วิช วิ าคณิต ณิ ศาสตร์ชั้ ร์ น ชั้ ม.4 E-bookตรรกศาสตร์ ผู้จัผู้ ดจัทำ คณิศณิถนอมพิชัพิยชัม.4/1 เลขที่16
ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้ เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำ คัญของ วิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์ เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุ สมผล (valid argument) หรือการให้ เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานาน โดยมนุษนุยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขา วิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล คำ ว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์ บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษา อังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำ ว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษร โรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน ในภาษาไทย เดิมมีคำ นี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้ มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กา ลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า ("อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำ นึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำ ว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน
ประพจน์ ประพจน์ (Statement) คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็น “จริง” หรือ “เท็จ” อย่าง ใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เรียก จริง (True: T) หรือ เท็จ (False: F) ว่า ค่าความจริง (Truth value) ของประพจน์ ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ ดาวเสาร์เป็นดาวเคราะห์ (จริง) เขื่อนลำ ตะคองไม่ได้อยู่ในจังหวัดกรุงเทพฯ (จริง) 8 ไม่เท่ากับ 3 (จริง) 15 – 8 > 20 (เท็จ) ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 100 บวก 20 มีค่าเท่าไหร่ (ประโยคคำ ถาม) จงเขียนประโยคบอกเล่า (ประโยคคำ สั่ง) โปรดอย่าเดินลัดสนาม (ข้อความขอร้อง) ให้อภัยฉันด้วยเถิด (ข้อความอ้อนวอน) อยากกินเค้กอร่อยๆ (ข้อความแสดงความปรารถนา) ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำ ประพจน์มน์าเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยก ประพจน์ใน์หม่ว่า ประพจน์เน์ชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧ “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨ “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ → “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔ “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~ ประพจน์ที่น์ ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สน์องรูปแบบที่มีค่าความจริง เหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡ การเชื่อ ชื่ มประพจน์
ประพจน์ที่น์ ที่สมมูลกัน ประพจน์สน์องรูปแบบจะสมมูลกันได้ ก็ต่อ เมื่อ ประพจน์ทั้น์ ทั้ งสองมีค่าความจริงเหมือน กันทุกกรณี และสามารถนำ ไปใช้แทนกันได้ โดยใช้ สัญลักษณ์ “ ≡ ” แทนคำ ว่าสมมูล การตรวจสอบว่าประพจน์สน์มมูลกันหรือไม่ สามารถทำ ได้ 2 วิธี คือ การใช้ตารางแจกแจงความจริง หรือ การ ใช้สมบัติสมมูลของประพจน์ สมบัติการสมมูล มีรูปแบบของประพจน์ที่น์ ที่สมมูลกันหลายรูปแบบ ดังต่อไปนี้ สมบัติการสลับที่ p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r สมบัติการแจกแจง p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r ) ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r ) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r ) สมบัติของ “ถ้า..แล้ว..” ( → ) p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q สมบัติของ “ก็ต่อเมื่อ” ( ↔ ) p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p ) สมบัติของนิเสธ ( ~ ) ~(~p) ≡ p ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p → q) ≡ p ∧ ~q ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q สมบัติอื่นๆ p ∧ p ≡ p p ∧ T ≡ p p ∧ F ≡ F p ∧ ~p ≡ F p ∨ p ≡ p p ∨ T ≡ T p ∨ F ≡ p p ∨ ~p ≡ T p → F ≡ ~p F → p ≡ T p → T ≡ T T → P ≡ P P ↔ P ≡ T P ↔ P ≡ F
สัจนิรันดร์ “สัจนิรันดร์” คือ ประพจน์ที่น์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณี มีวิธีการตรวจสอบ 3 วิธี ได้แก่ สร้างตารางค่าความจริง เพื่อหาค่าความจริง ทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ ถ้าความจริงขั้นสุดท้าย ของประพจน์เน์ป็นจริงทุกกรณี แสดงว่า ประพจน์นั้น์ นั้ นเป็นสัจนิรันดร์ 1. ใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ซึ่งวิธีนี้นิยมใช้กับตัวเชื่อม “หรือ” กับ “ถ้า..แล้ว..” หากใช้กับ “และ” , “ก็ ต่อเมื่อ” อาจจะต้องทำ หลายครั้ง มีวิธีการคือ สมมติให้ประพจน์มีน์ มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว จากนั้นก็ย้อนกลับไปดูประพจน์ย่น์ ย่อยๆ ว่าขัด แย้งกันหรือไม่ ถ้าขัดแย้งกัน แสดงว่าไม่มี โอกาสเป็นเท็จ ประพจน์นั้น์ นั้ นจะเป็นสัจจนิรันดร์ 2. การใช้หลักสมมูล เราจะใช้วิธีนี้กับตัวเชื่อม “ก็ ต่อเมื่อ” โดยมีหลักการ Δ ↔ Ο ถ้า Δ ≡ Ο จะได้ว่า Δ ↔ Ο เป็นสัจจนิรันดร์ 3. การอ้างเหตุผล “การอ้างเหตุผล” คือ การตรวจสอบว่าข้อความที่ กำ หนดให้ชุดหนึ่ง แล้วทำ ให้เกิดข้อความอีกชุดนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ หรือ การหาผลสรุปจากเหตุที่ กำ หนดให้นั่นเอง การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย เหตุ คือ ส่ิงที่ถูกกำ หนดมาให้ ประกอบด้วย ประพจน์ย่น์ ย่อยๆ P1, P2, P3…,Pn ผล คือ ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วย Q 1. นำ เหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อม กับผล หลังจากนั้นให้ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ สม เหตุสมผล (Valid) หาไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่ สมเหตุสมผล (Invalid) 2. ให้เหตุทุกข้อเป็นจริง (T) หาค่าความจริงและไป แทนในผล ถ้าผล เป็นจริง (T) แสดงว่า สมเหตุสมผล ถ้าผล เป็นเท็จ (F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล 3. ใช้รูปแบบที่มีการพิสูจน์แน์ล้วว่าสมเหตุสมผล
ประโยคเปิด “ประโยคเปิด” คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร เมื่อแทนค่าตัวแปร ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยคเปิดนั้นจะเป็นประพจน์ เช่น “เธอใส่เสื้อสีเขียว” เป็นประโยคเปิด เพราะมีคำ ว่า “เธอ” เป็นตัวแปร ไม่ระบุว่าใคร หาก เปลี่ยนเป็น “มาลีใส่เสื้อสีเขียว” ประโยคนี้จะเป็นประพจน์เน์พราะระบุตัวแปรเรียบร้อยแล้ว“a เป็นจำ นวนคู่” เป็นประโยคปเปิด เพราะมีตัวแปร “a” ถ้าแทนค่า a = 8 ประโยคจะ เปลี่ยนเป็น “8 เป็นจำ นวนคู่” ประโยคนี้จึงกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณ “ตัวบ่งปริมาณ” คือ ข้อความที่บอกจำ นวนของตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อน้ยแค่ ไหน มี 2 ประเภท คือ ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น สำ หรับ x ทุกตัวซึ่ง x+5=4 เขียนแทนด้วย ∀x[x+5=4] ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น มี x อย่างน้อน้ยหนึ่งตัว ซึ่ง 2x-3 < -1 เขียนแทนด้วย ∃x[2x-3 < -1]
ข้อข้ 1.ประพจน์ใน์ดต่อไปนี้ส นี้ มมูลกับประพจน์(pน์ ∧q)→r 1.(p→r)∨(q→r) 2. (p→r)∧(q→r) 3.~(p∨q)∨r 4. ~(p∨q)→r ข้อข้ 2.ประพจน์ใน์นข้อข้ ใดต่อไปนี้เ นี้ป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ 1.(p→q)↔(p∧~q) 2. (p↔q)↔(~p→q) 3.[(p∧q)↔r]↔[p→(q→r)] 4. (p↔q)↔(p∧q)∨(~p∧~q) ข้อข้ 3.กำ หนดให้ ห้ p แทนประพจน์ลำน์ ลำดับดัแรก q แทนประพจน์ลำน์ ลำดับดัที่สอง และ r แทนประพจน์ลำน์ ลำดับดัที่สาม ข้อข้ความ “ ถ้า √625 = 25 และ 25 = 52 แล้ว √625 = 52 ” เขียขีนในรูปรูสัญสัลักษณ์ขณ์องตัวเชื่อชื่มประพจน์ไน์ด้ตด้รงกับข้อข้ ใด 1.(p → q) ∨ r 2.(p ∨ q) → r 3.(p → q) ∧ r 4.(p ∧ q) → r ข้อข้ 4.กำ หนด p แทนประพจน์ใน์ดๆT แทนประพจน์ที่น์ ที่ มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็จริงริ และ F แทนประพจน์ที่น์ ที่ มีค่มี ค่าความจริงริเป็นเท็จ หาก “ประพจน์เน์ชิงชิประกอบ (T p) ∨ F มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็เท็จ” แล้วข้อข้ความข้าข้งต้นจะมีโมีอกาสกล่าวถูกถูต้อง เมื่อมื่แทน ด้วยตัวเชื่อชื่มประพจน์ ต่างๆ ยกเว้นว้ตัวเชื่อชื่มประพจน์ใน์นข้อข้ ใด 1.∧ 2.∨ 3.→ 4.↔
ข้อข้ 5. กำ หนดให้ p , q ห้และ r มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็จริงริ , จริงริและ เท็จ ตามลำ ดับดั และถ้าประพจน์เน์ชิงชิประกอบ [ ( ~p ∨ q ) « ( ~r ) ] …….. (~q ∧ r) มีค่มี ค่าความจริงริ เป็นป็จริงริ แล้ว ตัวเชื่อชื่มที่แทนใน ..... แล้วทำ ให้ปห้ระพจน์เน์ชิงชิประกอบข้าข้งต้นเป็นป็จริงริตรงกับข้อข้ ใด 1.∧ 2.∨ 3.→ 4.↔ ข้อข้ 6. ประพจน์ใน์นข้อข้ ใดมีค่มี ค่าความจริงริต่างจากข้อข้อื่น 1.. จังจัหวัดวัเลยเป็นป็จังจัหวัดวัหนึ่งนึ่ในประเทศไทย 2. เดือดืนมกราคมมี 30 มีวันวั 3. จังจัหวัดวัเชียชีงรายอยู่ทยู่างภาคใต้ของไทย 4. ไทยมีปมีระชากรมากกว่าว่จีนจี ข้อข้ 7. ประโยคในข้อข้ ใดต่อไปนี้ไนี้ ม่เม่ ป็นป็ ประพจน์ ก. 9 ≠ 3 ข.17+8>25 ค. ถ้า x + 3 = 5 แล้ว x มีค่มี ค่าเท่าไร ง.π>3 ข้อข้ 8. เมื่อมื่กำ หนดให้pห้แทนประพจน์ “ 2 น์ ไม่ใม่ช่จำช่จำนวนตรรกยะ” qแทนประพจน์ “ 2 เป็นป็จำ นวนจริงริ” ข้อข้ ใดเป็นป็ ประโยคข้อข้ความที่เขียขีนแทนประโยคสัญสัลกัษณ์นี้ณ์ นี้ p→qก. 2 ไม่ใม่ช่จำช่จำนวนตรรกยะหรือรื 2 เป็นป็จำ นวนจริงริ ข. 2 เป็นป็จำ นวนตรรกยะก็ต่อเมื่อมื่ 2 เป็นป็จำ นวนจริงริ ค. 2 ไม่ใม่ช่จำช่จำนวนตรรกยะและ 2 เป็นป็จำ นวนจริงริ ง. ถ้า 2 เป็นป็จำ นวนตรรกยะแล้ว 2 เป็นป็จำ นวนจริงริ
ข้อข้ 9.ให้ R ห้แทนเซตของจำ นวนจริงริกำ หนดให้เห้อกสัมสัพันพัธ์ คือ { x∈R| 0<x<1} พิจพิารณาข้อข้ความต่อไปนี้ ก.ประพจน์ ∃x∀x[x^2 -y^2<y-x] มีค่มี ค่าความจริงริเป็นจริงริ ข.ประพจน์∀น์ x∀x[|x-y|<1-xy]มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็จริงริ ข้อข้ ใดต่อไปนี้ถู นี้ กถูต้อง 1.(ก)ถูกถูและ(ข)ถูกถู 2.(ก)ถูกถูแต่(ข)ผิดผิ 3.(ก)ผิดผิแต่(ข)ถูกถู 4.(ก)ผิดผิและ(ข)ผิดผิ ข้อข้ 10.กําหนดให้ p, q, r, s ห้และ t เป็นป็ ประพจน์ ซึ่งซึ่ (p→q∧r) มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็เท็จ p↔(s∨t)มีค่มี ค่าความจริงริเป็นป็จริงริ ประพจน์ใน์นข้อข้ ใดต่อไปนี้มี นี้ ค่มี ค่าความจริงริเป็นป็จริงริ 1.(q∧s)→(p∧q) 2.(s∧t)→ q 3.(q∨s)↔p 4.(p→r)→s