ภาคตัดกรวย (พาราโบลา)

บทเรยี น เรอื่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สรมิ ทักษะ 2 1

พาราโบลา (Parabola)

บทนิยาม พาราโบลา (Parabola) คอื เซตของจุดท้งั หมดในระนาบซง่ึ ห่างจากจุดที่ตรงึ อยกู่ ับท่ีจุดหนงึ่
และเส้นตรงทตี่ รึงอยู่กับทเ่ี สน้ หนง่ึ เป็นระยะทางเทา่ กนั

จดุ ทีต่ รึงอยกู่ ับท่ี เรยี กว่า
เส้นตรงทต่ี รึงอยู่กบั ท่ี เรยี กว่า

Directrix

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ กุ วนั สรา้ งสรรคค์ วามคิด พฒั นาชีวิตท่ีสดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สรมิ ทักษะ 2 2

1. พาราโบลาที่มจี ุดยอดอย่ทู จ่ี ุดกาเนดิ และแกน เป็นแกนของพาราโบลา

มี 2 ลักษณะ ดงั นี้
1.1 การหาสมการรูปแบบมาตรฐานของพาราโบลาทเ่ี ปน็ เสน้ โค้งหงายขน้ึ

ถา้ พาราโบลามีโฟกัสอยูท่ ่ี บนแกน

เม่อื และกาหนดให้ เปน็ จดุ ใด ๆ บน

พาราโบลา ตั้งฉากกับเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ ที่จุด

ดังน้ัน จากบทนยิ ามของพาราโบลา จะไดว้ า่

1.2 การหาสมการรูปแบบมาตรฐานของพาราโบลาที่เปน็ เส้นโคง้ ควา่ ลง นกั เรียนลองทาด้วยตนเองนะ

ถ้าพาราโบลามีโฟกัสอยทู่ ่ี บนแกน เมือ่

และกาหนดให้ เป็นจุดใด ๆ บนพาราโบลา

ตง้ั ฉากกบั เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ ทจี่ ดุ

ดังน้ัน จากบทนิยามของพาราโบลา จะไดว้ า่

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวติ ท่ีสดใส

บทเรียน เร่ือง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 3
2. พาราโบลาท่มี ีจุดยอดอยทู่ ่จี ดุ กาเนดิ และแกน เปน็ แกนของพาราโบลา

2.1 การหาสมการรูปแบบมาตรฐานของ 2.2 การหาสมการรปู แบบมาตรฐานของ

พาราโบลาที่เปน็ เสน้ โคง้ เปิดไปทางดา้ นขวา พาราโบลาที่เป็นเสน้ โคง้ เปดิ ไปทางด้านซา้ ย

สมการรูปมาตรฐานของพาราโบลาท่ีมีจดุ ยอด (0, 0)

x2 4cy y2 4cx

V(0, 0) V(0, 0)

F(0, c) F(c, 0)

สมการไดเรกตริกซ์ y c สมการไดเรกตริกซ์ x c

c0 c0 c0 c0

Y YY Y

X X XX

หมายเหตุ เนน้ รปู สมการทีจ่ าแนกตามลกั ษณะของกราฟ ไม่ควรท่องสตู รต่าง ๆ มากเกินไป ขอใหเ้ รยี นดว้ ยความ
เข้าใจอย่างถอ่ งแท้และลึกซึ้งนะครับ

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วัน สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวิตที่สดใส

บทเรียน เรื่อง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 4

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาสมการไดเรกตรกิ ซ์และสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่
และโฟกสั ท่ี

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาสมการไดเรกตริกซแ์ ละสมการพาราโบลาทมี่ ีจุดยอดที่
และโฟกัสที่

ตัวอย่างที่ 3 กาหนดสมการพาราโบลา
จงหาจดุ ยอด โฟกัส สมการไดเรกตรกิ ซ์ พร้อมเขียนกราฟ

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วัน สรา้ งสรรคค์ วามคดิ พฒั นาชีวติ ท่สี ดใส

บทเรยี น เรอ่ื ง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สรมิ ทกั ษะ 2 5

ตวั อย่างที่ 4 จงหาโฟกัสและไดเรกตรกิ ซข์ องพาราโบลา แลว้ เขยี นพาราโบลา

ให้ เปน็ จุดตัดของเสน้ ตรง กับสมการไดเรกตริกซข์ องพาราโบลา

ถ้า และ เป็นจดุ ยอดและโฟกัสของพาราโบลาตามลาดับ

แลว้ พนื้ ทข่ี อง เปน็ เท่าใด

เลตสั เรกตัม (Latus Rectum) คอื คอร์ด
ทต่ี ง้ั ฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านโฟกัส

ความยาวเลตสั เรกตัมของพาราโบลา หรือ
ความกวา้ งของพาราโบลา
เท่ากับ หน่วย

เลตัสเรกตมั ช่วยในการ หาความกว้างของพาราโบลา

** บทพสิ จู นค์ วามยาวเลตสั เรกตัม ติดตามได้ในไลน์กลุม่ ประจาวิชานะครับ

รา่ งกราฟ

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวนั สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ทส่ี ดใส

บทเรียน เร่อื ง ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 6

1. พาราโบลาที่มจี ุดยอดอยูท่ ี่จุด และแกนของพาราโบลาขนานแกน

การหาสมการรปู แบบมาตรฐานของพาราโบลาทเ่ี ปน็ เสน้ โค้งหงายและควา่

จากกราฟของ เลื่อนไปในแนวนอน

หน่วย และเลอ่ื นไปในแนวตัง้ หนว่ ย จะได้

สมการของกราฟรูปใหม่ คือ

ในทานองเดียวกัน พาราโบลาทเี่ ปน็ เส้นโคง้ ควา่ ลง มีแกนสมมาตร
ขนานกบั แกน Y และมจี ดุ ยอดอยูท่ ี่ (h, k) จะได้สมการรูปแบบมาตรฐาน ดังนี้

เมือ่

2. พาราโบลาท่มี จี ุดยอดอยู่ทจี่ ุด และแกนของพาราโบลาขนานแกน
การหาสมการรูปแบบมาตรฐานของพาราโบลาทีเ่ ปน็ เส้นโค้งเปิดทางด้านขวาและซ้าย
สาหรบั พาราโบลาที่เป็นเส้นโค้งเปิดไปทางด้านขวาและด้านซา้ ย มแี กนสมมาตรขนานกับแกน X และ
มจี ดุ ยอดอยู่ท่ี (h, k) จะไดส้ มการรปู แบบมาตรฐาน ดังนี้

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทุกวนั สรา้ งสรรค์ความคดิ พัฒนาชีวิตทสี่ ดใส

บทเรียน เร่ือง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 7

ตัวอย่าง
1. จงหาจดุ ยอด โฟกัส และสมการไดเรกตรกิ ซข์ องสมการตอ่ ไปนี้

1.1)
1.2)
1.3)
1.4)

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวนั สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชวี ติ ทีส่ ดใส

บทเรียน เรื่อง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สริมทกั ษะ 2 8
2. จากกราฟตอ่ ไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวิตทีส่ ดใส

บทเรยี น เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสรมิ ทกั ษะ 2 9
ตวั อย่าง จงหาจดุ ยอด โฟกัส และสมการไดเรกตรกิ ซ์ของสมการพาราโบลา

ตัวอย่าง จากกราฟของพาราโบลาต่อไปน้ี จงหาสมการพาราโบลา

V 2, 1 F 2, 1

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคดิ พฒั นาชวี ติ ทส่ี ดใส

บทเรียน เรอ่ื ง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตร์เสรมิ ทกั ษะ 2 10

สมการรูปแบบมาตรฐาน สมการรปู แบบทั่วไป

กระจายกาลังสองสมบูรณ์

สมการรปู แบบมาตรฐาน สมการรปู แบบทั่วไป

การจัดรูปสมการรูปแบบมาตรฐานใหเ้ ปน็ สมการรปู แบบทวั่ ไป
ตัวอย่าง จงเขยี นสมการรปู แบบมาตรฐานตอ่ ไปนใ้ี ห้เปน็ สมการรูปแบบท่วั ไป

ตัวอยา่ ง จงเขยี นสมการรปู แบบมาตรฐานต่อไปน้ีให้เป็นสมการรปู แบบทว่ั ไป

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวนั สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวิตทสี่ ดใส

บทเรยี น เรื่อง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 11

การจดั รูปสมการรปู ท่วั ไปใหเ้ ปน็ สมการรูปมาตรฐาน

สมการ จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตรกิ ซข์ องสมการ
รปู แบบ
ทว่ั ไป

จดั รปู
กาลังสองสมบูรณ์

สมการ
รปู แบบ
มาตรฐาน

จดุ ยอด คือ
โฟกสั คือ
สมการไดเรกตริกซ์ คอื
ตัวอย่าง จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตรกิ ซข์ องสมการ

จดุ ยอด คอื
โฟกสั คอื
สมการไดเรกตริกซ์ คือ

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทุกวัน สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชวี ติ ทส่ี ดใส

บทเรยี น เรอื่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 12

1. จงหาสมการของพาราโบลาและสมการของไดเรกตริกซ์ เมือ่ มีจดุ ยอดอยทู่ ี่จุด (0, 0)

และโฟกัสอยทู่ ี่ (0, 4)
3

2. จงหาสมการของพาราโบลาทีม่ ี y 1 เปน็ เส้นไดเรกตริกซแ์ ละมโี ฟกสั อย่ทู ่ีจุดศนู ย์กลางของวงกลม
ที่มีสมการ x2 y2 6x 6y 17 0

3. จงหาสมการพาราโบลาท่มี ีจดุ ยอดท่ี (2, 3) มีแกนพาราโบลาขนานแกน Y ผา่ นจดุ (4, 5)

4. จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีโฟกัสอยู่ท่ี (0, 4) และจุดยอดอยู่บนเส้นตรง x y 6 0
เส้นไดเรกตริกซข์ นานกับแกน Y

5. จงหาพ้นื ที่ของรูปสามเหล่ยี มทีม่ จี ดุ ยอดมุมจดุ หนึ่งเปน็ จดุ ยอดของพาราโบลา
y2 6y 12x 33 0 และอกี สองจุดเปน็ จดุ ตดั ระหวา่ งพาราโบลากบั เส้นตรง x 50

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วัน สรา้ งสรรคค์ วามคิด พฒั นาชีวิตที่สดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสรมิ ทกั ษะ 2 13

6. จงหาระยะห่างระหว่างจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทมี่ ีลาตัสเรกตัมของพาราโบลา
y2 4y 4x 16 0 เป็นเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางกบั เสน้ ไดเรกตริกซข์ องพาราโบลาน้ี

7. กาหนดพาราโบลามีสมการเปน็ (y h)2 4c(x k) จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

1) จดุ ยอดของพาราโบลานค้ี อื (k, h)

2) กราฟนอี้ าจเป็นกราฟทม่ี ีลักษณะเปดิ ทางดา้ นขวาหรอื เปดิ ทางด้านซ้าย

3) ถา้ c 0 กราฟจะมลี ักษณะควา่

4) ถา้ c ยิง่ มีคา่ มาก ลาตัสเรกตัมจะย่ิงมคี วามยาวมาก

5) ถ้า c ยิ่งมคี า่ มาก ไดเรกตริกซ์จะยง่ิ มคี วามยาวมาก

ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถูกต้องเกยี่ วกบั 5 ขอ้ ความข้างต้น

ก. มขี ้อถูก 1 ข้อ ข. มขี ้อถกู 2 ขอ้

ค. มีขอ้ ถูก 3 ข้อ ง. มีข้อถูก 4

หมายเหตุ ขอใหน้ กั เรียนตดิ ตามเฉลยได้ในไลนก์ ลุ่มประจาวชิ า

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วัน สรา้ งสรรค์ความคดิ พัฒนาชีวติ ทสี่ ดใส

บทเรยี น เรอ่ื ง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 14

แบบฝกึ หัดระคน

1. ข้อใดคอื โฟกัสของพาราโบลา 2x2 4y 0

ก. (21 , 0) ข. ( 1 , 0)
ค. (0, 1) 2

2 ง. (0, 1)
2

2. ขอ้ ใดคอื สมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา x2 7y 0

ก. y 7 ข. x 7
ค. y 4
7 4

ง. x 7

3. ข้อใดคือสมการพาราโบลาทมี่ จี ุดยอดอย่ทู ี่จดุ กาเนิด มีแกน Y เปน็ แกนสมมาตร และผา่ นจดุ (1, 2)

ก. x2 4y ข. 2x2 y

ค. y2 x ง. y2 4x

4. จงพจิ ารณาวา่ กราฟของพาราโบลา x2 20x 8y 156 0 มลี ักษณะตามขอ้ ใด

ก. เปิดทางด้านซ้าย ข. หงาย

ค. เปดิ ทางด้านขวา ง. ควา่

5. สมการพาราโบลาในข้อใดมีจดุ ยอดอย่ทู ี่ ( 3, 1) และมสี มการไดเรกตริกซเ์ ปน็ x 9 0

ก. y2 2y 48x 145 0 ข. y2 2y 48x 145 0

ค. y2 2y 24x 71 0 ง. y2 2y 24x 71 0

ฝึกฝนทาโจทยท์ กุ วัน สรา้ งสรรค์ความคิด พฒั นาชวี ิตท่สี ดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 15

6. สมการในข้อใดที่มโี ฟกสั เป็น ( 3, 17) มีสมการไดเรกตรกิ ซเ์ ป็น 5y 23 0

5

ก. (x 18)2 12 (y 14) ข. 5x2 30x 3y 24 0
55
5

ค. 5x2 30x 12y 3 0 ง. (x 3)2 12(y 4)

7. จานวนจุดตดั ระหวา่ งสมการพาราโบลา x2 2x 2y 23 0

กับสมการวงกลม x2 y2 26y 2x 169 0 เปน็ ไปตามข้อใดตอ่ ไปนี้

ก. 1 จดุ ข. 2 จุด

ค. 3 จุด ง. ไม่เกดิ จดุ ตดั

8. สมการในขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ป็นสมการพาราโบลามีจุดยอดอยู่ทีจ่ ุดกาเนิด มีไดเรกตริกซ์ขนานกบั แกน Y

และไดเรกตริกซ์สัมผสั วงกลม x2 10x y2 2y 17 0

ก. y2 32x ข. y2 32x

ค. x2 8y ง. y2 8x

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวนั สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวติ ทสี่ ดใส

บทเรยี น เรื่อง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สรมิ ทกั ษะ 2 16

9. ให้ L เป็นเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ ยอดของพาราโบลา x2 10x 4y 15 0 และจดุ กาเนิด

ถา้ L ตดั กับไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาที่จดุ (m, n) แลว้ 2m 4n เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

ก. 33 ข. 0

ค. 33 ง. 55

2

10. ขอ้ ใดต่อไปนี้คือสมการเสน้ ตรงท่ีตงั้ ฉากกบั เส้นตรง 2x y 5 และผา่ นจุดกึ่งกลางระหวา่ งโฟกัส

ของพาราโบลา x2 6x 8y 7 0 กับจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม

x2 y2 14x 8y 61 0

ก. y 1 x 11 ข. y 2x 9
2 2 ง. x 2y 9 0

ค. 2y x 3

หมายเหตุ ขอใหน้ ักเรียนติดตามเฉลยได้ในไลน์กลุ่มประจาวชิ า

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วนั สรา้ งสรรค์ความคดิ พฒั นาชีวติ ทีส่ ดใส