สรุปเนื้อหาเรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง

2. ฟงั ก์ชันกำลังสอง

ซ่ึงมชี ือ่ เรยี กวำ่ “พำรำโบลำ”

สอนโดย: คุณครรู สกมลรตั น์ ศรภี ริ มย์

กรำฟของฟังกช์ นั กำลงั สอง

1) กรำฟของ y = ax2 เมือ่ a ≠ 0
2) กรำฟของ y = ax2+k เมือ่ a ≠ 0
3) กรำฟของ y = a(x-h)2 + k เม่อื a ≠ 0
4) กรำฟของ y = ax2+bx + c เมื่อ a ≠ 0

ฟงั ก์ชนั กำลงั สอง

ฟงั กช์ ันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันท่อี ยูใ่ นรูป y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ
และ a ≠ 0 ซ่ึงลักษณะกรำฟของฟงั ก์ชนั กำลังสองข้นึ อยู่กบั คำ่ a, b และ c

1) กรำฟของ y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 สรุปได้ ดงั น้ี
กรำฟของ y = ax2 มจี ุดวกกลับท่จี ดุ (0, 0)
แกนสมมำตรของกรำฟ คือ แกน Y หรือเส้นตรง x = 0
ถำ้ a > 0 กรำฟเป็นเสน้ โค้งเปิดขน้ึ ดำ้ นบนและมจี ดุ วกกลับเป็นจดุ ต่ำสุด คือ จดุ (0, 0) และมีค่ำต่ำสดุ เท่ำกับ 0
ถ้ำ a < 0 กรำฟเป็นเสน้ โคง้ เปดิ ลงดำ้ นล่ำงและมีจุดวกกลบั เปน็ จดุ สูงสุด คือ จดุ (0, 0) และมคี ่ำสูงสดุ เท่ำกบั 0

เช่น กรำฟของ y = x2 และ y = −x2

Y Y
y = x2 จดุ วกกลับ

0X
y = −x2

แกนสมมำตร แกนสมมำตร

0 X
จดุ วกกลบั

แบบฝกึ หดั ฟงั กช์ นั กำลงั สอง

ฟังกช์ ันกำลังสอง

2) กรำฟของ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 สรุปได้ ดงั นี้
กรำฟของ y = ax2 + k มีจุดวกกลบั ทจี่ ุด (0, k)
แกนสมมำตรของกรำฟ คือ แกน Y หรือเส้นตรง x = 0
ถำ้ a > 0 กรำฟเปน็ เสน้ โค้งเปดิ ขึ้นดำ้ นบนและมจี ุดวกกลบั เปน็ จุดต่ำสุด คือ จดุ (0, k) และมคี ำ่ ต่ำสุดเทำ่ กับ k
ถ้ำ a < 0 กรำฟเป็นเส้นโค้งเปิดลงด้ำนลำ่ งและมจี ุดวกกลบั เป็นจุดสงู สุด คอื จุด (0, k) และมคี ่ำสงู สุดเทำ่ กับ k

เชน่ กรำฟของ y = x2 + 3 และ y = −x2 − 3

Y Y

8 1
7
6 แกนสมมำตร −4 −3 −2 −1 0 12 34 X
5 −1
4
y = x2 + 3 3 (0, 3) −2
2 (0, −3)
1 y = −x2 − 3 จุดวกกลับ
−3

จดุ วกกลบั −4

−5

−6 แกนสมมำตร
−7
−4 −3 −2 −1 0 1 234 X
−1
−8

แบบฝกึ หัด ฟงั กช์ ันกำลงั สอง (ตอ่ )

ฟังกช์ ันกำลงั สอง

3) กรำฟของ y = a(x − h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 สรปุ ได้ ดังนี้
กรำฟของ y = a(x − h)2 + k มีจดุ วกกลับท่จี ดุ (h, k)
แกนสมมำตรของกรำฟ คือ เสน้ ตรง x = h
ถำ้ a > 0 กรำฟเปน็ เสน้ โคง้ เปดิ ขน้ึ ดำ้ นบนและมจี ดุ วกกลับเป็นจุดตำ่ สุด คือ จดุ (h, k) และมีค่ำตำ่ สดุ เทำ่ กบั k
ถ้ำ a < 0 กรำฟเป็นเสน้ โคง้ เปิดลงด้ำนล่ำงและมจี ดุ วกกลับเป็นจดุ สงู สุด คือ จดุ (h, k) และมีคำ่ สูงสดุ เทำ่ กับ k

เชน่ กรำฟของ y = (x − 2)2 + 3 และ y = −(x − 2)2 − 3

Y Y

8 1
y = (x − 2)2 + 3
−2 −1 0 1234 56 X
7 −1

6 แกนสมมำตร

5 −2
(2, −3)
4 จดุ วกกลบั
−3
3 (2, 3)
2 จุดวกกลับ −4

1 −5 แกนสมมำตร

−2 −1 0 123456 X −6 y = −(x − 2)2 − 3
−1
−7

−8

แบบฝกึ หัด ฟงั กช์ ันกำลงั สอง (ตอ่ )

ฟงั กช์ นั กำลงั สอง

4) กรำฟของ y = ax2 + bx + c เม่ือ a ≠ 0 สรปุ ได้ ดงั น้ี

กรำฟของ y = ax2 + bx + c มจี ุดวกกลับท่ีจดุ − b , 4ac − b2
2a 4a
b
แกนสมมำตรของกรำฟ คอื เส้นตรง x = − 2a

ถำ้ a > 0 กรำฟเป็นเสน้ โค้งเปิดขึ้นด้ำนบนและมีจุดวกกลับเป็นจุดต่ำสุด คอื จุด − b , 4ac − b2 และมีคำ่ ต่ำสดุ เทำ่ กับ 4ac − b2
2a 4a 4a

ถ้ำ a < 0 กรำฟเป็นเส้นโค้งเปิดลงด้ำนล่ำงและมีจดุ วกกลบั เป็นจุดสงู สดุ คอื จุด − b , 4ac − b2 และมีค่ำสงู สดุ เทำ่ กับ 4ac − b2
2a 4a 4a

Y Y
y = ax2 + bx + c, a > 0
จุดวกกลับ
จุดตดั แกน X
จุดตดั
จุดตดั 0X แกน Y y = ax2 + bx + c, a < 0
แกน Y แกนสมมำตร X
0
จุดวกกลบั จุดตัดแกน X
แกนสมมำตร

แบบฝกึ หัด ฟงั กช์ ันกำลงั สอง (ตอ่ )

ฟงั กช์ ันกำลังสอง

ตัวอย่ำงที่ 7

ใหห้ ำจุดวกกลับของกรำฟของฟงั กช์ นั y = x2 − 2x + 4 พรอ้ มทั้งเขียนกรำฟ

วธิ ีทำ วธิ ที ่ี 1 จำก y = x2 − 2x + 4 จดั สมกำรใหอ้ ยูใ่ นรปู กำลงั สองสมบรู ณ์
(น-ล)2 = น-2นล+ล2
จะได้ y = (x2 − 2x + 1) + 3

y = (x − 1)2 + 3

ดงั นั้น กรำฟจะมีจดุ วกกลบั อยทู่ จ่ี ดุ (1, 3)

วธิ ีที่ 2 จำก y = x2 − 2x + 4
จะได้
a = 1, b = −2 และ c = 4

พกิ ัดของจุดวกกลบั คอื − b , 4ac − b2
2a 4a

จะได้ − b = − −2 =1
2a 21

และ 4ac − b2 = 4 1 4− −2 2 = 3
4a 41

ดังนน้ั กรำฟจะมจี ดุ วกกลับอยทู่ จี่ ดุ (1, 3)

ฟงั กช์ ันกำลังสอง

จำก y = x2 − 2x + 4 กรำฟจะมจี ุดวกกลบั อยูท่ ีจ่ ุด (1, 3)

เขียนกรำฟได้ ดังน้ี

Y y = x 2 − 2x + 4

8 อ

7
6

5
4

3
(1, 3)

2

1

−2 −1 0 123456 X
−1

กำรนำกรำฟไปใช้ในกำรแกส้ มกำร

1) กรำฟไมต่ ดั แกน X แสดงว่ำ ไม่มีคำตอบของสมกำร
ทีเ่ ปน็ จำนวนจรงิ

2) กรำฟตัดแกน X เพยี งจุดเดียว แสดงว่ำมคี ำตอบของ
สมกำรที่เปน็ จำนวนจริง 1 คำตอบ

3) กรำฟตดั แกน X สองจดุ แสดงวำ่ มคี ำตอบของสมกำรท่ี
เปน็ จำนวนจริง 2 คำตอบ

ฟังกช์ ันกำลงั สอง

กำรแกส้ มกำรกำลงั สองโดยใช้กรำฟ สำมำรถทำไดโ้ ดยกำรเขียนกรำฟสมกำรกำลังสองแลว้ หำจดุ ที่กรำฟตดั กับแกน X หรอื กำหนดให้ y = 0
• กรำฟไมต่ ดั แกน X แสดงวำ่ ไมม่ ีคำตอบของสมกำรท่ีเป็นจำนวนจรงิ

เชน่

1) y = x2 + 2 2) y = −x2 − 2

เขียนกรำฟของ y = x2 + 2 ได้ ดังนี้ เขยี นกรำฟของ y = −x2 − 2 ได้ ดังนี้

Y Y

7 2

6

5 −4 −2 0 2468 X
y = x2 + 2 −2 y = −x2 − 2
−4
4
−6
3 −8

2

1

−3 −2 −1 0 123 X
−1

จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ กรำฟของ y = x2 + 2 ไมต่ ดั แกน X จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ กรำฟของ y = −x2 − 2 ไมต่ ดั แกน X
ดังน้ัน สมกำร y = x2 + 2 ไม่มีคำตอบที่เปน็ จำนวนจรงิ ดังนนั้ สมกำร y = −x2 − 2 ไม่มีคำตอบทีเ่ ป็นจำนวนจริง

ฟังก์ชันกำลังสอง

กรำฟตดั แกน X เพยี งจดุ เดียว แสดงวำ่ มีคำตอบของสมกำรทเี่ ปน็ จำนวนจริง 1 คำตอบ
เชน่

1) y = ( + ) 2) y = −3(x − 2)

เขียนกรำฟของ y = ( + ) ได้ ดงั นี้ เขียนกรำฟของ y = −3(x − 2) ได้ ดังนี้

Y Y

7 2 (2, 0)
2468
6 −4 −2 0 X
−2
5 −4 y = −3(x − 2)
y = ( + )

4

3 −6

2 −8

1 −10

−3 −2 −1 0 123 X −12
(−1, 0) −1
−14
จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่ กรำฟของ y = 2(x + 1)2 ตัดแกน X
เพียงจดุ เดยี ว คอื จดุ (−1, 0) น่ันคือ y = 0 จะได้ x = −1 จำกกรำฟ จะเห็นวำ่ กรำฟของ y = −3(x − 2)2 ตัดแกน X
ดงั นัน้ คำตอบของสมกำร y = 2(x + 1)2 มีคำตอบเดียว คอื −1 เพยี งจุดเดยี ว คือ จดุ (2, 0) นน่ั คือ y = 0 จะได้ x = 2
ดังนน้ั คำตอบของสมกำร y = −3(x − 2)2 มคี ำตอบเดยี ว คอื 2

ฟงั ก์ชันกำลงั สอง

กรำฟตดั แกน X สองจดุ แสดงวำ่ มคี ำตอบของสมกำรทีเ่ ป็นจำนวนจรงิ 2 คำตอบ
เชน่

1) y = − x − 6 2) y = − + 6x − 5

เขยี นกรำฟของ y = − x − 6 ได้ ดังนี้ เขยี นกรำฟของ y = − + 6x − 5 ได้ ดังน้ี

Y Y

4 5 y = − + 6x − 5

4

2 3
2
(−2, 0) (3, 0) X 1
4
−4 −2 0 2 −2 −1 0 (1, 0) (5, 0)
−2 −1
−2 1 2 3 4 5 6 7X

−4

−6 y = x2 − x − 6 −3
−8 −4
−5

จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ กรำฟของ y = x2− x − 6 ตัดแกน X สองจดุ จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ กรำฟของ y = −x2 + 6x − 5 ตัดแกน X สองจุด
คอื จดุ (−2, 0) และจุด (3, 0) นนั่ คอื y = 0 จะได้ x = −2, 3 คือ จดุ (1, 0) และจดุ (5, 0) น่นั คอื y = 0 จะได้ x = 1, 5
ดงั น้นั คำตอบของสมกำรนี้มีสองคำตอบ คือ −2 และ 3 ดังนั้น คำตอบของสมกำรนม้ี สี องคำตอบ คอื 1 และ 5