รอบรู้เรื่องเซต

ห นั ง สื อ อิ เ ล็ ก ท ร อ นิ ก ส์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ม . 4 เ รื่ อ ง เ ซ ต

รอบรู้ เรื่ อง




"เซต"

ธี ร์ ทั ศ น์ โ ค ต ร คำ



ก

คำนำ

หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-booK) เล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อเป็น
ส่วนหนึ่งของรายวิชา ED13201 นวัตกรรมและเทคโนโลยี
สารสนเทศเพื่อการสื่อสารศึกษาและเรียนรู้ เพื่อให้ได้ศึกษา
หาความรู้ในเรื่องเซต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เพื่อการศึกษา
โดยได้ศึกษาจากแหล่งเรียนรู้ต่างๆ อาทิเช่น ตำรา หนังสือ
หนังสือพิมพ์ วารสาร ห้องสมุด และแหล่งความรู้จากเว็ปไซต์
ต่างๆ โดยหนังสือเล่มนี้จะมีเนื้อหาเกี่ยวกับ แนวคิดเกี่ยวกับพื้น
ฐานของเซต, สับเซต และ เพาเวอร์เซต

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าการจัดทำหนังสืออิเล็กทรอนิกส์
(E-booK) เล่มนี้จะมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์ต่อผู้ที่สนใจความรู้
เกี่ยวกับเซต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

ผู้จัดทำ
ธีร์ทัศน์ โคตรคำ



สารบัญ ข

เรื่อง หน้า

คำนำ ก
สารบัญ ข
เซต 1
2
-พื้นฐานของเซต 4
-สับเซต 8
-เพาเวอร์เซต 11
แบบฝึกหัด 12
อ้างอิง 13
ประวัติผู้เขียน



1

เซต

P' ทีน น้องมายด์ น้องโล่

วันนี้พี่ทีนจะมาอธิบายในหัวข้อ
พื้นฐานของเซต, สับเซต และ
เพาเวอร์เซต ชื่อไม่คุ้นเลยใช่ไหมครับ
เราไปเริ่มหัวข้อแรกเลยดีกว่าครับ
จะได้รู้ว่าแต่ละหัวข้อคืออะไรบ้าง

1. พื้นฐานของเซต 2

เซต เป็นการบอกกลุ่มของสิ่งต่างๆ
ว่าอยู่ในกลุ่มเดียวกันหรือไม่
ตัวอย่างเช่น

เซตของจำนวนเต็มบวกคี่ = { 1, 3, 5, 7, 9, ... }

...............................................................................

เซตของจำนวนนับ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

...............................................................................

เซตของสระในภาษาอังกฤษ = { a, e, i, o, u }

พี่ทีนคะ เราเรียกสิ่งที่อยู่ใน มีครับน้องมายด์ เราจะ
เซตว่าสมาชิกใช่ไหมคะ แล้ว เรียกว่า เซตว่าง หรือ
ถ้าไม่มีสมาชิกอยู่เลยจะมีแบบ
∅แทนด้วยสัญลักษณ์ { }
นี้ไหมคะ
หรือ แทนเซตที่ไม่มี
สมาชิกอยู่เลยครับ






เซตสามารถเขียนได้ 2 วิธีดังนี้

1) เขียนแจกแจงสมาชิก เช่น { 1, 2, 3, 4, ... }


2) เขียนแบบบอกเงื่อนไข เช่น A = {x l x เป็นจำนวนคี่} จะอ่านว่า A คือเซต x โดยที่

x เป็นจำนวนคี่

3

และเซตสามารถแบ่งประเภทได้เป็น 2 แบบ คือ

แบบที่ 1 แบบที่ 2
เซตอนันต์
เซตจำกัด



เช่น

เช่น

{1, 2, 3, 4, ...} ไม่มีจุดสิ้นสุด
∅
รู้จุดสิ้นสุด

{1, 2, 3, 4, 5},




มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ
และคำตอบเป็นเซตอนันต์ หรือเซตจำกัด

(x - 5) (x + 1) = 0 Ans

ดังนั้น x = 5, -1
เซตคำตอบคือ {-1, 5 } เป็นเซตจำกัด

ตัวอย่างที่ 2 ∈{ x N เป็นพหุคูณของ 10 } x มีค่าอะไร

บ้างเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์

∈จากโจทย์ { x N เป็นพหุคูณของ 10 } อ่านว่า

"x เป็นสมาชิกของจำนวนนับโดยที่ x เป็นพหูคูณของ 10"

ดังนั้น {10, 20, 30, 40, ...} เป็นเซตอนันต์ Ans

2. สับเซต 4

สับเซต เกิดจากเซตที่สร้าง A, B
จากสมาชิกของเซตถ้าน้องๆ
สงสัยว่าสับเซตคืออะไรลอง

มาดูภาพนี้นะ

1. 2.

B

A

ภาพที่ 1 จะแสดงว่า A เป็นสับเซตของ B เพราะสมาชิกทุก
ตัวของ A อยู่ใน B

ภาพที่ 2 จะแสดงว่า A เป็นสับเซตของ B เพราะสมาชิกทุก
ตัวของ A เท่ากับหรือเหมือนกับ B และ B เป็นสับ
เซตของ A เช่นกัน

⊂สัญลักษณ์ของสับเซตคือ และสัญลักษณ์ของ 5
⊄


การไม่เป็นสับเซตคือ ซึ่งมีเงื่อนไขดังนี้

∅ ⊂1) A ; A เป็นเซตใดๆ เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

⊂2) A A
⊂ ∩ ⊂3) A B B A แสดงว่า A = B

⊂ ∩ ⊂4) A B B C แสดงว่า A = C

5) สับเซตแท้ คือ สับเซตทุกสับเซตยกเว้นค่าตัวมันเอง

∅6) ไม่มีสับเซตแท้

7) จำนวนสับเซตของ A = สับเซต ; โดย n(A) คือ
จำนวนสมาชิกของ A

พี่ทีนครับ ลองมาดูตัวอย่างกัน
แล้วเซต นะครับน้องโล่
ต่างกันยังไง
กับสับเซตล่ะครับ

6

เซต A สับเซต จำนวนเซต

∅ ∅ 1
∅ , {1} 2
{1}
∅, {1}, {2}, {1,2} 4
{ 1, 2 } ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, 8
{1, 2, 3}

{1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}

เราอาจจะหาจำนวนสับเซตจากสูตร ได้เหมือนกัน

ครับจากตัวอย่าง เซต A = {1, 2, 3} จะได้จำนวนสับเซต

= = = 8 สับเซต

ส่วนข้อแตกต่างระหว่างสมาชิกกับสับเซตจะต่างกันที่

เครื่องหมายและวิธีการใช้ครับ สมาชิกจะใช้ เครื่องหมาย
∈ ∉และไม่เป็นสมาชิกจะใช้เครืองหมาย
เราสามารถ

ลองดูตัวอย่างนะครับ ว่าต่างกันยังไง

7

ตัวอย่างที่ 1 ∅ ∅ให้ A = { , { }, 1, 2, {1, 2}, {1, 2, 3,}}

จงหาสมาชิกและสับเซต

∅ ∅ ∈จะได้ , { }, 1, 2, {1, 2}, {1, 2, 3,} A

เอาปีกกาด้านนอกออก

∅ ∅ ∅, { }, {{ }}, {1}, {2}, {{1, 2}}, {{1, 2, 3,}}
∅ ∅ ⊂{ , { }}, {1, 2}, ... A ; จะมีทั้งหมด

= = 64 Ans

∅เพิ่ม แล้วใส่ { } คร่อมสมาชิกที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 2 ให้ B = {1, 2, {2} } จงหาสมาชิกและสับเซต




∈จะได้ 1, 2, {2} A

∅, {1}, {2}, {{2}}, {1, 2}, {1, {2}}, {2, {2}},
⊂{1, 2, {2}} A
Ans

3. เพาเวอร์เซต 8

เพาเวอร์เซต (Power set) คือ
เซตของสับเซต จะเริ่มซับซ้อนขึ้น
นะครับแต่ไม่ยากครับ เรามาดูโจทย์

ตัวอย่างกันนะ

A = {1, 2} ∅สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, {1,2}
∅เพาเวอร์เซตของ A คือ

{ , {1}, {2}, {1,2}}

มีเงื่อนไขของเพาเวอร์เซตคือ

∅ ∈ P(A) ∅ ⊂ P(A)
∈A P(A)
∅ ⊂{ } P(A) n[P(A)] ≠ 0
n[P(A)] ≠ n(A)
⊂{A} P(A)
n[P(A)] =

พี่ทีนคะ เพาเวอร์เซต ก็คือ 9

การหาสับเซตเลยใช่ไหมคะ ถูกต้องเลยครับ
แล้วเราจะใส่ปีกกาครอบทั้งหมด น้องมายด์ จำนวน
สมาชิก P(A) จะ
ถูกต้องไหมคะ เท่ากับจำนวนสับ
เซตครับ คือ

ตัวอย่างมีดังนี้
ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหา P(A) โดย A = {1, 2}

∅
Ans

P(A) = { , {1}, {2}, {1,2}}
n[P(A)] = 4 หรือ = = 4

ตัวอย่างที่ 2 ∅ให้ P(A) = { , {1}, {2}, {1, {3}},

{{3}}, {1,2}, {2, {3}}, {1, 2, {3}}}

จงหาเซตของ A


Ans
จะได้ A = {1, 2, {3}}

10

ตัวอย่างที่ 3 ให้ A = {0, 1, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1,2,3}
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

∅ ∈1) P(A) ∈6) A P(A)
∅ ⊂2) P(A) ⊂7) A P(A)
∈3) {0, 1} P(A) ⊂8) {0, 1} P(A)
∈4) {1, 2} P(A) ⊂9) {1, 2} P(A)
∈5) {{1, 2} P(A) ⊂10) {{1, 2}} P(A)

ไม่ยากเลยใช่ไหมครับ
พี่จะทำตัวอย่างให้ดูอีกครั้งนะครับ

A = {0, 1, {1, 2}, {1, 2, 3}}

∈>> 0, 1, {1, 2}, {1, 2, 3} A
∅>> สับเซตของ A = , {0}, {1}, {{1, 2}},

{{1, 2, 3}}, {0, 1}, {0, {1,2}}, ...
ทั้งหมด = 16 สับเซต

∅>> P(A) = { , {0}, {1}, {{1,2}}, {{1, 2, 3}},

{0, 1}, {0, {1,2},...} เราจะใส่ปีกกาคร่อม
ทั้งหมด

∅ ∅>> สับเซตของ P(A) = , { }, {{0}}, {{1}},

{{{1, 2}}},... ทั้งหมด สับเซต

แบบฝึกหัด 11

1. จงเขียนเซตในข้อต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 เซตของจำนวนนับที่มากกว่า 12 และหารด้วย 10 ลงตัว

∈1.2 เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่มีชื่อขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ม”

1.4 A = { x I | x < 2x }

2. จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้
2.1 A = { 0,1,2,3,1,0 }
2.2 C = {1,{2,3,4}}
2.3 G = {x | x เป็นจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 9}

⊂ ⊂3. ถ้า A={a, b,c,d,e,f} และ B={a,b} แล้วจำนวนเซต X ซึ่ง
B X A เท่ากับเท่าใด

4. A = {2, 4, 6, 8} จงหาสับเซตของ A

5. จากข้อ 4 จงหาเพาเวอร์เซตของ A

12

อ้างอิง

ฐานวัฒน์ สุเชาว์อินทร์. สับเซต และ เพาเวอร์เซต. สืบค้นเมื่อ
1 ตุลาคม 2564, จาก:https://sites.google.com/site/
setandlogic345/sab-set-laea-phea-wexr-set

ทวินันท์ อยู่สุทร. (2558). รวมสูตรติวคณิต!พิชิต ADMISSION และ
เตรียมตัวสอบ ม.4-5-6. บริษัท แอคทีฟ พริ้นท์ จำกัด

สิลิลลัคน์ เย็นใจ. สับเซตและเพาเวอร์เซต. สืบค้นเมื่อ 1 ตุลาคม 2564,
จาก : https://www.kroobannok.com/news_file/p95439380929.pdf

ข้อมูลครอบครัว 13

บิดา น้องสาว

นายจิรายุ ปฏิพัทธ์รัตร์คีรี นางสาวสิริยากร โคตร
สัญชาติ; ไทย สัญชาติ; ไทย
ศาสนา: พุทธ ศาสนา: พุทธ
อาชีพ: ค้าขาย อาชีพ: นักเรียน

มารดา

นางปัทมนันท์ โคตรคำ
สัญชาติ; ไทย
ศาสนา: พุทธ
อาชีพ: ค้าขาย

ธีร์ทัศน์ ป ร ะ วั ติ ก า ร ศึ ก ษ า
โคตรคำ
ประถมศึกษา
นั กศึ กษาสาขาวิ ชา
คณิ ตศาสตร์ ประถมศึกษาปีที่ 1-6 โรงเรียนโกมลวิทยาคาร
คณะครุ ศาสตร์
มัธยมศึกษา
โ ป ร ไ ฟ ล์ ส่ ว น ตั ว
มัธยมศึกษาปีที่ 1-6 โรงเรียนท่าบ่อ
ชื่อ-นามสกุล: ธีร์ทัศน์ โคตรคำ
ว/ด/ป เกิด: 06/03/2545 มหาวิทยาลัย
สัญชาติ: ไทย
ศาสนา: พุทธ ปัจจุบันกำลังศึกษาที่ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
รหัสนักศึกษา: 63040140119
คติประจำใจ อาชีพที่ชอบ
ติ ด ต่ อ ที่
คติประจำใจ
โทรศัพท์: 0827414780
FB: ทีน ธีร์ทัศน์ ทำหน้าที่ตัวเองให้ดีที่สุด
Line ID: 0827414780
E-mail: [email protected] อาชีพที่ชอบ
ที่อยู่: 39 หมู่ 8 บ้านดอนขม
ต.บ้านเดื่อ อ.ท่าบ่อ จ.หนองคาย สส.พรรคเพื่อไทย ครู
43110 ประเทศไทย
ค ว า ม ส า ม า ร ถ ห ลั ก

หลกกล้า-ดำนาเก่ง
สอนคณิตศาตร์น้องๆ ได้
ขายของ
ทอดแห หาปลา

13



ห นั ง สื อ ที่ จ ะ ช่ ว ย ใ ห้ คุ ณ
ส อ บ ง่ า ย ผ่ า น เ ร็ ว



BY P'ทีน