MODUL SPLTV (SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul Matematika
Mata Pelajaran Aliyah Aziz, Siti Rohani D, Syahla Nabilah/
Nama Penyusun/Institusi/Tahun Universitas Suryakancana/2022
Jenjang Sekolah Sekolah Menengah Atas (SMA)
Kelas X (Sepuluh)
Topik Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Alokasi Waktu (JP) 2 JP
Moda Pembelajaran Tatap Muka
Metode Pembelajaran Problem Based Learning
Sarana dan Prasarana
• Spidol
Pemahaman Bermakna • Papan Tulis
• Laptop
Pertanyaaan Pematik • Proyektor
• Jaringan Internet
Profil Pelajar Pancasila • Alat Tulis
Siswa dapat menemukan konsep SPLTV serta
menyelesaikan permasalahan mengenai SPLTV
menggunakan metode eliminasi, subtitusi, dan
campuran.
- Apa perbedaan antara variabel, konstanta, dan

koefisien?
- Bagaimana cara menentukan harga satuan

barang jika diketahui hanya total barang yang
dibeli dan harganya?
- Beriman & Bertakwa terhadap Tuhan YME
- Bernalar Kritis
- Kreatif
- Mandiri

B. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat memodelkan dan menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari
masalah kontekstual.
2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear tiga variable.

C. Deskripsi Singkat Materi
Pada modul ini peserta didik akan mempelajari konsep, penyelesaian dan penerapan
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Untuk mempelajari modul ini, para
peserta didik diharapkan telah menguasai dasar-dasar operasi hitung bilangan real.
Selain penjelasan mengenai materi yang ditampilkan, modul ini juga dilengkapi dengan
langkah-langkah penemuan konsep serta latihan untuk menguji pemahaman dan
penguasaan dari peserta didik terhadap materi yang telah dipelajari. Modul ini disusun
dengan bahasa yang sederhana, contoh-contoh yang kontekstual, dan dibuat berurutan
sesuai dengan urutan materi yang terlebih dahulu perlu dikuasai. Setelah memahami
materi ini peserta didik diharapkan dapat menentukan penyelesaian SPLTV dan

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
menerapkan pada permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Materi ini merupakan
salah satu prasyarat untuk mempelajari beberapa materi yang lain diantaranya materi
Program Linear serta Barisan dan Deret.

D. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini hal-hal yang perlu dilakukan oleh peserta didik adalah
sebagai berikut:
1. Membaca pendahuluan modul untuk mengetahui arah pengembangan modul.
2. Membaca kompetensi dasar dan tujuan yang ingin dicapai melalui modul.
3. Membaca dan memahami peta konsep agar memperoleh gambaran yang utuh
mengenai modul.
4. Mempelajari modul secara berurutan agar memperoleh pemahaman yang utuh.
5. Memahami permasalahan-permasalahan kontekstual yang ada, dan
mengerjakan semua soal latihan yang ada.
6. Mempelajari kembali materi yang terkait jika dalam mengerjakan soal
menemukan kesulitan.
7. Mengikuti semua tahapan dan petunjuk yang ada pada modul ini.
8. Mempersiapkan alat tulis untuk mengerjakan soal-soal latihan.
9. Selamat belajar menggunakan modul ini, semoga bermanfaat.

E. Materi Pembelajaran
Modul ini di desain menjadi 1 kegiatan pembelajaran (satu pertemuan) dan di dalamnya
terdapat uraian materi, permasalahan, soal latihan, dan soal evaluasi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
PETA KONSEP

Masalah Autentik Persamaan

Eliminasi Persamaan Linear Campuran

Sistem Persamaan
Linear

Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel

(SPLTV)
Eliminasi

Subtitusi

Himpunan
Penyelesaian SPLTV

Materi Prasyarat

Operasi Hitung Aljabar Definisi SPLTV

SPLTV adalah suatu persamaan
linear dengan tiga variabel.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Tujuan Pembelajaran:
1. Siswa dapat menjelaskan karakteristik masalah autentik yang
penyelesaiannya terkait dengan model matematika sebagai sistem
persamaan linear tiga variabel (SPLTV).
2. Siswa dapat merancang model matematika dari sebuah permasalahan
autentik yang merupakan SPLTV.
3. Siswa menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi
permasalahan yang diberikan.
4. Siswa datap menemukan ciri-ciri SPLTV dari model matematika.
5. Siswa dapat menuliskan konsep SPLTV berdasarkan ciri-ciri yang
ditemukan dengan bahasanya sendiri.

Petunjuk:
1. Sebelum mempelajari modul mulailah dengan berdoa.
2. Pahamilah setiap permasalahan dan materi yang disajikan.
3. Bacalah dengan seksama semua petunjuk yang terdapat dalam modul.
4. Kerjakanlah setiap petunjuk/langkah-langkah yang diberikan dengan teliti.
5. Jika ada hal yang kurang jelas atau mengalami kesulitan dalam mempelajari isi
modul, tanyakan kepada guru.
6. Menyimpulkan hasil diskusi.
7. Untuk memastikan kebenaran hasil pengamatan kerjakan soal latihan yang diberikan.
gunakanlah pengetahuan, informasi, dan hasil temuan yang telah kalian peroleh untuk
menyelesaikan latihan soal.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

APAKAH KAMU TAHU?

Gabriel Cramer (1704 – 1752)

Gabriel Cramer, seorang matematikawan Swiss
lahir di Jenewa pada 31 Juli 1704 dari pasangan Jean Isaac
Cramer, seorang fisikawan Swiss dan Anne Mallet. Kedua
saudaranya, yaitu Jean Antonie merupakan seorang doctor
dan Jean seorang professor di bidang hukum. Gabriel
Cramer inilah salah satu tokoh yang berperan dalam
pengembangan sistem persamaan linear. Karya
terbesarnya adalah metode Cramer (Cramer’s Rule) yang
merupakan salah satu metode penyelesaian dari
permasalahan persamaan linear.

Pada tahun 1750, bersamaan dengan dianugrah dirinya sebagai professor filsafat di
Academic de la Rive, Cramer mempubublikasikan karyanya yang berjudul Introduction a
l’analyse des lignes courbes algebriques yang memuat metode Cramer sebagai penyelesaian
permasalahan linear.

Sumber: https://www.kompasiana.com/sri_j/56502894d693736305e72f6f/sejarah-

matematika-dunia

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

MASALAH 1

Petani di Daerah Cianjur (Jawa Barat)
Selain dikenal sebagai negara maritim, Indonesia juga dikenal sebagai negara agraris
karena sebagian besar penduduk Indonesia memiliki mata pencaharian sebagai petani atau
bercocok tanam. Mata pencaharian rakyat di Indonesia pada umumnya bekerja sebagai petani
padi, palawija, karyawan perkebunan sawit, karet, dan cokelat.
Namun sekarang, ada permasalahan yang dihadapi para petani padi khususnya di
daerah Kabupaten Cianjur, dengan padi pandan wanginya yang menjadi ciri khas. Dimana
pemakaian pupuk yang harganya cukup mahal dan iklim yang kurang menentu. Contoh
permasalahannya adalah sebagai berikut.

Sumber: https://www.hipwee.com
Pak Iwan memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi pandan wangi dan sudah
saatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu Urea, SS, TSP.
Ketiga jenis pupuk inilah yang harus digunakan para petani agar hasil panen padi maksimal.
Harga tiap-tiap karung pupuk berturut-turut adalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan
Rp150.000,00. Pak Iwan membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi
pandan wangi.
Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang
disediakan Pak Iwan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk
setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Iwan?

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
AYO AMATI!

Menurut kamu, kira-kira apa tujuan masalah ini dipecahkan? Strategi apa yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jika kamu mengalami kesulitan silakan berdiskusi
dengan teman atau bertanya kepada guru. Sebagai arahan/petunjuk pengerjaan masalah, ikuti
pertanyaan-pertanyaan berikut.
1) Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan banyak pupuk yang digunakan
untuk setiap jenisnya dan hubungan pemakaian antarjenis pupuk?
2) Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan hubungan harga setiap jenis
pupuk dengan dana yang tersedia?
3) Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan
pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi aljabar?
4) Adakah kesulitan yang harus kamu diskusikan dengan teman atau bertanya kepada guru
untuk menentukan hubungan antarvariabel, melakukan manipulasi aljabar, dan kepastian
strategi yang kamu pilih?
5) Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip
analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem
persamaan dua variabel?
6) Berapa karung pupuk yang harus dibeli Pak Iwan untuk setiap jenisnya?

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

AYO BERPIKIR KRITIS!

Berdasarkan informasi pada masalah 1, informasi apa saja yang bisa kamu dapatkan?
Penyelesaian:
Diketahui:

• Pupuk Urea : Rp. …………………………………………
• Pupuk SS : Rp. …………………………………………
• Pupuk TSP : Rp. ………………………………………...
• Banyak pupuk yang dibutuhkan: ………………..… karung.
• Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak dari pupuk SS
• Dana yang tersedia : Rp. ……………………………………

AYO BERPIKIR KREATIF!

Ditanyakan:

Banyaknya pupuk (karung) yang diperlukan untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak
Iwan?

Misalkan : variabel x adalah banyak jenis pupuk Urea yang dibutuhkan (karung)
: variabel y adalah banyak jenis pupuk SS yang dibutuhkan (karung)
: variabel z adalah banyak jenis pupuk TSP yang dibutuhkan (karung)

Berdasarkan informasi di atas, maka bentuk persamaannya adalah…

Penyelesaian:

… + … + … = 40 (2.1)
x=… (2.2)
….… x + …… y + …… z = 4.020.000 (2.3)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X (2.4)

SOLUSI

Langkah 1
Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.1)

x= … dan … + … + … = 40 ⇒ ……………….
⇒ ……………….

❖ ……………

Langkah 2

Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.3), sehingga diperoleh

x = … dan … x + … y + … z = 4.020 ⇒ ………………………

⇒ ………………………

❖ …………… (2.5)

Gunakan metode eliminasi terhadap Persamaan (2.4) dan Persamaan (2.5).

…+…=… × … ………………..

…+…=… × … ………………..

…. = …

Jadi, …y = … atau y = … dan diperoleh x = …y = 2(…) = …
Maka, … + … + … = 40

…+…+z =…
z=…–… =7

Dengan mensubstitusi x = … dan y = … ke Persamaan (2.1) jadi, diperoleh z = .... Jadi, nilai x
= …, y = …, dan z = … atau banyak pupuk yang harus dibeli Pak Iwan dengan uang yang
tersedia adalah … karung Urea, … karung SS, dan … karung pupuk TSP.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
MASALAH 2
TOKO BUAH FRESH

Sumber: https://www.blogspot.com

Salma dan Ibunya pergi ke toko swalayan terdekat. Mereka ingin membeli buah di
toko buah “Fresh”. Di toko tersebut tersedia tiga jenis paket buah dengan harga yang
berbeda- beda. Paket A terdiri dari 2 pisang, 2 apel dan 1 mangga dengan harga Rp.
12.400,00. Paket B terdiri dari 1 pisang, 1 apel dan 2 mangga dengan harga Rp.
10.100,00. Adapun paket C terdiri dari 1 pisang, 3 apel dan dan 1 mangga dengan harga
Rp. 14.100,00.

Apabila toko tersebut ingin membuat paket keempat yaitu paket D yang berisi 1 buah
pisang, 1 buah apel dan 1 buah mangga, maka berapakah harga yang sesuai untuk paket
tersebut?

AYO BERPIKIR KRITIS!

Berdasarkan informasi pada masalah 2, informasi apa saja yang bisa kamu dapatkan?

Penyelesaian: Pisang Apel Mangga Harga (Rp)
Diketahui: … … … …
… … … …
Paket … … … …
A
B
C

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

AYO BERPIKIR REATIF!

Ditanyakan:

Apabila toko tersebut ingin membuat paket keempat yaitu paket D yang berisi 1 buah

pisang, 1 buah apel dan 1 buah mangga, maka berapakah harga yang sesuai untuk paket

tersebut?

Misalkan : Harga sebuah pisang = x rupiah

: Harga sebuah apel = y rupiah

: Harga sebuah mangga = z rupiah

Berdasarkan informasi di atas, maka bentuk persamaannya adalah…

Penyelesaian:

… + ⋯ + ⋯ = 12.400 (1)
{… + ⋯ + ⋯ = 10.100 (2)

… + ⋯ + ⋯ = 14.100 (3)

SOLUSI

Langkah 1

Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh persamaan (4) berikut.

…+⋯+⋯ = ⋯…………. |×× ……| ⇔ ⋯+ ⋯+ ⋯ = ⋯
…+⋯+⋯ = ⋯…………. ⇔ ⋯+ ⋯+ ⋯ = ⋯

…+⋯ = ⋯−

Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) berikut.

…+⋯+⋯ = ⋯

… + ⋯ + ⋯ = ⋯ −
… − ⋯ = ⋯

Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh:

…+⋯ = ⋯………… |×× ……| ⟺ ⋯+⋯ = ⋯
…−⋯ = ⋯……….. ⇔ ⋯−⋯ = ⋯

…=⋯+
…=⋯

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Langkah 2

Substitusikan nilai x = 1.600 ke persamaan (5) sehingga diperoleh:

…-…=…
…-…=…

…=…-…
…=…
…=…

Substitusikan nilai x = 1.600 dan y = 3.300 ke dalam persamaan (1), (2) atau (3) sehingga

diperoleh:

…+…+…=…
…+…+…=…

…+… =…
…=…-…
…=…
…=…

Maka, untuk menentukan harga paket D dapat dihitung dengan cara mensubstitusikan

nilai x, y dan z sehingga diperoleh:
= ⋯ + ⋯ + ⋯
= ⋯ + ⋯ + ⋯
= ⋯
Jadi, harga yang sesuai untuk paket D yaitu Rp……………………………………..

KESIMPULAN

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

URAIAN MATERI

Metode yang digunakan dalam menyelesaikan SPLDV juga dapat digunakan dalam
SPLTV. Metode-metode tersebut antara lain metode substitusi, metode eliminasi dan
metode campuran (substitusi-eliminasi).
1. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi

Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan mengunakan metode
substitusi ditentukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :

a. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai
fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

b. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah (a) ke dua persamaan
yang lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel
(SPLDV).

c. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah (b).
d. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah ( c ) ke salah satu

persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan metode substitusi.
2 + − = 9

{ − + 2 = 5
− 2 + 3 = 4
Penyelesaian:
2 + − = 9 … (1)
{ − + 2 = 5 … (2)
− 2 + 3 = 4 … (3)

Persamaan (1) dapat diubah menjadi:
2 + − = 9

− = −2 − + 9
= 2 + −9 ...(4)

Substitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (2) dan persamaan (3), maka diperoleh:
− + 2 = 5

− + 2(2 + − 9) = 5
− + 4 + 2 − 18 = 5

5 + = 5 + 18
5 + = 23

= 23 − 5 … (5)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

− 2 + 3 = 4
− 2 + 3(2 + − 9) = 4
− 2 + 6 + 3 − 27 = 4

7 + = 4 + 27
7 + = 31 … (6)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) sehingga diperoleh;
7 + = 31

7 + 23 − 5 = 31
2 = 31 − 23
2 = 8
= 4

Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh:
= 23 − 5
= 23 − 5(4)
= 23 − 20
= 3

Substitusikan x = 4, dan y = 3 ke persamaan (4) sehingga diperoleh:
= 2 + − 9
= 2(4) + 3 − 9
= 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 3,2)}.

2. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi
Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan mengunakan metode
eliminasi ditentukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :
a. Eliminasi salah satu variabel , x atau y atau z, sehingga diperoleh SPLDV.
b. Selesaikan SPLDV pada langkah (a) dengan mengeliminasi variabel kedua
untuk mendapatkan nilai variabel ketiga atau mengeliminasi variabel ketiga
untuk mendapatkan variabel kedua.
c. Ulangi langkah (a) dan (b) dengan pemilihan variabel berbeda sampai
didapatkan nilai dari ketiga variabel.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan metode eliminasi!
2 + 3 − = 4

{5 − 2 − 2 = 2
3 + + = 10

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Penyelesaian:
2 + 3 − = 4 … (1)
5 − 2 − 2 = 2 … (2)
3 + + = 10 ...(3)

Misalkan mula-mula kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2), sehingga

diperoleh persamaan (4):

2 + 3 − = 4 |×× 12| ⟺ 4 + 6 − 2 = 8
5 − 2 − 2 = 2 ⟺ 5 − 2 − 2 = 2

− + 8 = 6 –

Lalu eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (3), sehingga diperoleh persaman (5):

2 + 3 − = 4

3 + + = 10 –
5 + 4 = 14

Eliminasi variabel x dri persamaan (4) dan (5), sehingga diperoleh:

− + 8 = 6 |×× 15| ⟺ −5 + 40 = 30
5 + 4 = 14 ⟺ 5 + 4 = 14

44 = 44 −

= 1

Eliminasi variabl y dari persamaan (4) dan (5), sehingga diperoleh:

− + 8 = 6 |×× 12| ⟺ − + 8 = 6
5 + 4 = 14 ⟺ 10 + 8 = 28

−11 = −22 −

= 2

Untuk memperoleh nilai variabel z, misalkan eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan

(3), sehingga diperoleh persamaan (6) berikut:

2 + 3 − = 4 |×× 31| ⟺ 2 + 3 − = 4
3 + + = 10 ⟺ 9 + 3 + 3 = 30

−7 − 4 = −26 −

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (7) berikut:

2 + 3 − = 4 |×× 23| ⟺ 4 + 6 − 2 = 8
5 − 2 − 2 = 2 ⟺ 15 − 6 − 6 = 6

19 − 8 = 14 −

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Eliminasi variabel x dari persamaan (6) dan (7), sehingga diperoleh:

−7 − 4 = −26 |××179| ⟺ −133 − 76 = −494
19 − 8 = 14 ⟺ 133 − 56 = 98

−132 = −396 −

= 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1,3)}.

3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Campuran (Eliminasi- Substitusi)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode

campuran!

− 3 + 2 = 9

{3 − 2 + 5 = 12
2 + 4 − 3 = 9

Penyelesaian:

− 3 + 2 = 9 … (1)
{3 − 2 + 5 = 12 … (2)

2 + 4 − 3 = 9 … (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh persamaan (4).

− 3 + 2 = 9 |×× 13| ⟺ 3 − 9 + 6 = 27
3 − 2 + 5 = 12 ⟺ 3 − 2 + 5 = 12

−7 + = 15 −

= 15 + 7

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) untuk memperoleh persamaan (6).

− 3 + 2 = 9 |×× 21| ⟺ 2 − 6 + 4 = 18
2 + 4 − 3 = 9 ⟺ 2 + 4 − 3 = 9

−10 + 7 = 27 −

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:

−10 + 7 = 27

−10 + 7(15 + 7 ) = 27

−10 + 105 + 49 = 27

39 = 27 − 105

39 = −78

= −78
39
= −2

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
Substitusikan nilai y ke dalam persamaan (4), sehingga diperoleh:
= 15 + 7
= 15 + 7(−2)
= 15 − 14
= 1
Substitusikan nilay y dan z ke dalam persamaan (1), (2) atau (3), sehingga diperoleh:
− 3 + 2 = 9
− 3(−2) + 2(1) = 9
+ 6 + 2 = 9
+ 8 = 9
= 9 − 8
= 1
Jadi, himpunan peyelesaian untuk sistem persamaan di atas adalah {(1, −2,1)}

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

LATIHAN SOAL

Kerjakanlah soal- soal berikut pada buku catatan masing- masing dan jawablah soal-
soal di bawah ini dengan teliti dan benar!
1. Tiga buah bilangan berjumlah 15. Bilangan petama sama dengan tiga kurangnya dari

bilangan ketiga, sedangkan setengahnya dari bilangan ketiga sama dengan bilangan
kedua. Bagaimana model matematika dari sistem persamaan tersebut!
2. Panjang sebuah akuarium adalah penjumlahan dua kali tingginya dengan dua kurangnya
dari lebar. Bagaimana model matematika dari sistem persamaan tersebut?
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut!

+ − = 0
{ − − = 4
+ 2 + = −4
4. Terdapat tiga siswa yang sedang membeli alat tulis di toko Makmur. Siswa pertama
membeli 1 buku, 1 pensil dan 1 penggaris dengan harga Rp. 9.000. Siswa kedua membeli
2 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 11.000. Sedangkan siswa ketiga hanya membeli 1
penggaris dengan harga Rp. 3.000. Berapakah harga satuan masing- masing alat tulis
tersebut?
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut!

+ = 9
{2 + 3 = 7 maka, nilai dari 7 (x + y + z )adalah...

+ 2 = 4

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

KUNCI DAN PEMBAHASAN

1. Misalkan:
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = y
Bilangan ketiga = z
+ + = 15
Maka, { = − 3
= 1

2

2. Misalkan:
Panjang = p
Lebar = l
Maka, = 2 + 2 −

+ − = 0 … (1)
3. − − = 4 … (2)

+ 2 + = −4 … (3)

Eliminasi P(1) dan P(2):

+ − =0

− − =4 −
2 = −4

=−2

Substitusi y = -2 ke P(1):
+ − = 0
− 2 − = 0
− = 2
= 2 +

Substitusi y = -2 dan x = 2 + z ke P(3):
+ 2 + = −4

(2 + ) + 2(−2) + = −4
2 + − 4 + = −4
2 − 2 = −4
2 = 2
= −1

Substitusikan y = -2 dan z = -1 ke P(1):
+ − = 0
− 2 + 1 = 0

− 1 = 0
= 1

Jadi, = {1, −2, −1}

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

4. Misalkan: Buku = x
Pensil = y
Penggaris = z

Persamaan yang terbentuk:
+ + = 9.000 … (1)

{ 2 + = 11.000 … (2)
= 3.000 … (3)

Substitusikan z = 3.000 ke P(1):
+ + = 9.000

+ + 3.000 = 9.000
+ = 6.000
= 6.000 −

Substitusikan x = 6.000 - y ke P(2):
2 + = 11.000

2(6.000 − ) + = 11.000
12.000 − 2 + = 11.000

12.000 − = 11.000
− = −1.000
= 1.000

Substitusikan y = 1.000 dan z = 3.000 ke P(1):
+ + = 9.000

+ 1.000 + 3.000 = 9.000
+ 4.000 = 9.000
= 5.000

Jadi, harga satuan masing- masing adalah buku = Rp. 5.000, pensil = Rp. 1.000 dan
penggaris = Rp. 3.000.

+ = 9 … (1)
5. {2 + 3 = 7 … (2)

+ 2 = 4 … (3)

Substitusikan P(1):
+ = 9 ⟺ = − + 9
Substitusikan x = -y + 9 ke P(3):

+ 2 = 4
− + 9 + 2 = 4

− + 2 = −5
− = −2 − 5
= 2 + 5

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Substitusikan y = 2z + 5 ke P(2):

2 + 3 = 7

2(2 + 5) + 3 = 7

4 + 10 + 3 = 7

7 = −3
−3
= 7

Substitusikan = −3 ke P(3):
7
+ 2 = 4

+ 2 (−73) = 4

− 6 = 4
7
34
= 7

Substitusikan = 34 ke P(1):
7
+ = 9

34 + = 9
7
29
= 7

Maka, nilai dari
7( + + )=7(374+279−73)

=34+29−3
=60

Nilai Latihan Soal ini Adalah : ℎ × 100
5

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

PENILAIAN DIRI

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jujur dan bertanggungjawab!

No. Pertanyaan Jawaban
1. Apakah Saya dapat menggunakan Ya Tidak

metode substitusi untuk Ya Tidak
menyelesaikan SPLTV?
2. Apakah Saya dapat menggunakan Ya Tidak
menggunakan metode eliminasi
untuk menyelesaikan SPLTV? Ya Tidak
3. Apakah Saya dapat menggunakan Ya Tidak
menggunakan metode eliminasi –
substitusi untuk menyelesaikan
SPLTV?
4. Apakah Saya dapat menafsirkan
hasil dari penyelesaian SPLTV?
5. Apakah Saya dapat menarik
kesimpulan dari hasil penafsiran
yang sudah dilakukan?

Bila ada jawaban "Tidak", maka segeralah kalian lakukan review pembelajaran, terutama pada
bagian yang masih "Tidak".

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

EVALUASI

1. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun dan Pak Yadi memanen jeruk. Hasil kebun Pak
Yadi lebih sedikit 15 kg daripada hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg
daripada hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun tersebut adalah
225 kg, berapa hasil panen Pak Ahmad?

2. Upah kerja sebanyak Rp. 220.000 diberikan kepada 2 tukang kebun, 3 orang satpam dan
seorang pembersih ruangan. Upah kerja sebanyak Rp. 295.000 diberikan kepada 4 orang
tukang kebun, 2 orang satpam dan 3 orang pembersih ruangan. Sedangkan upah kerja
sebanyak Rp. 190.000 diberikan kepada 3 orang tukang kebun, seorang satpam dan 2
orang pembersih ruangan. Tuliskan model matematika yang tepat untuk sistem
persamaan tersebut!

3. Suatu pekerjaan jika dikerjakanbersama oleh Refki dan Husni memerlukan waktu4 hari.
Jika dikerjakan bersama oleh Husni dan Dimas memerlukan waktu 3 hari. Jika dikerjakan
bersama oleh Refki dan Dimas memerlukan waktu 2,4 hari. Tentukan waktu yang
diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaa, jika mereka bekerja sendiri- sendiri!

4. Jumlah tiga buah bilangan, sama dengan 25. Apabila bilangan- bilangan tersebut
dilambangkan dengan a, b,dan c, maka bagaimana penulisan model matematika yang
tepat?

5. Jika pendapatan Andi, Budi dan Edi digabungkan dalam satu minggu, maka akan
diperoleh Rp. 1.600.000. Jika gaji Andi dikurangi Rp. 100.000 dan gaji Budi ditambah
Rp. 100.000 maka gaji keduanya sama. Jika gaji Edi ditambah Rp. 200.000, maka gaji
Edi sama dengan jumlah gaji Andi dan Budi. Berapakah gaji mereka masing- masing?

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

KUNCI JAWABAN EVALUASI

1. Penyelesaian:
Misalkan:
Pak Ahmad = x
Pak Badrun = y
Pak Yadi = z

Maka;

{ = − 15 → = + 15
= + 15 → = − 15

Jika hasil ketiganya 225 kg maka;

⟺ + + = 225

⇔ ( + 15) + ( − 15) + = 225

⇔ + 15 + − 15 + = 225

⇔ 3 = 225

⇔ = 75

Jadi, hasil panen Pak Ahmad adalah:

= + 15
= 75 + 15

= 90 .

2. Penyelesaian:
Misalkan:
Tukang kebun = x
Satpam = y
Pembersih ruangan = z

Maka, model matematika sistem persamaan tersebut yaitu:
2 + 3 + = 220.000

{4 + 2 + 3 = 295.000
3 + + 2 = 190.000

3. Penyelesaian:
Misalkan:
Refki = x
Husni = y
Dimas = z

Persamaan yeng terbentuk:

+ = 4 … (1)
{ + = 3 … (2)

+ = 2,4 … (3)

Eliminasi P(1) dan P(2) untuk menghasilkan P(4):

+ = 4

+ = 3 −
− − = 1

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

Eliminasi P(2) dan P(3) untuk menghasilkan P(5):
+ = 3

+ = 2,4 −
− − = 0,6

Eliminasi P(4) dan P(5) untuk menghasilkan P(6):

− − = 1

− − = 0,6 −
+ = 0,4

Eliminasi P(6) dan P(2):

+ = 3

+ = 0,4 −
= 2,6

Substitusikan y = 2,6 ke P(1):

+ = 4

+ 2,6 = 4

= 1,4

Substitusikan x = 1,4 ke P(3):

+ = 2,4
1,4 + = 2,4

= 1
Maka, waktu yang diperlukan jika mereka bekerja sendiri- sendiri yaitu:

Refki = 1,4 hari, Husni = 2,6 hari dan Dimas = 1 hari.

4. Penyelesaian:
+ + = 25

5. Jika pendapatan Andi, Budi dan Edi digabungkan dalam satu minggu, maka akan
diperoleh Rp. 1.600.000. Jika gaji Andi dikurangi Rp. 100.000 dan gaji Budi ditambah
Rp. 100.000 maka gaji keduanya sama. Jika gaji Edi ditambah Rp. 200.000, maka gaji
Edi sama dengan jumlah gaji Andi dan Budi. Berapakah gaji mereka masing- masing?
Penyelesaian:
Misalkan:
Andi = x
Budi = y
Edi = z

Persamaan yang terbentuk:

+ + = 1.600.00 … (1)
{ − 100.000 = + 100.000 … (2)

+ 200.000 = + ⇔ = + − 200.000 … (3)

Substitusikan P(3) ke P(1) menghasilkan P(4):
+ + = 1.600.000

+ + ( + − 200.000) = 1.600.000
+ + + − 200.000 = 1.600.000

2 + 2 = 1.800.000
+ = 900.000 = 900.000 −

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X
Substitusikan a + b = 900.000 ke P(3):
= + − 200.000
= 900.000 − 200.000
= 700.000
Substitusikan a = 900.000 – b ke P(2):
− 100.000 = + 100.000
900.000 − − 100.000 = + 100.000
800.000 − = + 100.000
−2 = −700.000
= 350.000
Substitusikan b = 350.000 dan c = 700.000 ke P(1):
+ + = 1.600.000
+ 350.000 + 700.000 = 1.600.000
+ 1.050.000 = 1.600.000
= 550.000
Jadi, gaji mereka masing- masing adalah:

Andi = 550.000, Budi = 350.000 dan Edi = 700.000.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X

DAFTAR PUSTAKA

Kemendikbud. 2021. Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Jakarta: Pusat
kurikulum dan Perbukuan. Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi.

Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Untuk Kelas X. Jakarta: Kementrian
Pendidikan dan Kebudayaan.

Kemendikbud. 2017. Modul 2: Membuka Bisnis. Matematika Paket C, Setara Kelas X SMA/MA. Jakarta:
Dirjen PAUD dan DIKMAS. Direktorat Pembinaan Pendidikan Keaksaraan dan Kesetaraan.

Ervan Dedy. Modul Pengayaan Matematika. Depok: CV Bina Pustaka

Kompasiana.com (2015, 21 November). Sejarah Matematika Dunia. Diakses pada 17

September 2022, dari

https://www.kompasiana.com/sri_j/56502894d693736305e72f6f/sejarah-matematika-dunia

Quipper.co.id (2022, 29 Januari). SPLTV. Diakses pada 24 September 2022, dari
https://quipper.co.id/spltv/

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)