VECTORES_PLANO_Y_ESPACIO_Conceptos_Basic

TEXTO Nº 3

VECTORES
PLANO Y ESPACIO

Conceptos Básicos
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A
Diciembre 2008

Sede Maipú, Santiago de Chile

1

Introducción

Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras
de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la
técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Vectores. En lo particular pretende
que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo
de variables) del programa de la asignatura Física Mecánica.
El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita
la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta
una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la unidad de Vectores, seguida de
ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que
va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos
algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo
sus respectivas soluciones.

2

Vectores

Magnitudes escalares

Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que quedan
completamente definidas con números, como ejemplo , unidades de : longitud ; masa ;
tiempo ; superficie ; volumen ; densidad ; temperatura ; presión ; trabajo mecánico ; potencia,
etc.

Magnitudes vectoriales

Son todas aquellas magnitudes físicas fundamentales o derivadas que para quedar

completamente definidas necesitan de una dirección y sentido como por ejemplo , unidades

de : desplazamiento ; velocidad ; aceleración ; fuerza ; momento , etc.

Lsiamsbmolaizgannitumdeedsiavnetcetoleritaralesscsoenruenparefsleecnhtaanegnrásfuicpaamrteensteuppeorriovrepcotorreejsem(flpelcohavs,) y se etc.
a, F,

En todo vector se debe distinguir las siguientes características:

- Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura )

- aMbasgonluittuodvo módulo : corresponde al tamaño del vector , se simboliza como valor
( ver figura )

- Dirección: corresponde a la línea recta en la cual el vector está contenido, también se
llama línea de acción o recta soporte. Generalmente la dirección de un vector se
entrega por medio de un ángulo que el vector forma con la horizontal u otra recta dada

- Sentido : es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo derecha o izquierda, arriba
o abajo)

  dirección
v v sentido
Vectores libres
α horizontal

0

origen

3

Se llama vector libre a aquel que no pasa por un punto determinado del espacio.
Vector fijo
Es aquel vector que debe pasar por un punto determinado del espacio.

Suma de vectores libres

Método del polígono

Consiste en lo siguiente: se dibuja el primer vector a sumar, luego en el extremo de éste se
dibuja el origen del segundo vector a sumar y así sucesivamente hasta dibujar el ultimo
vector a sumar, la resultante se obtiene trazando un vector que va desde el origen del primer
vector hasta el extremo del ultimo (ver figura) , durante este proceso se debe conservar
magnitud dirección y sentido de cada uno de los vectores a sumar.

Ilustración

  tal como se indica, trazar las siguientes resultantes:
DRa1 d=oas+lobs+vecc+todresya , b, c y d b+
R2 = d +  
c + a

  
a b

 d

c

Solución
Siguiendo la regla anterior se obtiene para cada caso lo siguiente:


d

  
a b b

      
R1 = a + b + c + d c c R2 = d + b + c + a

 a
d


Es fácil observar que las resultantes R1 y R2 son iguales, esto permite admitir que la suma
de vectores cumple ciertas propiedades.

4

Propiedades para la suma de vectores

1)

( ) ( )∀
Asociativa , se cumple que  +  +  =  +  + 
a, b y c vectores a b c a b c

2) aEvleecmtoer ,n∃to0 neutro ) tal que se cumple :  +  =   = 
∀ (cero vector a 0 0+ a a

3) aE, ∃l!e(m- ae)n/toa o+p(−ueas) t=o(−  ) +  = 0
∀ a) a a 
a
(− es el vector opuesto del vector .

(− a) tiene igual magnitud y dirección que  , pero es de sentido contrario
a

si  entonces (− a)
a

4) Conmutatividad

∀  ,  se cumple que  +   + 
a b, a b =b a

Método del paralelogramo

Es un método para sumar dos vectores y consiste en lo siguiente:
Se dibujan ambos vectores con un origen común, enseguida en cada uno de los extremos se
dibujan las paralelas a dichos vectores, la resultante o vector suma se obtiene trazando un
vector que va desde el origen común hasta el punto donde se intersectan las paralelas
(diagonal del paralelogramo formado).

Si los vectores son: 
 F2
F1 y

   
Entonces R = F1 + F2 resulta: R = F1 + F2

 5
F1


F2

Origen común

Resta de vectores

Sean  y  dos vectores la resta  −  queda definida por:
a b a b

( )  =  + 
−b a −b
a

Es decir, la resta se reemplaza por la suma del opuesto del vector sustraendo

Dados los vectores:

 
F1 Y F2

( )    
Según la definición anterior R = F1 − F2 = F1 + − F2 , por lo tanto se utilizará el vector:

− ( )

F2

 
Entonces la resultante R = F1 − F2 es:


F1

( )     − ( )
R = F1 − F2 = F1 + − F2
F2

OBS.
Se obtiene la misma resultante si se utiliza el método del paralelogramo

Otra forma de restar dos vectores es la siguiente:

Dibujar ambos vectores con un origen común, la resultante se obtiene trazando un vector que
va desde el extremo del vector sustraendo hasta el extremo del vector minuendo ( ver figura )

   6
F2 R = F1 − F2

Origen común F1

Vectores en el plano

Todo punto (x, y) del plano cartesiano representa un vector que tiene por origen, el origen del
sistema cartesiano y por extremo, el punto de coordenadas (x, y).

(x, y)

y

V

α

x

Componentes cartesianas o rectangulares de un vector del plano
 

Todo vector V del plano puede ser descompuesto en dos componentes VX y VY llamadas
componentes cartesianas o rectangulares, de tal manera que el vector V queda expresado
como una suma de sus componentes, es decir:

 
V =V +V

XY


La magnitud del vector V queda determinada por:

( ) ( )  2 +  2
VX VY
V=


La dirección α del vector V queda determinada por:

α = tag −1  VY 
VX

Además se cumple que:

 
V = V ⋅ cosα (Componente de V sobre el eje x)
X

7

 
VY = V ⋅ senα (Componente de V sobre el eje y)

Primer cuadrante

dirección = α
α

Segundo cuadrante

α
dirección = α = 180º− β

β

Tercer cuadrante α
β dirección = α = 180º+ β

Cuarto cuadrante

α dirección = α = 360º− β
β

  
 
En cada uno de los casos anteriores β = tag −1  VY 
VX

8

Sistema de vectores en el plano

  
Si V1 ,V2 , ... ...Vn son vectores del plano, entonces la resultante R del sistema de vectores

es:

 
R = RX + RY


La magnitud de la resultante R es:

( ) ( ) 2+  2
RX RY
R=


La dirección de la resultante R es:

tag −1   
R Y
α = RX

Donde:

  
RX = V1X + V2 X + ... . . . + Vnx
 
RY = V1Y + V2Y + . . . 
. . . Vny

Vector unitario


Todo vector V del plano tiene asociado un vector unitario (magnitud unidad que puede ser
simbolizado con las letras Vˆ o e o λ
El vector unitario de V queda definido por:

   
Vˆ = V = VX + VY = VX + VY
VV VV

Los ejes coordenados x e y también tienen sus respectivos vectores unitarios, estos son:
9

iˆ = (1,0) se lee i tongo y representa al vector unitario para el eje x
ˆj = (0,1) se lee jota tongo y representa al vector unitario para el eje y


Utilizando los vectores unitarios de los ejes coordenados, el vector V puede ser representado
como sigue:


V = Viˆ + Vˆj

Notación polar de un vector del plano
Cuando se conoce la magnitud y dirección de un vector del plano, se dice que se conocen
sus coordenadas polares y en este caso el vector V queda representado por:

( ) 

V = V ,α


Siendo V la magnitud de V y α su dirección

Teoremas trigonométricos utilizados en el estudio de vectores

Teorema del seno bC
senα = senβ = senγ γ

abc α

A c a

β

Teorema del coseno B
10

a 2 = b2 + c 2 − 2bc cosα
b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b2 − 2ab cosγ

Ejercicios Resueltos - Vectores

1) Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas componentes
rectangulares son VX = −12 y VY = 8

Solución:


Como se conocen las componentes cartesianas del vector V es posible aplicar en forma
inmediata la ecuación que define el módulo de un vector, es decir:

( ) ( ) 2+  2
VX VY
V=

Reemplazando los valores correspondientes resulta:

 (−12)2 + 82 = 144 + 64 = 208 
V= = 14,422 , es decir, la magnitud del vector V es

14,422.


Como VX es negativa y VY es positiva, el vector se encuentra en el segundo cuadrante, y por
lo tanto la dirección queda determinada por α = 180º− β

   y
VY
β = tag −1 VX α = 146,31º

8

β = 33,69º x 11

-12

⇒ β = tag −1  8 
12 

⇒ β = 33,69º

Por lo tanto la dirección es:

α = 180º−33,69º , es decir 
α = 146,31º Dirección de V


2) Encontrar las componentes cartesianas de un vector V cuya magnitud vale 80 y su

dirección es de 230º

Solución:

Como las componentes de un vector quedan determinadas con las ecuaciones:

V = V ⋅ cosα

X


VY = V ⋅ senα
Solo hay que reemplazar los valores correspondientes a la magnitud y dirección del vector,
es decir:

VX = 80 ⋅ cos 230º
VY = 80 ⋅ sen230º

Realizando la operatoria se obtiene finalmente:

VX = −51,423

VY = −61,284


3) Dados los vectores F1 = 7iˆ − 20 ˆj y F2 = 2iˆ + 24 ˆj , encontrar magnitud , dirección y

vector unitario de la resultante F1 + F2

Solución

12

 
Se pide obtener la resultante R = F1 + F2 , reemplazando los valores de cada vector, se
obtiene:
 
R = F1 + F2 = 7iˆ − 20 ˆj + 2iˆ + 24 ˆj

Reuniendo los términos semejantes resulta:

R = 9iˆ + 4 ˆj

Aplicando la fórmula de la magnitud:

R = 92 + 42

Realizando la operatoria se tiene finalmente la magnitud de la resultante, es decir:

R = 9,849

Como la resultante es:

R = 9iˆ + 4 ˆj

Significa que se encuentra en el primer cuadrante, luego la dirección queda determinada
por:

tag −1   
R Y
α = RX

Reemplazando valores:

α = tag −1  4 
9

Realizando la operatoria se tiene la dirección:

α = 23,962º

Determinación del vector unitario:
Por definición, el vector unitario queda determinado por:

13

   
Rˆ = R = RX + RY = RX + RY
RR RR

Reemplazando los valores para cada componente resulta:

Rˆ = 9 iˆ + 4 ˆj o que es lo mismo Rˆ = 9 iˆ + 4 ˆj
9,849 9,849 97 97

4) Sobre el anclaje indicado en la figura, actúan tres fuerzas tal como se indica,
determinar magnitud y dirección de la resultante R = F1 + F2 + F3

y
F2 = 150N

 82º 72º
F3 = 30N

x

67º

Solución 
F1 = 220N

Como se trata de un sistema de vectores, la resultante es de la forma:

 
R = RX + RY

En este caso:  
  y RY = F1Y + F2Y + F3Y
RX = F1X + F2 X + F3X

Aplicando la fórmula de las componentes y reemplazando los valores para cada fuerza , se
tiene :

14


RX = 220N cos 293º+150N cos 72º+30N cos172º

RY = 220Nsen293º+150Nsen72º+30Nsen172º

Realizando la operatoria resulta:

RX = 102,605N y RY = −55,677N


Por lo tanto la resultante R es:

R = 102,605iˆ − 55,677 ˆj N

Su magnitud es:

 (102,605)2 + (− 55,677)2 = 13627,714 = 116,738 N
R=

Como le vector resultante se encuentra en el cuarto cuadrante, significa que su dirección es
α = 360º−β , el ángulo β se calcula por medio de la tan g −1 , es decir:

tg −1   tg −1 55,677 
R Y 102,605 
β = RX = = 28,486º

Por lo tanto la dirección de la fuerza resultante es:

α = 360º−β = 360º−28,486º = 331,514º ,

15

Vectores en el espacio
Todo punto del espacio (x, y, z) representa un vector que tiene por origen, el origen del
sistema y por extremo, el punto de coordenadas (x, y, z)

y

(x, y, z)

zx

  
Todo vector V del espacio puede ser descompuesto en VX ,VY ,VZ llamadas componentes
rectangulares o cartesianas.


VX = componente de V sobre el eje x

VY = componente de V sobre el eje y

VZ = componente de V sobre el eje z

16


El vector V puede ser expresado como un asuma de sus componentes, es decir:

  
V = VX + VY + VZ

La magnitud queda determinada por:

( ) ( ) ( )  2 +  2 +  2
VX VY VZ
V=


La dirección de V queda determinada por los cósenos directores, dados por:


cosθ X = VX

V


cosθY = VY

V


cosθ Z = VZ

V

y

  
VY θy V VX
 θz
VZ θx

z
x


El vector V también puede ser expresado en función de los vectores unitarios de los ejes
coordenados, esto es:

17

 = Viˆ + Vˆj + Vkˆ
V

Donde kˆ es el vector unitario para el eje z

Ejercicio 1

Determinar magnitud y dirección del vector  = 5iˆ − 8 ˆj + 10kˆ
V

Solución

Aplicando la fórmula de magnitud, se tiene:

 52 + (− 8)2 + 102
V=

Realizando la operación resulta:

 
V = 13,748 Magnitud de vector V

La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores, es decir:

  
cosθ X = VX = VY = VZ
cosθ Y V cosθ Z V
V

⇒θX = cos −1         
 VX   VY   VZ 
V ⇒ θY = cos −1 V ⇒θZ = cos −1 V

⇒θX = cos−1  5  ⇒ θY = cos−1  − 8  ⇒θZ = cos−1  10 
13,748  13,748  13,748 

⇒ θ = 68,673º ⇒ θ = 125,584º ⇒ θ = 43,333º
X Y Z

18

Sistema de vectores en el espacio

  
Si V1 ,V2 , . . . . . .Vn son n vectores del espacio, entonces la resultante R es de la forma:

  
R = RX + RY + RZ


La magnitud de R queda determinada por

( ) ( ) ( ) 2+  2+  2
RX RY RZ
R=


La dirección de R queda determinada por los ángulos directores

θ = cos −1   
X  RX 
R

θY = cos −1   
 RY 
R

θ = cos −1   
Z  RZ 
R

y

θY 
R

θ x
θX 19

Z

z

Con: 
  ⋅ ⋅ ⋅ +VnX
Rx = V1X + V2 X + ⋅ ⋅ ⋅

 
Rx = V1Y + V2Y + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +VnY

Ejercicio 2

Dados los vectores  = −5iˆ + 8 ˆj −15kˆ ,  = −7iˆ −12 ˆj + 3kˆ y  = 6iˆ + 9 ˆj + 2kˆ , obtener
F1  F2  F3

magnitud y dirección de la resultante R = F1 + F2 + F3 .

Solución


La resultante R se obtiene simplemente sumando los términos semejantes, es decir:

( ) ( ) ( )

R
= − 5iˆ + 8 ˆj −15kˆ + − 7iˆ −12 ˆj + 3kˆ + 6iˆ + 9 ˆj + 2kˆ

 = −6iˆ + 5 ˆj − 10kˆ
R


La magnitud de R es
:

 (− 6)2 + 52 + (−10)2
R=

Realizando la operatoria se obtiene finalmente:


R = 161 = 12,689

La dirección se obtiene aplicando la ecuación de los cósenos directores, tal como sigue:

20

θX = cos −1    θY = cos −1    θZ = cos −1   
 RX   RY   RZ 
R R R

θX = cos−1 − 6  θY = cos−1  5  θZ = cos−1  −10 
12,689  12,689  12,689 

θ = 118,219º θ = 66,794º θ = 142,007º
X Y Z

Ejercicio 3
Para el sistema de fuerzas de la figura indicada, se pide determinar:

a) Componentes cartesianas de F1
b) Componentes cartesianas de F2 
c) Magnitud de resultante R = F1 + F2
d) Ángulos directores de R
e) Vector unitario de R

Y

6m

A

F1= 800 N 5m

oX

B 3m

F2 = 950 N

1m

YZ

Solución

21

Cálculo de componentes

Cuando se conoce la magnitud de una fuerza y las coordenadas del origen y extremo de
ésta, es conveniente utilizar el concepto de vector unitario para determinar sus componentes.

Por definición se tiene que:

   =  ⋅ Fˆ pero para Fˆ1 = OAˆ y para  Entonces:
Fˆ = F al despejar F resulta F F F2 = OBˆ

F

 =  ⋅ OAˆ y 
F1 F1 F2 = F2 ⋅ OBˆ


Componentes para F1

 
Como F1 = F1 ⋅ OAˆ y observando las coordenadas del origen y extremo de F1 , se puede

reemplazar los valores correspondientes, es decir:

 6iˆ + 5 ˆj + 4kˆ
F1 = 800N ⋅ 62 + 52 + 42

Realizando la operatoria resulta:

 = 547,011iˆ + 455,842 ˆj + 364,674kˆ
F1


Componentes para F2

Como  =  ⋅ OˆB 
F2 F2 y observando las coordenadas del origen y extremo de F2 , se puede

reemplazar los valores correspondientes, es decir:

 = 950N ⋅ 6iˆ + 0 ˆj + 3kˆ
F2 62 + 32

Realizando la operatoria se obtiene:

 = 849,706iˆ + 0 ˆj + 424,853kˆ N
F2


Cálculo de magnitud de R

 
La resultante R se obtiene sumando los términos semejantes entre las fuerzas F1 y F2 , es
decir:

22



( ) ( )R =
547,011iˆ + 455,842 ˆj + 364,674kˆ + 849,706iˆ + 0 ˆj + 424,853kˆ

 = 1396,717iˆ + 455,842 ˆj + 789,527kˆ N
R

Aplicando la fórmula de magnitud se obtiene finalmente:

 (1396,717)2 + (455,842)2 + (789,527)2
R=

Realizando la operatoria se tiene:


R = 1667,922 N

Cálculo de ángulos directores
La dirección se obtiene aplicando la ecuación de los cósenos directores, es decir:

θ = cos −1    θ = cos −1    θ = cos −1   
X  RX  Y  RY  Z  RZ 
R R R

θX = cos−11396,717  θY = cos−1 455,842  θZ = cos−1 789,527 
1667,922  1667,922  1667,922 

θ X = 33,179º θY = 74,140º θ Z = 61,747º
23
Cálculo del vector unitario

Por definición se tiene que:
 

Rˆ = R = RX + RY + RZ
RR

Reemplazando los valores correspondientes se obtiene:
Rˆ = 1396,717iˆ + 455,842 ˆj + 789,527kˆ

1667,922
Realizando la operatoria se obtiene finalmente:

Rˆ = 0,837iˆ + 0,273 ˆj + 0,473kˆ

Multiplicación de vectores

Producto punto o producto escalar

sESiismloubsnoalvizemacutpolotriepr sliacsa•ocbnió:(snaee=lneaterXea+dpoauYsn+vtoeacZbt)oyyressbec=duebyfoXin+reebspYuo+lrta:bdZ o, es un escalar. entre  y  se
el producto punto a b

  =  ⋅  cosθ
a •b a b

Donde θ es el ángulo formado entre los vectores  y 
a b

Si los vectores  y  son perpendiculares significa que θ = 90º y cos 90º = 0, por lo tanto el
producto punto a b  b es igual a cero, es decir:
a
entre y

Si   entonces  •  = 0
a ⊥b a b

( )Por  •  = (a X   )•   
otra parte a b + aY + aZ bX + bY + bZ

Multiplicando se obtiene:

 •  =   +  X  +  X  +   +   +   +  Z  +   +  
a b aX • bX a • bY a • bZ aY • bX aY • bY aY • bZ a • bX aZ • bY aZ • bZ

De lo anterior resulta:

a •  =   +   +  
b aX ⋅ bX aY ⋅ bY aZ ⋅ bZ

Lo anterior debido a que las otras combinaciones resultan perpendiculares y por lo tanto su
producto punto es igual a cero.

24

Angulo formado entere  y 
a b

El ángulo entre  y  cosθ de la definición del producto
a b queda determinado al despejar

punto, es decir:

cosθ =  • 
a ⋅ b
 b
a

Ejercicio

Dados los vectores  = −7iˆ + 4 j − 11kˆ y  , determinar su producto punto y
a b = 5iˆ + 21ˆj −12kˆ

el ángulo formado entre ellos.

Solución

El producto punto se obtiene aplicando la ecuación:

 •  =   +   +  
a b aX ⋅ bX aY ⋅ bY aZ ⋅ bZ

Reemplazando los valores numéricos se tiene:

 •  = − 7 ⋅5 + 4 ⋅ 21 −11⋅ −12 = −35 + 84 + 132
a b

Sumando resulta :

 •  = 181
a b

Para determinar el ángulo entre  y 
a b , se debe conocer sus respectivos módulos, por lo

tanto:

 = (− 7)2 + 42 + (−11)2 = 13,638
a



b = 52 + 212 + (−12)2 = 24,698

El ángulo formado entre  y 
a b se obtiene aplicando la ecuación:

cosθ =  • 
a ⋅ b
 b
a

Reemplazando los valores correspondientes se tiene:

25

Finalmente: cosθ = 181 = 0,537
13,638 ⋅ 24,698

⇒ θ = cos−1 (0,537)

θ = 57,496º

Ejercicio

Determinar el valor de m de tal manera que los vectores  = 3iˆ − 9 ˆj + mkˆ y  = −5iˆ − 8 ˆj + 10kˆ
a b

resulten perpendiculares:

Solución

Dos vectores son perpendiculares cuando su producto punto es igual a cero, por lo tanto:

 •  = 0
a b

Reemplazando los valores de cada vector resulta:

3 ⋅ −5 + −9 ⋅ −8 + m ⋅10 = 0

⇒ −15 + 72 + 10m = 0

⇒ 57 + 10m = 0

⇒ 10m = −57

Finalmente: ⇒ m = − 57
10

m = 5,7

Producto cruz o producto vectorial

Easyunba, multiplicación entre dos vyecbtosreesdceunyootarepsourltaad×obes(suenleveecatocrr,uszi los vectores son
 b) y su módulo se
el producto cruz entre a

define por:

26

 ×  =  ⋅  ⋅ senθ
a b a b

La dirección de  ×  es perpendicular al plano formado entre  y  , su sentido queda
a b a b

determina por la regla de la mano derecha o regla dpelalntoorfnoilrlmo addeoroesnctraedaeryecbha. que al
 hacia b debe penetrar en el
hacerlo girar desde a

 × 
a b


90º b

θ


a

Por otra parte si los vectores son  =  +  +  y     el producto  ×  queda
a aX aY aZ b = bX + bY + bZ , a b

determinado por:

 ×  = iˆ ˆj kˆ
a b   
aX aY aZ
bX bY bZ

Ejercicio

Determinar el producto cruz entre  = −2iˆ + 11ˆj + 5kˆ y 
a b = 10iˆ + 3 ˆj − 9kˆ

Solución
El producto cruz se obtiene aplicando la ecuación anterior, es decir:

 ×  = iˆ ˆj kˆ
a b   
aX aY aZ
bX bY bZ

Reemplazando las coordenadas para cada vector se obtiene:

27

 ×  = iˆ ˆj kˆ
a b −2 11 5

10 3 − 9

Resolviendo el determinante se tiene:

 ×  = (− 99 − 15)iˆ − (18 − 50) ˆj + (− 6 − 110)kˆ
a b

Finalmente:

 ×  = −114iˆ + 32 ˆj − 116kˆ
a b

EJERCICIOS RESUELTOS - VECTORES

PROBLEMA n°1

Dos vectores forman un ángulo de 110° y uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace
un ángulo de 40° con el vector resultante de ambos. Determine la magnitud del segundo
vector y la del vector resultante.

Solución 

Eligiendo arbitrariamente dos vectores V1 y V2 con las condiciones dadas, es decir:


V1 = 20ud

110°


V2

Ahora trazamos la resultante utilizando el método del paralelogramo, es decir:

Q P 28

 70°
R

V = 20ud

Utilizando el teorema del seno en triángulo OPQ resulta:
sen70° = sen40°
20 v2

⇒ v2sen70° = 20sen40°
1)

⇒ v2 = 20sen40°
sen70°

⇒ v2 = 13,68[ud ]

sen70° = sen70°
20 R

2)
⇒ Rsen70° = 20sen70°

Cancelando por sen70° se obtiene finalmente:

R = 20[ud ]

PROBLEMA n°2

Dos vectores de longitud 3 y 4 forman un ángulo recto, calcule por el teorema del coseno la
longitud del vector resultante y el ángulo que forma este con el vector de menor longitud.

Respuesta n°2


Según información, se tienen dos vectores V1 y V2 formando un ángulo recto, es decir:

29

 
V1 = 3 V2 = 4

90°

Por el método del paralelogramo resulta:

 B
V2

  V1
V1 = 3 R 90°
C
φ 
V2 = 4
90°
A

Utilizando teorema del coseno en triángulo rectángulo ACB se obtiene:

pero COS90° = 0

30

R2 = V12 + V22 − 2V1V2COS90°
⇒ R2 = V12 + V22

⇒ R = V12 + V22  B
V2
⇒ R = 32 + 42  φ 
⇒ R = 9 + 16 V1 = 3  V1
⇒ R = 25 90° R
A 90°

V2 = 4 C

⇒ R = 5[ud ]

El ángulo φ (ángulo que forma la resultante con el vector más pequeño) lo podemos
determinar usando la razón tangente, es decir:

tgφ = (V2 )  B
V1 V2

⇒ tgφ = 4  
() V1 = 3 R
3
A  φ 
V2 = 4 V1
φ
⇒ φ = tg −1( 4) 90°
3 90°

C

⇒ φ = 53,130°

PROBLEMA n°3

Dos vectores de longitud 6 y 8 unidades forman un ángulo recto, calcule por el teorema del
seno la longitud del vector resultante y el ángulo que forma este con el vector de mayor
longitud.

Solución:


Según información, se tienen dos vectores V1 y V2 formando un ángulo recto, es decir:

31


V1 = 6(ud )

90°

8(ud )

Representando el paralelogramo para estos vectores, se tiene:

 B
V2 = 8(ud )

 
V1 = 6(ud ) R

V1 = 6(ud )

φ 90°


A V2 = 8(ud ) C
La solución a este problema es similar a la del problema anterior, la diferencia es que en éste
calcularemos primero el ángulo φ y luego utilizaremos el teorema del seno para determinar
la magnitud de la resultante R , es decir:

Por la razón tangente se tiene:

tgφ = V1
V2

⇒ tgφ = 6
8

⇒ φ = tg −1( 6)
8

⇒ φ = 36,870°

Ahora aplica mos teorema del seno en triángulo rectángulo ACB para obtener el valor de la
resultante R , es decir:

32

sen90° = senφ 
R V1 V2 = 8(ud )

B

⇒ V1sen90° = Rsenφ

⇒ V1sen90° = R  
senφ V1 = 6(ud ) R

V1 = 6(ud )

⇒ 6sen90° = R φ 90°
sen36,870°
A  C
V2 = 8(ud )

⇒ R = 10[ud ]

PROBLEMA n°4

Dado los vectores: 
 A = 4i + 5 j

a) Calcule AXB B = 3i + 6 j

C = 9k

b) Grafique este resultado


AXB
c) Calcule , interprete
2

d) Calcule (AXB)• C , interprete

Respuesta n°4
Si: 

A = 4i + 5 j

B = 3i + 6 j

C = 9k

Entonces:

33

Solución 4 (a):  i j k
AXB = 4 5 0 = (0 − 0)i − (0 − 0) j + (4 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3)k
Solución 4(b):
Grafica 360

⇒ AXB = (24 −15)k

⇒ AXB = 9k

Z


AXB

3 5 Y
4 6
X 34

B
A

Solución 4(c)

AXB se calcula utilizando el concepto de módulo de un vector, es decir:

 92 = 81 = 9
AXB =

Por lo tanto: 
Solución 4(d) AXB = 9 = 4,5

22

(A XB ) •  = (0i + 0 j + 9k )• (0i + 0 j + 9k )
C

⇒ (A XB ) •  = 0 + 0 + 81
C

⇒ (A XB ) •  = 81
C

PROBLEMA n°5
Un vector tiene una magnitud de 60 unidades y forma un ángulo de 30° con la dirección
positiva del eje x. Encuentre sus componentes cartesianas

Solución
Representando gráficamente la información dada se tiene que:

Y

 x
V = 60[ud ] 35


Vy 30°


VX

 
Donde: VX y Vy son las componentes cartesianas del vectorV .

Utilizando:

 
VX = V cosα y Vy = V senα

Resulta: 
VX = 60cos30° y Vy = 60sen30°

Por lo tanto:  y
VX = 51,962[ud ]

Vy = 30[ud ]

PROBLEMA n°6

El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y forma un ángulo de 35°
con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la
magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.

Solucón:


Eligiendo arbitrariamente los dos vectores componentes F1 y F2 con las condiciones dadas
se puede graficar:

Q

  P
F1 = 12[ud ] F1 φ

R = 10[ud ] 
R

F2 = ? 35°

O φ

F2

Eligiendo el triángulo OQP se obtiene el esquema:


 F2
F1 φ

35°  36
R

Como se conoce dos lados del triángulo OPQ y el ángulo comprendido entre ellos, es posible
aplicar el teorema del coseno para determinar el valor de F2 , es decir:

F22 = R2 + F12 − 2RF1 cos35° 
⇒ F 2 = 102 + 122 − 2 ⋅10 ⋅12cos35°  F2
⇒ F22 = 100 + 144 −196,596 F1 φ
⇒ F22 = 47,404
⇒ F2 = 47,404 35° 
⇒ F2 = 6,885[ud ] R

El ángulo formado entre los dos vectores es 35° + φ , por lo tanto la tarea es determinar el
ángulo φ . Para esto es posible utilizar teorema del seno en la misma figura, es decir:

senφ = sen35° 
F1 F2  F2
F1 φ
⇒ senφ = F1sen35°
F2 35° 
R
⇒ senφ = 12sen35°
6,885

⇒ senφ = 0,99969

⇒ φ = sen−1(0,99969)

⇒ φ = 88,584°

37

Por lo tanto el ángulo formado entre los vectores es 35° + 88,584° = 123,584°

PROBLEMA n°7

Calcular el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante
forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular la magnitud del vector resultante.

Solución:


Sean F1 y F2 los vectores, entonces es posible construir la siguiente gráfica:

Q

  α
F1 = 8[ud ] R
β
α
P
φ

50°


O F2 = 10[ud ]


El ángulo formado por los dos vectores F1 y F2 es φ = α + 50°

Según los datos, es posible aplicar el teorema del seno en triángulo OPQ para determinar el
valor del ánguloα ,
es decir:

38

senα = sen50°  β α
F2 F1 R 
F1
⇒ senα = F2sen50° 50°
F1

⇒ senα = 10sen50° F2
8

⇒ α = sen−110sen50° 
8

⇒ α = 73,247°


Por lo tanto el ángulo formado por los dos vectores F1 y F2 es φ = α + 50° = 123,247°

Conocido el ánguloα , es posible determinar el ángulo β ya que:

50° + α + β = 180°  β α
⇒ β = 180° − 50° − α R F1
⇒ β = 56,753°
50°


F2


Aplicando nuevamente el teorema del seno es posible determinar el valor de la resultante R .

sen50° = senβ
F1 R

⇒ Rsen50° = F1senβ
⇒ R = F1senβ

sen50°
⇒ R = 8sen56,753°

sen50°

⇒ R = 8,734[ud ]

39

PROBLEMA n°8

Un viento de alambre de una torre está anclado mediante un pe rno en A. La tensión en el
alambre es de 2500 [N].Determinar: (a) Las componentes FX , Fy , FZ de la fuerza F que actúa
sobre el perno A, (b) los ángulos θ x ,θ y yθ z que el alambre forma con los ejes coordenados.

Solución: y [m]
B

80

-30 A
0

40

z x
[m]
[m]

En este caso, se tiene un vector en un sistema coordenado tridimensional. Como se conoce
las posiciones de origen y termino del vector F resulta cómodo utilizar el concepto de vector
unitario para determinar sus componentes, esto es:


F = F ⋅ eˆ

40


Siendo F la magnitud de la fuerza F (tensión del alambre) y eˆ el vector unitario en la
dirección AB. Por lo tanto:

 − 40iˆ + 80 ˆj + 30kˆ Realizando la operatoria resulta
F = 2500[N ] ⋅
(− 40)2 + (80)2 + (30)2 Componentes
rectangulares de la
⇒  = −1060iˆ + 2120 ˆj + 795kˆ[N ] fuerza F
F

⇒  = −1060[N ]
⇒ FX = 2120[N ]
⇒ Fy =
FZ 795[N ]

Cálculo de los ángulos θx,θy,θz:


FX
cosθ x = F

cos−1  
 FX 
⇒ θx = F

⇒θX = cos −1  −1060[N ] 
2500[N ]

⇒ θ X = 115,087°

41


FY
cosθ y = F


cos−1 FY 
⇒ θY = F 

⇒ θY = cos−1  2120[N ] 
2500[N ]

⇒ θY = 32,0°


FZ
cosθ z = F

 
cos−1 FZ 
⇒ θZ = F

⇒ θZ = cos −1  795[N ] 
2500[N ]

⇒ θ z = 71,5°

PROBLEMA n°9
Un tramo de muro de hormigón premoldeado se halla provisoriamente por los cables que se
ilustran. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 4200[ N] y de 6000 [ N] en AC, hallar

42

el módulo y la dirección de la resultante de las fuerzas que ejercen los cables AB y AC sobre
la estaca A.

8,10m

C
2,40m

B

3,30m

4,8m A

Solución

En este caso, corresponde a un sistema de dos vectores en el espacio y lo primero que se
realizara será determinar las componentes de cada una de las dos fuerzas utilizando
concepto de vector unitario, según la orientación de los ejes indicada, es decir:


F1 = F1 ⋅ e1 Siendo e1 el vector unitario en la dirección AC, es decir:

 6000[N ]⋅ − 4,8iˆ − 4,8 ˆj + 2,4kˆ Z
F1
= (− 4,8)2 + (− 4,8) + (2,4)2

⇒  = −4000iˆ − 4000 ˆj + 2000kˆ[N ] Y
F1
X

y
F2 = F2 ⋅ e2 Siendo e2 el vector unitario en la dirección AB, es decir:

 = 4200[N ]⋅ 3,3iˆ − 4,8 ˆj + 2,4kˆ
F2
(3,3)2 + (− 4,8)2 + (2,4)2

⇒  = 2200iˆ − 3200 ˆj + 1600kˆ[N ]
F2

 
Conocido los vectores componentes F1yF2 es posible determinar la resultante R :

43


R = F1 + F2 es decir:

 = (− 4000iˆ − 4000 ˆj + 2000kˆ)[N ] + (2200iˆ − 3200 ˆj + 1600kˆ)[N ]
R

Reuniendo los términos semejantes se obtiene que:

 = −1800iˆ − 7200 ˆj + 3600kˆ[N ] Vector resultante.
R

Por lo tanto la magnitud de la resultante es:

R = (−1800)2 + (− 7200)2 + (3600)2 [N ]

⇒ R = 8248,636[N ]

C
B

F1


F2

A

Z

 C 44
B F2 
F1
4,8m
A

Calculo de ángulos directores:

θx = cos−1 RX 
 R 

⇒θX = cos−1 −1800 
 8248,636 

⇒ θ x = 102,604°

cos−1  
Ry 
θy = R

⇒ θy = cos−1 − 7200 
 8248,636 

⇒ θ y = 150,794°

cos−1  
Rz
θz = R

⇒ θz = cos−1 3600 
 8248,636 

⇒ θz = 64,123°

45

Problema n°10

Un piloto de aviación desea volar hacia el norte. El viento sopla de noreste a suroeste a la
velocidad de 30 [ km/h ] y la velocidad del avión respecto al aire es de 180 [ Km/h ]. (a)¿En
que dirección debe mantener el piloto su rumbo? (b) ¿Cuál será su velocidad?

Solución:
En primer lugar es conveniente realizar un diagrama vectorial de las velocidades y para esto
se debe considerar que la dirección noreste a suroeste significa justo a 45° entre estos
puntos cardinales. Además si el piloto desea volar hacia el norte deberá seguir un rumbo
hacia el noroeste ya que será desviado por la velocidad del viento de tal manera que la suma
de estas dos velocidades tenga la dirección norte. La gráfica siguiente muestra tal situación.

Método del paralelogramo

N
180km/h

φ E
V 46
0

45°

Eligiendo el triángulo de fuerzas de la izquierda, se tiene:

φ

V

180Km/h

135°

β

30Km/h

Utilizando el teorema del seno es posible calcular el ánguloφ , es decir:

sen135° = senφ
180 30

⇒ 30sen135° = senφ
180

⇒ sen−1 30sen135°  = φ
 180 

⇒ φ = 6,768° Rumbo que debe mantener
el piloto

Para determinar la velocidad del piloto respecto a tierra, es necesario conocer el ángulo β .

β = 180° − (135° + φ )

⇒ β = 38,232°

Utilizando nuevamente el teorema del seno, es posible determinar la velocidad del piloto
respecto a tierra.

47

sen135° = senβ
180 V

⇒ V ⋅ sen135° = 180 ⋅ senβ

⇒ V = 180sen38,232°
sen135°

V = 157,532 Km  φ
h 
135° 
30Km/h V

180Km/h

β

PROBLEMA n°11


Las dos fuerzas PyQ actúan sobre un tornillo, tal como indica la figura. Determine su
resultante.

 = 60[N ]
Q

25°  = 40[N ]
20º P

Solución:  = 60[N ]
Q

25°  = 40[N ]
20º P

48

Considerando un sistema coordenado rectangular se tiene:

y

Q

25° 
20° P

x

Según método de las componentes (trabajar con las componentes rectangulares de cada
vector), la resultante R queda determinada por:

 
R = Rx + Ry y su magnitud por:

R=  2 +  2
Rx Ry

Donde: 
Por lo tanto: Rx = Px + QX y

Ry = py + Qy

 = 40[N ]cos 20° + 60[N ]cos 45°
Rx

⇒  = 80,014[N ]
Rx

Y

 = 40[N ]sen20° + 60[N ]sen45°
Ry

⇒  = 56,107[N ]
Ry

Luego el vector resultante es:

49

 = 80,014iˆ + 56,107 ˆj[N ]
R

Su magnitud corresponde a:

R = (80,014)2 + (56,107)2 [N ]
⇒ R = 97,725[N ]

y

 = 97,725[N ]
R

α = 35,034°

x

La dirección queda determinada por:

α = tg −1 Ry 
Rx

⇒ α = tg −1 56,107 
 80,014 

⇒ α = 35,034°

50