เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ภาคตัดกรวย (วงรี)

บทเรียน เรื่อง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสรมิ ทกั ษะ 2 1

ในทางดาราศาสตร์พบว่าโลกและดาวเคราะหต์ ่าง ๆ ทโี่ คจรรอบดวงอาทิตย์น้ันล้วนมีเส้นทางเป็นรูปวงรี โดย
มดี วงอาทติ ยอ์ ยทู่ โ่ี ฟกสั ของวงรีแตล่ ะวง ดวงจนั ทรซ์ ่งึ เปน็ ดาวบรวิ ารของดาวเคราะห์ก็เดินทางรอบดาวเคราะห์เป็นรูป
วงรี แม้ดาวเทียมท่ีมนุษย์ประดิษฐ์ข้ึนก็หมุนรอบโลกเป็นวงรีด้วยเช่นกัน นอกจากน้ีวงรียังได้นาไปใช้ประโยชน์ใน
ชีวิตประจาวันมากมาย สาหรับเอกสารประกอบการเรียนฉบับนี้ นักเรียนจะได้เรียนรู้บทนิยาม
ทั้งนิยามเชิงเรขาคณิตและนิยามเชิงพีชคณิต ท่ีมาของสมการวงรี การจัดรูปสมการจากรูปแบบท่ัวไปให้เป็นรูปแบบ
มาตรฐาน และการหาองคป์ ระกอบตา่ ง ๆ ของวงรีจากสมการ เพื่อเป็นพนื้ ฐานสาหรบั การเรยี นในระดบั สงู ต่อไป

บทนยิ าม วงรี (Ellipse) คือ เซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบ ซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ
ในเซตนน้ั ไปยังจุดทีต่ รงึ อยู่กบั ท่ีสองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้ีต้องมากกว่าระยะหา่ งระหว่าง
จุดท่ตี รงึ อยู่กบั ท่ีทง้ั สองจุด

จุดทีต่ รงึ อย่กู ับท่ีท้งั สองจุด เรยี กว่า

Y
P(x, y)

F1 X
F2

กาหนดให้ นัน่ คอื

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวัน สรา้ งสรรค์ความคดิ พัฒนาชวี ิตทสี่ ดใส

บทเรยี น เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 2

B2 D2
E2

V1 F1 C F2 V2

E1 D1
B1

ขอ้ กาหนด
1. จดุ ทตี่ รึงอยู่กับท่ี 2 จดุ ในบทนิยาม คอื และ เรียกวา่

2. จุดก่ึงกลางระหว่างโฟกสั ทั้งสอง เรียกวา่

3. เส้นตรงท่ีลากผ่านโฟกัสและตัดกบั กราฟวงรีท่จี ดุ กบั เรยี กทั้งสองจดุ นวี้ ่า

4. สว่ นของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจดุ ยอดทั้งสอง เรยี กว่า

5. ส่วนของเส้นตรงท่ตี ั้งฉากกับแกนเอก และตัดกบั กราฟวงรีที่จุด และ เรียกสว่ นของเส้นตรง
ว่า

6. เส้นตรง กบั เรียกวา่ และ
ซ่ึงเป็นเส้นตรงทตี่ ง้ั ฉากกบั แกนเอกและผา่ นโฟกัสไปตัดกับวงรีที่

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สร้างสรรคค์ วามคิด พัฒนาชวี ิตที่สดใส

บทเรียน เรอื่ ง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 3

รปู แบบที่ 1 วงรีมีจดุ ศูนย์กลาง แกนเอกอยูบ่ นแกน

Y

F1( c, 0) F2(c, 0) X

กาหนดให้วงรมี ีจุดศนู ยก์ ลางท่ี 0, 0 แกนเอกอยู่บนแกน X โฟกัสอยู่ท่ี F1 c, 0 และ F2 c, 0

โดย c 0 แสดงว่าระยะทางระหวา่ งโฟกัสทั้งสอง F1F2 2c

ให้ P x, y เป็นจดุ ใด ๆ บนวงรี จากบทนยิ ามของวงรี PF1 PF2 มีค่าคงที่และมีคา่ มากกวา่ 2c

สมมติให้ PF1 PF2 2a เม่ือ a 0 และ 2a 2c ดังนนั้

PF1 PF2 2a

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
(x c)2 y2
2a (x c)2 y2
x2 2cx c2 y2
4a (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 x2 2cx c2 y2
a2[(x c)2 y2 ]
4a2 4cx
a2x2 2a2cx a2c2 a2y2
a2x2 c2x2 a2y2 (a2 cx)2
(a2 c2 )x2 a2y2
a4 2a2cx c2x2
จาก 0 c a ดงั นน้ั a2 c2 0
a4 a2c2 (1)
a2(a2 c2 )

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวัน สร้างสรรค์ความคดิ พัฒนาชวี ติ ทีส่ ดใส

บทเรยี น เรื่อง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 4

จากสมการ (1) จะได้ 1 (2)

x2 y2 a2 จะไดว้ ่า b a
a2 a2 c2

ให้ b2 a2 c2 โดยท่ี b 0 เนื่องจาก b2

จากสมการ (2) จะไดส้ มการวงรเี ป็น

พจิ ารณาสมการวงรที ่หี ามาได้วา่ กราฟของวงรตี ดั แกน X และตดั แกน Y ทจี่ ดุ ใด

หาจุดตดั แกน X หาจดุ ตัดแกน Y

V1 F1 Y
B2

X
C F2 V2

วงรตี ดั แกน X ที่ ............................................................... ซงึ่ เรยี กว่า .................................................
สว่ นของเสน้ ตรงท่ีเช่ือมจดุ ยอด เรยี กว่า .........................................
ความยาวของแกนเอก เท่ากบั ............ หนว่ ย
จุดศูนยก์ ลางของแกนเอก เรียกวา่ .........................................................
วงรีตดั แกน Y ท่ี ........................................................ เรยี กวา่ .....................................................
ส่วนของเส้นตรงทีเ่ ช่ือมจดุ ทั้งสองนี้ เรยี กวา่ .................................
ความยาวของแกนโท เท่ากับ .............. หน่วย

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ท่ีสดใส

บทเรยี น เรอื่ ง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตรเ์ สรมิ ทกั ษะ 2 5

เนน้ ยา้ กนั อกี คร้ัง a, b และ c คอื ระยะทางส่วนใดบา้ ง

Y
B2

V1 F1 C X
B1 F2 V2

รูปแบบที่ 2 วงรีมีจุดศูนย์กลาง แกนเอกอยู่บนแกน
กาหนดให้วงรีมจี ุดศนู ย์กลางที่ (0, 0) โฟกัสอยทู่ ่ี F1(0, c) กับ F2(0, c) โดย c 0

ทาการหาสมการดว้ ยวิธกี ารพิสจู นเ์ ชน่ เดียวกบั รูปแบบท่ี 1 จะได้สมการ ดงั นี้

Y

F2(0, c)

X

F1(0, c)

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วัน สร้างสรรค์ความคิด พัฒนาชวี ติ ท่สี ดใส

บทเรียน เร่อื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 6

 ความเย้ืองศูนยก์ ลาง (eccentricity: e ) เปน็ คา่ ท่ีใช้บอกว่าภาคตดั กรวยรูปน้ัน ๆ มีความเพย้ี นไปจาก
ความกลมมากน้อยเพียงใด โดยเทียบจากรูปวงกลม ซง่ึ ถูกกาหนดใหม้ ีคา่ ความเย้ืองศูนย์กลางเทา่ กบั 0

ภาคตดั กรวย ความเยอื้ งส่ศู นู ยก์ ลาง
วงกลม
วงรี e0
ec

a

 ความเยื้องศนู ย์กลางของวงรจี ะมีค่าน้อยกวา่ 1 เสมอ เพราะว่าในวงรี c a

e0 e 0.5 e 0.9 e 0.95

 จากรปู ด้านบนจะเห็นว่า วงรีทีม่ คี วามเยื้องสู่ศนู ย์กลางเพ่มิ ขน้ึ เรือ่ ย ๆ (คา่ e มากขึ้น) จะย่งิ มีความรี

มากขนึ้ ตามไปดว้ ย (กลมน้อยลง)

ec
a

1) แทนระยะทางระหวา่ งจุดศนู ย์กลางกับจดุ ยอด หรอื ระยะครึง่ แกนเอก

2) แทนระยะทางระหว่างจดุ ศูนย์กลางกับจดุ ปลายแกนโทหรือระยะคร่ึงแกนโท

3) แทนระยะทางระหว่างจดุ ศนู ย์กลางกับโฟกัส

4) ความสมั พนั ธข์ อง และ คือ เสมอ

5) ความยาวแกนเอก เท่ากับ ................... หนว่ ย

6) ความยาวแกนโท เทา่ กบั .................... หน่วย

7) ความเยอื้ งศนู ย์กลาง (eccentricity) หรือ

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทกุ วนั สรา้ งสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวิตท่ีสดใส

บทเรียน เร่ือง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตรเ์ สริมทกั ษะ 2 7

ตวั อย่างท่ี 1 วงรีวงหน่งึ มสี มการเป็น x2 y2 1

16 4

จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวแกนเอกและแกนโท และเขียนวงรี

ตัวอย่างที่ 2 วงรีวงหนงึ่ มจี ดุ ยอดอยู่ท่ี ( 4, 0), (4, 0) และโฟกัสอยูท่ ี่ ( 3, 0), (3, 0)
จงหาสมการวงรี และเขียนวงรี

ฝึกฝนทาโจทยท์ กุ วัน สร้างสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวติ ท่ีสดใส

บทเรียน เรอ่ื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 8
ตวั อย่างท่ี 3 จงหาโฟกัสและเขยี นวงรที ี่มีสมการเป็น 25x2 9y2 225

ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการวงรที ่มี ีโฟกัสอยู่ท่ี ( 4, 0) และ (4, 0) และความเยือ้ งศนู ยก์ ลางเท่ากบั 8

15

แล้วเขยี นวงรี

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ กุ วัน สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวติ ทสี่ ดใส

บทเรียน เร่อื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 9

ตัวอย่างที่ 1
จากสมการของวงรีในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ จงหาจุดศนู ย์กลาง จุดยอด โฟกัส จดุ ปลายแกนโท และเขยี นกราฟ

1) x2 y2 1

25 16

2) x2 y2 1

9 25

ฝึกฝนทาโจทยท์ กุ วนั สร้างสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชวี ิตทีส่ ดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตัดกรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 10

3) 9x2 16y2 144

4) x2 2y2 9

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ทส่ี ดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 11
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาความยาวแกนเอกและความยาวแกนโทของสมการวงรี 4x2 9y2 1

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาสมการวงรี เม่ือกาหนดโฟกัสอยู่ที่จุด (3, 0) และ ( 3, 0) และผลบวกของระยะจากจดุ ใด ๆ
ไปยงั โฟกัสทง้ั สองเท่ากับ 8 หน่วย

ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการวงรี เมื่อกาหนดโฟกสั อยู่ทีจ่ ดุ (0, 4) และ (0, 4) และผลบวกของระยะทาง
จากจดุ ใด ๆ ไปยังโฟกัสท้ังสองเทา่ กับ 10 หน่วย

ฝึกฝนทาโจทย์ทกุ วัน สร้างสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ท่ีสดใส

บทเรยี น เรื่อง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 12
ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาสมการวงรที ม่ี จี ดุ ยอดอยู่ทจ่ี ุด (5, 0) และ ( 5, 0) โฟกสั จุดหนงึ่ อยู่ที่ (2, 0)

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาสมการวงรีท่มี ีโฟกสั อยู่ท่ี (3, 0) และ ( 3, 0) แกนเอกยาว 8 หนว่ ย

ตวั อย่างที่ 7 จงหาสมการวงรที ่มี ีจดุ ศนู ย์กลางที่ (0, 0) มจี ดุ ยอดจดุ หนงึ่ อยู่ที่ (0, 6) และมจี ดุ ปลายแกนโท
จุดหนงึ่ อยู่ท่ี ( 12, 0)

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวนั สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชวี ติ ท่ีสดใส

บทเรยี น เร่ือง ภาคตดั กรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 13
ตัวอย่างท่ี 8 จงหาสมการวงรีทมี่ ีจดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0, 6) และ (0, 6) และกราฟผ่านจุด (2, 14)

ตวั อย่างที่ 9 จงหาสมการวงรที ี่มีจดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ทจี่ ุดกาเนิด แกนเอกอยู่บนแกน X และกราฟผ่านจดุ (4, 3)
กับจดุ (6, 2)

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวนั สร้างสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ทส่ี ดใส

บทเรยี น เรอ่ื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสรมิ ทกั ษะ 2 14

รูปแบบที่ 1 วงรีมีจุดศูนย์กลาง แกนเอกขนานกับแกน

สมการวงรีทีม่ จี ุดศูนยก์ ลางที่ (0, 0) แกนเอกเปน็ แกน X คอื

x2 y2 1
a2 b2

เมือ่ ทาการเล่ือนแกนให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h, k)

Y

C(h, k) X

จะไดส้ มการวงรี ดังนี้

รปู แบบที่ 2 วงรีมีจุดศนู ยก์ ลาง แกนเอกขนานกบั แกน

สมการวงรีท่มี จี ดุ ศนู ย์กลางที่ (0, 0) แกนเอกเปน็ แกน X คือ

Y x2 y2 1
b2 a2

เม่ือทาการเลือ่ นแกนใหจ้ ดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (h, k)
จะได้สมการวงรี ดงั น้ี

X

C(h, k)

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทุกวนั สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวิตที่สดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตัดกรวย วชิ าคณิตศาสตรเ์ สรมิ ทักษะ 2 15
ตวั อย่างท่ี 10 จากสมการของวงรใี นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี จงหาจดุ ศูนย์กลาง จุดยอด โฟกัส จุดปลายแกนโท และเขยี น
กราฟอยา่ งคร่าว ๆ
1) (x 1)2 (y 2)2 1

16 9

2) (x 2)2 (y 3)2 1

9 25

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ ุกวนั สร้างสรรค์ความคิด พัฒนาชีวติ ทสี่ ดใส

บทเรียน เรอื่ ง ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 16

3) (x 5)2 y2 1

64 4

4) 25(x 3)2 9(y 1)2 225 0

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สรา้ งสรรคค์ วามคิด พัฒนาชวี ติ ที่สดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสรมิ ทักษะ 2 17
ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาสมการวงรี จากกราฟท่ีกาหนดให้

ตัวอยา่ งท่ี 12 จงหาจุดศูนยก์ ลาง จุดยอด โฟกสั จดุ ปลายแกนโท ความยาวแกนเอก
และความยาวแกนโทของสมการวงรี (x 7)2 (y 5)2 1

16 169

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สรา้ งสรรค์ความคดิ พัฒนาชวี ติ ท่สี ดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณติ ศาสตรเ์ สริมทกั ษะ 2 18
ในเน้อื หาหวั ข้อถัดมาคือ การจัดรูปสมการวงรี ซงึ่ มีหลักการคลา้ ยกบั การจัดรปู สมการวงกลมและพาราโบลา
โดยมีหลักการสาคญั คือ การจดั ใหเ้ ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ โดยเริม่ จากการจัดกลมุ่ ตวั แปร การบวกเพ่ิม และการจดั ให้
อยู่ในรูปกาลงั สองสมบูรณ์
ตวั อย่างที่ 13 จากสมการ (x 2)2 (y 1)2 1 สามารถจัดรูปสมการในรปู แบบทัว่ ไปได้ดังน้ี

49

ตัวอยา่ งที่ 14 จงจดั รูปสมการวงรี 9x2 4y2 36x 8y 4 0 ใหอ้ ยใู่ นรปู มาตรฐาน

สมการรปู แบบมาตรฐาน สมการรูปแบบทว่ั ไป

ฝึกฝนทาโจทย์ทกุ วัน สร้างสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวิตทีส่ ดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตัดกรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสริมทักษะ 2 19

ตวั อยา่ งที่ 15 จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จดุ ยอด โฟกัส จดุ ปลายแกนโท และเขียนกราฟของวงรี

8x2 y2 48x 4y 72 0

ตัวอย่างท่ี 16 จงหาจุดศนู ยก์ ลาง จุดยอด โฟกัส จุดปลายแกนโท และเขียนกราฟของวงรี

x2 2x 32y2 64y 31 0

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สรา้ งสรรค์ความคดิ พัฒนาชีวติ ท่สี ดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตดั กรวย วิชาคณิตศาสตรเ์ สริมทักษะ 2 20

บทนยิ ามของวงรี P

F1 สาหรบั ทุกจดุ บนวงรี จะได้ว่า

F2 เรยี ก วา่ ค่าคงท่ขี องวงรี

สว่ นประกอบของวงรี B2 X
b F2 V2
V1 F1
C(h, k)

B1
b

a

 จดุ ศนู ยก์ ลางของวงรอี ย่ทู ี่ C(h, k)

 แกนเอก คือ แกนทย่ี าวกวา่ มคี วามยาว 2a หนว่ ย จุดปลายแกนเอก (จุดยอด) คือ V1 และ V2
 แกนโท คือ แกนท่ีสน้ั กว่า มคี วามยาว 2b หน่วย จดุ ปลายแกนโท คอื B1 และ B2
 โฟกัส F1 และ F2 อยูใ่ นแนวเดียวกับแกนเอก ห่างจากจุดศูนยก์ ลางเปน็ ระยะ c หนว่ ย
 ความสัมพนั ธข์ อง a, b และ c ในวงรี คือ

 ลาตสั เรกตัม (Latus Rectum) คือ ความกว้างของวงรี ณ ตาแหน่งโฟกสั เทา่ กับ 2b2 หนว่ ย
a

F ลาตัสเรกตมั ** บทพสิ ูจน์ความยาวเลตัสเรกตมั
ตดิ ตามได้ในไลนก์ ล่มุ ประจาวิชานะครับ **

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวัน สร้างสรรค์ความคิด พัฒนาชีวิตท่สี ดใส

บทเรียน เรือ่ ง ภาคตัดกรวย วิชาคณิตศาสตร์เสริมทักษะ 2 21

ประเภทของวงรี วงรตี ามแกน Y (เลขมากอยูใ่ ต้ y2 )

วงรีตามแกน X (เลขมากอยู่ใต้ x2 ) Y
b V2
Y

B2 F2

F1 F2 X X
C h, k V2
V1 Bc 1 C(h, k) B2
b B1 c a F1
a
V1

รูปสมการ (x h)2 (y k)2 1 รปู สมการ (x h)2 (y k)2 1
a2 b2 b2 a2

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงรี

จดั รปู กาลงั สองสมบรู ณ์ กระจายกาลังสองสมบรู ณ์

รปู แบบท่ัวไปของสมการวงรี

ก็ต่อเม่ือ และ

ฝึกฝนทาโจทยท์ ุกวนั สร้างสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวติ ท่ีสดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสริมทักษะ 2 22
โจทยข์ ้อท่ี 1 จงหาสมการของวงรีท่ีมีโฟกัสอย่ทู ่ีจดุ (0, 2) และ (0, 2) และผลบวกของระยะจากจุดบนวงรไี ป
ยงั โฟกสั ท้งั สองเท่ากบั 6 หน่วย

โจทย์ขอ้ ท่ี 2 จงหาสมการของวงรี ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (0, 0) และมีแกนเอกยาว 16 หนว่ ย และโฟกัสจุด
หนง่ึ อยูท่ ่ีจดุ (6, 0)

โจทย์ข้อที่ 3 จงหาสมการของวงรีซ่ึงกราฟตดั แกน X ท่ีจุด ( 4, 0) และ (4, 0) และกราฟตดั แกน Y
ทจี่ ุด (0, 2) และ (0, 2)

โจทย์ขอ้ ท่ี 4 จดุ ( 6, 0) และ (6, 0) เป็นโฟกสั ของวงรีวงหน่ึง ซึง่ กราฟของวงรีผ่านจุด (4, 21)
จงหาสมการวงรีนี้

โจทยข์ อ้ ท่ี 5 จงหาสมการของวงรที ี่มโี ฟกสั จดุ หนึ่งอยู่ทีจ่ ดุ (3, 3) จุดศนู ย์กลางอยบู่ นแกน Y
จดุ ยอดจดุ หน่งึ คือ ( 5, 3)

ฝึกฝนทาโจทย์ทุกวนั สร้างสรรคค์ วามคิด พัฒนาชีวติ ท่สี ดใส

บทเรียน เร่อื ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 23

โจทย์ขอ้ ท่ี 6 จงหาสมการวงรีท่ีมจี ดุ ยอดจุดหนึง่ คอื จดุ (3, 10) โฟกัสจดุ หนงึ่ อยู่ท่ีจุด (3, 6)
จดุ ศนู ยก์ ลางอยู่บนแกน X

โจทย์ข้อที่ 7 จงหาสมการวงรที มี่ ีจดุ ยอดจุดหน่ึง คือ จุด (5, 6) แกนโทยาว 2 หน่วย จดุ ศนู ย์กลางอยบู่ น
เส้นตรง y 2

โจทย์ขอ้ ท่ี 8 จงหาสมการวงรที ่ีมีจดุ ศูนยก์ ลางที่ ( 2, 3) และแกนเอกขนานกับแกน X ถ้า P(x, y)
เปน็ จุด ๆ หนึ่งบนกราฟของวงรี ซ่ึงอย่ไู กลสดุ จากโฟกัสจดุ หนึ่งเป็นระยะ 9 หน่วย และใกล้สุดกบั โฟกสั อีกจุดหนึ่ง
เป็นระยะ 1 หนว่ ย

โจทยข์ ้อที่ 9 จงหาสมการวงรีที่มจี ุดศูนย์กลางของวงกลมซ่ึงมสี มการ x2 y2 2x 2y 7 0
และมแี กนเอกขนานกบั แกน Y มโี ฟกัสทั้งสองและจุดปลายแกนโททงั้ สองอยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลมดังกลา่ ว

ฝกึ ฝนทาโจทย์ทุกวนั สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวติ ทส่ี ดใส

บทเรยี น เร่อื ง ภาคตัดกรวย วิชาคณติ ศาสตร์เสริมทกั ษะ 2 24

1. ประตโู ค้งเปน็ รูปครง่ึ วงรี กว้าง 40 ฟตุ และสูง 15 ฟุตที่จุดกึ่งกลางประตู ความสูงของประตูทจ่ี ดุ ห่างจาก

กึ่งกลางประตู 12 ฟุต คือข้อใดตอ่ ไปน้ี

1. 11.25 ฟตุ

2. 12 ฟตุ

3. 12.76 ฟุต 15
4. 13 ฟตุ

40

2. วงรีท่ีมรี ะยะคร่ึงแกนเอกและคร่ึงแกนโทเทา่ กบั ความยาวของระยะทางไกลสุดและใกลส้ ุดจากจดุ (10, 7)

ไปยังวงกลม x2 y2 4x 2y 20 0 จะมรี ะยะทางจากโฟกัสถึงจดุ ศนู ย์กลางของวงรเี ทา่ กับ

ค่าในข้อใดต่อไปน้ี

1. 5 3 2. 5 5 3. 10 4. 10 2

3. ดาวเคราะห์ดวงหน่งึ โคจรรอบดวงอาทิตยเ์ ปน็ รปู วงรี ซ่งึ มีความยาวของแกนเอกเปน็ 186 ลา้ นไมล์
โดยมดี วงอาทติ ย์อยูท่ ่โี ฟกัสจุดหน่งึ ของวงรนี ้นั ถา้ อัตราสว่ นของระยะทางจากจุดศนู ย์กลางของวงรีไปยงั โฟกสั

กบั ครง่ึ หน่ึงของความยาวแกนเอกเป็น 1 แล้วระยะทางทใี่ กล้ท่ีสดุ จากดาวเคราะห์ดวงนี้ถงึ ดวงอาทิตย์

62

เท่ากับเท่าใด (หนว่ ยเปน็ ลา้ นไมล์)

ฝกึ ฝนทาโจทยท์ กุ วัน สรา้ งสรรคค์ วามคดิ พัฒนาชีวิตท่สี ดใส

บทเรยี น เรอื่ ง ภาคตดั กรวย วชิ าคณิตศาสตร์เสริมทักษะ 2 25

4. ถ้ากาหนดสมการของวงรีเป็น 4x2 9y2 8x 18y 23 0 แลว้ พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

ก. วงรีสัมผัสทั้งแกน X และแกน Y

ข. ระยะทางระหวา่ งโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2 5

ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง

1. ก. ถูก ข. ถูก 2. ก. ถกู ข. ผดิ 3. ก. ผิด ข. ถูก 4. ก. ผดิ ข. ผดิ

5. กาหนด A (x, y) | 4x2 9y2 16x 54y 61 0
ข้อใดตอ่ ไปน้สี รปุ เกย่ี วกบั เซต A ได้ถูกต้อง
1. A เป็นวงรมี จี ุดศนู ยก์ ลาง คือ ( 2, 3)
2 A เปน็ วงรมี คี วามยาวแกนเอก 6 หนว่ ย
3. A เป็นวงรีมแี กนเอกขนานกับแกน Y
4. A เปน็ เซตวา่ ง

6. วงรวี งหนงึ่ มีจุดศนู ย์กลางอยทู่ ่ีจดุ (2, 1) โฟกสั จดุ หนง่ึ อยทู่ ีจ่ ุด ( 6, 1) และมีเสน้ ตรง x 12
เป็นเสน้ สมั ผัส ณ จดุ ยอดของวงรีนั้น จงหาความยาวแกนโท

7. ถา้ k เปน็ จานวนจริงที่ทาใหส้ มการ x2 2y2 2x 4y k 0 เป็นสมการของวงรีท่ีมีแกนเอก
ขนานกบั แกน X และยาว 6 หนว่ ย จงหา | k |

หมายเหตุ ขอให้นักเรียนตดิ ตามเฉลยได้ในไลน์กลุ่มประจาวชิ า

ฝึกฝนทาโจทย์ทกุ วัน สรา้ งสรรค์ความคิด พัฒนาชีวิตท่ีสดใส