72B3= ABBBBBBB 9 × 4 × 2B3= AB9B × AB4B × AB2B3= 3 × 2 × AB2B3= 2 × AB2B= 2AB2 B5 3AB2B + 2AB8B= 3AB2 B + 2ABBBB 4 × 2B= 3AB2 B + 2(AB4 B × AB2 B)= 3AB2 B + 2(2 × AB2 B) = 3AB2 B + 4 × AB2 B= 3AB2 B + 4AB2 B= 7AB2 B6 4AB27B + 2AB3B= 4ABBBB 9 × 3B + 2AB3 B= 4AB9 B × AB3 B + 2AB3 B= 4(3) × AB3 B + 2AB3 B= 12AB3 B + 2AB3 B= 14AB3 B7 9AB2B − 2AB18B= 9AB2 B − 2ABBBB 9 × 2B= 9AB2 B − 2(AB9 B × AB2 B)= 9AB2 B − 2(3 × AB2 B)= 9AB2 B − 6AB2 B= 3AB2 BLatihan 7 Permudahkan setiap yang berikut dalam bentuk aABBb . TP 3Simplify each of the following in the form of aABb .TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah.Latihan 8 Nisbahkan penyebut dan permudahkan setiap yang berikut. TP 3Rationalise the denominator and simplify each of the following.TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah.Penyelesaian(a) 10AB5B = 10AB5B × AB5BAB5B = 10AB5B5 = 2AB5B(b) 3AB5B − AB2B = 3AB5B − AB2B × AB5B + AB2BAB5B + AB2B = 3(AB5B + AB2B)(AB5B)2 − (AB2B)2 = 3(AB5B + AB2B)5 − 2 = 3(AB5B + AB2B)3 = AB5B + AB2B(a) 10AB5B (b) 3AB5B − AB2BContoh 8Tip Bestari• a × a = ( a )2 = a• ( a − b )( a + b )= ( a )2 − ( b )2= a − bPraktis PBD04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 4_58-73_Final.indd 64 9/30/25 7:23 AM
74Praktis PBD5.1 Janjang AritmetikArithmetic Progressions1 Janjang aritmetik ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan beza antara setiap sebutan (selepas sebutan pertama) dengan sebutan sebelumnya ialah suatu pemalar. An arithmetic progression is a sequence of numbers such that the difference between each term (after the first term) and its preceding term is a constant.2 Pemalar ini dikenali sebagai beza sepunya, d.The constant is known as common difference, d.d = Tn − Tn − 1, dengan keadaan/where n = 2, 3, 4, …3 Sebutan ke-n, Tn, bagi suatu janjang aritmetik ditulis sebagaiThe nth term, Tn, of an arithmetic progression is witten asTn = a + (n − 1)ddengan keadaan/wherea = sebutan pertama/the first termd = beza sepunya/the common differencen = bilangan sebutan/number of terms4 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh,The sum of the first n terms, Sn, of an arithmetic progression is given by,Sn = n2[2a + (n − 1)d]dengan keadaan/wherea = sebutan pertama/the first termd = beza sepunya/the common difference5 Jika sebutan terakhir diberi, hasil tambah n sebutan pertama boleh dicari dengan menggunakan rumusIf the last term is given, the sum of the first n terms can be determined by using the formulaSn = n2[a + l]dengan keadaan/wherea = sebutan pertama/the first terml = sebutan terakhir/the last term6 Sebutan ke-n, Tn, bagi suatu janjang aritmetik boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut.The nth term, Tn, of an arithmetic progression can be found by using the following formula.Tn = Sn − Sn − 15.2 Janjang GeometriGeometric Progressions1 Janjang geometri ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan nisbah antara setiap sebutan (selepas sebutan pertama) dengan sebutan sebelumnya ialah suatu pemalar. A geometric progression is a number sequence such that the ratio between each term (after the first term) and its preceding term is a constant.2 Pemalar ini dikenali sebagai nisbah sepunya, r.The constant is known as common ratio, r.r = TnTn − 1, n = 2, 3, 4…3 Sebutan ke-n, Tn, bagi suatu janjang geometri ditulis sebagaiThe nth term, Tn, of a geometric progression is witten asTn = arn − 1dengan keadaan/wherea = sebutan pertama/the first termr = nisbah sepunya/the common ratio4 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi suatu janjang geometri diberi olehThe sum of the first n terms, Sn, of a geometric progression is given bySn = a(rn − 1)r − 1 , r > 1 Sn = a(1 − rn)1 − r , r < 1 dengan keadaan/wherea = sebutan pertama/the first termr = nisbah sepunya/the common ratio5 Sebutan ke-n, Tn, bagi suatu janjang geometri boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut.The nth term, Tn, of a geometric progression can be found by using the following formula.Tn = Sn − Sn − 16 Apabila nilai n menghampiri ketakterhinggaan (n → ∞),hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang geometri menjadi hasil tambah ketakterhinggaan dengan keadaanWhen the value of n approaches to infinity (n → ∞), the sum of the first n terms of a geometric progression becomes the sum to infinity whereS∞ = a1 − r, |r|< 1Bab Bidang Pembelajaran: Algebra5 JanjangProgressionsRevisi Pantas05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 5_74-97_FInal.indd 74 9/30/25 7:29 AM
75Praktis PBD5.1 Janjang Aritmetik/ Arithmetic ProgressionsLatihan 1 Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang aritmetik atau bukan. Beri alasan anda. TP 2Determine whether each of the following sequences is an arithmetic progression or not. Give your reason.TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri.152, 14812, 145, …Penyelesaian d1 = 14812 − 152 = −312d2 = 145 − 14812 = −312Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = −312.The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = −3 12.Contoh 1 1 9, 16, 23, …d1 = 16 − 9 = 7 d2 = 23 − 16 = 7 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = 7.The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = 7.2 1513, 1723, 20, …d1 = 1723 − 1513 = 213d2 = 20 − 1723 = 213Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = 213.The sequence is an arithmetic progression because d1= d2 = 2 13 .3 3, 4, 7, …d1 = 4 − 3 = 1d2 = 7 − 4 = 3Jujukan ini bukan janjang aritmetik kerana d1 ≠ d2.The sequence is not an arithmetic progression because d1 ≠ d2.4 2034, 1712, 1414, …d1 = 1712 − 2034 = −314d2 = 1414 − 1712 = −314Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = −314.The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = −3 14 .5 π + 2, 4π + 6, 7π + 10, …d1 = (4π + 6) − (π + 2)= 3π + 4d2 = (7π + 10) − (4π + 6)= 3π + 4Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = 3π + 4.The sequence is an arithmetic progression because d1= d2 = 3π + 4.05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 5_74-97_FInal.indd 75 9/30/25 7:29 AM
95Praktis SPM1 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 12 − x, 18 dan 4x. Cari The first three terms of an arithmetic progression are 12 − x, 18 and 4x. Find (a) beza sepunya janjang itu,the common difference of the progression,(b) hasil tambah dari sebutan ke-10 hingga sebutan ke-20.the sum from the 10th term to the 20th term.[5 markah/marks]2 Diberi bahawa hasil tambah p sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sp = q − 32 (a + 13),dengan keadaan q ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 13 ialah sebutan terakhir. It is given that the sum of the first p terms of an arithmetic progression is Sp = q − 32 (a + 13), such that q is a constant, a is the first term and 13 is the last term.(a) Ungkapkan q dalam sebutan p.Express q in terms of p.(b) Nyatakan julat nilai q.State the range of values of q.[4 markah/marks]SArasSAras5 (a) Rajah 1 menunjukkan susunan bagi tiga buah kon yang pertama yang mempunyai jejari sepunya, j cm. Diagram 1 shows the arrangement of the first three cones which are having the common radius, j cm. 5 cm8 cm11 cmRajah 1/ Diagram 1TAras3 Diberi sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri ialah 32 dan hasil tambah sebutan ketiga dan keempat ialah 16. Cari Given the third term of a geometric progression is 32 and the sum of the third and the fourth terms is 16. Find(a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu,the first term and the common ratio of the progression,(b) hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang itu.the sum to infinity of the progression.[5 markah/marks]4 (a) Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Tentukan nilai positif w. Given the first three terms of a geometric progression are 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Determine the positive value of w. [2 markah/marks](b) Tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri ialah 36, h dan k. Diberi bahawa hasil tambah bagi tiga sebutan itu ialah 28. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi h dan k.Three consecutive terms of a geometric progression are 36, h and k. It is given that the sum of these three terms is 28. Find the possible values of h and k. KBAT Mengaplikasi [3 markah/marks]SArasSArasTArasPraktis SPM 5Kertas 1Bahagian ABahagian B05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 5_74-97_FInal.indd 95 9/30/25 7:30 AM
98Praktis PBDRevisi Pantas6.1 Hubungan Linear dan Tak LinearLinear and Non-Linear Relations1 Graf bagi suatu hubungan linear membentuk satu garis lurus, manakala graf bagi suatu hubungan tak linear tidak membentuk garis lurus. A graph for a linear relation forms a straight line, while a graph for a non-linear relation does not form a straight line.2 Ciri-ciri garis lurus penyuaian terbaik ialah: The properties of a line of best fit are:(a) melalui seberapa banyak titik yang mungkin passes through as many points as possible(b) bilangan titik yang tidak terletak pada garis lurus mestilah seimbang di kedua-dua belah garis lurus ituthe number of points that do not lie on the straight line must be distributed evenly on both sides of the straight lineyx1 2 3 4 5 6246810120Garis lurus penyuaian terbaikLine of best fit6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak LinearLinear Law and Non-Linear Relations1 Persamaan bagi garis lurus boleh ditulis sebagai Y = mX + c, dengan keadaan m ialah kecerunan dan c ialah pintasan-Y. X dan Y mewakili fungsi dalam sebutan x atau y atau kedua-duanya.The equation of a straight line can be written as Y = mX + c, where m is the gradient and c is the Y-intercept. X and Y represent the functions in terms of x or y or both.2 Suatu hubungan tak linear boleh ditukarkan kepada hubungan linear supaya satu graf garis lurus dapat dilukis.A non-linear relation can be converted to a linear relation so that a straight line can be drawn.3 Antara contoh hubungan tak linear yang boleh ditukarkan kepada bentuk linear ialah:Some examples of non-linear relations that can be converted to the linear forms are:(a) y = abx ⇒ log10 y = x log10 b + log10 a(b) y = axb ⇒ log10 y = b log10 x + log10 a(c) y = ax2 + bx ⇒ yx = ax + b ⇒ yx2 = b11x 2 + a(d) y = ax + bx ⇒ xy = ax2 + b ⇒ yx = b11x2 2 + a(e) ay = bx + 1 ⇒ 1y = ba 11x 2 + 1a(f) y = xa + bx⇒ 1y = a11x 2 + b(g) ay = bx2 + x ⇒ yx = 1ba 2x + 1aBab Bidang Pembelajaran: Algebra6 Hukum LinearLinear Law06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 6_98-115_FInal.indd 98 9/30/25 7:33 AM
110Praktis PBD6.3 Aplikasi Hukum Linear/ Applications of Linear LawLatihan 8 Selesaikan masalah berikut. TP 4 TP 5Solve the following problems.TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.Diberi bahawa jarak objek, u, jarak imej, v, dan jarak fokus, f, bagi suatu kanta dihubungkan oleh persamaan 1u + 1v = 1f. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, u dan v, yang diperoleh daripada suatu eksperimen.It is given that the distance of the object, u, the distance of the image, v, and the focal length, f, of a lens are related by the equation 1u + 1v = 1f . The table below shows the values of the variables, u and v, obtained from an experiment.u 10 16 20 25 36v 10.87 7.81 7.14 6.67 6.17(a) Bina satu jadual bagi nilai-nilai 1u dan 1v. Construct a table for the values of 1u and 1v. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 0.02 unit pada kedua-dua paksi, plot graf 1v melawan 1u . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.Using a scale of 2 cm to 0.02 unit on both axes, plot a graph of 1v against 1u . Hence, draw the line of best fit. (c) Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai Use the graph in (b) to find the value of(i) 1f apabila 1u = 0,1f when 1u = 0,(ii) f.Penyelesaian(a) 1u0.1 0.06 0.05 0.04 0.031v0.09 0.13 0.14 0.15 0.16(b)0.060.040.0200.020.040.080.060.080.100.10 0.120.120.140.160.180.201v1u0.189(c) 1u + 1v= 1f 1v= −1u + 1f(i) Apabila/When 1u = 0, 1f= 1v= 0.189(ii) 1f= 0.189 f = 5.29Contoh 706 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 6_98-115_FInal.indd 110 9/30/25 7:33 AM
111Praktis PBD1 Tempoh ayunan, T bagi sebuah bandul ringkas dan panjangnya, L dihubungkan oleh persamaan T = 2pALg , dengan keadaan g ialah pecutan disebabkan oleh graviti. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, L dan T, yang diperoleh daripada suatu eksperimen.The period, T of a simple pendulum and its length, L are related by the equation T = 2pALg , where g is the acceleration due to gravity. The table below shows the values of the variables, L and T, obtained from an experiment.L (cm) 20 30 50 70 80T (s) 0.898 1.1 1.42 1.68 1.80(a) Bina satu jadual bagi nilai-nilai T2. Beri jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan.Construct a table for the values of T2. Give your answer correct to two decimal places.(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-L dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-T2, plot graf T2 melawan L. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.Using a scale of 2 cm to 10 units on the L-axis and 2 cm to 0.5 unit on the T2-axis, plot a graph of T2 against L. Hence, draw the line of best fit. (c) Menggunakan graf di (b), cari nilai/Using the graph in (b), find the value of(i) g, (ii) T apabila/when L = 200 cm.(a) L (cm) 20 30 50 70 80T2 (s2) 0.81 1.21 2.02 2.82 3.24(b)30201000.51.0401.52.02.53.03.5LT250 60 70 80(c) (i) T = 2pALg T2 = 4p2gL Kecerunan/Gradient = 4p2g 3.24 − 0.8180 − 20 = 4p2g0.0405 = 4p2gg = 4p20.0405g = 975 cm/s2(ii) T = 2pAL975 Apabila/When L = 200, T = 2pA200975 = 2.846 saat/seconds06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 6_98-115_FInal.indd 111 9/30/25 7:33 AM
1167.1 Pembahagi Tembereng GarisDivisor of a Line Segment1 Tembereng garis ialah sebahagian daripada satu garis lurus dengan dua titik hujung yang mempunyai jarak tertentu.A line segment is part of a straight line with two end points that has specific distance.2 Dalam rajah di bawah, titik Q membahagi tembereng garis PR dengan nisbah m : n. In the diagram below, point Q divides the line segment PR in the ratio m : n.(x1, y1)m + n(x2, y2)m nP Q RMaka, koordinat titik Q ialahThen, the coordinates of point Q areQ(x, y) = nx1 + mx2m + n , ny1 + my2m + n 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus SerenjangParallel Lines and Perpendicular Lines1 Diberi kecerunan bagi garis lurus L1 ialah m1 dan garis lurus L2 ialah m2.It is given that the gradient of the straight line L1 is m1 and the straight line L2 is m2.(a) Dua garis lurus itu adalah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika m1 = m2.The two straight lines are parallel to each other if and only if m1 = m2.(b) Dua garis lurus itu adalah berserenjang antara satu sama lain jika dan hanya jika m1m2 = −1.The two straight lines are perpendicular to each other if m1m2 = −1. m1m2 = −1m2m1 L2L1m1 = m2m1L1L2 m27.3 Luas PoligonAreas of Polygons1 Jika A(x1, y1), B(x2, y2) dan C(x3, y3) ialah bucu-bucu bagi sebuah segi tiga pada suatu satah Cartes, maka luas ∆ABC ialahIf A(x1, y1), B(x2, y2) and C(x3, y3) are vertices of a rectangle on a Cartesian plane, then the area of ∆ABC is12 x1 x2 x3 x1y1 y2 y3 y1 = 12 (x1y2 + x2y3 + x3y1) − (x2y1 + x3y2 + x1y3)atau/or12 x1 x2 x3 x1y1 y2 y3 y1 = 12 (x1y2 + x2y3 + x3y1) − (x1y3 + x3y2 + x2y1)yxA(x1, y1)B(x2, y2) C(x3, y3)O2 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah lawan jam, nilai luas yang diperoleh ialah positif.If the coordinates are arranged in the anticlockwise direction, then the value of the area obtained is positive.3 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah jam, nilai luas yang diperoleh ialah negatif.If the coordinates are arranged in the clockwise direction, then the value of the area obtained is negative.4 Oleh itu, tatatanda modulus mesti digunakan supaya nilai luas yang diperoleh ialah nilai mutlak. Nilai luas mestilah positif. Therefore, the modulus notation must be used so that the value of the area obtained is an absolute value. The value of the area must be positive.5 Jika A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) dan D(x4, y4) ialah bucubucu bagi sebuah sisi empat pada suatu satah Cartes, maka luas sisi empat ABCD ialahIf A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3, y3) and D(x4, y4) are vertices of a quadrilateral on a Cartesian plane, then the area of quadrilateral ABCD isRevisi PantasPraktis PBDBab Bidang Pembelajaran: Geometri7 Geometri KoordinatCoordinate Geometry07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 7_116-140_Final.indd 116 9/30/25 7:40 AM
126Latihan 9 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 TP 5 KBAT MengaplikasiSolve each of the following.TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.2 4x + 3y + 24 = 0, P(−2, −6) 4x + 3y + 24 = 03y = −4x − 24y = − 43x − 8m1 = − 43, m2 = 34Persamaan garis lurus,Equation of the straight line, y − (−6) = 34[x − (−2)]4(y + 6) = 3(x + 2)4y + 24 = 3x + 63x − 4y − 18 = 03 2x7 + y21 = 2, P(−3, 8) 6x + y21= 26x + y = 42y = −6x + 42m1 = −6, m2 = 16Persamaan garis lurus,Equation of the straight line,y − 8 = 16[x − (−3)]6(y − 8) = x + 36y − 48 = x + 3x − 6y + 51 = 01 Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan tiang lampu yang disusun sebaris. Datuk Bandar bercadang untuk membina sebatang jalan raya lurus yang melalui titik (8, 7) dan tidak menyentuh barisan tiang lampu. Cari persamaan jalan raya yang akan dibina itu.The diagram on the right shows the positions of lamp posts that are arranged in a straight line. The Mayor plans to build a straight road that passes through the point (8, 7) and does not touch the line of lamp posts. Find the equation of the road to be built. Jalan raya yang akan dibina mestilah selari dengan barisan tiang lampu.The road to be built must be parallel to the row of lamp posts.Kecerunan barisan tiang lampu, m1Gradient of the row of lamp posts, m1= 9 − 75 − (−3)= 14Persamaan jalan rayaEquation of the roady = 14 x + c7 = 14 (8) + cc = 5∴ y = 14 x + 5(–3, 7) (8, 7)(5, 9)(5, 9)(8, 7) (–3, 7)m1Praktis PBD07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 7_116-140_Final.indd 126 9/30/25 7:40 AM
149u~ = 2i~ − 5j~Penyelesaian|u~| = (2)2 + (−5)2= 4 + 25= 29 unit/units^u~ = 129 (2i~ − 5j~) Contoh 10 1 u~ = −i~ + 2j~|u~| = (−1)2 + (2)2= 1 + 4= 5 unit/units^u~ = 15(−i~ + 2j~)2 u~ = 4i~ − 3j~|u~| = (4)2 + (−3)2= 16 + 9= 25= 5 unit/units^u~ = 15(4i~ − 3j~)3 u~ = −5i~ − 4j~ |u~| = (−5)2 + (−4)2= 25 + 16= 41 unit/units^u~ = 141(−5i~ − 4j~)= −141(5i~ + 4j~)4 u~ = −5i~ + 12j~ |u~| = (−5)2 + (12)2= 25 + 144= 169= 13 unit/units^u~ = 113(−5i~ + 12j~)5 u~ = 4i~ − 6j~ |u~| = (4)2 + (−6)2= 16 + 36= 52 unit/units^u~ = 152 (4i~ − 6j~)8.3 Vektor dalam Satah Cartes/ Vectors in a Cartesian PlaneLatihan 9 Ungkapkan setiap vektor dalam bentuk xi~ + yj~ dan 1xy . Seterusnya, cari magnitud bagi setiap vektor. Express each vector in the forms of xi~ + yj~ and 1xy. Then, find the magnitude for each vector. TP 2TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor.Latihan 10 Cari vektor unit dalam arah vektor yang diberi. TP 2Find the unit vector in the direction of the vector given.TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor.O xy22 4 6 8468 a~b~c~d~e~1010VektorVector xi~ + yj~ 1xy MagnitudMagnitudeContoh 9a~ 3i~ + 4j~ 134 32 + 42= 5 unit/units1 b~ 5i~ + 3j~ 153 52 + 32= 5.831 unit/units2 c~ 4i~ − 2j~ 1 4−2 42 + (−2)2= 4.472 unit/units3 d~ 2i~ − 5j~ 1 2−5 22 + (−5)2= 5.385 unit/units4 e~ −5i~ − j~ 1−5−1 (−5)2 + (−1)2= 5.099 unit/unitsUntuk tujuan pembelajaranImbas kod QR atau layari https://youtu.be/RMMtD17mntsuntuk menonton video tentang vektor dalam satah Cartes.VideoVideoPraktis PBD08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 8_141-154_Final.indd 149 9/30/25 7:46 AM
16313 cm48º8 cm x cmRP QPenyelesaiana2 = b2 + c2 − 2bc kos A/ cos Ax2 = 132 + 82 − 2(13)(8) kos 48°/ cos 48°x2 = 93.821 x = 9.686Contoh 8 17 cm52ºx cm14 cmP RQa2 = b2 + c2 − 2bc kos A/cos Ax2 = 72 + 142 − 2(7)(14) kos 52°/cos 52°x2 = 124.330 x = 11.15250º16.5 cm13 cmx cmRPQa2 = b2 + c2 − 2bc kos A/cos Ax2 = 132 + 16.52 − 2(13)(16.5) kos 50°/cos 50°x2 = 165.494 x = 12.86354º 26’9.4 cm15 cm RQPx cma2 = b2 + c2 − 2bc kos A/cos Ax2 = 152 + 9.42 − 2(15)(9.4)kos 54°26’/cos 54°26’x2 = 149.335 x = 12.224 QRPx cm 9.6 cm13 cm118ºa2 =b2 + c2 − 2bc kos A/cos Ax2 =9.62 + 132 − 2(9.6)(13)kos 118°/cos 118°x2 =378.34 x =19.455126º 43’14 cm6.7 cmx cmRPQa2 = b2 + c2 − 2bc kos A/cos Ax2 = 6.72 + 142 − 2(6.7)(14)kos 126°43’/cos 126°43’x2 = 353.05 x = 18.79P fiQR14.5 cm9 cm 8 cmPenyelesaiankos θ/cos θ = b2 + c2 − a22bc = 92 + 14.52 − 822(9)(14.5)= 0.8707θ = 29° 28’ atau/or 29.46°Contoh 9 1 Q10 cm13 cm6 cmP Rfikos θ/cos θ = 62 + 132 − 1022(6)(13) = 0.6731θ = 47° 42’2 Q12 cm6.5 cmP9 cmRfikos θ/cos θ = 92 + 122 − 6.522(12)(9) = 0.8461θ = 32° 13’Latihan 8 Cari nilai x bagi setiap yang berikut. TP 3Find the value of x for each of the following.TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah.Latihan 9 Cari nilai θ bagi setiap yang berikut. TP 3Find the value of θ for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah.Praktis PBD09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 9_155-174_Final.indd 163 9/30/25 7:50 AM
183Praktis PBD2 Jadual di bawah menunjukkan indeks harga bagi tiga jenis bahan yang digunakan untuk menghasilkan sejenis bateri pada tahun 2024 berasaskan tahun 2023.The table below shows the price indices of three materials used to produce a type of battery in the year 2024 based on the year 2023.BahanMaterialIndeks hargaPrice index A 156B 115C 105Carta pai di sebelah mewakili kuantiti relatif bagi bahan-bahan yang digunakan dalam penghasilan bateri itu.The pie chart on the right represents the relative quantity of the materials used in producing the battery.B30% 60%10%ACHitung indeks gubahan pada tahun 2024 berasaskan tahun 2023.Calculate the composite index in the year 2024 based on the year 2023.Nisbah/Ratio A : B : C = 60 : 30 : 10 = 6 : 3 : 1–I = (156 × 6) + (115 × 3) + (105 × 1)6 + 3 + 1= 1 38610= 138.63 Jadual di bawah menunjukkan indeks harga bagi empat jenis bahan yang digunakan untuk membuat sejenis biskut pada tahun 2023 berasaskan tahun 2020.The table below shows the price indices of four ingredients used to make a type of biscuit in the year 2023 based on the year 2020.BahanIngredientIndeks hargaPrice index M 140N 120P 160Q 150Carta palang di sebelah menunjukkan jisim bagi bahan-bahan yang digunakan untuk membuat biskut itu.The bar chart on the right shows the masses of the ingredients used to make the biscuit. M N P QBahan/IngredientJisim (g)/Mass (g)3002001000Hitung indeks gubahan pada tahun 2023 berasaskan tahun 2020.Calculate the composite index in the year 2023 based on the year 2020.Nisbah/Ratio M : N : P : Q = 100 : 300 : 150 : 50= 2 : 6 : 3 : 1–I = (140 × 2) + (120 × 6) + (160 × 3) + (150 × 1)2 + 6 + 3 + 1= 1 63012= 135.8310 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Bab 10_175-190_Final.indd 183 9/30/25 7:53 AM
191FungsiPraktis PBDLatihan 11 Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.2 Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.3 Hubungan ini bukan fungsi kerana objek b tidak mempunyai imej.This relation is not a function because object b has no image.4 Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. This relation is a function because each object has only one image.5 Hubungan ini bukan fungsi kerana objek d mempunyai lebih daripada satu imej.This relation is not a function because object d has more than one image.Latihan 21 Graf ini ialah suatu fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, hanya satu titik memotong graf itu.The graph is a function because when tested with the vertical line, there is only one point that cuts the graph.2 Graf ini bukan fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.3 Graf ini ialah suatu fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, hanya satu titik memotong graf itu.The graph is a function because when tested with the vertical line, there is only one point that cuts the graph.4 Graf ini bukan fungsi kerana apabiladiuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.Bab 1 5 Graf ini bukan fungsi kerana apabila diuji dengan garis mencancang, terdapat lebih daripada satu titik yang memotong graf itu.The graph is not a function because when tested with the vertical line, there is more than one point that cuts the graph.Latihan 31 Domain = {1, 2, 3, 4}Kodomain/Codomain = {6, 7, 8, 9}Julat/Range = {6, 7, 8, 9}2 Domain = {a, b, c}Kodomain/Codomain = {16, 9}Julat/Range = {16, 9}3 Domain = {2, 4, 6}Kodomain/Codomain = {4, 5, 7, 8}Julat/Range = {4, 5, 8}4 Domain = {1, 2, 3, 4}Kodomain/ Codomain = {2, 7, 12}Julat/Range = {2, 12}5 Domain = {1, 3, 5, 9}Kodomain/Codomain = {m, n, p}Julat/Range = {m, n, p}6 Domain = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kodomain/Codomain = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Julat/Range = {1, 3, 5}Latihan 41x 0 –1 1–11234–2–3–4 2f(x)Julat/ Range: 0 f(x) 42x 0 –1 1–1123452 3 4f(x)Julat/ Range: 0 f(x) 53x 0 –1 1–112345–2 2f(x)Julat/ Range: 0 f(x) 54x 0 –1–2 11234562 3 4f(x)Julat/ Range: 0 f(x) 65x 0 –1 11234562 3 4 5f(x)Julat/ Range: 0 f(x) 5Latihan 51 62 −33 3544 25 14Latihan 61 x = −62 x = 73 x = 54 x = −45 x = 3Jawapan11 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_Jawapan_191-202_FInal.indd 191 9/30/25 8:01 AM