ฟังก์ชันกำลังสอง ม.3

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาปที ี่ 3 m.3หนา้ 0

เอกสารประกอบการเรยี น
เรอื่ ง ฟังกช์ นั กาํ ลงั สอง

ม.3/.....

จัดทำโดย นางสาวจนั ทนา กิ่งพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณติ ศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปที ่ี 3 หนา้ 1

กเรอากฟสขาอรปงฟระง กกอชบันกกาำรลเังรสียอนง

กราฟของฟงกชนั กำลังสอง เปน กราฟท่มี ีลักษณะเปนเสนโคง ที่ เรยี กวา พาราโบลา ซง่ึ บทเรยี นน้จี ะศึกษา
เก่ียวกับ สมการของพาราโบลา
1. สมการของพาราโบลา

บทนิยาม พาราโบลา (Parabola) เปน ชื่อเรยี กวา กราฟของสมการ y = ax 2 +bx +c

เม่ือ x เปน ตวั แปรทีเ่ ปน จำนวนจริง a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0
และเรยี กสมการดงั กลาววา สมการพาราโบลา (Parabola Equation)

หมายเหตุ สมการของพาราโบลา y = ax 2 +bx +c คา ของ a ≠ 0 เพราะ ถา a = 0
จะไดรปู สมการเปน =y bx +c ซึ่งเปนสมการของเสนตรง

ลักษณะของกราฟพาราโบลา
จากสมการพาราโบลา y = ax 2 +bx +c เมือ่ a ≠ 0 จะมีลกั ษณะเปน รูปพาราโบลาหงายหรือ

พาราโบลาคว่ำ ขน้ึ อยกู ับคาของ a ซง่ึ พิจารณาได 2 กรณี ดังน้ี

ข้นั ตอนการเขียนกราฟของพาราโบลา
1. สรา งตารางแสดงคาของ x และ y ที่สอดคลองกับสมการอยา งนอยประมาณ 5 ถงึ 7 คา และเพอ่ื ใหไ ด

กราฟทสี่ มบรู ณ ควรหาคา ก่ึงกลางของ x จากสมการ y = ax 2 + bx + c จะไดค า กง่ึ กลางของ x = −b
2a

(ซึง่ เปน แกนสมมาตร) เมอื่ หาคา กึง่ กลางของ x ไดแ ลว ควรกำหนดคา x ที่มากกวาและนอ ยกวา คากง่ึ กลางนัน้

อยา งละประมาณ 3 คา

2. กำหนดคูอนั ดับ (x,y) จากคา x และ y ในตาราง

3. ลากเสนโคงผา นจดุ เหลา นนั้ จะไดก ราฟของพาราโบลาตามตองการ

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพฒุ ิ ครกู ลมุ สาระคณติ ศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษาปีที่ 3 หนา้ 2
2. พาราโบลาทก่ี ำหนดดว ยสมการ y = ax 2

ตวั อยาง
1. จงเขียนกราฟของสมการตอ ไปน้ี ลงบนแกนคเู ดยี วกัน

Y
X

จดั ทำโดย นางสาวจนั ทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตรม์ ธั ยมศึกษาปีที่ 3 หนา้ 3

จากกราฟขา งตน จงตอบคำถามตอ ไปนี้

สมการ ลกั ษณะ จุดสงู สุด จุดตำ่ สุด คา ของ y สมการแกน จดุ ตัด
ของกราฟ สงู สดุ ตำ่ สดุ สมมาตร แกน x

y = 2x 2

y = −4x 2

y =1x2
2

y = −1x2
3

จากสมการของกราฟทงั้ ส่ี คาของ a มีผลอยา งไรตอ กราฟ .....................................................................................
....................................................................................................................................................................................

2. จงเตมิ ขอความตอ ไปน้ี ลงในชองวาง
(1) แกนสมมาตรของกราฟ y = −100x 2 คือ

(2) จุดสงู สุดของกราฟ y = − 1 x 2 คือ

100

(3) จากสมการ y = 10x 2 คา ของ x = ……………………………………………….……………….... ทำให y มีคา ต่ำสดุ
(4) จากสมการ y = −7x 2 คา ของ x = ……………………………………………….……………….... ทำให y มีคา สูงสุด
(5) ถา (a, 27) เปน จุดที่อยูบนกราฟ y = 9x 2 แลว คาของ a คอื

(6) ถา (2, b) เปนจุดที่อยบู นกราฟ y = −1 x 2 แลว คา ของ b คอื

2

(7) ผลตางของคา ต่ำสุดของกราฟ y = 5x 2 กบั คาสูงสุดของกราฟ y = −5x 2 คือ
.......................................................................................................................................................................

สรุปไดว า
1. เมือ่ a > 0 กราฟของฟง กช นั เปนพาราโบลาหงายและมีจุดตำ่ สุด
เมือ่ a < 0 กราฟของฟงกช นั เปนพาราโบลาควำ่ และมจี ุดสงู สดุ
2. ถาคา a ลดลง กราฟของฟงกช นั ของขยายเพ่มิ มากขนึ้

3. แกนสมมาตรของกราฟของฟงกชนั จะผานจุดตำ่ สุดหรือจุดสูงสุดของกราฟของฟงกชัน
4. กราฟของฟง กชนั มจี ุดตัดแกน x เทากับ 1 จุด หรือ 2 จุด หรือไมม เี ลยกไ็ ด แตม จี ดุ ตัดแกน y เพียง 1 จุด

จัดทำโดย นางสาวจนั ทนา กิ่งพฒุ ิ ครกู ลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 หนา้ 4
3. พาราโบลาท่ีกำหนดดว ยสมการ =y ax 2 + k
เมอ่ื a > 0

เมอ่ื a < 0

ตัวอยา ง
1. จงเขียนกราฟของสมการตอ ไปนี้ ลงบนแกนคเู ดยี วกนั

จดั ทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณติ ศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 หน้า 5

Y X

จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอไปน้ี

สมการ ลกั ษณะ จุดสงู สดุ จุดตำ่ สดุ คาของ y สมการแกน จดุ ตัด
ของกราฟ สูงสุด ตำ่ สุด สมมาตร แกน x

=y 2x 2 + 1

y =−4x 2 − 2

=y 1 x 2 − 3
2

y =− 1 x 2 + 1
32

จากสมการของกราฟทง้ั สี่ คาของ a มผี ลอยางไรตอกราฟ .....................................................................................
2. จากรูปเปนกราฟของสมการพาราโบลา (1) – (4) ท่ีกำหนดใหต อไปนี้ จงเขียนเลขตามที่กำหนดใหต รงกับกราฟ

1.y =− 1 x 2 + 3
3
2=.y 1 x 2 − 4
2
3=.y 2x 2 − 4

4.y =−x 2 + 3

จดั ทำโดย นางสาวจนั ทนา กิ่งพุฒิ ครกู ลุม สาระคณติ ศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีท่ี 3 หนา้ 6

3. จงเติมขอ ความตอไปนี้ ลงในชอ งวา ง
(1) แกนสมมาตรของกราฟ y =−100x 2 + 100 คือ ……………………………………………………….

(2) จุดสงู สดุ ของกราฟ y =− 1 x 2 −50 คอื ..................................................................................

100

(3) จากสมกา=ร y 10x 2 + 20 คา ของ x = .................................................... ทำให y มีคาตำ่ สุด
(4) จากสมการ y =−7x 2 − 25 คา ของ x = ……………………………………… ทำให y มีคาสงู สุด
(5) ถา (a,27) เปน จดุ ท่ีอยูบนกราฟ=y 9x 2 +1 แลว คาของ a คือ ............................................

(6) ถา (2,b) เปน จุดทอ่ี ยูบนกราฟ y =−1 x 2 − 4 แลว คาของ b คือ .........................................

2

(7) ผลตา งของคา ต่ำสุดของกราฟ=y 5x 2 +5 กบั คาสงู สดุ ของกราฟ y =−5x 2 −25 คอื .........

4. จงหาสมการของพาราโบลา=y ax 2 + 2 ซึ่งกราฟผานจุด (-3,-2) และวาดกราฟของสมการน้ี

Y

X

จดั ทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพฒุ ิ ครกู ลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานเุ คราะห ๑”

คณิตศาสตรม์ ัธยมศึกษาปีที่ 3 หนา้ 7

5. จากรปู เปน กราฟของพาราโบลาที่มจี ุดยอดท่ี (0,−4) และตัดแกน x ที่จุด (−1,0) และ (1,0)
จงหาสมการของกราฟดังกลาว

4. พาราโบลาทกี่ ำหนดดวยสมการ=y a(x − h)2

จดั ทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพฒุ ิ ครกู ลมุ สาระคณติ ศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 หนา้ 8

ตัวอยา ง (2) y =−2(x − 2)2
จงเขยี นกราฟชองสมการตอไปนี้ ลงบนแกนคเู ดียวกัน (4) y =− 1(x − 3)2
(1) y =−(x + 3)2
2
(3)=y 4(x + 1)2

x

(1) y =−(x + 3)2

(2) y =−2(x − 2)2
(3)=y 4(x + 1)2

(4) y =− 1(x − 3)2
2

Y

X

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตรม์ ัธยมศกึ ษาปีที่ 3 หน้า 9

จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอ ไปน้ี จุดสงู สุด จดุ ตำ่ สดุ คา ของ y สมการแกน จดุ ตดั
สมการ ลกั ษณะ สงู สุด ต่ำสดุ สมมาตร แกน x
ของกราฟ

(1) y =−(x + 3)2

(2) y =−2(x − 2)2

(3)=y 4(x + 1)2

(4) y =− 1(x − 3)2
2

2. จงตอบคำถามตอไปนี้

Y
X

จัดทำโดย นางสาวจนั ทนา กิ่งพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตรม์ ัธยมศึกษาปีท่ี 3 หน้า 10
5. พาราโบลาท่กี ำหนดดวยสมการ y = a(x − h)2 + k

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพฒุ ิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 11

Y
X

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณิตศาสตรม์ ัธยมศกึ ษาปีที่ 3 หน้า 12

2. จากรปู เปน กราฟของสมการ y = a(x − h)2 + k จงหา
(1) คาของ h และ k
(2) คา ของ a
(3) จุด A และจุด B

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 13

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หนา้ 14

สรปุ ลกั ษณะของกราฟพาราโบลา

จดั ทำโดย นางสาวจนั ทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณติ ศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปีท่ี 3 หนา้ 15

แบบฝกหดั ทักษะท่ี 1

จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอ ไปนี้

จดั ทำโดย นางสาวจนั ทนา กิ่งพฒุ ิ ครกู ลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 16

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 17

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 18

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ่ี 3 หน้า 19

แบบฝก ทักษะที่ 2

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 20

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 21

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 22

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ่ี 3 หน้า 23

แบบฝก ทักษะที่ 3

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 24

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 25

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 26

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณิตศาสตร์มธั ยมศึกษาปีที่ 3 หนา้ 27

5. ถา กราฟของสมการ y = a(x −2)2 +1 ผา นจดุ (−1,5) แลว a มีคาเทา ไร

6. ถา กราฟของสมการ y = 3(x − h)2 −1 ผา นจดุ (2,2) แลว h มีคาเทา ไร

7. จุดสูงสดุ ของกราฟของสมการ y =−2(x − h)2 −3 ซ่ึงผานจดุ (0,−5) เทากบั เทาไร

จดั ทำโดย นางสาวจนั ทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลุมสาระคณติ ศาสตร โรงเรยี นบางปะอิน “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ่ี 3 หน้า 28

แบบฝก ทักษะที่ 4

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรยี นบางปะอนิ “ราชานุเคราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 29

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”

คณติ ศาสตร์มัธยมศึกษาปที ี่ 3 หน้า 30

จัดทำโดย นางสาวจันทนา ก่ิงพุฒิ ครกู ลมุ สาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอนิ “ราชานเุ คราะห ๑”