Unit 2

17

หน่วยที่ 2

เมทริกซ์

18

หนว่ ยท่ี 2

เมทรกิ ซ์ (Matrix)

หัวข้อเรื่อง
1. นิยามของเมทริกซ์
2. ชนดิ ของเมทริกซ์
3. การบวกและการลบเมทริกซ์
4. การคูณเมทริกซ์

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. บอกความหมายและชนิดของเมทรกิ ซ์ได้
2. อธิบายขั้นตอน/วิธกี ารบวกและลบเมทริกซ์ได้
3. อธิบายขน้ั ตอน/วธิ กี ารคูณเมทรกิ ซ์ได้

เนื้อหาการสอน

1. นิยามของเมทรกิ ซ์
เมทริกซ์ คือ กลุ่มของจานวนจริงหรือจานวนเชิงซ้อน มาจัดเรยี งเป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ เปน็ แถวตาม

แนวนอน (Horizontal) และ แนวต้ัง (Vertical) โดยที่แต่ละแถวมจี านวนเท่า ๆ กนั และอยใู่ นเคร่ืองหมาย [ ]
หรือ ( ) ก็ได้ ซึ่งมีแถวตามแนวนอนเรยี กว่า แถว (Row) และตามแนวต้งั เรียกวา่ หลัก (Column)

สญั ลกั ษณข์องเมทริกซ์ โดยท่ัวไปนยิ มใช้ในรูปต่อไปนี้แทน

a11 a12 … … a1n

a21 a12 … … a2n

A=

A51 a52 … … ann

ตวั อยา่ ง Matrix

เมตรกิ ซ์ A มมี ิติ 3×3 จะเขียนเมตริกซ์ ด้วยสญั ลักษณ์

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

A31 a32 a33

19

จะเห็นมสี มาชกิ 9 ตวั โดยมีสัญลักษณ์ทว่ั ไปคือ

A = [aij] m x n
I = 1,2,3,4…,m
j = 1,2,3,4…,n

หมายถึง เมตริกซ์ A มจี านวนแถว m จานวนหลกั n
โดยท่ี a11 หมายถึง สมาชิกทอ่ี ยู่ในแถวท่ี 1 หลกั ท่ี 1
a23 หมายถึง สมาชกิ ท่ีอยู่ในแถวท่ี 2 หลักท่ี 3
aij หมายถึง สมาชิกท่ีอยใู่ นแถวท่ี i หลักที่ j

หรอื

153
014
5 -3 -4

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวต้ังของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียก
จานวนแต่ละจานวนเในเมทริกซว์ ่า สมาชิกของเมทรกิ ซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะตอ้ งระบุตาแหน่ง
ให้ถกู ต้อง เช่น จากตวั อย่างขา้ งบน

สมาชกิ ที่อยู่ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 3 คือเลข 4
สมาชิกทีอ่ ยู่ในแถวที่ 2 หลกั ที่ 2 คอื เลข 1
สมาชกิ ทอ่ี ยู่ในแถวท่ี 3 หลกั ท่ี 1 คือเลข 5

เราเรยี กเมทริกซท์ ม่ี ี m แถว และ n หลกั เรยี กว่า เมทรกิ ซ์ m x n เราเรียกจานวน m และ n
วา่ มติ ิ หรอื ขนาดของเมทริกซ์

เราใชส้ ัญญลกั ษณ์ A = [aij] m x n เพอื่ หมายถึง เมทรกิ ซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลกั โดยที่ ai,j (หรือ aij)
หมายถงึ สมาชกิ ท่ีอยใู่ นตาแหนง่ แถว i และ หลัก j ของเมทรกิ ซ์

20

2. ชนิดของเมทริกซ์
การเรียงตัวของกล่มุ ตวั เลขหรือสมาชิก สามารถจาแนกและเรยี กชือ่ เฉพาะและมีคุณสมบตั ิดงั น้ี
2.1 เมตรกิ ซแ์ ถว (Row Matrix) เปน็ เมตรกิ ซ์ท่ีมสี มาชิกเพียงแถวเดียว เช่น

A = 0 1 -2 1 x 3
เปน็ เมตรกิ ซ์ขนาดมิติ 1×3

A = 1 -3 5 7 1 x 4
เปน็ เมตริกซ์ขนาดมิติ 1×4

A= 1 … 5 1xn
เปน็ เมตริกซ์ขนาดมติ ิ 1×n

2.2 เมตรกิ ซห์ ลกั (Column Matrix) เป็นเมตรกิ ซท์ ม่ี ี สมาชิกเพยี ง หลกั เดยี ว เช่น

1 เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1
A= 2

-9 3 x 1

1 เปน็ เมตริกซ์ขนาดมติ ิ 4×1
A = -5

0
6 4x1

1 เปน็ เมตริกซ์ขนาดมติ ิ m×1
A= 2

-9 m x 1

2.3 เมตรกิ ซศ์ ูนย์ (Zero Matrix) เปน็ เมตรกิ ซ์ทม่ี ี สมาชกิ ทกุ ตัวเป็น 0 ทกุ ตัว เชน่

0
A= 0

0 3x1 A= 0 0 0 1x3

21

000 00
A= 0 0 0 A= 0 0 2x2

0 0 0 3x3

2.4 เมตริกซจ์ ัตรุ สั (Square Matrix) เปน็ เมตรกิ ซ์ทมี่ ีจานวนแถวและหลักเท่ากนั เชน่

512 -9 5
A= 9 5 3 A= 4 7 2x2

4 8 7 3x3

2 -6 9 5
A= 1 3 5 7

6 -2 3 6 4 x 4

2.5 สเกลาร์เมตริกซ์ (Scalar Matrix) เปน็ เมตรกิ ซจ์ ัตรุ ัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลกั (Main
Diagonal) เทา่ กันหมด และสมาชิกทีเ่ หลือเป็น 0 หมด เช่น

500 70
A= 0 5 0 A= 0 7 2x2

0 0 5 3x3

-9 0 0
A = 0 -9 0

0 0 -9 3 x 3

2.6 เมตรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ทมี่ ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมมุ หลกั
มคี ่าเปน็ 1 เทา่ กนั หมด สัญลักษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix

100 10
I 3x3 = 0 1 0 I 3x3 = 0 1 2 x 2

0 0 1 3x3

22

การเทา่ กนั ของเมตรกิ ซ์ เมตริกซใ์ ด ๆ จะเป็นเมตรกิ ซ์เทา่ กันภายใตเ้ ง่ือนไข
1. เมตรกิ ซ์จะต้องมีมติ ิเทา่ กัน
2. สมาชกิ ในแตล่ ะตาแหนง่ เท่ากัน

เชน่ Matrix A = Matrix B

1 2 -2
A = 0.5 4 -1 2 x 3

1 4/8 -2
B = ½ √16 -1 2 x 3

3. การบวกและการลบเมทรกิ ซ์
การบวกและการลบเมตริกซ์สองเมทรกิ ซใ์ ด ๆ สามารถกระทาไดภ้ ายใตเ้ งอ่ื นไขเมทริกซ์
1. ท้งั สองต้องมีมิติเทา่ กนั
2. นาสมาชิกทีอ่ ยู่ตาแหน่งเดียวกนั บวกหรือลบกัน

นิยาม ให้ A = aij m x n และ B = bij m x n จะได้

(1) A + B = C = c1j m x n โดยท่ี Cij = Aij + Bij
(2) A - B = C = c1j m x n โดยที่ Cij = Aij - Bij

ตวั อย่าง

A= 12 B = -3 5 C= 3 -8
27 62 4 1

1. A+B = 1+(-3) 2+5 = -2 7
2+6 7+(-2) 8 5

จากโจทย์จงหาค่าของ

B–A=
(A + B ) + C =
(B + A) - C =

23

B – (A + C) =
A + ( B + C) =

สมบัติของการบวก

ถ้า A , B , C เป็นเมทริกซ์มิติ m x n
1. A + B เป็นเมตรกิ ซ์มิติ m x n (คุณสมบตั ิปดิ )
2. A + B = B + A (คุณสมบัตสิ ลบั ท)่ี
3. A + (B + C) = (A + B) + C (คณุ สมบตั เิ ปล่ยี นกลุ่มได้)
4. 0 + A = A + 0 = A
5. A + (-A) = 0
6. kA = kaij m x n
7. C (A + B) = CA + CB

4. การคณู เมทริกซ์
4.1 การคณู เมทรกิ ซด์ ้วยสเกลาร์
กาหนด k เปน็ สเกลาร์ใด ๆ แลว้

ตัวอยา่ ง

kA = k a b = ka kb
c d kc kd

3A = 3 a b = 3a 3b
c d 3c 3d

4.1 การคณู เมทริกซ์ ด้วยเมทรกิ ซ์

เมตริกซ์ จะคณู กนั ได้กต็ ่อเมื่อจานวนหลกั ของเมตริกซ์ตวั ตง้ั เทา่ กับจานวนแถวของเมตรกิ ซ์
ตัวคณู

ถ้า A , B ,C เป็นเมตริกซ์
A มีมติ ิ m x n
B มีมติ ิ n x p และ
AB = C แลว้ C มีมติ ิ m x p

24

การคณู คอื แถวของตัวตง้ั ไปคูณกับหลักของตวั คูณ ทาเชน่ น้ีเรือ่ ย ๆ จนครบทุกหลักและเริม่ ทแี่ ถวท่ี
สองตอ่ ไป

ตัวอย่าง การคูณ 2 x 2 มิติ

A= 1 2 -2 -1
3 4 B = -4 -3

AB = 1 2 -2 -1
3 4 -4 -3

AB = -10 -7
-22 -15

วิธที า

1 2 x -2 -1 = 1(-2) + 2(-4) = -2 -8 = -10
3 4 -4 -3 = 1(-1) + 2(-3) = -1 -6 = -7

-13 2 x -2 -1
4 -4 -3

1 2 x -2 -1 = 3(-2) + 4(-4) = -6 -16 = -22
3 4 -4 -3 = 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15

1 2 x -2 -1
3 4 -4 -3

คาตอบ

AB = -10 -7
-22 -15

25

4. ดเี ทอร์มิแนนท์ (Determinant)

เป็นค่าท่ีไดจ้ ากการคานวณจากเมตริกซ์ทีก่ าหนดให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ ดเี ทอรม์ ิแนนทข์ อง
เมทริกซ์ A เขยี นแทนดว้ ย det (A) หรือ ⎜A ⎜ ดงั น้ี

A= ab , ab -
cd cd = det(A) = ad - bc
+

1. det(At) =det(A)
2. det(An) = (det(A))n
3. det(AB) = det(A)det(B)

การหาดีเทอร์มแิ นนทข์ องเมทริกซข์ นาด 3 x 3
---

a1 b1 c1 a1 b1
A = a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3
++ +

det(A) = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 – a3 b2 c1 – b3 c2 a1 – c3 a2 b1
เมทริกซ์ที่มีขนาดมากกว่าน้ีจะทาวธิ ีนีไ้ มไ่ ด้ ต้องใช้วธิ กี ระจาย cofactor เทา่ น้ัน