FORMULARIO 1P (MAT-207)

UMSA Facultad de Ingeniería 1er. PARCIAL

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO DE INVIERNO 2022 MAT-207

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIV. RUDDY LLANQUI CONDORI

ECUACIONES DIFERENCIALES Para la solución se efectuara el cambio de
DE PRIMER ORDEN
variable: u  y1n si ( n  1)

1. VARIABLES SEPARABLES Entonces: du  (1 n)P(x)u  (1 n)Q(x)
dx
SI: f1(x) g1( y)dx  f2(x) g2( y)dy  0
Y esta es una ecuación lineal

 La solución será: f1(x) dx  g2( y) dy 6. ECUACION DE ARGUMENTO

f2(x) g1( y) LINEAL

2. ECUACION HOMOGENEA SI: dy  f (ax  by  c)

SI: dy  f y  dx
dx  x  Para la solución se efectuara el cambio de
variable: u  ax  by  c  du  adx  bdy

Para la solución se efectuara el cambio de Y esta es una ecuación de variables

variable: y  xu  dy  udx  xdu separables
7. ECUACION DE JACOBI
Entonces: ln x  du  C
f(u)  u dy  f ( a1x  b1y  c1 )
3. ECUACION ISOBARICA dx a2x  b2 y  c2

SI: dy  xn1 f y  Caso 1:   a1 b1  0
dx  xn 
a2 b2

Para la solución se efectuara el cambio de Para la solución se efectuara el cambio de

variable: y  z  dy   z1dz variable: t  a1x  b1 y
dt  a1dx  b1dy
Y  se escogerá de modo que la ecuación
Caso 2:   a1 b1  0
resultante sea homogénea
4. ECUACION LINEAL a2 b2

SI: dy  P( x ) y  Q( x ) Se resolverá el sistema de ecuaciones
dx

La solución será: aa21xx  b1 y  c1 0
 b2 y  c2 0
e  P( x)dx  )e P( x )dx 
y  Q( dx  C 
x Al resolver se halla x,y después:

5. ECUACION DE BERNOULLI xh
Se realiza el cambio de variable: y  k
SI: dy  P( x ) y  Q( x ) yn
dx

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Y nuevamente se deberá realizar los 10. FACTOR INTEGRANTE
siguientes cambios de variables:
SI: no se cumple la condición de Euler,
x  r  h  dx  dr
buscamos u(x, y) de modo que:

y  s  k  dy  ds u(x, y)M (x, y)dx  u(x, y)N (x, y)dy  0

Por lo tanto se obtiene una ecuación Hallamos: z1  M  N entonces tenemos los
y x
homogénea
8. ECUACION DE RICCATI siguientes casos a realizar:

SI: dy  f(x)  g(x) y  h(x) y2 z1  f (x)  u  u( x)  e z1 dx
dx N N
Caso 1:

Caso 1: Sea y1 una solución primicial z1  g ( y)  u  u( y)  e z1 dy
M
Para la solución se efectuara el cambio de Caso 2:

variable: y y1  1 M
u
Caso 3: hallamos E de la siguiente manera:

Se reduce a una ecuación diferencial lineal E  N z  M z Y también z  z(x,y) se puede
x y
du  ( y  2hy1)u  h
dx
buscar en las formas: axm  byn, xm yn luego se
Caso 2: Sean y1, y2 dos soluciones
z1 e z1 dz
primiciales si: u(y  y1)  y  y2 E  f (z)  u  u(z)  E
Se llega a una ecuación de variables separables tiene:

Caso 3: Sean y1, y2, y3 soluciones Caso 4: Puede buscarse directamente u de la

primiciales si: forma: u  xm yn multiplicando directamente a:

(y  y1)(y2  y3)  C(y  y2)(y3  y1) M (x, y)dx  N (x, y)dy  0
11. E.D. LAGRANGE
Caso 4: Si: yhu  u '  0
SI: y  xf dy   g dy 
se transforma en una ecuación lineal de  dx   dx 

segundo orden homogéneo: Para la solución se efectuara el cambio de

d 2u   g  h' du  fhu  0 variable: dy  p
dx2  h  dx dx

Algunos cambios sugeridos:

y  uegdx , y  u  g 12. E.D. CLAIREAUT
2h
dy
9. ECUACION EXACTA SI: y  x dx  f dy 
 dx 

SI: M (x, y)dx  N (x, y)dy  0 Para la solución se efectuara el cambio de

Donde se cumple la condición de Euler: variable: dy  p  C
dx
M  N
y x

La solución será:

 x y
x0 M (x, y0 )dx  N(x, y)dy  0

y0

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APLICACIONES A LAS TRAYECTORIAS ORTOGONALES: y '   1
ECUACIONES DIFERENCIALES y'

DE PRIMER ORDEN TRAYECTORIAS ISOGONALES: y '  y ' tg
1 y 'tg

APLICACIONES GEOMETRICAS TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN COORDENADAS
Rectas y Segmentos.
POLARES: dr  r2 d
d dr

Sea y0 '  f 'x0   dy y y0  fx0  . Curvatura: k  y ''
dx
3
1 ( y ')2  2
x  x0

y Radio de curvatura:   1
LN k

LT APLICACIONES FISICAS

y0 y=f(x) Leyes de newton el movimiento de una masa m
T N
cumple: F  ma

x0 x Si x es la posición, la aceleración a y la velocidad v
de la masa m
ST SN
α Cumple: a  dv v  dx
dt dt

Recta Tangente. Sistemas mecánicos:

LT : y  y0  y0 ' x  x0   m  tg  y0 ' Un sistema mecánico consta de tres elementos
masa amortiguador y resorte las ecuaciones de las
Recta Normal. mismas son las siguientes:

LN : y  y0   1 ' x  x0 
y0

Segmento Tangente.

T  y0 1  y0 '2 F  ma F  kx F  cv
y0 '
Dónde: m=masa

Segmento Normal. K=constante del resorte

N  y0 1  y0 '2 C=constante del amortiguador

Segmento Subtangente. Sistemas eléctricos:

ST  y0 Un sistema eléctrico está conformado por los tres
y0 ' componentes resistencia, bobina y capacitor.

Segmento Subnormal.

SN  y0  y0 '

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v  Ri v  L di i  C dv
dt dt

Dónde=voltaje[v]; i=intensidad de corriente [A];

L=inductancia [H]; C=capacitancia [F]

GRUPOS DE FACTOR DIFERENCIAL EXACTA

TERMINOS INTEGRANTE

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