Unit 5

เอกสารประกอบการเรยี น

หลกั สตู รประกาศนียบตั รวชิ าชีพช้ันสงู 2557

คณติ ศาสตรเ์ กษตรกรรม

วิทยาลยั เกษตรและเทคโนโลยฉี ะเชงิ เทรา
สานักงานคณะกรรมการการอาชวี ศกึ ษา

กระทรวงศกึ ษาธิการ

2

3000-1504 คณิตศาสตร์เกษตรกรรม 3-0-3
(Agriculture Mathemematics)

จดุ ประสงคร์ ายวชิ า
1. เพ่อื ให้เกดิ ความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั ตรรกศาสตร์ เมทริกซ์ ดีเทอร์มแิ นนต์ ระบบสมการเชิงเส้น

และความน่าจะเปน็
2. เพือ่ ให้นาความรูเ้ ร่อื ง ตรรกศาสตร์ เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการ เชิงเส้น และความนา่ จะ

เป็นประยกุ ต์ใชใ้ นงานอาชพี
3. เพอ่ื ให้มีเจตคติท่ดี ีตอ่ การเรียนรทู้ างคณิตศาสตร์

สมรรถนะรายวิชา
1. แสดงเหตุผลโดยใช้ตรรกศาสตร์
2. ดาเนนิ การเกีย่ วกบั เมทริกซ์
3. คานวณคา่ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์
4. ประยุกตก์ ารแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนตใ์ นงานอาชีพ
5. ดาเนนิ การเกย่ี วกับความน่าจะเปน็

คาอธบิ ายรายวิชา
ศึกษาเกีย่ วกับการฝกึ ทกั ษะการคิดคานวณ และการแก้ปญั หาเก่ยี วกบั ตรรกศาสตร์ เมทรกิ ซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ ระบบสมการเชิงเสน้ ความนา่ จะเปน็ และการประยุกต์ใช้ในงานอาชพี

3

บทท่ี 1

ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้

หวั ข้อเรอื่ ง
1. ประพจน์
2. คา่ ความจรงิ ของประพจน์
3. การอ้างเหตุผล/ การให้เหตผุ ล

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. บอกความหมายและชนดิ ของประพจน์ได้
2. บอกคา่ ความจรงิ ของประพจน์ได้
3. อธิบายการอ้างเหตุผลและการใหเ้ หตผุ ลได้

เนือ้ หาการสอน

ตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสาคัญของวิชาปรัชญา
คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid
argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาท่ีมีมานานโดยมนุษยชาติท่ี
เจรญิ แล้ว เช่น กรกี จนี หรอื อินเดยี และถูกยกขน้ึ เป็นสาขาวิชาหน่งึ โดย อรสิ โตเตลิ

ตรรกศาสตร์ หมายถึง ตรรกศาสตร์เป็นวิชาท่ีว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของผลภายใต้
กฎเกณฑ์ท่ีกาหนดถือเป็นสาระสาคัญ ข้อความหรือการให้เหตุผลในชีวติ ประจาวันสามารถสรา้ งเป็นรูปแบบที่
ชัดเจนจน ใช้ประโยชนใ์ นการสรุปความ ความสมเหตสุ มผลเปน็ ที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็น
แม่บทของคณิตศาสตร์แขนงตา่ ง ๆ และการประยกุ ต์

1. ประพจน์ (Propositions)
สิ่งแรกที่ต้องรู้จักในเร่ืองตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ซึ่งเป็นประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่าง

เดียวเท่าน้นั ประโยคเหลา่ น้ีอาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเลา่ หรอื ประโยคปฏเิ สธกไ็ ด้
ข้อความหรือประโยคท่ีมีค่าความจรงิ (T) หรือประโยคท่ีมีค่าความจริงไม่แน่นอนหรือไม่อาจระบุได้ว่า

มคี ่าความจริงเป็นจริงหรือเปน็ เท็จได้ (F) อย่างใดอย่างหน่งึ ไม่เปน็ ประพจน์ ส่วนขอ้ ความรูป คาสัง่ คาขอร้อง
คาอุทาน คาปฏิเสธ ซ่ึงไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สาหรับข้อความ
บอกเลา่ แตม่ ีตัวแปรอยดู่ ้วย ไมส่ ามารถบอกว่าเป็นจรงิ หรอื เทจ็ จะไม่เป็นประพจน์ เรยี กวา่ ประโยคเปดิ

4

ตัวอย่าง ประโยคตอ่ ไปน้ีเป็นประพจน์
จงั หวดั ชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จรงิ )
5 × 2 = 2 + 5 ( เทจ็ )
หน่ึงปี มี 12 เดือน (จริง)
5 > 3 (จรงิ )
2 + 3 = 4 (เท็จ)
ธงชาติมี 5 สี (เทจ็ )
พระอาทิตย์ขึน้ ทางทิศตะวนั ออก (จรงิ )
เดอื นท่ีลงท้ายด้วย คม มี 30 วัน (เท็จ)

ประโยคตอ่ ไปนี้ไม่เป็นประพจน์
โธค่ ุณ (อุทาน)
กรณุ าปิดประตูดว้ ยครับ (ขอรอ้ ง)
ทา่ นเรียนวิชาตรรกวทิ ยาเพอื่ อะไร (คาถาม)
จ.เพชรบุรีอยภู่ าคไหนของประเทศไทย (คาถาม)
วนั นี้อากาศรอ้ นหรอื เปลา่ (คาถาม)
กรุณาอย่าส่งเสียงดงั (ขอรอ้ ง)
2 + 2 = ? (คาถาม)
เธอไปไหนมา (คาถาม)
เขาเป็นนักเรียน (บอกล่า)
X+3 = 5 (บอกลา่ )

ประโยคเปิด (Open sentence) คอื ประโยคบอกเลา่ ซ่งึ ประกอบด้วยตวั แปรหน่ึงหรอื มากกวา่ โดยไม่
เปน็ ประพจน์ แตจ่ ะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชกิ เอกภพสัมพัทธ์ตามที่กาหนดให้ นน่ั คอื เมื่อแทน
ตัวแปรแลว้ จะสามารถบอกค่าความจริง

ตวั อย่าง ประโยคเปดิ
เขาเปน็ นักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
x + 5 =15
y<-6

ประโยคทไี่ มใ่ ชป่ ระโยคเปดิ
10 เปน็ คาตอบของสมการ X-1=7
โลกหมุนรอบตวั เอง
จงหาคา่ X จากสมการ 2x+1=8

5

2. ค่าความจรงิ ของประพจน์ (logical connectives)
โดยปกติเม่ือกล่าวถึงข้อความหรือประโยคน้ันมักจะมีกริยามากกว่าหน่ึงตัว แสดงว่าได้นาประโยคมา

เช่ือมกนั มากกวา่ หน่ึงประโยค ดังนน้ั ถ้านาประพจน์มาเช่ือมกนั ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกไดว้ ่าเป็น
จริงหรือเป็นเท็จ ตวั เช่อื มประพจนม์ อี ยู่ 5 ตวั และตวั เช่ือมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คอื และ หรอื ถา้ …แลว้ ก็
ต่อเมือ่ ไม่

การเชอื่ มประพจน์ มวี ิธกี ารเชอ่ื มประพจน์ 5 แบบ
1. Conjuntion ได้แก่ การเช่ือมประพจน์คาว่า และ, กับ, แต่, ซ่ึง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

(∧) (ขอ้ ความรวม)
2. Disjuntion ได้แก่ การเชื่อมประพจนท์ ่มี คี าว่า หรอื เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (∨)
3. Conditional ได้แก่ การเชื่อมประพจน์ท่ีมีคาว่า ถ้า…..แล้ว…., ถ้า….ดังน้ัน…., เพราะว่า

ดังนั้น…… เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ (→) (ขอ้ ความทางเข่อื นไข)
4. Biconditional ได้แก่ คาว่า….. ก็ต่อเม่ือ….เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (↔) (ข้อความ

สมมลู )
5. Negation เป็นนิเสธของประพจน์ ได้แก่ ประพจน์ที่มีคานาหน้า ไม่, ไม่จริงที่ว่า เขียน

แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ (∼)

การเขียนสญั ลักษณแ์ ทนประพจน์ นิยมใชอ้ ักษรตัวเลขก็ เชน่ p , q , r , s , t เปน็ สญั ลักษณ์แทน
พจนต์ ่าง ๆ เชน่

p แทนประพจน์ 4+3=7
q แทนประพจน์ 5+7=2
ทกุ ประพจน์สามารถสรา้ งเปน็ ประพจนใ์ หม่ โดยใชต้ ัวเช่ือมประโยคทไ่ี ดด้ ังนี้
1. p ∧ q อา่ นวา่ p และ q
2. p ∨q อา่ นวา่ p หรอื q

3. p→q อ่านว่า ถ้า p แล้ว q (if….. them)
4. p↔q อ่านวา่ p ก็ตอ่ เมือ่ q (if…….and only if …..)

5. ∼ p อ่านว่า ไมจ่ รงิ ท่วี ่า 4+3=7

6

ตัวอยา่ งที่ 3

กาหนดให้ r แทนประพจน์ 4 เปน็ จานวนคู่
t แทนประพจน์ 4 เป็นจานวนเต็ม

จงเขียนความหมายของประโยคตอ่ ไปนี้

1. r → t ถ้า 4 เปน็ จานวนคู่แล้ว 4 เป็นจานวนเต็ม
2. r∧t 4 เป็นจานวนคู่และ 4 เป็นจานวนเตม็
3. r∨t 4 เปน็ จานวนคหู่ รือ 4 เป็นจานวนเต็ม
4. r ↔ t 4 เปน็ จานวนคู่ก็ต่อเม่ือ 4 เปน็ จานวนเต็ม

5. ∼ t ไม่จรงิ ที่ว่า 4 เป็นจานวนเต็ม

คา่ ความจรงิ ของประพจน์ที่เกดิ จากการเชอ่ื มประพจน์
1. เชือ่ มประพจน์ด้วยคาว่า “และ”

ถา้ p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทน p และ q ดว้ ย p∧q ตารางคา่ ความจริงของ p∧q
ดังต่อไปนี้

สรุปการเชอ่ื มประพจน์ด้วยคาวา่ “และ”
การเช่ือม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเช่ือมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย

สัญลักษณ์ p∧q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เม่ือ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่า
ความจรงิ เปน็ เทจ็ (F)

7

2. การเช่ือมประพจนด์ ว้ ยคาว่า “หรอื ”
ถา้ p และ q เปน็ ประพจน์ เขยี นแทน p หรือ q ดว้ ย p∨q ตารางคา่ ความจริงของประพจน์
เป็นดังน้ี
ตัวอยา่ งที่ 4 สดุ าไปเลน่ นา้ หรอื เล่นเทนนสิ แล้ว ให้สรปุ ตารางค่าความจริง

สรุปการเช่ือมประพจน์ดว้ ยคาวา่ “หรือ”
การเช่ือม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย
สัญลักษณ์ p ∨q ซ่ึงจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ท้ังคู่ นอกน้ันมีค่า
ความจริงเป็นจรงิ (T)
3. การเชื่อมประพจนด์ ้วย ตวั เช่ือม “ถา้ …แล้ว...”
ถา้ p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทน p →q ดว้ ย p→ q ตารางค่าความจริงเป็นดงั น้ี
ตวั อย่างท่ี 5 ถ้าสมชายเป็นนักเรยี นรอบเช้าแล้วจะมาถงึ โรงเรียนก่อน 7.00 น.

สรปุ การเชื่อมประพจน์ด้วยคาว่า “ถา้ …แลว้ ”
การเช่ือม p และ q เข้าด้วยกนั ดว้ ยตัวเช่ือมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขยี นแทนไดด้ ้วยสัญลักษณ์
p → q ซ่งึ จะมคี ่าความจริงเป็นเทจ็ (F) เม่อื p เป็นจริง (T) และ q เปน็ เท็จ (F) นอกนนั้ มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง
(T)

8

4. การเชือ่ มประพจนด์ ้วยตัวเชือ่ ม “กต็ ่อเมอ่ื ”
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทนถา้ p ก็ต่อเมือ่ q ด้วย p↔q ตารางคา่ ความจริงเป็น
ดังนี้
ตัวอย่างท่ี 6 สรุ ชัยตอ้ งทาบัตรประชาชน ก็ตอ่ เมื่อมีอายคุรบ 17 ปี บริบรู ณ์

สรปุ การเช่อื มประพจน์ด้วยคาวา่ “กต็ อ่ เมื่อ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเช่ือมประพจน์ “ก็ต่อเม่ือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วย
สัญลกั ษณ์ p↔q ซ่งึ จะมคี า่ ความจรงิ เป็นจริง (T) เมือ่ p และ q มีค่าความจรงิ ตรงกนั และจะมคี ่าความจริง
เป็นเทจ็ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกนั
5. นเิ สธของประพจนท์ ่ีกาหนดให้
ถ้า p เปน็ ประพจน์ นเิ สธของประพจน์ p คือ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ ตรงข้ามกับ p เขียน แทนนิเสธ
ของประพจน์ p ด้วย ∼ p ตารางคา่ ความจริงของ ∼p มีดงั ต่อไปนี้

9

ตวั อยา่ งท่ี 7 ให้ p,q เป็นประพจนท์ ่ีมคี ่าความจรงิ เปน็ จริง r เป็นประพจน์ท่ีมคี ่าความจรงิ
เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปน้ี

1. (p ∧q) → r
(T ∧T) → F
T→F
F คา่ ความจริงเป็นเทจ็

2. (p ∨q) → r
(T ∨T) → F
T→F
F คา่ ความจรงิ เป็นเทจ็

3. (p→q) → r
T →T → F
T →F
F ค่าความจริงเป็นเท็จ

4. ∼p ∧q
F∧T
F คา่ ความจริงเป็นเทจ็

5. ∼r→p
T→T
T ค่าความจรงิ เป็นจรงิ

6. p ↔ q
T↔T
T คา่ ความจรงิ เป็นจริง

10

7. (∼ p→ q) ∧ (p→r)
(F →T) ∧ (T →F)
T∧F
F ค่าความจริงเป็นเทจ็

8. (p → q) ∧ (p →∼ r)
(T →T) ∧ (T → T)
T ∧T
T คา่ ความจริงเป็นจริง

6. การสร้างตารางคา่ ความจริง

ถา้ ประพจน์มี 2 ประพจนค์ ือ p, q มกี รณีที่จะต้องพจิ ารณา คือ

ตัวอย่างที่ 8 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1. (p  q) p

11

2. ( pq)  (p q)

ประพจน์มี 3 ประพจน์ คือ p, q, r จะต้องพจิ ารณาท้ัง หมด 8 กรณี

12

ตวั อยา่ งที่ 9 จงสร้างตารางค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้
1. (pq)  r

2. ( p q) (p  r)

13
7. ประพจน์ท่ีสมมูลกัน
ถ้าคา่ ความจริงของประพจนท์ ่ีเกิดจากการเช่อื ม ประพจน์ 2 ชุด มคี ่าความจรงิ เหมือนกัน
ทกุ กรณี เราเรยี กประพจน์ 2 ชุดนนั้ เป็นประพจนท์ ่สี มมูลกัน

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ pq กับ (p q) (qp) วา่ สมมูลกัน
หรือไม่

ดังนั้น pq สมมลู กบั (pq)(qp)
ประโยคท่ีสมมูลกนั เขยี นแทนด้วย 
ดังน้นั จะได้ (pq)  (pq)(qp)
ประพจน์ทส่ี มมูลกันทส่ี าคญั บางประพจน์

1. (pq)(p q)
2.  (pq)(pq)
3. (pq) (pq)
4.  ( p) p
5. pq  p q
6. pq ( ~q~p)

14
8. ประพจน์ท่เี ป็นนเิ สธกนั

ถา้ ค่าความจรงิ ของประพจน์ท่ีเกิดจากตัวเช่ือม 2 ชดุ มคี ่าความจรงิ เป็นนเิ สธกัน ทกุ กรณี
เรยี กประพจนท์ ัง้ 2 ชดุ นี้ว่า เป็นนิเสธกนั

ตัวอย่างที่ 11 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ pq กับ p  q

ดงั นน้ั จะได้ว่า pq เป็นนเิ สธกนั pq
9. สัจนริ นั ดร์ (tautology)

สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ท่ีเป็นจริงสาหรับค่าความจริงทุกค่าของประพจน์ย่อย
ดังน้นั จากตวั อย่างท่ี 8 เป็น สัจนิรนั ดร์

เช่น ( pq) (pq

ตวั อยา่ งที่ 11 กาหนดให้ประพจน์ [p(sr)] q มีค่าความจริงเป็นเทจ็
จงหาค่าความจรงิ ของ p, q, r และ s

ค่าความจริง T, F, T, T ตามลาดบั

15

10. คา่ ความจริงของประโยคทม่ี ีตัวบ่งปริมาณ (สาหรับตวั แปรเดียว)
ประโยคเปิดและเซตคาตอบ
ประโยคเปิด คือ ประโยคท่ีมีตวั แปรและไมส่ ามารถบอกคา่ ความจรงิ ไดว้ ่า เป็นจรงิ หรือเท็จ
อย่างใดอย่างหนึ่ง

เชน่ เขาเป็นนักฟุตบอล
เขาชอบเล่นดนตรี
x+1 =5
x+1 <2

(ประโยคที่มีตวั แปรบางประโยค อาจจะไมเ่ ป็นประโยคเปิดเสมอไป ถ้าเราใสต่ ัวบง่ ปรมิ าณ)
ให้ P(x) แทนประโยคเปิดที่มีตวั แปร x และกาหนดเอกภพสมั พัทธ์ U ถ้านาสมาชิกใดใน

U ไปแทนค่า x ใน P(x) ประโยคที่เกดิ ข้ึนใหมจ่ ะเป็นประพจนท์ ันที

ตวั อย่างท่ี 12 กาหนดให้ U = {0,1,2,3} และ P(x) ; x +1 < 3
จงหาค่าความจริงของประพจน์

ประโยคเปดิ P(x) = x+1 < 3 ค่าความจริง
0+1<3 จรงิ
1+1<3 จรงิ
2+1<3 เทจ็
3+1<3 เท็จ

ถา้ P(x) เปน็ ประโยคเปิด เม่อื มีเอกภพสมั พัทธค์ ือ U ถ้านาสมาชิกของ U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้ว
ทาให้ประโยคเปิดน้ัน มคี า่ ความจริงเป็นจริง เรยี กสมาชิกท่ีไปแทนนั้นว่า เป็นค่าตอบ
(Solution) และเซตคาตอบทั้งหมดเรียกว่า เซตคาตอบ (Solution Set)

16

ตวั อย่างที่ 13

11. ตัวบง่ ปริมาณ
ทบทวนเร่ืองประโยคเปิดวา่ เป็นอยา่ งไร เช่น
x+2<0 เปน็ ประโยคเปิด
ถา้ เราใส่ตวั บง่ ปริมาณลงไป
สาหรับทุก ๆ ตัวของ x , x+2<0 F
มี x อย่างน้อย 1 จานวนทท่ี าให้ x+2<0 T
สาหรบั x แตล่ ะจานวน , x+2<0
มี x บอกจานวน x+2<0

ตัวทข่ี ีดเส้นใต้ คือตวั บง่ ปริมาณ ซ่ึงตัวบง่ ปริมาณเป็นตัวระบจุ านวนสมาชกิ ในเอกภพสมั พัทธ์ทท่ี าให้
ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปรมิ าณมี 2 ชนดิ คอื

1) วลบี อกปริมาณทั้งหมด หมายถึง ตวั บ่งปรมิ าณท่ีกล่าวถึง “สมาชกิ ทุกตวั ในเอกภพสัมพัทธ์” ซง่ึ
เขยี นแทนได้ดว้ ยสัญลกั ษณ์ “” อ่านวา่ ”สาหรบั สมาชกิ x ทุกตวั ” เป็นวลีท่กี ล่าวว่า “สาหรบั ทุก ๆ…….. ”
“สาหรบั แตล่ ะ……..”

เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์(Forall) ถา้ P(x) เปน็ ประโยคเปดิ ท่มี ตี วั แปร x
สาหรบั ทกุ ๆ x ของ P(x) เขียนแทนด้วย x [P(x)]
เช่น x [x+2<0] สาหรับทกุ ๆ ตวั ของ x , x+2<0

2) วลีบอกปริมาณอย่างน้อยหน่งึ ตัว (Existenial quontitier) หมายถึง ตัวบ่งปริมาณที่กลา่ วถึง

“สมาชกิ บางตัวในเอกภพสัมพทั ธ์” ซง่ึ เขียนแทนไดด้ ้วยสัญลกั ษณ์ “” อ่านวา่ “สาหรบั สมาชิก x บางตวั ”
เป็นวลที ี่กล่าวด้วยคาว่า “สมาชกิ อย่างน้อยหนงึ่ ตัว……..”

17

มสี มาชิกแทนดว้ ย สญั ลักษณ์  (For Some)
ถ้า P(x) เป็นประโยคเปดิ ทมี่ ีตวั แปร x
ประโยคสาหรบั x บางตัวของ P(x) เขยี นแทนด้วย x [P(x)] เช่น
x [x+2<0] สาหรับ x บางตวั x+2<0
มีสมาชิกอย่างน้อยหน่ึงตัวท่ที าให้ x, x+2<0
คา่ ความจริงของวลบี อกปริมาณ
วลีบอกปริมาณทั้งหมด (x)

คา่ ความจรงิ จะเปน็ จรงิ ก็ต่อเม่ือ เซตของคาตอบ = เอกภพสมั พัทธ์
คา่ ความจริงจะเป็นเทจ็ ก็ตอ่ เมอ่ื เซตคาตอบ  เอกภพสมั พัทธ์
วลบี อกปริมาณบางตวั
ค่าความจรงิ จะเปน็ จรงิ กต็ ่อเมอื่ เซตคาตอบ  เอกภพสมั พัทธ์
คา่ ความจรงิ จะเป็นเทจ็ ก็ตอ่ เมอ่ื เซตคาตอบ = เซตว่าง
12. การอา้ งเหตผุ ล/ การใหเ้ หตผุ ล
การอ้างเหตผุ ล คอื การอ้างว่า “สาหรบั เหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C
ได”้ การอ้างเหตุผลนี้ ไดร้ ับเลือกเปน็ ตวั แทนของ ข้อสอบในเรื่องตรรกศาสตร์ ใหเ้ ปน็ ข้อสอบเขา้ มหาวิทยาลยั
อย่าง O-Net และ PAT1 บ่อยๆ จงึ เป็นเร่ืองทีส่ าคญั มาก
การใหเ้ หตุผล Q จาก P1 ,…..Pn นั้น อาจจะถูกหรือผิดก็ได้ ถ้าการให้เหตุผลดังกล่าวถูกต้อง เราจะ
เรยี กว่า เป็นการใหเ้ หตผุ ลที่สมเหตุสมผล (Valid arugument) แตถ่ า้ ใหเ้ หตผุ ลดังกลา่ วผิด เราจะเรียกว่า
เป็นการใหเ้ หตุผลท่ีไม่สมเหตุสมผล (Invalid arugument)
การใหเ้ หตุผลโดยใช้แผนภาพของแวนน์

ถา้ ให้ P แทน นกั เรียน
Q แทน การเรียนหนังสือ

นกั เรียนบางคนเรียนหนังสือ จะเขยี นดว้ ย

หรอื ก็ได้

แต่ หมายถงึ นักเรยี นทกุ คนต้องเรยี นหนังสือ

18

ตัวอย่างท่ี 13 ดอกกุหลาบไม่ใช่อาหาร
P แทน ดอกกหุ ลาบ
Q แทน อาหาร

เขยี นแทนด้วยภาพจะได้
เน่อื งจาก P กับ Q ไมเ่ กยี่ วข้องกันเลย

ตวั อย่างท่ี 14 จงพิจารณาวา่ การใหเ้ หตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตสุ มผลหรือไม่
มนุษยเ์ ปน็ สิ่งมชี ีวิต
นักศกึ ษาเป็นมนุษย์

 นักศึกษาเป็นสิง่ มชี ีวิต
วธิ ีทา

P แทน มนษุ ย์
Q แทน นักศึกษา
R แทน สงิ่ มีชวี ิต

มนษุ ย์เป็นสงิ่ มชี ีวิต

นักศึกษาเป็นมนุษย์

รวมกนั จะได้ พบวา่ Q อยใู่ น R เชน่ กนั

น้ันคือ นักศึกษาเป็นส่ิงมีชีวิตน้ัน สมเหตุสมผล

19

บทที่ 2

เมทริกซ์ (Matrix)

หัวข้อเรื่อง
1. ชนิดของเมทริกซ์
2. การบวกและการลบเมทริกซ์
3. การคูณเมทริกซ์
4. ดีเทอรม์ แิ นนท์

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
1. บอกความหมายและชนิดของเมทรกิ ซ์ได้
2. แก้โจทยป์ ญั หาเก่ยี วกับการบวกและลบเมทริกซ์ได้
3. แกโ้ จทยป์ ัญหาเกีย่ วกบั การคณู เมทริกซ์ได้
4. แกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับดเี ทอร์มแิ นนท์ได้

เนอ้ื หาการสอน

1. นิยามของเมทริกซ์
เมทรกิ ซ์ คือ กลุ่มของจานวนจริงหรือจานวนเชงิ ซ้อน มาจัดเรยี งเป็นรูปสเี่ หล่ียมผืนผ้าเปน็ แถวตาม

แนวนอน (Horizontal) และ แนวตงั้ (Vertical) โดยที่แตล่ ะแถวมจี านวนเท่า ๆ กันและอยใู่ นเคร่ืองหมาย [ ]
หรอื ( ) ก็ได้ ซึง่ มแี ถวตามแนวนอนเรียกวา่ แถว (Row) และตามแนวตัง้ เรียกว่า หลัก (Column)

สัญลกั ษณข์องเมทริกซ์ โดยท่ัวไปนิยมใช้ในรูปต่อไปน้ีแทน

a11 a12 … … a1n

a21 a12 … … a2n

A=

A51 a52 … … ann

20

ตัวอย่าง Matrix
เมตริกซ์ A มีมิติ 3×3 จะเขียนเมตริกซ์ ด้วยสญั ลกั ษณ์

a11 a12 a13
A = a21 a22 a23

A31 a32 a33

จะเห็นมสี มาชกิ 9 ตัว โดยมีสญั ลักษณ์ทว่ั ไปคือ

A = [aij] m x n
I = 1,2,3,4…,m
j = 1,2,3,4…,n

หมายถึง เมตริกซ์ A มจี านวนแถว m จานวนหลกั n
โดยท่ี a11 หมายถงึ สมาชกิ ทีอ่ ยู่ในแถวท่ี 1 หลักที่ 1
a23 หมายถงึ สมาชกิ ทีอ่ ย่ใู นแถวท่ี 2 หลกั ที่ 3
aij หมายถงึ สมาชิกท่ีอยใู่ นแถวท่ี i หลกั ที่ j

หรอื

153
014
5 -3 -4

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวต้ังของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียก
จานวนแตล่ ะจานวนเในเมทริกซว์ ่า สมาชกิ ของเมทริกซ์ การกล่าวถงึ สมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตาแหน่ง
ใหถ้ กู ตอ้ ง เช่น จากตวั อยา่ งขา้ งบน

สมาชกิ ที่อยู่ในแถวที่ 2 หลกั ที่ 3 คือเลข 4
สมาชกิ ที่อยู่ในแถวท่ี 2 หลักท่ี 2 คอื เลข 1
สมาชกิ ท่ีอยู่ในแถวที่ 3 หลักท่ี 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทรกิ ซท์ ่ีมี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทรกิ ซ์ m x n เราเรยี กจานวน m และ n
ว่า มิติ หรอื ขนาดของเมทริกซ์

21

เราใชส้ ัญญลกั ษณ์ A = [aij] m x n เพ่อื หมายถงึ เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลกั โดยท่ี ai,j (หรือ aij)
หมายถงึ สมาชิกที่อยใู่ นตาแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทรกิ ซ์

2. ชนิดของเมทริกซ์
การเรยี งตัวของกล่มุ ตัวเลขหรือสมาชกิ สามารถจาแนกและเรยี กชอื่ เฉพาะและมคี ุณสมบตั ิดงั นี้
2.1 เมตริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมตริกซ์ท่ีมสี มาชิกเพียงแถวเดยี ว เชน่

A = 0 1 -2 1 x 3
เปน็ เมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3

A = 1 -3 5 7 1 x 4
เปน็ เมตริกซ์ขนาดมติ ิ 1×4

A= 1 … 5 1xn
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×n

2.2 เมตริกซ์หลกั (Column Matrix) เปน็ เมตริกซ์ท่มี ี สมาชิกเพียง หลักเดยี ว เช่น

1 เป็นเมตรกิ ซ์ขนาดมิติ 3×1
A= 2

-9 3 x 1

1 เป็นเมตรกิ ซ์ขนาดมติ ิ 4×1
A = -5

0
6 4x1

1 เปน็ เมตรกิ ซ์ขนาดมิติ m×1
A= 2

-9 m x 1

22

2.3 เมตริกซ์ศนู ย์ (Zero Matrix) เปน็ เมตรกิ ซ์ท่มี ี สมาชกิ ทกุ ตัวเป็น 0 ทุกตวั เชน่

0 A= 0 0 0 1x3
A= 0

0 3x1

000 00
A= 0 0 0 A= 0 0 2x2

0 0 0 3x3

2.4 เมตรกิ ซจ์ ตั ุรัส (Square Matrix) เป็นเมตริกซท์ ่ีมีจานวนแถวและหลกั เท่ากนั เชน่

512 -9 5
A= 9 5 3 A= 4 7 2x2

4 8 7 3x3

2 -6 9 5
A= 1 3 5 7

6 -2 3 6 4 x 4

2.5 สเกลารเ์ มตรกิ ซ์ (Scalar Matrix) เปน็ เมตริกซ์จตั รุ ัส ท่ีมีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมุมหลกั (Main
Diagonal) เทา่ กันหมด และสมาชกิ ทเี่ หลอื เป็น 0 หมด เชน่

500 70
A= 0 5 0 A= 0 7 2x2

0 0 5 3x3

-9 0 0
A = 0 -9 0

0 0 -9 3 x 3

23

2.6 เมตริกซเ์ อกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ทมี่ สี มาชิกในแนวเสน้ ทแยง
มุมหลัก มีค่าเปน็ 1 เทา่ กันหมด สญั ลกั ษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix

100 10
I 3x3 = 0 1 0 I 3x3 = 0 1 2 x 2

0 0 1 3x3

การเท่ากนั ของเมตรกิ ซ์ เมตริกซ์ใด ๆ จะเปน็ เมตริกซเ์ ท่ากันภายใตเ้ งื่อนไข
1. เมตริกซ์จะต้องมมี ิติเทา่ กนั
2. สมาชิกในแต่ละตาแหน่งเท่ากัน

เช่น Matrix A = Matrix B

1 2 -2
A = 0.5 4 -1 2 x 3

1 4/8 -2
B = ½ √16 -1 2 x 3

24

3. การบวกและการลบเมทริกซ์
การบวกและการลบเมตริกซส์ องเมทริกซใ์ ด ๆ สามารถกระทาไดภ้ ายใตเ้ งอื่ นไขเมทรกิ ซ์
1. ท้งั สองต้องมมี ิตเิ ท่ากัน
2. นาสมาชกิ ท่อี ยู่ตาแหนง่ เดียวกนั บวกหรือลบกัน

นิยาม ให้ A = aij m x n และ B = bij m x n จะได้

(1) A + B = C = c1j m x n โดยที่ Cij = Aij + Bij
(2) A - B = C = c1j m x n โดยที่ Cij = Aij - Bij

ตวั อยา่ ง

A= 12 B= -3 5 C= 3 -8
27 6 2 4 1

1. A+B = 1+(-3) 2+5 = -2 7
2+6 7+(-2) 8 5

จากโจทยจ์ งหาค่าของ

B–A=
(A + B ) + C =
(B + A) - C =
B – (A + C) =
A + ( B + C) =

สมบัติของการบวก

ถ้า A , B , C เปน็ เมทริกซ์มิติ m x n
1. A + B เป็นเมตรกิ ซ์มติ ิ m x n (คุณสมบตั ิปิด)
2. A + B = B + A (คุณสมบัติสลบั ที่)
3. A + (B + C) = (A + B) + C (คณุ สมบตั ิเปล่ียนกล่มุ ได้)
4. 0 + A = A + 0 = A
5. A + (-A) = 0
6. kA = kaij m x n
7. C (A + B) = CA + CB

25

4. การคณู เมทริกซ์
4.1 การคณู เมทรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์
กาหนด k เป็นสเกลาร์ใด ๆ แลว้

ตวั อย่าง

kA = k a b = ka kb
c d kc kd

3A = 3 a b = 3a 3b
c d 3c 3d

4.1 การคูณเมทรกิ ซ์ ด้วยเมทริกซ์

เมตริกซ์ จะคูณกันได้กต็ ่อเมื่อจานวนหลักของเมตริกซต์ วั ตงั้ เทา่ กับจานวนแถวของเมตรกิ ซ์
ตวั คณู

ถ้า A , B ,C เป็นเมตริกซ์
A มีมติ ิ m x n
B มีมิติ n x p และ
AB = C แลว้ C มีมิติ m x p

การคณู คอื แถวของตวั ตงั้ ไปคณู กับหลักของตวั คณู ทาเช่นนี้เรอ่ื ย ๆ จนครบทุกหลกั และเรมิ่ ที่แถวท่ี
สองต่อไป

ตัวอยา่ ง การคณู 2 x 2 มติ ิ

A= 1 2 -2 -1
3 4 B = -4 -3

AB = 1 2 -2 -1
3 4 -4 -3

AB = -10 -7
-22 -15

26

วธิ ที า

1 2 x -2 -1 = 1(-2) + 2(-4) = -2 -8 = -10
3 4 -4 -3 = 1(-1) + 2(-3) = -1 -6 = -7

1 2 x -2 -1 คาตอบ AB = -10 -7
-3 4 -4 -3 -22 -15

1 2 x -2 -1 = 3(-2) + 4(-4) = -6 -16 = -22
3 4 -4 -3 = 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15

1 2 x -2 -1
3 4 -4 -3

4. ดเี ทอร์มแิ นนท์ (Determinant)

เปน็ คา่ ท่ีได้จากการคานวณจากเมตรกิ ซ์ทก่ี าหนดให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ ดีเทอรม์ แิ นนทข์ อง
เมทรกิ ซ์ A เขยี นแทนดว้ ย det (A) หรอื ⎜A ⎜ ดงั นี้

A= ab , ab -
cd cd = det(A) = ad - bc
+

1. det(At) =det(A)
2. det(An) = (det(A))n
3. det(AB) = det(A)det(B)

การหาดีเทอรม์ ิแนนทข์ องเมทรกิ ซ์ขนาด 3 x 3
---

a1 b1 c1 a1 b1
A = a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3
++ +

det(A) = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 – a3 b2 c1 – b3 c2 a1 – c3 a2 b1

27

บทที่ 3

ระบบสมการเชงิ เสน้

หวั ข้อเรอื่ ง
1. สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว
2. สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
3. การแก้สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี วและสองตัวแปร

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
1. บอกความหมายสมการเชงิ เสน้ ได้
2. แกโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกบั การแกส้ มการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียวได้
3. แกโ้ จทย์ปัญหาเกีย่ วกับการแก้สมการเชิงเสน้ สองตวั แปรได้

เน้ือหาการสอน
1. สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่มีตัวแปรเดียวหรือไม่ทราบค่าและตัวเลขชี้กาลังเป็น 1
ตัว แปร อาจปรากฏเพียงข้างใดข้างหน่ึงของเคร่ืองหมาย “=” หรือปรากฏท้ังสองแต่เมื่อจัดให้อยู่ในรูป
ผลสาเรจ็ โดยมี x เป็นตวั แปร a, b เปน็ คา่ คงท่ี และ a ไม่เทา่ กับ 0 จะอยู่ในรปู ของสมการเปน็ ax + b = 0

ตัวอย่างสมการท่ีไม่มตี วั แปร เชน่

9 + 10 = 19 เป็นสมการที่เป็นจริง

14 + 5 = 10 เปน็ สมการทเี่ ปน็ เท็จ

8 + 7 = 15 เปน็ สมการที่เปน็ จรงิ

ดงั น้ัน สมการทไ่ี มม่ ตี ัวแปร จะมีทง้ั สองสมการทเ่ี ป็นจรงิ และเป็นเทจ็

ตัวอยา่ งสมการท่ีมตี ัวแปร เช่น

x + 9 = 13 เป็นสมการทม่ี ี x เปน็ ตวั แปร

จากสมการยังไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นสมการที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จ ซึ่งข้ึนอยู่กับค่าตัวแปร

ถา้ ตวั แปร x มคี ่าเปน็ 4 แลว้ แทนคา่ ลงในสมการ จะได้ 4 + 9 = 13 จะทาให้สมการเป็นจรงิ

ตัวแปร คือ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนส่ิงท่ียังไม่ทราบค่าในทางคณิตศาสตร์ เมื่อแทนค่าลงในตัวแปรแล้วทา
ให้ผลลัพธ์ทั้งสองข้างของเครื่องหมาย “=” มีค่าเท่ากัน แสดงว่าสมการน้ันเป็นจริง แต่ถ้าหากแทนค่าลงไปใน
ตัวแปรแล้วปรากฏวา่ ผลลพั ธ์ทงั้ สองขา้ งของเครือ่ งหมาย “=” ไม่เทา่ กัน แสดงวา่ สมการน้นั เป็นเทจ็

28

สมการที่มีตัวแปร หมายถึง สมการที่ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง หรือเป็นเท็จ จนกว่าจะมีการแทน
ค่าตัวแปรในสมการ เช่น

a + 7 =18 ซึง่ มี a เป็นตวั แปร
b - 7 =15 ซงึ่ มี b เป็นตัวแปร

เมือ่ แทนค่าตวั แปรจะสามารถบอกได้ว่า สมการเป็นจริง หรือเป็นเท็จ
ตัวอยา่ ง เชน่

x + 2= 20 มี x เป็นตวั แปร เมอ่ื แทนค่า x ด้วย 18 จะทาให้สมการเป็นจรงิ
9 – y = 5 มี y เป็นตัวแปร เมอื่ แทนค่า y ดว้ ย 4 จะทาใหส้ มการเปน็ จริง
10 + x = 18 มี x เปน็ ตัวแปร เมือ่ แทนค่า x ด้วย 9 จะทาให้สมการเปน็ เท็จ

คาตอบของสมการ คอื จานวนทแ่ี ทนตัวแปรแลว้ ทาให้สมการเปน็ จริง

1.1 การแกส้ มการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว
- สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เป็นสมการที่มีตวั แปรเดียวและมเี ลขชี้กาลงั ของตัวแปรเป็น 1
- สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะอยู่ในรปู ax + b = 0 เมอื่ a , b เปน็ ค่าคงตัว และ a≠0

การแกส้ มการ โดยวธิ ีการแทนคา่ ตัวแปรในสมการ จะทาใหก้ ารหาคา่ คอบตอบของสมการน้ันทาได้
ยาก ดังน้นั เพื่อความรวดเรว็ ในการหาคาตอบของสมการ จึงควรนา สมบตั ิของการเทา่ กัน มาช่วยในการหา
คาตอบของสมการ ซง่ึ สมบัติของการเทา่ กัน ได้แก่

สมบตั ิการสมมาตร เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริงใด ๆ ถา้ a = b แลว้ b = a
เช่น 10 = 5 + x หรือ 5 + x = 10

สมบัตกิ ารถ่ายทอด เม่อื a, b , c เป็นจานวนจริงใด ๆ ถ้า a = b แล้ว b = c แล้ว a = c
เช่น ถา้ 28 = 7 x 4 และ 4 x 7 = 14 + 12 แล้ว 28 = 14 + 12

สมบัติการบวก เม่ือ a, b , c เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c
เชน่ ถา้ 2 + 7 = 11 แล้ว (4 + 7) + 5 = 11 + 5

สมบตั กิ ารคูณ เมอื่ a, b , c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ถ้า a = b แลว้ ac = bc
เช่น ถา้ 48 = 6 x 8 แลว้ 48 x 4 = (6 x 8) x 4

การแก้สมการโดยทั่วไปจะให้ตวั แปรอย่ทู างทางดา้ นใดดา้ นหนง่ึ ของสมการ ส่วนใหญ่ตัวแปรจะอยทู่ าง
ด้านซ้ายของสมการ โดยใช้สมบัติของการเทา่ กันเพ่ือให้ดา้ นใดด้านหนงึ่ ของสมการเหลอื ตวั แปรเพียงตัวเดียว

29

ตัวอยา่ ง การแก้สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว

1. x + 7 = 15 15 (ใชส้ มบตั ิการบวก) โดยนา -7 มาบวกทงั้ สองขา้ ง
วธิ ีทา x + 7 = 15 + (-7) จดั รูปสมการ
15 – 7 เหลือ x เพยี งตัวเดียว
x + 7 + (-7) = 8
x+7–7 =
x=

ตรวจคาตอบของสมการ แทนคา่ x ดว้ ย 8 ในสมการ

จะได้ 8 + 7 = 15

15 = 15 สมการเปน็ จริง

2. 7x + 4 = 25 + 2x + 4
วิธีทา 7x + 4 = 25 + 2x + 4

7x + 4 + (-4) = 25 + 2x + 4 + (-4) (ใช้สมบตั กิ ารบวก) โดยนา -4 มาบวกทั้งสองขา้ ง
7x = 25 + 2x

7x – (-2x) = 25 + 2x +(-2x) (ใช้สมบตั กิ ารบวก) โดยนา -2x มาบวกทั้งสองขา้ ง
5x = 25

1 x 5x = 5 x 1 (ใช้สมบตั กิ ารบวก) โดยนา ⅕ มาบวกท้ังสองขา้ ง
5 25 5
เหลอื x เพียงตัวเดยี ว
X =5

ตรวจคาตอบของสมการ แทนคา่ x ด้วย 5 ในสมการ

จะได้ (7 x 5) + 4 = 25 + (2 x 5) + 4

39 = 39 สมการเป็นจรงิ

30

1.2 โจทยป์ ญั หาเก่ียวกบั สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว
ในชีวิตประจาวันมักมีสถานการณ์หรือปัญหาที่สามารถใช้สมการในการช่วยหาคาตอบ โดยกาหนด
สมการให้มีความสัมพันธ์กับปัญหา กาหนดสิ่งท่ีต้องการทราบหรือสิ่งที่ยังไม่ทราบค่าด้วยตัวแปรแล้วให้สมบัติ
ของการเท่ากันแกโ้ จทยป์ ัญหา โดยขั้นตอนในการแก้โจทยป์ ญั หา มีดงั นี้

1. อา่ นโจทย์ตัง้ แต่ต้นจนจบและวิเคราะห์โจทย์
2. กาหนดตัวแปรแทนส่ิงท่ีโจทย์ถามหา หรือแทนส่ิงท่ีเก่ียวข้องกับสิ่งท่ีโจทย์ต้องการให้หา
3. เขียนสมการตามเงอ่ื นไขโจทย์
4. แกส้ มการตามเงอื่ นไขในโจทย์
5. ตรวจสอบคาตอบทไ่ี ดก้ ับเงอ่ื นไขของโจทย์

ตัวอย่าง หญิงมนี ้องหน่ึงคน น้องอายุนอ้ ยกวา่ หญงิ 5 ปี เมอ่ื รวมอายุปจั จุบันของทง้ั สองคนจะได้ 17 ปี ปัจจบุ ัน

หญงิ และนอ้ งมอี ายุเทา่ ไร

วธิ ที า กาหนดให้ a แทนอายุของหญงิ

นอ้ งอายนุ อ้ ยกว่าหญิง แทนดา้ ย a - 5

เงอื่ นไขของโจทย์ คือ รวมอายปุ จั จุบันของทั้งสองคนจะได้ 17

เขยี นสมการจากโจทย์ท่ไี ด้เปน็ a + (a – 5) = 17

เขยี นสมการใหมไ่ ดเ้ ป็น a + a – 5 = 17

2a – 5 = 17

นา 5 บวกท้งั สองขา้ งของสมการ 2a – 5 + 5 = 17 + 5

2a = 22

นา 1 คูณทงั้ สองข้างของสมการ 1 x 2x = 11 1
2 2 22 x 2

a = 11

หญงิ มอี ายุ 11 ปี และนอ้ งหญิงมีอายุ 11 – 5 = 6 ปี

ตรวจคาตอบของสมการ แทนคา่ a ด้วย 11 ในสมการ

จะได้ 11 + (11 - 5) = 17

17 = 17 สมการเปน็ จรงิ

ดงั นัน้ หญิงอายุ 1 ปี และนอ้ งหญงิ มอี ายุ ปี

31

2. สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร หมายถึง สมการทมี่ ตี ัวแปรสองตัวแปร โดยท่เี ลขช้ีกาลงั ของตัวแปรแต่ละ
ตัวเท่ากันและไม่มีการคณู กันของตัวแปร

สมการเชงิ เส้นสองตัวแปร มีรูปทว่ั ไปเปน็ Ax + By +C = 0 เมื่อ A, B, C เปน็ คา่ คงที่ ที่ A และ B ไม่
เท่ากับศูนย์พร้อมกนั

กาหนดให้ a, b. c, d, e และ f เป็นจานวนจริงที่ a, b ไม่เปน็ ศูนย์พร้อมกนั และ c, d ไม่เป็นศนู ย์
พร้อมกัน เรียกระบบทีป่ ระกอบดว้ ยสมการ

ax + by = c …………………………….. ①
cx + dy = f …………………………….. ②

วา่ ระบบ สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ท่มี ี x และ y เป็นตวั แปร
โดยท่ี a และ c เป็นสมั ประสิทธิ์ของ x

b และ d เป็นสมั ประสทิ ธิ์ของ y
คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คือ คอู่ ันดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมการทง้ั สองของ
ระบบสมการ หรือคู่อันดับ (x, y) ทมี่ คี า่ x และค่า y ทาใหส้ มการทงั้ สองของระบบสมการเปน็ จรงิ

ตัวอยา่ งทเี่ ปน็ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรและไม่เป็นสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เช่น

4x + 5y – 4 = 0 เป็นสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
x + 6y = 4 เป็นสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร เขียนใหม่ไดเ้ ปน็ x + 6y – 4 = 0
5x + 7y = -4 เป็นสมการเชิงเส้นสองตวั แปร เขยี นใหม่ไดเ้ ป็น 5x + 7y + 4 = 0
6 = 4x เปน็ สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร เขยี นใหม่ไดเ้ ป็น 4x + 0y – 6 = 0
xy + 9 = 0 ไมเ่ ป็นสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร เพราะตวั แปร x และ y อยูใ่ นรปู การคณู
3x – y2 + 4 = 0 ไมเ่ ป็นสมการเชิงเส้นสองตวั แปร เพราะ y มีเลขชี้กาลังมากกว่า 1

กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

เม่อื x และ y แทนจานวนจรงิ ใด ๆ กราฟสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรจะเปน็ เส้นตรง เชน่ 2x – 3y = 6
เมือ่ x และ y แทนจานวนจรงิ ใด ๆ จะมีกราฟเป็นเส้นตรง โดยมีข้นั ตอนในการเขยี นกราฟ ดงั นี้

1. กาหนดค่า x หรอื y นาไปแทนในสมการ เพ่ือหาค่าตัวแปรอกี ตัว จะได้พิกดั ของจุด (x, y) ทีอ่ ยู่บน
เส้นตรง

2. หาจุดทีเ่ ส้นตรงผ่านอย่างน้อยที่สดุ 3 จุด เพื่อตรวจสอบว่าการหาพกิ ัด (x, y) เป็นไปอยา่ งถกู ต้อง
3. นาพิกดั (x, y) จากข้อ 3 ไปลงจุดบนระนาบพิกัดฉาก
4. ลากเส้นตรงผา่ นจดุ 3 จุด ในขอ้ 3

32

เราเรียกคู่อันดับ (x, y) ท่ีสอดคล้องกับสมการ Ax + By + C = 0 เมอื่ A , B , C เปน็ ค่าคงตวั ที่ A
และ B ไมเ่ ท่ากบั ศูนย์พรอ้ มกันว่า คาตอบของสมการ และกราฟแสดงคาตอบของสมการ Ax + By + C = 0 นี้
จะเปน็ เส้นตรง Ax + By + C = 0

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขียนกราฟของสมการ 2x – 6y + 12 = 0 และ หาคาตอบของสมการ
วธิ ที า หาจุดตัดแกน X ของกราฟ โดยการแทนคา่ y = 0 จะได้
2x - 6(0) + 12 = 0
2x – 0 + 12 = 0
2x + 12 - 12 = 0 – 12
2x = -12

2x = -12
2 2

X = -6

ดังนั้น จุดตดั แกน X คือ (-6, 0)
หาจุดตดั แกน Y ของกราฟ โดยการแทนคา่ x = 0 จะได้

2(0) – 6y + 12 = 0
0 – 6y + 12 = 0

-6y + 12 – 12 = 0 – 12
-6y = -12

-6y = -12
-6 -6

y =2

ดงั นัน้ จดุ ตดั แกน Y คือ (0, 2)

หาจดุ ผ่านอีกจุด โดยการกาหนด x = 3 จะได้
2(3) – 6y + 12 = 0
6 – 6y + 12 = 0
-6y + 18 = 0
-6y + 18 – 18 = 0 – 18
-6y = -18

-6y -18 33
-6 -6
=

y=3

ดังนั้นจดุ ผ่านอกี จุด คือ (3, 3)
นาจดุ ทั้ง 3 ไปกาหนดในระบบพิกัดฉากและวาดกราฟ ได้ดังรปู

ดังนั้น เรียกคู่อันดับ (-6, 0) , (0, 2) , (3, 3) ที่สอดคล้องกับสมกร 2x – 6y + 12 = 0 เม่ือ A , B , C
เป็นค่าคงตัว ท่ี A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันว่า คาตอบของสมการ และกราฟแสดงคาตอบของสมการ
2x – 6y + 12 = 0 นี้ จะเป็นเสน้ ตรง 2x – 6y + 12 = 0

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขียนกราฟของสมการ x + 5y = 10 และ หาคาตอบของสมการ
วิธที า หาจุดตัดแกน X ของกราฟ โดยการแทนคา่ y = 0 จะได้
x + 5(0) = 10
x + 0 = 10
x = 10
ดังนั้น จุดตดั แกน X คือ (10, 0)
หาจุดตดั แกน Y ของกราฟ โดยการแทนคา่ x = 0 จะได้
0 + 5y = 10
5y =10

5y 10 34
5 5
=

y=2

ดังนั้น จุดตัดแกน Y คือ (0, 2)
หาจุดผ่านอีกจุด โดยการกาหนด x = 5 จะได้

5 + 5y = 10
5 – 5 + 5y = 10 – 5

5y = 5

5y = 5
5 5

y=1
ดังน้ันจดุ ผา่ นอีกจุด คือ (5, 1)
นาจุดท้ัง 3 ไปกาหนดในระบบพกิ ัดฉากและวาดกราฟ ได้ดังรปู

X

Y

ดังนัน้ เรียกคู่อันดบั (10, 0) , (0, 2) , (5, 1) ท่ีสอดคล้องกับสมการ x + 5y = 10 เมอ่ื A , B , C
เป็นคา่ คงตวั ที่ A และ B ไมเ่ ท่ากับ ศนู ย์พรอ้ มกันว่า คาตอบของสมการ และกราฟแสดงคาตอบของสมการ
x + 5y = 10 นี้ จะเปน็ เส้นตรง x + 5y = 10

35

บทที่ 4

ความน่าจะเปน็

หวั ข้อเรอ่ื ง
1. สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
2. สมการเชิงเส้นสองตวั แปร
3. การแก้สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี วและสองตัวแปร

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. บอกความหมายสมการเชงิ เส้นได้
2. แก้โจทยป์ ัญหาเก่ยี วกับการแก้สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวได้
3. แกโ้ จทย์ปัญหาเก่ียวกบั การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้

เนอื้ หาการสอน

1. ความหมายของความน่าจะเปน็

ในชวี ติ ประจาวันของทกุ คนตอ้ งไดย้ นิ คาวา่ ความนา่ จะเปน็ หรือ โอกาส เชน่ โอกาสทีว่ ันนแ้ี ดดจะออก
มีมาก ความน่าจะเป็นท่ีโยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่า
จะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัยก่อนท่ีผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรอื อารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอยา่ ง
ซ่งึ ร้อยคนกม็ ีความเหน็ ไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความนา่ จะเป็นจงึ มีใช้ช่วยในการตัดสินในเก่ียวกับ
เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเส้ือกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เม่ือ
มองดทู อ้ งฟา้ แลว้ มดื คร้ึม แสดงว่าโอกาสท่ีฝนจะตกวนั น้ีมีมาก ดงั น้นั จึงควรเตรยี มอุปกรณ์ท่ีจะกันฝนได้ไปด้วย
อาจจะเป็นร่ม หรอื เส้ือกันฝนกไ็ ด้

2. ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ คอื จานวนทแ่ี สดงใหท้ ราบวา่ เหตุการณ์ใดเหตุการณห์ น่ึง มโี อกาสเกดิ ขึน้
มากหรอื น้อยเพยี งใด

ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ = จานวนผลทเี่ กดิ ขึ้นในเหตุการณน์ น้ั
จานวนผลทง้ั หมดทอ่ี าจจะเกิดข้นึ ได้

สตู ร

P (E) = n (E)
n ( S)

36

เมอ่ื P (E) คอื ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ E
n (E) คือ จานวนผลทจ่ี ะเกิดขึน้ ในเหตุการณ์ E
n ( S) คอื จานวนผลทั้งหมดที่อาจจะเกดิ ขน้ึ ได้

จานวนผลท่จี ะเกิดขึ้นในเหตุการณ์ E เรียกอกี อยา่ งหน่งึ วา่ เหตุการณท์ ส่ี นใจ หรือส่งิ ที่โจทย์
กาหนดให้ จานวนผลทั้งหมดท่ีอาจจะเกดิ ขึ้นได้ S เรียกอกี อย่างหน่งึ ว่า แซมเปิลสเปซ หาได้จากการทดลอง
สุ่ม

ข้อสังเกต ถา้ E เปน็ เหตกุ ารณใ์ ดๆ จะพบว่า

1) 0 < P(E) < 1
2) P(E) = 0 เมื่อ E เปน็ เหตุการณท์ ่ีเป็นไปไม่ได้
3) P(E) = 1 เม่อื E เปน็ เหตกุ ารณ์ท่ีแน่นอน

อธิบายความไดว้ า่
1. ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ ่เี ปน็ ไปได้ เป็น 0
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณใ์ ดๆจะเปน็ จานวนใดจานวนหนึ่ง ต้ังแต่ 0 ถึง 1

3. ผลท้ังหมดของเหตุการณ์หรือแซมเปลิ สเปซ
แซมเปิลสเปซ (Sample Space) คือเซตของผลลัพธท์ ่ีอาจจะเกิดขึ้นไดท้ ้ังหมดจากการทดลองสมุ่ และ

เป็นส่ิงท่ีเราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า
ในการทดลองหรอื การกระทาใด ๆ กต็ าม ผลลพั ธ์ทีม่ โี อกาสจะเกดิ ขน้ึ ไดต้ ้องเป็นสมาชกิ ในแซมเปิลสเปซท้ังส้นิ

ตวั อยา่ งท่ี 1 การหาแซมเปลิ สเปซในการโดยเหรยี ญ 1 เหรยี ญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายข้ึน
ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกิดขึน้ ได้คือ หวั หรือ ก้อย
ดังนน้ั แซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S = {หัว, กอ้ ย}

ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเตา๋ 1 ลกู ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าทหี่ งายขน้ึ
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึน้ ได้คือ ลกู เต๋าขนึ้ แต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรอื 5 หรอื 6
ดังนั้น แซมเปิลสเปซท่ีได้ คือ S = {1, 2,3,4,5,6}

ตวั อย่างที่ 3 จากการทดลองสุม่ โดยการทดลองทอดลูกเตา๋ 2 ลกู
1. จงหาแซมเปลิ สเปซของแต้มของลูกเตา๋ ทีห่ งายขึน้
2. จงหาแซมเปลิ สเปซของผลรวมของแตม้ บนลูกเตา๋

37

วธิ ที า 1. เนอื่ งจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าทหี่ งายขึ้น
ดงั นัน้ เราตอ้ งเขียนแต้มของลูกเตา๋ ท่มี ีโอกาสท่ีจะหงายขึ้นมาทัง้ หมด และเพ่ือความสะดวก

ให้ (a,b) แทนผลลพั ธ์ท่ีอาจจะเกิดขน้ึ โดยท่ี

a แทนแต้มทีห่ งายข้นึ ของลกู เตา๋ ลูกแรก
b แทนแตม้ ทห่ี งายข้ึนของลกู เตา๋ ลกู ทส่ี อง

ดังนัน้ แซมเปลิ สเปซของการทดลองสุ่มคอื

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

2. เน่อื งจากโจทย์สนใจผลรวมของแต้มบนลกู เตา๋

ดังนน้ั เราต้องเขียนผลรวมของแตม้ บนลกู เต๋าท่มี ีโอกาสเกิดขนึ้ ไดท้ ั้งหมด จะได้
แซมเปลิ สเปซของผลรวมของแต้มบนลกู เตา๋ ท้ัง 2 ลกู คือ {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

ตวั อยา่ งที่ 4 ในกล่องใบหนึ่งมลี กู บอลสีแดง 2 ลกู สขี าว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก
โดยวธิ สี ุ่ม
1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกดิ ขนึ้
2. จงหาแซมเปลิ สเปซของลูกบอลท่ีหยบิ ออกมาได้

วิธีทา 1. เนือ่ งจากโจทย์สนใจสขี องลกู บอลทีจ่ ะหยบิ มาได้
ดังนน้ั แซมเปลิ สเปซของสีของลกู บอลท่หี ยิบได้ คอื S = {สแี ดง,สีขาว}
2. เน่ืองจากโจทยส์ นใจลกู บอลท่ีจะหยิบมาได้ ซ่งึ มีทง้ั หมด 3 ลกู
สมมตุ ิใหเ้ ปน็ แดง1 แดง2 ขาว1

ดังนนั้ แซมเปลสิ เปซของลูกบอลที่หยบิ ออกมาคือ S = {แดง1,แดง2, ขาว1}

38

4. เหตุการณ์ ( Event ) คอื ผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม เปน็ สับเซตของแซมเปลิ สเปซ เป็นสงิ่ ทีเ่ ราสนใจว่าจะ
เกดิ อะไร เป็นเซตยอ่ ยหรือสับเซต ( Subset ) ของแซมเปลิ สเปส ( Sample Space ) เขยี นแทนดว้ ย
สญั ลักษณ์ E

ขอ้ สังเกต : เนอ่ื งจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังน้นั เซตว่าง กถ็ ือเป็นเหตกุ ารณ์ ๆ หนงึ่ ดว้ ย

ตัวอย่างท่ี 5 ในการทอดลกู เตา๋ 1 ลูก จานวน 1 ครัง้ และสนใจผลลพั ธ์คือแต้มท่ีจะเกดิ ข้นึ จงหา

1. แซมเปลิ สเปส S
2. เหตกุ ารณ์ท่ีไดแ้ ต้มที่หารด้วย 2 ลงตัว (E2)
3. เหตุการณ์ท่ีได้แต้มคี่ (E2)

วิธที า

1. S = {1,2,3,4,5,6 }
2. E1 = {4,6}
3. E3 = {1,2,3}

ตวั อย่างท่ี 6 ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั ศึกษากลุ่มหนึ่ง ซึง่ ได้คะแนนสงู สดุ เทา่ กบั 50 คะแนนต่าสุด
20 คะแนน

1. แซมเปลิ สเปส (S) คือ { 20 < X < 50} เมือ่ X เป็นค่าหนงึ่ ๆ
2. เหตกุ ารณ์ทนี่ ักศึกษาได้น้อยกวา่ 30

E1 = { 20 < X < 30}
3. เหตุการณ์ท่ีนกั ศึกษาได้คะแนนสูงกว่า 40

E2 = {40 < X < 50}

การทดลองส่มุ คอื การทดลองซง่ึ ทราบผลลพั ธ์ท่จี ะเกิดขึ้นว่าจะเป็นอะไรบา้ ง แตไ่ ม่สามารถทจี่ ะทราบผลลัพธ์
ที่เกิดข้ึนได้ถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดอะไรข้ึน เน่ืองจากในการทดลองแต่ละคร้ังอาจเกิดผลลัพธ์ (Outcome)
หลายอยา่ ง เชน่

การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ข้ึนไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ สามารถที่จะทานายว่าจะ
ออกหัว ( Head )หรอื ออกก้อย ( Till ) ซ่ึงเป็นผลลัพธ์ไดล้ ่วงหนา้

การโยนลูกเต๋า 1 ลูก ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพ้ืนอย่างอิสระ ซ่ึงเราทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดข้ึน คือ
1, 2, 3, 4, 5, 6 แตว่ า่ ผลลัพธม์ ีหลายอย่าง เราไม่สามารถทานายได้ว่าจะออกเลขอะไร