หน่วยที่4 รูปคลื่น สมการเฟสเซอร์

รูปคลื่น

สมการเฟสเซอร์

หน่วยท4ี่ : รูปคลื่น สมการ เฟสเซอร์

เม่ือพิจารณาดงั รูปซ่งึ เป็นรูปคลื่นแรงดนั ไฟฟ้าช่วั ขณะ (v) และกระแสไฟฟ้าช่วั ขณะ (i) ของรูปคล่ืน
ไซน์ โดยใหร้ ูปคล่นื ของแรงดนั ไฟฟา้ มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ีศนู ย์ ( = 0) และรูปคล่นื ของกระแสไฟฟา้ มีเฟสลา้ หลงั

(vV,)V(iAm) v
Im i

00   3 2 t (rad)
2
− 2

0

จากรูปเขียนเป็นสมการไดด้ งั นี้
v = Vm sin (t + 0)

i = Im sin (t − )
สามารถเขียนอยู่ในรูปของเฟสเซอร์ ซ่ึงสมการเฟสเซอรจ์ ะเขียนอยู่ในรูปแบบของโพลาร์ เขียน
สมการไดด้ งั นี้

V = Vm 0

I = Im − 

เฟสเซอรส์ ่วนมากจะนิยมใชข้ นาดของค่าท่ีวดั ได้ (หรือค่าใชง้ าน) เพราะว่าค่าท่ีวัดไดน้ ีจ้ ะมีค่าคงท่ี
ดงั นนั้ เขียนเป็นสมการเฟสเซอร์ ไดด้ งั นี้

V = V 0
I = I −
เม่อื V, I = เฟสเซอรข์ องแรงดนั ไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้า
V, I = ขนาดของแรงดนั ไฟฟา้ และกระแสไฟฟ้า
 = มมุ เฟสของรูปคลื่นเทียบกบั แกนอา้ งอิง

ตารางที่ 4.1 เปรียบเทียบสมการช่วั ขณะกบั สมการเฟสเซอร์ สมการเฟสเซอร์
V = V 0
สมการช่ัวขณะ I = I −
v = Vm sin (t + 0)
i = Im sin (t − )

เฟสเซอรไ์ ดอะแกรม (Phasor diagram) โดยเฟสเซอรไ์ ดอะแกรมนนั้ จะเขียนเทียบกบั แกนอา้ งองิ
(Reference) เสมอ หรือกลา่ วอกี อยา่ งหนึ่งวา่ ขนาดของเฟสเซอรม์ ีมมุ เทา่ ไรเม่อื เทียบกบั แกนอา้ งอิง

y จดุ ท่กี าหนด
V=V 

จดุ เรม่ิ ตน้  แกนอา้ งองิ ของเฟสเซอร์

0 x

ตวั อย่างท่ี 4.1 จงหาเฟสเซอรข์ องสมการช่วั ขณะต่อไปนี้

ก. v = 141.43 sin (500t − 35) V

ข. i = 7.08 sin (200t + 150) A

วิธีทา V = 0.707 Vm − 35
ก. สมการเฟสเซอรข์ อง V = 0.707141.43 − 35

V = 100 − 35 V

สมการเฟสเซอรข์ อง V มีคา่ เทา่ กบั 100 − 35 V ตอบ

ข. สมการเฟสเซอรข์ อง I I = 0.707Im 150
= 0.707 7.08 150

I = 5 150 A

สมการเฟสเซอรข์ อง I มีคา่ เท่ากบั 5 150 A ตอบ

ตัวอย่างที่ 4.2 จงหาเฟสเซอรแ์ ละเขียนเฟสเซอรไ์ ดอะแกรม จากสมการช่วั ขณะตอ่ ไปนี้

ก. v1 = 42.44 sin (314t + 210) V
ข. v2 = 28.29 sin (314t − 45) V
ค. v 3 = 14.15cos (314t − 30) V
วธิ ที า
ก. สมการเฟสเซอรข์ อง V1 V1 = 0.707 V1m 210

= 0.707 42.44 210

V1 = 30 210 V

สมการเฟสเซอรข์ อง V1 มีค่าเทา่ กบั 30 210 V ตอบ

ข. สมการเฟสเซอรข์ อง V2 V2 = 0.707 V2m − 45
= 0.707 28.29 − 45

V2 = 20 − 45 V

สมการเฟสเซอรข์ อง V2 มีค่าเทา่ กบั 20 − 45 V ตอบ

ค. สมการเฟสเซอรข์ อง V3 เน่ืองจากสมการท่ีกาหนดมาใหเ้ ป็นฟังกช์ ัน cos ดงั นนั้ ตอ้ งเปลี่ยนใหเ้ ป็น
ฟังกช์ นั sin ไดด้ งั นี้

v3 = 14.15 sin (314t − 30+90)
= 14.15 sin (314t +60)

V3 = 0.707 V3m 60
= 0.70714.15 60

V3 = 10 60 V 10 60 V
เฟสเซอรข์ องสมการ V3 มีค่าเทา่ กบั
ตอบ

จากการเคลื่อนท่ีหมุนของเฟสเซอร์ ถา้ เฟสเซอรน์ นั้ เคล่ือนท่ีหมุนจากแกนอา้ งอิงไปในทิศทางทวน

เข็มนาฬิกา จะไดม้ มุ เฟสเป็นมมุ บวก (+) และถา้ เฟสเซอรน์ นั้ เคลอ่ื นท่หี มนุ จากแกนอา้ งองิ ไปในทิศทางตาม

เข็มนาฬิกา จะไดม้ มุ เฟสเป็นมมุ ลบ (−) ดงั รูป เฟสเซอร์ V2 หมนุ ทวนเข็มนาฬิกาจากแกนอา้ งอิง จะไดม้ มุ

เฟสเป็นมมุ บวก (+ 2) และเฟสเซอร์ V3 นัน้ เคลื่อนที่หมนุ จากแกนอา้ งอิงไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

จะไดม้ มุ เฟสเป็นมมุ ลบ (− 3) V2 = V2 2

2 V1 = V1 0

− 3

V3 = V3 − 3

4.5.1 การบวกรูปคล่ืน รูปคล่ืนไฟฟ้ากระแสสลบั ตงั้ แต่ 2 รูปคลื่นขึน้ ไป สามารถนารูปคลื่นมาบวก
ทางพีชคณิตได้ โดยการนาขนาดของค่าช่วั ขณะท่บี นแกนเวลาเดียวกนั มาบวกกนั ดงั นนั้ จะทาใหไ้ ดร้ ูปคล่ืน
ใหมข่ นึ้ มา โดยมีขนาดและมมุ เฟสเปล่ียนไป แตค่ าบเวลาจะไม่เปลีย่ นแปลง (ถา้ กาหนดใหร้ ูปคลน่ื ทงั้ สองมี

คาบเวลาเท่ากนั ) โดยคาบเวลาจะเท่ากบั รูปคลืน่ ทงั้ สอง
v (V) d vT = v1 + v2
v1 c v2

b 90 180 270 360  (deg)

0  2 t (rad)

−

a

t1 t2 t3 t4 t5

4.5.2 การบวกเฟสเซอร์ สมการเฟสเซอรน์ นั้ ส่วนมากจะเขียนอย่ใู นรูปแบบโพลาร์ จึงเป็นการง่าย
เม่ือนาระบบจานวนเชิงซอ้ นมาประยุกตใ์ ช้ โดยการจาแนกค่าของเฟสเซอรแ์ ต่ละเฟสเซอรใ์ หเ้ ป็นค่าของ
จานวนจริงกับจานวนจินตภาพ โดยผลรวมของเฟสเซอรจ์ ะเท่ากับผลบวกของจานวนจริงกับผลบวกของ
จานวนจนิ ตภาพ ดงั รูปโดยเฟสเซอร์ V1 จาแนกเป็นจานวนจรงิ คือ a และจานวนจินตภาพ คือ jb สว่ นเฟส
เซอร์ V2 จาแนกเป็นจานวนจริง คือ c และจานวนจินตภาพ คือ jd โดยผลรวมของเฟสเซอร์ VT ไดจ้ าก
ผลรวมของเฟสเซอร์ V1 กบั V2

j แกนจานวนจนิ ตภาพ

j(b + d) VT = V1 + V2

jb V1

jd V2

1 T 2 แกนจานวนจรงิ

ac (a + c)

จากรูปท่ี 4.7 จะจาแนกเฟสเซอร์ V1 และ V2 ไดด้ งั นี้

V1 = a + jb
V2 = c + jd

( )VT (a + c) + j(b + d)
d
T c
และขนาดของมมุ เฟส = tVa1n+−1V2ba=++
ดงั นนั้ =

VT = VT  T

ตวั อยา่ งที่ 4.3 จงหาผลบวกของแรงดนั ไฟฟ้า V1 = 80 0 V กบั V2 = 100 60 V

วธิ ที า จาแนกเฟสเซอร์ V1และ V2
V1 = 80 + j0
V2 = 50 + j86.6

V1 + V2 = (80 + 50) + j(0 + 86.6)
= 130 + j86.6

V1 + V2 = 156.2 33.67 V
ผลบวกของแรงดนั ไฟฟ้า V1กบั V2 มคี า่ เทา่ กบั 156.2 33.67 V ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 4.4 จงหาผลบวกของกระแสไฟฟ้า I1 = 10 120 A กบั − I2 = 8 − 150 A
วิธที า จาแนกเฟสเซอร์ I1และ I2 จะได้

I1 = − 5 + j8.66 และ I2 = − 6.93 − j4

I1 + (−I2 ) = (−5 + j8.66) + {−(−6.93 − j4)}

= − 5 + j8.66 + 6.93 + j4

= 1.93 + j12.66

I1 + (−I2 ) = 12.8 81.33 A
ผลบวกของกระแสไฟฟ้า I1กบั −I2 มคี า่ เท่ากบั 12.8 81.33 A ตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน หน่วยที่ 4
รูปคลนื่เรียสนมหกนา่วรยทเ่ีฟ1สเซอร์

คาชีแ้ จง 1. จงทาเครือ่ งหมาย  ทบั ก ข ค หรอื ง ลงในกระดาษคาตอบ ทเี่ หน็ ว่าถกู ทส่ี ุด
2. อนุญาตให้ใช้เครอ่ื งคานวณได้

จากรูปคลืน่ กาหนดให้ จงตอบคาถามขอ้ 1−2 B t
v (V) (s)
Vm
A

60 30

1. สมการช่วั ขณะท่ีตาแหนง่ A มคี ่าตามสมการขอ้ ใด

ก. v = Vm sin(t + 60) ข. v = Vm sin(t − 60)
ค. v = Vm sin(t + 30) ง. v = Vm sin(t − 30)
2. สมการช่วั ขณะท่ีตาแหนง่ B มคี ่าตามสมการขอ้ ใด

ก. v = Vm sin(t − 30) ข. v = Vm sin(t − 150)
ค. v = Vm sin(t + 30) ง. v = Vm sin(t + 150)
3. สมการช่วั ขณะ i = 11.32sin(t −120)สมการเฟสเซอรค์ ือขอ้ ใด

ก. I = 11.32−120 ข. I = 2 11.32 −120
11.32
ค. I = 2  − 120 ง. I = 2 +11.32−120

4. จากรูปเฟสเซอรก์ าหนดให้ สมการเฟสเซอร์ คือขอ้ ใด

ก. V = 2030
30 ข. V = 20210

V = 20 ค. V = 20150
ง. V = 20−30

5. ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ งเก่ียวกบั เฟสเซอรไ์ ดอะแกรมเม่อื หมนุ รอบบนแกน x และ y

ก. ขนาดคงท่ี มมุ เฟสคงท่ี ข. ขนาดเปลยี่ นแปลง มมุ เฟสคงท่ี

ค. ขนาดเปลีย่ นแปลง มมุ เฟสเปลีย่ นแปลง ง. ขนาดคงท่ี มมุ เฟสเปล่ยี นแปลง

6. ถา้ เฟสเซอร์ V2 เป็นตวั เทยี บV1ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง ก. V1 ลา้ หลงั V2 และ V3 นาหนา้ V2
ข. V2 นาหนา้ V1และ นาหนา้ V3
ทศิ ทางการหมนุ ค. V3 ลา้ หลงั V1 และ นาหนา้ V2
ของเฟสเซอร์ ง. V3 ลา้ หลงั V2 และ V2 นาหนา้ V1

V2 V3
7. รูปคลนื่ ขอ้ ใดเป็นผลบวกของรูปคลน่ื i1 กบั i2
i i1 i2

t
120 (s)

ก. ข.

30 t t
(s) 60 (s)
ค.
ง.

t t
90 (s) 150
(s)

กาหนดใหเ้ ฟสเซอรไ์ ดอะแกรม V1 และ V2 มขี นาดเท่ากนั ตามรูป จงตอบคาถามขอ้ 8−11

V2
V1

30 แกนอา้ งองิ

8. สมการเฟสเซอร์ V1 คือขอ้ ใด ข. V1 = V1120
ง. V1 = V1−150
ก. V1 = V130
ค. V1 = V1150

9. มมุ เฟสระหว่าง V1 กบั V2 มีค่าเท่าไร ข. 60
ก. 30 ง. 120
ค. 90
ค. ง.
10. เฟสเซอรไ์ ดอะแกรม V1+ V2 คอื ขอ้ ใด
ก. ข. −30

30 60

11. ถา้ ใหเ้ ฟสเซอรห์ มนุ ตามเขม็ นาฬกิ า ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง

ก. V1 นาหนา้ V2 ข. V1 ลา้ หลงั V2
ค. V1 ลา้ หลงั แกนอา้ งองิ 30 ง. V2 นาหนา้ V1

กาหนดให้เฟสเซอร์ V1= 50 และ เฟสเซอร์ V2 = 590 จงตอบคาถามจากขอ้ 12−15

12. เฟสเซอรไ์ ดอะแกรม V1 และ V2 คือขอ้ ใด

ก. ข. ค. ง. V1
V1 V2 V2

V2 V1 V1 V2

13. ถา้ ใหเ้ ฟสเซอรห์ มนุ ทวนเข็มนาฬกิ า ขอ้ ใดกลา่ วถกู ตอ้ ง

ก. V1 นาหนา้ V2 ข. V2 ลา้ หลงั V1
ค. V1 ลา้ หลงั แกนอา้ งองิ 90 ง. V2 นาหนา้ V1
14. เฟสเซอร์ V1 + V2 คอื ขอ้ ใด
ก. 1045 ข. 7.0745

ค. 1090 ง. 7.0790

15. เฟสเซอร์ V2 − V1 คือขอ้ ใด ข. 7.07−90
ก. −1045

ค. 7.07135 ง. 0