Revisi Cepat SPM Matematik Tambahan Tingkatan 4 & 5

Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd
Nota Grafik Berwarna

Matematik
Tambahan

Haizam Marzuki

(Jurulatih Utama)

Chiu Kam Choon

Penerbit Ilmu Bakti Sdn. BhdTingkatan 4

Bab 1 Fungsi Tingkatan 4
Fungsi

Fungsi Benua

Setiap unsur dalam set pertama dipetakan kepada haMnaylaaysastiau unsur dalamAsestiakedua
England Eropah

Kanada Amerika

Hubungan satu dengan satu Hubungan banyak denUgtaarnasatu

Benua Subjek kegemaran

Malaysia Asia Herojer Matematik
England Haizam Sejarah
Kanada Eropah Ammar
Safwan
Amerika
Utara

Subjek kegemaran

HeroTjeartatanda fungsi f : x 4x atau f (x) = 4x
Matematik x ialah objek, manakala 4x ialah imej.
Haizam
Graf
Ammar Sejarah
y
PerwSaakfwilaann

Gambar rajah anak panah

1 2 6 (3, 6)
2 4 5
3 6
Set x Set y 4 (2, 4)
3

2 (1, 2)
1
0 1 2 3 45 x

N1

Bab 3 Sistem Persamaan
Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Satu penyelesaian
Satah-satah bersilang hanya pada satu titik sahaja.

Penerbit Ilmu Bakti Sdn. BhdPenyelesaianPenyelesaian tak terhingga
Satah-satah bersilang pada satu garis lurus.

Tiada penyelesaian Tingkatan 4
Satah-satah tidak bersilang pada mana-mana titik.

Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu
Persamaan Tak Linear

Persamaan tak linear x2 – y = 2
2x – y = –1
Persamaan linear

Kaedah Kaedah Kaedah perwakilan graf
penggantian penghapusan

x2 – y = 2 … 1 x2 – y = 2 … 1 x2 – y = 2 2 3
2x – y = –1 … 2 2x – y = –1 … 2 x –2 –1 0 1 2 7
Daripada 2 , y 2 –1 –2 –1
y = 2x +1 … 3 1 – 2:
x2 + 0x – y = 2 2x – y = –1
Gantikan 3 ke x –2 –1 0 1 2 3
dalam 1 . (–) 0x2 + 2x – y = –1 y –3 –1 1 3 5 7
x2 – 2x = 3
x2 – (2x + 1) = 2 y
x2 – 2x –1 – 2 = 0 x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0 12
x2 – 2x – 3 = 0 x = 3 atau x = –1
(x – 3)(x + 1) = 0 10 Titik
x = 3 atau x = –1 Gantikan x = 3 dan persilangan
x = –1 ke dalam 2 .
Gantikan x = 3 dan 8
x = –1 ke dalam 3 . 2(3) – y = –1
y = 2(3) + 1 = 7 y=7 6
y = 2(–1) + 1 = –1
2( –1) – y = –1 4
y = –1

Maka, x = 3, y = 7 dan 2 123 x
x = –1, y = –1 ialah 4
penyelesaian bagi –2 –1 O Titik
persamaan serentak –2 persilangan
ini. –4

N5

Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan
Prinsip Pendaraban

Prinsip pendaraban

Jika peristiwa A boleh berlaku dengan x cara dan peristiwa B boleh berlaku
dengan y cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam x × y cara.
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd
Pilih Atur

(a) Pilih atur

• Bilangan cara untuk menyusun objek-objek yang berlainan dalam

satu baris.

• Tertib susunan mesti diambil kira.

• Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza ialah n!.

• Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu

masa, nPr = n!
(n – r)!

(b) Pilih atur membulat Tingkatan 5
Bilangan pilih atur bagi n objek dalam bulatan,

P = (n – 1)!

Contoh

Bilangan cara menyusun 5 orang pekerja
untuk duduk bermesyuarat di sebuah
meja bulat
= (5 – 1)!
= 24 cara

(c) Pilih atur secaman
Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman,

P = a! × n! c! × ...
b! ×

Gabungan

Gabungan

• Tertib susunan tidak diambil kira.
• Bilangan gabungan r objek yang dipilih daripada n objek berlainan ialah

nCr = n!
r!(n – r)!

N23

Kandungan

Nota Grafik N1 – N32 Bab Hukum Linear 78

6
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. BhdTINGKATAN 4
6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 78
Bidang Pembelajaran: Algebra
6.2 Hukum Linear dan Hubungan

Bab Fungsi 1 Tak Linear 84

1 6.3 Aplikasi Hukum Linear 87

1.1 Fungsi 1 Praktis Sumatif 6 89

1.2 Fungsi Gubahan 7 Bidang Pembelajaran: Geometri

1.3 Fungsi Songsang 11

Praktis Sumatif 1 16 Bab Geometri Koordinat 93

Bab 7 93

2 Fungsi Kuadratik 18 7.1 Pembahagi Tembereng Garis 97
7.2 Garis Lurus Selari dan Garis 100
2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Lurus Serenjang 104
7.3 Luas Poligon 107
Kuadratik 18 7.4 Persamaan Lokus
Praktis Sumatif 7
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan

Kuadratik 23

2.3 Fungsi Kuadratik 25

Praktis Sumatif 2 34 8Bab Vektor 110

3Bab Sistem Persamaan 36 8.1 Vektor 110

3.1 Sistem Persamaan Linear dalam 8.2 Penambahan dan Penolakan

Tiga Pemboleh Ubah 36 Vektor 114

3.2 Persamaan Serentak yang 8.3 Vektor dalam Satah Cartes 118

Melibatkan Satu Persamaan Praktis Sumatif 8 124

Linear dan Satu Persamaan Tak Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi

Linear 41 Bab

Praktis Sumatif 3 45 9 Penyelesaian Segi Tiga 127

Bab Indeks, Surd dan Logaritma 47 9.1 Petua Sinus 127
9.2 Petua Kosinus 132
4 9.3 Luas Segi Tiga 134
9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua
4.1 Hukum Indeks 47 Kosinus dan Luas Segi Tiga 137
Praktis Sumatif 9 139
4.2 Hukum Surd 49

4.3 Hukum Logaritma 55

4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan

Logaritma 60 Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial

Praktis Sumatif 4 61

Bab Janjang 63 Bab Nombor Indeks 140

5 63 10 140
68 143
5.1 Janjang Aritmetik 74 10.1 Nombor Indeks 147
5.2 Janjang Geometri 10.2 Indeks Gubahan
Praktis Sumatif 5 Praktis Sumatif 10

TINGKATAN 5 Bidang Pembelajaran: Trigonometri

Bidang Pembelajaran: Geometri Bab Fungsi Trigonometri 240

6

Bab Sukatan Membulat 150 6.1 Sudut Positif dan Sudut

1 Negatif 240

1.1 Radian 150 6.2 Nisbah Trigonometri bagi

1.2 Panjang Lengkok Suatu Sebarang Sudut 242
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd
Bulatan 152 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus

1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 155 dan Tangen 245

1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 160 6.4 Identiti Asas 251

Praktis Sumatif 1 161 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan

Rumus Sudut Berganda 252

Bidang Pembelajaran: Kalkulus 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 256

Bab Pembezaan 165 Praktis Sumatif 6 260

2 Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial

2.1 Had dan Hubungannya dengan Bab Pengaturcaraan Linear 263

Pembezaan 165 7

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 169 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 263

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 174 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 268

2.4 Aplikasi Pembezaan 176 Praktis Sumatif 7 272

Praktis Sumatif 2 186

3Bab Pengamiran 189 Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Bab Kinematik Gerakan Linear 274

8

Pembezaan 189 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan

3.2 Kamiran Tak Tentu 190 sebagai Fungsi Masa 274

3.3 Kamiran Tentu 194 8.2 Pembezaan dalam Kinematik

3.4 Aplikasi Pengamiran 206 Gerakan Linear 277

Praktis Sumatif 3 207 8.3 Pengamiran dalam Kinematik

Bidang Pembelajaran: Statistik Gerakan Linear 281

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan

Bab Pilih Atur dan Gabungan 210 Linear 285

4 Praktis Sumatif 8 289

4.1 Pilih Atur 210 Jawapan 292

4.2 Gabungan 215

Praktis Sumatif 4 218

Bab Taburan Kebarangkalian 220

5 220
224
5.1 Pemboleh Ubah Rawak 229
5.2 Taburan Binomial 236
5.3 Taburan Normal
Praktis Sumatif 5

1Bab Bidang Pembelajaran: Algebra
Fungsi

Hubungan antara nilai yang
terbentuk ialah 1 → 2, 2 → 4 dan
3 → 6.

y
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd 1.1 Fungsi BAB 1 TINGKATAN 4
6 • (3, 6)
Menerangkan Fungsi Menggunakan x
5
Perwakilan Grafik dan Tatatanda
4 • (2, 4)
 1 Terdapat pelbagai kuantiti dalam
kehidupan seharian kita yang 3
bergantung kepada satu atau lebih
pemboleh ubah. 2 • (1, 2)

 2 Contohnya, anda bekerja sebagai 1
pembantu sambilan di koperasi
sekolah dan menerima gaji 0 12 3 45
sebanyak RM50 sehari. Jumlah
gaji yang diperoleh ditentukan  6 Hubungan ini boleh diwakili oleh
mengikut bilangan hari bekerja. gambar rajah anak panah seperti
di bawah.
 3 Terdapat empat jenis hubungan,
iaitu: 1• •2
(a) hubungan satu kepada satu
(b) hubungan satu kepada 2• •4
banyak
(c) hubungan banyak kepada 3• •6
satu
(d) hubungan banyak kepada Set X Set Y
banyak
Setiap unsur dalam set X
 4 Daripada empat hubungan dipetakan kepada hanya satu
ini, hanya dua hubungan yang unsur dalam set Y. Maka,
merupakan fungsi, iaitu: hubungan ini ialah satu kepada
(a) hubungan satu kepada satu dan merupakan suatu
satu
(b) hubungan banyak kepada fungsi.
satu

 5 Perhatikan graf garis lurus y = 2x
dalam rajah berikut.

Istilah Penting • Banyak kepada banyak – Many to many
• Gambar rajah anak panah – Arrow diagram
• Hubungan – Relation • Fungsi – Function
• Satu kepada satu – One to one
• Satu kepada banyak – One to many
• Banyak kepada satu – Many to one

1

 7 Jika g menandakan fungsi dari set   9 Ujian garis mencancang boleh
X = {1, 2, 3} kepada set Y = {2, 4, 6} digunakan untuk menentukan
yang juga boleh ditakrifkan oleh sama ada suatu graf ialah fungsi
g : 1 → 2, g : 2 → 4 dan g : 3 → 6, atau bukan.
unsur 1, 2 dan 3 dikenali sebagai (a) Jika garis mencancang
objek, manakala unsur-unsur 2, 4 memotong graf hanya pada
dan 6 dikenali sebagai imej. satu titik, maka hubungan itu
ialah fungsi.
 8 Pemetaan bagi unsur ini boleh (b) Jika garis mencancang
ditulis menggunakan tatatanda memotong lebih daripada
seperti berikut: satu titik atau tidak
memotong mana-mana titik
g : x → y atau g(x) = y pada graf, maka hubungan itu
g : x → 2x atau g(x) = 2x ialah bukan fungsi.

Contoh 2

Tentukan sama ada setiap graf yang
berikut ialah fungsi atau bukan.
(a) y
BAB 1 TINGKATAN 4 dengan keadaan x ialah objek dan Bakti Sdn. Bhd
2x ialah imej.

Contoh 1

Tentukan sama ada setiap hubungan

yang berikut ialah fungsi atau bukan.

Jelaskan jawapan anda.

(a) x • •3 4

y• •6

z• •9 0 3 x
•p (b) y
u
(b) 5 •

7• •q
Penerbit Ilm
9• •r 0x



Penyelesaian y

(a) Hubungan ini ialah bukan fungsi Penyelesaian Ujian garis
kerana tidak memenuhi syarat 4 mencancang
suatu fungsi, iaitu setiap objek (a) Graf ini ialah
hanya mempunyai satu imej fungsi kerana • x
sahaja. Daripada rajah, didapati hasil daripada 03
bahawa z mempunyai 2 imej, iaitu ujian garis
z → 6 dan z → 9. mencancang,
garis itu
(b) Hubungan ini ialah fungsi kerana memotong
setiap objek mempunyai satu imej graf hanya pada
sahaja walaupun unsur q tidak
mempunyai objek. satu titik.

Istilah Penting • Ujian garis mencancang – Vertical line test

• Objek – Object
• Imej – Image

2

(b) Daripada graf, pintasan-y = 3. Penyelesaian
Untuk mengira kecerunan, dua (a) Graf log10 y melawan x

titik dipilih: (2, 4) dan (6, 6).

m = 6–4 log10 y
6–2

= 2 0.9
4
Bakti Sdn. Bhd0.8
1
BAB 6 TINGKATAN 4 = 2 0.7

(c) Persamaan garis lurus penyuaian 0.6

terbaik ialah y = 1 x + 3 0.5
2
0.4

Mentafsir Maklumat Berdasarkan 0.3
Garis Lurus Penyuaian Terbaik

 1 Suatu garis lurus penyuaian 0.2
terbaik boleh digunakan untuk
menentukan nilai pemboleh 0.1
ubah x atau y yang tiada dalam
eksperimen tanpa perlu 0 x
mengulangi eksperimen itu. 1234 567

Contoh 1 (b) (i) Apabila x = 4, log10 y = 0.5
(ii) Apabila log10 y = 0.7, x = 6.5
Jadual berikut menunjukkan ( iii) Apabila y = 4, log10 4 = 0.6.
nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan Maka, x = 5.3
log10 y yang diperoleh daripada suatu
eksperimen. (c) Daripada graf, pintasan-log10 y
u = 0.18
Penerbit Ilm
x 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 Untuk mengira kecerunan, dua
titik dipilih daripada graf, iaitu
log10 y 0.30 0.42 0.54 0.66 0.78 (1.5, 0.30) dan (4.5, 0.54).

(a) Plot graf log10 y melawan x, m = 0.54 – 0.30
dengan menggunakan skala 2 cm 4.5 – 1.5
kepada 1 unit pada paksi-x dan
= 0.24
2 cm kepada 0.1 unit pada 3.0
paksi-log10 y. Seterusnya, lukis
= 0.08
garis lurus penyuaian terbaik. Oleh itu, persamaan garis lurus
(b) Daripada graf di (a), cari nilai
penyuaian terbaik ialah
(i) log10 y apabila x = 4, log10 y = 0.08x + 0.18.
(ii) x apabila log10 y = 0.7,
(iii) x apabila y = 4. Contoh 2
(c) Tentukan persamaan garis lurus
penyuaian terbaik. Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai

dua pemboleh ubah, 1 dan 1 yang
x y

diperoleh daripada suatu eksperimen.

82

1 0.68 0.50 0.33 0.26 0.20 0.17 Maka, 1 = 1.5
x y
2
y = 3 1
y
1 0.55 1.50 2.35 2.81 3.05 3.25 (iiii) Apabila y = 0.4, = 2.5
y
1
(a) Plot graf 1 melawan 1 , dengan Maka, x = 0.31
y x
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd x = 3.226
menggunakan skala 2 cm kepada (c) Daripada graf, pintasan –1y = 4.1.
1 BAB 6 TINGKATAN 4
0.1 unit pada paksi- x dan 2 cm Untuk mengira kecerunan, dua
paksi- 1y .
kepada 0.5 unit pada titik dipilih daripada graf, iaitu

Seterusnya, lukis garis lurus (0.4, 2.0) dan (0.68, 0.55).

penyuaian terbaik. m = 0.55 − 2.0
0.68 − 0.40
(b) Daripada graf di (a), cari nilai –1.45
1 1 0.28
(i) y apabila x = 0.4, =

(ii) y apabila x = 2, = −5.179

(iii) x apabila y = 0.4. Oleh itu, persamaan garis lurus

(c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik ialah
1 −5.179(1x)
penyuaian terbaik. y = + 4.1

Penyelesaian SEMAK CEPAT 6.1

(a) Graf 1 melawan 1 1 Plot graf Y melawan X bagi setiap
y x jadual nilai berikut. Seterusnya,
tentukan sama ada graf itu ialah graf
1 hubungan linear atau graf hubungan
y tak linear. Berikan justifikasi bagi
jawapan anda.
4.0
(a) X –2 –1 0 1 2 3
3.5
Y −7 −5 −3 −1 1 3
3.0
(b) X –3 –2 –1 0 1 2
2.5
Y 6 1 −2 –3 –2 1
2.0
2 Satu eksperimen dijalankan untuk
1.5 menentukan hubungan antara pemboleh
ubah x dan y. Jadual berikut menunjukkan
1.0 hasil eksperimen yang diperoleh.

0.5 x 123456

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 y 7.0 9.0 11.0 13.2 15.0 16.8
x
Plot graf y melawan x, dengan
(b) (i) Apabila 1 = 0.4, 1 = 2.0 menggunakan skala yang sesuai pada
x y paksi-x dan paksi-y. Seterusnya, lukis
garis lurus penyuaian terbaik.
(ii) Apabila x = 2, 1 = 0.5
x

83

(iii) Q→R = –3j  2 Jika r = xi + yj, maka vektor unit
(iv) S→R = i +~2j dala~m ar~ah r~ialah
(v) P→R =~3i ~ ~
xi + yj
(vi) S→T = 3~i + 3j ˆr = r = x~2 + ~y2
~ |~r |
~~ ~
P→Q selari dengan S→T
(b) adalah Contoh 1
kerana P→Q = S→T dan mempunyai
Diberi titik M(8, 15) dengan keadaan O
ialah asalan. Cari vektor unit dalam arah
O→M . Ungkapkan jawapan dalam bentuk
(a) komponen i dan j,
(b) vektor lajur~. ~
kecerunan yang sama. Bakti Sdn. Bhd

BAB 8 TINGKATAN 4 Contoh 3

Diberi vektor kedudukan bagi titik
( )P, Q 2
( ) ( )q = –5

~(a)
dan R masing-masing ialah p = ,
–4 3 ~
–5 dan r = 7 . Penyelesaian
~ O→M = m = 8i + 15j
Ungkapkan vektor-vektor p, q dan ~~
r dalam bentuk xi + yj. ~ ~ |m| = (8)2 + (15)~2
(b) ~Nyatakan koordi~nat b~agi titik P, ~ = 289

Q dan R. = 17 unit

(c) Hitung magnitud bagi vektor p, q (a) Vektor unit dalam komponen i
~
dan r. ~~ dan j,
~ =~117
m^ (8i +15j)
Penyelesaian ~ ~ ~
m^ j
(a) p = 2i – 5j ~ = 8 i + 15 ~
~q = –~4i –~5j 17 ~ 17
~r = 3i~+ 7j~
(b) ~P(2, ~–5) ~ u (b) Vektor unit dalam bentuk vektor

Penerbit Ilm lajur,
( )( ) m^ 1 8
Q(–4, –5) ~ = 17 15

R(3, 7) = 8

(c) |p| = (2)2 + (–5)2 17
~ = 29 15
17
= 5.385 unit

|q| = (–4)2 + (–5)2 Contoh 2
~ = 41

= 6.403 unit nJiiklaai 53p~.i + pj ialah vektor unit, cari
~
|r| = (3)2 + (7)2
~

= 58

= 7.616 unit Penyelesaian

Memerihal dan Menentukan Vektor ( )3 2 + p2 = 1
Unit dalam Arah Suatu Vektor
5
( )3
  1 Vektor unit dalam arah suatu 2 + p2 = 1
vektor tertentu mempunyai 5
magnitud 1 unit.
9 + p2 = 1
25

120

p2 = 16 Contoh 2
25
p = ±4 Cari hasil tambah bagi vektor
5
p = 2i + 5j dan q = 5i – 2j.
Contoh 3 ~~~ ~~~

Penyelesaian Kumpulkan
komponen
Diberi u = 3i − 7j, cari vektor unit p + q = (2i + 5j) + (5i – 2j) ~i dan j
dalam ~arah~u. ~ ~ ~ = (2~+ 5~)i + (5~– 2)~j ~

~
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd = 7i + 3~j ~
Penyelesaian ~
 3 Apabila ~menyelesaikan penolakan BAB 8 TINGKATAN 4
|u| = (3)2 + (–7)2
~ = 9 + 49 dua atau lebih vektor, guna

= 58 kaedah yang sama seperti

u^ = 1 (3~i 7j) penambahan vektor, iaitu
~ 58 ~
− kumpulkan komponen i dan
j yang sama terlebih da~hulu
~sebelum operasi penolakan
Melaksanakan Operasi Aritmetik ke
atas Dua atau Lebih Vektor dilakukan secara berasingan.

 1 Terdapat empat situasi yang harus Contoh 3
dikuasai dalam melaksanakan operasi
ke atas dua atau lebih vektor. ( ) ( ) ( )~rD=ibe73ri~,ph=itu–2n5g,~p~q–=~q–4 dan
(a) Penambahan dua atau lebih –5
vektor.
(b) Penolakan antara dua vektor. – r.
(c) Pendaraban vektor dengan ~
skalar.
(d) Gabungan operasi aritmetik Penyelesaian
ke atas vektor.
( ) ( ) ( )p – q – r =2 – –4 – 3
 2 Apabila menyelesaikan penambahan –5 –5 7
dua atau lebih vektor, komponen ~ ~~
i dan j yang sama dikumpulkan
~terleb~ih dahulu. Kemudian, cari ( ) =
hasil tambah secara berasingan. 2 – (–4) – 3

–5 – (–5) – 7
( ) =
3
–7

Contoh 4

Contoh 1 Diberi p = 2i + 5j dan q = 5i – 2j, cari
p – q. ~ ~ ~ ~ ~ ~
( ) ( ) ( )~Dr =ibe37ri~,ph=itu–n25g,q = –4 dan ~~
~ –5
p+q Penyelesaian
~~ + r.
~ p – q = (2i + 5j) – (5i – 2j)
~ ~ –(23~i–+5~7)~ij (5~+ 2)~j
= + ~
=
Penyelesaian  4 Apab~ila m~enyelesaikan pendaraban

( ) ( ) ( )p + q + r =2 + –4 + 3 vektor dengan skalar, setiap
–5 –5 7
~ ~~ komponen i dan j mesti
didarabkan~deng~an skalar itu.
( ) =
2 + (–4) + 3

–5 + (–5) + 7
( ) = 1
–3

121

Praktis Sumatif 1

Kertas 1

Bahagian A

 1 Rajah 1 menunjukkan sektor
MON berpusat O. Diberi bahawa
OU = 4.5 cm dan OM = 7.5 cm.

M
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd  3 Rajah 3 menunjukkan sebuah
semibulatan FGH berpusat O.
Diberi bahawa panjang lengkok FG
adalah sama dengan hasil tambah
panjang OG dan panjang lengkok
GH.

G

7.5 cm

O θ N F θ H
4.5 cm U O

Rajah 1 Rajah 3 BAB 1 TINGKATAN 5

[Guna π = 3.142] [Guna π = 3.142]
Cari Cari
(a) nilai θ, dalam radian, (a) nilai θ, dalam radian,

[2 markah] [2 markah]
(b) perimeter, dalam cm, kawasan (b) luas, dalam cm2, sektor FOG

berlorek. jika jejari bulatan ialah 12 cm.
[2 markah] [2 markah]

 2 Rajah 2 menunjukkan sektor EOF  4 Rajah 4 menunjukkan sektor DOF
dengan pusat O dan jejari 12 cm. dengan pusat O dan jejari 9 cm.

D

E

12 cm 9 cm E
O

O G 3 cm F F
Rajah 2 Rajah 4

[Guna π = 3.142] [Guna π = 3.142]
Cari Jika perimeter bagi sektor DOF
(a) ∠EOF, dalam radian, ialah 29.7 cm, cari
(a) ∠DOF, dalam radian,
[2 markah]
(b) luas, dalam cm2, kawasan [2 markah]
(b) luas, dalam cm2, tembereng
berlorek.
[2 markah] berlorek DEF.
[2 markah]
161

 5 Rajah 5 menunjukkan sebuah (b) Rajah 7 menunjukkan
semibulatan berpusat O. sebidang tanah yang terdiri
daripada gabungan bentuk
G semibulatan BCD dan segi
empat tepat ABDE yang
0.475 rad dimiliki oleh Encik Arshad.
Sektor FEG dengan pusat
F O• H E akan ditanam sayur
dan dipagar. Kawasan
Rajah 5 berlorek pula ialah kawasan
berumput.
[Guna π = 3.142] Bakti Sdn. Bhd
Diberi bahawa FH = 15 cm. Cari A 40 m B C
(a) panjang lengkok FG, dalam cm,
20 m
[2 markah] F
(b) luas, dalam cm2, kawasan
80 m G
berlorek.
BAB 1 TINGKATAN 5 [2 markah]u ED

Penerbit Ilm Bahagian B Rajah 7

6 (a) Rajah 6 menunjukkan pelan Diberi bahawa perimeter
sebuah dewan serbaguna, sektor FEG ialah 252 meter.
ABDC. BAC ialah sektor
berpusat A dan BDC ialah [Guna π = 3.142]
sektor berpusat D. Diberi (i) Cari ∠FEG, dalam radian.
jejari kedua-dua sektor itu
ialah 12 m dan BC = 10 m. [2 markah]
(ii) Jika kos memotong
B
rumput ialah RM0.15
AD per m2, cari jumlah
kos, dalam RM, untuk
C memotong rumput dalam
Rajah 6 kawasan berlorek.

Kawasan berlorek perlu Mengaplikasi
ditutup dengan permaidani
merah. Jika kos permaidani [2 markah]
ialah RM157.85 per m2,
cari jumlah kos, dalam RM,
untuk menutup kawasan
berlorek itu.

[Guna π = 3.142]
[4 markah]

162

4Bab Bidang Pembelajaran: Statistik

Pilih Atur dan Gabungan

BAB 4 TINGKATAN 5 4.1 Pilih Atur Bakti Sdn. BhdPenyelesaian
Bilangan cara pemain dipilih
Menyiasat dan Membuatu =3×4
Penerbit Ilm Generalisasi tentang Petua = 12
Pendaraban
AB
  1 Petua pendaraban digunakan
untuk menentukan bilangan cara 
bagi beberapa peristiwa boleh
berlaku. 

 2 Jika suatu peristiwa boleh berlaku 
dalam p cara dan peristiwa yang
seterusnya boleh berlaku dalam 
q cara, maka jumlah kedua-dua
peristiwa itu boleh berlaku ialah Contoh 2

p × q cara. Encik Rohan ingin mendaftarkan
anaknya di sebuah sekolah yang
Info Dinamik baharu. Terdapat 3 buah daerah
yang menjadi pilihan beliau, iaitu
• Al-Khalil (718 – 791 M), seorang daerah A, B dan C. Jika setiap
ahli matematik Arab dan ahli daerah mempunyai 6 buah sekolah,
kriptografi telah menulis buku “Book berapakah bilangan cara Encik Rohan
of Cryptographic Messages” yang memilih sekolah untuk anaknya?
menerangkan penggunaan pilih atur
dan gabungan. Penyelesaian
Bilangan cara
• Ahli matematik dari Perancis, Blaise Pascal =3×6
(1623 – 1662) dan Pierre de Fermat = 18
(1601 – 1665) telah membuat kajian
tentang teori kebarangkalian pada kurun Contoh 3
ke-17.
Aidi mempunyai 7 helai kemeja,
Contoh 1 6 pasang seluar dan 4 pasang kasut.
Tentukan bilangan cara padanan
Pasukan A mempunyai 3 orang pemain ketiga-tiga pakaian itu pada satu
dan pasukan B mempunyai 4 orang masa.
pemain. Cari bilangan cara pemain
dipilih daripada setiap pasukan untuk
perlawanan badminton perseorangan.

Istilah Penting
• Petua pendaraban – Multiplication rule

210

Penyelesaian Penyelesaian
Bilangan cara
=7×6×4 Bilangan cara = 6!
= 168
=6×5×4×3×2×1
Menentukan Bilangan Pilih Atur = 720

n objek yang berbeza Contoh 2

  1 Pilih atur ialah kaedah yang Cari bilangan susunan yang boleh
digunakan untuk menyusun dibentuk daripada perkataan
suatu peristiwa mengikut ‘BEARING’ jika kesemua huruf dalam
kemungkinan yang akan berlaku perkataan itu digunakan dan tiada
dengan mengambil kira faktor huruf yang berulang.
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd susunan.
Penyelesaian BAB 4 TINGKATAN 5
  2 Bilangan pilih atur bagi n objek
yang berbeza diberi oleh n! dan Bilangan huruf = 7
dibaca sebagai “n faktorial”. Bilangan susunan
= 7!
n! = nPn =7×6×5×4×3×2×1
= n × (n – 1) × (n – 2) × … = 5 040
×3×2×1
Sudut Kalkulator
 3 Contohnya, bilangan pilih atur
bagi set {A, B, C} ialah 3! = 3 × 2 × Menentukan nilai 7! dengan
1 = 6, iaitu ABC, ACB, BAC, BCA, menggunakan kalkulator saintifik.
CAB, CBA. Tekan

 4 0! = 1 kerana bilangan cara 7 shift x! =
untuk menyusun 0 objek ialah 1
iaitu tidak menyusun sebarang Jawapan = 5 040
objek.
Contoh 3
 5 Bilangan cara untuk menyusun n
objek yang berbeza dalam bentuk Cari bilangan cara menyusun tujuh
bulatan diberi oleh orang ketua jabatan di sebuah syarikat
untuk bermesyuarat di sebuah meja
P = (n – 1)! bulat.

Contoh 1 Penyelesaian

Tentukan bilangan cara untuk Bilangan cara = (7 – 1)!
membentuk nombor 6 digit yang
berbeza daripada kad nombor = 6!
berikut.
= 720
2  3  4  5  6  8
n objek yang berbeza diambil r

objek pada satu masa

 1 Bilangan pilih atur bagi n objek
yang berbeza diambil r objek pada

Istilah Penting • Susunan – Arrangement
• Pilih atur – Permutation
211

(c) (sek θ + 1)(sek θ – 1) = tan2 θ (c) sek x – kos x

(d) kos θ = sek θ = 1 + kos x
(1 + sin θ)(1 – sin θ) kos x

Penyelesaian = 1 – kos2 x
kos x
(a) 9 – 8 sin2 θ
= 9 – 8(1 – kos2 θ) = sin2 x
= 9 – 8 + 8 kos2 θ kos x
= 1 + 8 kos2 θ Bakti Sdn. Bhd( )
(b) 3 – 2 kosek2 θ = (sin x) sin x
= 3 – 2(kot2 θ + 1) kos x
= 3 – 2 kot2 θ – 2
= 1 – 2 kot2 θ = sin x tan x
(c) (sek θ + 1)(sek θ – 1)
= sek2 θ – 1 (d) 1
= tan2 θ sek x + tan x

= 1 × sek x – tan x
sek x + tan x sek x – tan x

= sek x – tan x
sek2 x – tan2 x
kos θ
(d) (1 + sin θ)(1 – sin θ) = sek x – tan x
= sek x –1tan x
BAB 6 TINGKATAN 5 = kos θ
1 – sin2 θ

= kos θ SEMAK CEPAT 6.4
kos2 θ
1 1 Buktikan 4 sin2 x + kos2 x = 3 sin2 x + 1.
= kos θ 2 Buktikan 7 – 3 kos2 x = 4 + 3 sin2 x.

= sek θ 3 Buktikan 1 1 x = sek x (sek x + tan x).
– sin
u
Contoh 2 4 Buktikan sek4 x – tan4 x = 2 sek2 x – 1.
5 Diberi a kos x + b sin x = c, tunjukkan
Penerbit Ilm Buktikan setiap identiti trigonometri
bahawa a sin x – b kos x = a2 + b2 – c2 .
yang berikut.

(a) tan2 x – kot2 x = sek2 x – kosek2 x

(b) kot2 x (1 + tan2 x) = kosek2 x

(c) sek x – kos x = sin x tan x Rumus Sudut Majmuk
1 6.5 dan Rumus Sudut
(d) sek x + tan x = sek x – tan x
Berganda
Penyelesaian
Membuktikan Identiti Trigonometri
(a) tan2 x – kot2 x dengan Menggunakan Rumus Sudut
Majmuk
= (sek2 x – 1) – (kosek2 x – 1)
 1 Berikut ialah rumus sudut
= sek2 x – 1 – kosek2 x + 1 majmuk yang boleh digunakan
untuk membuktikan identiti
= sek2 x – kosek2 x trigonometri.

(b) kot2 x (1 + tan2 x)
1
= tan2 x (1 + tan2 x)

= 1 + 1
tan2 x

= kot2 x + 1

= kosek2 x

252

•• sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B = 2 kos A sin B
•• sin(A – B) = sin A kos B – kos A sin B –2 sin A sin B

•• kos (A + B) = kos A kos B – sin A sin B = – kos A
•• kos (A – B) = kos A kos B + sin A sin B sin A
= –kot A
•• tan (A + B) = tan A + tan B ( ) ( )(c) sin
1 – tan A tan B 4θ – π + sin 4θ + π
3 3
tan A – tan B ( ) =
1 + tan A tan B
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd••tan(A–B)= sin 4θ kos π – kos 4θ sin π +
3 3
( ) sin π π
Contoh 1 4θ kos 3 + kos 4θ sin 3

Buktikan setiap identiti trigonometri = sin 4θ kos π – kos 4θ sin π +
3 3
π π
yang berikut. sin 4θ kos 3 + kos 4θ sin 3

(a) kos (A + B) – kos A kos B = –tan B = 2 sin 4θ kos π
sin (A + B) – kos A sin B 3
sin(A + B) – sin (A – B)
(b) kos (A + B) – kos (A – B) = –kot A ( ) 1
2

( ) ( )(c) sin π π = 2 sin 4θ
4θ – 3 + sin 4θ + 3 = sin 4θ = sin 4θ BAB 6 TINGKATAN 5

kos β + sin β (d) tan (β + 45°)
kos β – sin β
(d) tan (β + 45°) = = tan β + tan 45°
1 – tan β tan 45°
Penyelesaian
= tan β + 1
(a) kos (A + B) – kos A kos B 1 – tan β(1)
sin (A + B) – kos A sin B
= 1 + tan β
kos A kos B – sin A sin B – 1 – tan β
kos A sin B
= sin A kos B + kos A sin B – 1+ sin β
1– kos β
kos A sin B =
–sin A sin B sin β
= sin A kos B kos β

= – sin B kos β + sin β
kos B
= kos β
= –tan B kos β – sin β

(b) sin (A + B) – sin (A – B) kos β
kos (A + B) – kos (A – B)
= kos β + sin β × kos β
sin A kos B + kos A sin B – kos β kos β – sin β

= (sin A kos B – kos A sin B) = kos β + sin β
kos A kos B – sin A sin B – kos β – sin β

(kos A kos B + sin A sin B)

sin A kos B + kos A sin B –

= sin A kos B + kos A sin B
kos A kos B – sin A sin B –

kos A kos B – sin A sin B

Istilah Penting
• Rumus sudut majmuk – Addition angle formula

253

8Bab Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi

Kinematik Gerakan Linear

Sesaran, Halaju dan (b) Jika suatu zarah bergerak ke
8.1 Pecutan sebagai Fungsi kanan, maka halaju positif,

Masa v  0.
(c) Jika suatu zarah bergerak ke

kiri, maka halaju negatif,
v  0.
Memerihalkan dan Menentukan Bakti Sdn. Bhd
Halaju Halaju Halaju
Sesaran Seketika, Halaju Seketika sifar positif negatif
v=0 v0 v0
dan Pecutan Seketika Suatu Zarah
Zarah Zarah Zarah
 1 Kedudukan zarah dari satu titik pegun bergerak bergerak
tetap, O yang diukur dalam arah ke kanan
BAB 8 TINGKATAN 5 tertentu dikenali sebagai sesaran, s. ke kiri

 2 Sesaran merupakan kuantiti  6 Pecutan, a, ialah kadar perubahan
vektor yang mempunyai magnitud halaju suatu zarah terhadap masa.
dan arah.
 7 Jika kadar perubahan halaju suatu
  3 Sesaran seketika suatu zarah zarah adalah sama pada sebarang
ialah sesaran yang ditentukan ketika, maka zarah itu dikatakan
pada suatu masa tertentu. bergerak dengan pecutan malar,
manakala jika kadar perubahan
Sesaran Sesaran Sesaran halaju suatu zarah berbeza pada
negatif sifar positif sebarang ketika, maka zarah itu
s0 s=0 s0 bergerak dengan pecutan tak
u malar.
Penerbit Ilm
Sebelah Zarah Sebelah   8 Pecutan seketika suatu zarah
kiri O pada O kanan O ialah pecutan yang ditentukan
pada suatu masa tertentu.
Info Dinamik (a) Jika halaju zarah adalah
maksimum atau minimum,
Sesaran awal suatu zarah ialah kedudukan maka pecutan sifar, a = 0.
zarah itu apabila t = 0. (b) Jika halaju zarah bertambah
terhadap masa, maka pecutan
 4 Halaju, v, ialah kadar perubahan positif, a  0.
sesaran suatu zarah terhadap masa. (c) Jika halaju zarah berkurang
terhadap masa, maka pecutan
  5 Halaju seketika suatu zarah ialah negatif, a  0.
halaju yang ditentukan pada suatu
masa tertentu.
(a) Jika suatu zarah berhenti atau
berada dalam keadaan rehat,
maka halaju sifar, v = 0.

Istilah Penting • Pecutan – Acceleration
• Pecutan malar – Uniform acceleration
• Sesaran – Displacement
• Halaju – Velocity

274

Jawapan

TINGKATAN 4 (b) Julat h ialah ( )4(a)ff(x)= – 5
5
0 < h(x) < 10 – x

(c) h(x) < 1 = 5 × x
JAWAPANPenerbit Ilm 1 5
1Bab Fungsi u |3x – 1| < 1
Bakti Sdn. Bhd
–1 < 3x – 1 < 1 =x
( )(b) 5
0 < 3x < 2 f 3(x) = – x
2
Semak Cepat 1.1 0< x < 3 = – 5 , x ≠ 0
x
1 (a) Bukan fungsi kerana Maka, julat nilai x ialah 5
tidak memenuhi syarat 2 ( )f 4(x) = –
suatu fungsi, iaitu setiap 0 < x < 3 . =x – 5
objek hanya mempunyai x
satu imej sahaja. Semak Cepat 1.2
Daripada rajah, didapati f 8(x) = f 4(f 4(x))
b dan c mempunyai 1 (a) fg(x) = 2(2x2 + 2) + 5
lebih daripada satu imej. = 4x2 + 4 + 5 =x
= 4x2 + 9
(b) Fungsi kerana setiap (c) f 15(x) = f 14(f (x))
objek hanya mempunyai (b) gf (x) = 2(2x + 5)2 + 2
satu imej sahaja. = 2(4x2 + 20x + 25) + 2 = – 5 , x ≠ 0
= 8x2 + 40x + 52 x
(c) Fungsi kerana setiap
objek hanya mempunyai (c) ff(x) = 2(2x + 5) + 5 5 (a) gf(x) = 2(5x – 2) + 1
satu imej sahaja. = 4x + 10 + 5
= 4x + 15 = 10x – 4 + 1

= 10x – 3

gf(x) = 7

2 fg(x) = 10 10x – 3 = 7

2 (a) f(3) = a(3) + b ( )1 10x = 10
3a + b = 1
f(6) = a(6) + b 3 = 10 (b) x =1 2
6a + b = –5 x hg(x) = (5 x)
Dengan menggunakan 2 – + 3
kaedah penghapusan; 2
6a + b = –5 1 = 10 = 8 – x , x ≠ 8
(–) 3a + b = 1 6
xx 1
3a = –6 6x hg(x) = 3
a = –2
Apabila a = –2, = 10 2 = 1
3(–2) + b = 1 = 60 8–x 3

b =7 3 (a) fg(x) = 2 8–x =6
3x +
[ a = –2 dan b = 7 2 x =2
(b) f(5) = –2(5) + 7
f(3x + 2) = 2 2 Semak Cepat 1.3
= –10 + 7 3x +
= –3 Katakan y = 3x + 2
1 (a) f(5) = 5(5) + 2
3x + 2 = y
= 27
3x = y – 2
(b) y = 5x + 2
y–2
x= 3 5x = y – 2
y –2
2 x = 5
3 f(x) = 2x ( )f(y) =
3 y–2 +2 f –1 (x) = x – 2
|3x – 1| = 2x 3 5

3x – 1 = –2x , 3x – 1 = 2x = 2 f –1(7) = 7 – 2
y–2+2 5
3x + 2x = 1 3x – 2x = 1 =1

5x = 1 x=1 = 2 2(4) + 3
1 y 5
x = 5 (c) h(4) =

4 (a) Apabila x = 2, ∴[ f(x) = 2 , x ≠ 0 = 8+3
h(2) =|3(2) – 1| x 5
=|6 – 1| ( )(b)
=|5| gf(3) = 3 2 +2 = 11
=5 3 5
=4
θ [ t=5

292

(d) y= 2x + 3 ujian garis mengufuk y y=x
5 memotong graf f (x) (4, 18)
lebih daripada satu titik.
2x + 3 = 5y (d) Fungsi ini mempunyai
5y – 3 fungsi songsang kerana
x= 2 ujian garis mengufuk (–2, 0) (18, 4)
memotong graf f (x)
h–1(x) = 5x – 3 hanya pada satu titik. −2 O 1 x
2
5(9) – 3
h–1(9) = 2 −2 (0, − 2)

42 Daripada g –1, domain ialah
2 –2 < x < 18.
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd= 5 f(x) = 4x – m

= 21 Katakan y = 4x – m

4x = y + m
2 (a) 1 – x ≠ 0 y +m Bahagian B
x = 4 2(2) + 2h
x≠1 4 (a) f(2) = 2

∴ [ m=1 Oleh sebab x = f –1(y), 7 4 + 2h
6 ∴ [f –1(fy–)1(=x)y=+4xm+4m 2 2
(b) 1 – x = y =

y(1 – x) = 6 7 = 4 + 2h
3
1– x = 6 Bandingkan dengan h = 2
y
6 5 2x + 3
x = 1 – y f –1(x) = 2kx – 4 (b) f(x) = x

g(x) =1 – 6 2k = 5 , m = – 5 y = 2x + 3
x 4 4 4 x
xy = 2x + 3
( ) ( )g1 6 k = 1 m = –5
2 =1 – 1 8 xy – 2x = 3

2 Praktis Sumatif 1 x(y – 2) = 3
3
= 1 – 12 x = y–2

= –11 Kertas 1 f –1(x) = 3 , x ≠ 2
–
3 f(x) = 3x + j Bahagian A x 2
3
3x + j = y 1 (a) g(x) = 2x – 3m f –1(3) = (3) – 2
(b) g(5) = 2(5) – 3m
3x = y – j =3
y–j 19 = 10 – 3m
x= x3– j 10 – 19 = 3m (c) f –1(m) = 3 2
f–1(x) = m–
3 3m = – 9 3
x–j m=–3 –3 = m– 2
3
kx – 18 = fg(x) = f [g(x)] –3(m – 2)= 3
= f (2x – 5)
kx – 18 = 1 x – j = 5(2x – 5) –3m + 6 = 3
3 3 = 10x – 25
–3m = –3
fg(–2) = 10(–2) – 25
Bandingkan pekali x dan = – 45 m=1

pemalar, j
1 3 Kertas 2
k = 3 , = 18 Bahagian A

j = 54 2 (a) y = 5 – 3x 1 (a) (i) f(x) = 2x – 1
(b)
[ k = 1 dan j = 54 3x = 5 – y 2x – 1 = y
3 y
x = 5 – x 2x = y + 1
4 (a) Fungsi ini tidak 5 3 y +1 JAWAPAN
mempunyai fungsi f(x) = – x = 2
songsang kerana 5–x 1 3
53– x = 3 x+1
ujian garis mengufuk = f –1(x) = 2

memotong graf f (x) x=2 (ii) Diberi gf(x) = 6x + 5

pada dua titik. dan f(x) = 2x – 1.
(b) Fungsi ini mempunyai
3 Bagi fungsi g(x) = x2 + x – 2 g(2x – 1) = 6x + 5
fungsi songsang kerana
ujian garis mengufuk x01234 Katakan
y –2 0 4 10 18
y = 2x – 1
memotong graf f (x) y + 1
( )x = 6 2y
hanya pada satu titik. = + 1
g(y) 2
(c) Fungsi ini tidak Graf f –1 merupakan +5
mempunyai fungsi pantulan graf f pada garis
songsang kerana y = x. = 3y + 3 + 5

= 3y + 8

g(x) = 3x + 8

293