PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Bab 7 Geometri Koordinat 49 – 56 Coordinate Geometry Bab 8 Vektor 57 – 65 Vectors Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 66 – 70 Solution of Triangles Bab 10 Nombor Indeks 71 – 77 Index Number Peperiksaan Akhir Tahun 78 – 92 Jawapan J1 – J17 Bab 1 Fungsi 1 – 9 Functions Bab 2 Fungsi Kuadratik 10 – 20 Quadratic Functions Bab 3 Sistem Persamaan 21 – 25 Systems of Equations Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 26 – 32 Indices, Surds and Logarithms Bab 5 Janjang 33 – 39 Progressions Bab 6 Hukum Linear 40 – 48 Linear Law Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) No. 18, Jalan PJS 5/26, Taman Desaria, 46150 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: 03-7783 3233, 7783 5233 Faks: 03-7783 7233 E-mel: [email protected] Laman web: www.penerbitilmubakti.com © Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2023 Pertama kali diterbitkan 2022 ISBN 978-967-000-000-000 Cetakan: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Semua hak cipta terpelihara. Sebarang bahagian dalam buku ini tidak boleh diterbitkan semula, dalam cara yang boleh digunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik secara elektronik, mekanik, gambar, rakaman dan sebagainya, tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M). Penyunting: Wan Rahmatul Aishah Wan Mohd Zin Pereka kulit buku: Sarifuddin Yusof Pereka letak: Helen Wong Teks diset dalam Utopia 10/12 poin Dicetak di Malaysia oleh Yes Print & Pack Sdn. Bhd. KANDUNGAN Imbas dan Muat turun • Jawapan Peperiksaan Akhir Tahun PT SPM Add Math Tkt 4-Kandungan.indd 1 28/02/2023 5:31 PM Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) No. 18, Jalan PJS 5/26, Taman Desaria, 46150 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: 03-7783 3233, 7783 5233 Faks: 03-7783 7233 Emel: [email protected] Laman web: www.penerbitilmubakti.com © Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2023 Pertama kali diterbitkan 2023 ISBN 978-629-7536-82-8 Cetakan: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Semua hak cipta terpelihara. Sebarang bahagian dalam buku ini tidak boleh diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh digunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik secara elektronik, mekanik, gambar, rakaman dan sebagainya, tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M). Penyunting: Wan Rahmatul Aishah Wan Mohd Zin Pereka kulit buku: Sarifuddin Yusof Pereka letak: Helen Wong Teks diset dalam Utopia 10 poin Dicetak di Malaysia oleh Percetakan Sentosa (KL) Sdn. Bhd. • Jawapan Peperiksaan Akhir Tahun Imbas dan Muat turun PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
PB 1 Bahagian A / Section A 1.1 Fungsi / Function 1 Rajah 1 menunjukkan graf bagi fungsi f(x) = |3 – 2x| untuk domain 0 ⩽ x ⩽ 6. Diagram 1 shows the graph of the function f(x) = |3 – 2x| for the domain 0 ⩽ x ⩽ 6. 3– y 0 k 6 x Rajah 1/ Diagram 1 Nyatakan BT ms.7–10 State (a) nilai bagi k, the value of k, (b) julat f(x) yang sepadan dengan domain yang diberi. the range of f(x) corresponding to the given domain. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra Fungsi Functions BAB 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 1 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
2 3 2 Satu fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = mx + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Diberi imej bagi –2 ialah –13, manakala imej bagi 5 ialah 8. BT ms.9–10 A function f is de ned by f(x) = mx + n, where m and n are constants. Given the image of –2 is –13, while the image of 5 is 8. (a) Tentukan nilai m dan n. Determine the value of m and of n. [2 markah/marks] (b) Cari nilai x yang memetakan kepada diri sendiri. Find the value of x which maps to itself. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3 (a) Rajah 2 menunjukkan fungsi f : x → x2 + x + 4. Diagram 2 shows the function f : x → x2 + x + 4. Cari nilai h. BT ms.9–10 Find the value of h. [2 markah/marks] (b) Rajah 3 menunjukkan graf bagi fungsi g(x) = |3x – 6| untuk domain 0 ⩽ x ⩽ 7. Diagram 3 shows the graph of the function g(x) = |3x – 6| for the domain 0 ⩽ x ⩽ 7. Tentukan nilai-nilai a, b dan c. BT ms.9–10 Determine the values of a, b and c. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) g(x) 15 c b x O a Rajah 3/ Diagram 3 h x x2 + x + 4 f 3 16 Rajah 2/ Diagram 2 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 2 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
2 3 4 Diberi bahawa f(x) = |4x + 3|. Cari BT ms.9–10 It is given that f(x) = |4x + 3|. Find (a) f(−5), (b) nilai-nilai x apabila f(x) = 5. the values of x when f(x) = 5. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.2 Fungsi Gubahan / Composite Functions 5 (a) Diberi f : x → 3x + 7 dan fg : x → 6x2 – 3x – 5, cari g(x). BT ms.16 Given f : x → 3x + 7 and fg : x → 6x2 – 3x – 5, nd g(x). [2 markah/marks] (b) Maklumat berikut adalah berkaitan fungsi f dan fungsi gubahan f 2 . e following information is about the function f and the composite function f 2 . f : x → mx + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar dan m > 0. f : x → mx + n, where m and n are constants and m > 0. f 2 (x) = 36x – 21 Cari nilai m dan nilai n. BT ms.13–14 Find the value of m and of n. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 3 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
4 5 6 (a) Diberi fungsi f : x → 2x – 5 dan g : x → 6x, cari gf(x). BT ms.13–14 Given the functions f : x → 2x – 5 and g : x → 6x, nd gf(x). [2 markah/marks] (b) Diberi f dan g ialah fungsi dengan keadaan f : x → 2x + 7 dan fg : x → 2x − 1, cari g(x). BT ms.16 Given f and g are the functions such that f : x → 2x + 7 and fg : x → 2x − 1, nd g(x). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 Diberi bahawa fungsi f : x → 2x − 6 dan fg : x → 14 – 2x. BT ms.16 It is given that the function f : x → 2x − 6 and fg : x → 14 – 2x. (a) Ungkapkan gf dalam sebutan x. Express gf in terms of x. (b) Cari nilai p apabila gf(p2 + 2) = 6p – 8. Find the value of p when gf(p2 + 2) = 6p – 8. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.3 Fungsi Songsang / Inverse Functions 8 (a) Diberi bahawa g(x) = x + 4 2x – 5 , x ≠ 5 2 . Cari nilai g–1(–3). BT ms.28 It is given that g(x) = x + 4 2x – 5 , x ≠ 5 2 . Find the value of g–1(–3). [2 markah/marks] (b) Diberi fungsi f(x) = ax + b, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Cari nilai a dan nilai b dengan keadaan f –1(–7) = 4 dan f –1(3) = 9. BT ms.28 Given the function f(x) = ax + b, where a and b are constants. Find the value of a and of b such that f –1(–7) = 4 and f –1(3) = 9. [3 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 4 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
4 5 Jawapan/Answer: (a) (b) 9 Dua fungsi g dan fg ditakrifkan oleh g : x → 6 – 4x dan fg : x → 7 – 8x, cari BT ms.28 Two functions g and fg are de ned by g : x → 6 – 4x and fg : x → 7 – 8x, nd (a) g −1, (b) f (7). [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 1.1 Fungsi / Function 1.2 Fungsi Gubahan / Composite Functions 1.3 Fungsi Songsang / Inverse Functions 10 (a) Encik Ghazali berumur 48 tahun. Beliau melakukan aktiviti senaman pada setiap pagi. Diberi kadar denyutan jantung Encik Ghazali ialah h(x) = 3 4 (272 – x), dengan keadaan x ialah usianya. Cari Encik Ghazali is 48 years old. He has been doing exercise activities every morning. Given that Encik Ghazali’s heart rate is h(x) = 3 4 (272 – x), where x is his age. Find (i) kadar denyutan jantung Encik Ghazali, BT ms.9–10 Encik Ghazali’s heart rate, (ii) h–1(x). BT ms.28 [3 markah/marks] (b) Diberi bahawa f : x → mx + n dan f 3 : x → 27x – 65, cari BT ms.13–14 Given that f : x → mx + n and f 3 : x → 27x – 65, Find (i) nilai m dan nilai n, (ii) f 4 (x) the value of m and of n, [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 5 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
6 7 Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan pemetaan y kepada x oleh fungsi g: y → p + qy dan pemetaan y kepada z oleh fungsi h: y → 16 3y – p , y ≠ p 3 . Diagram 1 shows the mapping of y to x by the function g: y → p + qy and the mapping of y to z by the function h: y → 16 3y – p , y ≠ p 3 . x y z 3 –7 –2 • • Rajah 1/ Diagram 1 Cari/Find (a) nilai p dan nilai q, BT ms.9–10 the value of p and of q, [3 markah/marks] (b) fungsi yang memetakan x kepada y, BT ms.28 the function that maps x to y, [2 markah/marks] (c) fungsi yang memetakan x kepada z. BT ms.14 the function that maps x to z. [2 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 6 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
6 7 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 2 Diberi bahawa g : x → 2x – 3 dan h : x → x 3 + 2, cari BT ms.28 It is given that g : x → 2x – 3 and h : x → x 3 + 2, nd (a) g−1(x), [2 markah/marks] (b) g−1h(x), [2 markah/marks] (c) fungsi k dengan keadaan kh(x) = 2x + 8. [3 markah/marks] the function k such that kh(x) = 2x + 8. Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 Diberi bahawa g : x → 3x + 4 dan fg : x → 6x + 1, cari It is given that g : x → 3x + 4 and fg : x → 6x + 1, nd (a) f(x), BT ms.16 [3 markah/marks] (b) gf(x), BT ms.14 [2 markah/marks] (c) nilai x dengan keadaan 3fg(x − 2) = gf(x). BT ms.14 the value of x such that 3fg(x − 2) = gf(x). [3 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 7 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
8 9 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) Bahagian B / Section B 4 Diberi bahawa g : x → 3x + 15 dan h : x → 2x − 12. It is given that g : x → 3x + 15 and h : x → 2x − 12. (a) Cari/Find (i) h(8), BT ms.9 (ii) nilai p jika g(p − 1) = 1 2 h(8) + 1, BT ms.9 the value of p if g(p − 1) = 1 2 h(8) + 1, (iii) hg(x). BT ms.14 [5 markah/marks] (b) (i) Lakar graf y = |hg(x)| untuk domain –6 ⩽ x ⩽ 0. BT ms.15 Sketch the graph of y = |hg(x)| for the domain –6 ⩽ x ⩽ 0. (ii) Cari nilai q dengan keadaan hg(q) = 2gh(q). BT ms.15 Find the value of q such that hg(q) = 2gh(q). [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 8 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
8 9 (b) (i) (ii) ZON KBAT 1 Fungsi h ditakrifkan oleh h: x → 2x + 7 x + 4 , x ≠ –4. Rajah 1 menunjukkan lakaran graf bagi fungsi y = h(x) untuk domain –3.5 ⩽ x ⩽ 2. e function h is de ned by h: x → 2x + 7 x + 4 , x ≠ –4. Diagram 1 shows a sketch of the graph function y = h(x) for the domain –3.5 ⩽ x ⩽ 2. y x –. O h(x) = 2x + 7 x + 4 Rajah 1/ Diagram 1 Diberi bahawa h–1(x) wujud. Pada paksi yang sama, lakar graf h–1 untuk h–1(x) ⩾ 0. Seterusnya, nyatakan domain bagi h–1. BT ms.26 KBAT Mengaplikasi It is given that h–1(x) exist. On the same axes, sketch the graph of h–1 for h–1(x) ⩾ 0. Hence, state the domain of h–1. Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 9 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
10 11 Bahagian A / Section A 2.2 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik / Quadratic Equations and Inequalities 1 Diberi bahawa p dan 5 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 4x + q = 0. Cari nilai p dan nilai q. It is given that p and 5 are the roots of the quadratic equation 2x2 + 4x + q = 0. Find the value of p and of q. BT ms.39–40 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 Ungkapkan 3x(x – 1) = (3 – x)(x + 1) dalam bentuk am. Seterusnya, selesaikan persamaan kuadratik. Beri jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. BT ms.38 Express 3x(x – 1) = (3 – x)(x + 1) in general form. Hence, solve the quadratic equation. Give the answers correct to three decimal places. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: Bidang Pembelajaran: Algebra Fungsi Kuadratik Quadratic Functions BAB 2 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 10 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
10 11 3 (a) Diberi –4 ialah salah satu punca bagi persamaan kuadratik 3(x + h)2 = 75, dengan keadaan h ialah pemalar. Cari nilai-nilai h. BT ms.39–40 Given –4 is one of the roots of the quadratic equation 3(x + h)2 = 75, where h is a constant. Find the values of h. [2 markah/marks] (b) Jika α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 – 3x – 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca 1 α dan 1 β . BT ms.39–40 If α and β are the roots of the quadratic equation x2 – 3x – 5 = 0, form a quadratic equation with the roots 1 α and 1 β . [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 (a) Persamaan kuadratik ax2 + bx + c mempunyai punca-punca 2 3 dan –11 2 . Cari nilai-nilai a, b dan c. e quadratic equation ax2 + bx + c has roots of 2 3 and –1 1 2 . Find the values of a, b and c. BT ms.39–40 [3 markah/marks] (b) Diberi bahawa 2x + y = 3 dan x2 > y2 . Cari julat nilai x. BT ms.42–43 It is given that 2x + y = 3 and x2 > y2 . Find the range of values of x. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 11 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
12 13 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik / Types of Roots of Quadratic Equations 5 (a) Diberi persamaan kuadratik hx2 + 6x + k = 4 mempunyai dua punca nyata yang sama, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Ungkapkan h dalam sebutan k. BT ms.46–47 It is given that the quadratic equation hx2 + 6x + k = 4 has two real and equal roots, such that h and k are constants. Express h in terms of k. [2 markah/marks] (b) Persamaan kuadratik x2 + x = 3kx – k2 mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Cari julat nilai k. e quadratic equation x2 + x = 3kx – k2 has two real and di erent roots. Find the range of values of k. BT ms.46–47 [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 (a) Diberi persamaan kuadratik 3x2 – 6px + p = 0, dengan keadaan p ialah pemalar hanya memuaskan satu nilai x. Cari nilai p. BT ms.46–47 Given the quadratic equation 3x2 – 6px + p = 0, where p is a constant satis es only one value of x. Find the value of p. [2 markah/marks] (b) Persamaan kuadratik x2 – kx + 4 = 3x mempunyai dua punca nyata yang sama. Cari nilai-nilai k yang mungkin. BT ms.46–47 e quadratic equation x2 – kx + 4 = 3x has two equal real roots. Find the possible values of k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 12 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
12 13 2.3 Fungsi Kuadratik / Quadratic Functions 7 Rajah 1 menunjukkan graf bagi f(x) = (x – p)2 + q. T ialah titik pusingan. Diagram 1 shows the graph of f(x) = (x – p)2 + q. T is the turning point. f(x) 15 x T • –2 O 5 Rajah 1/ Diagram 1 Tentukan/Determine BT ms.54–56 (a) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, [2 markah/marks] (b) koordinat titik T, the coordinates of point T, [1 markah/mark] (c) persamaan paksi simetri bagi lengkung itu. the equation of the axis of symmetry for the curve. [1 markah/mark] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 8 Diberi graf bagi fungsi kuadratik h(x) = –5[(x – 4)2 – 2p], dengan keadaan p ialah pemalar mempunyai satu titik pusingan maksimum (4, 6p – 12). Given the graph of a quadratic function h(x) = –5[(x – 4)2 – 2p], where p is a constant has a maximum turning point (4, 6p – 12). (a) Cari nilai p. BT ms.54–56 Find the value of p. (b) Nyatakan jenis punca bagi h(x) = 0. Beri sebab anda. BT ms.51–53 State the type of roots for h(x) = 0. Give your reason. [4 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 13 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
14 15 Jawapan/Answer: (a) (b) 9 Rajah 2 menunjukkan graf fungsi f(x) = (x + 4)2 + 3m – 12, dengan keadaan m ialah pemalar. BT ms.54 Diagram 2 shows the graph of function f(x) = (x + 4)2 + 3m – 12, where m is a constant. y x 9 O f(x) = (x + 4)2 + 3m – 12 Rajah 2/ Diagram 2 (a) Nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung itu. State the equation of the axis of symmetry of the curve. [1 markah/mark] (b) Tentukan nilai m. Determine the value of m. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 14 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
14 15 Bahagian B / Section B 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik / Quadratic Equations and Inequalities 10 Diberi 3p dan 7 – p ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 6x2 – 18x + q = 0, dengan keadaan p and q ialah pemalar. BT ms.39–40 Given 3p and 7 – p are the roots of quadratic equation 6x2 – 18x + q = 0, where p and q are constants. (a) Cari nilai p dan nilai q. Find the value of p and of q. [3 markah/marks] (b) Tentukan julat nilai x jika 6x2 – 18x > –q. Determine the range of values of x if 6x2 – 18x > –q. [3 markah/marks] (c) Bentukkan satu persamaan kuadratik dengan punca-punca p dan 5 – 2p. Form a quadratic equation with roots p and 5 – 2p. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 11 (a) Selesaikan persaman x2 + 3x – 12 = 0 dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Solve the equation x2 + 3x – 12 = 0 by using completing the square method. BT ms.37 [4 markah/marks] (b) Selesaikan persaman 3x2 – 4x – 5 = 0 dengan menggunakan rumus. BT ms.38 Solve the equation 3x2 – 4x – 5 = 0 by using formula. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 15 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
16 17 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik / Quadratic Equations and Inequalities 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik / Types of Roots and Quadratic Equations 12 (a) Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + 4x + 7 = 0, bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca 2α + 3 dan 2β + 3. BT ms.39–40 Given α and β are the roots of the quadratic equation x2 + 4x + 7 = 0, form a quadratic equation with the roots 2α + 3 and 2β + 3. [4 markah/marks] (b) Cari nilai-nilai λ dengan keadaan (4 – λ)x2 – 2(λ – 3)x + λ = 3 mempunyai dua punca nyata yang sama. Find the values of λ such that (4 – λ)x2 – 2(λ – 3)x + λ = 3 has two real and equal roots. BT ms.46–47 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik / Quadratic Equations and Inequalities 2.3 Fungsi Kuadratik / Quadratic Functions 13 (a) Diberi persamaan kuadratik 6x2 = (3h – 4)x + 5 mempunyai punca-punca 2 dan k 6 – 1. Cari nilai h dan nilai k. BT ms.39–40 Given a quadratic equation 6x2 = (3h – 4)x + 5 has roots of 2 and k 6 – 1. Find the value of h and of k. [4 markah/marks] (b) Daud menanam pokok pisang di sebidang tanah berbentuk segi empat tepat. Dia merancang untuk memasang pagar di sekeliling tanah yang berdimensi 8p meter dan (60 – p) meter itu. Tunjukkan bahawa luas tanah, A, ialah A = a(p + m)2 + n, dengan keadaan a, m dan n ialah pemalar. Seterusnya, cari jumlah panjang, dalam m, pagar yang Daud perlu beli apabila luas tanah itu adalah maksimum. Daud has planted some banana trees on a rectangular land. He plans to fence the land which has a dimension of 8p metres and (60 – p) metres. Show that the area of the land, A, is A = a(p + m)2 + n, where a, m and n are constants. Hence, nd the total length, in m, of the fence that Daud has to buy when the area of the land is maximum. BT ms.49–50 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 16 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
16 17 (b) Bahagian A / Section A 1 Diberi bahawa g(x) = –6x2 – 6x + 3. It is given that g(x) = –6x2 – 6x + 3. (a) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, ungkapkan g(x) dalam bentuk g(x) = –6(x + m)2 + n. Seterusnya, nyatakan nilai m dan nilai n. BT ms.37 By using the completing the square method, express g(x) in the form of g(x) = –6(x + m)2 + n. Hence, state the value of m and of n. [3 markah/marks] (b) Lakar graf bagi g(x) = –6x2 – 6x + 3. BT ms.60 Sketch the graph of g(x) = –6x2 – 6x + 3. [2 markah/marks] (c) Diberi titik G(p, q) berada pada graf g(x) = –6x2 – 6x + 3, dengan keadaan q > 0. Jika jarak mencancang titik G dari paksi-x ialah 1.56 unit, cari jarak mengufuk titik G dari paksi simetri graf itu. BT ms.61 Given the point G(p, q) lies on the graph g(x) = –6x2 – 6x + 3, such that q > 0. If the vertical distance of point G from the x-axis is 1.56 units, nd the horizontal distance of point G from the axis of symmetry of the graph. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 2 Rajah 1 menunjukkan lengkung bagi fungsi kuadratik f(x) = –x2 + px – 15. Lengkung itu mempunyai titik maksimum pada G(3, h) dan bersilang dengan paksi-f(x) pada titik F. Diagram 1 shows the curve of a quadratic function f(x) = –x2 + px – 15. e curve has a maximum point at G(3, h) and intersects the f(x)-axis at point F. (a) Nyatakan koordinat F. BT ms.60 State the coordinates of F. [2 markah/marks] x f(x) F G(3, h) O Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 17 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
18 19 (b) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, cari nilai h. BT ms.37 By using completing the square method, nd the value of h. [3 markah/marks] (c) Tentukan julat nilai x jika f(x) ⩾ –7. BT ms.43 Determine the range of values of x if f(x) ⩾ –7. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 (a) Lakar graf fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – 5x – 3. BT ms.60 Sketch the graph of a quadratic function f(x) = 2x2 – 5x – 3. [6 markah/marks] (b) Seterusnya, tentukan julat nilai x apabila f(x) ⩽ 0. BT ms.43 Hence, determine the range of values of x when f(x) ⩽ 0. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Diberi fungsi kuadratik f(x) = 1 2 (x – 4)2 + 1. BT ms.60 Given a quadratic function f(x) = 1 2 (x – 4)2 + 1. (a) Jika g(x) ialah imej bagi fungsi f(x) yang dipantulkan pada paksi-x, nyatakan fungsi g(x) dalam sebutan x. If g(x) is the image of the function f(x) that is re ected on the x-axis, express the function g(x) in terms of x. [2 markah/marks] (b) Lakar graf bagi fungsi f(x) dan g(x) pada paksi yang sama. Sketch the graph of the functions f(x) and g(x) on the same axes. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 18 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
18 19 Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 5 Lengkung bagi fungsi kuadratik f(x) = 3x2 – 12x – 36 bersilang dengan paksi-x pada titik P dan titik Q. Diberi bahawa f(x) boleh ditulis sebagai f(x) = a(x + h)2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. e curve of a quadratic function f(x) = 3x2 – 12x – 36 intersects the x-axis at point P and point Q. It is given that f(x) can be written as f(x) = a(x + h)2 + k, where a, h and k are constants. (a) Cari/Find BT ms.54–56 (i) koordinat titik P dan titik Q, / the coordinates of point P and point Q, (ii) nilai-nilai a, h dan k, / the values of a, h and k, (iii) koordinat titik pusingan. / the coordinates of the turning point. [6 markah/marks] (b) (i) Lakar graf bagi f(x) = a(x + h)2 + k untuk –2 ⩽ x ⩽ 6. BT ms.60 Sketch the graph of f(x) = a(x + h)2 + k for –2 ⩽ x ⩽ 6. (ii) Diberi r(x) = a1 (x + h1 )2 + k1 mewakili pantulan bagi f(x) pada paksi-x, nyatakan nilai-nilai a1 , h1 dan k1 . BT ms.57–58 Given r(x) = a1 (x + h1 )2 + k1 represents the re ection of f(x) on the x-axis, state the values of a1 , h1 and k1 . [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) 6 Diberi f(x) = m + nx – x2 = q – (x + p)2 untuk semua nilai x. Given f(x) = m + nx – x2 = q – (x + p)2 for all values of x. (a) Ungkapkan/Express (i) p dalam sebutan n, / p in terms of n, (ii) q dalam sebutan m dan n. / q in terms of m and n. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 19 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
20 PB (b) Garis lurus y = 13 menyentuh lengkung f(x) = m + nx – x2 pada satu titik. Jika n = 6, nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung itu. Seterusnya, lakar graf fungsi itu. e straight line y = 13 touches the curve f(x) = m + nx – x2 at one point. If n = 6, state the equation of the axis of symmetry of the curve. Hence, sketch the graph of the function. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) ZON KBAT 1 Azmi memotong bentuk segi empat sama bersisi 5 cm daripada setiap bucu sekeping kadbod yang berbentuk segi empat sama seperti ditunjukkan dalam Rajah 1(a). Dia kemudian melipat kadbod tersebut menjadi sebuah kotak seperti ditunjukkan dalam Rajah 1(b). BT ms.36 Azmi cuts the square shapes with sides measuring 5 cm from each corner of a square cardboard as shown in Diagram 1(a). He then folds the cardboard to form a box as shown in Diagram 1(b). 5 cm 5 cm 5 cm Rajah 1(a)/Diagram 1(a) Rajah 1(b)/Diagram 1(b) (a) Jika isi padu kotak itu ialah 1 280 cm3 , bentukkan satu persamaan kuadratik untuk mewakili isi padu kotak itu. KBAT Mencipta If the volume of the box is 1 280 cm3 , form a quadratic equation to represent the volume of the box. (b) Seterusnya, cari panjang asal, dalam cm, sisi kadbod itu. KBAT Mengaplikasi Hence, nd the original length, in cm, of the sides of the cardboard. Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 1-2.indd 20 01/03/2023 9:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
21 Bahagian B / Section B 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pembolah Ubah Systems of Linear Equations in Three Variables 1 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut: BT ms.74–76 Solve the following systems of linear equations: (a) 4x − 3y + z = 25 x + y − z = 4 3x – 2z = 17 [4 markah/marks] (b) 3x + y + 2z = 2.8 5x – 2y + z = 2.5 4x + y – 3z = 1.9 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra Sistem Persamaan Systems of Equations BAB 3 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 21 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
22 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear Simultaneous Equations Involving One Linear Equation and One Non-Linear Equation 2 (a) Diberi (p, 2) ialah titik persilangan bagi garis lurus y = x + q dan lengkung x2 + y2 – 3qy = 8. Cari nilai p dan nilai q. BT ms.80–81 Given (p, 2) is a point of intersection of the straight line y = x + q and the curve x2 + y2 – 3qy = 8. Find the value of p and of q. [4 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan sebidang tanah yang berbentuk segi tiga. Diberi perimeter tanah itu ialah 56 m. Diagram 1 shows a triangular land. Given the perimeter of the land is 56 m. B A C (y + 1) m y m x m Rajah 1/ Diagram 1 Cari nilai positif x dan y. BT ms.83 Find the positive value of x and of y. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut. BT ms.80–81 Solve the following simultaneous equations. x2 – 2y + y2 = x + 3y = 12 [4 markah/marks] (b) Cari koordinat bagi titik-titik persilangan antara garis lurus 2x + 3y + 6 = 0 dengan lengkung 2 x + 3 y = 4. Find the coordinates of the points of intersection between the straight line 2x + 3y + 6 = 0 and the curve 2 x + 3 y = 4. BT ms.80–81 [4 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 22 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
23 Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 1 (a) Solve the following simultaneous equations: BT ms.80–81 Selesaikan persamaan serentak berikut: 2x + y = x2 − y2 − 2xy − 1 = 1 [5 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan pakej harga yang ditawarkan untuk tiga jenis makanan, iaitu burger, nasi lemak dan kek. Diagram 1 shows the price packages o ered for three types of food which are burger, nasi lemak and cake. RM25 RM20 RM19 Rajah 1/ Diagram 1 Cari harga seunit bagi setiap jenis makanan. BT ms.83 Find the unit price of each type of food. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 23 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
24 (b) 2 (a) Diberi perimeter sebuah segi empat tepat ialah 44 cm dan panjang pepenjurunya ialah 2√65 cm. Cari panjang dan lebar, dalam cm, bagi segi empat tepat itu. BT ms.83 Given the perimeter of a rectangle is 44 cm and the length of its diagonal is 2√65 cm. Find the length and width, in cm, of the rectangle. [5 markah/marks] (b) Rajah 2 menunjukkan sebuah kolam berbentuk segi empat tepat DEGH dan sukuan bulatan EFG ialah kawasan berumput. BT ms.83 Diagram 2 shows a rectangular pond DEGH and quadrant of circle EFG is grassy area. p m E q m H G F D Rajah 2/ Diagram 2 Jika luas kolam itu ialah 9π m2 dan DE ialah π m lebih panjang daripada lengkok EF, cari nilai p. If the area of the pond is 9π m2 and DE is π m longer than the arc EF, nd the value of p. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 24 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
25 ZON KBAT 1 Rajah 1 menunjukkan persilangan antara lengkung y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) dengan garis lurus y = 4x – 16. Diagram 1 shows the intersection between the curve y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) and the straight line y = 4x – 16. O y x y = 4x – 16 y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) Rajah 1/ Diagram 1 Cari titik-titik persilangan itu. BT ms.83 KBAT Mengaplikasi Find the points of intersection. Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 25 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
26 Bahagian A / Section A 4.3 Hukum Indeks / Laws of Indices 1 (a) Diberi 8(2x − 2) = 16x , cari nilai x. BT ms.91–93 Given 8(2x − 2) = 16x , nd the value of x. [2 markah/marks] (b) Diberi 2a = 7b = 14m, ungkapkan m dalam sebutan a dan b. BT ms.93 Given 2a = 7b = 14m, express m in terms of a and b. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 (a) Selesaikan persamaan / Solve the equation: BT ms.91–93 16(23x − 5) = 1 2x [2 markah/marks] (b) Selesaikan 32x − 4(3x + 1) + 27 = 0. BT ms.91–93 Solve 32x − 4(3x + 1) + 27 = 0. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra Indeks, Surd dan Logaritma Indices, Surds and Logarithms BAB 4 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 26 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
27 3 Selesaikan / Solve BT ms.93 (a) 3x = 162 − 3x , (b) 52x − 1 = 32. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 (a) Diberi 9u × 27u – 2 = 1 81 , cari nilai u. BT ms.93 Given 9u × 27u – 2 = 1 81 , nd the value of u. [2 markah/marks] (b) Diberi 33x = g, 3y = h dan 33x 3y = 8 + 27x . Ungkapkan g dalam sebutan h. BT ms.93 Given 33x = g, 3y = h and 33x3y = 8 + 27x . Express g in terms of h. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 Selesaikan / Solve BT ms.93 (a) 2n − 1 + 2n = 48, (b) 3n + 2 − 3n + 1 + 4(3n) = 81. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 27 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
28 4.2 Hukum Surd / Laws of Surds 6 Permudahkan ungkapan yang berikut: BT ms.102 Simplify the following expressions: (a) (3 − √ 5 )2 , (b) (3√ 2 + √ 3 )(3√2 − √ 3 ). [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 Nisbahkan penyebut dan permudahkan ungkapan yang berikut: BT ms.104–109 Rationalise the denominator and simplify the following expressions: (a) 3 3 + √ 6 , (b) 6 2√ 5 – √2 . [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4.3 Hukum Logaritma / Laws of Logarithms 8 (a) Diberi loga 4 = p dan loga 3 = q, ungkapkan loga 27a 16 dalam sebutan p dan q. BT ms.115–116 Given loga 4 = p and loga 3 = q, express loga 27a 16 in terms of p and q. [2 markah/marks] (b) Diberi log81 u − log3 w = 1 2 , ungkapkan u dalam sebutan w. BT ms.117–118 Given log81 u − log3 w = 1 2 , express u in terms of w. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 28 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
29 9 (a) Selesaikan persamaan / Solve the equation BT ms.115–116 1 + log5 x = log5 (x + 7) [2 markah/marks] (b) Selesaikan log2 √x − log4 3 = 3 2 . BT ms.117–118 Solve log2 √x – log4 3 = 3 2 . [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 10 Diberi p = 3m dan q = 3n, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan m dan n. BT ms.115–116 Given p = 3m and q = 3n, express each of the following in terms of m and n. (a) log3 ( pq5 81 ), (b) log27 p − logq 9. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 11 Diberi log2 3 = 1.585 dan log2 5 = 2.322, tanpa menggunakan kalkulator sainti k, nilaikan BT ms.115–116 Given log2 3 = 1.585 and log2 5 = 2.322, without using a scienti c calculator, evaluate (a) log2 7.5, (b) log4 54. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 29 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
30 12 Selesaikan / Solve BT ms.119 (a) log10 ( x2 + 21 x ) = 1, (b) 4log2 x = 6. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 13 Suhu sejenis logam meningkat daripada 28 °C kepada v °C berdasarkan persamaan v = 28(1.16)t apabila logam itu dipanaskan selama t saat. e temperature of a type of metal increases from 28 °C to v °C in accordance to v = 28(1.16)t when it is heated for t seconds. Hitung / Calculate BT ms.119–120 (a) suhu logam itu apabila ia dipanaskan selama 12.5 saat, the temperature of the metal when it is heated for 12.5 seconds, (b) masa, dalam saat, yang diambil untuk meningkatkan suhu logam itu daripada 28 °C kepada 1 200 °C. the time, in seconds, taken to increase the temperature of the metal from 28 °C to 1 200 °C. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 30 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
31 Bahagian B / Section B 14 (a) Tunjukkan bahawa 1 logm mn + 1 logn mn = 1. Seterusnya, selesaikan log6 (2x – 1) = 1 logm mn + 1 logn mn . Show that 1 logm mn + 1 logn mn = 1. Hence, solve log6 (2x – 1) = 1 logm mn + 1 logn mn . BT ms.119 [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan / Solve the equation BT ms.119 52x – 5x + 1 = 50 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian A / Section A 1 Permudahkan / Simplify BT ms.119 log3 (3x + 4) – 7 log9 x2 + 6 log3 x Seterusnya, selesaikan / Hence, solve log3 (3x + 4) – 7 log9 x2 + 6 log3 x = 2 [7 markah/marks] Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 31 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
32 2 Diberi log2 m3 p2 = 21 dan log2 m4 p = 17, dengan keadaan m dan p ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai p. Given log2 m3 p2 = 21 and log2 m4 p = 17, where m and p are constans. Find the value of m and of p. BT ms.119 [7 markah/marks] Jawapan/Answer: Bahagian B / Section B 3 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut / Solve the following simultaneous equations: BT ms.119 (9x )(3y ) = 1 8x 4y = 4 [5 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan serentak berikut untuk x > 0 dan y > 0. BT ms.119 Solve the following simultaneous equations for x > 0 and y > 0. log2 x + log2 y = 3 log3 (3y – 1) − 2 log9 x = 1 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) ZON KBAT 1 Diberi log2 (13 + log3 X) = 4 dan log5 (4X – 87 + log2 Y) = 2, cari nilai X + Y. BT ms.119 KBAT Mengaplikasi Given log2 (13 + log3 X) = 4 and log5 (4X – 87 + log2 Y) = 2, nd the value of X + Y. Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 3-4.indd 32 27/02/2023 11:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
33 Bahagian A / Section A 5.1 Janjang Aritmetik / Arithmetic Progressions 1 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 12 – x, 18 dan 4x. Cari e rst three terms of an arithmetic progression are 12 – x, 18 and 4x. Find (a) beza sepunya janjang itu, BT ms.129 the common di erence of the progression, (b) hasil tambah dari sebutan ke-10 hingga sebutan ke-20. BT ms.134 the sum of the 10th term to the 20th term. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 2 (5n + 3). Cari e sum of the rst n terms of an arithmetic progression is given by Sn = n 2 (5n + 3). Find BT ms.134 (a) hasil tambah 7 sebutan pertama, the sum of the rst 7 terms, (b) sebutan ke-7. the 7th term. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Algebra Janjang Progressions BAB 5 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 33 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
34 3 Diberi bahawa hasil tambah p sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sp = q – 3 2 (a + 13), dengan keadaan q ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 13 ialah sebutan terakhir. BT ms.134 It is given that the sum of the rst p terms of an arithmetic progression is Sp = q – 3 2 (a + 13), such that q is a constant, a is the rst term and 13 is the last term. (a) Ungkapkan q dalam sebutan p. / Express q in terms of p. (b) Nyatakan julat nilai q. / State the range of value of q. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Sebutan keempat bagi suatu janjang aritmetik ialah 14 dan sebutan kelima ialah 20. Cari e fourth term of an arithmetic progression is 14 and the fth term is 20. Find (a) beza sepunya bagi janjang itu, BT ms.129 the common di erence of the progression, (b) hasil tambah 35 sebutan pertama bagi janjang itu. BT ms.134 the sum of the rst 35 terms of the progression. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5.2 Janjang Geometri / Geometric Progressions 5 Diberi sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri ialah 32 dan hasil tambah sebutan ketiga dan sebutan keempat ialah 16. Cari Given the third term of a geometric progression is 32 and the sum of the third term and the fourth term is 16. Find (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu, BT ms.142–143 the rst term and the common ratio of the progression, (b) hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang itu. BT ms.146–147 the sum to in nity of the progression. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 34 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
35 Jawapan/Answer: (a) (b) 6 (a) Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Tentukan nilai positif w. BT ms.140 Given the rst three terms of a geometric progression are 3w + 1, 5w − 1 and 7w + 1. Determine the positive value of w. [2 markah/marks] (b) Tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri ialah 36, h dan k. Diberi bahawa hasil tambah sebutan-sebutan itu ialah 28. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi h dan k. BT ms.140 ree consecutive terms of a geometric progression are 36, h and k. It is given that the sum of the terms is 28. Find the possible values of h and k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 5.1 Janjang Aritmetik / Arithmetic Progressions 5.2 Janjang Geometri / Geometric Progressions 7 (a) Rajah 1 menunjukkan susunan bagi tiga buah kon yang mempunyai jejari sepunya, j cm. Diagram 1 shows the arrangement of three cones which are having the common radius, j cm. (i) Tunjukkan bahawa isi padu kon itu mengikut janjang aritmetik. BT ms.129 Show that the volume of the cones follows arithmetic progression. (ii) Diberi isi padu bagi n buah kon yang pertama ialah 124 3 πj 2 cm3 , cari nilai n. BT ms.137 Given the volume of the rst n cones is 124 3 πj 2 cm3 , nd the value of n. [4 markah/marks] 5 cm 8 cm 11 cm Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 35 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
36 (b) Hasil tambah tujuh sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 129 dan nisbah sepunya ialah –2. Cari BT ms.144 e sum of the rst seven terms of a geometric progression is 129 and the common ratio is −2. Find (i) sebutan pertama, / the rst term, (ii) sebutan kesembilan. / the ninth term. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan susunan silinder yang mempunyai jejari yang sama, iaitu 4 cm. Tinggi silinder pertama ialah 5 cm dan tinggi silinder yang seterusnya bertambah sebanyak 3 cm. BT ms.137 Diagram 1 shows the arrangement of cylinders with the same radius, 4 cm. e height of the rst cylinder is 5 cm and the height of the following cylinder increases by 3 cm. 5 cm 8 cm 11 cm Rajah 1/ Diagram 1 (a) Hitung isi padu, dalam cm3 , bagi silinder ke-15, dalam sebutan π. Calculate the volume, in cm3 , of the 15th cylinder, in terms of π. [3 markah/marks] (b) Diberi jumlah isi padu bagi n silinder pertama ialah 13 984π cm3 , cari nilai n. Given the total volume of the rst n cylinders is 13 984π cm3 , nd the value of n. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 36 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
37 2 Firdaus mula bekerja di sebuah syarikat pada 1 Januari 2016 dengan permulaan gaji tahunan sebanyak RM24 000. Gaji tahunannya meningkat sebanyak 8% setiap tahun. Hitung BT ms.148 Firdaus started working in a company on 1st January 2016 with an initial annual salary of RM24 000. His annual salary increases by 8% every year. Calculate (a) gaji tahunan beliau, kepada ringgit terdekat, pada tahun 2021, his annual salary, to the nearest ringgit, for the year 2021, [2 markah/marks] (b) nilai minimum n jika gaji tahunan pada tahun ke-n melebihi RM60 000, the minimum value of n if the annual salary in the nth year is more than RM60 000, [2 markah/marks] (c) jumlah gaji, kepada ringgit terdekat, yang dibayar kepada beliau oleh syarikat itu dari tahun 2016 ke tahun 2021. the total salary, to the nearest ringgit, paid to him by the company from the year 2016 to the year 2021. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 Dua buah kedai, Bistari dan Cemerlang, mula menjual telefon bimbit pada masa yang sama. Two shops, Bistari and Cemerlang, start to sell handphones at the same time. BT ms.137 (a) Kedai Bistari menjual x buah telefon bimbit pada bulan pertama dan jualannya bertambah secara seragam sebanyak y buah telefon bimbit pada setiap bulan seterusnya. Kedai itu menjual 210 buah telefon bimbit pada bulan ke-7 dan jumlah jualan dalam 9 bulan pertama ialah 1 440 buah telefon bimbit. Cari nilai x dan nilai y. Bistari Shop sells x handphones in the rst month and its sales increase at a constant by y handphones on the following months. e shop sells 210 handphones in the 7th month and the total sales in the rst 9 months is 1 440. Find the value of x and of y. [4 markah/marks] (b) Kedai Cemerlang menjual 95 buah telefon bimbit pada bulan pertama dan jualannya bertambah secara seragam sebanyak 20 buah telefon bimbit pada setiap bulan seterusnya. Jika bilangan telefon bimbit yang dijual oleh kedua-dua buah kedai adalah sama pada bulan ke-n, cari nilai n. Cemerlang Shop sells 95 handphones in the rst month and its sales increase at a constant by 20 handphones on the following months. If the number of handphones sold by both shops is equal in the nth month, nd the value of n. [3 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 37 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
38 Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Seutas dawai dipotong kepada n bahagian. Panjang setiap bahagian bertambah mengikut janjang geometri. Diberi bahawa panjang bagi bahagian keenam ialah sembilan kali panjang bagi bahagian keempat dawai itu. BT ms.148 A wire is cut into n parts. e length of each part is increased according to geometric progression. It is given that the length of the sixth part is nine times the length of the fourth part of the wire. (a) Hitung nisbah sepunya. / Calculate the common ratio. [2 markah/marks] (b) Jika jumlah panjang dawai itu ialah 5 465 mm dan panjang bahagian pertama dawai itu ialah 5 mm, hitung If the total length of the wire is 5 465 mm and the length of the rst part of the wire is 5 mm, calculate (i) nilai n, / the value of n, (ii) panjang, dalam mm, bahagian terakhir dawai itu. the length, in mm, of the last part of the wire. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) Bahagian B / Section B 5 (a) Seutas tali yang panjangnya 2 030 cm dipotong kepada 28 bahagian. Panjang setiap bahagian tali itu mengikut janjang aritmetik. Bermula daripada tali terpanjang 140 cm, cari BT ms.137 A string with the length of 2 030 cm is cut into 28 pieces. e length of each piece of the string follows arithmetic progression. Starting from the longest string 140 cm, nd (i) beza sepunya bagi panjang bahagian tali, the common di erence in length of the pieces of the string, (ii) hasil tambah n sebutan pertama dalam sebutan n, the sum of the rst n terms in terms of n, (iii) panjang bagi bahagian ke-n. the length of the nth part. [5 markah/marks] PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 38 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
39 (b) Rajah 2 menunjukkan beberapa bulatan. Bulatan pertama mempunyai jejari j cm. Bulatan kedua mempunyai jejari 3 5 j cm. Bulatan ketiga mempunyai jejari 3 5 daripada jejari bulatan kedua dan proses itu berterusan secara tak terhingga. Diagram 2 shows a few circles. e rst circle has a radius of j cm. e second circle has a radius of 3 5 j cm. e third circle has a radius of 3 5 of the radius of the second circle and the process is continued inde nitely. j cm • • • Rajah 2/ Diagram 2 Diberi luas bagi bulatan terbesar ialah 1 600π cm2 . Cari dalam sebutan π, BT ms.148 Given the area of the largest circle is 1 600π cm2 . Find in terms of π, (i) lilitan bulatan, dalam cm, bagi lima bulatan pertama, the circumference, in cm, of the rst ve circles, (ii) hasil tambah ketakterhinggan bagi lilitan bulatan yang terbentuk. the sum to in nity of the circumferences formed. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) (b) (i) (ii) ZON KBAT 1 Tunjukkan bahawa / Show that 1 5 + 2 52 + 3 53 + 4 54 + 5 55 + 6 56 + ... = 5 16. BT ms.146–147 KBAT Mengaplikasi Jawapan/Answer: PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 39 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
40 Bahagian A / Section A 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear / Linear and Non-Linear Relations 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear / Linear Law and Non-Linear Relations 1 (a) Rajah 1 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot xy melawan x2 . Diagram 1 shows a straight line graph obtained by plotting xy against x2 . Ungkapkan y dalam sebutan x. BT ms.157–158 Express y in terms of x. [2 markah/marks] (b) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y3 = 3x(7 – x). Graf garis lurus diperoleh dengan memplot y3 x melawan x seperti ditunjukkan dalam Rajah 2. e variables x and y are related by the equation y3 = 3x(7 – x). A straight line graph is obtained by plotting y3 x against x as shown in Diagram 2. Cari nilai u dan nilai w. BT ms.162 Find the value of u and of w. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) xy x2 18 0 9 Rajah 1/ Diagram 1 (5, u) y 3 x 0 (w, 0) x Rajah 2/ Diagram 2 Bidang Pembelajaran: Algebra Hukum Linear Linear Law BAB 6 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 40 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
41 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear / Linear Law and Non-Linear Relations 2 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan xy = 12x – 4x3 . Graf garis lurus diperoleh dengan memplot y melawan x2 seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3. BT ms.162 e variables x and y are related by the equation xy = 12x – 4x3 . A straight line graph is obtained by plotting y against x2 as shown in Diagram 3. (a) Tukar persamaan tak linear xy = 12x – 4x3 kepada persamaan linear. Convert the non-linear equation xy = 12x – 4x3 to the linear equation. (b) Nyatakan / State (i) kecerunan garis lurus itu, the gradient of the straight line, (ii) koordinat G. coordinates of G. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 3 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = mx3 , dengan keadaan m ialah pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan memplot log10 y melawan log10 x seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4. e variables x and y are related by the equation y = mx3 , where m is a constant. A straight line graph is obtained by plotting log10 y against log10 x as shown in Diagram 4. BT ms.162 (a) Tukar persamaan y = mx3 kepada bentuk linear. Convert the equation y = mx3 to the linear form. (b) Cari nilai / Find the value of (i) log10 m, (ii) p. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) log10 y log10 x (0, 2) (1, p) 0 Rajah 4/ Diagram 4 y x2 H G 0 Rajah 3/ Diagram 3 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 41 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
42 4 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x , dengan keadaan h ialah pemalar. Rajah 5 menunjukkan garis lurus MN yang diperoleh dengan memplot xy melawan x3 . BT ms.162 e variables x and y are related by the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x , where h is a constant. Diagram 5 shows the straight line MN obtained by plotting xy against x3 . (a) Tukar persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x kepada bentuk linear. Convert the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x to the linear form. (b) Diberi kecerunan MN ialah − 3 10, cari nilai h dan nilai p. Given the gradient of MN is − 3 10 , nd the value of h and of p. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = v 6x , dengan keadaan v ialah pemalar. Rajah 6 menunjukkan sebahagian daripada graf garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan x. BT ms.162 e variables x and y are related by the equation y = v 6x , where v is a constant. Diagram 6 shows part of the line of best t obtained by plotting log10 y against x. (a) Tukar persamaan y = v 6x kepada bentuk linear. Convert the equation y = v 6x to the linear form. (b) Cari nilai v. / Find the value of v. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) xy x3 N(0, ) M 0 p 2 Rajah 5/ Diagram 5 log10 y x 0 (0, –4) Rajah 6/ Diagram 6 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 42 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
43 Bahagian B / Section B 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear / Linear and Non-Linear Relations 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear / Linear Law and Non-Linear Relations 6 (a) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 1 y = g x + h, dengan keadaan g dan h ialah pemalar. Rajah 7 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot graf 1 y melawan 1 x . e variables x and y are related by the equation 1 y = g x + h, such that g and h are constants. Diagram 7 shows the line of best t obtained by plotting the graph of 1 y against 1 x . BT ms.162 (i) Cari nilai g dan nilai h. Find the value of g and of h. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. [4 markah/marks] (b) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan log y = n log x + p, dengan keadaan n dan p ialah pemalar. Rajah 8 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot log y melawan log x. BT ms.162 e variables x and y are related by the equation log y = n log x + p, such that n and p are constants. Diagram 8 shows the line of best t obtained by plotting the graph of log y against log x. (i) Cari nilai n dan nilai p. Find the value of n and of p. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) L K 4 M (6, 10) 0 1 y 1 x Rajah 7/ Diagram 7 Rajah 8/ Diagram 8 log y log x 1 (4, 7) 0 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 43 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
44 Bahagian A / Section A 1 Jadual 1 menunjukkan keputusan daripada suatu eksperimen melibatkan dua pemboleh ubah, x dan y yang dihubungkan oleh persamaan √y = px + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. BT ms.163–164 Table 1 shows the results from an experiment involving two variables, x and y which are related by the equation √y = px + q, such that p and q are constants. x 1 2 3 4 6 y 30.25 53.29 90.25 136.89 240.25 Jadual 1/ Table 1 (a) Plot graf √ y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit paksi-√y . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of √y against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 2 units on the √y -axis. Hence, draw the line of best t. [4 markah/marks] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai p dan nilai q. Use the graph in (a) to nd the value of p and of q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 44 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
45 Bahagian B / Section B 2 Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = (2p − 3)x2 + u p x, dengan keadaan p dan u ialah pemalar. BT ms.163–164 Table 2 shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. e variables x and y are related by the equation y = (2p − 3)x2 + u p x, where p and u are constants. x 2 3 4 5 6 7 y 9.6 16.2 23.8 33 42.6 53.9 Jadual 2/ Table 2 (a) Plot graf y x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y x against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on both axes. Hence, draw the line of best t. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai / From the graph, nd the value of (i) p, (ii) u. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) (i) (ii) PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 45 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
46 3 Jadual 3 menunjukkan hubungan antara kadar tindak balas kimia, R dengan suhu, H. Table 3 shows the relation between the rate of chemical reaction, R and the temperature, H. Suhu, H (°C) / Temperature, H (°C) 95.5 37.8 24.8 17.4 14.5 Kadar tindak balas kimia, R (mol s−1) Rate of chemical reaction, R (mol s−1) 29.2 16.6 10.09 5.52 3.61 Jadual 3/ Table 3 Diberi bahawa kadar tindak balas kimia, R dengan suhunya, H, dihubungkan oleh persamaan R = β(2.8)– α H, dengan keadaan α dan β ialah pemalar. BT ms.163–164 It is given that the rate of chemical reaction, R and its temperature, H, are related by the equation R = β(2.8)– α H, such that α and β are constants. (a) Tukar persamaan R = β(2.8)– α H kepada bentuk linear. Convert the equation R = β(2.8)– α H to the linear form. [2 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.01 unit pada paksi- 1 H dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 R, plot graf log10 R melawan 1 H. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 0.01 unit on the 1 H -axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 R-axis, plot the graph of log10 R against 1 H . Hence, draw the line of best t. [4 markah/marks] (c) Daripada graf, cari nilai α dan nilai β. / From the graph, nd the value of α and of β. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 cm 2 cm PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 46 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
47 (c) 4 Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = uwx − 2, dengan keadaan u dan w ialah pemalar. BT ms.163–164 Table 4 shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. e variables x and y are related by the equation y = uwx − 2, where u and w are constants. x 3 4 5 6 8 y 34.7 19.2 10.41 5.75 1.74 Jadual 4/ Table 4 (a) Plot graf log10 y melawan (x – 2), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x – 2) dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of log10 y against (x – 2), by using a scale of 2 cm to 1 unit on the (x – 2)-axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 y-axis. Hence, draw the line of best t. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai / From the graph, nd the value of (i) u, (ii) w. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 2 cm 2 cm PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 47 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
48 ZON KBAT 1 Dalam Rajah 1, PQ ialah sebuah satah condong pada sudut β kepada satah mengufuk QR. P berada 1.35 m tegak di atas R. Satu zarah G dilepaskan daripada keadaan pegun di titik P dan jaraknya dari titik P selepas t s ditunjukkan dalam Jadual 1. In Diagram 1, PQ is an inclined plane with angle β to the horizontal plane QR. P is 1.35 m vertically above R. A particle G is released from a stationary state at point P and its distance from point P after t s is shown in Table 1. Masa, t, dalam s, selepas dilepaskan dari titik P Time, t, in s, after release from point P 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Jarak, d, dalam m, dari titik P Distance, d, in m, from point P 0.18 0.90 1.90 3.34 5.2 Jadual 1/ Table 1 Diberi bahawa jarak yang dilalui, d berubah secara langsung dengan kuasa dua masa, t 2 . BT ms.166–167 It is given that the distance travelled, d varies directly as square of the time, t2 . (a) Plot graf d melawan t 2 , dengan menggunakan skala yang sesuai pada kedua-dua paksi. Plot the graph of d against t2 , by using a suitable scales on both axes. KBAT Menganalisis (b) Jika zarah G mengambil masa selama 2.8 s untuk tiba di titik Q, tentukan nilai β. KBAT Mengaplikasi If the particle G takes 2.8 s to reach point Q, determine the value of β. Jawapan/Answer: (a) 2 cm 2 cm (b) P Q R β G Rajah 1/ Diagram 1 PT SPM Add Math Tkt 4-Bab 5-6.indd 48 27/02/2023 11:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.