เอกสารการสอนเรื่องเซต

เอกสารประกอบการเรียนการสอน
รายวิชาคณติ ศาสตร์ 7 (ค31101)

M THS

เซต (SET)

ชอื - สกลุ ____________________________________
เลขที _______ ชนั ม.4/______

โ ร ง เ รี ย น ภู เ ก็ ต วิ ท ย า ลั ย
ครูผู้สอน : ครูวิลาวัณย์ สุภาวรรณ์

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

1. เซต (Set)

1.1 ความหมายของเซต (Set)

เซต เป็นคาในทางคณติ ศาสตรท์ ่ีไมน่ ิยามความหมาย แตใ่ ช้บ่งบอกถงึ กลมุ่ ของส่ิงต่าง ๆ และเม่ือ
กลา่ วถึงกลุ่มใดแล้วสามารถทราบไดแ้ น่นอนวา่ สิ่งใดอยใู่ นกลุม่ และส่ิงใดไม่ได้อยู่ในกลุ่ม เรียกส่ิงที่อยู่ใน
เซตว่า สมาชกิ (elements) เช่น

1. เซตของชือ่ วันในหน่ึงสัปดาห์ มีสมาชกิ ได้แก่ ………………………………………………...

2. เซตของคาตอบของสมการ x2 4 0 มีสมาชิกไดแ้ ก่ ………………….……………….….

3. เซตของสระในภาษาองั กฤษ มีสมาชกิ ได้แก่ ……………………..……………….………….

4. เซตของจานวนนับท่นี ้อยกวา่ 6 มสี มาชิกได้แก่ ..………………...……………….………….

โดยทั่วไปสิ่งท่ีเป็นคุณภาพเราจะไม่ใช้เรียก เซต เพราะอาจไม่ทราบแน่นอนว่าส่ิงใดอยู่ในกลุ่ม
และส่ิงใดไมอ่ ยใู่ นกลุม่ เช่น เซตของคนสวย เซตของผลไม้ที่อรอ่ ย เพราะ “สวย” และ “อรอ่ ย” เป็นสิ่ง
ท่ีเปน็ คณุ ภาพ ซึ่งแต่ละคนอาจคิดเหน็ ไมต่ รงกนั

1. กลุ่มของสภานักเรยี นโรงเรียนภเู กต็ วทิ ยาลัย ปกี ารศึกษา 2562 ……..……

เป็นเซตไหมนะ? 2. กลุม่ ของนักเรยี นช้ัน ม.4 ในจงั หวัดภเู กต็ ที่หน้าตาดี ………..…
3. กลมุ่ ของคนท่ีสูงน้อยกว่า 160 เซนติเมตร …………..

4. กลุ่มของนักเรยี นในห้องน้ีทส่ี งู กวา่ 159 เซนตเิ มตร …………..

5. กลุม่ ของครดู นตรีโรงเรยี นภเู กต็ วิทยาลยั ปกี ารศึกษา 2563 …………..

เซตพ้นื ฐานที่ควรทราบ  เซตของจานวนจริง
 เซตของจานวนนบั

 I เซตของจานวนเตม็  เซตของจานวนเตม็

 I เซตของจานวนเตม็ บวก  เซตของจานวนตรรกยะ

 I เซตของจานวนเตม็ ลบ  ' เซตของจานวนอตรรกยะ

 I0 เซตของจานวนเตม็ ศูนย์  P เซตของจานวนเฉพาะ

ครวู ลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 1

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

1.2 การเขียนสัญลกั ษณแ์ ทนเซต

สญั ลกั ษณข์ องเซต แทนด้วยเครอื่ งหมาย { } และสง่ิ ที่อยู่ในเซต เรียกวา่ สมาชิก (element)
ใช้สญั ลักษณ์ แทนคาวา่ “เป็นสมาชกิ ของ”
และใชส้ ัญลกั ษณ์ แทนคาวา่ “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ”
โดยท่ัวไปจะแทนเซตดว้ ยอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พใ์ หญ่ เช่น A, B, C และแทนสมาชิกของเซต
ดว้ ยตัวพมิ พเ์ ลก็ เชน่

 ให้ A = {a, b, c} จะแทนเซต A ซึ่งมสี มาชิก 3 ตวั ได้แก่ a, b และ c
จะได้ว่า a A หมายความว่า a เป็นสมาชิกของเซต A หรอื อยใู่ น A
1 A หมายความวา่ 1 ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซต A หรือไมอ่ ย่ใู น A

การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ

คอื การเขยี นสมาชกิ ทุกตัวของเซตลงในเคร่อื งหมายวงเล็บปีกกา “{ }”และใช้เครื่องหมายจุลภาค

( , ) คนั่ ระหวา่ งสมาชกิ แตล่ ะตัว

 เขยี นแจงว่ามีสมาชกิ อะไรในเซตบา้ ง

 เชน่ { มาเลเซีย, พม่า, กมั พชู า, ลาว } จบเซตดว้ ย
ปีกกาปดิ
เรม่ิ เซตด้วย จะเรียงสมาชิกไหนก่อนกไ็ ด้
ปีกกาเปดิ ใช้ จลุ ภาค คนั่ ระหวา่ งสมาชกิ

เซตของจานวนนับทีน่ ้อยกวา่ 3 เขยี นแทนดว้ ย {1, 2}
บางคร้ัง ในการเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุดสามจุด “…” เพ่ือแสดงว่ามีสมาชิกอื่น ๆ ซ่ึง
เปน็ ท่ีเขา้ ใจกันทว่ั ไปวา่ มีอะไรบา้ งอยใู่ นเซตนั้น เชน่

B = {1, 2, 3, …, 9} สัญลักษณ์ … แสดงวา่ มี 4, 5, 6, 7 และ 8 เป็นสมาชกิ ของเซตดว้ ย
C เปน็ เซตของจานวนเต็ม เขียนไดเ้ ป็น 3 รูปแบบ ดังน้ี

C = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

หรือ C = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …}
หรอื C = { 0, 1, 2, 3, ... }

ครวู ลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 2

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

การเขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไข

คอื การใชต้ วั แปรเขียนแทนสมาชิกแลว้ บรรยายสมบตั ิของสมาชิกทอี่ ยใู่ นรูปของตวั แปร ซึ่งกาหนด

เอกภพสมั พทั ธ์ (Universe Set) และใช้เครอ่ื งหมาย “ | ” แทนคาว่า โดยที่

เชน่ เซตของจานวนนับ ท่นี ้อยกวา่ 6 จะเขียนแบบบอกเง่อื นไขได้ดังนี้

เร่ิมเซตด้วยปีกกาเปิด {x | x 6} จบเซตดว้ ยปีกกาปิด

ตัวแปรอะไรก็ได้ บอกขอบเขต บอกเงื่อนไข
(ส่วนใหญ่ใช้ x) สมาชิกท่จี ะ สมาชกิ ทจี่ ะ
อยใู่ นเซตน้ี อยู่ในเซตนี้

A { x | x เปน็ จานวนเฉพาะ} หรือ A {x | x เป็นจานวนเฉพาะ}

หมายเหตุ ถา้ ไม่ระบุเอกภพสมั พัทธ์ แสดงวา่ เอกภพสมั พทั ธค์ ือ จานวนจริง

เซตตวั อย่าง เขียนแบบแจกแจงสมาชิก เขียนแบบบอกเงื่อนไข

A เป็นเซตของประเทศทีต่ ิด

กับไทย

B เป็นเซตของจานวนเต็ม
บวกทน่ี ้อยกวา่ 6

C เป็นเซตของจานวนเตม็ ลบ
ทีม่ ากกว่า -100

D เป็นเซตของตัวอกั ษรใน
ภาษาอังกฤษ

E เป็นเซตของคนท่ีมีอายเุ กิน
500 ปี

หมายเหตุ เซตที่ไมม่ สี มาชิก เรียกว่า เซตวา่ ง (empty set หรือ null set)
เซตว่างเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “{ }” หรือ “  ” ( เป็นอักษรกรีกตรงกับคาใน
ภาษาองั กฤษวา่ phi)

ครูวลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 3

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)
แบบฝึกหัด 1

คาชแ้ี จง : จงเขยี นเซตต่อไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของจานวนเต็มบวกทอ่ี ยรู่ ะหว่าง 10 และ 20

…………………………………………………………………………………..…………..

2. เซตของจานวนคบู่ วก

…………………………………………………………………………………..…………..

3. เซตของจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100

…………………………………………………………………………………..…………..

4. เซตของจานวนเตม็ ลบทีม่ ากกว่า -7

…………………………………………………………………………………..…………..

5. เซตของสระในคาวา่ “Mathematics

…………………………………………………………………………………..…………..

6. { x | x I และ 5 x 20}

…………………………………………………………………………………..…………..
7. { x I | x 20}

…………………………………………………………………………………..…………..
8. { x | 3x 5 16}

…………………………………………………………………………………..…………..
9. {m I | m | 2}

…………………………………………………………………………………..…………..
10. {a I | a2 16}

…………………………………………………………………………………..…………..

ครวู ิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 4

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

คาช้ีแจง : จงเขยี นเซตตอ่ ไปนแี้ บบบอกเงอ่ื นไข

1. A = {2, 4, 6, 8}

…………………………………………………………………………………..…………..
2. B = {a, e, i, o, u}

…………………………………………………………………………………..…………..

3. C = {ตรงั , ตราด, ตาก}

…………………………………………………………………………………..…………..
4. D = { 0, 5, 10, 15, ... }

…………………………………………………………………………………..…………..
5. E = {1, 2, 3, …, 100}

…………………………………………………………………………………..…………..

คาชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นเติม หรือ ลงใน ที่ทาให้ประโยคเปน็ จรงิ
1. 5 { x | x เป็นจานวนนบั }
2. c { x | x เปน็ ตวั อักษรในคาวา่ clean }

3. 0 {100, 101}

4. {1} {1, {1}}

ครวู ลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 5

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

1.3 ชนดิ ของเซต

1. เซตจากัด (Finite Sets) คอื เซตท่มี ีจานวนสมาชิกเป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ หรือศูนย์ (เซตท่ี
สามารถระบุจานวนสมาชิกได้) จานวนสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว้ ย n(A)

เช่น A = {1, 2, 3, 4} นับสมาชิกได้ 4 ตวั ดงั น้นั n(A) = 4
2. เซตอนนั ต์ (Infinite Sets) คอื เซตท่ีไม่สามารถระบจุ านวนสมาชกิ ไดแ้ นน่ อน

เชน่ A = {1, 2, 3, …}

B = { x | x 10 }

C = {p | p เปน็ จานวนประชากรของประเทศไทย}
3. เซตว่าง (Empty Sets หรือ Null Sets) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก แทนด้วยสัญลักษณ์ “{ }”
หรือ “  ” (อ่านวา่ phi)

เชน่ A = { x | 1 x 2 }
4. เซตที่เท่ากนั (Equal Sets) คือ เซตที่มจี านวนสมาชกิ เทา่ กนั และเหมอื นกันทกุ ตวั

เช่น A = { x | x 5}

B = {x I|1 x 5}
C = {x I |x 6}

ดงั นน้ั A = B แต่ A C
5. เซตทเี่ ทียบเท่ากัน คอื เซตทม่ี จี านวนสมาชิกเทา่ กัน แต่สมาชกิ ไม่จาเปน็ ต้องเหมอื นกนั

เช่น A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c} จะได้ A B แต่ A เทียบเท่ากบั B
A เทียบเท่ากบั B แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A B

6. เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือ เซตท่ีกาหนดขอบเขตของสิ่งที่เราจะศึกษา โดยมี
ขอ้ ตกลงว่า จะไม่กล่าวถึงสง่ิ ใดนอกเหนือจากสมาชิกของเซตทีก่ าหนด ใชส้ ัญลักษณ์ “ U ”

หมายเหตุ
1. เซตวา่ ง เป็น เซตจำกดั
2. การเรียงลาดบั ของสมาชกิ ในเซตไมถ่ อื เปน็ สาคัญ เชน่ {1, 3, 5} = {5, 1, 3}
3. การทส่ี มาชกิ ซา้ กันให้ถือวา่ มีสมาชิกตัวนน้ั เพียงตวั เดยี ว เช่น {3, 4, 5, 3} = {3, 4, 5}
4. เซตใดท่เี ท่ากนั จะเป็นเซตทเี่ ทยี บเท่ากันด้วย แตเ่ ซตท่เี ทียบเทา่ กันไมจ่ าเป็นตอ้ งเปน็ เซตท่เี ท่ากัน

ครวู ลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 6

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

แบบฝกึ หดั 2

 คาชี้แจง : จงบอกจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนีโ้ ดยเตมิ คาตอบลงในช่องวา่ ง

1. A = {5, 6, 7} n(A) = …………………………

2. B = {125} n(B) = …………………………

3. C = { x | 2 x 9 } n(C) = …………………………

4. D = { x | x2 0 } n(D) = …………………………

5. E = { ,{1},{2},{3}} n(E) = …………………………

6. F = {{1.2}, {3}} n(F) = …………………………

7. G = {{{}}} n(G) = …………………………

8. H = {{1, }, } n(H) = …………………………

9. I = {{1,{2}}, {3, {}}} n(I) = …………………………

10. J = {{{1}, {1, 2}, {1, {2}, 3}}} n(J) = …………………………

 คาช้ีแจง : ข้อใดต่อไปนกี้ ลา่ วถูกตอ้ ง 6. 14 {x | x หารด้วย 7 ลงตวั }

1. 0 { } 7. 3 3
2. {1} {1, {1,2}, {{1}}} 8. { } {{ }}
3. { } { } 9. {1,2} {{1}, {2}}
4. {1} {{1}, {2}} 10. {2,3} {1, {1,2}, {1,{2,3}}}

5. {1,2,3,4} {{1,2}, {2,3,4}}

 คาชี้แจง : จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจากัด เซตใดเป็นเซตอนันต์ และเซตใดเป็น

เซตว่าง แลว้ เติมคาตอบท่ีถกู ตอ้ งลงในชอ่ งว่าง

1. {x | x และ 2 x 10 } ………………………….

2. { x | x และ x + 2 = x} ………………………….

3. {x | 1 < x < 5} ………………………….

4. { x I | x 0 } ………………………….
5. { x | x2 4 0 } ………………………….

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 7

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

6. {1, 2, 3, …, 999} ………………………….
7. {x | x + 2 = 2x} ………………………….

8. ………………………….
………………………….
9. { x | x และ x2 x x } ………………………….

10. เซตของทุกคนบนโลกในขณะนี้

 คาช้ีแจง : จงพจิ ารณาว่าเซตที่กาหนดใหต้ ่อไปนี้ เซตใดเปน็ เซตท่ีเทา่ กนั

1. A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {x | x เปน็ จานวนคบู่ วกทนี่ ้อยกว่า 12}
C = { x I | x =2n เมอื่ n }

…………………………………………………………………………………..…………..

2. D = {x | x เปน็ จานวนคู่}

E = {1, 3, 5, 7, …}

F = {x | x เป็นจานวนค่บี วก}

…………………………………………………………………………………..…………..

3. G = {x และ 1 x 5 }

H = {1, 2, 3, 4, 5}

…………………………………………………………………………………..…………..

4. M = { x | x และ –2 < x < 2}
N = {x|x และ 2 x 2 }

…………………………………………………………………………………..…………..

 คาชแ้ี จง : ข้อใดต่อไปน้ีกลา่ วถูกต้อง

1. {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1} 3. {{ }, {1,2}} = {{2,1}, }

2. {{1,2}, {2,3}} {3,2,1} 4. {{ }} { }

ครวู ิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 8

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

1.4 เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตท่กี าหนดขึน้ มาเพ่อื เปน็ กรอบหรือขอบเขตของเซตอ่นื ๆ
ใช้สญั ลักษณ์ “ U ” แทนเอกภพสมั พทั ธ์

ตัวอย่างเชน่
1. ถ้ากาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1,2,3} และ B = {4,5}

U

แบบนีถ้ ือว่ากาหนดเซต A, B ไดถ้ ูกต้อง สอดคล้องกับ U
เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A และ B อย่ใู น U

2. กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1,2,3} และ B = {3,4,5}

U

แบบน้ีถือวา่ กาหนดเซต A, B ไดถ้ ูกตอ้ ง สอดคลอ้ งกบั U
เพราะสมาชกิ ทกุ ตวั ของ A และ B อยูใ่ น U

3. กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A = {1,7,8}

U

แบบนถ้ี อื ว่ากาหนดเซต A ไม่ถูกต้อง ไมส่ อดคล้องกบั U
เพราะสมาชิก “7, 8” ไม่อยู่ใน U

 หมายเหตุ
ถา้ กล่าวถึงเซตของจานวนและไม่ได้กาหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสมั พทั ธ์
ในระดับชนั้ เรยี นนี้ ถอื วา่ เอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตของจานวนจริง

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 9

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

1.5 สับเซต (Subset) และ เพาเวอร์เซต (Power set)

สับเซต (Subset)

เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เมือ่ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เปน็ สมาชิกของเซต B

เขียนแทนด้วย ( ก็ตอ่ เม่อื ถา้ แล้ว )

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไม่เป็น

สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย

ขอ้ ควรจา การตรวจสอบการเป็น “สบั เซต” อาจใช้หลักคดิ ดงั น้ี

(1) ถา้ แล้ว

(2) ถา้ แล้ว

พจิ ารณาจากแผนภาพ

ตวั อย่าง 1 จากเซตทกี่ าหนดให้
1. A = {2, 3, 4} ข้อความต่อไปน้ถี ูกหรอื ผิด

1.1 {2} A 1.2 {3,4} A 1.3 {5} A

2. B = {0, {1}, { }, {0,1}} ข้อความต่อไปนี้ถกู หรือผดิ ครวู ิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 10

2.1 {0} B 2.2 {1} B

2.3 {0, 1} B 2.4 {{ }} B

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

การหาสบั เซตของเซตทีก่ าหนดให้

1) วธิ ีหาสับเซตทั้งหมดของ A
สบั เซตของ A เกิดจากเซตของสมาชิกของ A โดยเลือกสมาชิกของ A มาใส่ในเซต เร่ิมจาก

1. ไมเ่ ลือกสมาชกิ มาเลย ได้แก่ เซตว่าง
2. เลือกสมาชิกของ A มาใส่ทีละตวั จะได้สบั เซตทมี่ ีสมาชิก 1 ตัว
3. เลือกสมาชิกของ A มาใส่ทีละ 2 ตวั จะได้สับเซตท่ีมสี มาชกิ 2 ตวั
4. เลือกสมาชิกของ A มาใสท่ ลี ะ 3 ตัว ตามลาดับจนกวา่ จะหมดทกุ ตัว
2) วิธหี าสับเซตแท้ของ A หาเชน่ เดียวกบั การหาสบั เซตแต่ยกเว้นเซต A

ตัวอยา่ ง 2 กาหนด A = {1, 2} สบั เซตท้งั หมดของเซต A เร่ิมตน้ จาก

1. เซตทไ่ี ม่มีสมาชกิ คือ ………………………………………………………………
2. เซตท่ีมสี มาชิก 1 ตวั คือ …………………………………………………………..
3. เซตทม่ี ีสมาชิก 2 ตัว คือ …………………………………………………………..
ดังนน้ั สบั เซตท้ังหมดของเซต A คอื ……………………………. มีทง้ั หมด ……….. ตัว
ซ่ึงเราพบว่า สมาชิกทุกตัวในสับเซต A ทุกตัว อยู่ในเซต A กล่าวได้ว่า เซตทุกเซตเป็นสับเซต
ของตัวมนั เอง และเซตว่างเป็นสบั เซตของทกุ เซต

สบั เซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแทข้ องเซต B กต็ ่อเม่ือ และ

เช่น ถา้ A = {1, 2} สับเซตแท้ของ A คอื , {1} และ {2}
*** สบั เซตแท้ ก็คือ สับเซตท่ไี ม่ใชต่ วั มันเอง(สับเซตท่ี “เลก็ กวำ่ ” เซตเกำ่ )

สญั ลักษณ์ แทนประโยค A เป็นสับเซตของ B และ
สญั ลกั ษณ์ แทนประโยค A เป็นสบั เซตแทข้ อง B

ตัวอยา่ ง 3 จงหาสับเซตแทข้ องเซตต่อไปนี้
1. {a, b} สบั เซตแท้ของ {a, b} ได้แก่ ……………………………………..…….

2. {b, c, d} สับเซตแท้ของ {b, c, d} ได้แก่ ……………………………………..…….

3. สบั เซตแทข้ อง ได้แก่ ……………………………………..…….

ครวู ลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 11

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

***ในกรณที ่ี A กับ B เปน็ “เซตของเซต” การพิจารณาว่า A B หรอื ไม่
หลกั ในการพิจารณา คอื ให้ “แจงทั้งสองฝ่งั ” ว่ามีสมาชกิ กต่ี วั อะไรบา้ ง
เมือ่ แจงแล้ว ถา้ เราจับคเู่ หมอื นจาก A ไปยัง B ได้หมดทกุ ตวั แสดงว่า A B
***ขอ้ ควรระวัง ระหวา่ ง “เปน็ สบั เซต ( )” กับ “เป็นสมาชกิ ( )”
ความแตกตา่ ง คือ เป็นสบั เซต ให้ “แจงท้ังสองฝ่งั ” แต่ เป็นสมาชกิ ให้ “แจงฝง่ั ขวาเท่านัน้ ”
ตัวอย่าง 4 จงพจิ ารณาว่า {1,{2},{1,2}} {1,2,{1},{2},{1,2}} หรอื ไม่
วธิ ีทา

ตวั อย่าง 5 จงพจิ ารณาว่า {{1},{2}} {{1},{1,2},{1,{2}}} หรอื ไม่
วธิ ที า

ตวั อย่าง 6 จงพิจารณาว่า {1,{2}} {{1},{1,2},{1,{2}}} หรือไม่
วิธีทา

ครูวลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 12

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

จานวนสับเซต ถ้า A เปน็ เซตทีม่ สี มาชิก n สมาชกิ แล้ว
จานวนสบั เซตของเซต A จะมีจานวน เซต และ
จานวนสับเซตแท้มี เซต

ตวั อยา่ ง 7 จงหาจานวนสับเซตท้งั หมดและสับเซตแท้ พร้อมทั้งหาสับเซตท้ังหมดของเซตต่อไปน้ี

1. {} 2. {1} 3. {2,3} 4. {1,2,3}

เซต จานวน สบั เซตท้งั หมด
สมาชกิ สับเซต สับเซตแท้

1. {}

2. {1}

3. {2,3}

4. {1,2,3}

สมบตั ทิ ี่เปน็ ขอ้ ตกลงเก่ยี วกบั สับเซต
กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ
1. เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของตวั เอง (A A)
2. เซตว่างเปน็ สบั เซตของทกุ เซต (  A)
3. ถา้ A แลว้ A
4. ถ้า A B และ B C แล้ว A C
5. ถ้า A B แล้ว A เปน็ สับเซตแทข้ อง B หรือ A = B
6. A = B กต็ ่อเมอ่ื A B และ B A
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัด และ A B แล้วจานวนสมาชิกของ A น้อยกว่าหรือเท่ากับ

จานวนสมาชกิ ของ B
8. ถา้ A แล้วสบั เซตแท้ของ A หาไดเ้ สมอ
9. ถา้ A แลว้ สบั เซตแท้ของ A หาค่าไม่ได้ (เซตวา่ งเป็นเซตเดยี วท่ีไม่มสี บั เซตแท้)
10. สบั เซตของเซตจากัดตอ้ งเปน็ เซตจากัด
11. สบั เซตของเซตอนนั ตอ์ าจเป็นเซตอนันตห์ รอื เซตจากดั กไ็ ด้

ครวู ลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 13

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

แบบฝึกหดั 3

 คาชี้แจง : กาหนด A = {0,1,2,3} จงพจิ ารณาข้อตอ่ ไปน้วี า่ ถูกหรอื ผิด

1. 0 A ….……….. 5. 4 A ….………..
….………..
2. {0} A ….……….. 6. {1,2} A ….………..
….………..
3. {2} A ….……….. 7. {1,2,3} A

4. 3 A ….……….. 8. {0,1,2,4} A

 คาชี้แจง : กาหนด B = {{1}, 2, 3, {4,5}} จงพจิ ารณาขอ้ ต่อไปน้วี า่ ถกู หรอื ผิด

1. {1} B ….……….. 5. {1} B ….………..

2. 2 B ….……….. 6. 3 B ….………..

3. {{4}} B ….……….. 7. {4,5} B ….………..

4. {4} B ….……….. 8. {2,3} B ….………..

 คาชี้แจง : จงเขียนเครอ่ื งหมาย  หนา้ ข้อทถ่ี ูก และเครอ่ื งหมาย × หนา้ ข้อท่ีผดิ

…..…… 1. A เมือ่ A เปน็ เซตใดๆ

…..…… 2.

…..…… 3. { }

…..…… 4. {1, 5} {x | x2 6 x 5 0}

…..…… 5. {2} เปน็ สับเซตแทข้ องเซต {x | x2 2 x 0}

…..…… 6. ถ้า A เปน็ เซตใดๆ แลว้ สามารถหาสับเซตแทข้ อง A ได้เสมอ

…..…… 7. เป็นสบั เซตแทข้ งทุกเซต

…..…… 8. ถา้ A เป็นเซตใดๆ แล้ว A A เสมอ

…..…… 9. {x | x 0} {x | x2 0}
2

…..…… 10. { x | x หารดว้ ย 3 ลงตัว} {x | x เป็นสมาชิกของจานวนเตม็ ค่ี}

ครูวลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 14

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

 คาชแี้ จง : จงหาสบั เซตทั้งหมดของเซตตอ่ ไปน้ี

1. ………………………………………………………………………………..

2. {1} ………………………………………………………………………………..

3. {1,2} ………………………………………………………………………………..

4. {-1,0,1} ………………………………………………………………………………..

5. {{1}} ………………………………………………………………………………..

6. {1,{2,3}} ………………………………………………………………………………..

7. {0,{1},{2}} ………………………………………………………………………………..

 คาชแี้ จง : กาหนด A = {1,2,3} จงตอบคาถามตอ่ ไปนี้

1. จานวนสับเซตของ A ทมี่ ีสมาชกิ 0 ตัว ……………………………………………………

2. จานวนสับเซตของ A ท่มี สี มาชกิ 1 ตวั ……………………………………………………

3. จานวนสับเซตของ A ทีม่ ีสมาชิก 2 ตัว ……………………………………………………

4. จานวนสบั เซตท้งั หมดของ A ……………………………………………………

5. จานวนสับเซตแทข้ อง A ……………………………………………………

 คาชแี้ จง : ให้ A = {x | x เปน็ จานวนคู่บวก และ x – 5 < 3}, B {x | x 8} และ
C = {2,8} จงพจิ ารณาว่าเซตคใู่ ดบ้างท่มี ีความสัมพันธ์เปน็ สับเซต

 คาช้ีแจง : กาหนด X = {1,3,5,7,9,11} และ Y = { x | x 2n 1 เมื่อ n {0,1,2, 3, 4, 5} }

จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ หรอื เทจ็

1. X Y 2. Y X 3. X = Y

ครวู ลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 15

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

เพาเวอรเ์ ซต (Power Sets)
กาหนดให้ A เป็นเซตใดๆ เพาเวอรเ์ ซตของ A คอื เซตของสบั เซตทง้ั หมดของ A
เขยี นแทนดว้ ย P(A) น่ันคือ

ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนด A = {1, 2, 3} จงหา P(A)
วิธที า เซตของสบั เซตท้งั หมดของเซต A เรยี กว่าเพาเวอรเ์ ซตของเซต A คอื

P(A) { ,{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2, 3},{1,2, 3}

ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนด A = { } = จงหา P(A)
วธิ ที า

ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนด A = {3} จงหา 2. n[P[P(A)]]

1. P[P(A)]

ตัวอยา่ งที่ 4 2. กาหนด A = {2, 3, 4} จงหา P({2,3,4})
1. กาหนด A = {4, 6} จงหา P({4,6})

ครวู ลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 16

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

สมบตั ิทีส่ าคัญของเพาเวอรเ์ ซต
กาหนด A และ B เปน็ เซตจากัด

1. ถา้ (A) = k แลว้

1.1 n[P(A)] = 2n(A) 2k

1.2 n[P(P(A))] 22k

1.3 n[P(P(P(A)))] 222k

2. จานวนสมาชิก P(A) จะมีจานวนสมาชิกเปน็ ทวีคูณของ 2 (ยกเว้น 1) ดังนี้

n(A) 0 1 2 3 4 5 6 7 8… k

n[P(A)] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 … 2k

จานวนสมาชกิ 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … …

3. P(A) จะไม่มโี อกาสเป็นเซตวา่ งเลย ไม่ว่า A จะเปน็ เซตใด ๆ กต็ าม

4. P( ) { }

5. P(A) เสมอ
6. A P(A) เสมอ
7. ถ้า A = B แลว้ P(A) = P(B)
8. สมาชิกของ P(A) ต้องเป็นเซต เท่านน้ั
9. ถา้ A เปน็ เซตจากัดแลว้ P(A) เป็นเซตจากดั
10. A P(A) เลย ไม่วา่ A เปน็ เซตใด ๆ กต็ าม

P(A) กบั Subsets
1. A B ก็ต่อเมอ่ื P(A) P(B)
2. P(A) เสมอ
3. ถ้า A B แลว้ n[P(A)] n[P(B)]

4. {A} P(A) เสมอ และ {P(A)} P[P(A)]

ครวู ิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 17

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

แบบฝกึ หดั 4

 คาชีแ้ จง : จงหาเพาเวอร์เซตของเซตท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้

1. A = {5} …………………………………………………………………………………….
2. B = { } …………………………………………………………………………………….
3. C = {5, 6} ………………………….………………………………………………………
4. D = {{3}} ………………………….………………………………………………………
5. E = {x | x2 = 4} ………………….………………………………………………………..
6. F = {1, 3, 5} ………………….………………………………………………………..
7. G = { ,{ }} ……...……………………………………………………………………

8. H = { x I | 0 < x < 1} ………………………………………………………………….

9. เซต A ท่มี สี มาชิก n ตวั ………………………………………………………………….
10. กาหนด A {x | x2 9x 20 0} ………………………………………………..

 คาชแ้ี จง : กาหนด A = {6, 7, 8} จงพิจารณาและเติมสญั ลักษณ์ หรือ ลงในช่องวา่ ง

1. {6} ……… A 3. {7} ……… A 5. ……… A 7. {6,7,8} ……… A

2. {6} ……… P(A) 4. {7} ……… P(A) 6. ……… P(A) 8. {6,7,8} ……… P(A)

 คาชีแ้ จง : จงเขยี นเครื่องหมาย  หนา้ ข้อท่ีถูก และเครื่องหมาย × หน้าขอ้ ท่ผี ิด

…..… 1. เพาเวอรเ์ ซตของเซตทุกเซตไมเ่ ปน็ เซตวา่ ง …..… 6. P(A) P(B) กต็ อ่ เม่ือ A B

…..… 2. P(A) เม่อื A เปน็ เซตจากัด …..… 7. ถา้ A แล้ว A P(A)

…..… 3. P(A) เม่อื A เปน็ เซตจากัด …..… 8. มเี ซต A ท่ที าให้ P(A) =

…..… 4. A P(A) เม่อื A เปน็ เซตจากดั …..… 9. มีเซต A ท่ีทาให้จานวนสมาชิกของ

เซต P(A) = 26

…..… 5. P( ) { } …..… 10. ถ้า P(P(P(A))) มีสมาชิก 16 ตัว

แลว้ A มีสมาชิก 1 ตวั

 คาชแ้ี จง : จงหา A เมอ่ื กาหนดเง่อื นใหด้ งั ต่อไปนี้

1. P(A) = { ,{4},{2},{1, 2} } ………………………………………………………..

2. P(A) = { , P( ),{P( )}, P(P( ))} ………………………………………………..

ครวู ลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 18

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

1.5 แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพแทนเซตจะชว่ ยให้ความคิดเกี่ยวกบั เซตชัดเจนขึน้ แผนภาพที่ใช้เขียนแทนเซตนี้
เรยี กวา่ แผนภาพของ เวนน์-ออยเลอร์ การเขยี นแผนภาพมักจะแทน U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูป
ปิดใด ๆ สว่ นเซตอ่นื ๆ ซ่ึงเป็นสับเซตของ U นั้น อาจเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปท่ีมีพ้ืนท่ีจากัด
ใด ๆ ดงั รปู

A U B U
B C A C

รูป 1 รูป 2
รูป 1 และ รปู 2 แสดงวา่ เซต A, เซต B และเซต C ตา่ งก็เป็นสบั เซตของ U
รูป 1 แสดงว่า B A และเซต A กบั เซต C มีสมาชกิ บางสว่ นรว่ มกัน
รูป 2 แสดงว่า เซต A, เซต B และเซต C ไม่มสี มาชกิ รว่ มกนั เลย
เซตท่ไี มม่ ีสมาชกิ ร่วมกนั เลยเรียกวา่ เซตไมม่ สี ว่ นรว่ ม (disjoint sets)

สังเกตไดว้ ่า
 ถา้ เซตสองเซต ไมม่ สี ่วนซ้ากนั จะวาดออกมาได้เป็นสองวง แยกจากกัน

 ถา้ เซตสองเซต มบี างส่วนซา้ กนั จะวาดออกมาไดเ้ ป็นสองวงท่ีมีสว่ นซ้อนกนั

 ถา้ เซตหน่ึง เป็นสับเซต ของอีกเซต จะวาดออกมาได้เปน็ วงหน่ึง อยูข่ ้างในอกี วง

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 19

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6}
จงเขียนแผนภาพแทนเซตทั้งสองน้ี

วธิ ีทา จากสง่ิ ที่กาหนดให้ เซต A และเซต B มีสมาชิกรว่ มกันคอื 3 และ 4 เขียนแผนภาพแทน
เซต A และเซต B ได้ดงั น้ี

U
AB

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ A = {2,4,6}, B = {4,8,9,7} และ C = {0,2,4,6,8,9}
จงเขยี นแผนภาพตามเง่ือนไขดังกลา่ วข้างตน้

วิธีทา

U

ครวู ลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 20

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

แบบฝึกหัด 5

 คาช้ีแจง : จงเขียนแผนภาพแทนความสมั พันธข์ องเซต A, B, C และ D เม่ือกาหนด

U = {0, 1 ,2, 3, 4, …, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7, 8}
C = {3, 5, 7, 9}
D = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}

U

 คาชี้แจง : จากแผนภาพทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้ U
B
A

36 2 1
48 5
79

10

จงหา

U = …………………………………………………………………………..…….
A = …………………………………………………………………………..…….
B = …………………………………………………………………………..…….

ครูวลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 21

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

 คาชแ้ี จง : จงเขียนแผนภาพแทนเซตต่อไปน้ี
1. P Q แต่ Q P

U

2. R T และ S T แต่ R กับ S ไม่มีสมาชิกร่วมกันและสมาชิกบางตัวของ T ไม่อยู่ใน R
และ S

U

3. A B C และ A B C

U

4. A B และ A C และ B C,C B

U

ครูวลิ าวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 22

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

2. การดาเนนิ การระหว่างเซต

การดาเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ข้ึนมาจากเซตที่กาหนดให้ การดาเนินการของเซต
แบง่ ออกเป็น 4 ชนดิ คอื

1. ยูเนยี น (Union)
2. อินเตอรเ์ ซกชนั (Intersection)
3. ผลตา่ งระหวา่ งเซต (Difference)
4. คอมพลเี มนต์ (Complement)

2.1 ยูเนยี น (Union)

บทนยิ าม กาหนด A และ B เป็นเซตใด ๆ
1) A ยเู นยี น B คอื เซตทมี่ ีสมาชกิ ทม่ี าจากเซต A หรอื เซต B หรอื จากท้ังสองเซต
2) A ยูเนยี น B เขียนแทนดว้ ย
หรือ หรือ x เปน็ สมาชกิ ของทงั้ สองเซต}

หมายเหตุ ในทางคณิตศาสตร์ “หรือ” หมายถึง อย่างใดอยา่ งหนึ่ง หรอื ทัง้ สองอย่าง

ตัวอย่างท่ี 1 ให้ A = {2, 3, 4} และ B = {3, 4, 8, 9} จงหา A B
วธิ ีทา จะเห็นว่า 2 เป็นสมาชกิ ทอ่ี ยู่ในเซต A เท่านน้ั

8, 9 เปน็ สมาชิกทอ่ี ย่ใู นเซต B เท่าน้นั
3, 4 เป็นสมาชิกทีอ่ ยใู่ นเซต A และเซต B
ดงั นัน้ A B {2, 3, 4, 8,9}

ตวั อย่างที่ 2 ให้ M = {1, 2, 3, 4, …} และ N = {1, 2, 3, 4} จงหา M N

วิธีทา …………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 23

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

ในทานองเดยี วกัน การใชแ้ ผนภาพแสดงเก่ียวกบั ผลของยเู นียน เราสามารถกระทาได้ดงั น้ี
ใหส้ ว่ นที่เป็น A B คือ ส่วนท่แี รเงาในภาพ

U A BU
AB

กรณี A และ B
ไม่มีสมาชกิ รว่ มกัน

B U A U
A B

เมือ่ เม่ือ

สมบัตขิ องการยเู นียน
กาหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ
1. A B B A (สมบัตกิ ารสลับที่)
2. (A B) C A (B C) (สมบัติการเปลย่ี นกลมุ่ ได้)

3. A A A
4. A A A
5. A U U U A

6. A A B และ B A B
7. A B ก็ต่อเมอ่ื A B B
8. A B แล้ว A และ B

ครูวลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 24

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

2.2 อนิ เตอรเ์ ซกชนั (Intersection)

บทนิยาม กาหนด A และ B เป็นเซตใด ๆ
1) A อนิ เตอรเ์ ซกชนั B คือ เซตทมี่ ีสมาชกิ อยูท่ ้ังในเซต A และเซต B (อยทู่ ั้งสองเซต)
2) A อนิ เตอร์เซกชนั B เขยี นแทนดว้ ย
และ

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้ A = {2, 3, 4} และ B = {3, 4, 8, 9} จงหา A B
วิธีทา จะเห็นวา่ 3, 4 เป็นสมาชิกทีอ่ ยใู่ นเซต A และเซต B

ดงั นั้น A B {3,4}

ตัวอยา่ งที่ 2 ให้ A = {0,1,2,3}, B = {0,1, 2,3,4} และ C = {0} จงหา A B, A C และ B C

วิธที า …………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

ตัวอยา่ งที่ 3 ให้ A = {0, 1, 2, 3} และ B = {4, 5} จงหา A B

วิธีทา …………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

ในทานองเดยี วกนั การใช้แผนภาพแสดงเกี่ยวกบั ผลของอนิ เตอรเ์ ซกชันเราสามารถกระทาได้ดงั นี้
ใหส้ ่วนทเี่ ป็น A B คอื ส่วนทีแ่ รเงาในภาพ

A UA BU B U
B

A

กรณี A และ B เมือ่
ไม่มสี มาชิกรว่ มกัน

ครวู ลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 25

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

2.3 ผลตา่ งระหวา่ งเซต (Difference)

บทนยิ าม กาหนด A และ B เปน็ เซตใด ๆ

1) ผลต่างของเซต A และเซต B คือ เซตที่มสี มาชกิ อยู่ในเซต A แตไ่ มอ่ ยูใ่ นเซต B

2) ผลต่างของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย (อา่ นวา่ A ลบ B)

และ หรือ แต่

ข้อควรจา
1) A – B คือ อยูใ่ นเซต A แตไ่ มอ่ ยู่ในเซต B
( แต่ )
2) B – A คอื อยูใ่ นเซต B แตไ่ มอ่ ยใู่ นเซต A
( แต่ )

3)

ในทานองเดียวกนั การใชแ้ ผนภาพแสดงเกี่ยวกบั ผลต่างระหวา่ งเซต เราสามารถกระทาไดด้ งั น้ี
ให้สว่ นท่ีเป็น A – B และ B – A คือ ส่วนทแ่ี รเงาในภาพ

UU
A BA
B

ตัวอย่างท่ี 1 ถา้ A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6, 7} จงหา A – B และ B – A
วิธีทา จะได้ A – B =

B–A=

ตวั อยา่ งที่ 2 ให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
B = {2, 3, 8, 9}

จงเขยี น A B แบบแจกแจงสมาชิก และเขยี นแผนภาพแทนเซต U, A, B, A B

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 26

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

U
AB

2.4 คอมพลเี มนต์ (Complement)
บทนยิ าม กาหนด U เปน็ เอกภพสัมพัทธ์ และ A เป็นเซตใด ๆ
1) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (U)
แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชิกของเซต A
2) คอมพลีเมนตข์ องเซต A เขียนแทนดว้ ย
และ

ตวั อย่างที่ 1 ให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0, 2} จงหา A'
วิธีทา จะได้ A'
ตวั อยา่ งที่ 2 ให้ U = {0, 1, 2, 3, …} และ C = {0, 2, 4, 6, …} จงหา C'
วิธที า …………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

ในทานองเดียวกัน การใช้แผนภาพแสดงเก่ียวกับคอมพลีเมนต์ เราสามารถกระทาได้ดงั น้ี
ให้ส่วนท่เี ปน็ A' คอื ส่วนที่แรเงาในภาพ

U
A

ครวู ิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 27

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

แบบฝกึ หดั 6

คาชแ้ี จง : ขอ้ ใดตอ่ ไปนเ้ี ป็นจรงิ และข้อใดต่อไปน้ีเปน็ เท็จ
กาหนด A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ในเอกภพสัมพทั ธ์ U เดยี วกัน

1. A A = A …..…… 2. A A = A ……..… 3. A U = A ……..…

4. A U = U …..…… 5. A = A ……..… 6. A = ……..…

7. A B = B A …..…… 8. A B = B A …..……

9. (A B) C = A (B C) …..…… 10. (A B) C = A (B C) …..……

11. A (B C)= (A B) (A C) …..…… 12. A (B C) = (A B) (A C) ….…

คาช้แี จง : กาหนด U = {0, 2, 3, … ,9}, A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9} และ

C = {1, 4, 5, 7} จงเขยี นเซตต่อไปน้แี บบแจกแจงสมาชิก

1. A B = 13. A' =

2. B C = 14. B' =

3. A B= 15. C' =

4. B C = 16. A' B' =

5. (A B) C = 17. (A B)' =

6. A (B C) = 18. A' B' =

7. (A B) C = 19. (A B)' =

8. A (B C)= 20. A B =

9. A (B C) = 21. A B' =

10. (A B) (A C) = 22. B C =

11. A (B C)= 23. B C' =

12. (A B) (A C) = 24. (B C)' =

ครวู ิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 28

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

คาช้แี จง : ข้อใดตอ่ ไปน้เี ปน็ จริง และข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นเท็จ
กาหนด A และ B เปน็ เซตใด ๆ ในเอกภพสมั พทั ธ์ U เดียวกัน

1. (A')' = A …..…… 2. U' = ……..…
4. A B = A B' …..……
3. ' U ……..… 6. A' B' = (A B)' ……..…
…..……
5. A' B' = (A B)' ……..… 8. ถา้ A B แลว้ A B = …..……
10. ถา้ A B แล้ว A B =
7. ถา้ A B = แล้ว A B …..……

9. ถา้ A B = แล้ว A B …..……

11. A = A …..…… 12. A = ……..…

13. ถา้ A B = A แลว้ A B = …..…… 14. ถ้า A B = แลว้ A B = A …..…

15. A (A B)= A B …..……

คาช้ีแจง : จากแผนภาพขา้ งลา่ ง จงแรเงาส่วนที่แทนเซตตอ่ ไปน้ี

1. A' B ' 2. A' B' 3. (A B)'

UUU
A BA BA B

4. A – B 5. (A B)' 6. A B' U
A B
U U
BA BA

ครวู ิลาวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 29

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

7. (A B) C U 8. A (B C) U
A B A B

C U C U
9. (A B) C B 10. A (B C) B

A A

C U C U
11. A (B C) B 12. (A B) (A C) B

A A

C U C U
13. A (B C) B 14. (A B) (A C) B

A A

CC

ครูวิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 30

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

3. กำรแก้ปญั หำโดยใชเ้ ซต

จำนวนสมำชิกของเซตจำกัด

จานวนสมาชกิ ของเซตจากัด A ใด ๆ จะเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ n(A)
พิจารณาเซตจากัดต่อไปน้ี

A 3 U
2 5
4 B
6 1
7

A = {2, 3, 4, 5, 6} , n(A) = 5

B = {1, 3, 5, 7} , n(B) = 4

A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , n(A B) 7

A B {3, 5} , n(A B) 2

นอกจากจะหาจานวนสมาชิกของเซตได้โดยการนับแล้ว ในการหาจานวนสมาชิกของเซต
A B ยงั สามารถทาได้โดยใช้หลกั เกณฑ์ต่อไปน้ี

ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตจากัด จานวนสมาชกิ ของเซต A Bหรอื n(A B) หาได้จาก

และในกรณีทเี่ ซต A และเซต B เป็นเซตท่ีไมม่ สี มาชกิ รว่ มกันเลย จะไดว้ า่

n(A B) 0

และ n(A B) n(A) n(B)
ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจากัด จานวนสมาชิกของเซต A B C หรือ

n(A B C)

หาได้จาก

ครวู ลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 31

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

สมบัตขิ องกำรดำเนินกำรของเซต

ให้ A, B และ C เป็นสบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์ U จะได้

1) A B B A
AB BA

2) (A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)

3) A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C)

4) (A B)' A' B'
(A B)' A' B'

5) A B A B'
6) A' U A

จากสมบัติข้อ 2) (A B) C A (B C) ทาให้สามารถเขียนแทน (A B) C และ
A (B C) ด้วย A B C ได้โดยไม่มีความกากวม และเน่ืองจาก (A B) C A (B C) ทาให้
สามารถเขียนแทน (A B) C และ A (B C) ด้วย A B C

หมำยเหตุ จะไม่เขียน A B C เพราะโดยทั่วไป (A B) C A (B C) ถ้าเป็นตัวดาเนินการ
ต่างชนิดกัน จะตอ้ งใสว่ งเล็บเสมอ เพือ่ บอกวา่ ตอ้ งดาเนินการระหวา่ งเซตสองเซตใดกอ่ น

ในท่ีนี้จะกล่าวถึงเฉพาะการนับจานวนสมาชิกของเซตจากัด ซึ่ง กระบวนการการนับสมาชิกของเซตนั้น
จะอาศัย 2 อยา่ ง คอื แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ และสูตรพื้นฐานของจานวนสมาชิกของการดาเนนิ การระหว่างเซต

สตู รพนื้ ฐำน

1. n A B n A n B n A B

2. n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

3. n A n A' n U

4. n A B n A n A B

สตู รเพมิ่ เตมิ n 1 n 1 A1 A2

A1 A2 A3 An Ai Ai Aj Ai Aj Ak An

i 1 i<j i<j<k

ครูวิลาวัณย์ สุภาวรรณ์ | 32

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

ตวั อยำ่ งที่ 1 จากการสารวจจานวนลกู ค้าในรา้ นค้าแห่งหนึ่งพบว่า ในวันที่ทาการสารวจมีลูกค้าที่ซื้อสินค้า ท้ังหมด

55 คน เปน็ ผู้ท่ีซอ้ื สนิ ค้าทีเ่ ปน็ ของใช้ จานวน 38 คน และมีผู้ซื้ออาหารสาเร็จรูป 22 คน อยากทราบว่ามีลูกค้าท่ีซื้อ
สน้ิ ค้าทงั้ สองประเภทคอื ที่เป็นของใช้และอาหารสาเร็จรปู ก่ีคน
วิธที ำ ให้ U แทน เซตของลูกคา้ ในร้านคา้ ในวันท่ีทาการสารวจ

A แทน เซตของลูกค้าที่มาซ้ือสนิ ค้าทเี่ ป็นของใช้

B แทน เซตของลูกค้าทีซ่ อ้ื สินค้าที่เปน็ อาหารสาเร็จรูป

AB แทน เซตของลกู คา้ ทซ่ี อ้ื สินคา้ ในร้าน
AB แทน เซตของลูกคา้ ทซ่ี อ้ื สนิ ค้าทัง้ สองประเภท
n(A B) แทน จานวนลกู ค้าทซ่ี ื้อสินค้าในรา้ นประเภทใดประเภทหน่ึงหรือทัง้ สองประเภท
n(A B) แทน จานวนลูกคา้ ท่ซี ือ้ สนิ ค้าทั้งสองประเภท

จะได้ n(A B) = 55 U
AB
n(A) = 38
n(B) = 22

จาก n A B n A n B n A B

จะได้ n A B n A n B n A B

= 38 + 22 – 55 = 5

นนั่ คือ มลี ูกคา้ ท่ีซ้ือสินคา้ ทัง้ สองประเภท 5 คน
ตัวอย่ำงที่ 2 ในการสุ่มตัวอย่างจากนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาตอนปลาย จานวน 1,000 คนเพ่ือสอบถาม ข้อมูล
เกย่ี วกับการศกึ ษาตอ่ ปรากฏวา่ มผี ู้ต้องการเรยี นตอ่ จานวน 370 คน ต้องการทางาน 550 คน และตอ้ งการศึกษาต่อ
หรอื ตอ้ งการทางานจานวน 850 คน อยากทราบวา่ มผี ู้ที่ตอ้ งการศึกษาต่อและตอ้ งการทางานดว้ ยท้ังหมดก่คี น
วธิ ที ำ ให้ U แทน เซตของนักเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาตอนปลาย

A แทน เซตของนักเรียนทตี่ ้องการศกึ ษาต่อ
B แทน เซตของนกั เรยี นท่ีต้องการทางาน
A B แทน เซตของนักเรียนที่ตอ้ งการศกึ ษาตอ่ หรือทางานหรือทัง้ ทางานและเรียน
A B แทน เซตของนักเรียนท่ีตอ้ งกาศกึ ษาต่อและตอ้ งการทางานไปด้วย

ครวู ิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 33

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

จะได้ n(A) = 370 คน A U
n(B) = 550 คน B

n(A B) = 850 คน

ถา้ จานวนนกั เรียนท่ตี ้องการศึกษาต่อและต้องการทางานไปดว้ ยเปน็ x คน
ดงั นัน้ n(A B) = x
จาก n A B n A n B n A B
จะได้ ………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

ดงั นนั้ นักเรียนท่ตี ้องการศกึ ษาต่อและตอ้ งการทางานไปดว้ ยมีทง้ั หมด ………………. คน

ตัวอย่ำงท่ี 3 ในการสอบถามนักเรียนโรงเรียนแห่งหน่ึงเก่ียวกับความชอบในการเล่นกีฬา ปรากฏว่า มีนักเรียนที่
ชอบกีฬา ฟุตบอล, วอลเล่ย์บอล, เปตอง จานวน 30%, 40% และ 50% ตามลาดับ โดยมีนักเรียนท่ีชอบฟุตบอล
และวอลเล่ย์บอล 10%, ชอบฟุตบอลและเปตอง 15%, ชอบวอลเลย์บอลกับเปตอง 20%, ชอบทั้งสามชนิดกีฬา
จานวน 3% อยากทราบวา่ 1) นักเรียนที่ชอบเล่นกีฬาอย่างนอ้ ยหน่งึ ชนิดมกี เ่ี ปอร์เซน็ ต์

2) นกั เรียนที่ไม่เลน่ กีฬาท้ังสามชนิดมีกีเ่ ปอรเ์ ซ็นต์
วธิ ีทำ ให้ U แทน เซตของนักเรยี นในโรงเรียนแหง่ น้ี

A แทน เซตของนักเรียนท่ชี อบเลน่ กฬี าฟตุ บอล
B แทน เซตของนกั เรยี นทช่ี อบเล่นกีฬาวอลเลย่ บ์ อล
C แทน เซตของนกั เรยี นที่ชอบเลน่ กีฬาเปตอง
A B แทน เซตของนกั เรียนทช่ี อบเลน่ กฬี าฟตุ บอลและวอลเล่ยบ์ อล
A C แทน เซตของนักเรียนท่ีชอบเล่นกฬี าฟุตบอลและเปตอง
B C แทน เซตของนกั เรยี นทีช่ อบเลน่ กฬี าวอลเลยบ์ อลและเปตอง
A B C แทน เซตของนักเรียนที่ชอบเลน่ กฬี าทง้ั สามชนดิ
A B C แทน เซตของนกั เรียนที่ชอบเล่นกีฬาอยา่ งน้อยหน่ึงชนดิ
(A B C)' แทน เซตของนักเรียนที่ไม่ชอบเลน่ กฬี า

ครวู ลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 34

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

U
AB

C

สมมตสิ อบถามนักเรียนจานวน 100 คน (สมมติจากการคิดเป็นเปอร์เซน็ ต์) nA B C
จะได้ n(U) = 100 คน,

n(A) = 30 คน,
n(B) = 40 คน,
n(C) = 50 คน,
n(A B) = 10 คน,
n(A C) = 15 คน,
n(B C) = 20 คน,
n(A B C) = 3 คน
1) จาก n A B C n A n B n C n A B n A C n B C

= ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

ดังนัน้ นักเรยี นที่ชอบเล่นกฬี าอยา่ งนอ้ ยหนง่ึ ชนิดมี …………………….. เปอร์เซ็นต์

2) เนอ่ื งจาก = …………………………………………………………………………..

= …………………………………………………………………………..

= …………………………………………………………………………..

ดงั นนั้ นกั เรียนท่ีไมเ่ ลน่ กีฬาทั้งสามชนิดมี ………………………. เปอรเ์ ซน็ ต์

ครูวิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 35

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)
แบบฝกึ หดั 7

1. ถ้า A = {1, 2, 3, …} และ B = {{1,2}, {3,4,5}, 6, 7, 8, …} แล้ว (A B) (B A)มีจานวนสมาชิก
เท่าใด

2. ถา้ n A B 3 และ n A B 5 โดยท่ี A และ B มีจานวนสมาชิกเทา่ กนั แล้ว A – B มีจานวนสมาชิก
ก่ตี วั

ครวู ิลาวณั ย์ สุภาวรรณ์ | 36

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

จงหาคาตอบของโจทย์ปัญหาต่อไปน้ี
1. ในช้ันเรยี นแหง่ หนง่ึ มนี กั เรียนชาย 40 คน ปรากฏว่า 8 คน ไม่เล่นกีฬาชนิดใดเลย แต่ 25 คน เล่นฟุตบอล และ
20 คน เลน่ วอลเลยบ์ อล จงหาว่านักเรยี นท่เี ลน่ ฟุตบอลอยา่ งเดียวกีค่ น
วธิ ที ำ

2. โรงพยาบาลแห่งหนึ่งทาการสารวจข้อมูลจากผู้ป่วยที่มีอายุเกิน 40 ปี จานวน 1,000 คน ปรากฏว่ามีคนสูบบุหร่ี
312 คน มีคนเป็นมะเร็งปอด 180 คน และมี 600 คนไม่สูบบุหร่ีและไม่เป็นมะเร็งปอด จงหาว่า มีสูบบุหรี่และเป็น
มะเรง็ ปอดจานวนเท่าใด และคิดเป็นรอ้ ยละใดของจานวนผ้สู ูบบุหรท่ี ้งั หมด
วิธที ำ

ครูวิลาวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 37

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

3. แดนเปดิ อู่ซ่อมรถยนต์ ในเดือนหนึ่งมีรถเข้ามาตรวจซ่อมบารุงทั้งหมด 50 คัน พบว่ามี 23 คัน ต้องซ่อมเบรก มี
34 คนั ต้องซอ่ มระบบทอ่ น้าไอเสยี และมี 6 คนั ท่ีมีสภาพปกติ จงหา

3.1 จานวนรถยนตท์ ตี่ อ้ งซอ่ มทัง้ เบรกและระบบทอ่ น้าไอเสยี
3.2 จานวนรถยนต์ท่ีต้องซอ่ มเบรก แตไ่ มต่ อ้ งซ่อมระบบทอ่ น้าไอเสีย
วิธที ำ

ครูวิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 38

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

4. ในการสอบของนักเรียนชัน้ ม.ปลายห้องหนึ่ง พบว่ามีผู้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48 คน
วิชาภาษาไทย 45 คน และมีผู้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 15 คน ผู้ที่สอบผ่านวิชาสังคมศึกษาและ
ภาษาไทยมี 13 คน ผู้ท่ีสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยมี 7 คน และมีผู้สอบผ่านท้ังสามวิชา 5 คน จงหา
จานวนผ้ทู ี่สอบผา่ นอย่างน้อยหนงึ่ วิชา
วธิ ที ำ

ครูวลิ าวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 39

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 บทที่ 1 | เซต (SET)

5. จากการสารวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย 3,000 คน มีผู้ถือหุ้นของบริษัท A, บริษัท B และ

บรษิ ทั C ดังนี้

ผู้ถือหุ้นบรษิ ัท A 200 คน

ผถู้ อื หุน้ บรษิ ทั B 250 คน

ผู้ถอื หุ้นบรษิ ัท C 300 คน

ผถู้ อื หุ้นบริษทั A และบริษัท B 50 คน

ผู้ถอื หุ้นบรษิ ทั B และบริษทั C 40 คน

ผูถ้ ือหุ้นบรษิ ัท A และบริษทั C 30 คน

และไม่มีผู้ทถ่ี อื หุน้ ทัง้ สามบรษิ ัทพร้อมกัน

จากจานวนผู้ถือห้นุ ทสี่ ารวจ ผถู้ อื หุน้ บรษิ ัทอน่ื ๆ ท่ีไม่ใช่หนุ้ ของสามบริษัทนี้มจี านวนเทา่ ใด

วธิ ีทำ

ครวู ลิ าวัณย์ สุภาวรรณ์ | 40

เอกสารประกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

6. ในการสารวจผู้ใช้บรกิ ารขนส่ง พบว่า คน

มผี ใู้ ชบ้ ริการขนสง่ ทางรถไฟ 100 คน

มผี ู้ใชบ้ รกิ ารขนสง่ ทางรถยนต์ 150 คน

มีผใู้ ชบ้ รกิ ารขนสง่ ทางเรือ 200 คน

มีผใู้ ชบ้ รกิ ารขนส่งทางรถไฟและรถยนต์ 50 คน

มีผู้ใช้บริการขนสง่ ทางรถยนต์และเรอื 25 คน

ไมม่ ีผใู้ ชบ้ ริการขนส่งทางรถไฟและเรอื

ไมม่ ผี ้ใู ชบ้ รกิ ารขนสง่ ทั้งทางรถไฟ รถยนต์ และเรือ

มีผูใ้ ชบ้ รกิ ารทางขนสง่ แบบอืน่ ๆ ทไี่ ม่ใช่ทางรถไฟ รถยนต์ และเรือ 30

จงหาวา่ จานวนผใู้ ชบ้ รกิ ารขนส่งที่เขา้ รว่ มการสารวจมีทั้งหมดกคี่ น

วิธีทำ

ครวู ลิ าวัณย์ สภุ าวรรณ์ | 41

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 บทท่ี 1 | เซต (SET)

7. จากการสารวจความนิยมในการรับประทานผลไมข้ องประชาชน 1,000 คน พบว่า
720 คน ชอบทเุ รียน
605 คน ชอบมงั คุด
586 คน ชอบมะมว่ ง
483 คน ชอบทเุ รียนและมงั คุด
470 คน ชอบมังคดุ และมะม่วง
494 คน ชอบทุเรยี นและมะม่วง
400 คน ชอบผลไม้ทงั้ สามชนดิ

จงหา 1) จานวนคนที่ชอบมงั คุดเพียงอย่างเดียว
2) จานวนคนทชี่ อบผลไม้อยา่ งน้อยหนึ่งชนิดใน 3 ชนิดน้ี
3) จานวนคนที่ไมช่ อบผลไมช้ นดิ ใดเลยใน 3 ชนดิ นี้

วิธีทำ

ครูวิลาวณั ย์ สภุ าวรรณ์ | 42